10/9/2013
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
Persamaan & Fungsi logaritma Tim Dosen Matematika FTP
• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan x) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik. • Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangannya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3
FUNGSI loga Jika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka y = loga x = alog x x = ay Semula bilangan 10 dipakai sebagai bil.pokok logaritma menjadi bias Utk kalkulus (matematika lanjutan) bilangan e sbg bil.pokok logaritma fungsi loge sbg f(x) = ex, adl lambang lain ln logex = ln x
Apabila y = alog x x = ay, shg ln x = y ln a alog
Pengertian Logaritma alog
x = y artinya x = ay Keterangan: a disebut bilangan pokok / basis x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan a > 0 y disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis
x = ln x/ ln a
1
10/9/2013
Basis Logaritma
Logaritma dengan basis 10 • Pada bentuk alog x = y, maka: 10log x = y cukup ditulis log x = y. • Basis 10 pada logaritma tidak perlu dituliskan. • Contoh: 10log 3 dituliskan log 3 10log 5 dituliskan log 5
• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu. • Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs) • Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier • ln x berarti elog x
Logaritma
Kaidah-kaidah Logaritma
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. Bentuk pangkat a x y
Bentuk akar y
x a
Bentuk Logaritma a
log x y
1.
a
log a 1
6.
2.
a
log 1 0
a
log
3.
log a x
7.
a
4.
a
log xm m a log x
9.
a
log m m log n n log a 1
5. Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
x
a a log x x
a
log m.n
a
log m a log n
m a log m a log n n 8. a log m m log a 1 m
10.a log n xm a log(x) n
11. a log x
x
ma log x n
1 log a
2
10/9/2013
Contoh Soal 1. Jika 2log x = 4 Tentukan nilai x = …. Jawab: 2log x = 4 x = 24 x = 16
Contoh Soal 3. Nilai dari 2log 32 + 3log 81 = …. Jawab: = 2log 32 + 3log 81 = 2log 25 + 3log 34 = 5+4 = 9
Contoh Soal 2. Jika 3log 27 = x Tentukan nilai x = …. Jawab: 3log 27 = x 3x = 27 3x = 3 3 x = 3.
Contoh Soal 4. Nilai dari 2log (8 x 16) = …. Jawab: = 2log 8 + 2log 16 = 2log 23 + 2log 24 = 3+4 = 7
3
10/9/2013
Contoh Soal
Contoh Soal
5. Nilai dari 3log (81 : 27) = ….
Jawab: = 2log 165 = 5 x 2log 24 =5x4 = 20
Jawab: = 3log 81 - 3log 27 = 3log 34 - 3log 33 = 4-3 = 1
Contoh Soal
Contoh Soal 8. Jika log 1000 = x Tentukan nilai x = ….
7. Nilai dari 2log 84 = …. Jawab: = 2log 84 = = 2 x 2log 23 =2x3 =6
4 2
6. Nilai dari 2log 165 = ….
2log
8
Jawab: log 1000 = x 10x = 1000 10x = 103 x=3
4
10/9/2013
Soal
Soal log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699 Berapa nilai log 5 + log 8 + log 25?
log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301 Berapa nilai log 18 ?
= log 5 + log 8 + log 25 = log 5 + log 23 + log 52 = log 5 + 3.log 2 + 2.log 5 = 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699) = 0,699 + 0,903 + 1,398 = 3,0
log 18 = log 9 x 2 = log 9 + log 2 = log 32 + log 2 = 2 (0,477) + 0,301 = 0,954 + 0,301 = 1,255
Bentuk persamaan logaritma
Soal
Bentuk a log f ( x)a log m, dengan a 0, a 1
log 3 = 0,477 dan log 5 = 0,699. Berapa nilai log 135? log 135 = log (27 x 5) = log 27 + log 5 = log 33 + log 5 = 3(0,477) + 0,699 = 1,431 + 0,699 = 2,130
a
log f(x) a logm
jika
a
log f(x) a logm, f(x) 0,maka f(x) m Tentukan penyelesaian 2 log(x 2) 4 jawab : 2
log(x 2) 4
2
log(x 2) 2 log 24 x 2 24 x 18
Jadi penyelesaian
2
log(x 2) 4 adalah x = 18
5
10/9/2013
Bentuk persamaan logaritma Bentuk a log f ( x)b log f ( x), dengan a 0, a 1, dan a b a
a
a
log f(x) a log g(x)
jika
log f(x) b log f(x)
jika
Bentuk persamaan logaritma a
log f(x) a log g(x), a>0, a 1, f(x) 0 dan g(x) 0
maka f(x) g(x)
log f(x) b log f(x), a b,maka f(x) 1
Tentukan penyelesaian
Tentukan penyelesaian l og(x 3) log(x 3) 2
4
2
7
lo g(x 3) log(x 3) 4
2
l og(x 2 2x 3) 7 log(4x 2) x 2 2x 3 4x 2
x 2 -3 =1
x 2 6x 5 0
x2 = 4
(x 1)(x 5) 0
x = 2 atau x = 2
x 1 atau x = 5
Jadi penyelesaian l og(x 2 3) 4 log(x 2 3)
Jadi penyelesaian
adalah x = 2 atau x = 2
adalah x 1 atau x = 5
Bentuk persamaan logaritma f(x)
log g(x)
jika
f(x)
f(x)
l og(x 2 2x 3) 7 log(4x 2)
jawab :
jawab : 2
7
7
l og(x 2 2x 3) 7 log(4x 2)
Bentuk persamaan logaritma
logh(x)
log g(x)
f(x)
logh(x), f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0
dan f(x) 1, maka g(x) h(x) Tentukan penyelesaian
x 1
l og(x 2)
x 1
2
Bentuk A a log x B a log x C 0
log(x 2 3x 2)
jawab : x 1
l og(x 2)
x 1
dimisalkan y= a log x. Dari pemisalan diperoleh
log(x 2 3x 2)
x + 2 = x 3x 2
Ay2 By C 0. Nilai y yg diperoleh,
x 2 2x 0
substitusi kembali pada pemisalan
2
x(x 2) 0 x 0 atau x = -2 uji dengan syarat Jadi penyelesaian
x 1
l og(x 2)
x 1
y= a log x, sehingga diperoleh nilai x
log(x 2 3x 2)
adalah
6
10/9/2013
Tentukan penyelesaian
4
l og2 x 4 log x 3 2 0
Contoh soal
jawab : 4
l og2 x 4 log x 3 2 0
4
l og2 x 3 4 log x 2 0
misal y =
4
a f ( x ) b g ( x ) f ( x) log a g ( x) log b
log x,maka :
y2 3y 2 0 (y 1)(y 2) 0 y 1 atau y = 2 untuk mendapatkan nilai x, substitusi nilai y ke y= 4 log x
• Bilangan pokok beda, pangkat beda diselesaikan dengan logaritma
y 1 4 log x 1,sehingga x 4 4
x log 4 x log 3 log 3 log 4 x(log 4 log 3) log 12 4 log 12 3 log 12 4 3 x log 12 log 4 3
l og 2 x 4 log x 3 2 0
adalah x 4 atau x = 16
Grafik logaritma asli Fungsi logaritma : Fungsi f yang memetakan x ke a log x atau dapat dituliskan f:x a log x atau f(x)= a log x , dengan a>0, a≠1, dan x>0 Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0
1.
x log 4 log 4 x log 3 log 3
x log
y 2 4 log x 2,sehingga x 16 Jadi penyelesaian
4 x 1 3x 1 (x 1)log 4 (x 1)log 3
Hubungan Fungsi Exponensial (y = bx) & Logaritma (y = logbx) y = bx Domain: semua bil
• y = blog x adl invers dari y = bx • Domain: x > 0
real Range: y > 0 • Range: semua bil real x-intercept: tidak ada • x-intercept: (1, 0) y-intercept: (0, 1) • y-intercept: tidak ada
7
10/9/2013
Hubungan Fungsi Exponensial (y = bx) & Logaritma (y = logbx)
Grafik y = alog x , untuk 0 < a < 1 Fungsi y =1/2log x memiliki sifat-sifat: • terdefinisi untuk semua x >0; • jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positif; • untuk x = 1, y = 0 • untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatif. Jika x semakin besar, maka y semakin kecil;
Grafik y = alog x , untuk 0 < a < 1
Grafik y = alog x, untuk a > 1 Fungsi y = 2log x memiliki sifat-sifat: • terdefinisi untuk semua x >0; • jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatif; • untuk x = 1, y = 0 • untuk x lebih besar dari 1, y berharga positif. Jika x semakin besar, maka y semakin besar pula
8
10/9/2013
Grafik y = alog x, untuk a > 1
9
