Kumpulan soal-soal ujian tengah dan akhir semester genap, 2005/2006 Saat Angkatan 2005 semester II
Wajib
Kalkulus II Pengantar Struktur Aljabar I Geometri Analitik A Mekanika A Algoritma & Pemrograman Pilihan
Aljabar Linear Terapan
Disadur dari kumpulan soal milik Ricky Aditya
KALKULUS II UJIAN TENGAH SEMESTER, 3-April-2006 Tim Kalkulus
1. Hitung integral tak tentu berikut:
∫ x ln x dx dx ∫ e (e − 1) 2
a. b.
x
x
2. Tentukan integral tertentu berikut langsung dari definisi 3
∫
x + 1 dx
−1
Petunjuk: Ambil partisi pada [-1, 3], P = { x0 , x1 ,..., xn } dengan xi =
3. Hitunglah: 2 2
a.
∫
x arcsin( x 2 ) 1 − x4
0
∞
b.
∫
−1
dx 2 3
2
x ( x 3 + 1)
dx
4i 2 − 1, i = 0,1, 2,..., n n2
KALKULUS II UJIAN AKHIR SEMESTER, 12-Juni-2006 Tim Kalkulus
1. Hitung integral tak tentu berikut: a.
dx ∫ 3cot x + 2sin x
b.
1 + ex ∫ 1 − e x dx
2. Hitung luasan putar jika kurva y = ln 2 x, 1 ≤ x ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu Y
3. D adalah daerah di bawah kurva y = x (2 − x ) dan berada di antara garis 3y = x dan sumbu X. Tentukan: a. Luas D, b. Titik berat D, c. Volume benda yang terjadi jika D diputar sekeliling: (i) Sumbu X (ii) Sumbu Y (iii) garis 3y = x
4. Tentukan panjang kurva dengan persamaan
⎧ x = ln(1 + t 2 ) ⎨ ⎩ y = 2 arctan t
0 ≤ t ≤1
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR I UJIAN TENGAH SEMESTER, 4-April-2006 Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.Si
1. Diberikan grup G dan H himpunan bagian G a. Tulis tiga teorema yang dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa H subgrup G b. Buktikan ketiga teorema tersebut ekuivalen
A = {1, 2,3} a. Tulis semua permutasi ρ pada A
2. Diberikan himpunan
b. Tunjukkan himpunan semua permutasi tersebut adalah GRUP yang BUKAN ABELIAN 3. Diberikan grup G dan H subgrup G a. Tunjukkan relasi R L pada G yang didefinisikan sebagai ∀x, y ∈ G , x R L y jika dan −1
∈ H adalah RELASI EKUIVALENSI b. Diketahui grup G dan H subgrup G. Banyaknya koset kiri (atau koset kanan) dari H dalam G disebut Indeks H dalam G. Tentukan indeks H dalam G jika G = ]12 dan H = 2 hanya jika xy
4. Teorema mengatakan :
Diketahui G grup siklik yang dibangun oleh a dan berorder n maka suatu anggota b = a dalam s
G membangun subgrup siklik H berorder
n dengan d=gcd(n, s) d
Jika G adalah ]12 dibangun oleh 1 dan dipilih b anggota ]12 adalah 3, 5, 8, aplikasikan teorema tersebut diatas kepada ]12 ini
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR I UJIAN AKHIR SEMESTER, 13-Juni-2006 Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.Si
θ adalah homomorfisma dari ] θ (1) = 6 maka tentukan Kernel(θ) dan θ (20).
1. Diberikan grup ] dan ] 10 . Jika
ke ]10 sedemikian sehingga
2. a) Tulis dan buktikan Teorema Homomorfisma (grup) Dasar/Fundamental. (Sajikan 2 teorema yang ada) b) Implementasikan teorema yang saudara buktikan pada 2-a) untuk grup H = 5] . Konstruksikan grup Kuosen yang ada.
] dan subgrup
3. a) Tulis dan buktikan Teorema Cayley (selengkap-lengkapnya) b) Implementasikan teorema yang saudara buktikan pada 3-a) untuk grup G = ] 4
GEOMETRI ANALITIK A UJIAN TENGAH SEMESTER, 7-April-2006 Imam Solekhudin
1. Perhatikan gambar disamping! Dua ruas garis bertemu di titik P(2,2). Kemudian kedua ruas garis digerak-gerakkan sepanjang sumbu koordinat (yang berujung pada sumbu X digerakkan sepanjang sumbu X, yang berujung pada sumbu Y, digerakkan sepanjang sumbu Y), dengan tanpa mengubah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut dan kedua ruas tetap bertemu di P. Tentukan persamaan gerak titik P!
2. Diberikan persamaan derajat dua
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Buktikan jika nilai B − 4 AC kasus degeneratenya. 2
< 0 , maka persamaan diatas merupakan persamaan ellips atau
3. Diberikan persamaan derajat dua
9 x 2 − 6 xy + y 2 + 6 x − 2 y + 1 = 0 a) Tentukan persamaan yang baru, jika sumbu koordinat dirotasi sehingga persamaan yang baru tak memuat suku x’y b) Persamaan apakah yang terbentuk? 4. a
Lihat Gambar! Diberikan dua ellips yang sama, yang masing-masing memiliki foci A dan B, serta C dan D. Ellips ini bersinggungan jika foci kedua ellips ini segaris. Tunjukkan, kedua ellips tersebut tetap bersinggungan jika kedua ellips diputar dengan pusat perputaran foci bagian kiri masingmasing ellips.
GEOMETRI ANALITIK A UJIAN AKHIR SEMESTER, 26-Juni-2006 Imam Solekhudin
I. Geometri Analitik Bidang 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y − 10 x − 8 y + 16 = 0 yang melalui titik 2
2
⎛ 45 ⎞ ⎜ ,4⎟ ⎝ 4 ⎠ 2. Dengan rotasi, nyatakan persamaan berikut dalam persamaan derajat dua bentuk standar. Identifikasi persamaan apakah yang terjadi ?
3x 2 + 8 xy − 3 y 2 − 40 x − 30 y − 80 = 0 3. Perhatikan gambar berikut : Titik P(x,y) terletak pada lingkaran kecil berjari-jari r. Lingkaran tersebut diputar sarah jarum jam menyusuri lintasan berbentuk lingkaran berpusat di O dan berjari-jari R. Pada saat titik P terletak pada sumbu X, titik P terletak pada lingkaran besar pula. Tentukan persamaan gerak titik P dalam persamaan-persamaan parameter.
Petunjuk: Sebagai parameter
φ . Nyatakan α
II. Geometri Analitik Ruang 1. Tentukan persamaan bidang datar yang memuat titik (4, -12, 5) dan garis
x − 6 y − 5 z −1 = = −2 3 5 2. Tentukan persamaan bidang datar yang menyinggung luasan bola :
x 2 + y 2 + z 2 − 10 x + 4 y − 6 z − 187 = 0 Di titik (-9, 3, 1)
dan
β
dalam
φ.
MEKANIKA A UJIAN TENGAH SEMESTER, 11-April-2006 Juliasih P, M.Si
1. Dua buah pegas masing-masing dengan kekakuan k1 dan k2 digunakan untuk menahan benda tunggal bermassa m pada posisi vertikal. Tentukan frekuensi sudut getaran yang terjadi jika kedua pegas disusun secara paralel.
JG
2. Suatu vektor A = 2iˆ + ˆj + 2kˆ berada pada sistem koordinat inersial (diam). Jika dilakukan rotasi
JG
o
dengan sumbu rotasi X dan pada arah 30 terhadap sumbu Y (bidang YZ), bagaimana posisi A dipandang dari sistem koordinat yang baru?
3. Partikel bermassa 2 kg pada t = 0 berada di
G r (0) = 4iˆ , dan bergerak dengan kecepatan
G v (0) = 30 ˆj . Gerak partikel dibawah pengaruh gaya
G F = −800 cos(10t )iˆ − 600sin(10t ) ˆj a) Carilah persamaan gerak partikel!
G
b) Tunjukkan bahwa F bersifat konservatif c) Tunjukkan bahwa momentum sudut partikel terhadap titik asal adalah konstan dan
G
carilah L d) Hitunglah tenaga mekanik partikel tersebut! (karena gaya bersifat konservatif, maka tenaga mekaniknya tetap / konstan) 4. Diketahui x = cx , dengan
c = tetapan positif. Carilah F(x) dan F(0) !
MEKANIKA A UJIAN AKHIR SEMESTER, 27-Juni-2006 Juliasih P, M.Si
1. Seorang perenang mengarah langsung ke seberang sungai, berenang dengan laju 1,6 m/s relatif terhadap air sungai. Dia tiba di titik 40 meter di hilir dari titik tepat di seberang sungai yang lebarnya 80 meter. a) Berapakah kelajuan arus sungai? b) Berapa kelajuan perenang relatif terhadap tanah? c) Ke arah mana perenang itu harus berenang agar tiba di titik tepat di seberang titik awalnya? 2. Jarak rata-rata antara Mars dan Matahari adalah 1,52 kali jarak rata-rata antara Bumi dan Matahari. Hitunglah berapa tahun yang diperlukan oleh Mars untuk membuat satu putaran mengelilingi matahari !
3. Suatu partikel bergerak dibawah medan gaya sentral dalam orbit spiral
r = r0 ekθ , dengan r0 dan
k adalah tetapan positif. Tentukan gaya sentral dan θ fungsi waktunya ! G
4. Ditentukan gaya F = (2 xy − z )iˆ + x ˆj + 3 xz kˆ a) Apakah partikel tersebut bergerak di bawah pengaruh gaya konservatif? b) Hitunglah usaha yang dikerjakan gaya tersebut pada benda yang bergerak dari titik (1, -2, 1) sampai titik (3, 1, 4). 3
3
2
ALGORITMA & PEMROGRAMAN UJIAN TENGAH SEMESTER, 12-April-2006 Drs. Sri Mulyana, M.Kom
1. Buatlah program untuk menghitung nilai deret:
1 1 1 1 1 1 1 1− − + − − + − ... ± 2 4 7 11 16 22 n Dengan n adalah bilangan bulat terbesar yang nilainya lebih kecil atau sama dengan 500. Berapakah nilai n pada saat perulangan berhenti dan ada berapa banyak perulangannya? 2. Buatlah program untuk menampilkan segitiga Pascal sebagai berikut:
Catatan: Banyaknya tumpukan (n) sebagai masukan (pada contoh diatas Petunjuk: Gunakan Array dimensi 2
n=6).
3. Diberikan N buah data bertipe integer. Buatlah program-program yang memuat fungsi-fungsi untuk menentukan median dan standar deviasi! Jelaskan jawaban saudara! 4. Buatlah program yang memuat prosedur untuk mencari dan menampilkan Transpose matriks ukuran mxn.
ALGORITMA & PEMROGRAMAN UJIAN TENGAH SEMESTER, 28-Juni-2006 Drs. Sri Mulyana, M.Kom
1. Dideklarasikan tipe data sebagai berikut: Type Kawan = Nama Alamat Sex Telpon End;
Record : String [20]; : String [30]; : Char; : Longint;
a. Buatlah prosedur untuk membaca N data Kawan dan menuliskan ke dalam file dengan nama ‘Teman.DAT’ (file of record) b. Buatlah prosedur untuk menghapus satu record tertentu (berdasarkan masukan field Nama) dalam file tersebut
2. Fungsi BINGUNG(m,n) didefinisikan sebagai berikut: BINGUNG (0,n) BINGUNG (m,0) BINGUNG (m,n)
= n+1 = BINGUNG(m-1,1) = BINGUNG(m-1,BINGUNG(m,n-1))
,n≥0 ,m>0 , m,n > 0
a. Tuliskan fungsi rekursif untuk menghitung nilai fungsi BINGUNG tersebut b. Hitung nilai BINGUNG (2,2)
b
3. Dalam kalkulus dibahas integral tertentu
∫ f ( x) dx
yang merepresentasikan luas area yang
a
dibatasi oleh fungsi y = f(x), Sumbu Y, garis x = a dan x = b. Dengan menggunakan metode Trapezoid, buatlah program untuk menghitung pendekatan luas area dari bentuk integral b
∫x a
3
3 dx , dengan membagi batas integral menjadi N bagian/pias! Jelaskan jawaban anda −x
(Catatan: a, b, dan N sebagai masukan)
4. Buatlah prosedur dan fungsi untuk menghitung banyaknya simpul dalam sebuah senarai berantai (Linked List)!
ALJABAR LINEAR TERAPAN UJIAN TENGAH SEMESTER, 11-April-2006 Yenni Susanti
1. Carilah persamaan Sphere di ruang dimensi 3 yang melalui titik (0, 1, -2), (1, 3, 1), (2, -1, 0) dan (3, 1, -1) ! 2. Carilah strategi optimal dan nilai permainan dari permainan dua pemain dengan matriks permainan sebagai berikut:
⎡ 7 −3⎤ ⎢ −5 −2 ⎥ ⎣ ⎦ 3. Diketahui permainan 2 pemain dengan masing-masing pemain berkesempatan melakukan 4 moves dengan peraturan : jika pemain R moves i dan pemain C moves j sehingga i+j genap maka R mendapatkan 1 poin dan jika i+j ganjil maka C mendapatkan 1 poin. a. Tentukan matriks permainannya! b. Jika kedua pemain mempunyai strategi p dan q yang sama (p = qT) tentukan E(p,q) c. Dari hasil bagian b), hitunglah E(p,q) jika 1/4 1/6 1/4 ] P = qT = [ 1/3 4. Tiga orang kakak beradik, A, B, dan C masing-masing mempunyai kebun yang ditanami 3 pohon buah yang berbeda. Si A menanami kebunnya pohon mangga, kebun si B ditanami pohon pisang, dan kebun si C ditanami pohon jambu. Mereka sepakat hasil yang diperoleh dari tiga kebun akan dibagi. Supaya pembagiannya adil, mereka memperhatikan harga yang berlaku di pasar kemudian menetapkan perbandingan pembagian sebagai berikut: Mangga Pisang Jambu
A 1/2 1/3 1/2
B 1/4 1/3 1/3
C 1/4 1/3 1/6
Berdasarkan perbandingan pembagian diatas, tentukan perbandingan harga pasar seluruh hasil panen ketiga kakak beradik tersebut. 5. Suatu hutan pinus, pohon-pohonnya dibagi dalam tiga kelas tinggi yang berbeda dan matriks pertumbuhannya diberikan sebagai berikut:
⎡1 ⎢ 2 G = ⎢1 ⎢ 2 ⎢0 ⎣⎢
0⎤ ⎥ 1 0⎥ 3 ⎥ 2 1 ⎥⎥ 3 ⎦ 0
Jika perbandingan harga kelas kedua dan ketiga adalah 3/5, tentukan kelas yang mana yang harus dipanen total sehingga tercapai pemanenan optimal yang sustainable!
ALJABAR LINEAR TERAPAN UJIAN AKHIR SEMESTER, 21-Juni-2006 Yenni Susanti
1. a. Tunjukkan jika matriks P berukuran k x k merupakan matriks transisi yang regular dengan jumlah entri dalam satu baris sama dengan 1, maka entri-entri dari “steady-state vector”-nya
1 . k
sama dengan
b. Tunjukkan bahwa matriks transisi
⎡0 ⎢ P = ⎢1 ⎢ 2 ⎢1 ⎣ 2
1 1
2 2
0
1 ⎤ 2⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥ 2⎦
regular dan dengan hasil pada soal 1.a tentukan “steady state vector” untuk P. 2. Suatu hutan homogen, pohon-pohonnya dibagi dalam untuk i = 1, 2,..., n − 1
gi =
n kelas tinggi yang berbeda dan diketahui
1 i
Jika nilai ekonomis sebuah pohon pada kelas ke-k adalah
Pk = a (k − 1) 2 dengan a konstan (dalam rupiah), tunjukkan bahwa
Yld k =
2a (k − 1) S k
dengan S menyatakan banyaknya pohon dalam hutan tersebut. 3. Suatu populasi tanaman tertentu mempunyai distribusi genotipe AA, Aa, aa. Jika pada populasi tanaman tersebut dilakukan program penyilangan sebagai berikut :
Setiap tanaman pada populasi induk disilangkan dengan individu bergenotipe AA; setiap individu pada generasi pertama disilangkan dengan individu bergenotipe Aa; setiap individu pada generasi kedua disilangkan dengan individu bergenotipe AA dan seterusnya (Secara umum, generasi ke-(2i-1) disilangkan dengan individu bergenotipe Aa dan generasi ke-(2i) disilangkan dengan individu bergenotipe AA, i=1,2,…) Tentukan rumus perbandingan banyaknya individu bergenotipe AA, Aa, dan aa pada generasi ke-n. 4. Dalam “X-linked Inheritance”, jika tidak ada betina yang bergenotipe Aa yang hidup sampai dewasa sehingga “sibling pairs” yang mungkin adalah (A, AA), (A, aa), (a, AA), dan (a, aa) Maka tentukan matriks transisi M yang mendeskripsikan perubahan distribusi genotipe dalam satu generasi.
