Rumus-rumus Matematika
1
Sesuai SKL UN 2010
KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA UNTUK SMP SESUAI DENGAN STANDAR KOMPETENSI LULUSAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SKL Nomor 1 : Menggunakan konsep operasi hitung dan sifat-sifat bilangan, perbandingan, aritmetika sosial, barisan bilangan, serta penggunaannya dalam pemecahan masalah. 1. Operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada bilangan bulat Contoh = 2+3=5 2 + (-3) = -1 -2 + 3 = 1 -2 + (-3) = - 5 2 – 3 = -1 2 - (-3) = 5 -2 – 3 = -5 -2 - (-3) = 1
2.
3. * *
4.
5.
2x3=6 2 x (-3) = -6 -2 x 3 = -6 -2 x (-3) = 6 6:2=3 6 : (-2) = -3 -6 : 2 = -3 -6 : (-2) = 3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan pecahan Contoh : 2 4 2x5 4x3 1012 22 8 4 = = = =1 =1 3 5 3x5 15 15 14 7 3 1 3x2−1x5 6−5 1 − = = = 5 2 5x2 10 10 3 2 3x2 6 3 x = = = 4 5 4x5 20 10 1 2 1 5 1 x5 5 : = x = = 3 5 3 2 3 x2 6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan skala dan perbandingan. Skala = ukuran pada gambar dibanding ukuran sebenarnya. >>> catatan : pada perhitungan soal sebaiknya satuan panjang disamakan terlebih dahulu. Jika p : q = r : s maka berlaku q∗r p∗s p∗s q∗r p= atau q= atau r = atau s= s r q p Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan jual beli Jika harga jual (J), harga beli (B), untung (U) dan perdagangan menghasilkan untung = pu% dari pembelian maka : J = B + U; B = J – U; U = J – B; J −B pu ∗B J ∗100 pu = ∗100 % ; J = B ; B= B 100 100 pu Jika harga jual (J), harga beli (B), rugi (R) dan perdagangan menderita kerugian = pr % dari pembelian maka : J = B – R; B = J + R; R = B – J; B −J pr ∗B J ∗ 100 pr = ∗100 % ; J = B − ; B= B 100 100 − pr Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbankan dan koperasi : Jika jumlah tabungan (T); persentase bunga (p%) per tahun; lama menabung (y) tahun atau (m) bulan dan besar bunga (B), maka berlaku : p ∗T ∗ y Jumlah tabungan setelah y tahun =T 100
Rumus-rumus Matematika
1
Sesuai SKL UN 2010
Jumlah tabungan setelah mbulan =T
p ∗T ∗m 12 ∗100
p ∗T ∗y 100 p ∗T ∗m Jumlah bunga tabungan yang diterima setelah mbulan = 12 ∗100 Jika diketahui tabungan awal (TA) dan setelah (y) tahun tabungan menjadi TB, maka : Jumlah bunga yang diterima setelah (y) tahun = TB – TA. TB −TA Persentase bunga pertahun = ∗ 100 % y ∗TA TB −TA Persentase bunga perbulan = ∗100 % 12 ∗y ∗TA Jika diketahui tabungan awal (TA) dan setelah (m) bulan tabungan menjadi TB, maka : Jumlah bunga yang diterima setelah (m) bulan = TB – TA. TB −TA∗ 12 Persentase bunga pertahun = ∗ 100 % m∗TA TB −TA Persentase bunga perbulan = ∗ 100 % m∗TA 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan bilangan Barisan bilangan aritmetika dengan suku pertama (a) dan selisih antar suku (b) : a , a+b , a+2b , a+3b, ... Beda = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1 Suku ke-n = a + (n-1)b n Jumlah n suku yang pertama = a Un 2 Barisan bilangan geometri dengan suku pertama (a) dan rasio antar suku (r), berlaku : a , a.r , a.r2 , a.r3 , ... U 2 U3 Un = = Rasio = Suku ke – n = a.rn-1 U 1 U 2 U n −1 a r n − 1 Jumlah n suku yang pertama = p−1 Barisan bilangan asli ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, ... Suku ke-n = 2n – 1 Jumlah n suku yang pertama = n 2 Barisan bilangan asli genap : 2, 4, 6, 8, 10, ... Suku ke – n = 2n Jumlah n suku yang pertama = n(n + 1) Bilangan persegi : 1, 4, 9, 16, ... Suku ke – n = n 2 Bilangan persegi panjang : 2, 6, 12, 20, ... 1 Suku ke – n = n(n+1) 1 2 1 Bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, ... 1 3 3 1 Suku ke – n = ½ n(n + 1) 1 4 6 4 1 Bilangan segitiga Pascal : 1 5 10 10 5 1 Jumlah bilangan baris ke – n = 2 n – 1 Jumlah bunga tabungan yang diterima setelah y tahun =
Rumus-rumus Matematika SMP
2
Sesuai SKL UN 2010
SKL Nomor 2 : Memahami operasi bentuk aljabar, konsep persamaan dan pertidaksamaan linear, persamaan garis, himpunan, relasi, fungsi, sistem persamaan linear, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah. 1. Mengalikan bentuk aljabar. 3 * a = 3a a * a = a2 a2 * a3 = (a*a)*(a*a*a) = a5 2a3 * 4a2 = 2*4*a3*a2 = 8a5 2. Menghitung operasi tambah, kurang, kali, bagi atau kuadrat bentuk aljabar Penjumlahan dan pengurangan (khusus pada suku sejenis = suku dengan variabel sama) : a + a = 2a 2a – 3a = (2 – 3)a = -1a 2a + 2b + 4a = 6a + 2b 2a2 + 3a3 - 5a2 = -3a2 + 3a3 Perkalian pada bentuk aljabar dengan suku lebih dari satu : a x b = ab a x –b = -ab -a x b = - ab -a x –b = ab 2 2 2 axa=a a x ab = a b b x ab = ab a2b x ab3 = a3b4 a(b + c) = ab + ac a(b – c) = ab – ac (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Pembagian pada bentuk aljabar : a5 : a2 = a3 8a4 : 4a2 = (8 : 4)(a4 : a2) = 2a2 Pengkuadratan bentuk aljabar : (3a)2 = (32)(a2) = 9a2 (2a4b3)2 = (22)(a4)2(b3)2 = 4a8b6 2 2 (a + b) = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 − b2 3. Menyederhanakan bentuk aljabar dengan memfaktorkan Bentuk soal Bentuk hasil pemfaktoran Bentuk aljabar dengan FPB 1. ab + ac a(b + c) 2. ab – ac a(b – c) 2 Bentuk aljabar ax + bx + c 1. ax2 + bx + c (px + r)(qx + s) 2. ax2 − bx + c
(px − r)(qx − s)
3. ax2 − bx − c
(px − r)(qx + s)
Keterangan a adalah FPB dari ab dan ac a adalah FPB dari ab dan ac p*q = a r*s = c p*q = a −r*−s = c p*q = a −r*s = −c
r*q + p*s = b −r*q + p*−s = −b −r*q + p*s = −b
Bentuk aljabar selisih dua kuadrat
(a + b)(a – b) a2 − b2 4. Menentukan irisan atau gabungan dua himpunan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan irisan atau gabungan dua himpunan. Diketahui dua himpunan A dan B, maka berlaku : − Himpunan Bagian : o Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B ⇒ “A ⊂ B” jika semua/setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. o Himpunan A dikatakan bukan himpunan bagian dari himpunan B ⇒ “A ⊄ B” jika terdapat satu atau lebih anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota Rumus-rumus Matematika
3
Sesuai SKL UN 2010
himpunan B. o Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A itu sendiri ⇒ “A ⊂ A” o Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A = 2n(A) − Hubungan antara dua himpunan : o Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling lepas atau saling asing jika tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. o Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling berpotongan (tidak saling lepas) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, dan terdapat anggota A yang bukan anggota B dan terdapat anggota B yang bukan anggota A o Himpunan A sama dengan himpunan B → “A = B” jika anggota A tepat sama dengan anggota B o Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B. − Operasi Himpunan : o Irisan himpunan A dan himpunan B ⇒ “A ∩ B” adalah sebuah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota A yang sekaligus menjadi anggota B Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A Jika A = B maka A ∩ B = A atau A ∩ B = B o Gabungan himpunan A dan himpunan B ⇒ “A ∪ B” adalah sebuah himpunan baru yang anggotanya adalah semua anggota A dan semua anggota B yang bukan anggota A ∩ B. A ∪ B = {x/x ∈ A atau x ∈ B} Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B Jika A = B maka A ∪ B = A = B Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, n(B) = banyaknya anggota himpunan B, dan n(A ∩ B) = banyaknya anggota A irisan B, maka banyaknya anggota A gabungan B adalah : n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) o Selisih (defference) himpunan A dan himpunan B ⇒ “A − B” atau “A\B” adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. A − B ={ x/x ∈ A atau x ∉B} B − A ={ x/x ∈ B atau x ∉A} o Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan Semesta (S) tetapi bukan anggota A. Ac = A′ = { x/x ∈ S dan x ∉A} o Sifat-sifat operasi dua himpunan Pada irisan dua himpunan A∩B = B∩Α (komutatif) A∩(Β∩C) = (A∩Β)∩C (Assosiatif) A∩Α = Α A∩∅ = ∅ A∩S = Α (identitas) Pada gabungan dua himpunan Rumus-rumus Matematika SMP
4
Sesuai SKL UN 2010
A∪B = B∪C (komutatif) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (Assosiatif) A∪Α = Α A∪∅ = Α A∪S = S (identitas) Distributif irisan terhadap gabungan A∩(B∪C) = (A∩B)∪(Α∩C) Distributif gabungan terhadap irisan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(Α∪C) Sifat komplemen A∪Αc = S A∩Ac = ∅ Ac∩S = Ac (Ac)c = A Hukum De Morgan (A∪B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc 5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi. − Relasi antara himpunan A dan B adalah pemasanagan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B berdasarkan aturan tertentu. − Relasi dapat disajikan dengan : (1) diagram panah, (2) diagram kartesius, (3) himpunan pasangan berurutan. − Pemetaan atau fungsi adalah relasi dari himpunan A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. − Syarat-syarat pemetaan dan fungsi : ◊ Pada diagram Panah : » Semua anggota A mempunyai pasangan di B, dan » Tidak ada satupun anggota A yang berpasangan dengan lebih dari satu anggota B ◊ Pada diagram kartesius : » Semua anggota A mempunyai pasangan di B (ditandai dg titik koordinat) » Tidak ada dua atau lebih titik koordinat yang yang segaris vertikal (keatas) ◊ Pada himpunan pasangan berurutan : » Semua anggota A ditulis sekali pada setiap pasangan. Contoh Pemetaan Contoh bukan pemetaan 1. a.
b.
a b c d
1 2 3
1 2 3
a b c d
1 2 3
a b c d
1 2 3
a b c
Pada contoh (a) berlaku : {1,2,3} disebut domain (daerah asal) {a,b,c,d} disebut kodomain (daerah kawan} (a,c,d} disebut range (daerah hasil) 2. d c b a 1
2
3
3. {(1,a) , (2,c) , (3,c)}
Rumus-rumus Matematika
A
1
2
3
A
{(1,a) , (1,c) , (2,b) , (3,d)}
5
Sesuai SKL UN 2010
Notasi pemetaan/fungsi : ◊ Sebuah fungsi f memasangkan setiap x anggota A dengan y anggota B dituliskan notasinya adalah f : x → y dibaca “ fungsi “f memetakan x ke y”. y disebut bayangan atau peta dari x oleh fungsi f atau dapat ditulis dalam bentuk rumus f(x) = y. − Jika banyaknya anggota A adalah n(A) dan banyaknya anggota B adalah n(B) maka banyaknya pemetaan yang mungkin dibuat dari A ke B adalah = n(B)n(A) dan banyaknya pemetaan yang mungkin dibuat dari B ke A adalah = n(A)n(B) − Korespondensi satu-satu antara himpunan A dan B adalah jika setiap anggota A mempunyai pasangan hanya satu anggota B dan setiap anggota B hanya berpasangan dengan satu anggota A. − Jika n(A) = n(B) = k maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dibuat dari A ke B adalah = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x k 6. Menentukan gradient, persamaan garis dan grafiknya. – Gradien adalah ukuran kemiringan sebuah garis terhadap garis mendatar (horisontal). Jika sebuah garis membentuk sudut α dengan garis mendatar maka gradien garis tersebut = tg α atau komponen y m= komponen x Jika sebuah titik A(x1 , y1) dan B (x2 , y2) maka gradien garis yang melalui titik A dan B y 2− y 1 adalah mAB = x 2−x 1 Jika diketahui sebuah garis mempunyai persamaan → y = ax + b maka gradien garis itu adalah m = a ==>>> tips menentukan gadien jika dalam soal diketahui sebuah persaman garis adalah mengubah persamaan garis itu sehinnga berbentuk y = ax + b. – Persamaan garis : Persamaan garis yang melalui titik P(x1 , y1) dan mempunyai gradien m mempunyai persamaan ==>>> y – y1 = m(x – x1) y− y 1 x−x 1 = Persamaan garis yang melalui titik A(x1 , y1) dan B (x2 , y2) adalah ==>> y 2− y 1 x 2 −x 1 Jika garis k sejajar dengan garis l maka gradien kedua garis sama besar. ==>>> mk = ml Jika garis a tegak lurus dengan garis b maka perkalian gradien garis itu sama dengan -1 ==>>>> ma x mb = - 1 Menentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis y = ax + b dan melalui titik A(x1 , y1) ==>>>> y – y1 = a(x – x1) Menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = ax + b dan melalui titik −1 A(x1 , y1) ==>>>> y – y1 = (x – x1) a 7. Menentukan penyelesaian system persamaan linear dua variable. Contoh Soal : Amir membeli 2 kg gula dan 3 kg terigu dengan harga Rp. 16.000,- Agung membeli 3 kg gula dan 4 kg terigu di toko yang sama dengan harga Rp. 23.000,- Berapa harga 1 kg gula dan 1 kg terigu di toko itu? Jawab : − Dengan metode/cara eliminasi : 6x + 3y = 36 000 |x 1| 6x + 3y = 36 000 3x + 4y = 23 000 |x 2| 6x + 8y = 46 000 _ −
Rumus-rumus Matematika SMP
6
Sesuai SKL UN 2010
0 – 5y = –10 000 y = – 10 000 / 5 y = 2 000 Langkah-langkah : 6x + 3y = 36 000 |x 4| 24x + 12y = 144 000 1. Tentukan variabel yg akan dihilangkan. 2. Jika koefisien variabel yg akan dihilangkan 3x + 4y = 23 000 |x 3| 9x + 12y = 69 000 _ belum sama, samakan terlebih dahulu dengan 15x + 0 = 75 000 cara mengalikan dengan suatu bilangan. x = 75 000 / 15 3. Perhatikan tanda + atau ─ pada variabel yg x = 5 000 akan dihilangkan, jika kedua variabel itu dengan cara/metode substitusi : bertanda sama ==> “+ dan +” atau “– dan –“ maka kedua persamaan harus di (i) 6x + 3y = 36 000 <=> 6x = 36 000 – 3y kurang, jika tandanya berbeda ==> “+ dan 36 000 − 3y x= –“ atau “– dan +” maka kedua persamaan harus 6 di tambah. x = 6 000 – ½y 4. Selesaikan dan ulangi lagi untuk variabel yg (ii) 3x + 4y = 23 000 <=> 3(6 000 – ½y) + 4y lain. = 23 000 18 000 – 3/2 y + 4y = 23 000 – 3/2 y + 4y = 23 000 – 18 000 −3 8 y = 5 000 2 5 y = 5 000 2 2 y = 5 000 ∗ =2 000 5 Dengan cara/metode grafik : Gambar garis berdasarkan persamaan (1) dan (2) pada koordinat kartesius. Penyelesaian adalah koordinat titik potong kedua garis. Dengan metode gabungan antara eliminasi dan substitusi : Lakukan eliminasi terhadap salah satu variabel hingga diperoleh nilai variabel itu. Nilai variabel yang telah diperoleh kemudian disubstitusikan pada salah satu persamaan hingga diperoleh nilai variabel yang lain.
Rumus-rumus Matematika
7
Sesuai SKL UN 2010
SKL Nomor 3 : Memahami bangun datar, bangun ruang, garis sejajar, dan sudut, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah. 1. Menyelesaikan soal dengan menggunakan teorema Pythagoras Teorema Pythagoras : “kuadrat hipotenusa (sisi terpanjang) suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah dari kuadrat sisi-sisi yang lain” Perhatikan gambar disamping, rumus Pythagoras yang A berlaku berdasarkan gambar disamping adalah : a. sudut B → sudut siku-siku b. sisi AC → sisi di depan sudut siku-siku merupakan sisi c cm b cm terpanjang (hipotenusa) c. Rumus Pythagoras : AC 2 = AB 2 + BC 2 atau b 2 = c 2 + a 2 Dari rumus tersebut dapat diperoleh rumus lain : B a cm C AB 2 = AC 2 − BC 2 atau c = b 2 − a 2 BC 2 = AC 2 − AB 2 atau a 2 = b 2 − c 2 Tripel Pythagoras : “pasangan tiga buah bilangan dimana kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain”, jadi misannya p,q, r merupakan tripel Pythagoras dan p merupakan bilangan terbesar maka berlaku : p2 = q2 + r 2 → p = q2 − r2 2. Menghitung luas bangun datar Nama Bangun A B
Rumus Luas dan Keliling Persegi Panjang : L = AB x BC K = 2( p + l) = p x l p = panjang l = lebar
D
C A
s
B
s D A
C
s = panjang sisi Segitiga L = ½ x Alas x Tinggi = ½xaxt
C
A
tinggi Tinggi B
C Alas
Rumus-rumus Matematika SMP
Bujursangkar / Persegi L = AB x BC K=4xs = s x s = s2
K = AB + BC + AC
B
C alas
8
Sesuai SKL UN 2010
A
Jajar genjang L = alas x tinggi
B tinggi
K = 2( AB + BC)
D
C alas p
A
B
Trapesium L = ½ x t x jumlah sisi yang sejajar L = ½ x t x ( p + q)
tinggi
K = AB + BC + CD + AD D
q
C
A D
Belah ketupat L = ½ x BD x AC L = ½ x d1 x d2
B C A D
B
K = 2 (AB + BC) d1 = diagonal pertama d2 = diagonal kedua Layang-layang L = ½ x DB x AC L = ½ x d1 x d2 K = 2(AB + CD) d1 = diagonal pertama (DB) d2 = diagonal kedua (AC) Lingkaran L = πr2 K = 2πr
C
r
π = 22/7 atau 3,14 r = jari-jari lingkaran
3. Menghitung keliling bangun datar dan penggunaan konsep keliling dalam kehidupan seharihari Satu kali putaran roda = keliling roda 4. Menghitung besar sudut pada bidang datar Persegipanjang dan persegi • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua sudut yang berhadapan sama besar = 90° Segitiga • Jumlah besar ketiga sudutnya = 180° Jajargenjang Rumus-rumus Matematika
9
Sesuai SKL UN 2010
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar • Dua pasang sisi yang berdekatan jumlahnya = 180° Trapesium • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • ∠ ADC+ ∠ DAB = 180° dan ∠ ABC + ∠BCD = 180° Belah ketupat • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar Layang-layang • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Sepasang sudutnya sama besar → ∠DAB = ∠DCB 5. Menghitung besar sudut yang terbentuk jika dua garis berpotongan atau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain.
1 4
5 8
2 3
9 12
Hubungan antara dua sudut : bertolak belakang : ∠ 1 = ∠ 3; ∠ 2 = ∠ 4 berpelurus : ∠ 1 + ∠ 2 = 180°; ∠ 2 + ∠ 3 = 180°; ∠ 3 + ∠ 4 = 180° ∠ 4 + ∠ 1 = 180° berpenyiku : ∠ a + ∠ b = 90°
6 7 10
11
∠ 5 = ∠ 9, ∠ 6 = ∠ 10, ∠ 8 = ∠ 12 ∠ 7 = ∠ 11 Dalam sepihak : ∠ 7 + ∠ 10 = 180° ∠ 8 + ∠ 9 = 180° Luar sepihak : ∠6 + ∠ 11 = 180° ∠ 5 + ∠ 12 = 180° Dalam berseberangan : ∠ 7 = ∠ 9; ∠ 8 = ∠ 10 Luar berseberangan : ∠ 6 = ∠12; ∠5 = ∠11 Sehadap :
6. Menghitung besar sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran ⇒ Sudut pusat pada sebuah lingkaran adalah sudut yang terbentuk dari dua buah jari-jari lingkaran dengan titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran. ⇒ Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang terbentuk dari A dua buah tali busur yang berpotongan tepat pada keliling B lingkaran. Sudut AOB (∠AOB) adalah sudut pusat dengan titik sudut O (O juga sebagai titik pusat lingkaran) Sudut DCE (∠ DCE) adalah sudut keliling dengan titik sudut C yang berada pada keliling lingkaran ⇒
D O C E
Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling : “Besarnya sudut pusat sama dengan dua
Rumus-rumus Matematika SMP
10
Sesuai SKL UN 2010
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
kali besarnya sudut keliling yang menghadapi busur yang sama” atau “ Besarnya sudut keliling sama dengan setengah kali besar sudut pusat yang menghadapi busur yang sama” Contoh : Perhatikan gambar disamping : A B ∠ ΑΟΒ → sudut pusat menghadapi busur AB ∠ ACB → sudut keliling menghadapi busur AB, karena kedua sudut menghadapi busur yang sama yaitu busur AB maka berlaku : O ◊ ∠ ΑΟΒ = 2 x ∠ ACB; atau ◊ ∠ ACB = ½ x ∠ ΑΟΒ C Sifat sudut keliling : ◊ Sebuah sudut keliling yang menghadapi diameter lingkaran merupakan sudut siku-siku (90°) ◊ Dua sudut keliling yang menghadapi busur yang sama adalah sama besar. Segiempat talibusur adalah segiempat yang terbentuk dari empat buah tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran. A B Sifat-sifat segiempat talibusur : ◊ Jumlah besar dua sudut yang berhadapan pada segiempat talibusur E O sama dengan 180° ==> ∠ABC + ∠ ADC = 180°; ∠ DAB + ∠ BCD = 180° ◊ Hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah perkalian sisi- D sisi yang berhadapan (sifat Ptolomeus) ==> AC x BD = (AB x CD) + C (AD x BC) ◊ Hasil kali bagian-bagian diagonalnya sama ==> AE x EC = DE x EB A Sudut antara dua tali busur : C Sudut dalam adalah sudut yang terbentuk karena dua tali busur D E berpotongan di dalam daerah lingkaran. Besarnya sudut dalam sama dengan jumlah dua sudut keliling yang menghadapi busur yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya. ◊ Talibusur AB berpotongan dengan talibusur CD di titik E yang terletak di dalam daerah lingkaran, maka sudut CEB dan sudut AED B disebut sudut dalam. Karena kedua sudut saling bertolak belakang maka besar kedua sudut sama. ◊ ∠ CEB ==> sudut dalam menghadapi busur CB ∠ AED ==> sudut dalam menghadapi busur AD ∠ CDB ==> sudut keliling menghadapi busur CB ∠ ABD ==> sudut keliling menghadapi busur AD, maka berlaku : ∠ CEB = ∠ AED = ∠ CDB + ∠ ABD Sudut luar adalah sudut yang terbentuk karena dua tali busur A berpotongan di luar daerah lingkaran. Besarnya sudut luar sama dengan selisih dua sudut keliling yang menghadapi D busur yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya. ◊ Talibusur AB berpotongan dengan talibusur CD di titik E B yang terletak di luar daerah lingkaran, maka sudut AED dan sudut BEC disebut sudut luar. Karena kedua sudut C berimpit maka besar kedua sudut sama. E ◊ ∠ ΒEC ==> sudut luar menghadapi busur BC
Rumus-rumus Matematika
11
Sesuai SKL UN 2010
∠ AED ==> sudut luar menghadapi busur AD ∠ CDB ==> sudut keliling menghadapi busur BC ∠ ABD ==> sudut keliling menghadapi busur AD, maka berlaku : ∠ ΒEC = ∠ AED = ∠ ΑBD - ∠ ΒDC 7. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kesebangunan Gambar dan model berskala, foto dan peta jarak pada peta skala = jarak sebenarnya panjang pada model / gbr / foto lebar pada model / gbr / foto tinggi pada model / gbr / foto = = panjang sebenarnya lebar sebenarnya tinggi sebenarnya Bangun-bangun yang sebangun Syarat dua bangun yang sebangun : ■ Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ■ Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Syarat dua segitiga yang sebangun : A ■ Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sebanding (S, S, S) P ■ Dua sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga B sama besar (Sd, Sd) C ■ Satu sudut sama besar dan dua sisi yang mengapit sudut itu sebanding (S, Sd, S) Jika terdapat dua segitiga sebangun maka perbandingan ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. Contoh ==> jika Q R segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun maka berlaku : AB BC AC = = K PQ QR PR N Rumus-rumus dalam segitiga siku-siku 2 2 2 ■ KM = KL + LM (teorema pythagoras) 2 ■ LN = KN x NM 2 ■ LM = MN x MK L M 2 ■ KL = KN x KM 8. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kongruensi Sifat kongruensi : Jika dua bangun datar sisi lurus kongruen maka : Sisi-sisi yang bersesusian pada kedua bangun datar sama panjang. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun datar sama besar. Syarat dua segitiga kongruen : Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sama panjang (S, S, S) Terdapat satu sudut pada kedua segitiga sama besar dan dan dua sisi yang mengapit sudut itu pada kedua segitiga sama panjang. (S, Sd, S) Terdapat dua sudut pada kedua segitiga sama besar dan satu sisi pada kedua segitiga sama panjang. (Sd, S, Sd)
Rumus-rumus Matematika SMP
12
Sesuai SKL UN 2010
9. Menentukan unsur-unsur bangun ruang sisi datar H Kubus Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang yaitu AB=BC=CD= E F AD=AE=EF=BF=CG=GH=DH=EH=AD Mempunyai 12 diagonal sisi yang sama panjang yaitu : AC=BD= D AF=BE=AH=DE=DG=CH=BG=CF=EG=FH Mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang yaitu : A B AG=HB=CE=DF Mempunyai 8 titik sudut. Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegi yaitu : ABCD, ABFE, ADHE, DCGH, BCFG, dan EFGH. Balok. H Mempunyai 12 rusuk yaitu AB=CD=EF=GH; AD=BC=FG=EH; AE=BF=CG=DH E F Mempunyai 12 diagonal sisi yaitu : AC=BD=EG=HF; AF=BE=CH=DG; BG=CF=AH=DE D Mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang yaitu : AG=HB=CE=DF A B Mempunyai 8 titik sudut. Mempunyai 6 buah sisi yaitu : ABCD ≅ EFGH, ABFE ≅ DCGH, BCGF ≅ ADHE. Prisma Nama dari prisma tergantung pada bentuk alasnya. Prisma dengan alas F segi-n maka : D banyaknya rusuk = 3 x n banyaknya sisi = n + 2 Contoh prisma segitiga. Banyaknya rusuk = 3 x 3 = 9, yaitu AB, BC, AC, AD, BE, CF, DE, C EF, DF. Banyaknya sisi = 3 + 2 = 5, yaitu ABC (alas), ABDE, BCEF, A ACFD, DEF (tutup) Banyaknya diagonal sisi = 6 yaitu AE = BD; AF = CD; BF = AE T Limas Nama limas tergantung pada bentuk alasnya. Jika limas mempunyai alas segi-n maka namanya adalah limas segi-n dan mempunyai rusuk sebanyak 2 x n, mempunyai sisi sebanyak n + 1. Contoh limas segi-4 : Banyaknya rusuk = 2 x 4 = 8, yaitu : AB, BC, CD, AD, AT, BT, D CT, DT E Banyaknya sisi = 4 + 1 = 5, yaitu : ABCD (alas), ABT, BCT, CDT, ADT A T B TE disebut tinggi limas Kerucut Kerucut adalah limas dengan alas berupa lingkaran. T disebut titik puncak kerucut. AB disebut diameter alas kerucut (d) A AC = CB disebut jari-jari alas kerucut (r) C Rumus-rumus Matematika
13
G
C
G
C
E
B
C
B
Sesuai SKL UN 2010
TC disebut tinggi kerucut TA = TB disebut garis pelukis (s) 10. Menentukan jaring-jaring bangun ruang Jaring-jaring adalah rangkaian sisi-sisi dari sebuah bangun ruang yang dapat disusun kembali menjadi bentuk bangun ruang tersebut secara berurutan. Bentuk bangun ruang Contoh salah satu jaring-jaring bangun ruang
Kubus :
H E
F
B
H
G F
D
Prisma segitiga :
D
C G
H
E A E H
B F F
E
C
A
E
G
H
D Balok :
H
G
G
H
D
C
G
H
E
A
B
F
E
C
F D
E C
A
D
F
A
C
F
B
E
D
B
E
T
Limas segi-4 :
D
T D
C
T D
C
E
T
A
E
B
T
Kerucut :
T
A r
s
s
r
• B
A
B r
r
A
A s
s T
Rumus-rumus Matematika SMP
14
Sesuai SKL UN 2010
11. Menghitung volume bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung 12. Menghitung luas permukaan bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung Bentuk bangun ruang Rumus Volume dan Luas Permukaan Kubus :
H E D A
Balok :
Volume = s x s x s = s3 Luas permukaan = 6 x s2 s ==> panjang rusuk
G F s C s B
s
H
Volume = p x l x t Luas permukaan = (2xpxl) + (2xpxt)+(2xlxt) = 2(pl + lt + pt)
G
E
F t C l B
D A
p
Prisma segitiga :
p ==> panjang; l ==> lebar; t ==> tinggi Volume = Luas alas x tinggi Luas permukaan = (2 x L alas)+(K alas x t)
F D
E
L alas ==> Luas alas (tergantung bentuk alas) K alas ==> Keliling alas (tergantung bentuk alas) t ==> tinggi Prisma
t C A
B
Limas segi-4 :
T
Volume = 1/3 x L alas x t Luas Permukaan = L alas+LTBC+LTCD+LTAD+LTAB
E
L alas ==> luas alas tergantung bentuk alas L TBC ==> luas segitiga TBC L TCD ==> luas segitiga TCD L TAD ==> luas segitiga TAD L TaB ==> luas segitiga TAB L segitiga = ½ x alas segitga x tinggi segitiga
D A
C F B
Kerucut :
T s
s t
r
A
Rumus-rumus Matematika
r
B
Volume = 1/3 x πr2 x t Luas permukaan = L alas + L Selimut = πr2 + πrs = πr(r + s) Luas selimut = πrs π ==> 22/7 atau 3,14 r ==>jari-jari alas kerucut s ==> garis pelukis t ==> tinggi kerucut
15
Sesuai SKL UN 2010
SKL Nomor 4 : Memahami konsep dalam statistika, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. 1. Menentukan ukuran pemusatan dan menggunakan dalam menyelesaikan masalah seharihari ➢ Ukuran pemusatan jumlah data Rerata rata−rata atau mean = banyaknya data Modus adalah data yang paling sering muncul, sekelompok data, terdapat kemungkinan lebih dari satu modus dalam sekelompok data. Median adalah data yang terletak ditengah-tengah dari sekelompok data yang telah diurutkan. 2. Menyajikan dan menafsirkan data Pengertian Populasi : seluruh obyek yang ingin diteliti Sampel : bagian dari populasi yang dipilih secara acak sebagai obyek yang diambil data penelitiannya. Biasanya penggunaan sampel dengan pertimbangan populasi terlalu besar jika diteliti secara menyeluruh. Pengambilan sampel harus dilakukan secara acak agar sampel dapat benar-benar mewakili populasi penetilian. Penyajian data hasil penelitian Tabel frekuensi adalah tabel yang menyajikan banyaknya data (frekuensi) setiap data hasil penelitian. Diagram batang adalah sebuah diagram yang menggambarkan data hasil penelitian dengan menggunakan persegipanjang. Banyaknya data digambarkan dengan panjangnya persegipanjang yang disajikan. Diagram garis adalah diagram yang berupa garis yang menghubungkan titik-titik koordinat data hasil penelitian dengan banyaknya data tersebut. Diagram lingkaran adalah diagram berupa lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring lingkaran. Luas setiap juring menggambarkan banyaknya data hasil penelitian atau persentasenya. Contoh : Data pekerjaan orang tua siswa SDN 08 Jatiasih adalah PNS 25 orang, TNI/POLRI = 20 orang; Wiraswasta = 15 orang; Pedagang = 30 orang; Petani = 10 orang. Tabel Frekuensi : Diagram Batang Data Pekerjaan Orangtua Siswa SDN 08 Jatiasih Pekerjaan orang tua
Frekuensi
35
PNS
25
25
TNI/POLRI
20
Wiraswasta
15
Pedangang
30
Petani
10
Jumlah
100
Rumus-rumus Matematika SMP
30 20 15 10 5 0
PNS
TNI/ Wira POLRI swasta
16
Peda gang
Petani
Sesuai SKL UN 2010
17 Diagram garis :
Diagram Lingkaran PNS 25% 900
35 30
TNI/ POLRI 20% 720
540 Wiraswasta 10% 360 1080 15% Petani Pedagang
25 20 15
30%
10 5 0 PNS
TNI/ Wira Peda Petani POLRI swasta gang
Perhitungan sudut pusat setiap juring PNS ==> 25/100 x 3600 = 900 20 0 0 TNI / POLRI ==> /100 x 360 = 72 15 0 Wiraswasta ==> /100 x 360 = 540 Pedagang ==> 30/100 x 3600 = 1080 Petani ==> 10/100 x 3600 = 360
Perhitungan Persentase : 25 /100 x 100% = 25% 20 /100 x 100% = 20% 15 /100 x 100% = 15% 30 /100 x 100% = 30% 10 /100 x 100% = 10%
Selamat belajar untuk masa depan yang cemerlang, Tak ada cara belajar yang lebih baik selain mencoba dan terus mencoba
Rumus-rumus Matematika
17
Sesuai SKL UN 2010
