2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

BAB 1 Vektor Fisika

Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

Sub Pokok Bahasan      

Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan Penjumlahan Vektor secara Analitis Perkalian Skalar Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran 

Mahasiswa mampu menentukan besar dan arah sebuah vector



Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi-operasi vector, seperti operasi jumlah, operasi titik, operasi silang dua buah vektor

Definisi Vektor 

Besaran Vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variable, yaitu BESAR dan ARAH. Contoh besaran vector adalah perpindahan.



Sebuah besaran vector dapat dinyatakan oleh huruf dicetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal 𝐴).



Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor 𝑅 𝑅 a

b

Penjumlahan Vektor 

Penjumlahan vector 𝑅 yang menyatakan perpindahan a ke b dan vector 𝑆 yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vector 𝑇 yang menyatakan b perpindahan a ke c.

𝑅 a



𝑇=𝑅 +𝑆

𝑇

𝑆 c

Cara menjumlahkan dua buah vector dengan mempertemukan ujung vector pertama, vector 𝑅 , dengan pangkal vector kedua, vector 𝑆 . Maka resultan vektornya, vector 𝑇, adalah menghubungkan pangkal vector pertama dan ujung vector kedua.

Besar Vektor Resultan 

Jika besar vector 𝑅 dinyatakan oleh R dan besar vector 𝑆 dinyatakan oleh S, maka besar vector 𝑇 sama dengan : T= 𝑅2 + 𝑆 2 − 2𝑅𝑆 cos 𝜃 (1.1) θ

𝑅

𝑇=𝑅 +𝑆 𝑇

𝑆

Sudut 𝜃 menyatakan sudut yang dibentuk antara vector 𝑅 dan vector 𝑆.

Pengurangan Vektor Untuk pengurangan vector, missal 𝐴 – 𝐵 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 𝐴 + (- 𝐵).  Vektor -𝐵 atau negatif dari vektor 𝐵 adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor 𝐵 tetapi arahnya berlawanan. 

𝐶

𝐶=𝐴–𝐵

𝐴

–𝐵 𝐵

Contoh 

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km. Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan besar perpindahan mobil tersebut ! N

B

S

U

20 km

10 km

E

40 km

Jawab : Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor 𝐴, perpindahan kedua dinyatakan vector 𝐵, dan perpindahan ketiga dinyatakan vector 𝐶 , maka perpindahan total dinyatakan vector 𝐷. 40 km 𝐵 10 km

𝐶

𝐴 20 km

10 km 40 km

Panjang vector 𝐷 adalah : |D| =

402 + 102 = 10 17 m

Vektor Satuan 𝑅  Vektor satuan didefenisikan sebagai : r = (1.2) 𝑅

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.  Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. 

◦ Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif ◦ Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif ◦ Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

Penulisan Vektor secara Analitis Rz R Ry Rx vektor dalam dua dimensi 

Vektor 𝑅 dinyatakan oleh 𝑅 = Rxi + Ryj + Rzk



Besar vector 𝑅 adalah 𝑅 =



Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

𝑅𝑥 2 + 𝑅𝑦 2 + 𝑅𝑧 2

Contoh 

Ry

Sebuah vector perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a) Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b) Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c) Panjang vector Jawab : y a) vector perpindahan : (-2,5) ujung R = (Xujung – Xpangkal)i + (Yujung –Ypangkal)j = (-2-2)i + (5-2)j (2,2)  = -4i + 3j pangkal x Rx

y

(-2,5) ujung

Ry

(2,2)



pangkal

x Rx

b)

Sudut yang dibentuk :

  tan c)

1

3  tan    37 o Rx 4

Ry

1

Besar vektor 𝑅

R  Rx  R y  32  4 2  5satuan 2

2

Penjumlahan Vektor secara Analitis 



Jika diketahui : vektor 𝐴 = XAi + YAj dan vektor 𝐵 = XBi + YBj, maka penjumlahan vektor 𝐴 + 𝐵 = (XA + XB)i + (YA + YB)j

Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku:

𝑅 = (X0 +…+Xi +… +Xn)i + (Y0 +…+Yi +… +Yn)j

(1.3)

yA + y B

yB yA

𝐵

𝐵 𝐴

xBxA

𝐴 xA + x B

Contoh 

Diketahui dua buah vektor.

𝐴 = 3i + 2j 𝐵 = 2i  4j Tentukan : a. 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 + 𝐵

b. 𝐴 - 𝐵 dan 𝐴 - 𝐵 Jawab : a. 𝐴 + 𝐵= 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j 𝐴 + 𝐵 = 52 + −2 2 = 29 b. 𝐴 - 𝐵= 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j 𝐴 - 𝐵 = 12 + 62 = 37

-B

A B A

B

Perkalian Skalar 





Perkalian scalar atau sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran scalar dimana berlaku : 𝐴 . 𝐵 = AB cos  (1.4) Jika diketahui 𝐴 = ax i + ay j + az k dan 𝐵 = bx i + by j + bz k, maka :

𝐴 . 𝐵 = axbx + ayby + azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah:

𝐴

i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.k=k.i=0 𝐵

Contoh Diketahui dua buah vektor, 𝐴= 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j. Tentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 dapat menggunakan persamaan (1.4). 𝐴∙𝐵 cos 𝜃 = 𝐴𝐵 𝐴 ∙ 𝐵= (3i + 4j) . (4i  2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vector 𝐴 = 32 + 42 = 5 Besar vector 𝐵 = 42 + (−2)2 = 20 

Cos

𝜃 =

𝐴∙𝐵 = 𝐴𝐵

4

2 4 = = 10 5 5 20 125

A

 B

Dengan demikian 𝜃 = 79.7°

Perkalian Vektor 

Perkalian vector atau perkalian silang dari dua buah vector menghasilkan besaran vector lain dimana berlaku :

𝐴x𝐵=𝐶 

Besar vector 𝐶 adalah : 𝐶 = AB sin 𝜃



Arah vektor 𝐶 selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk olek vector 𝐴 dan vector 𝐵. Untuk menentukan arah vector 𝐶 dapat diperhatikan gambar dibawah ini.



Diketahui bahwa hasil 𝐴 x 𝐵 tidak sama dengan 𝐵 x 𝐴. Walaupun besar vector hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B C=AB  B

C = -C’

A

 A

C’ = B  A

Perkalian Vektor 

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian silang adalah: ii=jj=kk=0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j

Perkalian Vektor 

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vector dapat menggunakan aturan tangan kanan.



Jika urutan perkalian dari dua vector (misal 𝐴 x 𝐵), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vector A ke vector B. ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vector tersebut.

Contoh Diketahui dua buah vektor. 𝐴 = 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j + k Tentukan : a) 𝐴x𝐵 b) Buktikan 𝐵 x 𝐴 = -𝐴  𝐵 Jawab : a) 𝐴 x 𝐵= (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k b) 𝐵 x 𝐴= (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = -𝐴  𝐵 (terbukti) 

Soal 1.

Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor 𝐴 = i + 2 j – k dan vektor 𝐵 = 3 i – 4 k !

2.

Tentukan panjang proyeksi dari vector 𝐴 = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor 𝐵 = i + 3 j – 4 k !

3.

Diberikan tiga buah vektor : 𝐴=1i+2j–k 𝐵=4i+2j+3k 𝐶=2j–3k Tentukan : a. 𝐴 . (𝐵  𝐶 ) b. 𝐴 . (𝐵 + 𝐶 ) c. 𝐴  (𝐵 + 𝐶 )

4.

Buktikan vektor 𝑅 = 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

Solusi 1. Menurut persamaan (1.5) 𝐴.𝐵= 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor 𝐴 : A  12  2 2  (1) 2  6 Besar vektor 𝐵 : B  32  (4) 2  5 Nilai sudut antara 𝐴 dan 𝐵 ditentukan oleh : A.B 7 Dengan demikian  = 55,1o cos    AB 5 6 2.

𝐴

 AB

𝐵

Panjang AB proyeksi 𝐴 besarnya :

menyatakan panjang terhadap 𝐵 yang

A.B 4.1  2.3  (1).(4) 14 AB  A cos     2 2 2 B 26 1  3  (4)

Solusi 3. a.) 𝐵  𝐶 = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i 𝐴 . (𝐵  𝐶 ) = (i + 2j – k) . (-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 b.) 𝐵 + 𝐶 = 4i + 4j Nilai A . (𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 c.) 𝐴  (𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k 4. Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : 𝑅 . 𝑆= RS cos 90o = RS . 0 = 0 𝑅 . 𝑆= RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui 𝑅= 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k, maka : 𝑅 . 𝑆= 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0