P. Degroote
Studie van komeet Machholz C/2004Q2 met Mercator: rotatieperiode en morfologie van de coma Thesis
Dankwoord
Si rarus et insolitae gurae ignis apparuit, nemo non scire quid sit cupit et, oblitus aliorum, de adventicio quaerit, ignarus utrum debeat mirari an timere.
Naturales Quaestiones (7,1.5)
Lucius Annaeus Seneca
i
Inhoudsopgave Dankwoord
i
Inhoudsopgave
iii
L¼st van tabellen
v
L¼st van guren
vii
1 Inleiding 1.1 1.2 1.3 1.4
Morfologie . . . . . . . Dynamica . . . . . . . De Mercator telescoop Doel van de thesis . . .
2 Datareductie 2.1 2.2 2.3 2.4
Terminologie . . . Beschikbare data Reductieproces . Extractie . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit 3.1 3.2 3.3 3.4
Lichtcurve . . . . . . . . . Oorzaken van variabiliteit Het seeingeect . . . . . . Frequentie-analyse . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 Identi catie en verklaring van structuren in de coma 4.1 4.2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Comapro elen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morfologische structuren in de coma . . . . . . . . . . . .
1 1 4 6 7
13 13 16 17 23
43 43 44 46 49
69
69 77 iii
5 Conclusie
107
A Gegevens
111
B Routines
129
C DVD-inhoud
137
Bibliogra e
141
5.1 5.2
Resultaten van C/2004 Q2 Machholz . . . . . . . . . . . . Algemene evaluatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1 ApEx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 PIETeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
107 109
138 139
L¼st van tabellen 1.1
Vergelijking tussen baanelementen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Master ats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Detectie van kosmische straling . . . . . . . . . . . . . Gecatalogiseerde magnitudes van de standaardsterren. Zeropoints van de gebruikte Genève- lters. . . . . . . . Parameters in SourceExtractor . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
19 20 24 24 26
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Basisstatistieken van de tijdsreeksen . . . Gekende rotatieperiodes van kometen . . . Frequentie-analyse (Jurkevich-Stellingwerf) Frequentie-analyse (Lomb-Scargle) . . . . Frequentie-analyse: multi lter t . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
52 53 57 58 58
4.1 4.2 4.3
Vergelijking tussen ltersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . Parameters voor de zonnewind . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ion-overgangen in de UG- lter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75 84 87
A.1 Ephemeriden Machholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Overzicht van de waarnemingen. . . . . . . . . . . . . . . . . .
111 112
C.1 Invoermogelijkheden bij het programma PIETeR. . . . . . . .
140
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
7
v
L¼st van guren 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Komeet C/2004 Q2 Machholz bij de Pleiaden Komeetmorfologie . . . . . . . . . . . . . . . . Oortwolk, Kuipergordel en het zonnestelsel. . Vergelijking tussen komeetbanen . . . . . . . Baan van de komeet C/2004 Q2 Machholz . . MEROPE-camera op de Mercatortelescoop . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
9 9 10 10 11 11
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16
Donutpatroon in master ats . . . . . . . Transmissie MEROPE- lters . . . . . . . Spikkelpatroon . . . . . . . . . . . . . . Verwijdering van sterren in master ats . Master at B- lter & window . . . . . . . Standaardster HD16581 . . . . . . . . . Kernbepaling . . . . . . . . . . . . . . . Vorm van de coma . . . . . . . . . . . . Bepaling van de achtergrond ux . . . . . Skydip VG- lter . . . . . . . . . . . . . Skydip IC- lter . . . . . . . . . . . . . . Extinctiecoë ciënten in de I- lter . . . . Extinctiecoë ciënten in de U- lter . . . Extinctiecoë ciënten in de B- lter . . . Gecorrigeerde extinctiecoë ciënten in de Aperture fotometrie . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I- lter. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
31 31 32 32 33 34 35 35 36 37 37 38 39 40 41 42
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
Lichtcurves van april 2004 tot januari 2006 . . . . Seeingvariaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gaussconvoluties . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extractie van de nucleus. . . . . . . . . . . . . . . Spectraal venster . . . . . . . . . . . . . . . . . . PDM-plots en Scargle periodogrammen IC- lter . PDM-plots en Scargle periodogrammen BG- lter
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
59 59 60 61 62 62 63 vii
3.8 3.9 3.10 3.11 3.12
PDM-plots en Scargle periodogrammen Faseplot IC- lter . . . . . . . . . . . . Faseplot IC- lter . . . . . . . . . . . . Faseplot BG- lter . . . . . . . . . . . . Faseplot UG- lter . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
64 65 65 66 66
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20
Con guratie steady-state model . . . . . . . . . . . . Vergelijking theoretisch en empirische pro el . . . . . Vereenvoudigde comapro elen . . . . . . . . . . . . . Empirische comapro elen . . . . . . . . . . . . . . . Haserpro elen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergelijking tussen lters . . . . . . . . . . . . . . . . Komeetspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Illustraties van beeldverwerkingstechnieken (1) . . . . Illustraties van beeldverwerkingstechnieken (2) . . . . Vorming van de ionenstaart . . . . . . . . . . . . . . Komeet-zon-aarde con guratie . . . . . . . . . . . . . Extrapolatie van de zonnewind naar de komeetpositie Ionenstralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrische ionenstralen . . . . . . . . . . . . . . . Vouwende ionenstralen . . . . . . . . . . . . . . . . . Ionenstaart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stofuitstroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shells (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shells (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing van de overige technieken. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91 91 92 93 94 94 95 96 97 98 98 99 100 101 101 102 103 104 105 106
viii
UG- lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Hoofdstuk
1
Inleiding Ondanks de vrij wetenschappelijke theorie die de oude Griekse Pythagorreërs opgezet hadden over kometen, werd het verschijnen van een komeet aan de hemel vroeger steeds als een ambigu spektakel aanschouwd. Voor sommigen was het een hoopvol goddelijk teken, voor anderen een voorbode van het grootste kwaad. Maar ook in de recente Westerse geschiedenis blijken kometen nog in staat de rede van sommigen te vertroebelen, waarvan bijvoorbeeld de massazelfmoordactie van een dertigtal Heaven's Gate-sekteleden, op morose wijze getuigt. Hun overtuiging dat Jezus Christus zich in een vliegend tuig achter de komeet Hale-Bopp verschanst had was zo groot, dat vergeefse pogingen om het tuig te observeren, hen deed concluderen dat er wat scheelde aan de gebruikte telescopen. Niettegenstaande de weelderige fantasie van deze naar men mag hopen kleine minderheid, staat de komeetwetenschap, waartegenover deze thesis een verkennend perspectief inneemt, in de huidige tijd niet meer in de kinderschoenen.
1.1 Morfologie
V
óór 1950 was de heersende opvatting dat een komeet bestond uit een
grote gaswolk die samengehouden werd door een zwakke graviteit. Fred L. Whipple stelde in die tijd echter een ander model voor, dat pas in maart 1986 onomstotelijk werd bewezen, door de yby -vluchten van een armada aan ruimtesondes langs de komeet 1P/Halley (Vega 1 & 2, Giotto, Suisei, Sakigake en Ice). Hij beschouwde kometen als `vuile sneeuwballen'. Het grote succes van dit model was dat het kon verklaren waarom kometen twee staarten vertonen: er is ten eerste een blauwachtige ionenstaart, die altijd weg van de zon gericht staat en ten tweede is er ook altijd een (witte) stofstaart zichtbaar (Fig. 1.1), die in de tegengestelde richting van de bewegingsrichting georiënteerd staat. De twee staarten ontstaan dan omdat de gas- en stofdeeltjes uit de komeetkern verschillend reageren op de stra1
2
Hoofdstuk 1. Inleiding lingsdruk van de zon: de stralingsdruk in de richting weg van de zon wordt gegeven door (Carroll & Ostlie, 1996)
Frad =
L (πR2 ) 4πr2 c
met σ = πR2 de dwarsdoorsnede van een stofkorrel en L de lichtkracht van de zon. De binnenwaarts gerichte zwaartekracht ten gevolge van de massa M van de zon, is gelijk aan
Fg =
GM mstof r2
met mstof = 4/3πR3 ρ de massa van een stofkorrel. De verhouding tussen beiden wordt dan 16πGM Rρc Fg = Frad 3L De kritische straal Rkrit is de straal van een korrel waarop de grootte van beide krachten in evenwicht met elkaar zijn, dus
Rkrit =
3L 16πGM ρc
Elke korrel met een kleinere straal ondervindt een kracht naar buiten gericht. Dit zijn de kleine gasdeeltjes, die de ionenstaart vormen. De grotere stofkorrels blijven in een baan rond de zon. Op deze manier worden de ionenstaart en stofstaart van elkaar gescheiden. De ionenstaart was meteen ook een argument voor het bestaan van de zonnewind, toen Biermann (1951) aantoonde dat stralingsdruk alleen niet verantwoordelijk kon zijn voor het wegblazen van de deeltjes. Bovendien bleek uit de verdeling van kometen aan de hemel dat de zonnewind, in essentie een uitstroom van deeltjes uit de zon, continu en in alle richtingen blaast. Dat de zonnewind niet constant is, maar daarentegen in tijd en ruimte grote variaties vertoont, bleek snel uit de verschillende invloed die ze heeft bij verschillende kometen. Het komeetmodel van Whipple (Fig. 1.2) bestond in grote lijnen uit een kleine kern (nucleus ) met een diameter van ongeveer 10 km, bestaande uit ijs en stof, met daarrond een uitgebreide wolk gas (coma ) ter grootte van 106 km en een temperatuur van ongeveer 50 K. De nucleus zelf is een van de donkerste objecten in het zonnestelsel, met een albedo van ongeveer 3%. Ter vergelijking: de albedo van de maan is ongeveer 12%. Een komeet genereert ook waarneembare structuren op nog grotere schaal: de waterstofenveloppe (halo ) bereikt afstanden tot 107 km van de kern. De ionenstaart kan zich
1.1. Morfologie tenslotte uitstrekken tot een lengte van enkele astronomische eenheden. Het lengterecord staat op naam van komeet C/1996 B2 Hyakutake, waarbij het ruimtetuig Ulysses een staart met een lengte van 3.8 AU gemeten heeft (Ip, 2004). Dit promoveert kometen tegelijkertijd tot de kleinste en grootste objecten in het zonnestelsel. Het feit dat de twee staarten minder en minder intens worden naarmate de afstand van de komeet tot de zon toeneemt, duidt er op dat ze ontstaan in interactie met de hitte gegenereerd door de zon. De vrij algemeen aanvaarde verklaring hiervoor zegt dat de zon bepaalde plaatsen op het oppervlak van de komeet intens verhit, waardoor onderliggende gasreservoirs onder druk komen te staan en kunnen ontploen, om zo te resulteren in een plaatselijk heftige gasuitstroom, die jets genoemd worden. De realiteit moet een stuk comlexer zijn; de Deep Impact missie, die in 2005 komeet 9P/Tempel 1 onderschepte, liet blijken dat het oppervlak alleen niet verantwoordelijk kan zijn voor de directe uitstoting van alle waargenomen gassen. De onmiddellijke omgeving rond de kern van een komeet moet hierin dus een belangrijke rol spelen. De Rosetta -missie, die onderweg is naar de komeet 67P/Churyumov-Gerasimenko moet hierover in 2015 belangrijke inzichten verschaen. Door de interactie van geladen deeltjes in de coma met de ionen uit de zonnewind ontstaan ook magnetische structuren (Ip, 2004, Bodewits, 2007). Deze werden voor het eerst rechtstreeks gemeten door de satellieten die door de coma van komeet Halley vlogen (Giotto e.d.). In functie van dalende afstand tot de kern, ontstaat eerst het magnetohydrodynamisch schokfront (bow shock ), waar de vrije zonnewind stopt en interageert met de waterstofatomen in de buitenste coma. Ze ontstaat doordat de snelheid van de komeet ten opzichte van de zonnewind groter is dan zowel de geluidsals de Alfvénsnelheid. Bij komeet Halley bevond het schokfront zich op een afstand van ordegrootte 105 km, ten tijde van een normale zonnewindsnelheid (ongeveer 400 kms−1 ). Voorbij het schokfront vertraagt de zonnewind aanzienlijk in de cometosheath, tot typisch enkele tientallen kms−1 . Deze zone stopt bij het contactoppervlak, wat de scheiding is tussen het gebied waar het gas in interactie is met de zonnewind en het gebied met gas enkel afkomstig uit de kern van de komeet. De zone binnen het contactoppervlak is de kometopauze, waarin zo goed als geen magnetisch veld aanwezig is. Bij Halley reikte die tot ongeveer 5000 km. Hoe de nucleus zelf samengehouden wordt, hangt af van komeet tot komeet. Soms speelt de zwaartekracht slechts een kleine rol ten opzichte van de interne cohesie, zoals bijvoorbeeld bij 81P/Wild 2, terwijl bij andere kometen de zwaartekracht een grotere rol blijkt te spelen, zoals waargenomen bij de getijdenwerking van Jupiter op komeet D/Schoemaker-Levy 9 (Wea-
3
4
Hoofdstuk 1. Inleiding ver, 2004). Wat hun samenhang betreft kunnen kometen goed vergeleken worden met de andere kleine, donkere objecten binnen ons zonnestelsel, namelijk de asteroïden. Kometen verschillen echter sterk van asteroïden in samenstelling: terwijl asteroïden vooral bestaan uit ruwe mineralen, bestaan kometen vooral uit water en koolstoen. Het materiaal in de nucleus, is materiaal dat voorhanden was bij de geboorte van ons zonnestelsel. In die zin kunnen we kometen beschouwen als tijdscapsules, die ons informatie geven over de samenstelling van het zonnestelsel ten tijde van de geboorte van onze planeet. In één van de mogelijke theorieën over het ontstaan van het leven op aarde worden kometen beschouwd als katalysator en bron van leven. Volgens de meest gangbare theorie over planeetvorming, wordt het meeste water dat zich in het binnenste deel van het zonnestelsel bevindt, op korte tijdschaal weggeblazen door de straling van de zon. De reden is dat de temperatuur in het binnenste zonnestelsel hoger was dan de sublimatietemperatuur van ijs, zodat het water vooral in gasvormige toestand voorkwam. Dat lichte gas kan maar weinig weerstand bieden tegen de intense zonnestraling, waardoor het migreert naar het buitenste zonnestelsel en daar (onder andere) deelneemt aan de vorming van grote, gasvormige planeten zoals Jupiter en Neptunus (Waelkens, 2006). De grote hoeveelheid water op aarde wordt dan verklaard door een grootschalig en langdurig bombardement van kometen in de vroegste geschiedenis van onze planeet, toen kometen veel talrijker aanwezig moeten geweest zijn. Buiten het aanbrengen van water, zijn er ook hypotheses die stellen dat de bouwstenen voor het leven zelf (i.e. bepaalde aminozuren) ook op kometen aanwezig zijn. De Amerikaanse ruimtevaartorganisatie NASA tenslotte, heeft voor deze oeroude objecten ook een meer praktisch doel voor ogen: door hun samenstelling kunnen kometen in de ruimtevaart misschien ooit gebruikt worden als bron voor levensmiddelen of als brandstof (Yeomans, 1998). Of dit ooit realiteit wordt, of eerder science- ction blijft, zal de toekomst uitwijzen.
1.2 Dynamica Het zonnestelsel1 heeft ruwweg twee grote komeetreservoirs; volgens afstand tot de zon is er ten eerste de Kuipergordel (Fig. 1.3), die reikt van ongeveer 30 AU2 tot 50 AU, wat voorbij de baan van Neptunus is. Ze is de verzamelplaats van de kortperiodische kometen, i.e. de kometen die een volledige 1 Belangrijkste
referenties: Crovisier & Encrenaz (2000), de Pater & Lissauer (2001), Carroll & Ostlie (1996) 2 AU=astronomische eenheid, of de gemiddelde afstand aarde-zon.
1.2. Dynamica baan rond de zon beschrijven in minder dan 200 jaar. De Kuipergordel ligt in het ecliptica, waardoor de kometen een lage inclinatiehoek hebben. Door dynamische storingen van de Joviaanse planeten worden geregeld lichamen uit deze gordel richting zon geslingerd. Bekende voorbeelden hiervan zijn 9P/Tempel 1 en 81P/Wild 2, de kometen die recent het onderwerp waren van grootse onderzoeksprojecten van NASA, respectievelijk onder de naam Deep Impact en Stardust. Eens ze het binnenste zonnenstelsel bereikt hebben, kunnen deze kometen om het even welke baan aannemen; 133P/Elst-Pizarro heeft zich zelfs in de asteroïdengordel tussen Mars en Jupiter genesteld (Toth, 2006). Het andere grote reservoir van kometen is de Oortwolk, zoals voorgesteld door Oort (1950) en waar C/2004 Q2 Machholz3 waarschijnlijk deel van uitmaakt. Deze sfeersymmetrische wolk strekt zich uit van enkele tienduizenden AU tot enkele honderduizenden AU, wat halverwege de ster α Proxima Centauri is, de naaste buur van de zon. Deze kometen bevinden zich dus essentiëel in het interstellaire midden. Gezien de geringe dichtheid van zowel het interstellaire midden als de vroege protoplanetaire schijf rond de zon, is het hoogst onwaarschijnlijk dat de kometen in de Oortwolk zelf werden gevormd. Ze zijn eerder in de vroege ontstaansfase van het zonnestelsel dicht bij de zon gevormd, om later door baanstoringen naar buiten gekatapulteerd te worden. Recente bevindingen van de Stardust -missie (Harker et al., 2005) tonen inderdaad aan dat er materiaal (i.e. kristallijne silicaten) aanwezig is in kometen dat onder een hoge temperatuur in de omgeving van de gasplaneten gevormd moet zijn (ruim 1000 K). Dit resultaat was al eerder bekend door Malfait (1999): hij identi ceerde kristallijne silicaten in het ISO-infraroodspectrum van de komeet Hale-Bopp en vond bovendien een treende overeenkomst met het spectra van stofschijven rond sterren. Uit de verschillende yby missies die recentelijk zijn uitgevoerd, is echter duidelijk dat kometen heel erg kunnen verschillen in samenstelling, vorm en oppervlaktestructuur, terwijl sommige kometen uit de Kuipergordel dan weer ongeveer dezelfde samenstelling en abondanties van de gassen lijken te hebben als langperiodische kometen (Hanson, 2005). Om het beeld nog ingewikkelder te maken werd in 81P/Wild 24 ook pre-solair materiaal gevonden. Het beeld dat hier opgehangen wordt is daarom waarschijnlijk een (te) grove simpli ëring van de werkelijkheid. 3 Komeet
C/2004 Q2 Machholz werd door D.E. Machholz ontdekt op 27 augustus 2004 (Machholz et al., 2004). 4 In de nomenclatuur duidt het pre x `D/' aan dat de komeet vernietigd is, het pre x `P/' wordt gebruikt voor kortperiodische kometen, het pre x `C/' duidt op langperiodische kometen.
5
6
Hoofdstuk 1. Inleiding De tijdschaal waarop kometen stabiel blijven in de Oortwolk is van de orde van de helft van de leeftijd van het zonnestelsel. De reden waarom de wolk zo lang stabiel blijft is dezelfde als waarom ze uiteindelijk verdwijnt; namelijk door de enerzijds stabiliserende, maar anderzijds ook destabiliserende werking van langskomende sterren en vooral van grote moleculaire wolken. Omdat een stabiliteitsanalyse dus aangeeft dat de Oortwolk eigenlijk al lang verdwenen zou moeten zijn, moet ze regelmatig aangevuld worden. Daarom heeft men het bestaan van een hypothetische `binnenOortwolk' gepostuleerd. Deze zou zich op een afstand van ongeveer 1000 AU tot 10000 AU bevinden en misschien wel evenveel of meer kometen herbergen als de buitenste Oortwolk. De reden waarom deze hypothese observationeel moeilijk te bevestigen valt, is dat de kometen in de binnen-Oortwolk veel minder makkelijk verstoord raken door eventueel langskomende sterren en dat Jupiter en Saturnus als buer dienen om deze kometen buiten het bereik van de aarde te houden. Het is mogelijk dat de komeet C/2004 Q2 Machholz, die in deze thesis uitvoerig bestudeerd wordt, toch uit de hypothetische binnen-Oortwolk stamt: de hoge inclinatie (Tabel 1.1 en Fig. 1.5) maakt de Kuipergordel tot een onwaarschijnlijke plaats van oorsprong, terwijl de halve grote as (Tabel 1.1) te klein is om uit de Oortwolk voort te komen. Dit zou de doortocht van C/2004 Q2 Machholz tot een betrekkelijk zeldzaam fenomeen maken. Het is helaas niet duidelijk in hoeverre de baanelementen recentelijk beïnvloed zijn door storingen van planeten. Verder valt uit de hoge excentriciteit en periode af te leiden dat de komeet dynamisch nieuw is: in tegenstelling tot een komeet als 2P/Encke, die een periode heeft van ongeveer 3 jaar en praktisch geen stof meer heeft, is C/2004 Q2 Machholz waarschijnlijk nog niet veel in de buurt van de zon gekomen, waardoor er meer stof in verwacht wordt.
1.3 De Mercator telescoop Gedurende de maand januari van 2005 werden verschillende beelden van de komeet C/2004 Q2 Machholz vastgelegd door de MEROPE-camera (Fig. 1.6) op de Mercator telescoop, een 1.2m-telescoop gevestigd op het Roque de los Muchachos Observatorium, op het Kanarische eiland La Palma (Spanje). Het observatorium is het resultaat van een samenwerking tussen het Leuvense Instituut voor Sterrenkunde en het Zwitserse Observatorium van Genève. De MEROPE-camera is sinds juni 2004 operationeel. De CCD (Charged Coupled Device ), die de opnames registreert en met vloeibaar stikstof gekoeld wordt tot −130◦ C, heeft afmetingen van 2159 × 2048 pixels,
1.4. Doel van de thesis
7
Tabel 1.1 Vergelijking van enkele baanelementen van C/2004 Q2 Machholz,
de aarde en de dwergplaneet Pluto. Terwijl de baanelementen van planeten vrij stabiel zijn, moeten die van kometen vaak worden aangepast, door de storende invloed van de stralingsdruk van de zon (a=halve grote as, e=eccentriciteit, Ω=klimmende knoop, ω =argument van perihelion, ω ¯ = ω + Ω, i=inclinatie, ◦ L=middelbare lengte, T =omloopperiode, n = 360 /T ). a (AE) e Ω (◦ ) ω ¯ (◦ ) i (◦ ) L (◦ ) n (◦ ) T (jaar)
C/2004 Q2 Machholz†
Aarde‡
Pluto‡
2391.5 0.9995 93.62 113.13 38.59 109.10 8.43 × 10−6 116952
1 0.0167 102.94 −1.52 × 10−5 100.46 0.9856 1
39.5 0.2488 110.30 224.07 17.14 238.93 3.92 × 10−3 248
†: Epoche 18 maart 2005 ‡: Epoche 1 januari 2000
waarvan een paar rijen en kolommen onbereikbaar zijn voor het uitleesapparaat waardoor de afmetingen van het bruikbare oppervlak 2158 × 2044 pixels bedraagt. Het beeldveld van de camera overspant 6.50 × 6.50 met een resolutie van 0.1900 per pixel. De komeet bevond zich tijdens de waarnemingen op een afstand d van ongeveer 0.35 AU, zodat op de afstand van de komeet, 1 pixel overeenkomt met ongeveer 50 km:
tan(0.1900 ) =
x =⇒ x = 48.2 km d
Het ltersysteem dat op MEROPE geïnstalleerd staat is het Genève ltersysteem, dat bestaat uit de 7 Genève- lters (UG, B1, B2, BG, VG, V1, GG) en twee Cousins- lters (RC en IC). De overige 7 lterposities van het lterwiel zijn niet in gebruik.
1.4 Doel van de thesis De fotometrische gegevens van komeet C/2004 Q2 Machholz die verkregen werden met behulp van MEROPE, werden genomen zonder veel voorkennis over kometen. Het was in zekere zin een sprong in het duister, waarbij de waarnemers gebruik moesten maken van de instrumenten en lters die
8
Hoofdstuk 1. Inleiding op de telescoop voorhanden waren. Het is de bedoeling om de gegevens te verkennen, goed te analyseren en linken te leggen met de bestaande literatuur over kometen. Op deze manier hopen we enerzijds inzicht te verschaen in de komeetwetenschap in het algemeen en de komeet C/2004 Q2 Machholz in het bijzonder, maar anderzijds ook in de daarmee gepaarde instrumentatie. Het ltersysteem van Mercator is geoptimaliseerd voor de asteroseismologie, of studie van pulserende sterren. Hierdoor lijkt het bijna vanzelfsprekend om de kortetermijnvariabiliteit van de kern proberen te bepalen. Deze kan ons misschien meer leren over de rotatieperiode van de komeet (hoofdstuk 3). De periode is wegens drie redenen een interessant gegeven: ten eerste zegt ze iets over de dynamische geschiedenis van de komeet, via het feit dat een snelle rotatieperiode duidt op recente (op dynamische tijdschaal) invloeden van andere objecten binnen het zonnestelsel. Ten tweede is de rotatieperiode een belangrijke parameter in het opstellen van sublimatiemodellen voor nuclei. Ten derde is het van statistisch belang om over de rotatieperiode van zoveel mogelijke kometen te beschikken, teneinde een eventueel verband te kunnen leggen tussen kometen en bepaalde types asteroïden (Schleicher et al., 1998). In hoofdstuk 4 verlaten we de nucleus en bestuderen we de vorm, het verloop en de structuren van de coma, voor zover deze zich binnen het beeldveld van de opnames bevinden. Er wordt onderzocht welke vorm we van de coma mogen verwachten en vervolgens nagegaan in welke mate de observaties hiermee overeenkomen. We staan vervolgens even stil bij de lters zelf, om zo te trachten de stofstaart, de ionenstaart en andere fenomenen te identi ceren. Alvorens de data te kunnen analyseren moeten de gegevens grondig gereduceerd worden. Dit proces wordt in detail toegelicht in hoofdstuk 2. Een samenvatting van de resultaten is te vinden in hoofdstuk 5, evenals een algmene evaluatie met het oog op een gelijkaardig toekomstig onderzoeksproject.
1.4. Doel van de thesis
9
Figuur 1.1
Komeet C/2004 Q2 Machholz in de buurt van de Pleiaden op 7 januari 2005 (APOD).
Figuur 1.2 Komeetmorfologie:
Nucleus (∼ 10 km), coma (∼ 106 km), halo (∼ 10 km), stof- en ionenstaart, schokfront (∼ 105 km) en kometopauze (∼ 103 km). 7
Stofstaart Halo Coma
Ionenstaart Kometopause Schokfront
Zon
Kern
Baan
10
Hoofdstuk 1. Inleiding
Figuur 1.3 Oortwolk, Kuipergordel en het zonnestelsel.
Figuur 1.4 Vergelijking van de baan van C/2004 Q2 Machholz met planeten en andere kometen.
1.4. Doel van de thesis
Figuur 1.5 Verschillende perspectieven op de baan van de komeet Machholz C/2004 Q2 gedurende 2005 (grijze symbolen = 1 jan 2005, zwarte symbolen = 31 december 2005).
Figuur 1.6 De MEROPE-camera geïnstalleerd op het Cassegrain fo-
caal station van de Mercatortelescoop.
11
Hoofdstuk
2
Datareductie 2.1 Terminologie
O
m de beelden van de komeet C/2004 Q2 Machholz vast te leggen werd
gebruik gemaakt van een Charged Coupled Device (CCD), in essentie een apparaat dat bestaat uit heel veel kleine detectors (pixels), die invallende fotonen omzetten in electronen. Deze electronen worden gedurende de integratietijd van de opname vastgehouden door aangelegde spanningsverschillen. Nadat de opname gemaakt is, wordt de inhoud van alle pixels één voor één uitgelezen. Dit gebeurt door met een bepaald aantal electronen een ADU-waarde (analog-to-digital unit ) te laten overeenkomen. Dit wordt uitgedrukt in e− /ADU als de gain van de CCD. Bij de MEROPE-camera is deze waarde 0.93e− /ADU1 . Deze camera kan ADU-waardes hanteren van 0 tot 65535 (16-bit), waarna een pixel gesatureerd is. De lineaire relatie tussen het aantal electronen en bijhorende ADU blijft zo goed als behouden tot het saturatieniveau, hoewel in de praktijk voor alle zekerheid het niveau van 50000 ADU als bovenlimiet voor de lineaire relatie genomen wordt2 . Er wordt natuurlijk nooit alleen signaal gemeten, we moeten ook rekening houden met verschillende soorten ruis. De belangrijkste zijn (Howell, 2000):
Readout noise
Enkel en alleen al door een CCD uit te lezen ontstaat er ruis op het signaal. Dit komt ten eerste ten gevolge van een onzekerheid veroorzaakt tijdens het omzetten van het aantal electronen naar een ADU waarde door de analog to digital converter. Als eenzelfde pixel tweemaal op precies dezelfde manier zou kunnen uitgelezen worden zou er toch een statistisch verschil tussen de twee meetwaardes
1 Le
2 Le
Guillou, L. et al., Mercator Merope Reference Manual, 2006, p9. Guillou, L. et al., Mercator Merope Reference Manual, 2006, p9.
13
14
Hoofdstuk 2. Datareductie bestaan. Ten tweede ontstaat er ruis door losgeslagen electronen uit de elektronica van de CCD zelf. MEROPE heeft een readout noise van ongeveer 4.3e− , wat wil zeggen dat er een gemiddelde variatie van 4.3 electronen per pixel zit op de uitgelezen waarde. Dit is laag genoeg om in de meeste gevallen als verwaarloosbaar te kunnen worden beschouwd.
Thermal noise
Gewoon al door thermische agitatie worden electronen losgeslagen die uiteindelijk mee uitgelezen worden maar geen onderdeel zijn van het signaal. Deze dark current kan vermeden worden door de CCD voldoende te koelen met vloeibaar stikstof, tot typisch ongeveer 170 K.
Fixed pattern noise
Niet iedere pixel is precies even gevoelig voor invallende fotonen. In feite heeft iedere pixel een licht verschillende respons. Hoewel men een egaal beeld zou verwachten wanneer een CCD met een perfect diuse lichtbron zou beschenen worden, is dit nooit het geval. Er zijn altijd pixel-to-pixel variaties aanwezig, zelfs als de variërende lichtgevoeligheid buiten beschouwing wordt gelaten: tijdelijk en plaatselijk kunnen ook stofdeeltjes ervoor zorgen dat extra ruis ontstaat. Deze stofdeeltjes zijn gemakkelijk te herkennen aan hun donutvorm, dat ontstaat door het out-of-focus zijn van de deeltjes.
Om op een of andere manier de eecten van noise mee te kunnen rekenen worden speciale opnames gemaakt. Voor de MEROPE zijn de twee belangrijkste (Howell, 2000):
Bias-frames
Om alleen maar positieve uitleesgetallen te produceren wordt het signaal arti ciëel verhoogd, typisch met ongeveer 1000 ADU. Om de bias, die ook afhangt van de thermal noise, precies te bepalen wordt normaal een opname gemaakt met gesloten camera, zodat er geen licht kan invallen op de CCD. Een andere manier om de bias te vinden bestaat er in de CCD-oppervlak net iets groter te nemen dan de oppervlakte die belicht wordt. Op deze manier ontstaan overscan areas aan weerszijden van het frame, typisch een tiental pixels breed en zo hoog als de CCD zelf. Met de laatste manier is men in staat om korte-termijn temperatuurs uctuaties in rekening te brengen, omdat men dan over bias-informatie van iedere opname apart beschikt.
Flat elding
De bedoeling van het at eldingsproces is om de eecten van de verschillende respons van iedere pixel te kunnen bepalen. Daarom wordt de CCD in alle lters met een zo egaal mogelijke lichtbron beschenen. Om de at eld statistisch zo signi cant mogelijk te maken
2.1. Terminologie moeten er zoveel mogelijk gemaakt worden om ze te kunnen combineren tot een master at. Er bestaan twee populaire manieren om at elds te nemen, elk met hun eigen nadelen: ten eerste kunnen dome ats genomen worden, waarbij de telescoop gericht wordt op een wit scherm, dat beschenen wordt met een lichtbron. Met deze procedure kunnen zoveel at elds genomen worden als gewenst, maar de aard van het licht verschilt iets met het licht afkomstig van de sterrenhemel. Een tweede manier is dan ook om opnames te maken van een sterrenloos stukje hemel bij de schemering 's morgens en 's avonds (sky ats ). Omdat er echter overal sterren aanwezig zijn, moet men hier verschillende at elds nemen die elk lichtjes verschillen van plaats aan de hemel (dithering ), teneinde eventuele sterren op statistische wijze te kunnen verwijderen. Bij MEROPE wordt geopteerd voor de tweede manier, die een stuk preciezer is, maar ook heel wat praktische moeilijkheden met zich meebrengt. De tijd waarin men dergelijke sky ats kan nemen is immers heel beperkt. Tot slot zijn er nog twee belangrijke fenomenen die kunnen optreden en de waarnemingen kunnen beïnvloeden:
Bad pixels
Door productiefouten of slijtage kunnen sommige pixels verkeerd op licht reageren. De MEROPE-camera heeft een dergelijke bad pixel, die meestal de hele verdere uitlezing van de kolom beïnvloedt. De enige oplossing hiervoor is ervoor zorgen dat het object waar men in geïnteresseerd is niet op deze pixels terechtkomt. Eventueel kan men achteraf deze pixels uitmiddelen.
Cosmic hits
De aarde wordt constant onderworpen aan een bombardement van hoog-energetische straling afkomstig uit de ruimte. Als dergelijke straling terechtkomt op een CCD resulteert dit in een instantane signi cante verhoging van het aantal electronen in de pixel. Hoe langer de integratietijd, hoe meer inslagen van dergelijke hoogenergetische deeltjes men verwacht. Kosmische straling valt goed te onderscheiden van het echte signaal omdat de gevolgen ervan meestal beperkt blijven tot één of enkele pixels. De at eldingsprocedure om master ats op te stellen heeft nauwelijks last van deze cosmic hits, omdat de integratietijden enerzijds kort zijn (maximaal ongeveer 120 seconden) om een aanzienlijk aantal hits te registreren, maar anderzijds ook omdat de hits pixelafhankelijk zijn en daarom uiteindelijk toch uitgemiddeld worden.
15
16
Hoofdstuk 2. Datareductie
2.2 Beschikbare data De komeet C/2004 Q2 Machholz werd tussen 7 januari 2005 en 15 januari 2005 gedurende negen nachten geobserveerd door Geert Davignon (7 januari) en Christoel Waelkens (8 tot 15 januari), met behulp van de MEROPEcamera op de Leuvense MERCATOR-telescoop op La Palma (Tabel A.2). Er werden alles tezamen 181 opnames gemaakt van de komeet, in drie lters: telkens 61 in de Geneva U- en B- lter (Golay, 1966) en 59 in de Cousins I- lter (Cousins, 1975), met belichtingstijden van 600 (U) en 60 (B,I) seconden. De transmissiecurve van elke gebruikte lter is weergegeven in Fig. 2.2. De opnames werden gemaakt tussen 20.00u en middernacht (UT). Naast waarnemingen van de komeet beschikken we ook over 63 opnames van standaardsterren in de U- lter, 64 in de B- lter en 57 in de I- lter, telkens genomen vlak vóór, tussen of vlak na de komeetopnames. Daarnaast beschikken we over 16 at eld-opnames in de U- lter, 11 in de B- lter en 13 in de I- lter, allen met integratietijden tussen 20 en 197 seconden. Over alle nachten zijn 59 bias-frames gemeten. Dark frames geven bij MEROPE geen aanvullende waarde op de bias-frames wegens de lage waarde van de dark current. De observatierapporten van de waarnemers bevatten enkele belangrijke opmerkingen: vooreerst is 7 januari de eerste nacht na de winteronderbreking, waardoor die nacht vooral gebruikt werd om de telescoop te testen. Als gevolg hiervan moeten 2 observaties in de U- en I- lter (012027, 012063, 012029, 012062) opgegeven worden, plus 1 observatie in de B- lter (012028), omdat de komeet niet gevolgd werd tijdens die opnames. Bovendien is de komeet op deze opnames te lang of te kort belicht. Soortgelijke problemen hebben zich in de volgende nachten kennelijk nog vier maal voorgedaan: op telkens twee opnames in de U- en B- lter werd de telescoop niet op de komeet gericht (012627, 012630, 012628, 012855), waardoor ook deze opnames mislukt zijn. Een tweede belangrijke opmerking is dat tijdens de laatste nacht (15 januari) het weer rond middernacht te slecht werd om nog waarnemingen te doen. Omdat het onmogelijk is het precieze tijdstip aan te duiden waarop het weer te slecht werd, worden alle opnames na 22.00u tijdens die nacht (013630 en verder) verwijderd. Tussen 9 en 11 januari bestond er volgens de waarnemer een lichte kans op aanwezigheid van stof en zand uit de Sahara. Positief voor de waarnemingen was dat het op 9 januari nieuwe maan was, dat er over het algemeen een goede tot zeer goede seeing was en dat in het algemeen de weercondities zeer goed waren. Tot slot wordt in de handleiding van het MEROPE-instrument3 gewag 3 Le
Guillou, L. et al., Mercator Merope Reference Manual, 2006, p29.
2.3. Reductieproces
17
gemaakt van het falen van de temperatuursregeling van de CCD ten tijde van de waarnemingen (in feite tot september 2005). Het resultaat hiervan is dat er aanzienlijke temperatuurs uctuaties zijn te meten op korte tijdschaal, waardoor de aparte bias-frames nutteloos zijn. De overscan areas die op iedere volledige opname te zien zijn geven een betere maat voor de bias van dat frame. Het probleem hierbij is niet alleen dat de bias op deze manier niet volgens maximale precisie kan bepaald worden, maar vooral dat informatie over de bias van de standaardsterren niet beschikbaar is. De standaardsterren worden immers windowed uitgelezen, wat wil zeggen dat niet het gehele CCD werd uitgelezen maar slechts een beperkt gebied ervan ter grootte van 300 × 300 pixels uit het centrum van het frame (Fig. 2.5).
2.3 Reductieproces Onder perfecte omstandigheden (mits rekening te houden met de temperatuurs uctuaties) is de strategie om de fotometrische gegevens afkomstig van de MEROPE-camera te reduceren de volgende: 1. Normaliseer de afzonderlijke at elds, door eerst de waarde van de bias afgeleid uit de overscan areas van elke pixelwaarde, af te trekken en ze vervolgens te delen door de mediaanwaarde. Op deze manier worden de invloeden van de verschillende belichtingstijden geneutraliseerd. 2. Construeer per lter een master at eld met de afzonderlijke at elds. 3. Reduceer de data frames (komeet en standaardster) door de bias van het frame ervan af te trekken en het geheel te delen door de master at: Gereduceerd frame =
Ruw frame − Bias Master at
(2.1)
Er bestaan reductiescripts om de verschillende at elds te combineren tot een master at en vervolgens de ruwe data te reduceren. Ze werken voorlopig enkel maar voor volledige CCD-opnames, dus voor de standaardsterren moet de reductie sowieso gebeuren met een eigen script. Er treden echter bijkomende problemen op.
2.3.1 Constructie van de master ats Om te beginnen is het onmogelijk om alle at elds te combineren in één master at. De reden hiervan is het sterk wisselend donutpatroon in de at elds (Fig. 2.1). Het donutpatroon treedt op wanneer er stofjes op de lter
18
Hoofdstuk 2. Datareductie liggen. Omdat de camera niet op deze onregelmatigheden is gefocust, manifesteren ze zich als schijven met een gat in op de CCD-opname (donuts). Voor ieder optredend donutpatroon moet een aparte master at geconstrueerd worden omdat de middelingsprocedure anders niet meer werkt (een donut is geen gevolg van de pixel-to-pixel variaties van de CCD). De verschillen in patronen worden het duidelijkst gedetecteerd door de verschillende at elds door elkaar te delen: zo verkrijgen we een frame dat over het algemeen vrij egaal is, maar daar waar de donuts alleen voorkomen op het ene of het andere frame, is een scherpe aftekening zichtbaar (Fig. 2.1). De patronen in de B- lter at elds tonen de meeste variaties: we kunnen de 11 frames opdelen in 8 (!) signi cant verschillende patronen. In de Uen I- lter zijn respectievelijk 7 en 5 verschillende patronen te ontwaren (Tabel 2.1). Dit houdt in dat sommige master ats gewoon genormeerde at elds zijn (013179,012004,012175,012990,013180). Deze werkwijze lost de problemen op in de U- en B- lter. Het standaardscript van MEROPE kan gebruikt worden. Dit gaat als volgt te werk4 : 1. Er wordt eerst een median frame geconstrueerd: het neemt de mediaan van elke pixel in de afzonderlijke frames, zonder rekening te houden met de hoogste en laagste waardes (om onder andere de invloed van kosmische straling te verminderen). 2. Op dezelfde manier worden gemiddelde en rms frames geconstrueerd. 3. Voor elke pixel wordt een gemiddelde berekend waarbij enkel de waardes binnen een afstand van 5σ rond de mediaan uit de eerste stap gebruikt worden. De verzameling van al deze pixels is de resulterende (genormeerde) master at. De reden voor deze werkwijze is dat in januari 2005 sky ats gebruikt werden. Hierop zijn, zeker in de I- lter, af en toe sterren te zien, enkel en alleen omdat een sterrenloos stukje hemel niet bestaat. Het spreekt voor zich dat de I- lter, die verhoudingsgewijs het meest straling detecteert (Fig. 2.2), het meest last heeft van een optredend sterrenpatroon. Daarom is het de bedoeling om verschillende at elds te nemen, telkens gericht op net een ander stukje hemel. Door dan bijvoorbeeld de mediaan te nemen van iedere pixel kunnen dan sterren vermeden worden in de master at. Het is een geluk dat op de beschikbare at elds die op zichzelf als master at moeten dienen, weinig tot geen sterren te zien zijn, zodat het niet nodig is om pixelwaardes rond een ster te extrapoleren naar de pixels die in de ster liggen. 4 Le
Guillou, L. et al., Mercator Merope Reference Manual, 2006, p31.
2.3. Reductieproces
19
Tabel 2.1 Master ats. UG
BG
IC
Nr.
# FFL's
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5
4 2 3 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 3 3 1
Gebruikte FFL's 012003 012574 012790 012988 013179 013378 013574 012004 012175 012579 012793 012990 013180 013377 013573 012006 012570 012984 013182 013571
-
012171 - 012172 - 012174 012578 012791 - 012792 012989
- 013379 - 013575
- 012794 -
013380 013576 012167 - 012168 012581 012985 - 012992 013375 - 013382
De mediaanmethode van de standaardscripts faalt echter wanneer we maar over twee of drie at elds beschikken. Daarom hebben we het script op de volgende manier aangepast (bijlage B, routines B.1, B.2, B.3): 1. Bereken van elke at eld de bias. Deze wordt berekend aan de hand van overscan areas, waarbij een marge van 5 pixels wordt zowel boven, onder als links en rechts in de overscan overgelaten5 en vervolgens het gemiddelde van alle pixels in dit oppervlak te berekenen. 2. Verminder elke pixel in de at elds met bijhorende bias en normeer het geheel. 3. Overloop nu alle pixels: 5 Le
Guillou, L. et al., Mercator Merope Reference Manual, 2006, p29.
20
Hoofdstuk 2. Datareductie a) Controleer of een pixel in een ster zit. We beschouwen een pixel als behorende tot een ster als ze (i ) een pixelwaarde heeft hoger dan 5% meer dan de gemiddelde waarde (pixelwaarde 1 als gevolg van de normering), en als er daarenboven (ii ) in de onmiddellijke omgeving rond de pixel zich nóg een pixel met deze eigenschap bevindt. Op deze manier wordt vermeden dat het spikkelpatroon (Fig. 2.3) dat zich op sommige plaatsen in de CCD bevindt, door de procedure wordt aangepast. Dit patroon van kleine heldere vlekjes treedt op in elke at eld en is dus eigen aan de CCD, zodat dit patroon niet mag gecorrigeerd worden maar integendeel ook in de master ats aanwezig moet zijn. b) Indien een pixel in geen enkele at eld tot een ster behoort, neem dan als pixelwaarde voor de master at de gemiddelde waarde van de pixels op die plaats. c) Indien een pixel wel tot een ster behoort, neem dan als pixelwaarde voor de master at de gemiddelde waarde van de andere frames. Omdat sterren een zekere point-spread kennen worden ook de pixels er rond mee gecorrigeerd. We merken op dat via deze werkwijze geen rekening wordt gehouden met het aanpassen van pixels getroen door kosmische straling. Het blijkt echter onmogelijk om kosmische hits te onderscheiden van het spikkelpatroon, dat inherent aan de CCD blijkt te zijn: het aantal `enkele' pixels (dat wil zeggen pixels die niet behoren tot een ster) die een ADU-waarde hebben hoger dan 1.05 blijkt te hoog om te kunnen verklaard worden door kosmische hits alleen (Tabel 2.2). We willen dit spikkelpatroon corrigeren door ze in de master at te laten, omdat dit deel uitmaakt van de pixel-to-pixelvariaties van de CCD. Door deze keuze corrigeren we dus de kosmische straling niet. We benadrukken nogmaals dat het aantal verwachte cosmics hits eerder beperkt is, ten gevolge van de korte integratietijden van de at eld frames. Een illustratie van de e ciëntie van het algoritme is vinden in Fig. 2.4.
Tabel 2.2 Aantal door het aangepaste script gedetecteerde pixels uit de master ats in de I- lter.
Pixels in sterren Master at 1 Master at 2 Master at 4
% Individuele pixels
824 0.02 1269 0.03 2710 0.06
%
2014 0.05 1543 0.03 9720 0.22
2.3. Reductieproces
2.3.2 Reductie Eens de master ats opgesteld zijn, reduceert het reduce -script alle bijhorende komeetframes, door gebruik te maken van formule 2.1. Opnieuw wordt de bias berekend via de overscan areas, waarbij ook hier rekening gehouden wordt met een marge van 5 pixels. De standaardsterren daarentegen kunnen niet gereduceerd worden met het reduce-script, vanwege het windowed uitlezen. De reden hiervan is voornamelijk tijdswinst: het duurt ongeveer 1 minuut om een frame helemaal uit te lezen, tegen ongeveer 5 seconden voor dergelijke windows 6 . Na controle op saturatie blijkt dat er een heleboel frames onbruikbaar zijn: 23 frames in de I- lter, 2 in de B- lter, maar geen enkele in de U- lter (Tabel A.2). Het enige wat nog rest te doen om de standaardsterren te reduceren is formule 2.1 toepassen, met de bias genomen uit de dichtsbijzijnde komeetframe-overscans. De standaardsterren op deze manier reduceren is echter niet voldoende: ten gevolge van het windowed uitlezen ontstaat er een storende gradiënt (Fig. 2.6). Uit horizontale doorsnedes van elk frame blijkt dat we deze gradiënt best kunnen benaderen door een tweedegraads polynoom (Fig. 2.6). Door dan uiteindelijk deze polynoom af te trekken van de pixelwaardes elimineren we zowel de gradiënt als de grootste onzekerheid op de bias. Het script om de gradiënt te verwijderen gaat als volgt te werk: 1.
Stel de gradiënt op: a) Verdeel de onderste rand van het frame van de standaardster in verticale rechthoekjes met dimensie 11 × 36 pixels. Begin bij pixelpositie (3, 3). b) Controleer of de ster niet toevallig gedeeltelijk of geheel de rechthoekjes overlapt door na te gaan of er pixels in de regio (0. . . 300, 0. . . 36) liggen met waarde hoger dan 1100 ADU op het ruwe frame. Indien wel, begin dan de rechthoekjes bij pixelpositie (260, 3). c) Bereken de mediaan van ieder van de rechthoekjes. Associëer de centrale pixelpositie van het rechthoekje met deze mediaan. Fit een tweede-graads polynoom door alle medianen.
2.
Verwijder de gradiënt:
Evalueer de opgestelde tweede-graads polynoom in elke horizontale pixelpositie (x). Trek deze waardes af van de overeenkomstige echte waarde van de pixels.
6 Le
Guillou, L. et al., Mercator Merope Reference Manual, 2006, p12.
21
22
Hoofdstuk 2. Datareductie Na de eerste reductie moet nog rekening gehouden worden met enkele secundaire eecten. Een eerste is de invloed van de background. De atmosfeer zelf is ook een bron van zwakke variabele straling, waarvoor gecorrigeerd moet worden. Die straling is afkomstig van de diusie van lichtbronnen aan de hemel maar ook op aarde, zoals bijvoorbeeld nabijgelegen steden. Veelal wordt ook de resterende ruis geproduceerd door de CCD zelf, beschouwd als bron van de achtergrond. De waarde van de background wordt meestal afgeleid door sterloze gebieden aan de hemel te bekijken: het image-processing programma SourceExtractor onderzoekt bijvoorbeeld een stukje hemel en verwijdert hierin op een iteratieve manier pixels die buiten het 3σ -bereik vallen om dan uiteindelijk de mediaan van de overgebleven pixels als achtergrondwaarde te gebruiken (Bertin & Arnouts, 1996). Bij de opnames van de komeet C/2004 Q2 Machholz is het onmogelijk dit proces correct uit te voeren omdat de coma zo uitgebreid is dat er geen enkel stuk van het beeldveld niet beïnvloed is door deze wolk van stof en gas. Het is natuurlijk wel zo dat de invloed van de coma vermindert naarmate we verder en verder van de kern kijken. Modelleren we dit verval door middel van een polynoom van graad −n,
f (ρ) = an ρ−n + an−1 ρ−n+1 + · · · + a0
(2.2)
met ρ de geprojecteerde afstand op de hemel, dan is de waarde voor ρ → ∞ een goede schatting voor de grootte van de achtergrond ux (Schulz & A'Hearn, 1995). Het voordeel van het nemen van een polynoom voor het tten van de coma is dat een polynoom exibeler is dan bijvoorbeeld een exponentiële t, waardoor we a priori geen aannames hoeven te maken over de vorm van het pro el (hoofdstuk 4). Per opname worden twee polynomen van de vorm (2.2) ge t, links en rechts ter hoogte van een dwarsdoorsnede door de kern, op de as loodrecht op de richting van de zon (Fig. 2.9). Met dit proces vinden we in ons geval echter heel lage waarden voor a0 uit vergelijking (2.2). Ze zijn maximaal van de orde van een paar duizendsten van de pixelwaarden in de kern, maar veelal nog een stuk lager. Bovendien zijn de waarden van a0 afgeleid uit het ge tte pro el links en rechts van de kern vrij verschillend. Ook de waarden voor a0 gevonden door het tten van een derde- of tweedegraads inverse polynoom verschillen relatief veel. Hierdoor wordt een eenduidige bepaling van de waarde op oneindig onmogelijk. De constante a0 is dus te verwaarlozen dicht bij de kern en ook ver van de kern blijft de background een tweede orde eect. We concluderen dat de achtergrond ux verwaarloosd mag worden. Een tweede secundair eect is de verandering in de afstandscon guratie aarde-zon-komeet. Komt de komeet dichter bij de zon, dan wordt ze helderder. Hiermee wordt niet de verwachte verhoging in activiteit bedoeld,
2.4. Extractie
23
die normaal gezien gepaard gaat met het dichter komen van de komeet bij de zon, maar wel de toename in helderheid doordat het object een grotere ux ontvangt. De komeet wordt natuurlijk ook schijnbaar helderder wanneer ze dichter bij de aarde komt, door de afstandsafhankelijkheid van de ux. Tijdens de observatietijd van de komeet C/2004 Q2 Machholz neutraliseren deze twee fenomenen elkaar een beetje: ze komt dichter bij de zon, maar tegelijkertijd ook verder van de aarde. Toch heen deze eecten elkaar niet helemaal op. Om ervoor te compenseren vermenigvuldigen we de reeds gereduceerde beelden met een afstandscalibratiefactor (Schulz et al., 1993), die we relatief nemen ten opzichte van de eerste dag. De twee effecten zijn uxgerelateerde eecten, waardoor de afstandscalibrator fa een kwadratische vorm aanneemt (Tabel A.1):
fa =
∆ ∆0
2
rh rh0
2
met ∆ de afstand komeet-aarde, rh de afstand komeet-zon en de index 0 ter aanduiding van de afstand tot de aarde en zon op de eerste dag. Niettegenstaande het feit dat de komeet zich dus tegelijk verder van de aarde als dichter bij de zon begeeft, verschilt de ontvangen ux tussen de eerste en laatste dag ongeveer 10%. Omgerekend naar magnitudes verlaagt deze calibratie de magnitudes op de laatste dag met ongeveer 0.04 ten opzichte van de eerste.
2.4 Extractie 2.4.1 Extractie van de standaardsterren Uit de gereduceerde opnames van de standaardsterren kan de extinctiecoë ciënt kλ berekend worden door gebruik te maken van de relatie
mcat = mstd − kλ Fz
(2.3)
met mcat de catalogus-magnitude van de standaardster, mstd de gemeten magnitude en Fz de luchtmassa. Fz is een relatieve maat voor de optische weglengte door de aardse atmosfeer van licht, dat uitgezonden wordt door hemellichamen. Fz wordt genormeerd in het zenith (Fz = 1) en vergroot naarmate lager aan de hemel geobserveerd wordt, omdat het licht daar een grotere afstand door de atmosfeer moet a eggen. De extinctiecoë ciënt is een maat voor de kwaliteit van de luchtlagen waar het geobserveerde licht door moet reizen. Ze is groot wanneer het weer slecht is (hoge vochtigheid,
24
Hoofdstuk 2. Datareductie stof. . . ). De catalogus-magnitudes van de standaardsterren van elke lter zijn vanzelfsprekend op te zoeken (Genève catalogus, SIMBAD), behalve voor de standaardsterren 11018392 en 40002195, waarvoor de waarden in de IC- lter ontbreken.
Tabel 2.3 Gecatalogiseerde magnitudes van de standaardsterren. Standaardster
Genévecode
UG
BG
IC
HD15228 HD18392 HD29193 HD17674 HD45391 HD18286 BD -02◦ 0524 HD24538 HD12021 HD16581 HD24431 HD31073 HD23863 HD25329 BD+00◦ 1228
10015228 10018392 10029193 10017674 10045391 10018286 -00020524 10024538 10012021 10016581 10024431 10031073 40002195 10025329 00001228
7.270 8.910 8.425 8.606 8.198 9.676 9.888 10.613 8.787 8.235 6.821 10.187 8.939 10.161 10.388
6.031 6.937 6.757 7.321 6.949 8.381 9.207 9.254 7.804 7.140 6.205 8.600 7.439 8.615 9.027
5.921 6.888 6.897 6.467 8.166 10.415 8.955 8.965 8.241 6.567 9.047 7.592 8.600
Tabel 2.4 Zeropoints van de gebruikte Genève- lters. Filter UG BG IC
Zeropoint 22.509 23.282 22.890
De magnitudes mstd uit de opnames worden met behulp van het standaard programma SourceExtractor bepaald door de relatie
mstd = Zeropoint + 2.5 log t − 2.5 log F
(2.4)
met t de integratietijd van de opname en F de gemeten ux. Het minteken bij de ux-term betekent natuurlijk dat een hogere ux gepaard gaat met
2.4. Extractie een lagere magnitude. Het feit dat we het tiendelig logaritme ervan nemen gaat terug op de tijd van Hipparcos (tweede eeuw voor Christus), toen deze de sterrenhemel opdeelde in 6 luminositeitsklasses. Deze indeling werd gemaakt met het blote oog: voor het op logaritmische schaal werkend oog lijkt een ster die tienmaal zwakker is net de helft zwakker. Het is de ux F die door SourceExtractor gemeten wordt. Standaard gaat dit programma uit van een integratietijd van 1 seconde, waarvoor we moeten corrigeren: hoe hoger de integratietijd, hoe hoger de lichtkracht die de ster schijnt te hebben. Er wordt hiervoor dus gecompenseerd door articiëel de magnitude bij langere belichting te verhogen. De zeropoint7 is een calibratieconstante: zelfs al zou gelden dat de extinctiecoë ciënt kλ = 0, dan nog zijn er verschillen tussen verschillende telescopen, wat betreft de opgemeten ux. De zeropoint zorgt er dus voor dat de gemeten magnitudes telescooponafhankelijk zijn. Ze wordt bepaald door een skydip -procedure te volgen: als we de gemeten magnitude, die nog niet voor het zeropoint gecorrigeerd is, schrijven als m0std (dus m0std = 2.5 log t − 2.5 log F ), dan wordt vergelijking (2.3) mcat − mstd = −kλ Fz + ZP ⇔ Y = −kλ X + ZP (2.5) Meten we nu standaardsterren voor verschillende luchtmassa (en dus op verschillende hoogtes, vandaar de term skydip ), dan kan een rechte door de meetpunten ge t worden. De extinctiecoë ciënt kλ kunnen we constant veronderstellen door het korte tijdsinterval waarin alle skydip-opnames gebeuren. Door dan in het rechterlid van vergelijking 2.5, X = 0 te nemen vinden we dat Y = ZP . Fig. 2.10 toont het resultaat van dergelijke procedure van de VG- lter. We kunnen nu ook stellen dat de term 2.5 log t een kunstmatige verhoging is van het zeropoint bij langere belichtingstijden: we maken de telescoop als het ware `gevoeliger'. Een andere mogelijkheid zou zijn om de opnames te delen door de integratietijd, maar dan verliezen we informatie over eventuele saturatie in de opnames. De ingevoerde parameters voor SourceExtractor die gebruikt werden zijn zoals gegeven in Tabel 2.5. We gebruiken de parameter MAG_ISOCOR om de magnitude te bepalen. Deze methode komt neer op het optellen van de ADU-waarde van alle pixels boven de threshold, plus een correctiefactor die rekening houdt met het Gaussisch pro el van de ster op de CCD. Er loopt met deze procedure echter iets mis bij de IC- lter. De foutenschatting op de zeropoint van de IC- lter van ±1 magnitude (Le Guillou, priv.comm.) toont al een extreem grote standaardfout. De skydip opnieuw 7 Van
Winckel, H. et al., Observer Manual for the Mercator Telescope and its Instruments, 2006, p30.
25
26
Hoofdstuk 2. Datareductie
Tabel 2.5 Gebruikte parameters om de magnitude van de standaardsterren te bepalen met SourceExtractor. Parameter
Waarde
DETECT_MINAREA DETECT_THRESH FILTER_NAME SATUR_LEVEL GAIN
100 1.4 default.conv 60 000 0.93
Omschrijving Minimum aantal pixels boven threshold Threshold boven σ Gebruikte lter Saturatieniveau (ADU) Detectorampli catie (e− /ADU)
uitvoeren levert geen beter resultaat op (Fig. 2.11). De extinctiecoë ciënten voor iedere lter moeten uiteraard verschillende waarden aannemen, maar ze moeten een gelijkaardig verloop in de tijd kennen. De IC- lter voldoet duidelijk niet aan deze voorwaarde (Fig. 2.12), wanneer we ze vergelijken met de UG- en BG- lter, die wel een gelijkaardig verloop vertonen (Fig. 2.13 en Fig. 2.14). De enige manier om de extinctiecoë ciënten alsnog te kwanti ceren bestaat erin de extincties uit de UG- en BG- lters eerst aan elkaar te relateren, om ze daarna aan de IC- lter te verbinden. Voor de twee eerste lters beschikken we na lineaire interpolatie op regelmatige tijdstippen over genoeg punten om voor iedere dag de extinctiecoë ciënten van elkaar af te trekken om zo het verband zelf na te gaan. Rekening houdend met een 2σ foutenmarge wordt dit
kλ (U G) − kλ (BG) = 0.253 ± 0.021 waarbij we een enkele duidelijke outlier in de BG- lter hebben verwijderd (013451). Vervolgens leiden we kλ (IC) af uit
kλ (IC) = kλ (U G) − 0.453 Op deze manier verkrijgen we een veel consistenter beeld (Fig. 2.15); de te zoeken variabiliteit wordt niet beïnvloed door een fout op constante −0.453. Er zit echter zeker een verschuiving op de absolute magnitudes in de lter.
2.4.2 Extractie van de komeet We maken essentiëel gebruik van de relatie (2.3) om nu de gecorrigeerde magnitude van de komeetframes te berekenen. Met aangepaste parameters
2.4. Extractie
27
wordt deze
mcom = mccd − kλ Fz
(2.6)
mccd = ZP + 2.5 log t − 2.5 log F
(2.7)
met
Omdat relatie (2.6) twee onbekende grootheden telt kλ en mcom moet één van de twee op een andere manier bepaald worden. Een mogelijke optie zou kunnen zijn om deze info te halen uit sterren die toevallig op het frame aanwezig zijn. Dit procédé zal echter een hele grote onzekerheid inhouden omdat de helderheid van de coma de hele CCD beïnvloedt. Dit gas is helemaal niet homogeen verdeeld (Fig. 2.8), dus informatie over de extinctie voor een bepaalde ster op het frame zal niets over de algemene extinctie kunnen zeggen. In plaats daarvan beschikken we over de extinctiecoë ciënt van tijdstippen dicht in de buurt van de tijdstippen waarop de komeet geobserveerd werd de extinctiecoë ciënten van de standaardsterren. In het slechtste geval liggen die ongeveer een half uur uit elkaar. Het nemen van de extinctiecoë ciënt van de dichtstbijzijnde standaardster, is veelal een te ruwe benadering. Daar we daarentegen geen idee hebben hoe de extinctie tussen deze tijdstippen écht verloopt, verlaten we ons op lineaire interpolatie. Hogeregraadsinterpolatie verhoogt de complexiteit van het probleem enkel maar, zonder kwalitatief bij te dragen tot een betere benadering. De extinctiecoë cënt kλc van een komeetopname op tijdstip tc wordt dan gegeven door
kλc
∗ ∗ kλ,u − kλ,l ∗ (tc − t∗l ) + kλ,l = ∗ ∗ tu − tl
(2.8)
Met superscript `∗' ter duiding van een standaardster en de indices l en u respectievelijk de standaardster dichtst voor en achter het tijdsctip tc . Om nu mccd te bepalen kan niet dezelfde procedure gevolgd worden als bij de standaardsterren. Het gebruikte programma SourceExtractor voldoet niet om de magnitude van de kern van de komeet te bepalen, dit wegens twee redenen: de positiebepaling van de kern en de discretisatie van een pixel bij kleine apertures.
Positie van de kern Er bestaat ten eerste geen e ciënte manier om de plaats van de kern te bepalen in SourceExtractor. Het programma, dat geschreven is om sterren en galaxieën te extraheren, berekent de kern van het object door het barycentrum te nemen. Waar deze manier zeker adequaat is voor sterren en galaxieën, schiet ze tekort voor kometen (Fig. 2.7). Kometen zijn dynamisch, de coma errond wordt dus enigszins vervormd
28
Hoofdstuk 2. Datareductie door allerlei eecten. Zo bijvoorbeeld treedt op grote schaal (105 − 107 km) vervorming op door interactie met de zonnewind. Op kleinere schaal kan de coma beïnvloed worden door de beweging en variabele activiteit van de kern. Dit resulteert in isofoten die niet altijd cirkelsymmetrisch zijn (Fig. 2.8). Er bestaan dan verschillende manieren om de kern K(x0 , y0 ) te bepalen: 1. We kunnen ofwel de helderste pixel nemen:
K(x0 , y0 ) = max F (x, y) x,y
2. Ofwel kunnen we een 2D Gaussische functie tten door een gebied rond de helderste pixel en het maximum van de functie als kern nemen. Dit maximum kan in functie van de momenten van de Gausscurve uitgedrukt worden. Het nulde moment wordt gede nieerd als U0 = P i,j∈B Fij met B een vierkant op seeingschaal (ongeveer 20 Ppixels) rond de maximale pixel. De eerste momenten zijn Ux = i,j xfij P yf . Het maximum van de Gaussfunctie wordt dan en Uy = ij i,j (routine B.4) Ux Uy K(x0 , y0 ) = F ( , ) U0 U0 3. De laatste mogelijkheid is om toch een barycentrum te nemen, maar dan van een zo klein mogelijk gebied I rond de maximale pixel (routine B.5) P fi × (xi , yi ) K(x0 , y0 ) = i∈IP i∈I fi De eerste mogelijkheid, die ook gebruikt wordt in SourceExtractor, is zeker de slechtste: ten eerst wordt de precieze plaats van de helderste pixel te zeer beïnvloed door seeing uctuaties omdat deze uctuaties op een schaal van meerdere pixels werken. Vervolgens kunnen er zich structuren vormen in de onmiddellijke omgeving van de kern die gemakkelijk de helderheid van de kern zelf overschrijden, zoals gasuitbarstingen (jets). We kunnen daarbovenop geen hoop koesteren om de nucleus van de komeet eectief waar te nemen: de nucleus heeft een grootteorde van 1 tot 10 km, terwijl een pixel een resolutie heeft van 50 km. Ook is de coma rond de kern optisch dik, en heeft de kern zelf een typische albedo van slechts enkele procenten, waardoor eventueel optredende re ectie moeilijk waar te nemen zou zijn. De maximale pixel als kern beschouwen is dus een te grove benadering. Het tten van de twee dimensionale Gaussische functie heeft als nadeel dat goed moet geweten zijn op welke schaal de seeing werkt.
2.4. Extractie
29
De uitsmering van het licht ten gevolge van de seeing volgt bij goede benadering een Gaussische verdeling, maar de coma helemaal niet (hoofdstuk 4). Er wordt daarom geopteerd voor de derde keuze: een gewogen gemiddelde nemen van enkele pixels rond de maximale pixel vergt geen aannames voor de vorm van onderliggende structuren, zodat deze methode een stuk robuuster is dan de andere.
Discretisatie van een pixel bij kleine apertures
Een tweede reden waarom SourceExtractor niet geschikt lijkt om de magnitude van de kern van de komeet te bepalen is omdat we graag met een zo klein mogelijke aperture werken, met diameter rond de seeing. SourceExtractor berekent de ux in een circulaire aperture door een pixel op te delen in een 5 × 5 rooster8 , om dan de ux op te tellen van alle subpixels waarvan het middelpunt binnen de vooraf bepaalde aperture-straal ligt (Fig. 2.4.2). Dit is natuurlijk een benadering, waarvan we a priori niet kunnen zeggen of ze een grote invloed zal hebben. De pixelwaarde weegt wel minder door (i.e. de pixelwaarde neemt snel af met de afstand tot de nucleus), maar aan de andere kant is het toch de bedoeling een zo klein mogelijke aperture-straal te nemen. Bovendien wordt het probleem niet onmogelijk complex door de ux op analytische manier te berekenen. We splitsen daarvoor de mogelijke gevallen op: (i ) de cirkel kan twee overstaande zijden (horizontaal of verticaal) van een pixel snijden (Fig. 2.4.2), of (ii ) ze kan twee aanliggende zijden snijden. Het laatste geval splitsen we dan weer op in twee gevallen: ofwel (iia ) snijdt de cirkel de aanliggende zijden die verst van het centrum verwijderd liggen , ofwel (iib ) deze die het dichtst bij het centrum liggen. In alle drie de gevallen komt de berekening van het oppervlak er op neer om de oppervlakte van het cirkelsegment begrensd door l2 en de cirkel zelf op te tellen bij de resterende driehoek, trapezium of vijfhoek9 . De oppervlakte van het cirkelsegment wordt gegeven door de formule
1 A = l12 (α − sin α) 2 met α de hoek tussen de twee gelijke zijden met lengte l1 . Deze hoek wordt met behulp van de cosinusregel gegeven door
l2 α = Bgcos 1 − 22 2l1
8 Holworda,
9 De
B.W., Source Extractor for Dummies, p.38 gebruikte parameters l1 , l2 , k1 en k2 zijn zoals gede nieerd in Fig. 2.4.2
30
Hoofdstuk 2. Datareductie De totale oppervlakte van de fractie oppervlakte in geval (i ) wordt dan s l12 l2 l22 l1 l2 k1 + k2 S1 = Bgcos 1 − 2 − 1 − 22 + (2.9) 2 2l1 2 4l1 2 en in het geval (ii ), met γ = k1 k2 /2 voor (iia ) en γ = 1 − k1 k2 /2 voor (iib ) wordt dit uiteindelijk s l22 l1 l2 l2 l12 1 − 22 + γ (2.10) S2 = Bgcos 1 − 2 − 2 2l1 2 4l1 Eigenlijk bestaat er ook nog een geval (iii ) waarbij de cirkel een pixel viermaal snijdt, maar dit wordt opgelost door dit op te splitsen in twee gevallen zoals geval (ii ). Omdat we nooit onder een aperturestraal van 1 pixel gaan kan de cirkel de pixel nooit meer dan vier keer snijden. Op deze manier worden alle gevallen behandeld. Vervolgens worden alle pixels vermenigvuldigd met hun bijhorende fractie oppervlakte en opgeteld, om de ux F te verkrijgen. Met behulp van formule (2.7) wordt dan mccd bepaald. Dit doen we voor elke opname van de komeet.
2.4. Extractie
31
Figuur 2.1 Donutpatroon: twee details van het resultaat na deling
van at eld 012990 door 013180. De witte zijn op de eerste at eld wel te zien en op de tweede niet, de zwarte net omgekeerd.
Figuur 2.2 Transmissie en gol engtebereik van de MEROPE- lters
Le Guillou et al., 2006. 100
U-filter B-filter I-filter
Transmissie (%)
80
60
40
20
0 100
200
300
400
500 600 700 Golflengte [nm]
800
900
1000
32
Hoofdstuk 2. Datareductie
Figuur 2.3 Detail van spikkelpatroon ter grootte van ongeveer 600 op 400 pixels op at eld 012570 (I- lter) .
Figuur 2.4 Fragment tweede master at I- lter (012570,012581). Op
het frame met het standaard-script (boven) zijn er duidelijk nog sterren aanwezig (1 linksboven, 1 rechtsboven en 3 op een lijn linksmidden), terwijl op het masterframe berekend met het eigen script alle sterren verdwenen zijn.
(a) Met behulp van standaardscript.
(b) Met behulp van aangepast script.
2.4. Extractie
Figuur 2.5 Eerste master at in de B- lter (volledig) met window van standaardsterren (zwart) ter illustratie.
33
34
Hoofdstuk 2. Datareductie
Figuur 2.6
Illustratie van de e ciëntie van het algoritme dat corrigeert voor een aanwezige gradiënt ten gevolge van het windowed uitlezen (bij standaardster HD16581 (012393)).
(a) Ruwe opname.
(b) Gereduceerd frame met gradiënt verwijderd. 10
Gereduceerde Opname Polynomiale fit
20
5
ADU
ADU
15 0
10 -5 5
0
50
100
150 Pixel
200
250
300
-10 0
50
100
150 Pixel
200
250
300
(c) Doorsnede onderaan gereduceerd fra- (d) Doorsnede onderaan het gereduceerme. de frame, met gradiënt verwijderd.
2.4. Extractie
Figuur 2.7 Resultaten van de verschillende methodes om de nucleus te bepalen (opname 012398).
Figuur 2.8 Vorm van de coma van de komeet in opname 012834. Uit
deze opname is duidelijk dat de plaats van de kern bepalen aan de hand van het barycentrum van isofoten, niet goed kan werken: de isofoten zijn geen mooie ellipsen, maar tonen signi cante vervormingen.
35
36
Hoofdstuk 2. Datareductie
Figuur 2.9 Fitten van het coma-pro el (linkerpaneel is een t links van
de kern, rechterpaneel rechts ervan) om de ux afkomstig van de achtergrond te bepalen. De rode lijn is een inverse-polynoom t met constanten a0 af te lezen in de legende (zie tekst), de blauwe lijn is een t volgens een machtswet van de vorm y = AxB met B eveneens in de legende. 012061_BG_C2004Q2-reduced_win 35
35
Flux (reduced counts)
Poly Fit 0.89 Power Fit -0.81 Data
Poly Fit 0.43 Power Fit -0.82 Data
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0 3 10
4
10 log r (km)
105
0 3 10
4
10 log r (km)
105
2.4. Extractie
37
Figuur 2.10 Skydip VG- lter in de nacht van 20 op 21 november 2004.
De stippellijn is een goede t, waardoor de zeropoint accuraat bepaald kan worden. 23.55 23.54 23.53 23.52
m_cat - m’_std
23.51 23.5 23.49 23.48 23.47 23.46 23.45 23.44 1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
F_z
Figuur 2.11 Skydip IC- lter in de nacht van 20 op 21 november 2004. De stippellijn kan de data niet goed verklaren, waardoor de zeropoint onmogelijk met hoge precisie te bepalen is. 22.89
22.88
22.87
m_cat - m’_std
22.86
22.85
22.84
22.83
22.82
22.81
22.8 1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6 F_z
1.7
1.8
1.9
2
38
Hoofdstuk 2. Datareductie
Figuur 2.12 Verloop van de extinctiecoë ciënt in de I- lter voor de
verschillende nachten (de zwarte punten zijn metingen, de rode lijnen zijn lineaire interpolaties tussen de metingen).
0107
K_lambda standaardster (IC-filter)
0108
0.22 0.18 0.16
0109
0.13 0.15 -0.02
0110
-0.19 0.16 0.09
0112
0.02 0.22 0.15
0113
0.08 0.18 0.11
0114
0.05 0.17 0.16
0115
0.15 0.92 0.56 0.2 20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5 UT
23.0
23.5
24.0
24.5
2.4. Extractie
39
Figuur 2.13 Verloop van de extinctiecoë ciënt in de U- lter voor de
verschillende nachten (de zwarte punten zijn de metingen, de rode punten zijn de gebruikte (geïnterpoleerde) waarden voor de extinctiecoë ciënt van de komeetopnames).
K_lambda standaardster (UG-filter)
0107
0.54 0.51
0108
0.48 0.53 0.51
0109
0.49 0.59 0.54
0110
0.49 0.56 0.54
0111
0.51 0.56 0.54
0112
0.52 0.57 0.54
0113
0.51 0.57 0.54
0114
0.51 0.57 0.55
0115
0.52 1.24 0.89 0.54 20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5 UT
23.0
23.5
24.0
24.5
40
Hoofdstuk 2. Datareductie
Figuur 2.14 Verloop van de extinctiecoë ciënt in de B- lter voor de verschillende nachten (de zwarte punten zijn de metingen, de rode punten zijn de gebruikte (geïnterpoleerde) waarden voor de extinctiecoë ciënt van de komeetopnames).
K_lambda standaardster (BG-filter)
0107
0.3 0.29
0108
0.27 0.31 0.29
0109
0.28 0.32 0.29
0110
0.26 0.3 0.28
0111
0.26 0.31 0.29
0112
0.26 0.29 0.27
0113
0.25 0.29 0.27
0114
0.24 0.28 0.26
0115
0.25 0.83 0.54 0.25 20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5 UT
23.0
23.5
24.0
24.5
2.4. Extractie
41
Figuur 2.15 Verloop van de gecorrigeerde extinctiecoë ciënt (zie tekst Sect. 2.4.1 in de I- lter van de verschillende nachten.
K_lambda standaardster (IC-filter)
0107
0.1 0.07
0108
0.04 0.09 0.07
0109
0.05 0.15 0.1
0110
0.05 0.12 0.1
0111
0.07 0.12 0.1
0112
0.08 0.13 0.1
0113
0.07 0.13 0.1
0114
0.07 0.13 0.11
0115
0.08 0.8 0.45 0.1 20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5 UT
23.0
23.5
24.0
24.5
42
Hoofdstuk 2. Datareductie
Figuur 2.16 Discretisatie (SourceExtractor) versus analytische werkwijze (eigen methode) bij aperture fotometrie.
(a) SourceExtractor.
(b) Exact.
(c) Analytische bepaling van opper- (d) Analytische bepaling van oppervlakte van een fractie van een pixel: vlakte van een fractie van een pixel: Eerste geval. Tweede geval.
Hoofdstuk
3
Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit In dit hoofdstuk zullen we nagaan hoe de helderheid van een komeet kan variëren op korte en lange termijn. Alvorens de kortetermijnvariaties te koppelen aan de rotatieperiode, corrigeren we de geëxtraheerde magnitudes voor de invloed van de aardse atmosfeer. Daarop voeren we ten slotte een frequentie-analyse op uit, om zo de rotatieperiode proberen te bepalen.
3.1 Lichtcurve
D
e visuele magnitude van een komeet verandert naargelang de afstand
tot de aarde en de zon verandert, zoals reeds aangehaald in sectie 2.3.2. Het basismodel dat deze afstandsafhankelijkheid beschrijft, is van de vorm (Crovisier & Encrenaz, 2000)
mv = M + 2.5k log ∆ + 2.5n log rh Hierin duiden ∆ en rh respectievelijk op de afstand komeet-aarde en de afstand komeet-zon. De parameters k en n zijn tparameters. Voor kometen is k = 2, en ligt n ∈ [3, 4] (hoewel uitzonderingen gekend zijn). Deze parameters zijn voornamelijk afhankelijk van de activiteit van de komeet en de hoeveelheid gas en stof dat rond de kern aanwezig is. M duidt op de absolute magnitude1 . Omdat de magnitude van een komeet verschilt naargelang men kijkt naar de gehele coma of enkel de kern, valt dit model op te splitsen in twee deelmodellen, namelijk één voor de gehele coma (Yeomans, 1 De
absolute magnitude van een komeet is de magnitude die ze zou hebben indien ze op 1 AU staat van zowel de aarde als de zon.
43
44
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit 2006),
Tmag = M1 + 5 log ∆ + k1 log rh
(3.1)
en voor de kern alleen:
Nmag = M2 + 5 log ∆ + k2 log rh + f β
(3.2)
met β de geobserveerde fasehoek, i.e. de hoek gevormd door de aarde, de komeet en de zon. De fasecoë ciënt f is een maat voor de fasehoekafhankelijkheid van de komeet: voor een sfeersymmetrische kern is f = 0. Toegepast op C/2004 Q2 Machholz aan de hand van 1881 observaties, wordt model (3.1) (Yoshida, 2006)
m = 5.12 + 5 log ∆ + 9.84 log rh ± 0.38 De helio- en geocentrische lichtcurves van C/2004 Q2 Machholz zijn geplot in Fig. 3.1. Het ligt niet op voorhand vast dat een komeet zijn empirische lichtcurve moet blijven volgen. Als de nucleus klein is en dicht bij de zon komt, is het veelal zo dat de lichtcurve moet worden aangepast, zoals bijvoorbeeld nodig was bij komeet C/1995 O1 Hale-Bopp of C/2001 Q2 NEAT. De lichtcurve van C/2004 Q2 Machholz blijkt echter stabiel (Yoshida, 2006). Langetermijnvariaties van de helderheid van een komeet zijn dus op een eenvoudige manier te modelleren. Dat neemt echter niet weg dat de helderheid ook op korte termijn signi cant kan veranderen. De opnames van C/2004 Q2 Machholz met de MEROPE-telescoop lenen zich goed tot dit doel, daar de tijdsresolutie van de orde van een kwartier is, terwijl bijvoorbeeld variaties ten gevolge van de rotatie van de kern van de orde van uren tot dagen is. Maar om de kortetermijnvariabiliteit op een e ciënte manier na te gaan, is het eerst nodig te onderzoeken hoe het komt dat kometen dergelijke veranderlijkheid kunnen vertonen.
3.2 Oorzaken van variabiliteit Kometen kunnen heel onregelmatige lichamen zijn; zowel wat vorm, oppervlaktestructuur en activiteit betreft. Het is daarom moeilijk om een gedetecteerde fotometrische variabiliteit met een eenduidige oorzaak te correleren. Echter, wanneer er periodiciteit in de helderheidsveranderingen is, dan is het waarschijnlijk dat deze verbonden is aan de rotatieperiode van de nucleus: hetzij door periodische activiteit, als gevolg van het wel en niet blootgesteld worden van een actief deel van het oppervlak aan de zon, hetzij door de daaraan gepaarde periodiciteit van oppervlaktestructuren met een verschillende albedo, of ook nog door periodiciteit van de geprojecteerde
3.2. Oorzaken van variabiliteit dwarsdoorsnede van de kern aan de hemel. Voor kometen met een sfeersymmetrische kern is het duidelijk dat deze laatste optie uitgesloten is, omdat de geprojecteerde dwarsdoorsnede constant blijft. Bij een rotatie van de nucleus in de vorm van een platte schotel rond de grote as, zal het gere ecteerde zonlicht dan weer maximaal variëren. Voor observaties vanaf het aardoppervlak kunnen we niet hopen dat albedoverschillen gedetecteerd zouden kunnen worden. Slechts een beperkte hoeveelheid zonnestraling wordt door de kern gere ecteerd: 81P/Wild 2 heeft bijvoorbeeld een albedo van nog geen 4% in de Cousins R-band tussen 550-900nm (Brownlee et al., 2004). Een veelgemaakte aanname in de literatuur is dat de kortetermijnvariabiliteit in de lichtcurve van de komeet samenhangt met de irregulariteit van de kern, zoals bijvoorbeeld nader onderzocht door Licandro et al. (2000). Omgekeerd werd het ontbreken van een fotometrische periodiciteit voor de komeet 91P/Wild 2 door Brownlee et al. (2004) verklaard aan de hand van de vrij constante geprojeceerde dwarsdoorsnede van de kern. Deze methode lijkt geschikt voor kometen, te meer omdat Jewitt & Meech (1988) aanwijzingen gevonden heeft dat kometenkernen in het algemeen meer afwijken van sfeersymmetrie dan asteroïden. Desondanks moet hier een belangrijke opmerking gemaakt worden: de veranderingen in dwarsdoorsnede van de kern werken toch vooral goed bij asteroïden, omdat ze vrij zijn van een contaminerende coma. Als de helderheid van een komeet bepaald wordt, zit daar altijd een stuk coma bij. Uit Licandro et al. (2000) halen we
BT (ρ) = BN + BC (ρ) met BT (ρ) de helderheid gemeten in een aperture rond het optocentrum van de komeet, BN de helderheid van de kern en BC (ρ) de helderheid ten gevolge van verstrooid licht in de coma. Het is hieruit ook duidelijk dat het moeilijk is om de helderheid van een komeet te bepalen; die is voor grondwaarnemingen van actieve kometen sterk afhankelijk van de genomen aperture. Bovendien leidt Licandro et al. (2000) de volgende vergelijking af, die een verband legt tussen de gemeten amplitude van de helderheidsverschillen en de hoeveelheid beschouwde coma, in de veronderstelling dat de fasehoek λ = π/2 en BC (ρ)(t) = C te : min(Bn ) + Bc (ρ) ∆m(ρ) = −2.5 log (3.3) max(Bn ) + Bc (ρ) Dus, hoe groter de hoeveelheid coma in de aperture, hoe kleiner de amplitude van de helderheidsverschillen. Intuïtief kunnen we deze vergelijking begrijpen door te stellen dat bij een grote aperture, de coma de helderheidsvariaties van de kern als het ware uitvlakt. Het is wel degelijk mogelijk om
45
46
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit variaties in de dwarsdoorsnede te meten, zoals gedaan door Wisniewski et al. (1986) bij komeet 49P/Arend-Rigaux, omdat de coma tijdens de metingen vooral uit gas bestond en daarom relatief doorzichtig was. Variaties in dwarsdoorsnede zijn natuurlijk ook te meten als een komeet ver van de zon staat en dus weinig actief is (Luu & Jewitt, 1992). Bij C/2004 Q2 Machholz is dit niet het geval.
3.3 Het seeingeect Het is nu duidelijk dat we niet hoeven te rekenen op het rechtstreeks waarnemen van albedo- of dwarsdoorsnedeveranderingen. Er rest ons dan ofwel het meten van periodiciteit in de activiteit van de kern, of het (onrechtstreeks) meten van dwarsdoorsnedeveranderingen, doordat de kern zonlicht re ecteerd en dit weerspiegeld wordt in de coma rond de nucleus. Bovendien willen we, omwille van vergelijking (3.3), de aperture rond de komeetkern zo klein mogelijk nemen. Maar als we apertures nemen op heel kleine schalen, begint een ander eect een grote rol te spelen, namelijk de variabiliteit van de seeing. Dit eect werd grondig bestudeerd door Licandro et al. (2000), die in zijn artikel onder meer opmerkt dat de bepaling van de rotatieperiode van de komeet 29P/Schwassmann-Wachmann 1, gevonden door Meech et al. (1993), sterk beïnvloed kan zijn geweest door seeingvariaties. De seeing zorgt er in het ideale geval voor dat het licht afkomstig van het optocenter van de komeet, uitgesmeerd wordt volgens een tweedimensionale Gaussische verdeling. Om de invloed van de seeing kwantitatief te illustreren, bekijken we het vereenvoudigde 1 dimensionale geval, met de veronderstelling dat de ux gelijk is aan 1 en dat we de coma mogen verwaarlozen. Stel vervolgens in het ene geval dat de standaarddeviatie σ1 = 1 en in het andere geval dat σ2 = 2. Nemen we in beide gevallen een aperturestraal van 2, dan wordt de afgeleide ux binnen deze aperture in het ene geval gelijk aan
Z
+1
F1 (R = 2) = −1
2
− x2 1 √ e 2σ1 ≈ 0.683 2πσ1
en in het andere geval gelijk aan
Z
+1
F2 (R = 2) = −1
2
− x2 1 √ e 2σ2 ≈ 0.383 2πσ2
Hoewel het optocenter dus in beide gevallen een gelijke hoeveelheid ux uitzendt, meten we in het eerste geval een grotere ux dan in het tweede geval.
3.3. Het seeingeect
47
Seeingvariaties kunnen dus ook zorgen voor variabiliteit in de fotometrie, maar die kan niet aan de komeet zelf toegeschreven worden. Een mogelijke oplossing is om de aperture groter te nemen: neem in het vorige voorbeeld bijvoorbeeld een aperturestraal van 12, dan verkrijgen we
Z
+6
F1 (R = 12) = −6
2
− x2 1 √ e 2σ1 ≈ 0.999 2πσ1
voor geval dat σ1 = 1 en
Z
+6
F2 (R = 12) = −6
2
− x2 1 √ e 2σ2 ≈ 0.997 2πσ2
voor het geval dat σ2 = 2. Uit de vorige sectie (sectie 3.2) weten we echter dat bij een grote aperture de helderheidsvariaties van de kern uitgevlakt worden door de bijdrage van de coma. De oplossing om toch de metingen te kunnen vergelijken met kleine aperture, is de eerste Gauss-verdeling te convolueren met een nieuwe Gauss-functie met als standaarddeviatie het verschil tussen de standaarddeviaties van de te vergelijken verdelingen: ! ! x2 x2 − − 1 1 2 2 e 2σ1 ∗ p e 2σ0 F10 = F1 ∗ G = p 2 2 2πσ1 2πσ0 met σ02 = σ22 − σ12 , zodat 2
x − 1 2 +σ 2 ) 2(σ1 0 e F10 = F1 ∗ G = p 2π(σ12 + σ02 ) 2 − x2 1 2σ2 e = p 2πσ22 = F2
We bepalen nu eerst de ordegrootte van de seeing tijdens de opnames van C/2004 Q2 Machholz, aan de hand van een steekproef van de sporen van 23 achtergrondsterren uit 23 frames in de U- lter. De U- lter lijkt het best geschikt omdat de sterren in deze lter de langste integratietijd hebben (ongeveer 600 seconden, Tabel A.2) en dus de langste stersporen vertonen. De seeing wordt bepaald met behulp van het MIDAS-software pakket, door een Gauss-curve te tten door de doorsnede van een sterspoor loodrecht op de lengte. Het resultaat van deze steekproef levert een typische seeing op van Se = (2.3 ± 0.4)00
48
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit of
Se = (12.3 ± 2.2) pixels
De waarde Se kan als bovenlimiet beschouwd worden, omdat de 23 gebruikte sterren op het oog geselecteerd werden en er daarom een bias optreedt richting meer uitgesmeerde sterren (want deze vallen meer op). Wat hier gemeten wordt is de Full Width at Half Maximum (FWHM). Deze verhoudt zich tot de standaarddeviatie via de relatie FWHM σ= √ 2 2 log 2 Om geen last te hebben van de seeing moeten we dus minstens een aperturestraal nemen van 3σ (het 99.7%-betrouwbaarheidsinterval), wat overeenkomt met ongeveer 24 pixels. Werken met apertures van dergelijke grootte is optie vanwege vergelijking 3.3. De convolutiemethode, waarbij we alle frames degraderen naar de slechtst gemeten seeing, kan alleen toegepast worden indien we over preciezere metingen van de seeing beschikken op de tijdstippen van de komeetopnames. Gelukkig hebben we daarvoor toegang tot de seeingmetingen van RoboDIMM. RoboDIMM is een telescoop die in de nabijheid van MEROPE op La Palma opereert. Ze mat gedurende de hele observatieperiode, met een tijdsresolutie van ongeveer twee minuten, de seeing aan de hand van één of enkele sterren. Enkel bij de opname 012061 op 7 januari en bij de opnames in de nacht van 9 januari (van 20.06u tot 22.21u UT) valt er een gat in deze waarnemingen. De (theoretische) redenering die hier gevolgd werd, wordt bevestigd door de praktijk: gebruiken we bij de gereduceerde beelden een aperturestraal die van dezelfde grootte-orde is als de seeing, dan wordt de variatie van de komeet-magnitudes heel duidelijk beïnvloed door de variaties in de seeing (Fig. 3.2). De noodzaak om de seeings te degraderen wordt dus ook overtuigend empirisch gecon rmeerd. De degradatie van de opnames gebeurt per lter ten opzichte van de slechtste seeingwaarde in die lter. Op die manier willen we de variaties in de seeing wegwerken, zodat we zonder problemen apertures kunnen nemen die dezelfde grootte-orde hebben als de seeing. Er zit over het algemeen een grote variatie op de seeing; het verschil tussen de hoogste en laagste σ van de seeing in de U- lter is bijvoorbeeld 4.28 pixels (opnames 013630 en 013027). Omdat CCD's natuurlijk met discrete pixels werken is het zeker geen optie om analytisch te werk te gaan. Wanneer we de twee dimensionale Gauss-functie G(x, y) discretiseren kunnen we echter niet alle waarden van de functie in x → ∞ en y → ∞ meenemen. De vleugels van G(x, y) vallen exponentiëel af naar nul op oneindig, zodat de discretisatie maar moet
3.4. Frequentie-analyse
49
doorgevoerd worden op een interval [x ± 3σ, y ± 3σ], met σ de standaarddeviatie waarmee geconvolueerd moet worden. De kernel Ker(x, y) is op deze manier een genormeerde convolutiematrix met dimensies 40 × 40 pixels. We passen ze toe op een klein gebiedje rond de kern, niet veel groter dan de straal van de apertures die we willen gebruiken. De waarde F 0 (x, y) van de geconvolueerde pixels F (x, y) wordt dan verkregen door de formule 0
F (x, y) =
20 20 X X
F (x + i, y + i) · Ker(i + 20, j + 20)
(3.4)
i=−20 j=−20
Een voorbeeld van het resultaat van deze techniek voor opnames 012862 en 013028 is te zien in Fig. 3.3.
3.4 Frequentie-analyse 3.4.1 Methodes Nadat de Gauss-convoluties zijn doorgevoerd en de magnitudes bepaald zijn bij verschillende apertures, zoals beschreven in hoofdstuk 2, kan nagegaan worden of er kortetermijnperiodiciteit in de lichtcurve van C/2004 Q2 Machholz aanwezig is. Hoewel de oorzaak van helderheidsvariaties bij een komeet natuurlijk drastisch verschilt van die van pulserende sterren, kunnen dezelfde technieken toegepast worden. In essentie staat immers dezelfde soort data ter beschikking: een niet-equidistante tijdsreeks variërende magnitudes in verschillende lters. De analyse wordt bemoeilijkt door het beperkt aantal gegevens per lter, alsook doordat de wisselende activiteit ervoor kan zorgen dat de amplitude variëert, zonder zelf een periodisch gedrag te vertonen. We verwachten dus wel periodiciteit te ontdekken, maar kunnen niet garanderen dat de amplitude van periode tot periode gelijk blijft. We zullen twee methodes toepassen om op zoek te gaan naar frequenties (details en meer uitleg zijn te vinden in Aerts (2006)). Ten eerste is er de phase dispersion minimalisation -procedure (PDM) van JurkevichStellingwerf (Stellingwerf, 1978), dat het voordeel heeft dat het signaal niet harmonisch hoeft te variëren. Het fasediagram wordt bij deze methode onderverdeeld in Nb bins met breedte 1/Nb . Deze verdeling wordt vervolgens Nc maal verschoven (covered ) met een waarde 1/Nc Nb . Ruw samengevat komt het er dan op neer om die frequentie te zoeken, die ervoor zorgt dat het verschil tussen het gemiddelde van de dataset en de gemiddeldes van de bins zo groot mogelijk is. Dit wordt gekwantifceerd door de Θ-statistiek,
50
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit die zo opgesteld is dat de waardes voor Θ gelegen zijn in het interval [0, 1]. Een test-frequentie die niet in de data aanwezig is resulteert in een Θ ≈ 1, dus het is de bedoeling deze statistiek te minimaliseren. Het voordeel van deze analysemethode is dat ze relatief ongevoelig is voor periode-tot-periode variaties, die misschien kunnen optreden door wisselende periodes van activiteit op het oppervlak van de komeet. Een tweede logische techniek om frequenties te zoeken, is het aanwenden van het Scargle-periodogram, dat gebaseerd is op discrete Fourier-analyse. De bedoeling is om in het Lomb-Scargle periodogram, dat gede nieerd is als P P 2 2 { N { N i=1 x(ti ) cos[2πf (ti − τ )]} i=1 x(ti ) sin[2πf (ti − τ )]} PN (f ) = + P P 2 2 2 N 2 N i=1 cos [2πf (ti − τ )] i=1 sin [2πf (ti − τ )] een maximum te vinden. Hierin wordt τ zo gekozen dat N X
cos[2πf (ti − τ )] sin[2πf (ti − τ )] = 0
i=1
De hoogst mogelijke zinvolle frequentie die uit de data kan gehaald worden noemt men de Nyquist frequentie. In het geval dat er grote gaten in de dataset aanwezig zijn, wordt ze benaderd door de inverse te nemen van de mediaan van alle tijdsverschillen tussen twee opeenvolgende metingen. Eens een frequentie gevonden is, kunnen we een functie van de vorm
xi = A sin[2π(f ti + ψ)] + C
(3.5)
door de data tten, bijvoorbeeld via een kleinste-kwadraten-methode. Vervolgens kan op zoek gegaan worden naar een tweede frequentie. Om dit te doen moet men de reeds gevonden frequentie uit de dataset verwijderen, in een proces dat prewhitening genoemd wordt. Hierbij wordt de ge tte sinus-functie (3.5) afgetrokken van de originele datapunten, om daarna verder te werken met de residus. Op deze manier zou men eindeloos frequenties kunnen vinden, maar we roepen dit proces een halt toe vanaf het moment dat de piek die correspondeert met de gevonden frequenties in het periodogram, niet signi cant meer boven het ruisniveau zit (i.e. vier maal de standaarddeviatie σR van de ruis, wat overeenkomt met het 99.9% betrouwbaarheidsinterval in een normale verdeling). We merken hier op dat het gebruikte statistisch signi cantieniveau slechts een afspraak is: in ons geval zijn de onderliggende verdelingen niet gekend en beschikken we niet over een grote dataset.
3.4. Frequentie-analyse
51
De fout σf op de frequentie wordt dan (formeel) geschat door
√ 6σR σf = √ π N AT
(3.6)
met A de amplitude, T de totale tijdspanne van de data en N het totaal aantal meetpunten (Aerts, 2006). De overgang van continue naar discrete Fourier-transformatie introduceert nieuwe frequenties (aliasfrequenties ), die kunnen interfereren met de echte frequenties (Aerts, 2006). Zo bijvoorbeeld kunnen we eendagsaliassen van een frequentie ν identi ceren als ν ± 1, ν ± 2. . . Het verwijderen van de frequentie ν impliceert ook een verwijdering van de aliassen van ν . Deze frequenties zijn het sterkst bij equidistant verloop van de tijdstippen van observatie en hebben bijgevolg niets te maken met variaties in de helderheid van de komeet. Aliasfrequenties komen ook voor bij de JurkevichStellingwerfmethode, maar de Fourier-techniek heeft het voordeel dat ze geïdenti ceerd kunnen worden aan de hand van de maxima in het spectraal venster. Naast aliasfrequenties bestaan ook nog parasietfrequenties. Dit zijn frequenties die, in tegenstelling tot aliasfrequenties, wel echt in de data aanwezig zijn, maar niet gelinkt zijn aan de frequenties die men zoekt. Een voorbeeld hiervan kan een cyclus van zichtbaarheid zijn (jaarlijks of dagelijks).
3.4.2 Analyse van de data A priori is er weinig bekend omtrent de aperture die we moeten nemen om het best de afgeleide magnitudes de analyseren. Een heel kleine aperture met straal 1 pixel heeft het voordeel dat volgens formule (3.3), de invloed van de coma minimaal is, maar het succes van dergelijke analyse hangt in belangrijke mate af van de nauwkeurigheid waarmee de positie van de kern bepaald werd, bovenop de kwaliteit van de doorgevoerde seeingdegradatietechniek. Hoe groter de aperture genomen wordt, hoe kleiner de amplitudes. We beslissen om een maximale aperture te nemen met een straal van 6 pixels, wat ruim voldoende is om te garanderen dat de kern van de komeet in de aperture omvat is, terwijl de coma contaminatie beperkt blijft. Daarnaast testen we ook op apertures met straal 1 en 3 pixels. De basisstatistieken van de data zijn terug te vinden in Tabel 3.1. De aangepaste parameters voor de twee gebruikte analysemethodes zijn vlug te bepalen: wat de bins en covers betreft voor de Jurkevich-Stellingwerf methode, nemen we ze respectievelijk gelijk aan 5 en 1 (we maken dus geen
52
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit
Tabel 3.1 Basisstatistieken van de tijdsreeksen in de verschillende lter en bij verschillende apertures. Ap
1 1 3 3 6 6
pix pix pix pix pix pix
Aantal datapunten Totale tijd (dag) Minimum tijdsinterval (dag) Maximum tijdsinterval (dag) Gemiddelde (mag) Range (mag) Gemiddelde (mag) Range (mag) Gemiddelde (mag) Range (mag)
UG- lter
BG- lter
IC- lter
48 7.01895 0.01123 1.01584 17.69787 0.68219 15.32953 0.65780 13.87973 0.58434
50 7.01898 0.01125 1.00222 15.99318 0.48036 13.62942 0.45632 12.19339 0.39961
50 7.01898 0.01126 1.00221 15.23359 0.67975 12.87641 0.62948 11.46002 0.49850
gebruik van de covertechniek). Een even aantal bins wordt bij deze techniek afgeraden. Meer bins nemen verhoogt het gevaar dat er, gezien het lage aantal meetpunten, lege bins ontstaan, terwijl een te laag aantal bins de analyse bemoeilijkt. Vervolgens moeten ook de grenzen van het frequentie-interval waarin gezocht wordt, vastgelegd worden. Een eerste ruwe benadering is het interval tussen 0 cd−1 en de Nyquist-frequentie te nemen. Deze is voor deze data ongeveer gelijk aan 44 cd−1 , wat veel te hoog is om realistisch te zijn. De reeds gekende rotatieperiodes van kometen zijn te vinden in Tabel 3.2. Uit deze Tabel volgt dat we de grenzen van het frequentie-interval gelijk aan 0 en 10 cd−1 kunnen nemen, maar om er absoluut zeker van te zijn dat geen enkele frequentie over het hoofd zou kunnen gezien worden, nemen we het interval tussen 0 en 20 cd−1 . We benadrukken dat een frequentie van 20 cd−1 een zekere bovenlimiet is, door een schatting te maken van de break-up frequentie van een sferisch symmetrisch lichaam. De break-up frequentie fb is de frequentie waarbij de bijhorende (equatoriale) snelheid vb ervoor zorgt dat de centrifugaalversnelling acf gelijk is aan de gravitationele versnelling g:
g = acf GM vb2 = R r R2 GM = vb R
3.4. Frequentie-analyse
53 r
GM = 2πRfb R met M de massa van de komeet, R de straal van de komeet en G de gravitationele constante. Herschrijven we M als 4/3πR3 ρ met ρ de dichtheid van de komeet, dan wordt de break-up frequentie (of kritieke frequentie) r 1 Gρπ fb = π 3 Met een typische dichtheid ρ = 1 g cm−3 wordt fb ≈ 7.27 cd−1 , wat zich vertaalt in een rotatieperiode van ongeveer 3.3 uur. Jewitt & Meech (1988) ging het eect na op een triaxiale ellipsoïde, waarvan één symmetria-as samenvalt met de rotatie-as, wat resulteert in een lagere break-up frequentie. De gekozen bovenlimiet van 20 cd−1 garandeert dus dat alle relevante frequenties gevonden kunnen worden.
Tabel 3.2 Gekende rotatieperiodes van kort- en langperiodische kometen (Samarasinha et al., 2004). Komeet
Periode (dag)
Frequentie ( cd−1 )
1P/Halley 10P/Tempel 2 19P/Borrelly 28P/Neujmin 1 48P/Johnson 49P/Arend-Rigaux 95P/Chiron 107P/Wilson-Harrington 109P/Swift-Tuttle 133P/Elst-Pizarro 143P/Kowal-Mrkos
2.84† 0.372 1.08 0.53 1.208 0.561 0.2466 0.25 2.77† 0.1446 0.72
0.35 2.69 0.93 1.89 0.83 1.78 4.06 4.00 0.36 6.91 1.39
C/1983 H1 I-A-A C/1995 O1 Hale-Bopp C/1996 B2 Hyakutake
2.14† 0.4712 0.2618†
0.47 2.12 3.82
†: siderische periode (i.e. ten opzichte van de vaste sterren)
Eerst en vooral bekijken we het spectraal venster, om na te gaan welke frequenties door de metingen zelf geïntroduceerd worden. Omdat de
54
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit metingen van verschillende lters elkaar onmiddellijk opvolgen (waardoor de relatieve tijdsverschillen voor elke lter ongeveer dezelfde zijn), worden geen grote verschillen verwacht tussen de spectrale venster van de lters. Verschillen in apertures spelen nog minder een rol. Uit Fig. 3.5 volgt dat de ééndagsaliasfrequenties heel sterk aanwezig zijn, wat niet verwonderlijk is gezien het feit dat de metingen altijd op ongeveer hetzelfde uur van de dag beginnen en eindigen. In mindere mate is er ook nog een tweede aliasfrequentie aanwezig, namelijk deze op d±0.2 cd−1 , met d de ééndagsaliasfrequenties.
Eerste frequentie De Jurkevich-Stellingwerfmethode levert als eerste frequentie ν1 ≈ 1 ± 0.2 cd−1 , behalve in de U- lter (alle apertures) en de I- lter (enkel bij een aperture van 6 pixels) (Tabel 3.3). De frequentie die daar verschijnt is ν1 = 0.133 cd−1 , maar de statistische signi cantie van de amplitude over standaardfout bevindt zich hier onder de vooropgestelde ondergrens. Het Scargleperiodogram levert eenduidiger resultaten op: daar zien we ondubbelzinnig een frequentie van ongeveer ν10 = 0.2 cd−1 verschijnen (Tabel 3.4 en Fig. 3.6). Dit leidt naar de conclusie dat de frequenties uit de Jurkevich-Stellingwerfmethode aliasfrequenties zijn van ν10 , waaruit volgt dat de eerste frequentie die we uit de data halen gelijk is aan
ξ1 ≈ 0.2 cd−1
of
P1 ≈ 5 d
Deze frequentie komt dus duidelijk uit de data, maar is enigszins onverwacht. Er zijn enkele te bedenken redenen om ξ1 niet aan de rotatieperiode te linken: om te beginnen is het een vrij lange periode als ze vergeleken wordt met reeds gekende rotatieperiodes van andere kometen (Tabel 3.2). Ook sluit de data niet uit dat ξ1 helemaal geen periode is, maar daarentegen een eenmalig gebeuren. De data overspant immers maar acht dagen, zodat de frequentie maar één enkele periode overdekt. Het gevolg hiervan is dat ook de fase niet goed bedekt is, wat duidelijk weergegeven wordt in Fig. 3.9. Hierbij aansluitend zou de gevonden frequentie het gevolg kunnen zijn van twee lokale minima in de data, die precies 5 dagen uit elkaar liggen (Fig. 3.4). Op een andere manier bekeken kan ξ1 voortkomen uit een enkele toename in de helderheid van de komeet, door activiteit van de kern. Een alternatieve mogelijkheid die, hoewel heel onwaarschijnlijk toch niet kan uitgesloten worden, is dat ξ1 gelinkt zou kunnen zijn aan een precessiebeweging van de kern. Hoewel de oorzaak van de vijfdaagse periode dus niet kan vastgelegd worden, zijn genoeg argumenten aangehaald om ze niet als de rotatieperiode
3.4. Frequentie-analyse van de nucleus te beschouwen. We verwijderen daarom de frequentie ξ1 uit de data om op zoek te gaan naar een tweede frequentie.
Tweede frequentie Als tweede frequentie geven beide analysetechnieken ondubbelzinnig dezelfde frequentie in de I- lter, namelijk ν2 = 2.64 cd−1 (Tabel 3.4 en Fig. 3.6). Met Jurkevich-Stellingwerf vinden we niets signi cants meer in de andere lters, terwijl Scargle in de U- lter nog een frequentie ν20 = 6.03 cd−1 vindt. Aan deze frequentie kunnen we niet onmiddellijk een fysische verklaring koppelen. Het is niet zo verwonderlijk dat in de BG- lter moeilijk een frequentie te vinden is (er is een piek op ν2 ≈ 2.55 cd−1 in het Scargleperiodogram (Fig. 3.7)), omdat we in deze lter heel wat verschillende soorten gassen tegelijk waarnemen (dit wordt in hoofdstuk 4 verder besproken). Ook de UG- lter heeft hier last, maar in tegenstelling tot de Scargle- en PDM-plots van de BG- lter, blijkt in de UG- lter de gevonden frequentie uit de continuüm IC- lter toch aanwezig, zij het niet met grote signi cantie (Fig. 3.8). Wanneer in het prewhitening -proces van ξ1 rekening gehouden wordt met meer dan 1 harmoniek van de frequentie, komt geen goede tweede frequentie uit de data; ze liggen allemaal boven de kritieke frequentie. Faseplots van ge tte functies met 2 of 3 harmonieken geven geen reden om deze te verkiezen boven een enkelharmonische t. Een alternatieve manier om de eerste frequentie ξ1 te verwijderen, zonder aannames te maken omtrent de vorm of periodiciteit van de frequentie, is om van elke observatienacht het gemiddelde af te trekken. A posteriori kunnen we zeggen dat deze methode in ons geval niet goed kan werken, omdat in één nacht niet genoeg periodes worden bedekt. Een frequentieanalyse van de uitgemiddelde data levert inderdaad veel te hoge frequenties op, opnieuw boven de kritische frequentie. Tot slot proberen we alle lters samen te tten met twee frequenties; de frequentie ξ1 = 0.2 cd−1 als eerste en de gedetecteerde frequentie ν2 = 2.64210 cd−1 (Tabel 3.5)). Na het verwijderen van de tweede frequentie blijkt het ruisniveau van de periodogrammen te hoog om nog een zinvolle frequentie uit de residus te halen. De foutenanalyse, zoals samengevat in vergelijking 3.6, doet ons dan concluderen dat de rotatiefrequentie van de komeet C/2004 Q2 Machholz gelijk is aan (we nemen als uiteindelijke frequentie het gemiddelde van de frequenties in de IC- lter)
ξ2 = 2.645 ± 0.002 cd−1
55
56
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit waarbij we in de foutenanalyse stilzwijgend aangenomen hebben dat we beschikken over een tijdsreeks met veel datapunten en zonder onderbrekingen. Omdat deze benadering in ons geval niet goed is, is de berekende fout slechts een schatting.
Vergelijking met de literatuur De gevonden frequentie ξ2 = 2.645 ± 0.002 cd−1 is in volledige overeenstemming met de periode van 0.38 ± 0.08 dagen gevonden door Sastri et al. (2005), die een analyse uitgevoerd heeft op smallbandbeelden genomen gedurende dezelfde periode als onze data (i.e. eerste helft januari 2005). Deze staat in scherp contrast met de periode gevonden door Farnham et al. (2007), die ook aan de hand van herhalende comastructuren een rotatieperiode vond van 17.60 ± 0.05 uur (of 0.73 dagen), weliswaar gedurende de daaropvolgende periode (februari tot april 2005). Bovendien toonden ze aan dat de halve periode (8.8 uur, ten opzichte van onze periode van 9.1 uur) niet consistent was met hun data. Omdat bleek dat de rotatieperiode van C/2004 Q2 Machholz stabiel was gedurende 3 maanden, concludeerden ze dat het onwaarschijnlijk is dat de komeet op dergelijke korte tijdschaal (midden januari tot begin februari) van rotatiesnelheid veranderd is. Toch vinden wij de periode van Farnham et al. (2007) niet onmiddellijk in de frequentie-analyse terug. Daartegenover staat dat het onwaarschijnlijk dat de rotatieperiode verdubbeld in twee weken tijd. Een mogelijke oorzaak van de geobserveerde afwijking op de frequentie-analyse kan zijn dat we met de gebruikte kleine aperture simpelweg de halve periode meten: dat kan onderbouwd worden door de aanwezigheid van twee tegenovergesteld geörienteerde jets in rekening te brengen, zoals geobserveerd door Farnham et al. (2007): als de ene jet helderst is (i.e. het meest naar ons gericht staat), dan staat de andere het verst. Een halve rotatieperiode later staat de jet die eerst het verst stond nu het dichtst. Nog een halve periode later bevinden we ons weer in de beginsituatie. Hieruit volgt dat in de lichtcurve reeds 2 periodes voorbij zijn, als de kern één maal is geroteerd. Dat betekent dat de kans bestaat dat onze frequentie-analyse de halve periode gemeten heeft.
3.4. Frequentie-analyse
57
Tabel 3.3 Frequentie-analyse van geconvolueerde magnitudes met behulp
van de Jurkevich-Stellingwerf methode. De bovenste helft geeft de resultaten voor de eerste frequentie, de onderste helft voor de tweede frequentie, na prewhitening van de eerste. Statistische signi cante frequenties zijn vet weergegeven. (a.r.=aperture straal, Θ=Θ-statistiek, v.r.=variantie reductie, a=amplitude, s.e.=standaardfout). Filter
a.r. (pix)
Frequentie ( cd−1 )
Θ
v.r. (%)
a
s.e.
a/s.e.
0.22084 0.22208 0.22337 0.43296 0.43490 0.44101 0.43503 0.43857 0.43204
70.14 70.14 70.62 30.96 30.78 30.19 47.23 46.65 29.80
0.15124 0.14553 0.12910 0.10487 0.10121 0.09015 0.12253 0.11426 0.07368
0.01820 0.01760 0.01560 0.02640 0.02570 0.02350 0.02420 0.02280 0.02000
8.31 8.27 8.28
0.61560 0.61315 0.60846 0.60015 0.60070
0.87 0.93 1.15 28.44 28.50
0.00947 0.00941 0.00918 0.07366 0.06953
0.01610 0.01590 0.01470 0.01810 0.01720
0.59 0.59 0.62
BG BG BG UG UG UG IC IC IC
1 3 6 1 3 6 1 3 6
1.2245 1.2245 1.2245
BG BG BG IC IC
1 3 6 1 3
0.2992 0.2992 0.2992
0.1333 0.1333 0.1333
0.8103 0.8103 0.1339
2.6478 2.6478
3.97 3.94 3.84
5.06 5.01 3.68
4.07 4.04
58
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit
Tabel 3.4 Frequentie-analyse van geconvolueerde magnitudes met behulp
van het Lomb-Scargle periodogram. De bovenste helft geeft de resultaten voor de eerste frequentie, de onderste helft voor de tweede frequentie, na prewhitening van de eerste. Statistische signi cante frequenties zijn vet weergegeven (a'=Lomb-Scargle-amplitude). Filter
a.r. (pix)
Frequentie ( cd−1 )
a0
v.r. (%)
a
s.e.
a/s.e.
BG BG BG UG UG UG IC IC IC
1 3 6 1 3 6 1 3 6
0.2144 0.2150 0.2168 0.1978 0.1980 0.1988 0.2000 0.2011 0.2057
0.15141 0.14569 0.12929 0.12115 0.11724 0.10548 0.11778 0.11034 0.08964
74.04 73.89 73.89 45.52 45.49 45.44 49.61 49.48 47.83
0.15975 0.15368 0.13618 0.12835 0.12427 0.11199 0.12283 0.11514 0.09358
0.01340 0.01310 0.01230 0.02580 0.02490 0.02210 0.0192 0.0177 0.0143
11.92 11.73 11.07 4.97 4.99 5.07 6.40 6.51 6.54
BG BG BG UG UG UG IC IC IC
1 3 6 1 3 6 1 3 6
1.5566 1.5570 1.5586
0.05199 0.05087 0.04678 0.07338 0.07052 0.06190 0.06383 0.05982 0.04937
33.24 34.08 36.53 31.30 30.80 29.11 28.75 28.59 27.45
0.05424 0.05260 0.04711 0.07121 0.06839 0.05984 0.07244 0.06783 0.05825
0.01560 0.01490 0.01280 0.01540 0.01500 0.01400 0.01630 0.01530 0.01620
3.48 3.53 3.68
6.0331 6.0324 6.0295 2.6421 2.6423 3.6466
4.62 4.56 4.27 4.44 4.43 3.60
Tabel 3.5 Fit van de geconvolueerde data met de twee frequenties ν
1
0.2000 cd
−1
en ν2 = 2.64210 cd
−1
samen, bij een aperturestraal van 1 pixel.
Freq ( cd−1 )
a(BG)
a(UG)
a(IC)
0.2000 2.6421
0.16295 0.04299
0.12648 0.03014
0.12377 0.07258
=
3.4. Frequentie-analyse
59
Figuur 3.1 Lichtcurves van april 2004 tot januari 2006. Groen betekent geocentrisch, rood betekent heliocentrisch.
Lichtcurves C/2004 Q2 Machholz 2
4
Magnitude
6
8
10
12
Perihelion
14
Perigeon
24 januari 2005
5 januari 2005
16 0
100
200
300 400 500 Juliaanse Datum
600
700 800 +2.453e6
Figuur 3.2 Invloed van de seeing op de gemeten helderheidsvariaties
met een aperture van dezelfde grootte-orde als de seeing. De vorm die de seeingmetingen aannemen is duidelijk terug te vinden in de vorm die de magnitudes aannemen. RoboDIMM Seeiing FWHM Horl
Gecorrigeerde magnitudes: UG - Aperture Radius 6 14.6
14.4 2.0
Magnitude
Seeiing
14.2
1.5
1.0
14.0
13.8
13.6
13.4 0.5 0
1
2
3
4 JD
5
6
7 8 +2.453379e6
(a) Gereduceerd optocenter (012862).
13.2 0
1
2
3
4 JD
5
6
7 8 +2.453379e6
(b) Gereduceerd optocenter (013028).
60
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit
Figuur 3.3 Gauss-convoluties rond het optocenter van komeet C/2004
Q2 Machholz. De linkerkolom bevat een frame met een goede seeing, die dus aan de hand van een brede convolutie moet gedegradeerd worden. De rechterkolom bevat een opname met een heel slechte seeing, dus deze moet bijna niet verder gedegradeerd worden. 4
x 10
14000
2
12000
1.5
10000 F
F
1
8000 0.5 6000 0 30
4000 40 20 10 0
y
20
15
10
5
0
25
20 0
y
x
(a) Gereduceerd optocenter (012862).
0
10
5
25
20
15
x
(b) Gereduceerd optocenter (013028).
−3
x 10 6
0.1
5
0.08
4 z
z
0.06 3
0.04
2
0.02
1 0 40
0 40 20 10
0
40
30
20
20 0
y
y
x
(c) Kernel (012862).
40
30
20
10
x
(d) Kernel (013028). 14000
11000 10000
12000 9000 10000 F
F
8000 7000
8000
6000 5000
6000 4000 3000 30
4000 40 20 10 y
0
0
5
10
15
20
x
(e) Geconvolueerde kern (012862).
25
20 0 y
0
5
10
15
20
x
(f) Geconvolueerde kern (013028).
25
3.4. Frequentie-analyse
61
Figuur 3.4 Extractie van de nucleus. 17.3
13.5
17.4
13.6
17.5
13.7
17.6 Magnitude
Magnitude
13.8 17.7 17.8
13.9
14.0 17.9 14.1
18.0
14.2
18.1 18.2 0
1
2
3
4 JD
5
6
14.3 0
7 8 +2.453379e6
(a) Geconvolueerde UG- lter met aperturestraal 1 pixel.
1
2
3
4 JD
5
6
7 8 +2.453379e6
(b) Geconvolueerde UG- lter met aperturestraal 6 pixels.
15.6
11.9
15.7
12.0
15.8
Magnitude
Magnitude
12.1 15.9
16.0
12.2
12.3 16.1 12.4
16.2
16.3 0
1
2
3
4 JD
5
6
12.5 0
7 8 +2.453379e6
(c) Geconvolueerde BG- lter met aperturestraal 1 pixel.
1
2
3
4 JD
5
6
7 8 +2.453379e6
(d) Geconvolueerde BG- lter met aperturestraal 6 pixels.
14.7
11.1
14.8
11.2
14.9 11.3
Magnitude
Magnitude
15.0 15.1 15.2
11.4
11.5
15.3 11.6 15.4 11.7
15.5 15.6 0
1
2
3
4 JD
5
6
7 8 +2.453379e6
(e) Geconvolueerde IC- lter met aperturestraal 1 pixel.
11.8 0
1
2
3
4 JD
5
6
7 8 +2.453379e6
(f) Geconvolueerde IC- lter met aperturestraal 6 pixels.
62
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit
Figuur 3.5 Spectraal venster (IC- lter, een aperturestraal 1 pix). 1.0
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0
1
2
3 4 Frequentie (c/d)
5
6
7
Figuur 3.6 PDM-plots en Scargle-periodogrammen in de IC- lter, 1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
Theta
Theta
met een aperturestraal van 1 pixel (de rode lijn duidt de frequentie ν = 2.64 cd−1 aan).
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0
2
4 6 Frequentie (c/d)
8
0.4
10
(a) PDM originele data.
0.12
0.12
0.10
0.10
0.08
0.08
0.06
0.04
0.02
0.02
2
4 6 Frequentie (c/d)
8
2
4 6 Frequentie (c/d)
10
(c) Scargle-periodogram originele data.
8
prewhitening
10
van ν1 =
0.06
0.04
0.00 0
0
(b) PDM-plot na 0.8103 cd−1 .
Amplitude
Amplitude
0.7
0.00 0
2
4 6 Frequentie (c/d)
(d) Scargle-periodogram na van ν1 = 0.2000 cd−1 .
8
10
prewhitening
3.4. Frequentie-analyse
63
Figuur 3.7 PDM-plots en Scargle-periodogrammen in de BG- lter, 1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7 Theta
Theta
met een aperturestraal van 1 pixel (de rode lijn duidt de frequentie ν = 2.64 cd−1 aan).
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0
2
4 6 Frequentie (c/d)
8
10
(a) PDM originele data.
0
0.14
0.12
0.12
0.10
0.10
0.08
0.06
0.06
0.04
0.02
0.02
4 6 Frequentie (c/d)
8
10
(c) Scargle-periodogram originele data.
8
prewhitening
10
van ν1 =
0.08
0.04
2
4 6 Frequentie (c/d)
(b) PDM-plot na
0.14
0.00 0
2
1.2245 cd−1 .
Amplitude
Amplitude
0.6
0.5
0.00 0
2
4 6 Frequentie (c/d)
(d) Scargle-periodogram na van ν1 = 0.2144 cd−1 .
8
10
prewhitening
64
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit
Figuur 3.8 PDM-plots en Scargle-periodogrammen in de UG- lter, 1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7 Theta
Theta
met een aperturestraal van 1 pixel (de rode lijn duidt de frequentie ν = 2.64 cd−1 aan).
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2 0
2
4 6 Frequentie (c/d)
8
0.2 0
10
(a) PDM originele data.
0.12
0.10
0.10
0.08
0.08
0.06
0.04
0.02
0.02
4 6 Frequentie (c/d)
8
10
(c) Scargle-periodogram originele data.
8
prewhitening
10
van ν1 =
0.06
0.04
2
4 6 Frequentie (c/d)
(b) PDM-plot na
0.12
0.00 0
2
0.1333 cd−1 .
Amplitude
Amplitude
0.6
0.5
0.00 0
2
4 6 Frequentie (c/d)
(d) Scargle-periodogram na van ν1 = 0.1978 cd−1 .
8
10
prewhitening
3.4. Frequentie-analyse
65
Figuur 3.9 Faseplot geconvolueerde IC- lter met frequentie:
ξ1 =
0.2 cd . Aperturestraal = 1 pixel. −1
Figuur 3.10 Faseplot geconvolueerde IC- lter met frequentie: ν
= 2.6421 cd , na prewhitening met frequentie ν1 = 0.2000 cd . Aperturestraal = 1 pixel. 2
−1
−1
66
Hoofdstuk 3. Bepaling van de kortetermijnvariabiliteit
Figuur 3.11 Faseplot geconvolueerde BG- lter met frequentie: ν
= 2.65580 cd , na prewhitening met frequentie ν1 = 0.2000 cd . Aperturestraal = 1 pixel. 2
−1
−1
Figuur 3.12 Faseplot geconvolueerde UG- lter met frequentie: ν
= 2.65580 cd , na prewhitening met frequentie ν1 = 0.1333 cd . Aperturestraal = 1 pixel. 2
−1
−1
3.4. Frequentie-analyse f
67
Hoofdstuk
4
Identi catie en verklaring van structuren in de coma In dit hoofdstuk gaan we na hoe de helderheid van de coma afvalt naarmate de afstand tot de kern toeneemt. We stellen eerst een theoretisch basismodel op en vergelijken dit met de waarnemingen. Vervolgens gebruiken we enkele beeldverwerkingstechnieken om bijkomende structuren in de coma beter te kunnen bestuderen. Hierdoor zullen we onder andere de invloed zien van een discontinuïteit in de zonnewind op de coma.
4.1 Comapro elen 4.1.1 Theoretisch pro el
Hoe
verwachten we dat de helderheid B van de coma van een komeet varieert als functie van de geprojecteerde afstand x van de nucleus? De helderheid hangt af van verschillende dingen, zoals bijvoorbeeld de vorm van de coma, de deeltjesdichtheid in de coma, de afstand tot de zon en de interactie met de stralingsdruk van de zon en de zonnewind. Omdat niet al deze eecten zich op dezelfde manier en op dezelfde afstanden manifesteren, is het in een eerste benadering niet nodig ze allemaal in rekening te brengen. We kunnen het pro el van de coma gemakkelijk a eiden als we enkele sterke, maar zinvolle vereenvoudigingen doorvoeren:
•
Sfeersymmetrie:
deze eis is in het algemeen niet voldaan, zeker niet op grote afstanden van de kern (∼ 106 km), waar de zonnewind een grote invloed heeft op de vorm van de coma. Het beeldveld van de opnames genomen door MEROPE (∼ 105 km in doorsnede) reikt echter 69
70
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma zo ver niet . Omdat we de binnenste coma bekijken zou vervorming door de zonnewind weinig eect mogen hebben.
•
Stationaire materie-uitstroom
waarbij de aard van de materie niet gewijzigd wordt als functie van de afstand van de kern, zoals wel degelijk verwacht wordt bij het gas: vanaf een bepaalde afstand van de kern (grootteorde 105 km) treden processen op als fotodissociatie en ionizatie door FUV zonlicht, zodat vooral het gas veranderlijke eigenschappen vertoont. Ook treedt er in het algemeen geen constante materie-uitstroom op, door het activeren en desactiveren van zones op de nucleus, die resulteren in de zogenaamde jets (Sect. 4.2). We verwaarlozen dergelijke processen in eerste instantie, zodat nu in iedere (in nitesimale) ring rond de kern zich een zelfde hoeveelheid massa bevindt: dM = C In functie van de dichtheid wordt dit:
dM = ρdV = ρ4πr2 dr = C en dus volgt de dichtheid de volgende verdeling
ρ∝ •
•
1 r2
Optisch dunne coma,
we kijken er dus dwars doorheen zodat de dichtheid van de coma een maat wordt voor de intensiteit (als er twee keer zoveel deeltjes zijn, wordt er twee keer zoveel licht gere ecteerd). We willen dus het aantal re ecterende deeltjes bepalen volgens de line-of-sight, die we parallel aan de y -as (zoals in de con guratie van Fig. 4.1) nemen omdat de waargenomen coma maar een beperkte uitgebreidheid aan de hemel heeft. Deze eis wordt empirisch gestaafd door het feit dat in sommige opnames (bijvoorbeeld 012398), zelfs dicht bij de kern sterren te zien zijn. Het licht van deze sterren wordt dus niet afgeblokt door deeltjes in de coma.
Eindige coma:
vanaf een bepaalde afstand R van de kern zijn er geen re ecterende deeltjes meer.
Bovendien nemen we alle gezichtslijnen parallel met de waarnemernucleus as. Om het pro el op te stellen moeten we de deeltjesdichtheidsfunctie integreren over de line-of-sight : Z y2 Z y2 1 B(x) = ρdy = dy (4.1) 2 y1 y1 r
4.1. Comapro elen
71
Werken we cartesiaans, dan wordt dit
Z B(x) =
√ + R2 −x2 √
− R2 −x2
"
arctan 1 dy = x2 + y 2 x
y x
#+√R2 −x2 √ − R2 −x2
zodat het uiteindelijke pro el de volgende vorm aanneemt: √ 2 2 R − x2 B(x) = arctan x x
(4.2)
In Fig. 4.2 is het analytische pro el ge t met een functie van de vorm
y = AxB met B dus hier −1.03, wat bijna het 1/r pro el oplevert. We besluiten na het nemen van de limiet R → ∞, of na het uitvoeren van een analytische reeksontwikkeling tot in eerste orde rond 0 (dus in het gebied van de binnenste coma), dat we in overeenkomst met Jewitt & Meech (1987) uitkomen dat het comapro el gegeven wordt door
B(x) ∝
1 x
(4.3)
In het algemeen wordt de logaritmische afgeleide m = d log B(x)/d log x gebruikt om het pro el van de coma te duiden. In het bovenstaande vereenvoudigde geval is dus m = −1. In een volgende stap kan nagegaan worden wat de invloed is van een vervorming van de sfeersymmetie, naar bijvoorbeeld ellipsvormige contouren met kleine as b en grote as a. Met behulp van deze notatie wordt vergelijking (4.1) omgevormd tot
Z B(x) =
q 2 +b R2 − x2
1
a
q 2 −b R2 − x2 a
x2 a2
2 dy = ab arctan y2 x + b2
√
R2 a2 − x2 x
Neem a = 1, dan volgt hieruit dat enkel de totale helderheid van het pro el beïnvloed wordt, terwijl de vorm in eerste benadering dezelfde 1/xafhankelijkheid vertoont. Nemen we a willekeurig, maar b = 1/a zodat enkel vervorming optreedt, zonder verandering van de oppervlakte binnen elke isofoot, dan verkrijgen we zelfs precies hetzelfde pro el als in vergelijking 4.2. Als nu nog extra rekening gehouden wordt met de fasehoek φ, dan wordt het moeilijk het pro el analytisch door te rekenen, waardoor we overstappen op numerieke methodes. De helderheidsverdeling (i.e. de
72
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma deeltjesdichtheid) heeft nu een discrete vorm (Fig. 4.3(a)). De halve grote as a en de halve kleine as b worden nog altijd zo gekozen dat ab = 1. De integratie over de gezichtslijn wordt nu uitgevoerd door over alle waarden in de x- of y -richting te sommeren. De eccentriciteitsafhankelijkheid kan op een eenvoudige manier bepaald worden door bijvoorbeeld de waarde van b te variëren. Om de fase-afhankelijkheid te incorporeren maken we gebruik van de gekende rotatiematrix 0 x cos θ − sin θ x = 0 y sin θ cos θ y waarbij de accenten de nieuwe coördinaten aanduiden (Fig. 4.3(b)). De resultaten zijn ongeveer zoals we verwachten: de excentriciteit zal geen grote rol spelen zolang de afwijkingen van cirkelvormigheid niet te groot zijn (Fig. 4.3(c)) en ook de invloed van de fasehoek blijft vrij beperkt (Fig. 4.3(d)). Het belang van deze resultaten reikt echter niet verder dan de verkennende fase: de vervorming van de coma gebeurt in werkelijkheid immers niet volgens ellipsoïden, maar wel volgens paraboloïden. Eddington (1910) modelleerde de coma als een paraboloïde van de vorm
x2 + y 2 = 2z
v2 v4 + 4 a a
waarin v de beginsnelheid en a de versnelling van de deeltjes in de coma ten gevolge van de stralingsdruk van de zon voorstelt. In een artikel van Wallace et al. (1958) werd algebraïsch nagegaan dat, ongeacht de con guratie zon-komeet-waarnemer, de helderheid B gepaard aan de kolomdichtheid N volgens de gezichtslijn, nog steeds voldoet aan de wet (4.3). Meerbepaald wordt de kolomdichtheid gegeven door (Combi et al., 2004)
N=
Q 4vx
met Q de productiesnelheid van de stofdeeltjes. Dit alles geldt voor het binnenste deel van de coma (x < 104 km). De straling van de zon zorgt ervoor dat vanaf deze lengteschaal het model waarbij m = −1, niet meer geldig is. Meer precies verwachten we een afwijking vanaf een afstand (Jewitt & Meech, 1987) 2 vgr R2 XR ≈ 2βgzon (1)
(4.4)
in de geprojecteerde richting van de zon. Hierbij is vgr de terminale uitstroomsnelheid van het stof en is β de verhouding van de versnelling van
4.1. Comapro elen
73
een stofkorrel door stralingsdruk en de (lokale) graviteit van de zon. gzon (1) is de graviteit van de zon op een afstand van 1 AU. Het pro el dat Jewitt & Meech (1987) a eidden uit numerische (Monte Carlo) modellen (en waarvoor ze ook een analytische argumentatie geven) heeft een logaritmische helling m = −1.5, die wat kan variëren naargelang de fasehoek en de sterkte van de stralingsdruk.
4.1.2 Toepassing op C/2004 Q2 Machholz We stellen de radiale oppervlaktepro elen van de komeet C/2004 Q2 Machholz op, door rond de nucleus de azimutale mediaan te nemen van halve cirkels met stijgende straal, in de richting van de zon en de staart. Vervolgens wordt een rechte ge t door het pro el van de binnenste coma (2 < log x < 4) en ook door het pro el van de buitenste coma (4 < log x). Aan de hand van vergelijking (4.4), waarbij XR het punt is waar de twee ge tte modelpro elen elkaar snijden, kan vervolgens de terminale uitstroomsnelheid van het stof bepaald worden. Als deze procedure op alle opnames in de IC- lter toegepast wordt, blijkt dat de oppervlaktepro elen voor de binnenste coma (min ) en buitenste coma (mout ) gemiddeld gelijk zijn aan (Fig. 4.4)
min = −1.01 ± 0.03,
mout = −1.48 ± 0.10
wat dus perfect binnen de verwachtingen valt. Het snijpunt van de pro elen ligt op een afstand XR = 21.4±2.1×104 km van de kern, zodat de stofkorrels een terminale ejectiesnelheid bereiken van
vgr = 506 ± 29 ms−1 Dit is in goede overeenstemming met de empirische wet van BobrovnikoDelsemme (Delsemme, 1982), die een terminale stofsnelheid oplevert van
580 vgr = √ ms−1 ≈ 524 ms−1 rh We concluderen dat het ontwikkelde model met de sterke voorwaarden, de waarnemingen in de IC- lter goed kan verklaren. Een andere situatie doet zijn intrede bij de andere lters. De comapro elen voor de BG- lter kunnen samengevat worden door de hellingsgraden (Fig. 4.4) min = −0.84 ± 0.03, mout = −1.24 ± 0.34 en deze voor de UG- lter door
min = −0.80 ± 0.03,
mout = −1.04 ± 0.06
74
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma Er is hier duidelijk een signi cante afwijking van het opgestelde model. De voorwaarde van sfeersymmetrie gaat vermoedelijk nog altijd op, omdat een realistische vervorming van het pro el te weinig invloed heeft, zoals in de vorige sectie (Sect. 4.1.1) nagegaan werd. Bovendien werkt een vervorming van de coma enkel een lagere m-waarde (i.e. meer negatief) in hand (Fig. 4.2.6), terwijl we net een verhoging willen verklaren. De (computationele) eis voor een eindige coma kan ook weinig invloed hebben, want vanaf een bepaalde afstand van de kern moet het aantal deeltjes sowieso verwaarloosbaar klein zijn. Ook de eis voor een optisch dunne coma blijft overeind: ook in de UG- en BG- lter zijn sterren zichtbaar door de coma. Er rest niets anders dan te sleutelen aan de eis voor een steady-state coma, waarbij behoud van materie verondersteld werd. Om de afwijkingen goed te kunnen interpreteren moet eerst nagegaan worden wat precies in welke lters wordt gemeten. De standaardmanier om kometen te observeren is aan de hand van de IAU/IHW narrowband lters (International Halley Watch ) die in de jaren `80 opgesteld werden om de gegevens van de komeet Halley, die met verschillende telescopen werden verkregen, te kunnen vergelijken. De lters werden hercalibreerd en uitgebreid tot de HB narrowband lters toen de komeet Hale-Bopp voorbij kwam. In deze lters wordt vooral de emissie van gas in de vorm van CN (3871/50Å), C3 (4060/70Å), C2 (5140/90Å) en vele andere soorten gemeten (Fig. 4.7). Onder de algemeen gebruikte continuum lters bevinden zich de UC- lter (3650/80 AA), de BC- lter (4845/65Å) en de RC- lter (6840/90Å) (Velichko et al. 2005). Een vergelijking tussen deze lters en de Genève lters is te vinden in Tabel 4.1 en Fig. 4.6. Wij beschikken echter over de breedband lters UG (3422/161Å), BG (4201/281Å) en IC (7492/231Å), zoals eerder besproken in hoofdstuk 2. Hierdoor wordt niet enkel stof of enkel gasemissie gemeten, maar beiden tegelijk. Toch kunnen we in beperkte mate de contaminatie van de breedband lters door gasemissie nagaan: de rode, laag-energetische IC- lter heeft slechts een verwaarloosbare hoeveelheid invloed van het gas in de coma (Schulz et al., 2005), zodat in deze lter vooral stof te zien is en het opgestelde model uit Sect. 4.1.1 van toepassing is. In de B- lter zijn sterke emissiebanden van CN, CO en C3 aanwezig zijn, zodat hier het onderscheid stof-gas moeilijk te maken is. De situatie is gelijkaardig, maar iets duidelijker voor de U- lter, waarbinnen de gassen NH en in mindere mate OH dominant aanwezig zijn (Fig. 4.6). De reden voor de geobserveerde afwijkingen van het theoretische m = −1 en m = −1.5 pro el is dus waarschijnlijk de aanwezigheid van gasemissie in de U- en B- lter. Het kometaire gas kan dissociëert of ionizeert onder invloed van UV licht van de zon, zodat niet meer aan de eis voor behoud
4.1. Comapro elen
75
Tabel 4.1 Vergelijking tussen de lters van het Genève en Hale-Bopp systeem (Farnham et al., 2000). Zie ook Fig. 4.6 Soort
ID
OH (0-0) NH (0-0) UV (continuum) CN (∆ν = 0) C3 (Swings system) CO+ (2-0) Blauw (continuum) C2 (∆ν = 0) H2 0+ (0,6,0) Rood (continuum)
OH NH UC CN C3 CO+ BC C2 H2O+ RC
Geneva U Geneva B Cousins I
UG BG IC
Centrale gol engte
overgang
lter
(Å)
(Å/Å)
3097 3361 3869 4063 4266 5135 7028 -
3090/62 3362/58 3448/84 3870/62 4062/62 4266/64 4450/67 5141/118 7020/170 7128/58
-
3422/161 4201/281 7492/231
van materie (i.e. materie van een bepaalde soort) voldaan is. Er moet hierbij rekening gehouden worden dat de ontstane moleculefragmenten op hun beurt weer kunnen dissociëren om zo andere derde-generatiefragmenten en hoger te produceren. Zo bijvoorbeeld kan CN gecreëerd en vernietigd worden door de opeenvolgende fotodissociatieve reacties vanuit de eerstegeneratie molecule HCN (Korsun & Jockers, 2002): HCN + hν −→ H + CN, 1.26 × 10−5 s−1 (97%) −→ HCN+ + e, 4.51 × 10−7 s−1 (3%) CN + hν −→ C + N, 3.17 × 10−6 s−1
(4.5)
Hierbij zijn de reactiesnelheden van toepassing in een periode van lage zonneactiviteit (Huebner et al., 1992)). De percentages duidt het aandeel aan dat elke reactie heeft in het fragmentatieproces. Het valt op CN relatief langzaam uiteenvalt ten opzichte van HCN. Een tweede voorbeeld is de CO+ -molecule, die kan gevormd worden door de fotodissociatieve ionisatie van CO2 door de reactie CO2 + hν −→ O + CO+ + e,
5.02 × 10−8 s−1
76
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma of door de foto-ionisatie van CO: CO + hν −→ CO+ + e, ,
3.80 × 10−7 s−1
De CO2 kan echter op heel veel verschillende manieren uiteenvallen: CO2 + hν −→ −→ −→ −→ −→
CO + O, CO+ 2 + e, CO + O+ + e, O + CO+ + e, O2 + C+ + e,
1.22 × 10−6 s−1 (60%) 6.55 × 10−7 s−1 (33%) 6.38 × 10−8 s−1 (3%) 5.02 × 10−8 s−1 (2%) 2.89 × 10−8 s−1 (2%)
HCN vervalt dus ruwweg een factor 10 sneller dan CO2 . Om het radiaal pro el in deze gol engtes op te stellen moet dus rekening gehouden worden met productie en destructie van de verschillende moleculen en de snelheid waarmee dit gebeurt. Dat is precies wat Haser (1957) deed. Veronderstelt men dat de coma een botsingsvrije sfeersymmetrische omgeving is, dat er een stationaire uitstroom vanuit de kern is van eerste-generatie moleculen en dat hun levensduur exponentiëel vervalt, dan wordt de dichtheid n1 (r) gegeven door (Combi et al., 2004)
n1 (r) =
Q −r/γ1 e 4πr2 v
met r de afstand tot de kern, Q de productiefactor, v de uitstroomsnelheid en γi = vτi de lengteschaal van deeltjes van generatie i (waarin τi de exponentiële levensduur voorstelt). Willen we de dichtheid van een tweedegeneratie molecule beschrijven, zoals in de reactieketen (4.5), dan wordt de dichtheid n2 (r) gegeven door
n2 (r) =
Q γ2 −r/γ1 −r/γ2 e − e 4πr2 v γ1 − γ2
(4.6)
Als deze vergelijking vervolgens geïntegreerd wordt over de gezichtslijn verkrijgt men het zogenaamde Haser-pro el (Fig. 4.5). Deze modellen zijn echter niet volledig van toepassing op onze B- en U-breedband lters, ze worden er enkel door beïnvloed. De B- en U- lter laten niet toe één soort molecule te volgen, in plaats daarvan zien we een mengsel van verschillende soorten moleculen en een groot aandeel stof. Toch kunnen we op deze manier op een kwalitatieve manier de afwijking op de theoretische pro elen uit Sect. 4.1.1 begrijpen. Uit Fig. 4.7(b) volgt bovendien dat de U- lter procentueel meer gasemissie bevat dan de B- lter, zodat de afwijking in deze lter het grootst is.
4.2. Morfologische structuren in de coma
4.2 Morfologische structuren in de coma In wat volgt gaan we na in welke mate de eis van stationaire materieuitstroom uit de kern opgaat. Immers, afwijkingen hierop vertalen zich in tijdsafhankelijke variaties in de comastructuren. Omdat het bulkpro el deze structuren helemaal overschaduwt, is het nodig veel aandacht te besteden aan technieken die de gesuperponeerde verschijnselen in de coma duidelijk op de voorgrond brengen. Het is enigszins verwonderlijk dat het theoretische pro el in de IC- lter zo goed werkt, omdat we net een sterke afwijking van het steady state model verwachten: de belangrijkste redenen hiervoor zijn de aanwezigheden van
• jets : gerichte en gelocaliseerde uitbarstingen van gassen uit de kern. Ze ontstaan doordat ondergrondse reservoirs te zeer onder druk komen te staan door verhitting. Indien ze te zien zijn, verwachten we ze eerder in de UG- en BG- lter, waar de gasemissie relatief duidelijker te zien is. • fans : te vergelijken met jets, maar een stuk breder uitgesmeerd en diuus. Het stof speelt hierbij een belangrijke rol, zodat we ze ook zouden kunnen zien in de IC- lter. • spiraalstructuren : indien de kern een voldoende groot impulsmoment heeft kunnen de jets zich in een Archimedes-spiraal rond de kern wikkelen. • shells : door tijdsafhankelijke globale uitstroom van een bepaalde molecule kunnen concentrische schillen rond de kern gevormd worden, waarin plaatselijk de dichtheid van dat type molecule verhoogd wordt. We verwachten dit vooral in de BG- lter, omdat daar de meeste soorten moleculen een grote invloed hebben. • ionenstaart : plaatselijke ophoping van ionen, die door de zonnewind in de tegenovergestelde richting van de zon geduwd worden. Indien de staart aanwezig is verwachten we deze vooral in de UG- en BG- lter. • ionenstralen : gelijkaardig aan de ionenstaart, met dat verschil dat ionenstralen in het algemeen veel dunner zijn, in paren voorkomen en ook verder van de komeet-zon as kunnen voorkomen. Omdat het opgestelde 1/r-pro el zo overweldigend aanwezig is en bijkomende structuren grotendeels verblindt voor het blote oog, is het nodig de opnames met beeldverwerkingstechnieken te verbeteren. De meeste technieken veranderen de geregistreerde ux aanzienlijk, dus eens de technieken
77
78
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma toegepast worden is het onmogelijk om hierop verdere procedures toe te passen die behoud van ux vooropstellen. De procedures werden geprogrammeerd met als leidraad artikelen van Larson & Slaughter (1992) en Schleicher & Farnham (2004). De belangrijkste stukken uit de geprogrammeerde proceduren zijn weergegeven en becommentarieerd in bijlage B.
4.2.1 Beeldverwerkingstechnieken Schaalverandering
De meest voor de hand liggende techniek is de intensiteitsschaal van de opnames te veranderen. Dit kan op verschillende manieren. De meest natuurlijke is om het tiendelig logaritme toe te passen op de ux van elke pixel, wat resulteert in een beeld zoals gezien met het menselijke oog: I(x,y) = log I0(x,y) waarbij I staat voor het bewerkte frame en I0 voor het originele frame. Een logische volgende stap is om de pixelwaardes op andere manieren te herschalen, zoals bijvoorbeeld kwadratisch of volgens de vierkantwortel. Omdat de pixelwaardes enkel een ux voorstellen binnen een bepaalde lter, hebben we geen informatie over de kleur van de opnames zoals die met het blote oog zouden waargenomen worden. Zodoende kunnen ook hier wat aanpassingen gedaan worden. Standaard laten we de pixelwaardes overeenkomen met een grijstint, waarbij zwart geen ux voorstelt, terwijl wit maximale ux is. Deze schaal kan ook aangepast worden zodat de centrale condensatie (het optocenter) van de komeet wit wordt voorgesteld (en bijkomend alle pixelwaardes groter ook), zodat de coma zelf een maximale helderheidsvariatie vertoont. De schaal op minimum/maximum zetten geeft immers geen duidelijk resultaat als er bad pixels of cosmic hits, die een veel grotere pixelwaarde kunnen hebben dat het optocenter, in de opnames aanwezig zijn. Tot slot kunnen we het contrast nog vergroten, door in plaats van de zwart/wit-kleurencombinatie ook andere kleurschalen te gebruiken (regenboogkleuren, koele kleuren, warme kleuren. . . ). Deze technieken hoefden niet geprogrammeerd te worden, ze zijn allemaal standaard aanwezig in een programma als SAOImage DS9.
Verwijdering pro el
Een volgende logische beeldverwerkingstechniek houdt er rekening mee dat we niet geïnteresseerd zijn in het theoretische 1/r bulkpro el, maar net in heel kleine afwijkingen erop. Daarom wordt het bulkpro el afgetrokken via (routine B.6)
I(r, θ) = I0 (r, θ) − ar−b
(4.7)
4.2. Morfologische structuren in de coma
79
met a, b > 0, of weggedeeld via
I(r, θ) =
I0 (r, θ) ar−b
(4.8)
De mogelijke variaties hierop laten nu toe om ten eerste het theoretische pro el te gebruiken, waarbij b = 1 en a door de data ge t wordt met behulp van formule (4.10). Hierdoor komen de lichtzwakkere structuren aan de oppervlakte, alsook de globale afwijking van de theorie. Een tweede variatie op de techniek verwijdert ook deze laatste informatie, zodat alleen de structuren optimaal zichtbaar worden. De tting van beide parameters gebeurt dan aan de hand van de formules (Waner & Costenoble, 1998): P P P n (ln xi )(ln yi ) − ln xi ln yi P P b= (4.9) n (ln xi )2 − ( ln xi )2 en
P P ( ln yi ) − b( ln xi ) a = exp n
(4.10)
waarbij xi de pixelpositie aanduidt horizontaal ten opzichte van de nucleus. De waarden yi stellen dan de mediaan voor van een 40-pixel lange rij verticaal ten opzichte van xi . De waarde 40 is een ruw compromis om voor twee factoren te corrigeren die het opgestelde pro el nadeling kunnen beïnvloeden. Enerzijds moet de invloed van eventuele sterren wat gecompenseerd worden, maar anderzijds mag de uitvlakking van de pixelwaarden niet al te sterk veranderd worden door variaties op het pro el aan de zon- en staartzijde. Tenslotte moet men opletten dat de index i in formules (4.10) en (4.9) over eenzelfde reikwijdte loopt, zowel links als rechts van de kern. Zo kunnen geen variaties in de waardes ontstaan doordat de snelheid waarmee het pro el afvalt, kan veranderen in functie van de afstand tot de kern (Sect. 4.1). De eerste variant (4.7), waarbij een pro el afgetrokken wordt, zal de nadruk leggen op structuren in het binnenste deel van de coma, omdat het absoluut verschil tussen de t en de data groter zal zijn nabij de kern dan ver ervan. De tweede variant (4.8), waarbij een pro el wordt weggedeeld, zal daarentegen eerder structuren in het buitenste deel van de coma benadrukken, omdat, niettegenstaande de kleine absolute waardeverschillen, het relatief verschil tussen theorie en praktijk in dit gebied groot kan zijn. De kwaliteit van het resultaat hangt sterk af van de precisie waarmee het optocenter bepaald werd. Een fout van enkele pixels geeft al vlug aanleiding tot het verschijnen van ongewenste artefacten. Ook met een goede bepaling van het centrum worden ongewenste structuren gecreëerd, ten gevolge van
80
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma een slechte benadering van het pro el rond de nucleus. Het 1/r-pro el wordt immers niet vanaf de komeetkern gevolgd; naast het feit dat op de positie van de kern zelf de ux fysisch gezien niet naar oneindig kan gaan, heeft de Gaussvormige seeingvervorming een grote invloed op het pro el rond de nucleus.
Azimutale renormalisatie
Deze techniek is gelijkaardig aan de vorige, maar in plaats van een theoretisch pro el van de vorm ax−b te gebruiken, wordt nu een volledig empirisch pro el opgesteld. Dat empirisch pro el bestaat uit het nemen van het gemiddelde van concentrische ringen rond de kern en dan af te trekken van de gemeten waardes (routine B.7): X I(r) I(r, θ) = I0 (r, θ) − n In onze procedure werd het gemiddelde vervangen door de mediaan, om zo de invloed van sterren en bad pixels te beperken. Het volledige algoritme onderneemt de volgende stappen:
• De opname wordt eerst geconverteerd naar poolcoördinaten. Om het proces te optimaliseren wat snelheid betreft, wordt een frame opgesteld van afmetingen 360 × Rmax , waarbij Rmax de straal is van de grootste cirkel die volledig in het originele frame past. Het getal 360 geeft aan dat we de volledige cirkel onderverdelen in 360 graden. De waarde van de pixel met coördinaat (r, θ) ∈ ([0, Rmax ] × [0, 360]) wordt dan bepaald door het toepassen van de transormatieformules naar cartesiaanse coördinaten: x = [r cos θ + x0 ] y = [r sin θ + y0 ] met (x0 , y0 ) de coördinaat van de nucleus en de vierkante haakjes ter duiding van het nemen van het dichtsbijzijnde geheel getal. De pixelwaardes rond de kern worden hierdoor uitgerokken, maar dat is een moeilijk te verwijderen artefact van de techniek. Een interpolatie zou een mogelijke verbetering zijn, maar biedt geen meerwaarde voor de gebruikte doeleinden.
• Vervolgens wordt het pro el opgesteld door de mediaan te nemen van de rij (i, R) met i ∈ [0, 359] en dit voor elke R. Het verkregen pro el wordt dan afgetrokken van de originele opname. Nog meer dan bij de vorige techniek, wordt hier het bulkpro el geneutraliseerd, met als grote voordeel dat de centrale condensatie zo goed als helemaal verdwijnt. Alle azimutale structuren worden verwijderd, maar radiale structuren, zoals jets en ionenstralen, worden duidelijk zichtbaar.
4.2. Morfologische structuren in de coma Ruimtelijke afgeleiden
Om te zien hoe de coma ruimtelijk variëert, kan een transformatie toegepast worden op het originele frame, om in een volgende stap het resultaat van het origineel af te trekken. Dat kan op twee manieren. Ofwel voeren we een lineaire verschuiving door,
I(x, y) = I0 (x, y) − I0 (x + n, y + m) waarbij we enkel structuren zichtbaar maken, die variëren in de richting waarlangs verschoven wordt. Het is hierbij belangrijk goede waarden voor n en m te kiezen, omdat te kleine waarden een te grote invloed van ruis ondervinden, terwijl te grote waarden de zichtbaarheid van de structuren nauwelijks verbetert. Een tweede mogelijke transformatie is een rotatie:
I(r, θ) = I0 (r, θ) − I0 (r, θ + ∆θ) Een voordeel dat deze transformatie met zich meebrengt, is dat ze verschijnselen die zich verder van het optocenter bevinden, ook verder verschuift, waardoor lange radiale structuren (zoals ionenstaarten) duidelijk zichtbaar worden. De techniek maakt interpretatie soms moeilijk, omdat ze dubbel kunnen verschijnen als de verschuiving groot is ten opzichte van de breedte van de structuren.
Tijdsafgeleiden
Analoog aan ruimtelijke afgeleiden, kunnen ook tijdsafgeleiden opgesteld worden. Deze worden gegeven door
I(x, y) = I0 (x, y)(t1 ) − I0 (x, y)(t2 ) Hierop bestaan natuurlijk allerlei varianten: men kan het tijdsverschil nemen tussen twee opeenvolgende opnames nemen, of telkens het verschil met de eerste of laatste van een dag. Men moet hierbij rekening houden met de schaal waarop veranderingen moeten gebeuren, alsook met de snelheid van de betrokken deeltjes. Een laatste complicatie bij deze techniek is dat als ze op een lange tijdschaal wordt toegepast, men in principe ook moet rekening houden met de verandering van de oriëntatie van de komeet aan de hemel.
Filtertechnieken
Tot slot bestaan nog een hele reeks verwerkingstechnieken die gebaseerd zijn op convoluties, zoals reeds geïntroduceerd met de Gaussconvolutie van vergelijking (3.4). De kernels die nu gebruikt worden zijn van lagere resolutie, wat de snelheid van de procedure ten goede komt.
81
82
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma Toepassingen van enkele van de technieken die hier geïntroduceerd worden zijn te zien in Fig. 4.8 en Fig. 4.9. Ten eerste kan men de Gaussconvolutie doorvoeren en het geconvolueerde frame aftrekken van het origineel (Mueller et al., 1997, routine B.8). Een tweede convolutie gebeurt met behulp van de Laplace-kernel, die dient om scherp afgelijnde randen te verduidelijken. In continue vorm wordt de kernel vertegenwoordigd door de Laplaciaan 2 ∂ ∂2 I(x, y) = ∆I0 (x, y) = + I0 (x, y) ∂x2 ∂y 2 wat zich vertaalt in discrete (3 × 3) kernels van de vorm −1 −1 −1 0 −1 0 8 −1 of L0K = −1 4 −1 LK = −1 −1 −1 −1 0 −1 0 die in de gebruikte procedure genormeerd worden. Ook hier is het uiteindelijk de bedoeling het resultaat af te trekken van het oorspronkelijk frame. De Laplace-kernel kan veralgemeend worden tot de Larson-Slaughter kernel (Larson & Slaughter, 1992, routine B.9): −w1 −w2 −w1 1 −w2 SK = −w2 −w1 −w2 −w1 met w1 + w2 = 1. We kunnen hierbij ook de pixelseparatie ∆x en ∆y aanpassen, om zo grotere convoluties in eenzelfde tijd te kunnen doorvoeren. Waar in een gewone convolutiekernel geen pixels tussen w1 en w2 liggen, kan met aanpassing van de pixelseparatie dit aantal aangepast worden. Een separatie van één pixel vergroot dus in essentie de dimensie van de kernel SK , door de tussenliggende pixels op te vullen met nullen. Maar omdat op voorhand vast ligt waar de nul-elementen en niet-nul-elementen geplaatst worden, kan in eenzelfde tijd een grotere convolutiekernel toegepast worden. De laatste aanpassing die we hier doorvoeren is bedoeld om de afstandsonafhankelijkheid van de azimutale renormalisatie te incorporeren. Hiervoor passen we de pixelseparatie aan naargelang de afstand tot de kern:
∆x = ∆y = a +
r b
met a de pixelseparatie van de kernel en b de radiale schaalfactor. Het komt er dan op neer, om de parameters via een trial-and-error methode te optimaliseren.
4.2. Morfologische structuren in de coma Een groot nadeel van de Laplace- en Larson-Slaughterconvoluties is dat ze extreem gevoelig zijn aan ruis. Ze werken heel goed op sterk afgelijnde, egale oppervlaktes, maar verliezen veel van hun kracht wanneer toegepast op de komeetopnames. Een manier om deze tekortkoming toch wat te compenseren, is de ruis in de opnames te onderdrukken. Een voor de hand liggende oplossing is de opnames te vervagen via een Gaussconvolutie, maar het nadeel van deze techniek is dat ook de grenzen zullen vervagen, waardoor ze moeilijker gedetecteerd kunnen worden. Een ruwe manier om ruis te onderdrukken zonder het beeld te vervagen is om een mediaan lter toe te passen. Bij deze techniek worden alle pixels in het frame overlopen en vervangen door de mediaan uit de 3 × 3 matrix (of groter) rondom de beschouwde pixel. Een laatste ltertechniek werkt niet met convolutiematrices, maar via de representatie in poolcoördinaten van de opname. De techniek werd geïntroduceerd door Larson & Sekanina (1984), waardoor ze de Larson-Sekanina lter genoemd wordt (routine B.10). De formule wordt gegeven door
I(r, θ) = 2I0 (r, θ) − I0 (r + ∆r, θ + ∆θ) − I0 (r + ∆r, θ − ∆θ) Hierdoor worden twee geroteerde en radieel verschoven beelden van het origineel afgetrokken. De bedoeling van deze techniek is om de richtingsafhankelijkheid van de lineaire verschuiving te verwijderen en bovendien de radiale structuren zoals jets en ionenstaarten te behouden. Ook bij deze techniek is het aan te raden op te letten voor arti ciëel geïnduceerde verschijnselen. Het is onbegonnen werk om op alle opnames alle technieken toe te passen. Daarom selecteren we eerst enkele opnames, door alle opnames te delen door het volledige ge tte pro el (aan de hand van formules (4.9) en (4.10)) en de interessantste resultaten eruit te halen. We selecteren kandidaatshells, stofuitstroom, ionenstaart en ionenstralen (Tabel A.2).
4.2.2 Ionenstralen In de UG- lter zijn op de opnames van 12 januari duidelijke structuren te zien: de ionenstaart lijkt opgesplitst te zijn in vele dunne ionenstralen (Fig. 4.13). Om gelinkt te worden aan gasuitbarstingen van de nucleus lijken de stralen te gestructureerd en te symmetrisch gelokaliseerd in de staartgerichte richting. Het is ook onwaarschijnlijk dat de stralen reeds het schokfront van de komeet vormen, hoewel de buitenste stralen wel die vorm aannemen. De schaal waarop het schokfront zich vormt ligt ver buiten het beeldveld. Een ondergrens voor de nucleocentrische afstand van het
83
84
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma schokvormingsgebied wordt gegeven door de ongelijkheid (Wegmann et al., 2004) σav mC Q RS > (γ 2 − 1) 4πwρ v met γ de adiabatische index (bij een mono-atomisch gas is γ = 5/3), σav de gemiddelde ionizatiesnelheid (Schmidt & Wegmann, 1982), ρ en v respectievelijk de dichtheid en snelheid van de zonnewind, Q de gasproductiefactor van de komeet, mC de gemiddelde massa van de ionen en w de uitstroomsnelheid. De zonnewind kan slechts een bepaalde hoeveelheid ionen afkomstig van de komeet verwerken. Wanneer de een kritische hoeveelheid is overschreden, ontstaat een schokfront op een afstand RS van de kern (Bodewits, 2007). Na invulling van typische waarden bij een trage zonnewind (Tabel 4.2), namelijk σav = 10−6 s−1 , mc = 20mp , Q = 1029 s−1 en w = 105 cms−1 , levert dit een minimum afstand op van RS ≈ 70000 km (≈ 1500 pixels), dus net buiten het beeldveld. Bij een snelle zonnewind ligt het schokfront nog een factor twee verder.
Tabel 4.2 Vergelijking tussen de parameters voor de trage en snelle zonnewind (Bodewits, 2007). Parameter
Trage wind
Snelle wind
Snelheid (km s−1 ) Dichtheid (mp cm−3 ) Flux (cm−2 s−1 ) Structuur Bron
300-400 10 3 × 108 sterk variabel streamer -gordel
700-800 3 2 × 108 ongeveer constant Coronale gaten
De waargenomen structuren lijken veel meer op folding rays, ofwel lange, dunne ophopingsgebieden van kometaire ionen. In de literatuur is nog geen consensus bereikt over een exacte verklaring van het fenomeen (Ip, 2004). Toch is algemeen aanvaard dat de zonnewind de belangrijkste oorzaak is: naarmate de komeet zich door het interplanetair magnetisch veld (IMV) beweegt, sleept ze de magnetische veldlijnen met zich mee, zodat de veldlijnen zich rond de nucleus opvouwen en dezelfde con guratie aannemen als de waargenomen ionenstralen (Fig. 4.10). Natuurlijk gebeurt in de realiteit net het omgekeerde: juist omdat de veldlijnen een bepaalde con guratie aannemen, schikken de geladen atomen zich naar de veldlijnen. Schmidt-Voigt (1989) heeft via numerische modellen aangetoond dat discontinuïteiten in de zonnewind dergelijke ionenstralen kan veroorzaken.
4.2. Morfologische structuren in de coma
85
De twee belangrijkste eigenschappen waaraan de ionenstralen moeten voldoen om als folding rays geklassi ceerd te kunnen worden is ten eerste dat ze symmetrisch rond de komeet-zon as moeten gewikkeld zijn (hoewel uitzonderingen bestaan), zoals ook in de observaties te zien is (Fig. 4.14). Ten tweede moeten de ionenstralen opgevouwen worden rond de kern, wat te zien is in Fig. 4.15. Observationeel zijn er dus sterke aanwijzingen om een abrupte variatie in de zonnewind als oorzaak van de ionenstralen aan te wijzen. Als we de zonnewind als overtuigende verklaring willen inroepen, moeten het tijdsverloop van de zonnewind gekend zijn. We beschikken daarvoor over metingen van de NASA-satellieten ACE en SOHO, die gesitueerd zijn in het Lagrangiaans punt1 L1 tussen de zon en de aarde. De wind kan, zoals reeds aangehaald, aanzienlijk verschillen op verschillende plaatsen en tijden. Aangezien C/2004 Q2 Machholz zich op een signi cante afstand van L1 bevindt, zullen we de informatie moeten extrapoleren naar de plaats waar de komeet zich situeert. Deze extrapolatie is zinvol omdat de komeet zich niet te ver van en niet te hoog boven L1 bevindt (Fig. 4.11). Er zijn twee belangrijke types fenomenen die een storing in de het verloop van de zonnewind kunnen teweegbrengen. Ten eerste zijn er de CME's (coronal mass ejections ), krachtige uitbarstingen op het oppervlak van de zon ten gevolge van opgestapelde magnetische energie. CME's verplaatsen zich radiëel door de interplanetaire ruimte. Een tweede storing zijn CIR's (corotating interaction regions ), die ontstaan door botsingen tussen trage en snelle zonnewindstromen. Dergelijke CIR's produceren veel hoogenergetische ionen (Dwyer et al., 1997). De gewone zonnewind en CIR's stromen op radiële wijze de corona van de zon uit, maar ondervinden ook invloed van de rotatie van de zon om haar eigen as, waardoor ze iedere 25 dagen (Ω = 2.9 × 10−6 rad/s) een volledige omwenteling doormaakt. De samenstelling van deze twee bewegingen levert een Archimedesspiraal op. Het tijdsverschil ∆t waarmee eenzelfde deeltje in de zonnewind dan L1 en de plaats van de komeet bereikt wordt dan gegeven door een radiële en corotationele component (Bodewits, 2007):
∆t = ∆trad + ∆trot
(4.11)
De radiële component wordt gegeven door de tijd die de zonnewind met snelheid v nodig heeft, om vanaf L1 de komeet te bereiken:
∆trad = 1 Het
∆r v
Lagrangiaans punt L1 representeert hier de positie tussen de aarde en de zon waar de aantrekkingskracht van de zon en de aarde elkaar precies opheen.
86
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma Hierbij verwaarlozen we de snelheid van de komeet (vk ≈ 20 km s−1 ), omdat die klein is ten opzichte van de snelheid van de wind (v ≈ 400 km s−1 ). Omdat de komeet zich tijdens de waarnemingen op een afstand van 0.35 AU van de aarde bevond, komt dit neer op een maximale fout van 2 uur op ∆trad (indien de komeet zich radiëel van de aarde verwijdert). De corotationele component tenslotte verkrijgt men door de heliolongitudinale sepatie tussen de komeet en L1 (∆lon ) te delen door de rotatiefrequentie van de zon:
∆trot =
∆lon Ω
Wanneer de transformatie (4.11) dan toegepast wordt op de efemeriden van de komeet C/2004 Q2 Machholz (Fig. 4.12) dan zien we dat de zonnewind rond 12 januari abrupt verandert van het traag naar snel regime, ten gevolge van een CIR (Philips, 2006). De situatie hier is heel gelijkaardig aan die tijdens waarnemingen van komeet C/1973 E1 Kohoutek (Niedner et al., 1978). Ook daar werd een zelfde sprong in de snelheid van de zonnewind waargenomen, die duidelijk waarneembare eecten had op de coma van de komeet. De komeet was actiever dan op de dagen ervoor en erna, terwijl ook de ionenstaart zelf veranderingen onderging. De conclusie van deze analyse luidt dus dat, hoewel we geen kwantitatieve berekeningen kunnen doorvoeren, we wel overtuigende aanwijzingen hebben voor het aanvoeren van de zonnewind als oorzaak van de ionenstralen: (1) de stralen zijn symmetrisch rond komeet-zon as, (2) lijken zich op te vouwen en (3) verschijnen op het moment dat zich een plotse verandering in de zonnewind voordoet.
4.2.3 Ionenstaart Het begin van de ionenstaart van C/2004 Q2 Machholz is in UG- lter op praktisch alle opnames goed te zien. Ze is evenwel het duidelijkst op 11 januari 2005 (Fig. 4.16). De UG- lter is de enige lter waarin de staart zo duidelijk te zien is, hoewel we daar vooral het neutrale NH bekijken. We zouden aan de hand van de reeds gemaakte identi catie van gasemmisie in het spectrum van een komeet eerder verwachten dat de ionenstaart in de BG- lter te zien, omdat daar de overgang van de CO+ -ionen te zien is (Fig. 4.6). Maar zelfs met de Larson-Sekanina- lter valt daarin niets te ontdekken. Echter, de reeds aangehaalde moleculen CO+ en H2 O+ zijn niet de enige ionen die in de coma van een komeet voorkomen: er werd ook + + + + + + + al CO+ en Ca+ gedetecteerd 2 , COH , CH , N2 , H3 O , HCO , O , C (Rauer, 1997). Enkele van deze ionen vertonen overgangen die zichtbaar
4.2. Morfologische structuren in de coma moeten zijn in de UG- lter (Tabel 4.3), hoewel we voor komeet C/2004 Q2 Machholz niets kunnen kwanti ceren.
Tabel 4.3 Overgangen van energieniveau's in ionen, die overlappen met het gol engtebereik van de UG- lter. Volledigheidshalve vermelden we ook dat het ion CO+ 2 overgangen vertoont in het gol engtebereik 3240-4070Å, maar deze zijn uiterst zwak (uit Lutz et al. (1993)). Ion
Overgang
Gol engte
CO+ N+ 2 OH+
A-X (4-0) B-X (0-0) (0-0)
3787Å 3914Å 3600Å
4.2.4 Overige structuren Naast de ionenstaart en ionenstralen vallen nog ondere structuren in de coma te ontdekken. Vanwege de moeilijke interpratie van de breedband lters beperken we ons hierbij tot het kort beschrijven van wat de beeldverwerkingstechnieken hebben ontrafeld. Tijdens de nacht van 13 januari 2005 is op de zongerichte kant van komeet C/2004 Q2 Machholz in de IC- lter een verhoging in stofuitstoot te zien (Fig. 4.17). Deze gaat niet gepaard met een gelijkaardige variatie in de andere lters. Op 9 en 15 januari lijken zich, na deling door het theoretische m = −1 pro el, schillen concentrisch rond de kern gevormd te hebben (Fig. 4.18), die doen denken aan de CN-shells zoals waargenomen door Schulz & Schlosser (1990) en Schulz (1991). Een argument dat deze hypothese ondersteunt is dat de schil in de eerste drie (opeenvolgende) opnames van Fig. 4.18, de schil lijkt aangevuld te worden, om in latere opnames weer te verdwijnen. Een argument tegen deze hypothese is dat de schillen niet lijken te expanderen en uit te deinen, zoals wel degelijk verwacht wordt (Schulz, 1991). Bij azimutale renormalisatie lossen de concentrische schillen op en verschijnen er spiraalarmen (Fig. 4.19), die de schillen lijken te voeden. Dit laatste is natuurlijk vrij speculatief. De andere toegepaste technieken, met name de Gauss-substractie, de Laplace- lter, de Larson-Slaughter- lter en de Larson-Sekanina- lter, leveren geen resultaten op (Fig. 4.20). Deze beeldverwerkingstechnieken resulteren allemaal eenzelfde beeld op: buiten de centrale condensatie wordt
87
88
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma alles wegge lterd. Er zijn nergens jets, shells of ionenstralen te zien. Enkel de Larson-Sekanina- lter, brengt de ionenstaart nog duidelijk naar voor; de overige lters verwijderen zelfs deze structuur.
4.2.5 Evaluatie van de technieken Uit de ervaring die hier opgedaan werd met beeldverwerkingstechnieken kunnen de volgende conclusies getrokken worden. Om de data te verkennen en de interessantste beelden te selecteren is het best om een duidelijke en snelle techniek toe te passen op alle opnames, die bovendien eenvoudig te interpreteren is. De azimutale renormalisatie leent hier zich het best toe, mits eerst in alle beelden de kern bepaald te hebben en ze vervolgens in poolcoördinaten om te zetten rond het optocenter. De omzetting naar poolcoördinaten kan vrij e ciënt geprogrammeerd worden, waarna het opstellen van het puur empirisch pro el eenvoudig is. Indien gebruik gemaakt wordt van de mediaan van de concentrische cirkels om te normaliseren, zijn de resulterende beelden in het algemeen vrij van artefacten. Een logische volgende stap is om dan de geselecteerde opnames te delen door het theoretisch ge tte m = −1 pro el. Hierdoor wordt het algemene verloop van de coma duidelijker, maar worden rond de kern kunstmatige structuren gevormd, waarvan de grootte afhankelijk is van de precisie waarmee de kern gelocaliseerd wordt, alsook de precisie van het ge tte pro el. Het aftrekken van het pro el heeft meestal enkel tot gevolg dat de artefacten rond de kern opgeblazen worden, zodat we verkiezen om door het pro el te delen. De azimutale renormalisatietechniek kan hier goed aangewend worden om artefacten te helpen identi ceren. Ruimtelijke afgeleiden werken in het algemeen niet goed ver van de kern, omdat het contrast van structuren in de coma en de coma zelf vrij klein is. Dicht bij de kern wordt de interpretatie dan weer moeilijk. Bovendien werken de afgeleiden maar in één richting tegelijk. De rotationele verschuiving werkt iets beter, als tenminste de verschuiving kleiner is dan de breedte van de waargenomen structuren. Indien de verschuiving groter is, komt de structuur immers gewoon twee keer voor, wat verwarrend is. Deze technieken worden daarenboven overbodig gemaakt door de LarsonSekanina lter, die beide afgeleiden combineert. Voor interpretatie van de Larson-Sekanina lter moet rekening gehouden worden met het feit dat deze lter vooral de randen duidelijk maakt en niet de morfologische structuren in hun geheel. De Gauss-substractie en Laplace lter werken bij C/2004 Q2 Machholz opvallend minder goed dan de azimutale renormalisatie, maar dat kan liggen aan het feit dat in de lters heel veel stof te zien is en daarom de
4.2. Morfologische structuren in de coma onderliggende structuren in de coma dicht bij de kern overheerst. De Larson-Slaughter lter werkt een stuk beter als de pixelseparatie wat vergroot wordt (bijvoorbeeld met een pixelseparatie van 13 pixels). Ook de Larson-Sekanina lter werkt met de juiste parameterkeuze beter dan de eerstgenoemde technieken. Toch leveren deze lters nog steeds geen betere resultaten op dan de azimutale renormalisatie. In de literatuur werden met deze technieken wel al mooie resultaten behaald (Larson & Sekanina (1984), Larson & Slaughter (1992)). We merken tenslotte op dat een optelling van verschillende opnames bevorderend kan zijn voor de e ciëntie van de algoritmes, omdat de invloed van de ruis verminderd wordt. Er moet dan echter op gelet worden dat de tijdspanne tussen de frames niet te groot is. Om van één enkel beeld de ruis te verminderen kan men, zoals reeds aangehaald, een ruisverminderings lter toepassen (we prefereren een mediaan lter boven een Gauss lter), maar dit wordt grotendeels irrelevant wanneer men kernels met grote pixelseperaties gebruikt.
4.2.6 Conclusie Wat het comapro el betreft vinden we voor de IC- lter een goede overeenstemming met het theoretische m = −1 pro el. De afwijking die we vinden voor de UG- en BG- lter is hoogstwaarschijnlijk te verklaren door gasemissie. De meest spectaculaire structuren die gesuperponeerd zijn op het bulkpro el blijken de ionenstralen te zijn, die we konden linken aan een plotse verandering in de zonnewind. We zijn er in geslaagd nog andere structur zichtbaar te maken, maar die waren moeilijk te interpreteren. De techniek die voor ons het beste werkte was zonder twijfel de azimuthale renormalisatietechniek, die geen aannames maakt omtrent het onderliggend bulkpro el. De deling door het m = −1 pro el is evenwel geschikter om grotere hoeveelheden opnames te verwerken en dus beter voor een eerste verkenning. De speciale ltertechnieken dragen niet veel bij in de interpretatie van de structuren.
89
90
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.1 Con guratie: y =kijkrichting
91
x=geprojecteerde afstand aan de hemel,
Figuur 4.2
Resultaat: Vergelijking tussen het theoretische pro el (zwart) en het ge tte pro el in een willekeurige opname (x in 104 km, I(x) in ADU).
Analytisch Power Fit -1.03
20
I(x)
15
10
5
0 0.0
0.2
0.4
0.6 x
0.8
1.0
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.3 Numerieke benaderingen van niet-sfeersymmetrische comapro elen. 70 −0.5
70
−1
60
50
−1.5
50
−1.5
40
−2
40
−2
30
−2.5
−0.5
y
y
60
−2.5 30
−1
−3
−3
20
20 −3.5
−3.5 10
10 10
20
30
40 x
50
60
70
10
20
30
40 x
50
60
70
(a) ρ met cirkelvormige contouren (geen (b) contouren (a = √ √ ρ met ellipsvormige eenheden). 2/2, b = 2, φ = π/4) (geen eenheden). −1
−0.95 b=√ 2 b=2 −1
−1.05
−1.05
m
−1.1 m
92
−1.15 −1.1 −1.2 φ=0 φ=π/4
−1.15 1
1.5
−1.25
2
2.5
3 b
3.5
4
4.5
5
−1.3
0
1
2
3
φ
4
5
6
7
(c) Invloed van de eccentriciteit op de (d) Invloed van de fasehoek op de helhellingsgraad m (a = 1/b). lingsgraad m.
4.2. Morfologische structuren in de coma
93
Figuur 4.4 Radiale comapro elen van de binnenste coma (2 < log x < 4) en de buitenste coma (4 < log x), x in km. 3.0 Zongericht Staartgericht Binneste coma Buitenste coma
Genormaliseerde log(B(x))
2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 2.0
2.5
3.0
3.5 log(x) (km)
4.0
4.5
5.0
(a) IC- lter (012224), met min = −1.00 en mout = −1.48.
Genormaliseerde log(B(x))
2.5 Zongericht Staartgericht Binneste coma Buitenste coma
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 2.0
2.5
3.0
3.5 log(x) (km)
4.0
4.5
5.0
(b) BG- lter (012220), met min = −0.84 en mout = −1.31.
Genormaliseerde log(B(x))
1.5 Zongericht Staartgericht Binneste coma Buitenste coma
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0 2.0
2.5
3.0
3.5 log(x) (km)
4.0
4.5
5.0
(c) UG- lter (012219), met min = −0.81 en mout = −1.01.
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.5 Familie van Haserpro elen, voor verschillende lengteschalen van de deeltjes (uit Combi & Fink (1997)).
Figuur 4.6 Vergelijking tussen de HB- lters (gekleurd) en de gebruik-
te Geneva- lters (dikke zwarte lijnen). De rode IC- lter blijkt bij goede benadering vrij van gasemissie. De BG- lter heeft last van CO+,C3 en CN. De UG- lter bevat sporen van NH en OH. 0.88
C2 R
0.8
CO+
H2O+
0.72
UV NH
0.64
Transmissie (%)
94
0.56
CN
B C3
OH
0.48
0.4
0.32
0.24
0.16
0.08
0.0 3000
3500
4000
4500
5000
5500
Golflengte (Angstrom)
6000
6500
7000
7500
8000
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.7 Komeetspectra met de belangrijkste gasemissies.
(a) Vergelijking tussen het spectrum van de coma van een komeet (C/1990 K1 Levy) en de zon (Weaver et al., 1992).
(b) Relatieve intensiteit van gasemmissiebanden in een komeetspectrum, met aanduiding van algemeen gebruikte lters (Osborn et al., 1990).
95
96
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.8 Enkele illustraties van de geïntroduceerde beeldverwer-
kingstechnieken, uitgevoerd met de ontwikkelde procedure. De gesimuleerde opname (a) is een combinatie van zwakke structuren (b) met een comapro el met vorm r−1 voor de binnenste en r−1.5 voor de buitenste coma, plus willekeurige ruis ((a) originele simulatie (b) gesuperponeerde structuren (c) deling door ge t 1/r pro el, waarbij de afwijkingen in de buitenste coma goed zichtbaar worden (d) substractie van 1/r pro el, waarbij de binnenste coma beter zichtbaar wordt (e) horizontale lineaire verschuiving (f) diagonale lineaire verschuiving in de richting van de radiële structuren, waardoor deze verdwijnen).
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.9 Verdere illustraties van de geïntroduceerde beeldverwer-
kingstechnieken ((g) bij een azimuthale renormalisatie verdwijnen concentrische structuren (h) substractie van Gauss-geconvolueerde opname (i) Larson-Slaughter lter met schaalfactor (j) Larson-Sekanina lter (k) rotationele verschuiving (l) Larson-Slaughter lter).
97
98
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.10 Alfvéns model voor de vorming van de ionenstralen: de
magnetische veldlijnen in het interplanetair magnetisch veld vouwen zich rond de komeetkern (uit Ip (2004)).
Figuur 4.11 Con guratie komeet-zon-aarde op het ogenblik van de plotse verhoging van de zonnewind op 12 januari 2005. Januari
1
12 20 D 12
b 1
20
rh
Baan komeet
Geometrie voor 12 januari 2005 D = 0.3577 AU rh = 1.2219 AU o b = 41. 61
Baan aarde
Zon
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.12 Extrapolatie van de zonnewind gegevens van ACE en
SOHO in L1 naar komeet C/2004 Q2 Machholz. Grijze lijn: puur radiële uitstroom. Zwarte lijn: met correctie voor corotationele beweging (door D. Bodewits). Het verschijnen van ionenstralen op 12 januari 2005 valt samen met de plotse verandering van een trage naar een snelle zonnewind op de positie van C/2005 Q2 Machholz.
99
100
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.13 Resultaten van de beeldverwerkingstechnieken bij enkele
opnames in de UG- lter waarop de ionenstralen duidelijk zichtbaar zijn (Boven: azimutale renormalisatie (13015, 13050), midden en onder: deling door m = −1 pro el (13021, 13050, 13030, 13027), met gebruik van 2 twee verschillende kleurschalen).
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.14 Resultaten van de azimutale renormalisatie bij een op-
name waarop de ionenstralen in de UG- lter (aangegeven door de zwarte lijnen) duidelijk zichtbaar symmetrisch rond de zon-komeet-as zijn (opname 13021).
Figuur 4.15 Resultaten van de omzetting naar poolcoördinaten bij
twee opeenvolgende opnames waarin de ionenstralen opgevouwd lijken te worden met een snelheid van een tiental boogminuten per minuut (opnames 13047 en 13050 in de UG- lter).
101
102
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.16 Resultaten van verschillende beeldverwerkingstechnieken
bij opname 12840 in de UG- lter, waarop de ionenstaart duidelijk zichtbaar is (van links naar rechts en boven naar onder: deling door m = −1 pro el, substractie van m = −1 pro el, azimutale renormalisatie, rotatie en substractie onder een hoek van 5 graden, poolcoördinaten).
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.17 Resultaten van verschillende beeldverwerkingstechnieken
bij opname 13233 in de IC- lter, waarop de uitstroom van stof goed te zien is (boven: azimutale renormalisatie met verschillende kleurschalen, midden: deling en substractie met m = −1 pro el, onder: poolcoördinaten).
103
104
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.18 Resultaten van de beeldverwerkingstechniek waarbij het
origineel beeld gedeeld wordt door een ge t m = −1 pro el, bij enkele beelden in de BG- lter, waarop ringvormige structuren zichtbaar lijken (van links naar rechts en boven naar onder: 012396, 012399, 012440, 13622). De drie eerste beelden (boven en linksonder) zijn aansluitend in tijd en lijken een evolutie van de structuur weer te geven.
4.2. Morfologische structuren in de coma
Figuur 4.19 Resultaten van de beeldverwerkingstechniek die het origineel beeld azimutaal renormaliseert, van dezelfde beelden als Fig. 4.18 in de BG- lter waarop ringvormige structuren zichtbaar lijken. De centrale structuur zichtbaar op vooral de beelden rechtsboven en linksonder lijken de structuren op de vorige guur als het ware te voeden, hoewel dit natuurlijk uiterst speculatief is.
105
106
Hoofdstuk 4. Identi catie en verklaring van structuren in de coma
Figuur 4.20 Toepassing van enkele andere ltertechnieken op opname
12846 in de UG- lter (Sect. 4.2.1), die bij de opnames C/2004 Q2 Machholz geen bijkomende informatie opleveren (van links naar rechts en boven naar onder): de Gauss-substractie (met kernelgrootte 5 pixels, σ = 1 pixel), Laplace- lter, Larson-Sekanina lter (met parameters ∆r = 1, ∆θ = 1◦ ) en ∆r = 1, ∆θ = 5◦ ), Larson-Slaughter lter (met parameters a = 1, b = ∞, w1 = 0 en a = 1, b = 10, w1 = 0).
Hoofdstuk
5
Conclusie 5.1 Resultaten van C/2004 Q2 Machholz
W
e beschikten over ongeveer 170 CCD-opnames van C/2004 Q2 Mach-
holz, gespreid over drie Genève lters (UG, BG en IC). De waarnemingen werden gemaakt met de MERCATOR-telescoop tussen 7 en 15 januari 2005. Om de data te kunnen reduceren was het nodig om verschillende master ats op te stellen, omdat het donut -patroon, veroorzaakt door stofdeeltjes voor de CCD, sterk verschilde van dag tot dag. Als gevolg hiervan waren op sommige master ats nog sterren te bespeuren, die we algoritmisch verwijderd hebben. De reductie van de komeetopnames gebeurde met behulp van beschikbare routines, terwijl de reductie van de standaardsterren doorgevoerd werd met eigen routines, na het corrigeren voor de aanwezigheid van een arti ciële gradiënt ten gevolge van het speci eke uitleesproces voor standaardsterren. Door de overweldigende helderheid van de coma was een achtergrondsubstractie niet nodig. Een eect waarvoor wel gecorrigeerd werd, was de tijd-afstandsafhankelijkheid van de helderheid van de komeet, veroorzaakt door de veranderende afstand tot de aarde en de zon. Om de extractie van de helderheid van de komeetkern op absolute wijze te laten gebeuren, werden de extinctiecoë ciënten kλ afgeleid uit de extractie van de standaardsterren, die gebeurde met behulp van het programma SourceExtractor. Omdat de procedure om een nog onduidelijke reden niet correct werkte in de IC- lter, werden de extinctiecoë ciënten in deze lter afgeleid uit de UG- en BG- lter. De kern werd bepaald als gewogen gemiddelde van de tien helderste pixels. De extractie van de komeetkern werd vervolgens uitgevoerd met een eigen routine, om de precisie van het extractieproces bij kleine apertures te verbeteren ten opzichte van bestaande programma's. 107
108
Hoofdstuk 5. Conclusie De rotatieperiode kon afgeleid worden uit helderheidsvariaties, maar daarvoor was het nodig om voor de (variabele) seeingcondities te corrigeren. Immers, op de schaal waarop de seeingvariaties verwaarloosbaar zijn, wordt ook de amplitude van de helderheidsvariaties te klein, waardoor ze moeilijker te detecteren is. De periode die uit de frequentie-analyse volgt is, na verwijdering van een eerste globale trend, gelijk aan ν2 = 2.645±0.002 cd−1 of P2 = 9.1u. Farnham et al. (2007) bestudeerde de periodiciteit in CN-jets, waargenomen in de smallband CN- lter en leidde zo een periode af van P = 17.6u. Aangezien het gaat om twee tegenovergestelde jets waarvan er telkens één in helderheid overheerst in de richting van de waarnemer, zou het kunnen dat we met onze methode P/2 hebben gemeten in plaats van P . De vorm van de coma werd bepaald in de drie gol engtegebieden. Hieruit volgde dat de komeet in het nabij-infrarood (IC- lter) aan het vooropgestelde theoretisch pro el voldeed, door in helderheid af te vallen volgens een 1/r-afhankelijkheid. Aan de hand van de verandering van de vorm van het pro el naar gelang de afstand van de kern, kon ook de uitstroomsnelheid (vgr = 506 ± 29 ms−1 ) berekend worden, die ook in zeer goede overeenstemming is met de theorie. De overige twee lters bleken, naast het continuüm, over een signi cante hoeveelheid gasemissie te beschikken, waardoor het stofpro el niet meer gold. Het pure Haserpro el, dat geldt voor gasemissie, is ook niet van toepassing. Op deze manier kon de afwijking van het afgeleide pro el ten opzichte van het stofmodel wel kwalitatief verklaard worden. In een laatste fase bewerkten we de opnames zelf aan de hand van een hele resem beeldverwerkingstechnieken, om aanwezige structuren in de coma te kunnen detecteren. Op deze manier werden op 12 januari 2005 de ionenstralen mooi in beeld gebracht. Door metingen van de snelheid van de zonnewind te extrapoleren naar de plaats van de komeet, konden de stralen op een overtuigende manier gelinkt worden aan een discontinuïteit in de zonnewind. We detecteerde naast de overduidelijke ionenstaart, ook stofuitstoot en shells, maar de interpretatie van deze structuren is evenwel minder evident. Wat de beeldverwerkingstechnieken zelf betreft, genoot de azimutale renormalisatie de voorkeur. Daarnaast was het verwijderen van het theoretische bulkpro el een relatief snelle manier om op alle opnames toe te passen en zo de interessantste beelden verder te bewerken. De speciale ltertechnieken, zoals bijvoorbeeld de Larson-Slaughter- en Larson-Sekanina lter leverden geen meerwaarde op, werkten in de meeste gevallen zelfs slechter dan de azimutale renormalisatie en waren bovendien moeilijker in gebruik, omdat de gepast parameters via trial-and-error bepaald moesten worden.
5.2. Algemene evaluatie
5.2 Algemene evaluatie in functie van toekomstige komeetobservaties met MERCATOR Met het oog op een toekomstig gelijkaardig project is het belangrijk de observaties te evalueren. Uit de waarnemingen die genomen werden is het duidelijk dat de Mercator telescoop zich heel goed leent tot het observeren van kometen. Echter, de verbetering die het meest voor de hand ligt, is het gebruik van andere, nieuwe lters. Alle lters die nu op Mercator geïnstalleerd staan zijn breedband lters, maar om de gasemissie van kometen goed te observeren is er nood aan smalband lters. De meest geschikte (recente) set lters is de HB-set (Farnham et al., 2000), maar ook de ESA is bezig met een set te ontwikkelen. Er zijn nog zeven lterposities vrij in het lterwiel van Mercator, dus een uitbreiding met enkele van de elf bestaande HB- lters is praktisch goed mogelijk. Niet iedere lter is natuurlijk geschikt om alles op ieder moment van de komeetdoorkomst te meten (Brandt, 1968). De CN-banden zijn in functie van de afstand tot de zon het eerst te traceren, als de komeet zich op een afstand van van ongeveer 3 AU bevindt. Rond de 2 AU worden C3 en NH2 zichtbaar. Als de komeet tenslotte nog dichter staat, verschijnen ook C2 , CH, OH en NH. De ionenstaart is het best zichtbaar in de ionenbanden, vooral in CO+ , dat zichtbaar is vanaf ongeveer 2 AU. In deze lter zou ook de interactie met de zonnewind het duidelijkst naar voor komen, alsook informatie over het plasma in de coma. Mits een goede grootte van het beeldveld, kan aan de hand van deze lter misschien het schokfront magnetohydrodynamisch gemodelleerd worden. Als vooral de stofstaart het onderwerp van interesse is, dan moet men rekening houden met het feit dat het licht dat afkomstig is van de stofstaart, gere ecteerd zonnelicht is. Hierdoor is het spectrum van de stofstaart ook een gere ecteerd zonnespectrum. Uit metingen van de absolute magnitude in het (smalband)continuüm is ook de stofproductiefactor Af ρ (Ahearn et al., 1984) te halen. Het zou interessant zijn om met de toekomstige HERMES-spectrograaf op de Mercator telescoop gelijktijdig met de fotometrische gegevens ook spectroscopische waarnemingen te doen (hoewel één of enkele spectra ook reeds veel informatie opleveren). Aan de hand van een spectrale analyse kunnen de gasproducties afgeleid worden en eventuele variaties hierin. Deze kunnen op hun beurt dan gebruikt worden om Haserpro elen op te stellen, maar kunnen misschien ook teruggekoppeld worden aan variaties in de fotometrische morfologische structuren in de coma. We merken hier-
109
110
Hoofdstuk 5. Conclusie bij op dat het spectrum van een komeet in zijn geheel interessant is: in het ultraviolet en X-stralengebied volgt informatie over de interactie met de zonnewind, terwijl in het optisch en infrarood heel veel emissiebanden te vinden zijn, waaruit de snelheid van het gas alsook de structuren in de coma duidelijk zichtbaar kunnen worden. Indien men enkel geïnteresseerd is in de rotatieperiode, dan is het waarschijnlijk het best om de komeet waar te nemen als ze betrekkelijk ver van de zon staat, ruwweg vanaf een afstand van 4 AU en verder, omdat de coma dan afwezig is (Luu & Jewitt, 1992). De komeet is dan echter lichtzwak, zodat dit hoe dan ook een uitdaging is voor de telescoop. Zoals ook uit onze waarnemingen volgt, leent het nabij-infrarood zich het best tot het ontdekken van de rotatieperiode. Het is hiervoor misschien zelfs niet nodig om een smalbandcontinuüm lter (R) te installeren: de breedband lter IC- lter ontvangt sowieso meer signaal, waardoor lichtzwakke objecten duidelijker zichtbaar worden. Dergelijke smalband lters in het continuüm zijn echter wel nodig indien een coma aanwezig is, om contaminatie van gasemissie te vermijden. Indien de rotatieperiode van de zuivere kern (i.e. zonder coma) gekend is, kunnen we via de amplitude ook over informatie over de vorm a eiden (Jewitt & Meech, 1988). Voor een volgend project is het misschien aan te raden om een komeet over een lange afstand te volgen, om zo op elke afstand tot de zon te kunnen evalueren welke lters de meeste en interessantste informatie opleveren. Bovendien kan zo de evolutie van de coma en de activiteit in beeld gebracht worden. We kunnen als algemeen besluit stellen dat, mits kleine aanpassingen aan de CCD-camera (i.e. enkele nieuwe smalband lters), de MERCATORtelescoop met zijn huidge en toekomstige instrumenten, kan gebruikt worden als het ideale werkinstrument voor komeetonderzoek.
B¼lage
A
Gegevens Tabel A.1
Ephemeriden C/2004 Q2 Machholz: RA = rechte klimming, DEC = declinatie, T-mag = magnitude van de kern, V-mag = magnitude van de hele coma, rh = afstand zon-komeet, ∆ = afstand aarde-komeet, fasehoek = hoek gevormd door zon-komeet-aarde, fa = afstandscalibratorfactor (berekeningen door Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System). Datum 2005-Jan-06 2005-Jan-07 2005-Jan-08 2005-Jan-09 2005-Jan-10 2005-Jan-11 2005-Jan-12 2005-Jan-13 2005-Jan-14 2005-Jan-15 2005-Jan-16
RA DEC T-mag V-mag h:min:sec deg:min:sec 03:39:33.37 03:37:14.14 03:34:56.18 03:32:39.68 03:30:24.84 03:28:11.85 03:26:00.88 03:23:52.12 03:21:45.73 03:19:41.88 03:17:40.73
19:26:58.20 21:35:45.20 23:44:08.80 25:51:42.40 27:58:01.00 30:02:41.40 32:05:22.70 34:05:46.30 36:03:36.30 37:58:39.40 39:50:44.90
7.23 7.22 7.21 7.21 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.27 7.29
10.86 10.88 10.91 10.94 10.97 11.01 11.05 11.09 11.14 11.19 11.24
rh
∆
vsun
vobs
AU
AU
km/s
km/s
1.2408 1.2371 1.2337 1.2305 1.2274 1.2245 1.2219 1.2194 1.2171 1.2150 1.2131
0.3471 0.3475 0.3485 0.3500 0.3520 0.3546 0.3577 0.3613 0.3654 0.3699 0.3749
37.81 37.87 37.92 37.97 38.01 38.06 38.10 38.14 38.18 38.21 38.24
23.27 23.26 23.25 23.24 23.22 23.21 23.19 23.17 23.15 23.12 23.10
111
Fase
fa
◦
36.43 37.26 38.12 38.99 39.87 40.74 41.61 42.47 43.30 44.11 44.89
1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.03 1.05 1.07 1.09 -
07-01-2005 21:33:42
07-01-2005 21:41:22 07-01-2005 21:41:58 07-01-2005 22:59:56 07-01-2005 23:00:32 07-01-2005 23:45:47 07-01-2005 23:48:18 07-01-2005 23:49:33
12029
12031 12032 12047 12048 12058 12059 12060
2 Exp=integratietijd
STD STD STD STD STD STD STD
COM
FFL FFL FFL STD STD STD STD COM COM
Type3
1.04 1.04 1.13 1.13 1.26 1.27 1.28
1.01
1.33 1.31 1.29 1.07 1.07 1.03 1.03 1.01 1.01
Fz 4
-
-
-
Se 5
vervolg op volgende pagina . . .
5.00 7.16 5.00 15.18 5.00 5.00 15.40
10.70
20.07 20.48 119.87 5.00 5.00 5.00 5.00 20.49 19.72
Exp2 (s)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd. Te korte integratietijd. Verwijderd. Te korte integratietijd, komeet waarschijnlijk niet gevolgd. Verwijderd. Te korte integratietijd, komeet waarschijnlijk niet gevolgd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd5 . Verwijderd.
Opmerking
4 FFL= at eld,
z
=luchtmassa STD=standaardster, COM=komeet 4 S =seeing (kwadratisch gemiddelde van de vier simultane seeingmetingen van RoboDIMM) e 5 Saturatie indien pixelwaarde > 62000 ADU (arbitraire grens)
3F
BG UG BG UG IC BG UG
IC
UG BG IC BG UG BG IC UG BG
Filter
observaties op MERCATOR worden aangeduid met een éénduidig sequentieel nummer
07-01-2005 18:47:54 07-01-2005 18:55:34 07-01-2005 19:01:09 07-01-2005 21:06:37 07-01-2005 21:07:13 07-01-2005 21:09:20 07-01-2005 21:09:56 07-01-2005 21:23:56 07-01-2005 21:28:11
12003 12004 12006 12022 12023 12025 12026 12027 12028
1 Nr.=camera
Tijd (datum&UT)
Nr.1
Tabel A.2 Overzicht van de waarnemingen.
112 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
07-01-2005 23:59:45 08-01-2005 00:02:09 08-01-2005 00:05:37 08-01-2005 00:14:54 08-01-2005 00:15:29 08-01-2005 00:17:29 08-01-2005 00:18:06 08-01-2005 00:20:07 08-01-2005 00:20:42 08-01-2005 07:34:14 08-01-2005 07:39:28 08-01-2005 07:45:44 08-01-2005 07:48:24 08-01-2005 18:48:38 08-01-2005 18:56:13 08-01-2005 21:03:31 08-01-2005 21:04:48 08-01-2005 21:06:12 08-01-2005 21:09:02 08-01-2005 21:09:45 08-01-2005 21:13:11 08-01-2005 21:24:34 08-01-2005 21:27:00 08-01-2005 21:29:26 08-01-2005 21:40:51 08-01-2005 21:43:15 08-01-2005 21:45:40
Nr.
12061 12062 12063 12065 12066 12068 12069 12071 12072 12167 12168 12171 12172 12174 12175 12201 12203 12205 12208 12209 12210 12211 12212 12213 12214 12215 12216
. . . vervolg van vorige pagina
BG IC UG BG UG BG UG BG UG IC IC UG UG UG BG IC BG UG BG UG UG BG IC UG BG IC UG
Filter COM COM COM STD STD STD STD STD STD FFL FFL FFL FFL FFL FFL STD STD STD STD STD COM COM COM COM COM COM COM
Type 1.19 1.19 1.21 1.01 1.01 1.34 1.35 1.01 1.01 1.15 1.18 1.19 1.20 1.32 1.30 1.14 1.14 1.14 1.17 1.17 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01
Fz
n/a 0.8 1.06 0.74 0.90 0.97 0.83 0.83
Se
vervolg op volgende pagina . . .
60.59 119.89 128.11 5.00 11.20 5.00 16.48 5.00 11.48 192.95 50.62 38.86 20.93 20.25 20.25 5.00 5.00 40.05 10.71 44.60 599.64 60.82 59.85 599.76 60.33 59.58 600.04
Exp (s) (Fig. 2.9) Te lange integratietijd, gesatureerd. Verwijderd. Te korte integratietijd. Verwijderd.
Opmerking
Gegevens 113
Tijd (datum & UT)
08-01-2005 21:57:05 08-01-2005 21:59:29 08-01-2005 22:01:55 08-01-2005 22:13:21 08-01-2005 22:15:53 08-01-2005 22:18:17 08-01-2005 22:29:43 08-01-2005 22:32:10 08-01-2005 22:34:43 08-01-2005 22:35:28 08-01-2005 22:36:04 08-01-2005 22:40:42 08-01-2005 22:41:21 08-01-2005 22:42:05 09-01-2005 19:58:19 09-01-2005 19:58:59 09-01-2005 19:59:35 09-01-2005 20:01:43 09-01-2005 20:02:20 09-01-2005 20:02:57 09-01-2005 20:06:27 09-01-2005 20:17:53 09-01-2005 20:20:17 09-01-2005 20:22:43 09-01-2005 20:34:08 09-01-2005 20:36:33 09-01-2005 20:39:00
Nr.
12217 12218 12219 12220 12221 12222 12223 12224 12225 12226 12227 12230 12231 12232 12386 12387 12388 12391 12392 12393 12395 12396 12397 12398 12399 12400 12401
. . . vervolg van vorige pagina
BG IC UG BG IC UG BG IC UG BG IC IC BG UG IC BG UG IC BG UG UG BG IC UG BG IC UG
Filter COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD STD STD STD STD STD STD STD STD STD COM COM COM COM COM COM COM
Type 1.01 1.01 1.01 1.02 1.02 1.02 1.03 1.03 1.09 1.09 1.09 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.14 1.14 1.14 1.04 1.03 1.03 1.03 1.02 1.02 1.01
Fz
0.90 0.85 0.86 0.71 0.90 0.97 1.22 1.27 n/a n/a n/a n/a n/a n/a n/a
Se
vervolg op volgende pagina . . .
60.21 60.14 600.81 60.27 59.91 601.06 61.13 60.45 14.77 5.00 5.00 8.25 13.03 88.45 7.64 5.00 11.89 5.00 5.00 6.69 599.87 59.99 60.09 600.08 60.32 61.81 599.89
Exp (s)
(Fig. 2.7) Shell-achtige structuur zichtbaar. (Fig. 4.18, 4.19)
Shell-achtige structuur zichtbaar. (Fig. 4.18, 4.19)
Opmerking
114 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
09-01-2005 20:50:26 09-01-2005 20:52:52 09-01-2005 21:02:25 09-01-2005 21:03:02 09-01-2005 21:03:42 09-01-2005 21:04:52 09-01-2005 21:05:29 09-01-2005 21:06:07 09-01-2005 21:56:47 09-01-2005 22:00:12 09-01-2005 22:00:49 09-01-2005 22:01:58 09-01-2005 22:02:36 09-01-2005 22:03:13 09-01-2005 22:05:07 09-01-2005 22:16:35 09-01-2005 22:19:02 09-01-2005 22:21:29 09-01-2005 22:32:55 09-01-2005 22:35:22 09-01-2005 22:38:03 09-01-2005 22:38:40 09-01-2005 22:39:17 09-01-2005 22:41:06 09-01-2005 22:52:31 09-01-2005 22:54:59 09-01-2005 22:57:26
Nr.
12402 12403 12405 12406 12407 12408 12409 12410 12418 12419 12420 12421 12422 12423 12424 12425 12426 12427 12428 12429 12430 12431 12432 12433 12434 12435 12436
. . . vervolg van vorige pagina
BG IC IC BG UG IC BG UG IC BG UG IC BG UG UG BG IC UG BG IC IC BG UG UG BG IC UG
Filter COM COM STD STD STD STD STD STD STD STD STD STD STD STD COM COM COM COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM
Type 1.01 1.01 1.11 1.11 1.11 1.00 1.00 1.00 1.10 1.10 1.10 1.05 1.05 1.05 1.02 1.02 1.02 1.03 1.04 1.04 1.11 1.11 1.11 1.05 1.06 1.07 1.08
Fz
n/a n/a n/a n/a n/a n/a 2.27 2.03 1.14 1.27 1.44 1.31
Se
vervolg op volgende pagina . . .
61.65 60.14 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 16.35 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 14.20 599.64 62.23 60.85 600.08 60.23 59.86 5.00 5.00 5.00 600.35 62.23 60.14 599.68
Exp (s)
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Opmerking
Gegevens 115
Tijd (datum & UT)
09-01-2005 23:08:51 09-01-2005 23:11:18 09-01-2005 23:13:42 09-01-2005 23:25:07 09-01-2005 23:27:32 09-01-2005 23:29:58 09-01-2005 23:41:32 09-01-2005 23:43:57 09-01-2005 23:46:40 09-01-2005 23:47:17 09-01-2005 23:47:54 09-01-2005 23:51:37 09-01-2005 23:52:15 09-01-2005 23:53:19 10-01-2005 07:33:42 10-01-2005 07:45:44 10-01-2005 18:55:43 10-01-2005 18:59:12 10-01-2005 19:05:41 10-01-2005 20:02:30 10-01-2005 20:03:09 10-01-2005 20:03:45 10-01-2005 20:05:56 10-01-2005 20:06:37
10-01-2005 20:07:14 10-01-2005 20:09:57
Nr.
12437 12438 12439 12440 12441 12442 12443 12444 12445 12446 12447 12450 12451 12452 12570 12574 12578 12579 12581 12596 12597 12598 12600 12601
12602 12603
. . . vervolg van vorige pagina
BG UG
BG IC UG BG IC UG BG IC IC BG UG BG UG IC IC UG UG BG IC IC BG UG UG IC
Filter
STD STD
COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD STD STD STD FFL FFL FFL FFL FFL STD STD STD STD STD
Type
1.07 1.01
1.09 1.10 1.11 1.12 1.12 1.14 1.16 1.16 1.18 1.18 1.19 1.19 1.19 1.19 1.18 1.21 1.27 1.27 1.25 1.17 1.17 1.17 1.08 1.07
Fz
-
1.29 1.06 1.06 0.94 0.97 0.96 1.09 0.96 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00 14.31
60.18 59.68 600.64 60.05 60.49 600.55 59.13 61.19 5.00 5.00 5.00 6.36 34.24 9.44 197.30 42.85 82.39 30.30 160.80 8.51 5.00 11.82 9.94 5.00
Exp (s)
Standaardmagnitude niet gecatalogiseerd. Verwijderd.
Ster niet volledig op frame. Verwijderd.
Shell-achtige structuur zichtbaar. (Fig. 4.18, 4.19)
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Opmerking
116 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
10-01-2005 20:12:35 10-01-2005 20:14:47 10-01-2005 20:16:42 10-01-2005 20:32:02 10-01-2005 20:34:25 10-01-2005 20:36:50 10-01-2005 20:48:17 10-01-2005 20:50:43 10-01-2005 20:53:08 10-01-2005 21:04:35 10-01-2005 21:07:02 10-01-2005 21:09:45 10-01-2005 21:10:25 10-01-2005 21:11:04 10-01-2005 21:35:18 10-01-2005 21:36:03 10-01-2005 21:36:42 10-01-2005 21:38:11 10-01-2005 21:49:36 10-01-2005 21:57:53 10-01-2005 22:11:04 10-01-2005 22:12:34 10-01-2005 22:13:36 10-01-2005 22:15:14 10-01-2005 22:26:38 10-01-2005 22:29:04 10-01-2005 22:31:29
Nr.
12604 12605 12606 12607 12608 12609 12610 12611 12612 12613 12614 12615 12616 12617 12624 12625 12626 12627 12628 12630 12631 12632 12633 12634 12635 12636 12637
. . . vervolg van vorige pagina
IC BG UG BG IC UG BG IC UG BG IC BG IC UG UG IC BG UG BG UG UG IC BG UG BG IC UG
Filter STD STD COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD STD STD STD COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM
Type 1.01 1.01 1.03 1.02 1.02 1.01 1.01 1.01 1.00 1.00 1.00 1.10 1.10 1.10 1.02 1.02 1.02 1.01 1.01 1.02 1.06 1.07 1.07 1.03 1.04 1.04 1.05
Fz
1.61 1.57 1.57 1.17 1.43 1.43 1.62 1.49 1.27 1.16 1.19 1.10 1.10
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00 5.00 599.55 59.75 59.86 601.40 60.95 60.41 600.02 61.35 60.01 5.00 5.00 9.32 14.31 5.00 5.00 600.23 60.97 600.09 14.33 5.00 5.00 599.38 60.48 60.11 599.70
Exp (s)
Stofuitstroom
Geen komeet zichbaar. Verwijderd. Geen komeet zichbaar. Verwijderd. Geen komeet zichbaar. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Opmerking
Gegevens 117
Tijd (datum & UT)
10-01-2005 22:42:53 10-01-2005 22:45:19 10-01-2005 22:47:44 10-01-2005 22:59:10 10-01-2005 23:01:35 10-01-2005 23:04:01 10-01-2005 23:15:26 10-01-2005 23:17:53 10-01-2005 23:20:21 10-01-2005 23:31:47 10-01-2005 23:34:11 10-01-2005 23:36:53 10-01-2005 23:37:38 10-01-2005 23:38:15 10-01-2005 23:39:54 10-01-2005 23:40:34 10-01-2005 23:41:17 11-01-2005 07:41:33 11-01-2005 07:47:01 11-01-2005 18:50:40 11-01-2005 18:53:29 11-01-2005 18:58:16 11-01-2005 19:00:44 11-01-2005 20:45:36 11-01-2005 20:46:16 11-01-2005 20:46:53 11-01-2005 20:49:29
Nr.
12638 12639 12640 12641 12642 12643 12644 12645 12646 12647 12648 12649 12650 12651 12653 12654 12655 12786 12790 12791 12792 12793 12794 12822 12823 12824 12825
. . . vervolg van vorige pagina
BG IC UG BG IC UG BG IC UG BG IC UG IC BG IC BG UG IC UG UG UG BG BG UG BG IC UG
Filter COM COM COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD STD STD STD FFL FFL FFL FFL FFL FFL STD STD STD STD
Type 1.06 1.06 1.07 1.08 1.08 1.10 1.11 1.11 1.13 1.15 1.15 1.27 1.28 1.28 1.31 1.31 1.31 1.21 1.22 1.28 1.27 1.26 1.26 1.04 1.04 1.04 1.02
Fz
0.94 0.92 0.92 0.75 0.75 0.98 0.98 1.24 1.19 1.09 1.03 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
60.33 59.46 599.64 59.89 59.90 599.57 59.98 60.01 600.13 59.95 61.19 14.11 5.00 5.00 8.49 12.59 88.14 20.35 31.06 20.19 39.25 20.01 38.29 9.89 5.00 5.00 9.97
Exp (s)
Ster niet volledig op frame. Verwijderd. Ster niet volledig op frame. Verwijderd. Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Stofuitstroom
Opmerking
118 B¼lage A. Gegevens
IC BG UG BG IC UG BG IC UG BG IC UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG BG IC UG IC
Filter STD STD COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD
Type 1.02 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.04 1.04 1.04 1.02 1.03 1.04 1.04 1.05 1.06 1.06 1.07 1.08 1.16 1.16
Fz
0.71 0.69 0.67 0.65 0.75 0.75 0.82 0.81 0.80 0.86 0.70 0.67 0.81 0.76 0.81 0.75 0.86 0.78 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00 5.00 600.00 59.85 60.10 600.54 63.13 60.20 601.28 62.30 59.97 14.21 5.00 5.00 599.68 59.14 60.06 600.17 60.06 59.32 599.43 59.39 60.14 14.34 5.00
Exp (s)
saturatie' indien 50000 ADU < pixelwaarde < 62000 ADU
11-01-2005 20:50:11 11-01-2005 20:50:50 11-01-2005 20:55:07 11-01-2005 21:07:07 11-01-2005 21:09:32 11-01-2005 21:11:58 11-01-2005 21:23:25 11-01-2005 21:25:54 11-01-2005 21:28:20 11-01-2005 21:39:48 11-01-2005 21:42:16 11-01-2005 21:44:57 11-01-2005 21:45:43 11-01-2005 21:46:20 11-01-2005 21:50:16 11-01-2005 22:17:33 11-01-2005 22:19:57 11-01-2005 22:22:21 11-01-2005 22:33:47 11-01-2005 22:36:10 11-01-2005 22:38:36 11-01-2005 22:50:01 11-01-2005 22:52:26 11-01-2005 22:55:07 11-01-2005 22:55:52
12826 12827 12828 12829 12830 12831 12832 12833 12834 12835 12836 12837 12838 12839 12840 12841 12842 12843 12844 12845 12846 12847 12848 12849 12850
6 `Bijna
Tijd (datum & UT)
Nr.
. . . vervolg van vorige pagina
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Ionenstaart (Fig. 4.20)
Ionenstaartt
Ionenstaart (Fig. 4.16)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Pixel(s) bijna gesatureerd.
Pixel(s) bijna gesatureerd. Ionenstaart (Fig. 2.8)
Stofuitstroom. Pixel(s) bijna gesatureerd6 .
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Opmerking
Gegevens 119
Tijd (datum & UT)
11-01-2005 22:56:30 11-01-2005 23:06:16 11-01-2005 23:09:51 11-01-2005 23:10:37 11-01-2005 23:11:14 11-01-2005 23:12:36 11-01-2005 23:24:00 11-01-2005 23:26:26 11-01-2005 23:28:54 11-01-2005 23:40:21 11-01-2005 23:42:47 11-01-2005 23:46:00 11-01-2005 23:46:37 11-01-2005 23:47:16 12-01-2005 07:32:14 12-01-2005 07:36:08 12-01-2005 07:43:00 12-01-2005 18:52:25 12-01-2005 18:59:05 12-01-2005 19:04:14 12-01-2005 20:03:26 12-01-2005 20:04:05 12-01-2005 20:04:41 12-01-2005 20:06:52 12-01-2005 20:07:33
12-01-2005 20:08:10
Nr.
12851 12855 12856 12857 12858 12859 12860 12861 12862 12863 12864 12866 12867 12868 12984 12985 12988 12989 12990 12992 13004 13005 13006 13008 13009
13010
. . . vervolg van vorige pagina
BG
BG BG UG IC BG UG BG IC UG BG IC IC BG UG IC IC UG UG BG IC IC BG UG UG IC
Filter
STD
STD COM STD STD STD COM COM COM COM COM COM STD STD STD FFL FFL FFL FFL FFL FFL STD STD STD STD STD
Type
1.06
1.16 1.10 1.20 1.20 1.20 1.13 1.14 1.15 1.16 1.18 1.19 1.14 1.14 1.14 1.20 1.21 1.22 1.27 1.26 1.24 1.17 1.17 1.17 1.06 1.06
Fz
-
0.70 0.59 0.60 0.47 0.94 0.64 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00
5.00 60.26 13.35 5.00 5.00 599.51 60.98 60.75 600.24 60.12 61.07 5.51 9.52 80.76 110.39 45.86 84.22 25.23 20.16 45.81 9.43 5.00 11.65 9.74 5.00
Exp (s)
Standaardmagnitude niet gecatalogiseerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
(Fig. 3.3)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Geen komeet zichtbaar. Verwijderd.
Opmerking
120 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
12-01-2005 20:22:56 12-01-2005 20:23:33 12-01-2005 20:24:11 12-01-2005 20:26:10 12-01-2005 20:37:36 12-01-2005 20:40:00 12-01-2005 20:42:24 12-01-2005 20:53:51 12-01-2005 20:56:18 12-01-2005 20:58:43 12-01-2005 21:10:09 12-01-2005 21:12:36 12-01-2005 21:15:17 12-01-2005 21:16:01 12-01-2005 21:16:38 12-01-2005 21:18:21 12-01-2005 21:29:46 12-01-2005 21:32:09 12-01-2005 21:34:33 12-01-2005 21:45:58 12-01-2005 21:48:22 12-01-2005 21:50:47 12-01-2005 22:02:10 12-01-2005 22:04:35 12-01-2005 22:07:17 12-01-2005 22:08:01 12-01-2005 22:08:37
Nr.
13012 13013 13014 13015 13016 13017 13018 13019 13020 13021 13022 13023 13024 13025 13026 13027 13028 13029 13030 13031 13032 13033 13034 13035 13036 13037 13038
. . . vervolg van vorige pagina
IC BG UG UG BG IC UG BG IC UG BG IC UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG BG IC UG IC BG
Filter STD STD STD COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD
Type 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.00 1.01 1.01 1.01 1.02 1.01 1.01 1.01 1.01 1.02 1.02 1.02 1.03 1.03 1.07 1.07 1.07
Fz
1.34 1.56 1.63 1.62 1.93 1.97 1.87 2.06 2.06 2.49 2.21 2.05 1.72 1.74 1.50 1.26 1.28 1.28 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00 5.00 13.60 599.19 59.42 60.10 601.22 60.43 59.75 601.25 61.31 60.60 13.44 5.00 5.00 599.20 59.47 60.01 601.03 60.58 59.98 599.51 61.24 60.71 14.12 5.00 5.00
Exp (s)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Ionenstralen
Ionenstralen (Fig. 4.13)
Ionenstralen (Fig. 4.13) (Fig. 3.3)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Ionenstralen (Fig. 4.14, 4.13)
Ionenstralen
Ionenstralen (Fig. 4.13)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Opmerking
Gegevens 121
Tijd (datum & UT)
12-01-2005 22:48:00 12-01-2005 22:48:46 12-01-2005 22:49:22 12-01-2005 22:50:41
12-01-2005 23:02:05 12-01-2005 23:04:30 12-01-2005 23:06:52
12-01-2005 23:18:18 12-01-2005 23:20:43 12-01-2005 23:23:22 12-01-2005 23:24:07 12-01-2005 23:24:43 12-01-2005 23:26:23 12-01-2005 23:27:01 12-01-2005 23:27:43 13-01-2005 18:50:24 13-01-2005 18:59:55 13-01-2005 19:05:02 13-01-2005 20:03:49 13-01-2005 20:04:29 13-01-2005 20:05:06 13-01-2005 20:07:19 13-01-2005 20:07:59
13-01-2005 20:08:37
Nr.
13044 13045 13046 13047
13048 13049 13050
13051 13052 13053 13054 13055 13057 13058 13059 13179 13180 13182 13194 13195 13196 13198 13199
13200
. . . vervolg van vorige pagina
BG
BG IC UG IC BG IC BG UG UG BG IC IC BG UG UG IC
BG IC UG
UG IC BG UG
Filter
STD
COM COM STD STD STD STD STD STD FFL FFL FFL STD STD STD STD STD
COM COM COM
STD STD STD COM
Type
1.05
1.14 1.15 1.25 1.26 1.26 1.29 1.29 1.30 1.26 1.25 1.23 1.17 1.17 1.18 1.06 1.06
1.11 1.11 1.13
1.15 1.15 1.15 1.10
Fz
-
1.73 1.73 -
1.87 2.34 2.34
1.76
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00
60.66 60.17 14.29 5.00 5.00 7.21 12.77 86.99 20.22 20.70 48.00 9.57 5.00 13.08 9.75 5.00
60.65 59.69 601.56
14.04 5.00 5.00 600.94
Exp (s)
Standaardmagnitude niet gecatalogiseerd. Verwijderd.
Stofuitstroom
Sterren zichbaar dicht bij de komeetkern. Ionenstralen (Fig. 4.15, 4.13)
Sterren zichtbaar dicht bij de komeetkern. Ionenstralen (Fig. 4.15)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Opmerking
122 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
13-01-2005 20:11:16 13-01-2005 20:12:01 13-01-2005 20:12:38 13-01-2005 20:14:07 13-01-2005 20:25:31 13-01-2005 20:27:56 13-01-2005 20:30:22 13-01-2005 20:41:49 13-01-2005 20:44:13 13-01-2005 20:46:37 13-01-2005 20:58:02 13-01-2005 21:00:30 13-01-2005 21:03:11 13-01-2005 21:03:56 13-01-2005 21:04:32 13-01-2005 21:43:57 13-01-2005 21:44:44 13-01-2005 21:45:21 13-01-2005 21:48:50 13-01-2005 21:50:01 13-01-2005 21:51:30 13-01-2005 21:53:06 13-01-2005 22:04:29 13-01-2005 22:06:51 13-01-2005 22:09:16 13-01-2005 22:20:42 13-01-2005 22:23:06
Nr.
13201 13202 13203 13204 13205 13206 13207 13208 13209 13210 13211 13212 13213 13214 13215 13221 13222 13223 13225 13226 13227 13228 13229 13230 13231 13232 13233
. . . vervolg van vorige pagina
UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG BG IC UG IC BG UG IC BG UG IC BG UG BG IC UG BG IC
Filter STD STD STD COM COM COM COM COM COM COM COM COM STD STD STD STD STD STD STD STD STD COM COM COM COM COM COM
Type 1.00 1.00 1.00 1.02 1.02 1.02 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.04 1.04 1.04 1.05 1.05 1.05 1.03 1.04 1.04 1.05 1.06 1.06
Fz
1.41 0.73 0.88 0.63 1.10 0.79 0.98 1.16 1.46 0.72 1.01 1.12 1.19 1.25 1.05
Se
vervolg op volgende pagina . . .
14.12 5.00 5.00 599.43 59.32 59.97 601.00 61.17 59.45 600.18 61.31 60.27 14.15 5.00 5.00 13.43 5.00 5.00 13.25 5.00 5.00 599.39 59.28 60.21 599.52 60.11 60.30
Exp (s)
Stofuitstroom (Fig. 4.17)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Stofuitstroom
Ster niet volledig op frame. Verwijderd. Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd. Ster niet volledig op frame. Verwijderd.
Opmerking
Gegevens 123
Tijd (datum & UT)
13-01-2005 22:25:32 13-01-2005 22:36:57 13-01-2005 22:39:22 13-01-2005 22:42:04 13-01-2005 22:42:48 13-01-2005 22:43:29 13-01-2005 22:44:51 13-01-2005 22:56:16 13-01-2005 22:58:43 13-01-2005 23:01:08 13-01-2005 23:12:33 13-01-2005 23:15:00 13-01-2005 23:17:40 13-01-2005 23:18:25 13-01-2005 23:19:02 13-01-2005 23:20:40 13-01-2005 23:21:19 13-01-2005 23:22:04 14-01-2005 07:31:43 14-01-2005 07:40:10 14-01-2005 07:42:45 14-01-2005 19:01:55 14-01-2005 19:07:04 14-01-2005 19:11:57 14-01-2005 21:15:30 14-01-2005 21:16:11
Nr.
13234 13235 13236 13237 13238 13239 13240 13241 13242 13243 13244 13245 13246 13247 13248 13250 13251 13252 13375 13377 13378 13379 13380 13382 13419 13420
. . . vervolg van vorige pagina
UG BG IC UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG IC BG IC BG UG IC BG UG UG BG IC UG IC
Filter COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM COM COM STD STD STD STD STD STD FFL FFL FFL FFL FFL FFL STD STD
Type 1.07 1.08 1.08 1.14 1.15 1.15 1.10 1.11 1.11 1.13 1.14 1.15 1.24 1.25 1.25 1.29 1.29 1.29 1.21 1.23 1.24 1.23 1.22 1.21 1.00 1.00
Fz
1.42 1.10 1.25 1.38 1.24 1.20 1.29 1.58 1.63 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
600.63 60.24 59.52 13.20 5.00 5.00 600.47 60.41 60.10 600.75 60.02 60.00 14.11 5.00 5.00 8.55 13.12 88.38 124.05 26.83 88.21 181.64 105.98 185.03 9.43 5.00
Exp (s)
Standaardmagnitude niet gecatalogiseerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Opmerking
124 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
14-01-2005 21:16:47 14-01-2005 21:18:18 14-01-2005 21:19:03 14-01-2005 21:19:39 14-01-2005 21:21:18 14-01-2005 21:32:42 14-01-2005 21:35:07 14-01-2005 21:37:31 14-01-2005 21:48:56 14-01-2005 21:51:22 14-01-2005 21:54:04 14-01-2005 21:54:49 14-01-2005 21:55:25 14-01-2005 21:56:55 14-01-2005 22:08:20 14-01-2005 22:10:45 14-01-2005 22:13:09 14-01-2005 22:24:35 14-01-2005 22:34:27 14-01-2005 22:37:09 14-01-2005 22:39:32 14-01-2005 22:40:42 14-01-2005 22:42:36 14-01-2005 22:54:00 14-01-2005 22:56:26 14-01-2005 22:58:50 14-01-2005 23:10:16
Nr.
13421 13422 13423 13424 13425 13426 13427 13428 13429 13430 13431 13432 13433 13434 13435 13436 13437 13438 13439 13440 13441 13442 13443 13444 13445 13446 13447
. . . vervolg van vorige pagina
BG UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG IC BG UG BG IC UG BG
Filter STD STD STD STD COM COM COM COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM COM COM STD STD STD COM COM COM COM COM
Type 1.00 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 1.03 1.03 1.03 1.04 1.06 1.06 1.06 1.05 1.05 1.05 1.06 1.07 1.08 1.14 1.15 1.15 1.11 1.12 1.12 1.14 1.15
Fz
1.03 0.91 0.73 0.69 0.83 0.72 0.54 0.72 0.72 0.72 0.64 0.62 0.65 0.73 0.79 0.79 0.84
Se
vervolg op volgende pagina . . .
5.00 14.32 5.00 5.00 599.68 60.09 59.72 601.23 60.32 60.38 13.36 5.00 5.00 600.47 60.89 59.44 600.98 60.47 60.43 13.77 5.00 5.00 599.68 60.76 60.41 601.05 61.39
Exp (s)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Opmerking
Gegevens 125
Tijd (datum & UT)
14-01-2005 23:12:42 14-01-2005 23:15:24 14-01-2005 23:16:09 14-01-2005 23:16:47 14-01-2005 23:18:27 14-01-2005 23:19:08 14-01-2005 23:19:52 15-01-2005 07:35:08 15-01-2005 07:40:38 15-01-2005 07:42:58 15-01-2005 19:00:48 15-01-2005 19:04:44 15-01-2005 21:16:05 15-01-2005 21:16:43 15-01-2005 21:17:17 15-01-2005 21:18:39 15-01-2005 21:19:53 15-01-2005 21:21:08 15-01-2005 21:24:07 15-01-2005 21:35:34 15-01-2005 21:38:00 15-01-2005 21:40:28 15-01-2005 21:51:54 15-01-2005 21:54:20 15-01-2005 21:57:00 15-01-2005 21:57:44 15-01-2005 21:58:23
Nr.
13448 13449 13450 13451 13453 13454 13455 13571 13573 13574 13575 13576 13615 13616 13617 13618 13619 13620 13621 13622 13623 13624 13625 13626 13627 13628 13629
. . . vervolg van vorige pagina
IC UG IC BG IC BG UG IC BG UG UG BG UG IC BG UG IC BG UG BG IC UG BG IC UG IC BG
Filter COM STD STD STD STD STD STD FFL FFL FFL FFL FFL STD STD STD STD STD STD COM COM COM COM COM COM STD STD STD
Type 1.16 1.25 1.25 1.26 1.30 1.30 1.30 1.23 1.24 1.25 1.22 1.22 1.00 1.00 1.00 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.04 1.04 1.05 1.05 1.07 1.07 1.07
Fz
0.76 0.68 0.62 0.62 0.66 0.58 0.66 -
Se
vervolg op volgende pagina . . .
59.45 13.15 5.00 5.00 8.05 12.40 88.22 52.05 22.19 81.39 110.85 50.05 9.08 5.00 5.00 13.94 5.00 5.00 599.94 59.76 59.77 600.25 60.02 60.26 13.21 5.00 5.00
Exp (s)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Shell-achtige structuur zichtbaar. (Fig. 4.18, 4.19)
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Stofuitstroom
Opmerking
126 B¼lage A. Gegevens
Tijd (datum & UT)
15-01-2005 22:02:13 15-01-2005 22:14:55 15-01-2005 22:17:25 15-01-2005 22:19:51 15-01-2005 22:31:16 15-01-2005 22:33:41 15-01-2005 22:36:25 15-01-2005 22:37:11 15-01-2005 22:38:03 15-01-2005 22:41:33 15-01-2005 22:53:38 15-01-2005 22:56:04 15-01-2005 22:58:45 15-01-2005 22:59:30 15-01-2005 23:00:07 15-01-2005 23:01:45 15-01-2005 23:02:21 15-01-2005 23:03:00
Nr.
13630 13631 13632 13633 13634 13635 13636 13637 13638 13639 13640 13641 13642 13643 13644 13646 13647 13648
. . . vervolg van vorige pagina
UG BG IC UG BG IC UG IC BG UG BG IC UG IC BG IC BG UG
Filter 599.90 60.76 60.10 600.88 60.31 60.39 14.41 5.00 5.00 600.52 60.83 60.49 13.01 5.00 5.00 8.84 12.14 87.72
Exp (s) COM COM COM COM COM COM STD STD STD COM COM COM STD STD STD STD STD STD
Type 1.06 1.07 1.07 1.08 1.10 1.10 1.15 1.15 1.15 1.12 1.13 1.14 1.21 1.21 1.21 1.26 1.26 1.26
Fz
0.58 0.72 0.75 0.75 1.23 1.12 0.98 0.96 0.96 -
Se
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Pixel(s) gesatureerd. Verwijderd.
Shell-achtige structuur zichtbaar.
Shell-achtige structuur zichtbaar. Stofuitstroom
Opmerking
Gegevens 127
B¼lage
B
Routines
De
onderstaande Python-code onderzoekt of pixels uit twee at elds met een te hoge pixelwaarde zich al dan niet in een ster bevinden. Als ze zich in een ster bevinden, worden voor de pixels in de master at rond deze pixel enkel de pixels uit de andere at eld gebruikt. Indien de pixel zich niet in een ster situeert, wordt enkel de pixel zelf aangepast. Indien de pixel zich niet in een ster bevindt, wordt in de master at het gemiddelde van beide genomen. Routine B.1: Hoofdprogramma. 0
5
10
15
20
25
def mean2Pix(im1,im2,limit):
im1=norming(im1) im2=norming(im2) row_im2_toadapt=[];col_im2_toadapt=[] row_im1_toadapt=[];col_im1_toadapt=[] for row in range( max, im1.shape[0]−max−1 ): for col in range( 48, 2096 ): if (im1[row,col]>limit) and (im2[row,col]>limit): im_reduced[row,col]=(im1[row,col]+im2[row,col])/2 elif im1[row,col]>limit:#als de pixel in opname 1 een te grote waarde heeft if isStar(im1,row,col,limit): #als pixel tot ster behoort, pas dan enkele pixels aan row_im2_toadapt.append(row) col_im2_toadapt.append(col) aantal_corr_star=aantal_corr_star+1 else: #als pixel cosmic hit is, verwijder dan enkel de pixel zelf im_reduced[row,col]=(im1[row,col]+im2[row,col])/2 aantal_corr_enkel=aantal_corr_enkel+1 elif im2[row,col]>limit:#als de pixel in opname 2 een te grote waarde heeft if isStar(im2,row,col,limit): row_im1_toadapt.append(row) col_im1_toadapt.append(col) aantal_corr_star=aantal_corr_star+1 else: im_reduced[row,col]=(im1[row,col]+im2[row,col])/2 aantal_corr_enkel=aantal_corr_enkel+1 else: im_reduced[row,col]=(im1[row,col]+im2[row,col])/2
#voer de aanpassingen uit
129
130
B¼lage B. Routines for teller in range(0,len(row_im1_toadapt)): 30
35
adapt(im_reduced,im1,row_im1_toadapt[teller],col_im1_toadapt[teller])
for teller in range(0,len(row_im2_toadapt)):
adapt(im_reduced,im2,row_im2_toadapt[teller],col_im2_toadapt[teller])
#neem voor de andere pixels het gemiddelde van beide opnames for row in range( 0,max): for col in range( 48, 2096 ): im_reduced[row,col]=(im1[row,col]+im2[row,col])/2
for row in range( im1.shape[0]−max−1,im1.shape[0]): for col in range( 48, 2096 ):
im_reduced[row,col]=(im1[row,col]+im2[row,col])/2
return im_reduced
Routine B.2: Deze routine past de pixels die zich in en rond een ster bevinden.
0
def adapt(im_reduced,im_nostar,row,col): for i in range(−max+1,max): for j in range(−max+1,max):
im_reduced[row+i,col+j]=im_nostar[row+i,col+j]
5
10
for teller in range(0,4):
startrij=10+teller for i in range(−5+teller,6−teller): im_reduced[row−startrij,col+i]=im_nostar[row−startrij,col+i] im_reduced[row+startrij,col+i]=im_nostar[row+startrij,col+i] im_reduced[row+i,col+startrij]=im_nostar[row+i,col+startrij] im_reduced[row+i,col−startrij]=im_nostar[row+i,col−startrij]
Routine B.3: Om te beslissen of een pixel al dan niet in een ster zit, moet nagegaan worden of in de onmiddellijke omgeving van de pixel zich ook geen heldere pixels bevinden. Indien niet identi ceren we de pixel als een cosmic hit.
0
5
10
15
def isStar(image,row,col,limit):
pixel_extra=False for i in range(−1,2): for j in range(−1,2): if (i!=0 and j!=0) and (image[row+i,col+j]>limit): pixel_extra=True if pixel_extra: pixel_extra=False for k in range(−2,3): if image[row+k,col−2]>limit: pixel_extra=True elif image[row+k,col+2]>limit: pixel_extra=True elif image[row−2,col+k]>limit: pixel_extra=True elif image[row+2,col+k]>limit: pixel_extra=True else: pixel_extra=False return pixel_extra
Routines Routine B.4: Python-code om de kern te bepalen als maximum van een ge tte 2D-Gaussfunctie rond de maximale pixel. 0
def ndCenterGauss(bestand,data,max_x,max_y): #nulde moment
U_0 = sum(sum(data[max_x−10:max_x+11,max_y−10:max_y+11]))
#eerste momenten
5
10
U_x = 0 U_y = 0 for i in range(max_x−10,max_x+11): for j in range(max_y−10,max_y+11): U_x+=data[i,j]∗i U_y+=data[i,j]∗j updateHeaderKey(bestand,['NUCGAUX','NUCGAUY'],[U_x/U_0+1,U_y/U_0+1]) return [U_x/U_0,U_y/U_0]
Routine B.5: Python-code om de kern te bepalen als gewogen gemiddelde van de tien helderste pixels. 0
5
10
15
20
25
def ndWeighedAverageCenter(data,mrow,mcol):
list_orig=[] list_sort=[] beginr=mrow−7 einder=mrow+8 beginc=mcol−7 eindec=mcol+8 for rij in range(beginr,einder): for kol in range(beginc,eindec): list_orig.append(data[rij,kol]) list_sort=copy.copy(list_orig) list_sort.sort() list_sort.reverse() times_lastVal=list_sort.count(list_sort[9]) som_factoren=0. som_tuples=[0.,0.] for teller in range(0,9+times_lastVal): rijcoord=list_orig.index(list_sort[teller])/15+beginr kolcoord=list_orig.index(list_sort[teller]) factor=data[rijcoord,kolcoord] pixel=[rijcoord,kolcoord] tuple=[x∗factor for x in pixel] som_tuples=[som_tuples[0]+tuple[0],som_tuples[1]+tuple[1]] som_factoren+=factor wA=[x/som_factoren for x in som_tuples] return wA[0],wA[1]
131
132
B¼lage B. Routines Hieronder wordt de programmacode van de belangrijkste beeldverwerkingsroutines gegeven. De code werd geschreven in de programmeertaal Python. Het complete programma is beschikbaar op de DVD in bijlage C. Routine B.6: Code van de techniek die een ge t pro el van de coma aftrekt van het origneel. 0
5
10
def substractPro le(bestand,profa,profb): data=py ts.getdata(bestand); center= ndOptocenter(bestand) transpose(data)
# t het theoretisch pro el door de data
constante,exponent,bias= ndTheoreticalPro le(bestand,data) a=constante;b=exponent;c=bias
#trek het pro el af for rij in range(0,len(data)): for kolom in range(0,len(data[0])):
rho=sqrt((center[0]−rij)∗∗2.+(center[1]−kolom)∗∗2.)
if rho != 0: data[rij,kolom]=(data[rij,kolom]−a∗rho∗∗b) else: data[rij,kolom]=0
transpose(data) return data
Routine B.7: Code van de azimuthale renormalisatie. 0
5
10
15
def azimuthal_renormalisation(bestand,soort):
data=py ts.getdata(bestand); center= ndOptocenter(bestand) transpose(data) center_value=data[int(round(center[0])),int(round(center[1]))] data[data>center_value]=center_value #vlak waarde van bad pixels af data_polar=convertToPolarCoords(bestand) transpose(data_polar) median1=median(data_polar) transpose(data_polar) max_straal=len(average1) for rij in range(0,len(data)): for kolom in range(0,len(data[0])): straal=int(round(sqrt((center[0]−rij)∗∗2.+(center[1]−kolom)∗∗2.))) if straal>=max_straal: data[rij,kolom]=0 else: data[rij,kolom]/=median1[straal] transpose(data) return data
Routine B.8: Code van de Gauss-substractie. 0
5
def gaussSubstract(bestand,size,sigma):
sigma= oat(sigma) data=py ts.getdata(bestand); kernel=constructKernel(data[0:size,0:size],sigma,size) data2=convoluteWithKernel(data,kernel) data_uitvoer=data2−data return data_uitvoer,data2
Routines
133
Routine B.9: Code van de Larson-Slaughter lter. 0
5
10
15
def larsonSlaughter(bestand,sep,wc,wm,radial_scale): norm=−3;wc=wc/norm;wm=wm/norm #normeer kernel
data=py ts.getdata(bestand); center= ndOptocenter(bestand) transpose(data) data=medianFilter(data,3) #voer ruisreductie uit data2=data−data for i in range(sep+1,len(data)−sep−1): for j in range(sep+1,len(data[0])−sep−1): straal=sqrt((center[0]−i)∗∗2.+(center[1]−j)∗∗2.) pix_sep=int(round(sep+straal/radial_scale)) if i+pix_sep
0 and j+pix_sep0: data2[i,j]=data[i,j]/norm−wc∗(data[i+pix_sep,j+pix_sep]+data[i−pix_sep,j−pix_sep] +data[i+pix_sep,j−pix_sep]+data[i−pix_sep,j+pix_sep]) −wm∗(data[i−pix_sep,j]+data[i+pix_sep,j]+data[i,j−pix_sep]+data[i,j+pix_sep]) else: data2[i,j]=0 transpose(data);transpose(data2) data_di=data2−data return data2,data_di
Routine B.10: Code van de Larson-Sekanina lter. 0
5
10
15
20
25
def larsonSekanina(bestand,dr,dtheta):
data=py ts.getdata(bestand); transpose(data) data2=data.copy() center= ndOptocenter(bestand) dtheta=deg2rad(dtheta) for i in range(0,len(data)): for j in range(0,len(data[0])): x= oat(i−center[0]) y= oat(j−center[1]) r=sqrt(x∗∗2.+y∗∗2.) if r!=0: s=1+dr/r else: s=100000 k1=int(round( s∗cos(dtheta)∗x+s∗sin(dtheta)∗y+center[0])) #opname roteren over hoek theta l1=int(round(−s∗sin(dtheta)∗x+s∗cos(dtheta)∗y+center[1])) k2=int(round( s∗cos(−dtheta)∗x+s∗sin(−dtheta)∗y+center[0])) #opname roteren over hoek −theta l2=int(round(−s∗sin(−dtheta)∗x+s∗cos(−dtheta)∗y+center[1]))
#pixel enkel veranderen als alle nodige getransformeerde pixels binnen het beeldveld liggen: if (k1>=0 and k1=0 and l1=0 and k2=0 and l2
else:
data2[i,j]=1 data2[int(center[0]),int(center[1])]=1;data2[int(center[0]),int(center[1])+1]=1 data2[int(center[0]),int(center[1])−1]=1;data2[int(center[0])+1,int(center[1])]=1 data2[int(center[0])−1,int(center[1])]=1 transpose(data2) return data2
Routine B.11: Code van de hulproutines die aangeroepen worden in de bovenstaande beeldverwerkingstechnieken. 0
def convertToPolarCoords(bestand):
134
B¼lage B. Routines
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
data=py ts.getdata(bestand) transpose(data) center= ndOptocenter(bestand) #zet de komeetkern als oorsprong max_straal=int( oor(min(len(data)−center[0],len(data[0])−center[1],center[0],center[1]))) data2=data[0:max_straal,0:360].copy() for r in range(0,len(data2)): for theta in range(0,len(data2[0])): x=int(round(r∗cos(deg2rad(theta∗360./ oat(len(data2[0]))))+center[0])) y=int(round(r∗sin(deg2rad(theta∗360./ oat(len(data2[0]))))+center[1])) data2[r,theta]=data[x,y] return data2
def centerFramesRoundCenter(lst): #declaratie van nodige variabelen
lst_out=[];min_rij=3000;min_kol=3000
#zoeken naar maximaal mogelijk beeldveld rond de kern #dat in alle frames aanwezig is for i in range(0,len(lst)):
data=py ts.getdata(lst[i]) transpose(data) (center_rij,center_kol)= ndOptocenter(lst[i]) if (abs(len(data)−center_rij)<min_rij or center_rij<min_rij): min_rij=int( oor(min(abs(len(data)−center_rij),center_rij))) if (abs(len(data[0])−center_kol)<min_kol or center_kol<min_kol): min_kol=int( oor(min(abs(len(data[0])−center_kol),center_kol)))
#knip het gevonden beeldveld uit alles opnames for j in range(0,len(lst)):
data=py ts.getdata(lst[j]) transpose(data) (center_rij,center_kol)= ndOptocenter(lst[j]) lst_out.append(window(data,min_rij,min_kol,int(round(center_rij)),int(round(center_kol)),lst[j])) return lst_out
def window(image,min_rij,min_kol,centerx,centery,name): image[centerx,centery]=0 #ter controle
windowedFrame=image[centerx−min_rij+1:centerx+min_rij−1,centery−min_kol+1:centery+min_kol−1] return windowedFrame
def convoluteWithKernel(data,kernel):
size=len(kernel) data2=data.copy() start=−int(size/2.) stop=abs(start)+1 for x in range(0+size,len(data)−size): for y in range(0+size,len(data[0])−size): data2[x,y]=0 for kx in range(start,stop): for ky in range(start,stop): data2[x,y]+=data[x+kx,y+ky]∗kernel[kx+start,ky+start] return data2
def constructKernel(ker,sigma,size): 55
ker=ker.astype(Float64) start=−int(size/2.) stop=abs(start)+1 for x in range(start,stop): for y in range(start,stop): ker[x−start,y−start]=exp(−(x∗∗2.+y∗∗2.)/(2.∗sigma∗∗2.)) print ker/sum(sum(ker))
Routines 60
return ker/sum(sum(ker)) def medianFilter(data,size):
65
70
oset=int( oor( oat(size/2.))) data2=data.copy() for x in range(oset,len(data)−oset−1): for y in range(oset,len(data[0])−oset−1): median_matrix=data[x−oset:x+oset+1,y−oset:y+oset+1] median_matrix=numarray.reshape(median_matrix,1,size∗size) data2[x,y]= oat(median(median(median_matrix))) return data2
def ndTheoreticalPro le(bestand,data): start=50;degree=2 #verwaarloos de onmiddellijke omgeving van de kern 75
80
85
90
95
100
center= ndOptocenter(bestand) center=(int(round(center[0])),int(round(center[1]))) max_rechts=len(data)−center[0]−2 max_links=47 dataxr=range(start,max_rechts,1) dataxl=range(max_links,center[0]−start,1) datayr=[] datayl=[] for i in dataxr: datayr.append(median(data[center[0]+i,center[1]−20:center[1]+20])) for i in dataxl: datayl.append(median(data[i,center[1]−10:center[1]+11])) datayl.reverse() dataxl=range(start,center[0]−max_links,1) c=data.min() powercoesr=calculatePowerFit(dataxr,datayr,bestand,c) powercoesl=calculatePowerFit(dataxl,datayl,bestand,c) return (powercoesl[0]+powercoesr[0])/2.,−1,powercoesl[3]
def calculatePowerFit(datax,datay,bestand,c): if c<=0: #zorg ervoor dat alle waarden boven de x−as liggen
datax=add(datax,−c) datay=add(datay,−c) else: c=0 n=len(datax) lnx=log(datax);lny=log(datay);lnxlny=multiply(log(datax),log(datay)) lnxlnx=multiply(log(datax),log(datax));lnylny=multiply(log(datay),log(datay)) b=(n∗sum(lnxlny)−sum(lnx)∗sum(lny))/(n∗sum(lnxlnx)−(sum(lnx))∗∗2.) a=exp((sum(lny)−b∗sum(lnx))/n) return [a,b,c]
135
B¼lage
C
DVD-inhoud
De
bijgevoegde DVD bevat het resultaat van hoofdstuk 2, namelijk alle gereduceerde beelden. Dit zijn zowel de komeetopnames als de standaardsterren in de UG-, BG-, en IC- lter. Daarnaast zijn ook databestanden beschikbaar, met daarin de geconvolueerde magnitudes in de UG-, BG-, en IC- lter met aperturestralen van 1, 3 en 6 pixels. Ook opgenomen zijn alle gebruikte volledige programma's (niet enkel diegene uit appendix B). De belangrijkste programma's werden gebundeld in aparte kant-en-klare python-scripts, die voorzien zijn van een helpfunctie, dat opgeroepen wordt met het commando:
python naam.py -h De lijst met gereduceerde FITS-bestanden wordt verondersteld opgegeven te zijn in het bestanden ` les_apex.pi' en ` les_pieter.pi'. De structuur van dit bestand is als volgt:
input /home/bestand1.fits /home/bestand2.fits input2_more /home/bestand*.fits Het is mogelijk van verschillende lijsten (bijvoorbeeld input1, input2. . . ) op te stellen. Indien gebruik gemaakt wordt van wildcards, moet het su x `_more' toegevoegd worden aan de de titel van de lijst. 137
138
B¼lage C. DVD-inhoud
C.1 APerture Extraction Het programma `apex.py' berekent de positie van de kern op drie manieren: als maximale pixel, als gewogen gemiddelde van de tien helderste pixels en als maximum van een ge tte 2D Gauss-functie. Het commando hiervoor is:
python apex.py -f input -t determineNucleus De coördinaten van elk type kern worden toegevoegd aan de header in het bijhorende bestand (naar gelang het gebruikte coördinatensysteem moet hier al dan niet 1 pixelpositie van af trekken). Vervolgens kan dit programma het extractieproces doorvoeren op de gereduceerde beelden:
python apex.py -f input -t extract -n WA -r 1,2,20,100 of met seeingcorrectie:
python apex.py -f input -t gaussExtract -n WA -r 1,2,5,10 -d 1 -e 1 -k 1 Hierbij bepaalt de optie `-n' rond welke kern het extractieproces uitgevoerd wordt (Max = maximale pixel, WA = gewogen gemiddelde, Gauss = maximum van Gauss-functie). De optie `-r' is een lijst van de aperturestralen die gebruikt moeten worden. Zonder seeingcorrectie moet r ∈ [1, 999], met seeingcorrectie moet r ∈ [1, 10]. Opdat het extractieproces kan doorgevoerd worden moet de volgende informatie in de header van ieder FITS-bestand staan:
`klambda': De extinctiecoë ciënt k (indien `-k 1') • `fz': De luchtmassa F (indien `-k 1') • `timeff': De belichtingstijd van de opname (s) (indien `-e 1') • `rnorm': De afstand van de komeet tot de aarde, gedeeld door de afstand tijdens de eerste observatie (AU) (indien `-d 1') • `dnorm': De afstand van de komeet tot de zon, gedeeld door de afstand tijdens de eerste observatie (AU) (indien `-d 1') • 'jd': De Juliaanse datum van de opname •
λ
z
De bepaalde magnitude is dus geen absolute magnitude, maar relatief ten opzichte van de eerste observatie, waarvoor dus eigenlijk geen afstandscorrectie wordt doorgevoerd. Na het uitvoeren van het extractieproces wordt de tijdsreeks weggeschreven naar een tekstbestand, om er bijvoorbeeld een frequentie-analyse op uit te voeren.
C.2. PIETeR
C.2 Programming Image Enhancement TEchniques Re-invented Het tweede programma is het volledige beeldverwerkingsprogramma 'pieter.py'. Hier dient het bestand ` les_pieter.pi' als invoer. Een commando heeft de structuur
python pieter.py -f input -t techniek -x opt1 -y opt2 -z opt3 -n kern met techniek en opties volgens Tabel C.1. De optie `-n' geeft opnieuw aan welk type kern moet beschouwd worden (WA, Max of Gauss).
139
converteer de opname naar poolcoördinaten met als centrum de kern deel bestand `-x' door bestand `-y' verschil van bestand `-x' en bestand `-y' tel alle opnames op deel door theoretisch pro el van de vorm y = ax−b (als a = b = 0 opgegeven wordt, wordt een 1/r pro el ge t) trek theoretisch pro el van de vorm y = ax−b af (als a = b = 0 opgegeven wordt, wordt een 1/r pro el ge t) azimutale renormalisatie Larson-Slaugher Kernel
convertToPolar
a Pixelseparaties
ndPro le
sekanina
convolutiegrootte (pix) radiële verschuiving (pix) positie zon
1/2 (volledig/half)
pix separatie
median/average pix separatiea
rotationele verschuiving (◦) bestandstype
1/2 (robuust/schaalfactor) sigma (pix)
gewicht hoek
gewicht hoek
b
b
a
a
nr nr -
-
-y
nr nr -
-
-x
en kernelgroottes in oneven aantal pixels.
Tabel C.1 Invoermogelijkheden bij het programma PIETeR.
construeer het binnenste en buitenste comapro el en plot
verschil van originele opname met Gaussgeconvolueerde Larson-Sekanina- lter
gauss
laplace
Larson-Slaughter Kernel met radiële aanpassing laplace randdetectie
radSpatialFiltering
aziRenormal spatialFiltering
substractPro le
divideFrames substractFrames addFrames dividePro le
Omschrijving
Techniek
pixelschaal
schaalfactor
grootte ruis lter (pix) schaalfactor
-
-
-
-z
140 B¼lage C. DVD-inhoud
Bibliogra e Aerts, C. 2006, Asteroseismology (Cursusnota's KULeuven (& Nijmegen), Instituut voor Sterrenkunde) Ahearn, M. F., Schleicher, D. G., Millis, R. L., Feldman, P. D., & Thompson, D. T. 1984, Astronomical Journal, 89, 579 Bertin, E. & Arnouts, S. 1996, Astronomy & Astrophysics Supplement Series, 117, 393 Biermann, L. 1951, Zeitschrift fur Astrophysik, 29, 274 Bodewits, D. J. 2007, PhD thesis, KVI Rijksuniversiteit Groningen, Zernikelaan 25, NL-9747 Groningen, THE NETHERLANDS Brandt, J. C. 1968, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 6, 267 Brownlee, D. E., Horz, F., Newburn, R. L., et al. 2004, Science, 304, 1764 Carroll, B. W. & Ostlie, D. A. 1996, An Introduction to Modern Astrophysics (An Introduction to Modern Astrophysics, by B.W. Carroll and D.A. Ostlie. Benjamin Cummings, 1996. ISBN 0-201-54730-9.) Combi, M. R. & Fink, U. 1997, The Astrophysical Journal, 484, 879 Combi, M. R., Harris, W. M., & Smyth, W. H. 2004, Comets II, 523 Cousins, A. W. J. 1975, Monthly Notes of the Astronomical Society of South Africa, 34, 68 Crovisier, J. & Encrenaz, T. 2000, Comet Science (Comet Science, by Jacques Crovisier and Thérèse Encrenaz and Translated by Stephen Lyle and Foreword by Roger Maurice Bonnet, pp. 187. ISBN 0521641799. Cambridge, UK: Cambridge University Press, March 2000.) de Pater, I. & Lissauer, J. J. 2001, Planetary Sciences (Planetary Sciences, by Imke de Pater and Jack J. Lissauer, pp. 544. ISBN 0521482194. Cambridge, UK: Cambridge University Press, December 2001.) Delsemme, A. H. 1982, Icarus, 49, 438 Dwyer, J. R., Mason, G. M., Mazur, J. E., et al. 1997, Astrophysical Journal Letters, 490, L115+ Eddington, A. S. 1910, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 70, 442 Farnham, T. L., Samarasinha, N. H., Mueller, B. E. A., & Knight, M. M. 2007, Astronomical Journal, 133, 2001 Farnham, T. L., Schleicher, D. G., & A'Hearn, M. F. 2000, Icarus, 147, 180
141
142
Bibliogra e Golay, M. 1966, in IAU Symp. 24: Spectral Classi cation and Multicolour Photometry, ed. K. Loden, L. O. Loden, & U. Sinnerstad, 262+ Hanson, B. 2005, Science, 310, 257 Harker, D. E., Woodward, C. E., & Wooden, D. H. 2005, Science, 310, 278 Haser, L. 1957, Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, 43, 740 Howell, S. B. 2000, Handbook of CCD Astronomy (Handbook of CCD astronomy / Steve B. Howell. Cambridge, U.K. ; New York : Cambridge University Press, c2000. (Cambridge observing handbooks for research astronomers ; 2)) Huebner, W. F., Keady, J. J., & Lyon, S. P. 1992, Astrophysics and Space Science, 195, 1 Ip, W.-H. 2004, Comets II, 605 Jewitt, D. C. & Meech, K. J. 1987, The Astrophysical Journal, 317, 992 Jewitt, D. C. & Meech, K. J. 1988, The Astrophysical Journal, 328, 974 Korsun, P. P. & Jockers, K. 2002, Astronomy & Astrophysics, 381, 703 Larson, S. M. & Sekanina, Z. 1984, Astronomical Journal, 89, 571 Larson, S. M. & Slaughter, C. D. 1992, in Asteroids, Comets, Meteors 1991, ed. A. W. Harris & E. Bowell, 337+ Le Guillou et al., L. 2006, Mercator Merope Reference Manual Licandro, J., Serra-Ricart, M., Oscoz, A., Casas, R., & Osip, D. 2000, Astronomical Journal, 119, 3133 Lutz, B. L., Womack, M., & Wagner, R. M. 1993, The Astrophysical Journal, 407, 402 Luu, J. X. & Jewitt, D. C. 1992, Astronomical Journal, 104, 2243 Machholz, D. E., Garradd, G., & McNaught, R. H. 2004, IAU Circ, 8394, 1 Malfait, K. J. 1999, PhD thesis, AA(Inst. voor Sterrenkunde, K. U. Leuven, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Heverlee, BELGIUM) Meech, K. J., Belton, M. J. S., Mueller, B. E. A., Dicksion, M. W., & Li, H. R. 1993, Astronomical Journal, 106, 1222 Mueller, B. E. A., Samarasinha, N. H., & Belton, M. J. S. 1997, Earth Moon and Planets, 77, 181 Niedner, Jr., M. B., Rothe, E. D., & Brandt, J. C. 1978, The Astrophysical Journal, 221, 1014 Oort, J. H. 1950, Bulletin Of Astronomical Institutes Of The Netherlands, 11, 91 Osborn, W. H., A'Hearn, M. F., Carsenty, U., et al. 1990, Icarus, 88, 228 Philips, T. 2006, Space Weather (News and Information about the Sun-Earth Environment, http://www.spaceweather.com) Rauer, H. 1997, Earth Moon and Planets, 79, 161
Bibliogra e Samarasinha, N. H., Mueller, B. E. A., Belton, M. J. S., & Jorda, L. 2004, Comets II, 281 Sastri, J. H., Vasundhara, R., Kuppuswamy, K., & Velu, C. 2005, IAU Circ, 8480, 3 Schleicher, D. G. & Farnham, T. L. 2004, Comets II, 449 Schleicher, D. G., Millis, R. L., Osip, D. J., & Lederer, S. M. 1998, Icarus, 131, 233 Schmidt, H. U. & Wegmann, R. 1982, in IAU Colloq. 61: Comet Discoveries, Statistics, and Observational Selection, ed. L. L. Wilkening, 538+ Schmidt-Voigt, M. 1989, Astronomy & Astrophysics, 210, 433 Schulz, R. 1991, in ESO Conf. Proc. 38: 3rd ESO/ST-ECF Data Analysis Workshop, ed. P. J. Grosbøl & R. H. Warmels, 73+ Schulz, R. & A'Hearn, M. F. 1995, Icarus, 115, 191 Schulz, R., A'Hearn, M. F., Birch, P. V., et al. 1993, Icarus, 104, 206 Schulz, R. & Schlosser, W. 1990, CN jets as progenitors of CN shells in the coma of Comet P/Halley, Tech. rep. Schulz, R., Stüwe, J. A., & Erd, C. 2005, Earth Moon and Planets, 97, 387 Stellingwerf, R. F. 1978, The Astrophysical Journal, 224, 953 Toth, I. 2006, Astronomy & Astrophysics, 446, 333 Velichko, S., Kiselev, N., & Velichko, F. 2005, Earth Moon and Planets, 97, 379 Waelkens, C. 2006, Het Zonnestelsel (Cursusnota's KULeuven, Instituut voor Sterrenkunde) Wallace, L. V., Miller, I., & Freeman, D. 1958, Astronomical Journal, 63, 213 Waner, S. & Costenoble, S. R. 1998, Department of Mathematics, Hofstra University Weaver, H. A. 2004, Science, 304, 1760 Weaver, H. A., A'Hearn, M. F., Feldman, P. D., et al. 1992, Icarus, 97, 85 Wegmann, R., Dennerl, K., & Lisse, C. M. 2004, Astronomy & Astrophysics, 428, 647 Wisniewski, W. Z., Fay, T., & Gehrels, T. 1986, in Asteroids, Comets, Meteors II, ed. C.-I. Lagerkvist, H. Rickman, B. A. Lindblad, & H. Lundstedt, 337+ Yeomans, D. K. 1998, Jet Propulsion Laboratory/California Institute of Technology Yeomans, D. K. 2006, HORIZONS Web-Interface (Jet Propulsion Laboratory/California Institute of Technology, http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi) Yoshida, S. 2006, 36th Comet Conference, 1
143
