2.4 Oppervlaktemethode Teken het v-t-diagram van de eenparige beweging
v (m/s)
met een snelheid van 10 m/s die begint na 2 seconden en eindigt na 4 seconden. De afgelegde weg is: ∆s = v.∆t In het v-t-diagram is v de hoogte van de rechthoek onder de lijn en ∆t is de breedte van de rechthoek. Bijgevolg is de oppervlakte (h x b) gelijk aan: ∆s = v.∆t t (s)
In een v-t-diagram is de oppervlakte onder het lijnstuk een maat voor de afgelegde weg.
2.4.1 Oefening : Een fietser rijdt van 9h10 tot 9h30
v (km/h)
met een constante snelheid van 18 km/h. Van 9h30 tot 9h40 is zijn snelheid 30 km/h.
Stel de beweging voor in een v-t-diagram.
Oppervlakte 1 = . . . . . . . . . km/h x . . . . . . . . . . h =............. Oppervlakte 2 = . . . . . . . . . km/h x . . . . . . . . . . h =............. ∆s = oppervlakte 1 + oppervlakte 2 = . . . . . . . . . .
Deel 1: Bewegingen
t (h)
13-a
Hoofdstuk 2a: Veranderlijke bewegingen 2a.1 Afgelegde weg Een veranderlijke beweging is een beweging waarbij de snelheid niet constant is. Het onderstaande v-tdiagram stelt zo’n beweging voor.
We kunnen de afgelegde weg van zo’n veranderlijke beweging niet altijd eenvoudig berekenen. Maar door de beweging te benaderen door een opeenvolgende reeks korte eenparige bewegingen (fig. 2) kunnen we voor elk van die korte tijdsduren de oppervlaktemethode toepassen en de som maken van alle kleine afgelegde wegen. Hoe kleiner we de tijdsintervallen nemen, hoe nauwkeuriger de benaderde afgelegde weg. v
v
v
∆s t
t
t
Als we de oppervlakten van oneindig veel oneindig smalle rechthoekjes optellen bekomen we de oppervlakte onder de curve en die oppervlakte komt dus overeen met de afgelegde weg (fig. 3).
In een v-t-diagram komt de oppervlakte onder de curve voor elke beweging overeen met de afgelegde weg.
2a.2 Gemiddelde snelheid We bekijken terug dezelfde veranderlijke beweging (fig. 1) en stellen het s-t-diagram op (fig. 2): v
s
t
s
t
t
We vergelijken deze veranderlijke beweging met een eenparige beweging waarin in dezelfde totale tijdsduur dezelfde totale afgelegde weg gelijk is (fig. 3) De rico van deze rechte is de snelheid van deze eenparige beweging (v = ∆s / ∆t). Het is ook de gemiddelde snelheid van de veranderlijke beweging: in dezelfde tijdsduur ∆t wordt dezelfde afstand ∆s afgelegd:
= ∆s / ∆t
Deel 1: Bewegingen
13-b
We kunnen dit ook op een v-t-diagram voorstellen: in dezelfde tijdsduur ∆t wordt dezelfde afstand ∆s afgelegd. Dat wil zeggen dat de oppervlakte onder de curve van de veranderlijke beweging dezelfde moet zijn als de oppervlakte onder het horizontaal lijnstuk van de eenparige beweging aan de gemiddelde snelheid: v
v
v
∆s
∆s t
t
∆t
∆t
de
2a.2.1. Oefening : We hernemen de 5
t ∆t
oefening van de vorige reeks: een fietser rijdt eenparig 150 m in
10,0 s, daarna rijdt hij 20,0 s verder tegen 5,00 m/s en vervolgens nog eens 250 m tegen 12,5 m/s. Bereken de gemiddelde snelheid van de totale fietsrit.
Deel 1: Bewegingen
13-c
Hoofdstuk 2b: De eenparig veranderlijke beweging 2b.1 Bestudering van een knikker die van een helling rolt 2b.1.1 Experiment
We laten een knikker van een helling rollen. We meten de afgelegde weg en de benodigde tijd en herhalen deze handeling voor telkens langere afstanden.
We zullen vaststellen dat de knikker steeds sneller gaat rollen tijdens zo’n afdaling. Hoe weet je dat met zekerheid? Kan je hier een hypothese over formuleren? Is er een verband tussen de snelheid en de tijd?
In de theorie over veranderlijke bewegingen hebben we gezien dat het soms nuttig is een veranderlijke beweging te benaderen door opeenvolgende eenparige bewegingen.
Dat doen we hier ook: we delen de beweging van de knikker in verschillende stukjes (nl. telkens een stukje afgelegde weg van 10,0 cm) en we bepalen voor elk van deze stukken afgelegde weg de gemiddelde snelheid door de tijdsduur voor elke 10,0 cm te meten. Dan zoeken we het verband tussen deze snelheid en de tijd die de knikker nodig had om deze snelheid te bereiken.
Dat doen we als volgt: -
de afgelegde weg van zo’n stukje is telkens zelfde: ∆s = sn - sn-1 = 10,0 cm
-
de tijdsduur is meten we met een elektronische chronometer met twee sensoren: ∆t = tn - tn-1
-
de gemiddelde snelheid voor elk stuk is de verhouding van de twee vorige metingen: = ∆s / ∆t
-
de tijd die de knikker nodig heeft om deze snelheid te bereiken is ongeveer de tijd tot het midden van elk stukje en die meten we nog eens afzonderlijk:
Welk verband stel je vast tussen de snelheid en de tijd ? We zoeken ook het verband tussen de afgelegde weg s en de tijd t. Wat voor s-t-grafiek krijg je? Ken je wiskundige grafieken met zo’n vorm? Hoe kan je nagaan of je grafiek écht zo’n wiskundige vorm heeft?
Waarom zou je / voor elk interval berekenen? Bereken ook s/t². Zie je enig verband tussen s/t² en / ? Bovenstaande berekeningen kan je best in een tabel doen: s (m)
∆s (m)
(s)
∆t (s)
² (s²)
(m/s)
/ (m/s²)
s/t² (m/s²)
0,700 0,750 0,800
0,100
0,973
0,071
0,0947
∆s/∆t
a = /
s/²
Deel 1: Bewegingen
13-d
Maak de volgende grafieken: s-t, s-t² en v-t en trek een besluit. Per definitie noemen we de versnelling (acceleratie) a = ∆v / ∆t . Hoe groot is a (gemiddeld) voor de uitgevoerde proef? Een beweging met een constante versnelling noemen we eenparig versneld.
In je grafiek stel je mogelijks een aantal afwijkende metingen voor ; kan je een verklaring geven voor dit mogelijks afwijkend resultaat?
Tot slot:
-
We hebben allemaal dezelfde metingen, maar iedereen stelt zijn eigen verslag op.
-
Pas de OVUR-methode toe: oriëntatie (titel, doel, hypothese), voorbereiding (werkwijze, opstelling, nauwkeurigheid meettoestellen), uitvoering (metingen en berekeningen, tabel, grafieken) en reflectie (besluit, foutenanalyse)
2b.2 De eenparig veranderlijke beweging Een eenparig veranderlijke beweging is een beweging met een constante versnelling.
-
We spreken van een eenparig versnelde beweging als de snelheid toeneemt.
-
We spreken van een eenparig vertraagde beweging als de snelheid afneemt.
Uit de voorgaande proef kan men besluiten dat het s-t-diagram van een eenparig veranderlijke beweging een parabool is. Het v-t-diagram van zo’n beweging is een rechte door de oorsprong. De versnelling van een eenparig versnelde beweging is de constante verhouding van de snelheidsverandering tot de tijdsduur:
a = ∆v / ∆t
eenheid van versnelling: [a] = [v] / [t] = m/s / s = m/s²
Bij een eenparig vertraagde beweging is de versnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Afgeleide formules:
∆v = ∆t =
met
∆v = v – v0
Indien v0 = 0 m/s (dwz. vertrek vanuit rust) dan is ∆v = v en indien ook t0 = 0 s worden de formules: a= v= t=
Deel 1: Bewegingen
13-e
2b.2.1 Oefening : Een vliegtuig wordt op een vliegdekschip vanuit rust met een katapult eenparig versneld om op te stijgen: in 2,00 s bereikt het vliegtuig een snelheid van 120 m/s. Bereken de versnelling.
2b.2.2 Oefening : Bereken de versnelling van een formule 1 wagen die om 13 h 12 min 24 s op de startlijn passeert met een snelheid van 45 m/s en dan eenparig versnelt tot hij om 13 h 12 min 32 s een snelheid bereikt van 77 m/s .
2b.2.3 Oefening : Een ruimteveer wordt eenparig versneld gelanceerd en bereikt op een hoogte van 300 km een snelheid van 27.000 km/h. Bereken de vliegtijd van de ruimteveer als die een versnelling heeft van 15 m/s².
2b.2.4 Oefening : Welke snelheid bereikt een lift die vanuit rust gedurende 2,5 s eenparig versnelt met een versnelling van 3,5 m/s² ?
a 2b.2.5 Het a-t-diagram
Bij een eenparig veranderlijke beweging is de versnelling ............................................. In een a-t-diagram wordt dit voorgesteld door een . . . . . ............................................. Teken het a-t-diagram van een fietser die gedurende 4,0 s Eenparig versnelt met een versnelling van 0,5 m/s². Teken in hetzelfde assenstelsel de versnelling van de knikker in de proef die we deden.
t
2b.2.6 De gemiddelde snelheid van een eenparig veranderlijke beweging
v
v ∆s ∆t
t
∆s
t
∆t
t ∆t
Het v-t-diagram van een eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid is een rechte door de oorsprong. De oppervlakte van de driehoek onder de rechte is de afgelegde weg (fig. 1). De oppervlakte onder de horizontale van de gemiddelde snelheid (fig. 2) is even groot als die van de driehoek als = v / 2. Dat is een eigenschap van driehoeken: de oppervlakte van een driehoek is de basis maal de hoogte gedeeld door twee: A = h.b / 2 (fig. 3).
De gemiddelde snelheid van een eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid is gelijk aan de helft van de eindsnelheid: Deel 1: Bewegingen
= v / 2 13-f
2b.2.7 De afgelegde weg van een eenparig veranderlijke beweging zonder beginsnelheid
= ∆s / ∆t
(definitie) v
en (eigenschap als v0 = 0 m/s)
= v / 2
∆s
∆s = v.∆t / 2
t
∆t en vermits v = a . ∆t
(eenparig veranderlijke beweging zonder beginsnelheid)
∆s = a . ∆t² / 2
Voor een eenparig veranderlijke beweging zonder beginsnelheid is:
∆s = a . ∆t² / 2
Welk verband is er tussen ∆s en ∆t² ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Welk verband is er tussen ∆s en ∆t ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Het s-t-diagram van een eenparig veranderlijke beweging is dus een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Merk op dat:
a = 2.∆s / ∆t²
(dit merkten we ook bij de proef met de knikker)
2b.2.8 Opgave : Een trein vertrekt vanuit stilstand met een eenparige versnelling van 2,0 m/s². Hoe groot is de afgelegde weg na 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s, 4,0 s en 5,0 s ? Teken het s-t-diagram. s (m) ∆t
∆s = a . ∆t² / 2
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s 4,0 s 5,0 s
t (s)
2b.2.9 Formules voor de eenparig veranderlijke beweging zonder beginsnelheid v = a . ∆t ∆s = a . ∆t² / 2 = ∆s / ∆t = v / 2 Deel 1: Bewegingen
13-g
Er zijn . . . . . . . . . . . . onafhankelijke formules en . . . . . . . . . . . grootheden. Men heeft dus . . . . . . . . . . . . . gegevens nodig om de andere grootheden eenduidig te bepalen.
2b.2.10 Oefening : Een ruimteveer wordt gelanceerd en versnelt eenparig gedurende 9,00 min. aan 15 m/s². Bereken de bereikte snelheid en de afgelegde weg.
2b.2.11 Oefening : Een vliegtuig vertrekt uit stilstand met een constante versnelling van 1,50 m/s². Hoe lang moet de startbaan minstens zijn als het vliegtuig een snelheid van 45 m/s moet halen om op te stijgen?
2b.2.12 Oefening : Een sneeuwlawine begint naar beneden te schuiven met een eenparige versnelling van 2,00 m/s² en botst 400 m lager tegen een rotswand . Bereken de snelheid waarmee de lawine botst.
2b.2.13 Oefening : Een motorijder vertrekt aan een rood licht en versnelt eenparig. Na 150 m heeft hij een snelheid van 30,0 m/s bereikt. Bereken zijn versnelling.
2b.2.14 Extra oefeningen
1) Een auto bereikt vanuit rust na 10 s eenparig versneld een eindsnelheid van 100 km/h. Bereken zijn versnelling [2,8 m/s²] 2) Een tram vertrekt uit stilstand en legt in 10 s eenparig versneld een weg af van 100 m. Bereken de versnelling. [2,0 m/s²] 3) Hoe lang duurt het voor een bus met een constante versnelling van 2,0 m/s² een snelheid bereikt van 36 km/h? Hoe groot is de afgelegde weg ondertussen? [5,0 s ; 25 m] 4) Teken het s-t-diagram en het v-t-diagram van een vliegtuig dat gedurende 5,0 s vanuit rust versnelt met 4,0 m/s². 4
5) Een kogel krijgt in de loop van een geweer een versnelling van 1,0.10 m/s². De loop is 80 cm lang. Met welke snelheid verlaat de kogel de loop? [1,3.10² m/s] 6) Een luchtdoelraket bereikt vanuit rust een snelheid van 3.600 km/h nadat hij een afstand van 1.000 m heeft afgelegd. Bereken de versnelling. [500,0 m/s²]
2b.3 De valbeweging 2b.3.1 De aard van de valbeweging De valbeweging wordt veroorzaakt door de zwaartekracht. Vanuit uit rust valt een voorwerp (richting) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . naar (zin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2b.3.2 Proef : we laten in het luchtledige tegelijkertijd een stuk metaal en een pluimpje vallen. Welk van de voorwerpen valt het snelst? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . omdat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................
Alle voorwerpen vallen even snel. Hun versnelling is even groot als er geen wrijving is met de lucht. Deel 1: Bewegingen
13-h
2b.3.3 Proef : We herhalen de proef van de knikker die van een helling rolt, maar laten de knikker nu vallen.
We stellen vast dat de vrije val (valbeweging vanuit rust en zonder wrijving) een eenparig versnelde beweging is met versnelling a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2b.3.4 Verband tussen m/s² en N/kg
Het dynamisch effect van een kracht is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De verandering van snelheid door een kracht is afhankelijk van de massa van het voorwerp: hoe groter de massa, hoe groter de kracht zal moeten zijn om het voorwerp een bepaalde versnelling te geven. Isaac Newton beschreef dat in zijn tweede wet:
F = m.a
Later zullen we leren dat 1 N de kracht is die nodig is om een massa van 1 kg een versnelling te geven van 1 m/s², dus om zijn snelheid elke seconde met 1 m/s te laten toenemen.
Dus
1 N = 1 kg . 1 m/s²
Of
1 N / kg = 1 m/s²
2b.3.5 De valversnelling
Voor een vrije val is
a=g=...................
De tweede wet van Newton kunnen voor de zwaartekracht dus ook schrijven als: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2b.3.6 Formules voor de vrije val zonder beginsnelheid
Deze formules zijn eigenlijk identiek aan die van de eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid. De afgelegde weg noemen we evenwel de valhoogte (h) en de versnelling is g = 9,81 m/s².
v = g . ∆t h = g . ∆t² / 2 = h / ∆t = v / 2
Er zijn . . . . . . . . . . . . onafhankelijke formules en . . . . . . . . . . . grootheden. Men heeft dus . . . . . . . . . . . . . gegeven nodig om de andere grootheden te bepalen.
Deel 1: Bewegingen
13-i
2b.3.7 Oefening : Een parachutist beoefend gedurende 3,00 seconden een vrije val. Wat is zijn snelheid en welke afstand heeft hij afgelegd in die tijd?
2b.3.8 Oefening : Men laat een steen in een waterput vallen en telt het aantal seconden tot men een plons hoort. Bedenk met g ≈ 10 m/s² een eenvoudige formule om de diepte van zo’n put te schatten.
2b.3.9 Oefening : Een steen valt van een 123 m hoog gebouw. Met welke snelheid komt hij op de grond terecht?
2b.3.10 Extra oefeningen
1) Je laat een baksteen van 1,00 kg van op een hoogte van 100 cm vallen. Hoeveel tijd heb je om je voet weg te trekken? Met welke snelheid raakt de baksteen anders je voet? [0,452 s ; 4,43 m/s = 15,9 m/s]
2) Teken het s-t-diagram van een vallend voorwerp. Noem de beginhoogte h0 en hou er rekening mee dat de hoogte vermindert tijdens de val.
3) Twee stenen vallen met een tussentijd van 1,50 s van op een hoogte van 19,6 m. Bereken hun valtijd. Teken beide valbewegingen in één s-t-diagram (dus h-t-diagram). Blijft de afstand tussen de twee stenen gelijk? Blijft het verschil in snelheid tussen beide stenen een constante? [2,00 s]
4) Een parachutiste springt vanop 981 m hoogte, maar parachute gaat niet open gaat omdat die gesaboteerd werd door een liefdesrivale. Bereken de snelheid waarmee de ongelukkige dame te pletter zou storten. Waarom wordt deze snelheid in realiteit niet gehaald? [139 m/s = 500 km/h]
5) Hoe hoog kan een astronaut op de maan springen als zijn afstootsnelheid 3,0 m/s bedraagt? [2,6 m]
Deel 1: Bewegingen
13-j
Begrippen •
Oppervlaktemethode
•
Veranderlijke beweging
•
Gemiddelde snelheid
•
Eenparig veranderlijke beweging, eenparig versnelde beweging, eenparig vertraagde beweging
•
Versnelling
•
a-t-diagram
•
Vrije val
•
Valversnelling, zwaartekracht veldsterkte
Kennen en kunnen •
Je kan de begrippen oppervlaktemethode, veranderlijke beweging, gemiddelde snelheid, eenparig veranderlijke beweging, eenparig versnelde beweging, eenparig vertraagde beweging, versnelling, a-t-diagram, vrije val, valversnelling en zwaartekracht veldsterkte uitleggen en gebruiken.
•
Je kan bewijzen dat in een s-t-diagram de oppervlakte onder de grafieklijn de afgelegde weg is, zowel voor een eenparige als voor een veranderlijke beweging.
•
Je kan correct een proef uitvoeren om de eenparig versnelde beweging te bestuderen en daarvan een verslag schrijven met een titel, een doel, een hypothese, een werkwijze (met benodigdheden, meetinstrumenten en hun nauwkeurigheid en met een proefopstelling), waarnemingen, metingen en berekeningen, een grafiek, de getrokken besluiten en een foutenanalyse.
•
Je kan correct een proef uitvoeren om de valversnelling te bepalen en daarvan een verslag schrijven met een titel, een doel, een hypothese, een werkwijze (met benodigdheden, meetinstrumenten en hun nauwkeurigheid en met een proefopstelling), waarnemingen, metingen en berekeningen, een grafiek, de getrokken besluiten en een foutenanalyse.
•
Je kent de grootte van de valversnelling in ons land: 9,81 m/s² en je kan uitleggen waarom dit overeenkomt met de veldsterkte van de zwaartekracht.
•
Je kent de tweede wet van Newton die het verband geeft tussen kracht, massa en versnelling.
•
Je kan voor een eenparige veranderlijke beweging de snelheid, afgelegde weg, tijdsduur en versnelling berekenen en daarbij de nodige eenheden omrekenen (km-m, h-min-s, km/h-m/s).
•
Je kan vraagstukken over de eenparige veranderlijke beweging en de vrijevalbeweging oplossen: gegeven en gevraagde onderscheiden, het gebruik van formules en SI-eenheden, rekenen met beduidende cijfers en nauwkeurigheid, en dat alles met een correcte notatiewijze.
•
Je weet dat voor de volledige berekening van een eenparig veranderlijke beweging minstens 2 onafhankelijke grootheden moeten gegeven zijn en voor de vrije val minstens één grootheid.
•
Je kan een eenparig veranderlijke beweging voorstellen in een s-t, een v-t-diagram en een a-tdiagram en je kan gegevens van een s-t, een v-t en een a-t-diagram aflezen en interpreteren.
•
Je weet dat een beweging die vertraagd is in de zin van de plaatsas een negatieve versnelling heeft.
•
Je kan bewijzen dat in een v-t-diagram de richtingscoëfficiënt van de rechte de versnelling is van de beweging.
Deel 1: Bewegingen
13-k
