2010

KUMPULAN SOAL-SOAL UJIAN TAHUN 2008/2009 & 2009/2010

HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2010

[Type text]

Page 1

DAFTAR ISI Semester I tahun 2008/2009 & 2009/2010 UTS kalkulus I 2008/2009 Supama ..................................................................................... 4 UTS Kalkulus I 2009/2010 Yusuf ........................................................................................ 4 UTS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2008/2009 Al. Sutjijana ............................................. 5 UTS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2009/2010 Sri Wahyuni / Al. Sutjijana ........................ 6 UTS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2008/2009 Sri Wahyuni/Diah Junia E.P................................................................................................ 7 UTS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2009/2010 Diah Junia E.P. ...... 8 UTS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2009/2010 Sri Wahyuni .......... 8 UAS Kalkulus I 2008/2009 Supama .................................................................................... 9 UAS Kalkulus I 2009/2010 Supama. ................................................................................... 10 UAS Kalkulus I 2009/2010 Yusuf. ....................................................................................... 11 UAS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2008/2009 Al. Sutjijana ............................................. 11 UAS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2009/2010 Sri Wahyuni/ Al. Sutjijana ....................... 12 UAS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2008/2009 Diah Junia E.P. ...... 14 UAS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2009/2010Diah Junia E.P. ...... 15 UAS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2009/2010Diah Junia E.P. ...... 15

Semester II tahun 2008/2009 & 2009/2010 UTS Kalkulus II 2008/2009 Ch Rini / Budi S. ....................................................................... 17 UTS Kalkulus II 2009/2010 Ch. Rini/Atok Z. ........................................................................ 17 UTS PSA I 2008/2009 Budi S./Indah E.W. ........................................................................... 18 UTS PSA I 2009/2010 Budi S./Indah E.W. ........................................................................... 18

HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

2

UTS Geometri Analitik 2008/2009 Atok Zulijanto .............................................................. 19 UTS Geometri Analitik 2009/2010 Moch. Tari. .................................................................. 19 UTS Geometri Analitik 2009/2010 Atok Zulijanto. ............................................................. 20 UTS Mekanika 2008/2009 Juliasih P. ................................................................................. 20 UTS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2008/2009 Yeni Susanti. ........................................... 21 UTS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2009/2010 Sutopo. .................................................. 22 UTS Teori Himpunan 2009/2010 Diah junia E.P. ................................................................ 23 UTS Pengantar Teori Bilangan (PTB) 2009/2010 Budi S. ..................................................... 23 UAS Kalkulus II 2008/2009 Budi S./Ch. Rini. ....................................................................... 24 UAS Kalkulus II 2009/2010 Ch. Rini/Atok Z. ....................................................................... 25 UAS PSA I 2008/2009 Budi S./ Indah E.W........................................................................... 25 UAS PSA I 2009/2010 Budi S./Indah E.W. .......................................................................... 26 UAS Geometri Analitik 2008/2009 Atok Zulijanto. ............................................................. 27 UAS Geometri Analitik 2009/2010 Moch. Tari. .................................................................. 27 UAS Geometri Analitik 2009/2010 Atok Zulijanto. ............................................................. 28 UAS Mekanika 2008/2009 Juliasih P. ................................................................................. 28 UAS Mekanika 2009/2010 Juliasih P. ................................................................................. 29 UAS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2008/2009 Yeni Susanti........................................... 30 UAS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2009/2010 Sutopo. ................................................. 31 UAS Teori Himpunan 2009/2010 Diah junia E.P. ................................................................ 32 UAS Pengantar Teori Bilangan (PTB) 2009/2010 Budi S. .................................................... 32 3


Semester I tahun 2008/2009 & 2009/2010 UTS Kalkulus I 2008/2009 Supama. 1. Selesaikan persamaan barikut: 68  3 x a.  2x  5 x4 2x 1 b. 1 x2 c.

x  1  2  1  3x

2. Jika x  1 

1 1 , tunjukkan 2  6 x  1 2 x

3. Diketahui

ax  2b  3

, x 1

( a  b ) x  3a , 1  x  2

f ( x) 

3bx  (3a  2) , x  2

Tentukan nilai a dan b agar lim f ( x ) dan lim f ( x ) ada. x 1

x 1

4. Hitunglah : a. lim x 1

b.

2  x 2 ( x 2  x  2) x2 x  1

x 1   lim   2 2 x   x  4  4 x  3 x  1 

(3x  tan x) sin x x  0 x 2  1  cos3 x

c. lim

UTS Kalkulus I 2009/2010 Yusuf. 1. Tentukan solusi pertidaksamaan berikut: x 1 a. 2 x


4

x 1 x  3x  2 2. Diketehui dua kurva dalam system koordinat kutub dengan persamaan: r  4sin  dan r  2  2cos  . Arsirlah daerah di luar kurva pertama dan di dalam kurva kedua. 3. Hitunglah:

b.

2

1

a. lim( x 2  x  5) ( x  2) x2

b. lim x 0

f (4  h)  f (4) , jika f ( x )  h

9 2x 1

4. Fungsi f didefinisikan sbb: x 1 , x  1 f ( x)  ax  b , 1  x  2

3x

, x2

Tentukan nilai a dan b agar f kontinu di x  1 dan x  2 , kemudian gambarlah grafiknya. 5. Diketahui fungsi: 2x f ( x) 

, x0

x 1 , x0 x

Tentukan: Range fungsi f dan formula f 1 ( x )

UTS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2008/2009 Al. Sutjijana. 1. Tunjukkan bahwa system persamaan nonlinear berikut mempunyai 18 penyelesaian jika 0    2 , 0    2 , 0    2

sin   2 cos   3tan   0 2sin   5cos   3 tan   0  sin   5cos   5 tan   0 n 1

2. Buktikan bahwa apabila matrik A bertipe n  n maka det  adj ( A)   det( A) 

. 5


 a 0 b 2 3. Jika  a a 4 4 augmented matrik dari suatu persamaan linear. Tentukan nilai-nilaia  0 a 2 b  dan b sehingga: a. Sistem persamaan tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian. b. Sistem persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang memuat satu parameter. c. Sistem persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang memuat dua parameter. d. Sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. 4. Dengan mengasumsi invers-invers matriknya ada buktikan: a. (C 1  D 1 ) 1  C (C  D)1 D b. (C  DDT )1 D  C 1D ( I  DT C 1 D)1

UTS Aljabar Linear Elementer (ALE), 2009/2010 Sri Wahyuni / Al. Sutjijana.  a 0 b 2 1. Jika  a a 4 4 augmented matrik dari suatu persamaan linear. Tentukan nilai-nilaia  0 a 2 b  dan b sehingga: e. Sistem persamaan tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian. f. Sistem persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang memuat satu parameter. g. Sistem persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang memuat dua parameter. h. Sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. 2. Diberikan sistem persamaan linear 2 x1  3x2   x1 dan 4 x1  3x2   x2 nyatakan sistem persamaan tersebut ke bentuk ( I  A) x  0 , kemudian tentukan: a. Persamaan karakteristiknya. b. Nilai-nilai eigennya (eigen value) c. Eigen vector yang berkorespondensi dengan masing-masing eigen value tersebut pada pertanyaan b. 3. Buktikan: a. Apabila matrik A invertible maka adj(A) juga invertible. n 1

b. Apabila A matrik bertipe nxn maka det  adj ( A)   det( A)  4. Luas segitiga ABC pada gambar dibawah ini


6

Dengan A  ( x1 , y1 ) , B  ( x2 , y2 ) ,dan C  ( x3 , y3 ) dapat disajikan sebagai : Luas ABC=luas ADEC+luas CEFB – luas ADFB Berdasarkan perhitungan luas segitiga tersebut dan fakta bahwa luas trapesium merupakan jumlah garis sejajar kali setengah tinggi, tinjukkan bahwa: luas

x1 1 ABC  x2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

UTS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan(PLMH) 2008/2009 Sri Wahyuni/Diah Junia E.P. 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dengan tanda negasi sedikit mungkin dari pernyataan ( p  q )  ((q  r )  (r  p )) . 2. Nyatakan kalimat-kalimat berikut dalam simbolisme logika dan tentukan nilai kebenaran beserta ingkarannya: “Sekurang-kurangnya ada tiga bilangan bulat antara 0 dan 4 yang merupakan bilangan prima” 3. Nyatakan dengan menggunakan kuantor bahwa: a. Ada paling banyak tiga elemen dalam himpunan S yang memenuhi sifat P. sin( x ) b. lim 1 x 0 x 4. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: (dengan menggunakan tabel kebenaran) {(q  r )  (r  p )}  ( p  q)

5. Buktikan tautologi berikut tanpa menggunakan tabel kebenaran: {( p  q )  r}  {( p  r )  ( q  r )} 6. Buktikan pernyataan berikut: HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

7

n

a.

 i3  i 1

n 2 (n  1)2 , untuk setiap n bilangan asli. (gunakan induksi matematika) 4

b. Jila a,b,c bilangan real maka berlaku a  b  a  c  b  c (dengan kontraposisi) c.

7 merupakan bilangan irasional. (gunakan metode Reductio Ad Absordum)

UTS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan(PLMH) 2009/2010 Diah Junia E.P. 1. Diantara kondisi-kondisi berikut manakah yang merupakan syarat perlu, syarat cukup, dan syarat perlu dan syarat cukup bilangan bulat n habis dibagi 10. Jelaskan dengan singkat jawaban anda! a. n habis dibagi 2 dan habis dibagi 5. b. n merupakan hasil kali dua bilangan bulat yang berturut-turut berakhir dengan angka 4 dan 5. c. n bukan merupakakn panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi sikusikunya 6 dan 8. d. n merupakan panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 6 dan 8. 2. Tunjukan (tidak menggunakan tabel) apakah proposisi berikut tautologi atau bukan. a. ( p  q  r )  (( p  q)  r ) b. ( p  (q  r ))  ( p  r )  q 3. Nyatakan kalimat deklaratif berikut dalam symbol matematika menggunakan kwantor, kemudian buktikan jawaban anda! a. Ada bilangan real positif yang kuadratnya lebih kecil dari dirinya sendiri. b. Untuk setiap bilangan real x terdsapat matrik ukuran 2x2 dengan elemennya bilangan real sehingga jumlahan semua elemen matrik tersebut sama dengan x. 4. Buktikan dengan induksi matematika: Jumlahan n bilangan bulat positif pertama sama dengan n 2 .

UTS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan(PLMH) 2009/2010 8

Sri Wahyuni.


1. Diberikan A  1, 2,...,10 Tuliskan kalimat-kalimat di bawah ini menggunakan bahasa sehari-hari, kemudian dengan simbol logika, nyatakan ingkarannya dan tentukan nilai benar atau salah. a. (x  A)( y  A)( x  y  12) b. (y  A)(x  A)( x  y  12) c. (x  A)(y  A)( x  y  12) d. (x  A)(y  A)( x  y  12) 2. Tulis dalam simbol logika Kemudian ingkarlah Nyatakan dalam kalimat sehari-hari ingkaran tersebut, pernyataan berikut: a. Himpunan H mempunyai tepat satu anggota. b. Sekurang-kurangnya ada dua x yang memenuhi sifat P c. Tidak ada mahasiswa prodi Matematika yang bebas narkoba. d. Beberapa mahasiswa prodi Matematika tidak bebas narkoba. 3. Tanpa menggunakan tabel tunjukkan kebenaran kalimat tautologi berikut: a. ( A & A)  A   

b. ( A  B )  (  A  B ) ,  A maknanya ingkaran A 4. Tunjukkan bahwa di dalam himpunan bilangan alam {1, 2,...} berlakulah jika x  y maka x  z  y  z untuk setiap bilangan alam  .

5. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi kalimat: Mahasiswa prodi Matematika harus menguasai konsep logika atau matakuliah PLMH tidak mendukung matakuliah yang lain.

UAS Kalkulus I 2008/2009 Supama. 1. Selesaikan pertidaksamaan berikut: x 1 a. 2 x2 b.

x  1  2  1  3x

2. Diketahui f ( x) 

ax  2b  3 , x 1 ( a  b ) x  3a , 1  x  2 3bx  (3a  2) , x  2


9

Tentukan nilai a dan b agar f kontinu di mana-mana. 3. Hitunglah: a. b.

lim 1  cos x 

2 /( x sin x )

x  / 2

x 1   lim   2 2 x   9 x  4  4 x  3 x  1 

4. Tentukan turunannya jika: a.

f (s)  s s  s  1

b. cos( x  2 y )  x 2 y  1

x2 tentukan domain f , daerah dimana f naik/turun, titik-titik x2  1 ekstrem dan jenisnya, daerah dimana f cembung/cekung ke bawah, titik-titik belok, dan asimtot f. Gambar kurva f.

5. Diketahui f ( x) 

UAS Kalkulus I 2009/2010 Supama. 1. Hitunglah X  3 2 X x 1 1  2  X ( x  ( / 2)) cos x b. lim x  / 2 1  sin x a. lim

2. Tentukan

d2y d3 y 1 dan Jika diketahui x  t 2  1 dan y  t  2 3 dx dx t

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y  x 1  x yang tegak lurus garis x  y  1 . 4. Akan dibuat suatu jendela berbentuk persegi panjang dengan sisi bagian atas berupa setengah lingkaran (lihat gambar)

Jika bahan yang dimiliki sepanjang 4m, maka tentukan ukuran jendela tersebut agar luasnya maksimum.


10

1 x2 6. Tentukan deret Taylor f ( x)  ln(2  x ) di sekitar x  1

5. Gambarlah kurva f ( x )  x 2 

UAS Kalkulus I 2009/2010 Yusuf. 1. Tentukan deret Mac Laurin untuk f ( x )  ln(1  x) . Menggunakan deret itu tentukan nilai pendekatan untuk ln 0,96 dengan ketelitian empat angka dibelakang koma.

x2 2. Diketahui fungsi f ( x)  Tentukan: x 1 a. Titik maksimum/minimum fungsi f. b. Titik beloknya. c. Asimtot. d. Gambar grafiknya. 3. Tentukan nilai: y

K

3 ' 2 2

(1  ( y ) )

Untuk kurva dengan persamaan

x  2 cos t di titik dengan t 

 6

y  2 sin t

4. Tentukan titik pada kurva yang terdekat dengan titik A(0,3) 5. Hitunglah: a. lim(2 x)3 x x0

( x 3  sin x3 ) 4 b. lim x  0 (1  cos x 2 )9

UAS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2008/2009 Al. Sutjijana. 1. Jika A matrik bertipe nxn dan  suatu bilangan dengan sifat AX   X untuk suatu matrik kolom X  0 , maka  disebut eigenvalue dari A. Tunjukaan bahwa, apabila  eigenvalue dari matrik A maka: a. k  merupakan eigenvalue dari kA untuk setiap bilangan real k. 2

2

b.  merupakan eigenvalue dari A . c. 3  2  5 3 merupakan eigenvalue dari 3 I  2 A  5 A3 HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

11

2. a. Tentukan standard matrik untuk T : R 3  R 3 yang mencerminkan (reflect) suatu vector terhadap bidang XY, kemudian dilanjutkan dengan mencerminkan bayangan vector tersebut terhadap bidang XZ, kemudian dilanjutkan lagi dengan mencerminkan bayangannya terhadap bidang YZ. b. Berkaitan dengan pernyataan butir a. tentukan T (2, 1,3) . 3. a. Diberikan garis g dan titik P yang terletak di luar garis. Jika u sembarang vector yang ditarik dari sembarang titik pada garis g ke titik P, dan v vector yang sejajar dengan uv garis g, tunjukkan bahwa jarak dari titik P ke Garis g adalah v b. Berkaitan dengan pernyataan butir a. tentukan jarak dari titik P (4,3, 0) ke garis yang melalui titik A(2,1, 3) dan B (0, 2, 1) . 4. Diberikan vector-vektor u, v, dan w yang bukan vector nol dan saling orthogonal di R 3 . Misalkan kita tau hasil kali titik (dot product) dari vector r di R 3 dengan ketiga vector u, v, dan w. Nyatakan r dalam bentuk kombinasi linear dari vector-vektor u, v, w dan dot productnya.(Petunjuk: Carialah ekspansi r dalam bentuk r  c1u  c2v  c3 w )

UAS Aljabar Linear Elementer (ALE) 2009/2010 Sri Wahyuni/ Al.Sutjijana.  3   4  6       1. Untuk tiga vector u   1  , v   0  , dan w   1  di ruang vector 2  8   4         x1      { x2  | x1 , x2 , x3di} x   3 3

2   a. Tentukan  ,  , dan  yang memenuhi  u   v   w  z dengan z   0  .  4     3 4 6    b. Tentukan salah satu basis dari ruang kolom dari matrik A   1 0 1  .  2 8 4   


12

c. Tentukan semua  ,  , dan  yang memenuhi  u   v   w  03 . Dari jawaban anda tersebut, berapa dimensi subruang yang terdiri dari semua solusi SPL Homogen Ax  03

 x1    2. Pada ruang vector   { x2  | x1 , x2 , x3di} x   3 3

5   a. Tentukan himpunan semua vector di 3 yang orthogonal terhadap vektor u   2  . 3   Apakah himpunan tersebut membentuk sub ruang di 3 ? Jelaskan! b. Jika v tegak lurus dengan w dan z tunjukaan bahwa untuk setiap  ,  , dan  maka v tegak lurus pada  w   z . c. Jika v  03 dan v  w  v  z , apakah akan selalu berakibat w  z . Jelaskan!

 x1    3. Pada ruang vector   { x2  | x1 , x2 , x3di} x   3 3

a. Menggunakan definisi besar u  v , hitung luas segitiga PQR dengan P   2 6 1 ,

Q  1 1 1 , dan R   4 6 2  tanpa menggunakan rumus luas segitiga. b. Jika  adalah sudut yang dibentuk oleh dua vector u dan v di 3 dan u  v  0 , uv tunjukkan bahwa tan   . uv c. Jika v  03 dan v  w  v  z , apakah akan selalu berakibat w  z . Jelaskan!

 x1  x  4. Pada ruang vector n  { 2  | xi di}      xn  a. Tunjukkan jika B  {b1 , b2 ,..., bn } merupakan basis dari  n dan Ann adalah matrik invertible bertipe n  n maka himpunan B  A{ Ab1 , Ab2 ,..., Abn } juga merupakan basis di  n . 13


b. Buatlah contoh suatu basis B dalam ruang vektor  4 , kemudian dengan  1 1 1 1   0 1 1 1  menggunakan sifat no. 4.a di atas , dengan matriks A44  bentuk basis  0 0 1 1    0 0 0 1 baru BA . 1   1 c. Untuk vector v    tentukan koordinat vector v relative terhadap basis BA . 1   1

5. Untuk matriks A42

2 1   1 4     2 4    3 6 

a. Tunjukkan bahwa f : 2  4 dengan definisi f (v )  Av untuk setiap v   2 merupakan transformasi linear. b. Hitung Kernel ( f ) dan Image ( f ) beserta masing-masing basisnya.

UAS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2008/2009 Diah Junia E.P. Diberikan himpunan semesta S dan himpunan-himpunan A,B,C,D,E di dalam S II.

Buktikan kebenaran pernyataan berikut: a.

A  B   jika hanya jika A  Bc jika hanya jika B  Ac

b. A  B jika hanya jika B c  Ac c. A  C  B  C dan A  B  B  C maka A  B III. a. Pada umumnya tidak berlaku bahwa ( A  B )  C  ( A  C )  ( B  C ) , Tunjukkan! Ambil contoh kontra. b. Buktikan A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) IV.

14

a. Diberikan himpunan bilangan real  dan didefinisikan relasi  pada  sebagai x, y   , x  y jika hanya jika x 2  y 2 HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

a. Tunjukaan  relasi ekuivalensi b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensiniya b. Diberikan fungsi f : D  E , X maupun Y merupakan himpunan bagian D dan U himpunan bagian E. 1) Buktikan f ( X  Y )  f ( X )  f (Y ) 2) Buktikan f 1 (U c )  ( f 1 (U ))c

UAS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2009/2010 Diah Junia E.P. 1. Diberikan himpunan bilangan real  dan     {0} . Didefinisikan relasi  pada  sebagai x, y  , xy jika hanya jika a , b  , axb  y a. Tunjukkan  relasi ekuivalensi. b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensinya. 2. Diberikan himpunan-himpunan A, B, C dan pemetaan-pemetaan g : A  B , f : B  C sehingga ada pemetaan h : A  C dengan h  f  g . Tunjukkan: a. Jika h surjektif maka f surjektif. b. Jika h injektif maka g injektif. 3. Diberikan fungsi f : D  E , X maupun Y merupakan himpunan bagian bagian D dan

U himpunan bagian E . a. Buktikan f ( X  Y )  f ( X )  f ( y ) b. Buktikan f 1 (U c )  ( f 1 (U ))c 4. Dengan menggunakan induksi matematik buktikan pernyataan berikut: n n(n  1)(2n  1) a.  i 2  6 i 1 b. 3n  7 n  2, n  1 Habis dibagi dengan 8 5. Jika A, B, C himpunan-himpunan dalam semesta S ,tunjukkan bahwa: a.

A  B   jika hanya jika A  Bc jika hanya jika B  Ac

b. A  B jika hanya jika B c  Ac c. Jika A  B  B  C dan A  C  B  C maka A  B

UAS Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH) 2009/2010 15

Sri wahyuni. 1. Tunjukaan untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

a. A  B  A  ( A  B ) b. C  ( A  B )  C  ( B c )   c. Apakah juga berlaku C  ( B c )    C  ( A  B) Jelaskan! 2. Padsa himpunan bilangan bulat   {..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,...} , didefinisikan relasi  dengan definisi (n, m  )nm  n 4  1  m4  1 a. Tunjukaan relasi  merupakan relasi ekuivalensi. b. Deskripsikan “kelas-kelas ekuivalensi” yang timbul oleh relasi ekuivalensi  yang membentuk "partisi” pada  . c. Apakah banyaknya elemen pada setiap kelas ekuivalensinya sama? Jelaskan! 3. a. Untuk himpunan semua bilangan real  didefinisikan pengawanan f :   

ex 1 . Tentukan domain terbesar dari f (notasikan dengan ex 1 D ( f ) ) agar f merupakan fungsi. Tentukan range/image (daerah hasil)fungsi f

dengan definisi f ( x) 

(notasikan dengan Im( f ) ). Apakah fungsi f dengan domain di atas merupakan fungsi surjektif? Jelaskakn! b. Apakah fungsi f dengan domain di atas merupakan fungsi injektif? Jelaskakn! c. Apakah f : D ( f )  Im( f ) merupakan fungsi bijektif? Jika “ya” tentukan fungsi inversnya. 4. a. Jika   adalah himpunan bilangan real positif, dan didefinisikan fungsi f :     dengan definisi f ( x )  e x dan fungsi g :    dengan definisi g ( x) 

x 1 . x

Tentuka n fungsi komposisi g  f . b. Jika f : A  B ,dan f  : A  B dan g : B  C dengan g  f  g  f  . Apakah dapat disimpulkan bahwa f  f  ?. Jelaskan! c. Jika jawaban pada soal no.4b adalah “tidak”, tentukan syarat yang dapat ditambahkan pada g agar g  f  g  f  akan berakibat f  f 

16


Semester II tahun 2008/2009 & 2009/2010 UTS Kalkulus II 2008/2009 Ch. Rini / Budi S. 1. Selesaikan integral tak tentu dan integral tertentu berikut ini! x 1 a.  e3 x cos 4 ln x b.  dx ( x  1) x  1 c. d.



1 x  3 x 2

dx

( x  2) 2



4x  x2  3 1 e.  dx 1  ex

f.

 3  6



dx

1 dx sin (2 x)  cos 4 x 2

2. Dengan menggunakan definisi integral tertentu, hitunglah nilai



2

0

(3x  3 x2 )dx

UTS Kalkulus II 2009/2010 Ch. Rini/Atok Z. 1. Tentukan integral tak tentu berikut: a. b.

x x

3

2

x 2  16dx

arcsin xdx

x  10 dx  4 x  8) 2 sin x d.  3 dx sin x  cos3 x c.

 (x

e.

( x  1) ln 4 x dx  x

f.

( 4 x2  9  x 2 dx

2

17 1

2. Dengan menggunakan definisi integral tertentu ,hitung integral berikut:

2

 (2 x  9 x )dx

1


UTS PSA I 2008/2009 Budi S./Indah E.W. 1. Diketahui M adalah himpunan semua matrik A22  (aij ) atas bilangan real yang memenuhi A  0 . Pada M didefinisikan sebagai operasi ' ' sebagai perkalian dua matrik. a. Buktikan M grup terhadap ' ' . b. Jika H  {(aij )22 | aij  , a11  a22  0, a21  a12  0} , buktikan H  M . c. Diketahui   {0} terhadap perkalian bilangan merupakan grup. Didefinisikan pengaitan  : H    {0}, A  H ,  ( A)  A . Apakah  homomorfisma grup? Jelaskan jawaban anda! 2. Untuk i  1, 2,..., n diketahui G , grup terhadap operasi biner 'i ' . Didefinisikan X in1Gi  {( g1 , g 2 ,..., g n ) | g i  Gi , i  1, 2,..., n} dan ( g1 , g 2 ,... g n ), (h1 , h2 ,..., hn ) X in1Gi

( g1 , g 2 ,...g n )  (h1 , h2 ,..., hn )  ( g1 1 h1 , g 2 2 h2 ,..., g n n hn ) Buktikan X in1Gi grup terhadap

. 3. Diketahui G grup dan untuk setiap berlaku H  G  H  {eG } . Apakah G siklis? Apakah G grup abelian? Jelaskan jawaban anda!

UTS PSA I 2009/2010 Budi S./Indah E.W. a b 1. Pada himpunan G  {  | a, b, c, d   dan ad  bc} didefinisikan operasi perkalian c d matriks. a. Buktikan G merupakan grup. a b  b. Jika H  {  | a, b, d   dan ad  0} Apakah H merupakan subgrup G ? Beri 0 d   penjelasan! 2. Diketahui G grup, X  H i ,dan Hi subgrup G untuk masing-masing i  1, 2,..., n . Buktikan bahwa H1  H 2  ...  H n merupakan subgrup G dan memuat X . 3. Diketahui himpunan  n  {0,1,..., n  1} dengan n bilangan bulat positif, terhadap operasi penjumlahan modulo n merupakan grup komutatif. a. Carilah banyaknya elemen subgrup  42 yang dibangun oleh 30 . b. Carilah semua subgrup yang dimiliki oleh  42 beserta order masing-masing. HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

18

c. Carilah   42 : 3   , yaitu indeks  3  di  42 . 4. Diberikan G grup dan didefinisikan himpunan berikut Z (G )  {h  G | (g  G ) gh  hg } . a. Buktikan Z (G ) merupakan subgrup normal di G . b. Buktikan jika G / Z (G ) adalah grup siklik, maka G adalah grup komutatif.

UTS Geometri Analitik 2008/2009 Atok Zulijanto. 1. Carilah dua buah garis yang melalui titik (2, 1) dan membentuk sudut

 dengan garis 3

x  2y  3

2. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai puncak mayor (3, 1) dan ( 1, 1) serta mempunyai asimtot y 

9 13 9 5 x  dan y   x  4 4 4 4

3. Diberikan persamaan derajat dua 9 x 2  4 y 2  36 x  8 3 y  12  0 . Tentukan titk pusat, titik puncak dan titik fokusnya , kemudian gambarlah kurvanya dengan baik dan benar. 4. Gambarlah kurva persamaan-persamaan berikut dengan system koordinat kutub.  a. r  1  2 cos(  ) 6 b. r  3sin 3 5. Cycloid adalah kurva berupa lintasan yang dilalui suatu titik tertentu P pada suatu lingkaran yang menggelinding sepanjang garis lurus tanpa selip. Jika  adalah posisi sudut setelah lingkaran menggelinding dan lingkaran tersebut mempunyai jari-jari a. Maka cycloid tersebut mempunyai persamaan x  a (  sin  ) dan y  a (1  cos  ) . 3 Buktikaan persamaan tersebut untuk kasus      . 2

UTS Geometri Analitik 2009/2010 Moch. Tari. 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 yang sejajar dengan garis 3 x  4 y  12 . Buatlah gambarnya, dimanakah titik singgungnya? 2. Tentukan himpunan titik yang berjarak sama ke titik (1, 1) dan ke garis y  x  2 perlihatkan dengan gambar. 3. Tentukan persamaan garis yang melalui perppotongan garis: x  3 y  1  0 dan 2 x  5 y  9  0 serta:

a. Berjarak

5 dari titik O (0, 0) . HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

19

b. Tegak lurus dengan garis 2 x  y  4  0 . 4. Diketahui irisan kerucut 4 x 2  9 y 2  48 x  72 y  144  0 dan x 2  y 2  12 x  8 y  36  0 . Tentukan: titik pusat, focus, dan puncak-puncaknya. Kemudian gambarlah daerah di dalam kurva pertama dan luar kurva kedua

UTS Geometri Analitik 2009/2010 Atok Zulijanto. 1. Salah satu koordinat puncak mayor suatu elips adalah (4,8) dan salah satu koordinat puncak minornya adalah (6, 3) . Carilah persamaan elips tersebut. 2. Garis g menyinggung lingkaran L : x 2  y 2  4 x  2 y  0 di titik (0, 2) dan membentuk sudut  dengan sumbu X. Carilah persamaan dua garis yang melalui pusat lingkaran L dan membentuk sudut  dengan garis g . 3. Buktikan bahwa jarak titik P( x1 , y1 ) ke garis ax  by  c  0 adalah

ax1  by1  c a 2  b2

4. Cari persamaan hiperbola yang mempunyai sumbu transversal y  1 , sumbu konjugat 5 x  2 , asimtot 2 x  3 y  7  0 dan melalui titik ( 3, ) . 3 3  5. Cari semua titik potong kurva r   cos  dan   di system koordinat kutub. 2 3 6. Cycloid adalah kurva berupa lintasan yang dilalui suatu titik tertentu P pada suatu lingkaran yang menggelinding sepanjang garis lurus tanpa selip. Jika  adalah posisi sudut setelah lingkaran menggelinding dan lingkaran tersebut mempunyai jari-jari a. Maka cycloid tersebut mempunyai persamaan x  a (  sin  ) dan y  a (1  cos  ) . 1 Buktikan persamaan tersebut untuk kasus 0     . 2

UTS Mekanika 2008/2009 Juliasih P. 1. Dua buah pegas masing-masing dengan kekakuan k1 dan k2 , digunakan untuk menahan benda tunggal bermassa m pada posisi vertical. Tentukan frekuensi sudut getaran yang terjadi jika kedua pegas disusun secara pararel.  2. Suatu vector A  2iˆ  ˆj  2kˆ berada pada system koordinat inersial (diam). Jika dilakukan dua kali rotasi, yakni rotasi pertama pada sumbu rotasi Z dengan sudut 30 o terhadap sumbu X , kemudian rotasi kedua dilakukan dengan mengambil sumbu rotasi  adalah sumbu X dan membentuk sudut 30 o terhadap sumbu Y , bagaimana posisi A HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

20

setelah dilakukan dua kali rotasi tersebut, nyatakan dalam system koordinat yang baru tersebut! 3. Percepatan sebuah benda yang bergerak lurus dinyatakan sebagai a   kv 2 , dimana k  konstanta , v dalam m/s dan a dalam m / s 2 . Apabila pada saat t  0 , benda di x  x0 dan kecepatannya v  v0 hitunglah a. Jarak yang ditempuh selama 4 detik! b. Kecepatan pada detik ke 4! 4. Sebuah mobil bermassa m semula diam di titik asal. Saat awal mobil menderita gaya tetap F0 . Setelah t1 detik , tiba-tiba gaya berubah menjadi 2 kali semula dan seterusnya tetap. Tentukan jarak yang ditempuh oleh mobil selama 2 t1 detik tersebut!

UTS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2008/2009 Yeni Susanti. 1. Suatu bidang dengan persamaan: 6 x  3 y  9 z  3  0 melalui 3 titik ( a,1,0) , (2, a  1, 1) , dan ( a  1,9, 2) .Tentukan nilai a ! 2. Dalam suatu cubic spline interpolation S ( x ) yang menginterpolasi n titik

( xi , yi ), i  1, 2,..., n buktikan di  yi , bi  M i / 2 dengan M i  S ( xi )i  1, 2,..., n  1 . 3. Di atas sebuah meja perpustakaan terdapat tumpukan 3 buah ensiklopedia volume 1,2, dan 3 (satu ensiklopedia berada di atas ensiklopedia yang lain). Pengunjung perpustakaan secara independen menggunakan ensiklopedia sebagai berikut: Pengunjung mengambil ensiklopedia dengan peluang yang sama untuk volume 1,2, dan 3,kemudian membacanya dan mengembalikan ensiklopedia ke tumpukan dengan posisi teratas. Dua pengunjung tidak pernah menggunakan ensiklopedia secara simultan (bersamaan). Jika permasalahan tersebubt dipandang sebagai rantai markov, a. Tentukan matriks transisinya? Apakah matriks transisinya regular? Mengapa? b. Tentukan steady-state vector untuk matriks transisi tersebut! 4. Jika p* dan q* berturut-turut menyatakan strategi optimal untuk pemain R dan C dalam suatu permainan two-zero sum matrix game (dengan matriks permainan berukuran m  n )dan ars merupakan saddle point dari matriks permainannya, buktikan bahwa:

E ( p* , q)  E ( p, q* ) untuk sembarang strategi p dan q ! 5. Suppose that we have an economy with labor, transportation and food industries. Let $1 in labor requires $0.40 in transportration and $0.20 in food while $1in transportration takes $0.50 in labor and $0.30 in transportration and $1 in food production uses $0.50 in labor, $0.05 in transportration and $0.35 in food. Let the demand for the current


21

production period be$10,000 labor, $20,000 transportratioin and $10,000 food. Find the production schedule for the economy!

UTS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2009/2010 Sutopo 1. Tunjukkan bahwa persamaan bidang yang melalui tiga titik noncollinear ( x1 , y1 , z1 ) ,

( x2 , y2 , z2 ) dan ( x3 , y3 , z3 ) dapat dinyatakan dalam bentuk determinan berikut x x1

y y1

z 1 z1 1

x2 x3

y2 y3

z2 1 z3 1

 0 dan tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik (1,1, 3) ,

(1, 1,1) dan (0, 1, 2) .

2. Masalah interpolasi kubik spline dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: Menentukan M 1 , M 2 ,..., M n yang memenuhi

1 0  0   0  0 0 

4 1 0  0 0 0 0  M 1   y1  2 y2  y3     y  2y  y   1 4 1  0 0 0 0  M 2  2 3 4    y3  2 y4  y5  0 1 4  0 0 0 0  M 3   6                  2   n     M n 2 yn 4  2 yn3  yn 2  0 0 0  4 1 0 0      0 0 0  1 4 1 0  M n1   yn 3  2 yn 2  yn1   y  2y  y  0 0 0  0 1 4 1   M n   n 2 n 1 n 

Tunjukkan bahwa dengan memberikan kondisi tambahan M 1  2M 2  M 3 dan

M n  2 M n 1  M n 2 persamaan di atas menjadi bentuk berikut 6 0 0 0  0 1 4 1 0  0  0 1 4 1  0             0 0 0 0  0 0 0 0 0  0  penyelesaian tunggal?

0 0 0  M 2   y1  2 y2  y3     y  2y  y   0 0 0  M 3  2 3 4       M4 y3  2 y4  y5  0 0 0  6              2   dengan mempunyai n  yn  4  2 yn 3  yn  2       M n 3       1 4 6   M n 2   yn 3  2 yn 2  yn1   y  2y  y  0 0 0   M n 1   n 2 n 1 n 

3. a. Tuliskan pengertian matriks transisi reguler. b. Tuliskan pengertian vector steady state dari rantai markov regular. HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

22

c. Tunjukkan dengan menggunakan sifat system persamaan linear homogeny bahwa vector steady state dsri rantai markov regular adalah vector tak nol dan tunggal. 4. Player R has two playing cards: a black ace and a red four. Player C also has two cards: a black two and red three. Each player secretly selects one of his or her cards. If both selected cards are the same color, player C pays player Rthe sum of the face values in dollars. If the cards are different colors, player R pays player C the sum of the face values. What are optimal strategies for both players and what is the value of the game?

UTS Teori Himpunan 2009/2010 Diah junia E.P. 1. Buktikan dengan sekurang-kurangnya dua jalan bahwa himpunan semua tupel-3 berurutan dari bilangan-bilangan alam adalah denumerabel. 2. Bahwa tidak semua himpunan tak hingga adalah denumerabel, tunjukkan dengan dua contoh yang saudara ketahui dan buktikan lengkap contoh saudara. 3. Buktikan jika S ekuipoten dengan himpunan refleksif maka S juga refleksif. Tetapi jika ekuipoten dengan himpunan induktif maka S juga induktif. 4. Bahwa himpunan A dikatakan ekuipoten dengan himpunan B jika dapat ditemukan pemetaan bijektif dari A ke B. Apabila pemetaan-pemetaan tersebut dapat ditemukan, dikatakan A ekuipoten efektif dengan B. Menemukan pemetaan bersifat demikian tidaklah mudah, maka ada cara lain untuk membuktikan ekuipotensi antara himpunan A dan B. a. Sebutkan cara lain tersebut. b. Buktikan lengkap jawaban a.

UTS Pengantar Teori Bilangan (PTB) 2009/2010 Budi S. 1. Pada himpunan semua bilangan bulat  didefinisikan operasi biner " " dan "@" dengan definisi a , b, c   ( a  b )  c  a  b  c dan ( a @ b ) @ c  abc a. Apakah operasi biner " " dan "@" masing-masing asosiatif, komutatif, dan kanselatif? Jelaskan jawaban anda! b. Apakah berlaku a @(b  c )  a @ b * a @ c jelaskan! 2. Diketahui { p1 , p2 , p3 ,...} adalah himpunan semua bilangan prima yang terurut dari kecil ke besar. Diberikan himpunan G  {( z1 , z2 ,..., zn , 0, 0,...) | n  , zi  , i  1, 2,..., n} Didefinisikan relasi R pada G dengan

23 z1 1

z2 2

zn n

q1 1

q2 2

( z1 , z 2 ,..., z n , 0, 0,...) R( q1 , q2 ,..., qk , 0, 0,...)  p p ... p  p p ... p

qk k

a. Buktikan R refleksif, antisimetris, dan transitif. HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

b. Apakah benar untuk setiap x, y  G berlaku aRbbRa a  b 3. Buktikan a. Prove : For all a, b, c  N , if a  b and c  a  b , then c  (a  b)  (c  b)  a . b. Find all natural numbers between n and n  2 , where n  N c. Prove : There does not exist a least integer. 4. Jelaskan kenapa system  merupakan perluasan dari  dan  merupakan perluasan dari  di dalam system dalam perkuliahan!(tidak menggunakan system di SMA) Jelaskan!

UAS Kalkulus II 2008/2009 Budi S./Ch. Rini. 1. Selesaikan masalah integral berikut! 1 dx a.  2 sin x  sin(2 x)  cos2 x 2

b.

 0

1 dx x (2  x) b

c. Diketahui c  0 . Tentukan nilai b yang memenuhi

 xe

 cx 2 1

0

dx  

e . 2c

2. Diberikan busur homogen r  1  cos  ,   0,   . Tentukan a. Panjang busur tersebut. b. Luas permukaan yang terjadi, jika busur tersebut diputar sejauh 360o terhadap sumbu X c. Luas permukaan yang terjadi, jika busur tersebut diputar sejauh 360o terhadap garis y  2 . 3. Kurva y  ax 2  x  5 menghubungkan titik A(0,5) dan B( x0 , y0 ) . Jika panjang busur  AB sama denga 1, tentukan koordinat titik B .  x  4(t  sin t ) 4. Suatu benda di bidang datar dibatasi di atas oleh kurva  di bawah oleh  y  4(1  cos t )

 x  4 cos 3 t garis  ,dan di kiri oleh garis x  0 , diputar 360o terhadap sumbu Y. 3 y  4sin t  a. Hitunglah luas area bidang tersebut. b. Volume benda putar yang terjadi. c. Hitunglah volume benda putaran yang terjadi jjika bidang tersebut diputar sekeliling garis x  1


24

UAS Kalkulus II 2009/2010 Ch. Rini/Atok Z. 1. Selesaikan persoalan integral berikut: a.



1  e 2 x dx

3

b.

1 dx x  5x  6 



2

2. Cari luas luasan putar yang terjadi apabila kurva y  e x untuk x  1diputar sekeliling sumbu X. 3. Tentukan luas area datar di dalam cardioid r  2  cos  dan di dalam kurva r  5cos  . 4. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika area di kuadran I, di bawah lingkaran 2

2

2

x 2  y 2  9 dan di atas astroida x 3  y 3  2 3 diputar sekeliling sumbu X. 5. Diberikan kurva

x  t  sin t   0  t  2 , tentukan luas luasan putar yang terjadi apabila y  1  cos t 

kurva tersebut diputar sekeliling garis y   x  1 .

UAS PSA I 2008/2009 Budi S./ Indah E.W. 1. Tentukan a. Order (2,1)  (1,1)  dalam grup factor ( 3 ,  2 )  (1,1)  .  1 2 3 b. Order grup factor ( 4 , S3 )  (1,  )  dengan      2 1 3 c. Semua homomorfisma grup dari (,  ) ke ( 5 , ) , dengan + adalah operasi jumlahan bilangan-bilangan bulat dan  adalah operasi jumlah modulo 5. 2. Diberikan epimorfisma f dari grup G ke grup G1 , subgroup normal H  G dengan sifat ker( f )  H , g dan g  berturut-turut merupakan epimorfisma kanonik dari G ke G / H

dan dari G1 ke G1 / f ( H ) sehingga dipenuhi g   f  h  g . 3. Diberikan grup G , N subgrup normal di G dan G  G / N . Buktikan x y  y  x jika dan hanya jika xy xy  N . 4. Cara suatu bujursangkar ABCD menempati bingkainya membentuk suatu grup G dengan anggota-anggota: r360 : Rotasi 360o searah dengan jarum jam.

r270

: Rotasi 270 o searah dengan jarum jam.

r180

: Rotasi 180o searah dengan jarum jam. HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

25

r90

: Rotasi 90 o searah dengan jarum jam.

d1

: Pencerminan titik-titik sudut bujursangkar terhadap diagonal utama.

d2

: Pencerminan titik-titik sudut bujursangkar terhadap diagonal bukan utama.

v : Pencerminan titik-titik sudut bujursangkar terhadap sumbu simetri tegaknya. h : Pencerminan titik-titik sudut bujursangkar terhadap sumbu simetri datarnya. a. Tentukan order G sebagai jumlahan berikut ini G  Z (G )   G : C ( g )  dengan gZ ( G )

Z (G ) adalah center G dan C ( g ) adalah centralizer g .

b. Tuliskan definisi suatu p-grup. Apakah G merupakan p-grup? Jelaskan jawaban anda! 5. Diberikan H dan K masing-masing subgrup dari G .Dalam G didefinisikan relasi R sebagai berikut: untuk setiap x, y  G . xRy  (h  H , k  K ) x  hyk a. Apakah relasi R merupakan relasi ekuivalensi? Terangkan jawaban anda! b. Jika jawaban (a) ya, maka deskripsikan elemen yang berbeda satu kelas dengan x0  G .

UAS PSA I 2009/2010 Budi S./Indah E.W. 1. Diketahui H dan K subgrup hingga di grup G . Jika o ( H ) dan o( K ) relatif prima buktikan K  H  {eG } . 2. Diketahui N subgrup normal G , G / N   5 dan N   2 buktikan G abel (komutatif terhadap operasinya). 3. Diketahui G grup dengan o (G )   . Buktikan G siklik jika dan hanya jika terdapat H subgrup sejati G sehingga H  G ! 4. Diberikan (G , ) suatu grup dan p suatu bilangan prima. Didefinisikan p(G )  {g  G | p k  g  eG untuk suatu k  }

a. Buktikan p (G ) merupakan subgrup di G . b. Untuk suatu p suatu bilangan prima dan k bilangan asli, buktikan bahwa

f :  p k  p ( /  )

z

z  pk

Merupakan homomorfisma grup yang injektif, dengan  pk dan  /  masing-masing merupakan grup aditif (grup terhadap operasi penjumlahan)


26

5. a. Carilah semua subgrup  4038090 Nyatakan permutasi dalam grup permutasi S12 berikut sebagai komposisi siklus-siklus  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  (cycle):     dari hasil komposisi tersebut,  3 4 5 10 1 8 7 9 6 12 11 2 

UAS Geometri Analitik 2008/2009 Atok Zulijanto. 1. Gambarlah kurva dengan persamaan dalam bentuk parameter berikut

x  sin  t   y  cos 2 t 

0  t 1 2. Dengan menggunakan translasi dan rotasi, sederhanakan persamaan berikut

2 x 2  12 xy  18 y 2  x  13 y  5  0 kemudian sketsalah kurvanya. 3. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (2, 1,3) , tegak lurus dengan bidang  x  2 y  3z  7 3 x  2 y  5 z  1 dan sejajar dengan garis  4 x  y  2 z  9 3 x  2 y  4 z  2 4. Carilah jarak titik (3, 2, 4) ke garis  2 x  3 y  z  10 5. Gambarlah dengan baik dan benar luasan derajat dua berikut. a.

x2 y2  z 9 4

b. 2 x 2  4 y 2  z 2  24 y  2 z  43  0 , diantara bidang y  1 dan y  7 6. Hypocicloid adalah kurva yang berupa lintasan suatu titik tertentu pada suatu lingkaran dengan jari-jari b yang menggelinding tanpa selip sepanjang keliling lingkaran bagian dalam dengan jari-jari a (dimana a>b). Apabila pusat lingkaran dengan jari-jari a tersebut berada pada pusat koordinat O(0,0), buktikan bahwa hypocycloid tersebut mempunyai a b persamaan dalam bentuk parameter x  ( a  b) cos   b cos(  ) dan b a b y  ( a  b )sin   b sin(  ) . Dengan  adalah sudut antara sumbu Xdengan garis b yang melalui O(0,0) kek pusat lingkaran dengan jari-jari b.

UAS Geometri Analitik 2009/2010 Moch. Tari. HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

27

1. Diketahui kurva dalam persamaan derajad dua . Dengan transformasi ubahlah persamaan itu sehingga menjadi bentuk yang sederhana. Buatlah gambarnya! 2 2 2. Diketahui dua kurva dalam system koordinat kutub   dan   1  sin  sin  ditanyakan: a. Titik potong kedua kurva. b. Daerah yang dibatasi kedua kurva. c. Persamaan kurva itu dalam system koordinat kartesius. 3. Gambarlah garis g dengan persamaan 2 x  3 y  3 z  4 ; 2 x  y  z  4 . Kemudian tentukan persamaan bidang yang melalui g dan titik (0, 4, 0) . Arsirlah bidang itu. 4. Gambarlah luasan x 2  y 2  4 y dan z  4  2 y . Kemudian tentukan bangun yang dibatasi kedua luasan itu dan bidang z  0 .

UAS Geometri Analitik 2009/2010 Atok Zulijanto. 1. Di sistem koordinat kutub gambarkan kurva r  1  2sin  dengan baik dan benar. 2. Dengan menggunakan transformasi koordinat, sederhanakan persamaan

3 x 2  12 xy  18 y 2  24 x  40 y  60  0 selanjutnya gambarlah kurvanya. 2 x  4 y  z  6 3. Cari persamaan bidang yang sejajar garis  dan tegak lurus bidang x  3 y  2z  2 2 x  3 y  5 z  3 serta melalui titik (2, 3,1) . 4. Gambar luasan-luasan berikut dengan baik dan benar a.

x2 y 2   2z 4 9

b. z  arctan y . 

  y 4 4

5. Titik P( x0 , y0 , z0 ) terletak pada luasan luasan

x2 y 2 z 2    1 . Cari persamaan bidang singgung a2 b2 c2

x2 y 2 z 2    1 tersebut di titik P . a2 b2 c2

UAS Mekanika 2008/2009 Juliasih P.


28

1. Sebuah meriam dipasang di kaki bukit yang memiliki sudut kemiringan  . Meriam menembakkan pelurunya berkelajuan v0 kearah bukit dengan sudut  (terhadap horizontal). a. Hitung kearah mana meriam harus diarahkan supaya mencapai jangkauan maksimum! b. Berapakah jangkauan maksimumnya! 2. Sebuah elevator turun ke lantai dasar dengan percepatan yang besarnya 4 m / s 2 . Jika massa anda 50 kg dan anda sedang berdiri di atas timbangan badan dalam elevator tersebut (anggap percepatan gravitasi bumi 10 m / s 2 ) a. Berapa pembacaan timbangan saat elevator sedang bergerak? b. Bagaimana hasil pembacaan tersebut jika elevator bergerak naik ke lantai atas dengan percepatan yang sama dengan saat turun? 3. Sebuah partikel dengan massa m bergerak di bawah fungsi energi potensial

U (r )   r 2   xy   z dengan  ,  ,dan  adalah tetapan positif. Jika pada saat t  0 ,  partikel di titik asal dengan kecepatan v 0 maka a. Apakah partikel tersebut bergerak di bawah pengaruh gaya konservatif?  b. Hitunglah kecepatan partikel ketika melewati titik r  iˆ  2 ˆj  kˆ ! 4. Sistem koordinat ( XYZ ) yang bervektor satuan (iˆ, ˆj , kˆ) berotasi terhadap system koordinat inersial ( X Y Z ) melalui pusat koordinat yang sama. Pada saat t, kecepatan  sudut relatif ( XYZ ) terhadap ( X Y Z ) adalah   (2t  4)iˆ  2tjˆ  2t  4t 2 kˆ sebuah  partikel menurut ( XYZ ) berada pada posisi r  (t 2  1)iˆ  6tjˆ  4t 2 kˆ a. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel menurut ( XYZ ) pada saat t  1 ! b. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel menurut ( X Y Z ) pada saat t  1

UAS Mekanika 2009/2010 Juliasih P. 1. Sebuah partikel bergerak dalam dua dimensi dibawah pengaruh gaya sentral yang ditentukan oleh fungsi tenaga potensial V (r )   r P   r Q dengan  dan  adalah konstanta. Tentukan besar P dan Q yang memungkinkan gaya tersebut mempunyai orbit spiral r  c 2 dengan c adalah konstanta. 2. Seorang perenang mengarah langsung ke seberang sebuah sungai, berenang dengan laju 1, 6 m / s relatif terhadap air sungai. Dia tiba di titik 40 m di hilir dari titik tepat di seberang sungai yang lebarnya 80 m. a. Berapakah kelajuan arus sungai? b. Berapakah kelajuan perenang relatif terhadap tanah? HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA (HIMATIKA) | http://himatika.mipa.ugm.ac.id/

29

c. Kearah mana perenang itu harus berenang agar tiba di titik tepat di seberang titik awalnya?  3. Ditentukan suatu gaya konservatif F  (2 xy  z 3 )iˆ  x 2 ˆj  3 xz 2 kˆ a. Carilah tenaga potensial V ( x, y , z ) ! b. Hitunglah usha yang dilakukan gaya tersebut jika benda bergerak dari titik (1, 2,1) ke titik (3,1, 4) ! 4. Sebuah elevator turun ke lantai dasar dengan percepatan yang besarnya 4 m / s 2 . Jika massa anda 70 kg dan anda sedang berdiri di atas timbangan badan dalam elevator tersebut, berapakah pembacaan timbangan tersebut dalam elevator? Bagaimana pembacaan timbangan tersebut bila sesaat setelah berhenti, elevator bergerak naik dengan besar percepatan 2 m / s 2 ?(diketahui g  10m / s 2 )

UAS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2008/2009 Yeni Susanti. 1. Perhatikan gambar cakram beserta suhu di sisi-sisinya berikut empat titik interiornya. a. Tulislah system linear yang menggambarkan perkiraan suhu di empat titik interiornya kemudian selesaikan persamaan tersebut. b. Gunakan Jacobi iteration untuk menghitung t ( k ) , k  1, 2,3, 4,5 dengan t (0)  0

2. Misalkan dalam kasus X-linked inheritance, female dengan genotype Aa tidak dapat bertahan hidup menjadi female dewasa, tentukan matriks transisi M untuk kasus tersebut. Jika vector inisial x mempunyai entri yang “equally likely” , hitunglah

x ( k ) , k  1,...,5 .

30


3. Misalkan suatu populasi hewan dibagi ke dalam 3 kelas umur dan mempunyai matriks    0 4 6   1 Leslie L   0 0  selidiki apakah L mempunyai nilai eigen dominan. Jika ya, 2    1 0 0 3   tentukan vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dominannya. Kemudian tentukan banyaknya hewan dalam masing-masing kelas umur untuk jangka panjang. 4. Misalkan suatu populasi hewan dibagi ke dalam 3 kelas umur dengan rentang 1 tahunan dan mempunyai matriks Leslie L seperti pada soal no 3. a. Tentukan matriks panen untuk uniform harvesting. b. Tentukan matriks panen jika hanya kelas kedua yang dipanen. Berapa persenkah hewan yang dipanen? c. Tentukan matriks panen jika dua kelas dipanen secara bersamaan (kerjakan untuk semua kemungkinan pemanenan dua kelas secara bersamaan)

UAS Aljabar Linear Terapan (Alinter) 2009/2010 Sutopo. 1. Buktikan bahwa suatu matriks konsumsi C produktif jika dan hanya jika ada vector produksi x  0 sedemikian sehingga x  Cx . 2. Jelaskan proses penurunan model Forest Management. 3. Diberikan p1 , p2 ,..., pn vector-vektor plaintext yang bebas linear dan diberikan

c1 , c2 ,..., cn vector-vektor ciphertext yang berkorespondensi di n-cipher Hill. Jika  p1T  c1T   T  T p2  c T T  P adalah matriks n  n dengan vector-vektor baris p1 ... pn dan jika C   2       T  T  pn  cn  adalah matriks n  n dengan vector-vektor baris c1T ...cnT , maka buktikan bahwa sederet/berhingga operasi elementer baris yang mereduksi C menjadi I akan mereduksi P menjadi ( A1 )T . 4. Show that the net reproduction rate R, defined by 17, can be interpreted as the average number of daughters born to a singlefemale during her expected lifetime.


31

UAS Teori Himpunan 2009/2010 Diah junia E.P. 1. Apabila I adalah himpunan indeks dan H sebarang himpunan sehingga H   H i maka iI i

a. Tunjukkan bahwa H tak lain adalah

H

i

yaitu pergandaan kartesius Hi

iI

b. Bagaimana

H

i

jika salah satu Hi adalah himpunan kosong  .

iI

2. Diberikan himpunan H1 , H 2 dan K maka buktikan a. ( H1  H 2 ) K ekuipoten dengan H1K  H 2 K b. (kardH1  kardH 2 )kardK  ( kardH1 )kardK  ( kardH 2 ) kardK c. Kard himpunan H1  H 2 sama dengan kard H 2  H1 walaupun H1  H 2 belum tentu sama dengan H 2  H1 d. Jika n bilangna alam maka n.kard K merupakan penjumlahan berulang kard K sebanyak n suku. 3. Teorema Cantor menyatakan bahwa tidak ada bilangan transfinite terbesar. Buktikan! 4. Jika N himpunan bilangan alam dan R himpunan bilangan real, tentukan a. Kard R.kard N. b. 1.kard Kdengan K sembarang himpunan. c. Kard R + kar N. d. Kard R+n dengan n bilangan alam. e. (kard N)n dengan n bilangan alam. f. (kard R)kard N Ket : ”kard” singkatan kardinal.

UAS Pengantar Teori Bilangan (PTB) 2009/2010 Budi S. 1. Prove : If r  s , then s  (r  s) / 2 , for all r, s   . 2. Diketahui  himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan  :      yang memenuhi a. (x, y   )(! a   ) x  a  y untuk selanjutnya dinyatakan a   y, x  b. (x, y , z   )( x * y ) * z  xy  yz Selidiki sifat * di  (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk  x, y  . Beri penjelasan!


32

3. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7 p  8 x 2  1 dan p 2  2 y 2  1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi! 4. Bilangan bulat n dikatakan bentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat k sedemikian hingga n  k 2 . Diketahui x, y dan z adalah bilangan asli. Buktikan xy  1 , xz  1 ,dan yz  1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika ( xy  1)( xz  1)( yz  1) .

HIMATIKA ©2010 Kritik & saran 0818463161

33


2010

Recommend Documents