2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

KVINTA – úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny:  = {xR; 2x - 9  5} B = {xR; 1 - x  2} a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A  B, A  B, A - B, B – A 2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. a = 2,011 b = 0,79 3. Největší společný dělitel dvou neznámých čísel je 3 a nejmenší společný násobek těchto čísel je 84. Určete, o která dvě neznámá čísla se jedná. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:  2a  3 9b 4  5c 2  3  . 3 .  3b  4c  3a

  

2

 25c :   3a

5. 279 studentů mělo možnost přihlásit se do matematického nebo fyzikálního semináře . 7 Z celkového počtu studentů se jich přihlásilo alespoň do jednoho ze seminářů. 9 Pouze do matematického semináře se přihlásilo třikrát více studentů než do obou seminářů současně. Pouze do fyzikálního se přihlásilo 73 studentů. Kolik se jich přihlásilo do fyzikálního a kolik do matematického semináře? 6. Určete dvě čísla, nichž jedno je o 10 větší než druhé, víte-li, že rozdíl druhých mocnin obou čísel je 400. 7. Vydělte a proveďte zkoušku: (5x3 +17x2 – 6x4 +6 – 21x ) : (1 + 2x2 – 3x) = Rozložte následující výrazy na součin: a. 49(2m – 3n)2 – 9(m + n)2 = b. x2 - (b +6)x + 3(b – 3) = 8. Řešte v množině R soustavu nerovnic:

1 2x  8  x x3 x 1 x 1  x4 x2

2

9. V množině Z řešte soustavu nerovnic:

12  5 x 3 7  x  5x  1 x2  x  2 4

3x 

10. S využitím vhodné substituce řešte v R:

3.x  x   2  2.  x 1  x 1

2

11. Řešte v R rovnici : 1  x. x 2  24  x  1

12. Řešte v R nerovnici :



3 1 x

13. Řešte v R nerovnici:  x2 _ 1< x 14. Jsou dány úsečky délek a, b. Sestrojte úsečku délky x 

a 2

a . b

b

15. Je dán trojúhelník ABC, c = 8 cm,  = 60o, tc = 5 cm. Trojúhelník sestrojte, zapište konstrukci a sestrojte libovolný obdélník a čtverec, které budou mít stejné obsahy jako trojúhelník ABC. 16. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dáno: a = 8 cm, vc = 6 cm, ta = 5 cm. Zapište konstrukci a uveďte počet řešení. 17. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a,b tak, že jejich vzdálenost je 4,5 cm. Uvnitř rovnoběžkového pásu je dán bod M tak, že vzdálenost bodu M od přímky a je 1,5 cm. Sestrojte všechny kružnice k, které se dotýkají přímek a, b a procházení bodem M. Zapište konstrukci a uveďte počet řešení 18. Sestrojte úsečku délky 14 .

SEXTA – úlohy k opakování 1. Je dána funkce f: y = -x2 –4x –1. a) sestrojte graf funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm b) stanovte definiční obor a obor hodnot fukce f c) určete, pro která x R platí 0  f(x) 3 x  3 a řešte graficky d) do téhož obrázku zakreslete graf funkce g: y = 4 nerovnici f(x)  g(x) 2. Určete definiční obor funkce f: y =

4  x2   x 2  5x x 1

2x  1 x 1 sestrojte graf funkce f určete definiční obor a obor hodnot funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm vypočtěte, pro která x  D(f) platí: f(x) = 4 určete průsečíky grafu se souřadnými osami x, y

3. Je dána funkce f: y = a) b) c) d)

4. Je dána funkce f: y = x  1  x  2 a) sestrojte graf funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm b) určete definiční obor a obor hodnot funkce f

2x  3 . x 1 a) sestrojte graf funkce f, jednotku délky na osách x, y volte 1 cm b) stanovte definiční obor a obor hodnot funkce f c) určete souřadnice průsečíků grafu funkce s osami x,y

5. Je dána funkce f: y =

6. Určete definiční obor funkce f: y =

log 0,3 ( x  4)  log( 2 x  9)

7. Řešte v množině R rovnici a proveďte zkoušku:

4 2 x1  65.4 x1  1 8. Řešte v množině R rovnici: log(x-3) – log(2-3x) = 1 9. Řešte v množině R rovnici: 4 cos 4 x  5 sin 2 x  4

10. Řešte v množině R rovnici: sin 3x  3. cos 3x  1

x x x 4 11. Určete hodnoty sin 2 x, cos 2 x, tg 2 x, sin , cos , tg je-li dáno cos x < 0  sin x   2 2 2 5 12. V rovnoběžníku ABCD je dáno AB = a = 7cm, BC = b = 4 cm a velikost úhlu DAB =  = 55o. Vypočítejte výšku rovnoběžníka a jeho obsah. Zaokrouhlujte na dvě desetinná místa. 13. Sestrojte graf funkce f: y = sin x . cotg x. Stanovte definiční obor a obor hodnot. 14. Je dána krychle ABCDEFGH s dolní podstavou ABCD. Na hraně BC je dán bod X tak, že BX = 2.CX . Bod Y je středem hrany EH. Bod Z leží na polopřímce DH 1 (nad bodem H) tak, že platí ZH = DH. Sestrojte řez krychle rovinou  = XYZ. 2 Viditelnost vyznačte tak, že z krychle zůstane jen seříznutá část s vrcholem A. 15. V kvádru ABCDEFGH s rozměry AB = 3 cm, BC = 4 cm a AE = 6 cm vypočtěte odchylku přímek: a) BD a EF b) BG a AC 16. V krychli ABCDEFGH s dolní podstavou ABCD je X bodem polopřímky HG (vpravo od bodu G) tak, že platí HX = 2.GX . Vypočítejte odchylku přímky AX od roviny ABC. 17. Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu BC = 5 cm. Odchylka pobočné hrany AV a roviny ABC je  = 60o. Vypočítejte objem a povrch jehlanu.

SEPTIMA – úlohy k opakování 1. Je dána přímka p: x – 2y + 3 = 0 a body A = [4, 0] , B = [1, -3], které na ní neleží. Na přímce p určete souřadnice bodu P, který má od obou bodů A, B stejnou vzdálenost. 2. Je dán trojúhelník ABC, A = [-3, 0] , B = [2, 1], C = [1, 6]. a) určete obecnou rovnici přímky, ve které leží těžnice na stranu b = AC b) napište parametrické vyjádření přímky, ve které leží výška na stranu c = AB c) vypočítejte velikost vnitřního úhlu  =  BAC trojúhelníka ABC (bez počítačky) 3. V rovině jsou dány dva body K = [-1, 2] , L = [5, 3]. Světelný paprsek prochází bodem K, odrazí se od osy x a projde bodem L. a) určete obecnou rovnici přímky k, ve které leží dopadající paprsek (ten, který prochází bodem K) b) určete souřadnice bodu M na ose x, kde se paprsek odrazí c) určete obecnou rovnici přímky, ve které leží paprsek odražený (procházející bodem L) 4. V rovině jsou dány přímky p: 3x – 2y -15 = 0 a q: x = 5 - 4t y = -3 - 6t  t R. a) vyšetřete vzájemnou polohu těchto dvou přímek b) napište vyjádření poloroviny určené přímkou p a bodem X = [6, 3] c) leží v této polorovině body R = [5, -10] , Q = [3, -3] ? d) leží v této polorovině přímka q ?

5. Jsou dány body A=[2,1], B=[-1,7], C=[2,0], D=[-4,4] a) napište obecné rovnice přímek p=AB, q=CD b) určete směrnice přímek p,q c) vypočtěte odchylku přímek p,q 7b. 6. Je dána rovnice k: x2 + y2 –6x +24y + 53 = 0. a) zjistěte, zda se jedná o rovnici kružnice (určete střed a poloměr kružnice) b) určete všechna c R, pro která je přímka t: -3x +4y + c =0 tečnou kružnice k 3b. 7. V rovině jsou dány body S=[2,1] a A=[4,0]. a) napište rovnici kružnice se středem S, která prochází bodem A b) vypočtěte souřadnice průsečíků této kružnice se souřadnou osou y 4b. 8. Napište obecné rovnice tečen kružnice k: x2 + y2 + 2y – 8 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou p: x – 2y + 5 = 0. 9. Obecnou rovnicí je dána kuželosečka M: x 2  y 2  8x  4 y  30  0 . a) Identifikujte rovnicí danou kuželosečku. b) Napište obecné rovnice tečen dané kuželosečky v jejích bodech T = [ ?, 3]

10. Obecnou rovnicí je dána elipsa E: 9 x 2  25 y 2  18x  100 y  116  0 . Z bodu Q = [ - 4, 7] veďte tečny k dané elipse a napište jejich obecné rovnice. Na tečnách stanovte rovněž příslušné body dotyku. 11. Identifikujte a narýsujte kuželosečku K: x 2  4 y 2  4 x  24 y  48  0. (Podle definice dané kuželosečky sestrojte několik jejích bodů, řádně v obrázku popište její určující prvky). 12. Napište rovnice parabol, které mají vrchol V = [3, -7], prochází bodem M = [4, -5] a jejich osa je rovnoběžná se souřadnou osou. 12

 x2  13. Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu   x  obsahuje x15 ?  2   x  1  x  2      9 14. Řešte rovnici a proveďte zkoušku:  x  3 x  4     15. V obchodě mají pět druhů kávy balené vždy v sáčcích po 250g. Kolika způsoby je možno koupit 1 kg kávy, když od jednoho druhu kávy mají pouze dva sáčky? Ostatní druhy jsou k dispozici v dostatečném množství. 16. Z osmi mužů, mezi kterými je pan Jiří a pan Pavel a z šesti žen, mezi kterými jsou paní Elvíra a Ivana budeme vybírat skupinu složenou z pěti mužů a čtyřech žen. Kolika způsoby je to možně udělat, když : a. mezi vybranými má být pan Jiří i paní Elvíra? b. mezi vybranými nemá být pan Pavel a má tam být paní Elvíra i Ivana? 17. Kolik existuje šesticiferných čísel, která : a. mají „uprostřed“ dvojčíslí 59 ? b. „začínají i končí“ stejnou číslicí ? c. mají na místě tisíců sudou a na místě jednotek lichou číslici?

OKTÁVA – úlohy k opakování 1. Zjednodušte a výsledné komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru: 2

2

 1  2i   1  i        1 i  1 i  2. V Gaussově rovině komplexních čísel vyznačte množinu: 3 M = {z  C ; z – 2 - i  2 + i   z - i  }. 2 3. V množině C řešte rovnici : 2  i .( z  z  1)  (2  i).( z  z  i) 4. a) Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru: 13

 2i     1 i  b) V Gaussově rovině komplexních čísel jsou dány obrazy komplexních čísel a,b. Sestrojte obraz čísla z = a.b.

5. Řešte v oboru C rovnici: x 2  (2  i).x  2i  0 6. Řešte v oboru C rovnici: x 4  9 x 2  20  0 7. Vypočtěte: (i  i 3  i 4  i 5 )10  a) 1 i

4

1

 1 i 1 i 8. Určete k  R tak, aby číslo z  2i 3  k.i 2  (5  2k ).i  4 bylo a) reálné, b) ryze imaginární, c) bylo z  1. b)

9. Řešte v R: x  2 x 2  4 x 3  8 x 4  ........



1  2x x 1

10. Kolik Kč naspoří střadatel za 7 let, ukládá-li vždy počátkem měsíce, na účet úročený úrokovou mírou 2  ročně, částku 1 200,- Kč? (Úrokovací období je jeden měsíc, úrok se počítá vždy koncem měsíce a daň z úroku se platí 15 . Vypočtený kvocient nezaokrouhlujte!) Jaký je střadatelův celkový výnos z tohoto spoření? 11. Sečtěte prvních deset členů aritmetické posloupnosti

a 



n n 1

, ve které

platí :

a3  2, a7  1,2 . Sečtěte rovněž prvních deset členů posloupnosti, která má stejný první člen, ale poloviční diferenci. 12. Zjistěte, které z následujících nekonečných řad jsou geometrické. Ty z nich, které jsou 

konvergentní, sečtěte. a)

 n 1

5 2

n 2

n 1  2 n 1 

b)

c)   

n 1



3 1

n