ČVUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková
Obsah
Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace zobecnění principu PMPD pro víceosou napjatost 4. Důkaz základní věty mezní analýzy pro spojité modely
2
Úvod
Princip maxima plastické disipace (PMPD) Teoretický základ mezní plastické analýzy Vyšetřování mezního plastického stavu Dosažení max. úrovně zatížení Únosnost konstrukce je zcela vyčerpána Pro ideláně pružnoplastický materiál
3
1.1 Jednoosá napjatost & PMPD
Ideálně pružnoplastický model Jednoosé napětí (𝜎) působí na objem dV → ↑ deformace 𝑑𝜀 Vykonaná práce (𝝈𝐝𝜺) na jednotku objemu 𝑑𝜀e - elastický přírůstek deformace (↑ potenciální energie pružné deformace) 𝑑𝜀p - plastický přírůstek deformace (disipace vykonané práce v plastických přetvárných procesech; pot.en. pružné def. je konstantní) Plastické namáhání: 𝜀 = 𝜀e + 𝜀p ; 𝜎 = 𝐸𝜀e = 𝐸(𝜀 − 𝜀p )
4
1.1 Jednoosá napjatost & PMPD
Plastická disipace 𝒟 (disipační výkon, hustota plastické disipace) na jednotku objemu Výkon = práce / čas
𝒟 𝜀p =
𝜎𝑑𝜀p 𝑑𝑡
= 𝜎𝜀p = 𝜎0 𝜀p
𝜎 = 𝜎0 ↔ 𝜀p > 0 ; 𝜎 = −𝜎0 ↔ 𝜀p < 0 ∗ 𝜀 = 𝜎𝜀 = 𝜎 𝜀 = 𝒟 𝜀 PMPD: max 𝜎 p p 0 p p ∗ 𝜎 ∈𝜀
𝜀 =< −𝜎0 , 𝜎0 > plasticky přípustná oblast (𝜎 ∗ 𝜀p ) = fiktivní výkon na jednotku objemu, který by napětí 𝜎 ∗ vykonalo na rychlosti plastické disipace 𝜀p
(𝜎𝜀p )=skutečné napětí 𝜎 maximalizuje plastickou disipaci 5
1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Plastická disipace 𝑫𝐢𝐧𝐭 𝐷int =
𝑉
pro prut namáhaný osovou silou N
𝒟𝑑𝑉 = 𝒟𝑉 = 𝜎𝜀p 𝐴𝐿 = 𝜎𝐴𝜀p 𝐿 = 𝑁∆𝐿p
𝐷int = 𝑁 ∆𝐿p
∆𝐿p - rychlost (časová derivace) plastického protažení ∆𝐿p Součet příspěvků prutů
𝐷int = 𝑛𝑖=1 𝑁i ∆𝐿p,i = 𝑛𝑖=1 𝑁0,i ∆𝐿p,i 𝑁0,i - mezní plastická síla 𝑁i - skutečná osová síla 6
1.2 Ohýbaný prut & PMPD
pro prut namáhaný momentem M
Plastická disipace 𝑫𝐢𝐧𝐭 Součet příspěvků kritických průřezů (příp. plast. klouby) 𝐷int = 𝑛𝑖=1 𝑀i 𝜃i = 𝑛𝑖=1 𝑀0,i 𝜃i 𝑀0,i - mezní plastický moment 𝑀i - skutečný plastický moment
7
1.2 Ohýbaný prut & PMPD
Odvození 𝑫𝐢𝐧𝐭 pro prut namáhaný momentem M Plastický kloub je uvažovaný pouze v 1 průřezu Celková plastická deformace je nahrazena rotací 𝜃 ideálního kloubu Plastická deformace v lib. bodě průřezu: 𝑒p 𝑧 = 𝜃𝑧
Plastická def. v z integrovaná po délce plastického koubu Energie disipovaná plastickým kloubem: 𝐷int =
𝐷int =
𝒟𝑑𝑉 = 𝑉
𝐴
𝑉
𝜎𝜀p 𝑑𝑉 =
𝜎 𝑧 𝜃𝑧𝑑𝐴 = 𝐷int = 𝜃
𝐴
𝜎(𝑧)𝑒p (𝑧)𝑑𝐴 =
𝜎 𝑧 𝑧 𝑑𝐴 = 𝑀𝜃 𝐴
8
2. Základní věta mezní analýzy pro diskrétní modely
Úvod Předepsané zatížení ~ referenční zatížení (vektor) 𝒇 Vektor vnějších sil 𝒇 = 𝜇𝒇 𝜇 – součinitel zatížení, hledá se jeho mezní hodnota 𝜇0 tak, aby bylo dosažené mezního plastického stavu (plastic. kolaps) Mezní plastický stav Stav statické rovnováhy, staticky i kinematicky přípustný 1. Staticky přípustný stav 𝜇𝑠 - staticky přípustný součinitel zatížení (odpovídá staticky přípustnému stavu kce) Vnitř. (pl. přípustné) síly 𝒔𝑠 v rovnováze s vnějšími silami 𝜇𝑠 𝒇 𝑩𝑇 𝒔𝑠 = 𝜇𝑠 𝒇 ; 𝑩𝑇 - statická matice Stav splňuje podm. plastické přípustnosti
9
2. Základní věta mezní analýzy pro diskrétní modely Úvod Mezní plastický stav
Staticky i kinematicky přípustný 2. Kinematicky přípustný stav 𝜇𝑘 - kinematicky přípustný součinitel zatížení (odpovídá kinematicky přípustnému procesu) Vznik mechanismu kolapsu Plastické přetváření ve zplastizovaných prutech
𝜇𝑘 𝒇𝑇 𝒖𝑘 = 𝐷(𝒆𝒑𝑘 ) 𝒆𝒑𝑘 - rychlost platic. protažení 𝒖𝑘 - rychlost styčníkových posunů 𝜇𝑘 𝒇𝑇 𝒖𝑘 - výkon vnějších sil na rychlosti styčníkových posunů 10
2. Základní věta mezní analýzy pro diskrétní modely Úvod Mezní plastický stav
Staticky i kinematicky přípustný 2. Kinematicky přípustný stav 𝒆𝒑𝑘 = 𝑩𝒖𝑘 𝒆𝒑𝑘 - rychlost plastic. protažení 𝒖𝑘 - rychlost styčníkových posunů, voleny tak aby 𝒇𝑇 𝒖𝑘 > 0
11
2. Základní věta mezní analýzy pro diskrétní modely
Základní věta mezní analýzy 𝜇𝑠 ≤ 𝜇𝑘 → 𝜇𝑠 ≤ 𝜇0 ≤ 𝜇𝑘
; 𝜇0 - součinitel bezpečnosti
1. Věta o dolním odhadu: 𝜇𝑠 ≤ 𝜇0 2. Věta o horním odhadu: 𝜇0 ≤ 𝜇𝑘 Důkaz základní věty mezní analýzy 𝒔𝑇𝑠 𝒆𝒑𝑘 ≤ 𝐷(𝒆𝒑𝑘 ) 𝒔𝑠 - vnitřní (pl. přípustné) síly 𝒆𝒑𝑘 - rychlost plastic. Protažení 𝒔𝑇𝑠 𝒆𝒑𝑘 = 𝒔𝑇𝑠 𝑩𝒖𝑘 = (𝑩𝑇 𝒔𝑠 )𝑇 𝒖𝑘 = 𝜇𝑠 𝒇𝑇 𝒖𝑘
≤
𝜇𝑠 ≤ 𝜇𝑘
𝐷 𝒆𝒑𝑘 = 𝜇𝑘 𝒇𝑇 𝒖𝑘 12
3. PMPD pro víceosou napjatost
PMPD (maticový zápis) ∗𝑇 𝜺 = 𝝈𝑇 𝜺 𝒟 𝜺p = max 𝝈 p p ∗ 𝜎 ∈𝜀
𝝈 – skutečné napětí (sloupcová matice) 𝜺p - skutečná rychlost plastické deformace (sloupcová matice) 𝝈∗ - plasticky přípustný stav napětí Platný pokud je splněna podmínka normality a konvexity
13
3. PMPD pro víceosou napjatost Význam PMPD
∗𝑇 𝜺 = 𝝈𝑇 𝜺 𝒟 𝜺p = max 𝝈 p p ∗ 𝜎 ∈𝜀
Promítnutí všech plasticky přípustných stavů napětí (dle funkce plasticity) na rovnoběžku s εp prochájící počátkem → interval jehož krajní + bod je průmětem skutečného napětí 𝝈 𝝈 má max. průmět do směru 𝜺p 𝝈𝑇 𝜺p = 𝝈 𝜺p 𝑐𝑜𝑠𝛼
; skalární součin
14
3. PMPD pro víceosou napjatost PMPD & normalita Odchylka 𝜺p od normality:
𝝈∗𝑇 𝜺p > 𝝈𝑇 𝜺p → narušení podmínky PMPD Směr přírůstku plastic. def. je kolmý k ploše plasticity 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 Výpočet jako gradient funkce f v daném bodě plochy plasticity 𝜺p = 𝜆 𝜺p = 𝜆
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 , , , , , 𝜕𝜎𝑥 𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜎𝑧 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝑓(𝝈) 𝜕𝝈
;𝜆≥0
sdružený zákon plastického přetváření
Singularita v bodě plochy plasticity 15
4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely
Základní věta mezní analýzy 𝜇𝑠 ≤ 𝜇𝑘 → 𝜇𝑠 ≤ 𝜇0 ≤ 𝜇𝑘 1.
Staticky přípustný stav
𝑓 𝜎𝑖𝑗𝑠 ≤ 0 ve V (podm. plastic. přípustnosti) 𝑠 −𝜕𝜎𝑖𝑗
𝜕𝑥𝒋 𝜎𝑖𝑗𝑠 𝑛𝑗
= 𝜇𝑠 𝑏𝑖 ve V (podm. rovnováhy)
= 𝜇𝑠 𝑡𝑖
na 𝑆𝑡 (statická podm.)
𝝈𝑠 ∈ 𝜺𝑉 ; 𝜺𝑉 = {𝝈|𝑓(𝝈(𝒙)) ≤ 0 ∀ 𝒙 ∈ 𝑉} 16
4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely
Základní věta mezní analýzy 𝜇𝑠 ≤ 𝜇𝑘 → 𝜇𝑠 ≤ 𝜇0 ≤ 𝜇𝑘 2.
Kinematicky přípustný stav 𝑘 𝜀𝑖𝑗
=
1 2
𝜕𝑢𝑖𝑘 𝜕𝑥𝒋
+
𝜕𝑢𝑗𝑘 𝜕𝑥𝑖
ve V (vztah def. – přemístění)
𝑢𝑖𝑘 = 0 na 𝑆𝑢 (kinematická podmínka) 𝑉
𝑏𝑖 𝑢𝑖𝑘 𝑑𝑉 +
𝜇𝑘 =
𝑆𝑡
𝑡𝑖 𝑢𝑖𝑘 𝑑𝑆 > 0 na 𝑆𝑡 (podm. pro + vnější en.)
𝑘 𝒟(𝜀𝑖𝑗 )𝑑𝑉 𝑉 𝑏 𝑢𝑘 𝑑𝑉+ 𝑆 𝑡𝑖 𝑢𝑖𝑘 𝑑𝑆 𝑉 𝑖 𝑖 𝑡
17
4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely
Základní věta mezní analýzy 𝜇𝑠 ≤ 𝜇𝑘 → 𝜇𝑠 ≤ 𝜇0 ≤ 𝜇𝑘
Důkaz základní věty mezní analýzy
PMPD: 𝐷𝑖𝑛𝑡 =
𝑉
𝒟(𝜺𝑝 )𝑑𝑉 =
𝑉
Clapeyronův teorém: 𝑉
𝜇𝑠 ≤ 𝑉
𝑉
∗ : 𝜺 𝑑𝑉 𝝈: 𝜺𝑝 𝑑𝑉 = max 𝝈 p ∗ 𝝈 ∈𝜀𝑉
𝝈𝑠 : 𝜺𝑘 𝑑𝑉 ≤ 𝑉
𝑉
𝒟(𝜺𝑘 )𝑑𝑉
𝝈𝑠 : 𝜺𝑘 𝑑𝑉 = 𝜇𝑠
𝒟 𝜺𝑘 𝑑𝑉
𝒃𝒖𝑘 𝑑𝑉+ 𝑆 𝒕𝒖𝑘 𝑑𝑆 𝑡
𝑉
𝒃𝒖𝑘 𝑑𝑉 +
𝑆𝑡
𝒕𝒖𝑘 𝑑𝑆
= 𝜇𝑘 18
Děkuji Vám za pozornost.
19
