2013

Tomáš Karel LS 2012/2013

Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál – není v nich obsaženo zdaleka všechno, co byste měli umět. Dalším studijním materiálem je učebnice, cvičebnice a také poznámky z přednášek a cvičení!

Tomáš Karel - 4ST201

15.10.2013

2

cv.

Program cvičení

1.

Úvod, popisná statistika

2.

Popisná statistika

3.

Míry variability, pravděpodobnost

4.

Pravděpodobnost, náhodné veličiny a jejich charakteristiky

5.

Pravděpodobnostní rozdělení

6.

TEST, odhady parametrů

7.

Testování hypotéz

8.

Chí – kvadrát test dobré shody, kontingenční tabulky, ANOVA

9.

Regrese

10. Regrese, korelace 11. TEST, časové řady (bazické a řetězové indexy) 12. Časové řady 13. Indexní analýza



Absolutní

◦ Rozptyl – kvadratická odchylka od průměru  (Klasický) rozptyl – známe všechny hodnoty všech jednotek

(v každém městě je pouze 10 obyvatel)

n

1 s   (x i  x) 2 n i 1 2 x

 Výběrový rozptyl –

známe pouze některé hodnoty ze souboru (v každém městě je víc jak 10 obyvatel)

1 n s´  (x i  x) 2  n  1 i 1 2 x

◦ Směrodatná odchylka – je druhá odmocnina z rozptylu s x nebo s´x ◦ Variační rozpětí 

- nejvyšší hodnota mínus nejnižší

R  x max  x min

Relativní

◦ Variační koeficient –

směrodatná odchylka dělená průměrem

Vx 

sx s´ ,nebo V´x  x x x

Máme informace o • skupinových četnostech • skupinových průměrech • skupinových rozptylech Celkový průměr

k

x

n x i

i 1

k

s 2x 

 (x

n

i 1

 x) n i

k

n i 1

i

Meziskupinová variabilita

i

s2x  s2x  s2 k

2

i

i

k

i 1

Celkový rozptyl

ni xi s 2ix

s2 

s i 1 k

ix

ni

n i 1

i

Vnitroskupinová variabilita

Pokud místo skupinových absolutních četností ni máme k dispozici skupinové relativní četnosti pi, používáme pro výpočet celkového rozptylu



místo vzorce k

s  2 x

 (x i 1

 x) n i

i k

 ni i 1



k

2



s i 1 k

ix

ni

 ni

k

vzorec

s   (x i x) pi  2 x

2

i 1

k

2

2 s  ix pi i 1

i 1

Výpočet rozptylu z variačního koeficientu a průměru

s2x  (Vx x)2 

resp. sm. odchylky z variačního koeficintu a průměru

s x  Vx x

Obchodní řetězec odebírá určitý výrobek, jehož cena v průběhu roku sezónně kolísá, od dvou stálých dodavatelů (A a B). Průměrná cena za celý rok od dodavatele A je 9 CZK, její směrodatná odchylka činí 2 CZK, od dodavatele A se nakoupilo 1000 kusů. U dodavatele B činí průměrná cena 10 CZK při směrodatné odchylce 1 CZK, nákup od dodavatele B byl 4000 kusů. Určete a.) variační koeficient vyjadřující variabilitu kolísání nákupní ceny během roku souhrnně za oba dva dodavatele dohromady. b.) zjistěte, zda se na celkové variabilitě nákupní ceny větší měrou podílí průběžné sezónní kolísání cen výrobku u jednotlivých dodavatelů v rámci roku nebo zda jsou důležitější rozdíly mezi průměrnými cenami jednotlivých dodavatelů.

xi

ni

s ix2

Výrobce A

9

1 000

22=4

Výrobce B

10

4 000

12=1

Celkový průměr:

x

Meziskupinová variabilita:

k

s 2x 

 (x i 1

n1x1  n 2 x 2 1000  9  4000 10   9,8 n1  n 2 5000  x) 2 n i

i k

n i 1

Vnitroskupinová variabilita:



(9  9,8) 2 1000  (10  9,8) 2  4000 640  160 8   1000  4000 5000 50

i k

s  2

s i 1 k

ni

n i 1

Celkový rozptyl:

2 ix

22 1000  12  4000 8   5000 5

i

s 2x  smeziskup.  s vnitroskup.  s 2x  s 2 

Variační koeficient:

8 8 88    1, 76 50 5 50

Vx 

sx 1, 76   0,135 x 9,8

B) zjistěte, zda se na celkové variabilitě nákupní ceny větší měrou podílí průběžné sezónní kolísání cen výrobku u jednotlivých dodavatelů v rámci roku nebo zda jsou důležitější rozdíly mezi průměrnými cenami jednotlivých dodavatelů.

protože

8 8  je s 2  s 2x 5 50

Vnitroskupinová variabilita je větší, než meziskupinová

=> Sezónní kolísání cen je důležitější

Soubor o 6 hodnotách má průměr 12 a rozptyl 4,667. Jak se změní průměr a rozptyl souboru, pokud do souboru přibude hodnota 15?

x starý  12 s 2x starý  4, 667 6  x starý  15

6 12  15 x nový    12, 43 7 7 6 7  2 2 2 x  15 x  i   i 2 s 2x nový  i 1  x nový   i 1   12, 432  7 7 6  (4, 667  122 )  152   12, 432  5, 07 7

Náhodný pokus pokus, jehož výsledek se i při dodržení podmínek mění, tj. jehož výsledek závisí na náhodě (např. hod kostkou). Náhodný jev výsledek náhodného pokusu (např. na kostce padla šestka). Náhodný jev budeme značit většinou velkými písmeny, např. A, B atd. Pravděpodobnost náhodného jevu A budeme označovat jako P(A). Jev jistý (označíme např. jako nebo E) Jev, jež nastane vždy, tj. při každém opakování náhod. pokusu (např. na kostce padne nějaké číslo z 1, 2, 3, 4, 5, 6), P() =1 Jev nemožný (označíme jako Ø) Jev, jež nikdy nenastane (např. na kostce padne číslo 7), P(Ø ) = 0

Elementární jev nelze vyjádřit jako sjednocení (viz. další slide) dvou jevů, jež jsou různé od tohoto jevu. Doplňkový (opačný) jev k jevu A (označíme A) Jev jež nastane právě, když nenastane jev A, P( A ) = 1 - P( A )

Jednou hodíme klasickou hrací kostkou. Znázorněte pomocí Vennových diagramů následující jevy: a)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček

b)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček dělitelných třemi

c)

jev C spočívající v padnutí šesti teček, jestliže jev A znamená padnutí sudého počtu teček a jev B padnutí pěti nebo šesti teček

d)

jev D spočívající v padnutí více než šesti teček (jev jistý značíme E a jev nemožný Ø)

a)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček

b)

jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček dělitelných třemi

c)

jev C spočívající v padnutí šesti teček, jestliže jev A znamená padnutí sudého počtu teček a jev B padnutí pěti nebo šesti teček

d)

jev D spočívající v padnutí více než šesti teček



KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI ◦ říká, že pravděpodobnost nějakého jevu je rovna podílu počtu výsledků, jež jsou danému jevu příznivé, ku celkovému (konečnému) počtu výsledků, jež jsou apriori stejně pravděpodobné.



STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI ◦ říká, že pravděpodobnost nějakého jevu je relativní četností výskytu tohoto jevu v souboru o velké velikosti (v limitě blížící se k nekonečnu).

P( A  B)  P( A)  P( B) Příklad nezávislých jevů při hodu dvěma kostkami:



A = na první kostce padne 1, B = na druhé kostce padne 1.

1 1 1 P( A  B)  P( A)  P( B)    6 6 36 

Příklad závislých jevů při hodu dvěma kostkami:

A = na první kostce padne 1, B = součet na obou kostkách bude 10. Jev je jevem nemožným (nemůže na první kostce padnou 1 a zároveň být součet 10), proto:

1 3 0  P( A  B)  P( A)  P( B)   6 36

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 



plocha průniku je při součtu P(A)+P(B) započítána 2x, proto jí musíme 1x odečíst pokud jevy A a B nemají průnik, nazýváme je neslučitelné (disjunktní)

pokud jevy A a B jsou neslučitelné, přechází pravidlo o sčítání PP. na:

P( A  B)  P( A)  P( B)



Příklad neslučitelných jevů při hodu jednou kostkou: A = padne liché číslo B = padne sudé číslo



P(A  B)  P(A)  P(B) 

3 3  1 6 6

Příklad jevů, které nejsou neslučitelné při hodu jednou kostkou: A = padne některé z čísel 1, 2, 3 nebo 4 B = padne 4, 5 nebo 6

P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) 

4 3 1   1 6 6 6

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne: a) b)

c) d)

e)

na obou kostkách šestka alespoň jedna šestka právě jedna šestka žádná šestka na obou kostkách sudé číslo Jev Jev Jev Jev

A . . . padla šestka na první kostce B . . . padla šestka na druhé kostce C . . . padlo sudé číslo na první kostce D . . . padlo sudé číslo na druhé kostce



Z publikací Českého statistického úřadu byl převzat počet narozených chlapců a děvčat v letech 1990 – 1997. Vypočítejte přibližnou pravděpodobnost, že narozené dítě bude chlapec a přibližnou pravděpodobnost, že narozené dítě bude děvče. Absolutní četnosti Rok

Chlapci

Děvčata

Celkem

1990

67 234

63 860

131 094

1991

66 895

62 955

129 850

1992

62 946

59 196

122 142

1993

62 362

59 108

121 470

1994

54 887

52 028

106 915

1995

49 570

46 827

96 397

1996

46 605

44 158

90 763

1997

46 705

44 225

90 930

Celkem

457 204

432 357

889 561

P(chlapec) 457 204 P(chlapec)    0,514 P(celkem) 889 561 P(dívka) 432 357 P(dívka)    0, 486 P(celkem) 889 561

Na viděnou na příštím cvičení. Pokud jste něčemu nerozuměli, nebo Vám je něco nejasné, zastavte se v konzultačních hodinách nebo mi pošlete e-mail. Rád Vám nejasnosti vysvětlím. Email: [email protected]