2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

KINEMATIKA

Fisika

Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran posisi, kecepatan, dan percepatan sebuah partikel untuk kasus 1 -D dan 2-D 

KINEMATIKA Fisika

Mekanika

Kinematika

Dinamika

Optik

Listrik

Dll

KINEMATIKA 

Kinematika adalah cabang ilmu Fisika yang membahas gerak benda tanpa memperhatikan penyebab gerak benda tersebut. Penyebab gerak yang sering ditinjau adalah gaya atau momentum.



Pergerakan suatu benda itu dapat berupa translasi atau perpindahan, rotasi, atau vibrasi. Dalam bab ini, dibahas mengenai gerak translasi dan rotasi saja. Sedangkan gerak vibrasi akan dibahas pada bab selanjutnya yang berkaitan dengan gerak harmonik.

KINEMATIKA Ada 3 besaran fisis yang digunakan untuk mengetahui gerak sebuah partikel yaitu :  Posisi (r), satuannya meter posisi relatif, perpindahan (r), jarak tempuh  Kecepatan ( v ), satuannya m/s kecepatan ratarata (vrata-rata) dan sesaat ( v )  Percepatan ( a ), satuannya m/s2 percepatan rata-rata (arata-rata) dan sesaat (a)

GERAK TRANSLASI Contoh dari gerak translasi : menggeser meja dari suatu tempat ke tempat yang lain, mobil bergerak dari kota A ke kota B, dan sebagainya. Contoh dari gerak rotasi : Bumi mengelilingi Matahari, elektron mengelilingi inti atom, putaran baling-baling helikopter, dan lain-lain.

POSISI   

Suatu perpindahan benda dicirikan oleh perubahan posisi dari benda tersebut. Perubahan posisi benda selalu dinyatakan dalam parameter waktu. Posisi : X = f(t)

Gerak Translasi Gambar di bawah ini menyatakan kordinat dari posisi bis pada waktu tertentu. Dari gambar diperoleh pada jam 7.00 posisi bis masih di Bandung. Satu jam kemudian posisinya berada di Ciranjang. Jam 9.00 berada di kota Cianjur. Dan jam 10.00 sudah berada di Jakarta. Jakarta

Cianjur Ciranjang Bandung

7.00

8.00

9.00

10.00

waktu

Gerak Translasi Contoh fungsi posisi terhadap waktu:

X t   2t 2  2t  1

 

X t   ln t 2

untuk t  1

Persamaan posisi sebagai fungsi waktu di atas adalah dalam kerangka satu dimensi, karena benda hanya bergerak dalam arah koordinat X saja. Untuk kerangka dua dimensi atau tiga dimensi posisi tersebut harus dinyatakan dalam bentuk vektor dalam komponen arah sumbu koordinat X, komponen sumbu koordinat Y, dan komponen sumbu koordinat Z.

Gerak Translasi Dua dimensi : R(t) = X(t) i + Y(t) j Contoh : R(t) = t i + (t + 1)j R(t) = r(cos t i + sin t j) Tiga dimensi : R(t) = X(t) i + Y(t) j + Z(t) k Contoh : R(t) = t i + (t + 1)j  k R(t) = r(cos t i + sin t j) + k

y

5

3

1 0

2

4

t=0

t=2

t=4

x

KECEPATAN Besaran lain dalam gerak translasi yang menyatakan perubahan posisi terhadap waktu adalah kecepatan (velocity). Umumnya posisi dinyatakan dalam bentuk vektor (kecuali untuk gerak satu dimensi), maka kecepatan juga merupakan besaran vektor. Kecepatan sebuah benda sama dengan turunan pertama dari posisi terhadap waktu.

Kecepatan :

v t 

dr  t  dt

Contoh : Posisi : r(t) = t i + (t – 1)2 j – k kecepatan : v(t) = i + (t  1) j

KECEPATAN Kecepatan rata-rata :

v

Δr  t  Δt



r  t   r  t0  t  t0

Sehingga persamaan posisi dapat dinyatakan :

r(t) = r0 + v.t Untuk persamaan posisi dalam satu dimensi :

X(t) = X0 + v.t r(t0) dan X(t0) menyatakan posisi pada keadaan awal

GERAK LURUS BERATURAN (GLB) Gerak lurus beraturan adalah gerak perpindahan benda pada garis lurus dan mempunyai kecepatan konstan. Persamaan gerak lurus beraturan dinyatakan oleh : x(t) = xo + vt

xo : posisi awal v : kecepatan

X

Jika sebuah benda mengalami GLB, maka grafik X – T berupa garis lurus. Kemiringan fungsi x(t) dinyatakan oleh : dx(t)  v(t)  kons tan dt

Xo t

CONTOH Sebuah benda bergerak dalam bidang XY yang dinyatakan oleh : x(t) = 2t3  t2 ; y(t) = 3t2 – 2t + 1 Tentukan : a. Komponen kecepatan untuk masing-masing arah b. Besar kecepatan pada t = 1 detik Jawab : dx dy = 6t2 – 2t m/s a. vx = = 6t – 2 m/s vy = dt dt b. vx(1) = 6.12 – 2.1 = 4 m/s vy(1) = 6.1 – 2 = 4 m/s, maka besar kecepatan : v = 4 2  4 2  4 2 m/s

PERCEPATAN Percepatan (acceleration) adalah perubahan kecepatan terhadap waktu dan merupakan besaran vektor. Percepatan sebuah benda adalah turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu, atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu.

Percepatan:

Percepatan rata-rata :

a t  a

dv(t )  dt

d2 r  t  dt 2

Δvt  vt   vt 0   Δt t  t0

GLBB Gerak lurus berubah beraturan (GLBB) adalah gerak translasi/perpindahan benda pada garis lurus dan mempunyai percepatan konstan. Persamaan gerak lurus berubah beraturan dinyatakan oleh : x(t) = xo + vot + ½at2 xo : posisi awal vo : kecepatan awal a : percepatan

GLBB Percepatan a bernilai negatif

X

X t

o

X Percepatan a bernilai positif

X o

t

KINEMATIKA Secara umum ada 3 kasus kinematika yaitu : 1. Posisi diketahui, kecepatan dan percepatan dicari dengan cara posisi diturunkan. 2. Kecepatan diketahui, ada informasi posisi pada t tertentu. Percepatan dicari dengan cara mendeferensialkan v dan posisi dicari melalui integrasi v. 3. Percepatan diketahui, ada informasi posisi dan kecepatan pada t tertentu. Kecepatan dan posisi diperoleh melalui integrasi a.

CONTOH 1 Sebuah partikel bergerak pada garis lurus (sumbu X). Percepatan gerak berubah dengan waktu sebagai a(t) = 12 t2 ms-2. a. Hitung v pada t = 2 s, jika pada t = 0 benda diam. b. Tentukan x(t) jika diketahui pada saat t = 2 s benda ada pada posisi x = 1 m. c. Tentukan laju benda ketika benda tepat menempuh jarak 66 m.

SOLUSI (1) a. Kecepatan v(t) =

2 3 a(t) dt  12t dt  4t  vo  

Nilai vo dapat ditentukan dari syarat awal pada t = 0 kecepatan v = 0. v(0) = 4(0)3 + vo = 0. Sehingga diperoleh vo = 0. Dengan demikian v(t) = 4t3 m/s. Pada t = 2 detik nilai kecepatan v(2) = 4.23 = 32 m/s 3 4 v(t) dt  4t dt  t  xo b. Posisi x(t) =   Nilai xo dapat ditentukan dari syarat awal pada t = 2 detik posisi benda pada x = 1 m. Nilai x(2) = 24 + xo = 1. Sehingga diperoleh xo = -15. Dengan demikian diperoleh x(t) = t4 – 15.

SOLUSI (2) c. x(t) = 66 = t4 – 15 t4 – 81 = 0 atau t = 3 detik Kecepatan pada t = 3 detik adalah v(3) = 4.33 = 108 m/s

CONTOH 2 1. Sebuah benda titik bergerak di sumbu X. Kecepatan sebagai fungsi dari waktu terlihat pada grafik di bawah ini. 10v(m/s) Pada t = 0 benda berada di x = 2 m 6 1

3

5

8

t(s)

-5

a. Gambarkan grafik a(t) dalam selang t = 0 dan t = 8 detik ! b. Berapakah x8 – x0 ? c. Berapakah panjang lintasan yang ditempuh selama selang t = 0 sampai t = 8 detik ?

SOLUSI (1) 10

v(m/s)

6 1

3

5

8

t(s)

-5

1. a. Kecepatan : 10t  10  v   5t  25  5

0  t 1 1 t  3 3t6 6t8

SOLUSI (2) Untuk selang 0 < t < 1, v(t) = 10t. Percepatan :

dv( t ) d a( t )   10t   10 dt dt Untuk selang 1 < t < 3, v(t) = 10. Percepatan : dv( t ) d a( t )   10  0 dt dt Untuk selang 3 < t < 6, v(t) = -5t + 25. Percepatan :

dv( t ) d a( t )    5t  25  5 dt dt

SOLUSI (3) Untuk selang 6 < t < 8, v(t) = -5. Percepatan :

dv( t ) d a( t )    5  0 dt dt Dengan demikian, grafik a(t) : 10

a(m/s)

6 1 -5

3

5

8

t(s)

SOLUSI (4) 1. b. Untuk menentukan selisih jarak x8 – x0 dengan menghitung luas dari daerah yang dibentuk oleh fungsi v(t) dan sumbu t. Untuk daerah pada harga v(t) positif, artinya terjadi pertambahan jarak. Sedangkan untuk harga v(t) negatif, terjadi pengurangan jarak. Dengan demikian selisih jarak x8 – x0 dapat ditentukan dengan mengurangi luas daerah A dikurangi daerah B di bawah ini : v(m/s) Luas A = ½.(2 + 5).10 = 35 10 A

Luas B = ½.(2 + 3).5 = 12,5 6

1 -5

3

5

8

B

t(s)

SOLUSI (5) Luas A – luas B = 22,5. Dengan demikian selisih jarak x8 – x0 = 22,5 m 1. c. Untuk menentukan panjang lintasan dari t = 0 sampai t = 8 detik dapat dicari dengan menghitung luas total yang dibentuk fungsi v(t) dan sumbu t dari t = 0 sampai dengan t = 8 yang besarnya sama dengan Luas A + luas B = 47,5. Dengan demikian panjang lintasan sama dengan 47,5 m.

GERAK DUA DIMENSI Contoh dari gerak dua dimensi adalah gerak peluru dan gerak melingkar.  Gerak peluru adalah gerak benda pada bidang XY di bawah pengaruh gravitasi (pada sumbu-y) dan gesekan udara (sumbu-x).  Gerak pada sumbu X : x = xo + voxt  Gerak pada sumbu Y : y = yo + voyt - ½gt2  vox = vo cos   voy = vo sin   Dengan (xo, yo) adalah posisi awal, (vox, voy) kecepatan awal, dan g adalah percepatan gravitasi. 

GERAK PELURU

Titik tertinggi terjadi pada saat kecepatan vy(t) = vo sin  - gt = 0. Dengan demikian titik tertinggi terjadi pada saat :

v0sin t g

CONTOH 1 Sebuah bola golf dipukul sehingga memiliki kecepatan awal 150 m/s pada sudut 45o dengan horizontal. Tentukan : a. Tinggi maksimum yang dapat dialami bola golf tersebut dari permukaan tanah b. Lama waktu bola berada di udara c. Jarak dari saat bola dipukul sampai kembali ke tanah

SOLUSI(1) a.

Tinggi maksimum diperoleh pada saat vy(t) = 0, yaitu pada :

75 2 75 2  75 2  gt = 0. Diperoleh tmax = = 7,5 2 s g 10 Ketinggian ymax = vo sin .tmax  ½ g tmax2 2  ½.10.(7,5 ) 2 2 2 .7,5 = 150. ½ = 1125 – 562,5 = 562,5 m b. Lama waktu bola di udara adalah waktu t pada saat bola jatuh ke tanah, yaitu pada y = 0. y = 75 2 t ½gt2 = 0. Diperoleh t = 15 2 detik

SOLUSI(2) c. Jarak tempuh bola sampai ke tanah sama dengan x = vocos. t. Dengan t menyatakan selang waktu bola golf sejak di lempar sampai kembali ke tanah. Diperoleh x = 75 2 .15 2 = 2250 m

CONTOH 2 Sebuah benda bergerak dalam bidang XY sebagai fungsi t : x(t) = 2t3  t2 m dan y(t) = 3t2 – 2t + 1 m, t dalam detik. Tentukan : a. Komponen kecepatan untuk masing-masing arah b. Besar kecepatan pada t = 1 detik c. Waktu ketika kecepatan nol d. a(t) e. Waktu ketika arah a sejajar dengan sumbu Y

SOLUSI dx = 6t2 – 2t dt

vx =

b.

vx(1) = 6.12 – 2.1 = 4 m/s vy(1) = 6.1 – 2 = 4 m/s, maka besar kecepatan :

c.

v = v x  v y  4 2 m/s Waktu pada kecepatan sama dengan nol, berarti waktu pada vx = vy = 0, yaitu pada t = 31 detik 2

d. e.

vy =

dy = 6t – 2 dt

a.

2

dv x dv y i j = (12t – 2)i + 6j m/s a(t) = dt dt

Arah a sejajar sumbu Y berarti ax = 12t – 2 = 0, yaitu pada t = 61 detik

Gerak Melingkar Gerak melingkar adalah gerak pada bidang dengan lintasan berupa lingkaran. Posisi benda dari gerak pada bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor :

r(t) = r [cos(t + o)i + sin(t + o)j]

r(t) = r r Konstanta  menyatakan kecepatan sudut, o menyatakan sudut awal, dan r menyatakan vektor satuan dari r(t). r menyatakan jari-jari lintasan yang besarnya konstan. Pada saat = 0, berlaku :

ro(t) = r [cos o i + sin o j]

Koordinat Polar Berlaku :

xo = r cos o yo = r sin o Dengan putaran n (xo, yo) adalah posisi awal. Arah berlawanan arah jarum jam.

Untuk memudahkan perhitungan dalam mencari persamaan gerak rotasi, suatu posisi dapat dinyatakan dalam koordinat polar.

yo

r o

xo

Berbeda dengan koordinat Kartesius, posisi dari suatu titik dinyatakan oleh jarak dari titik tersebut dengan titik pusat dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif.

Koordinat Polar Vektor posisi dalam koordinat polar dinyatakan dalam : r(t) = r(t) ar Dengan r(t) menyatakan jarak titik pusat ke titik posisi sebagai fungsi waktu dan vektor satuan rr menyatakan arah dari vektor r(t) yang arahnya berubah terhadap waktu. Untuk gerak melingkar, jarak r(t) besarnya konstan yang dinyatakan sebagai jari-jari lintasan r.

yo

ar r o xo

Gerak Melingkar Kecepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh :

de r dRt  vt   R dt dt

Karena R konstan, maka yang berubah terhadap waktu adalah arah vektor/vektor satuan. Diketahui dari slide sebelumnya : er = cos(t + o)i + sin(t + o)j Jika o = 0, diperoleh : er = cos t i + sin t j

de r = (-sin t i + cos t j) Maka : dt

Gerak Melingkar Atau :

de r = [cos(t + 90o)i + sin(t + 90o)j] = e dt e yo

er

R o xo

Vektor satuan e menyatakan arah tegak lurus dengan vektor satuan er seperti pada gambar samping. Dengan demikian kecepatan dalam gerak melingkar sama dengan :

v(t) = R e

Gerak Melingkar Dengan demikian besar kecepatan v = r dengan arah tegak lurus vektor posisi. Arah dari kecepatan merupakan garis singgung dari lintasan lingkaran. a yo

ar

r o xo

Vektor satuan a menyatakan arah tegak lurus dengan vektor satuan ar seperti pada gambar samping. Percepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh : a t 

dv  t  dt

r

d (ωa ) dt

Gerak Melingkar Beraturan Gerak melingkar beraturan terjadi jika  yang menyatakan kecepatan sudut konstan. Kecepatan sudut adalah turunan sudut terhadap waktu.

dθt  d  ωt  θ o   ω dt dt Jika  konstan maka percepatan : dv  t  da a t   ωr dt dt

da = -(cos t i + sin t j) = -ar dt

Dengan demikian besar percepatan a = 2r dengan arah berlawanan vektor posisi (-ar).

Gerak Melingkar Percepatan yang demikian disebut percepatan sentripetal, yang dicirikan arahnya menuju titik pusat. Jika  tidak konstan, maka percepatan menjadi : dv  t  de dω a t   ωr  ra  ω2rar  rαa dt dt dt Dengan  menyatakan percepatan sudut yang merupakan turunan pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu. Percepatan yang searah dengan arah kecepatan (a) disebut percepatan tangensial.

CONTOH Sebuah roda berotasi murni mengelilingi porosnya. Sebuah titik P yang berjarak 0,2 m dari sumbu rotasi menempuh sudut (dalam radian) sebagai berikut :  = (t3)/3 – (t2)/2  2t (t dalam sekon) Tentukan :

a. Kecepatan dan percepatan sudut titik P pada t = 2s b. Laju titik P pada t = 2 s c. Percepatan tangensial dan sentripetal titik P pada t = 2 s

SOLUSI Jawab : dθt  a. Kecepatan sudut :  = = t2 - t - 2.

dt

Pada t = 2 s diperoleh  = 0. b. Laju titik P pada t = 2 s adalah v = 0.0,2 = 0

c. Percepatan tangensial dan sentripetal titik P pada t = 2 s adalah : as = 2.r = 0 at = r Dengan  menyatakan percepatan sudut yang dωt  besarnya adalah  = = 2t - . Saat t = 2 s dt

diperoleh  = 3. Dan at = 0,6 m/s2