Deterministick´y chaos – plod poˇc´ıtaˇcov´e fyziky Pavel Pokorn´y ´ Ustav matematiky, Vysok´a sˇkola chemicko-technologick´a v Praze http://www.vscht.cz/mat/Pavel.Pokorny 29. 10. 2008 Chaos je zˇivot, periodicita choroba, rovnov´aha smrt.
1
O cˇ em je tento cˇ l´anek?
O deterministick´em chaosu jako jednom typu chov´an´ı dynamick´ych syst´em˚u.
2
Proˇc je ps´an jako rozhovor?
Protoˇze rozhovor je jedn´ım z nejstarˇs´ıch a nejpˇrirozenˇejˇs´ıch zp˚usob˚u sdˇelov´an´ı myˇslenek. Tak´e proto, zˇ e cˇ ten´aˇr z ot´azky rychle pozn´a, o cˇ em je n´asleduj´ıc´ı text, a m˚uzˇ e si jej pˇreˇc´ıst, nebo pˇreskoˇcit, a v´ı, kde pokraˇcovat.
3
Co to znamen´a chaos?
Slovo chaos se pouˇz´ıv´a nejˇcastˇeji ve tˇrech r˚uzn´ych souvislostech: v ˇreck´e mytologii, v bˇezˇ n´em smyslu a ve spojen´ı deterministick´y chaos.
4
Co znamen´a chaos v rˇ eck´e mytologii?
Otevˇreme-li studnici cˇ esk´e vzdˇelanosti – Ott˚uv slovn´ık nauˇcn´y z roku 1897 [23], doˇcteme se pod heslem Chaos o jeho rˇeck´em p˚uvodu toto: ˇ u dle H´esioda prastav vˇsehom´ıra, neˇz byl vlastnˇe Chaos (χ´ αoς od χα´ινω, tedy zej´ıc´ı prostor), u star´ych Rek˚ stvoˇren a uspoˇra´ d´an, kdyˇz l´atka veˇskera jeˇstˇe v temnot´ach byla zmˇetena. Potom vznikla Gaia (Zemˇe) a Er´os (L´aska), z Chaosu pak povstaly Erebos (Tma) a Nyx (Noc), jejichˇz dˇetmi byly Aith´er a H´emer´a. Dle uˇcen´ı orfik˚u vˇsak na poˇca´ tku byl Chronos (ˇcas), z toho teprve vznikly Chaos a Aith´er.
5
Jak´y je bˇezˇ n´y v´yznam slova chaos?
Dnes slovo chaos v bˇezˇ n´em v´yznamu znamen´a zmatek, nepoˇra´ dek, nepˇr´ıtomnost ˇra´ du, jednoty cˇ i jednot´ıc´ı s´ıly. Tedy nˇeco nepˇr´ıjemn´eho a neˇza´ douc´ıho. Urˇcit´ym protip´olem k chaosu v tomto v´yznamu bylo slovo kosmos (z ˇreck´eho κ´ oσµoς), kter´e p˚uvodnˇe znamenalo ˇra´ d, dnes pˇrev´azˇ nˇe prostor, vesm´ır. Ze slova chaos vytvoˇril vl´amsk´y l´ekaˇr a chemik Joan-Baptista van Helmont (1577–1644) slovo gas (plyn). To byl pˇrirozen´y d˚usledek pozn´an´ı, zˇ e to, co dnes oznaˇcujeme slovem plyn, je v´ysledek sloˇzit´eho chov´an´ı jeho molekul.
6
Co to znamen´a deterministick´y chaos?
Tento zd´anliv´y protimluv je dnes jiˇz ust´alen´y odborn´y term´ın oznaˇcuj´ıc´ı urˇcit´y typ sloˇzit´eho chov´an´ı deterministick´eho dynamick´eho syst´emu. Je to oproti bˇezˇ n´emu v´yznamu slova chaos dobr´a zpr´ava“ v tom smyslu, zˇ e pˇr´ıvlastek ” deterministick´y ˇr´ık´a, zˇ e jsme nalezli urˇcit´y ˇra´ d, deterministick´e souvislosti v dˇeji, kter´y se dˇr´ıve jevil jako nesrozumiteln´y. D´ale budeme slova chaos a chaotick´y pouˇz´ıvat pouze v tomto v´yznamu, nezd˚urazn´ıme-li jinak. 1
7
Co to znamen´a sloˇzit´e chov´an´ı?
Volnˇe ˇreˇceno, sloˇzit´ym chov´an´ım mysl´ıme chov´an´ı, kter´e je • omezen´e • neutuchaj´ıc´ı • neperiodick´e.
8
Co to je dynamick´y syst´em?
Uvaˇzujme syst´em (napˇr. mechanick´y, elektrick´y, chemick´y cˇ i biologick´y), jehoˇz stav lze za jist´ych zjednoduˇsuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚u popsat v kaˇzd´em cˇ asov´em okamˇziku t souborem n re´aln´ych promˇenn´ych x(t) ∈ Rn , a necht’ tento jeho stav jednoznaˇcnˇe vypl´yv´a ze stavu v poˇca´ teˇcn´ım okamˇziku. Oznaˇcme symbolem ϕt (x) stav syst´emu v cˇ ase t, jestliˇze jeho stav v cˇ ase 0 byl x. Potom x(t2 ) = ϕt2 −t1 (x(t1 )) bude stav syst´emu v cˇ ase t2 , jestliˇze jeho stav v cˇ ase t1 byl x(t1 ). Mnoˇzinu vˇsech stav˚u syst´emu naz´yv´ame stavov´y neboli f´azov´y prostor. Zobrazen´ı ϕ : Rn × R → Rn se naz´yv´a dynamick´y syst´em na Rn , jestliˇze: 1. ϕ0 (x) = x pro vˇsechna x ∈ Rn . Volnˇe ˇreˇceno: v´yvoj za nulov´y cˇ as nic nezmˇen´ı. 2. Zobrazen´ı ϕt : Rn → Rn je difeomorfismus, tedy zobrazen´ı, kter´e je vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e, spojit´e a hladk´e a to sam´e plat´ı i o jeho inverzn´ım zobrazen´ı. Volnˇe ˇreˇceno: urˇcit´emu stavu v souˇcasnosti pˇr´ısluˇs´ı urˇcit´y a jedin´y stav v libovoln´em okamˇziku v budoucnosti i v minulosti (kter´y ovˇsem z´avis´ı na cˇ ase). 3. ϕt ◦ ϕs = ϕt+s pro vˇsechna t, s ∈ R. Tedy skl´ad´an´ı v´yvoj˚u odpov´ıd´a sˇc´ıtan´ı cˇ as˚u. V praxi se cˇ asto m´ısto se zobrazen´ım ϕ (naz´yvan´ym tak´e tok) pracuje s vektorov´ym polem f : Rn → Rn na prav´e stranˇe soustavy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic (ODR) dx = f (x). dt
(1)
Oznaˇc´ıme-li stav syst´emu m´ısto symbolem x slovem stav a nazveme-li pˇredpis, kter´y stavu syst´emu pˇriˇrazuje rychlost zmˇeny (hnac´ı s´ılu), m´ısto symbolem f slovem fyzika, dostaneme s trochou nads´azky d stav = fyzika (stav). dt Soustava ODR (1) definuje dynamick´y syst´em se spojit´ym cˇ asem (spojit´y dynamick´y syst´em), zat´ımco diferenˇcn´ı rovnice xn+1 = f (xn ) (2) definuje dynamick´y syst´em s diskr´etn´ım cˇ asem (diskr´etn´ı dynamick´y syst´em). Hovoˇr´ıme-li tedy o vlastnostech dynamick´eho syst´emu, mus´ıme vˇzdy rozliˇsovat, m´ame-li na mysli syst´em s diskr´etn´ım cˇ i se spojit´ym cˇ asem. Z toku ϕ lze snadno naj´ıt pole f pro (1) derivov´an´ım dϕt (x) . f (x) = dt t=0 Obr´acen´y postup je sloˇzitˇejˇs´ı. Je-li pole f v (1) Lipschitzovsk´e, tj. ∃k > 0 ∀x, y ∈ Rn ||f (x) − f (y)|| ≤ k||x − y||, pak k dan´emu poli f existuje jednoznaˇcn´y lok´aln´ı tok ϕ (a tedy i jednoznaˇcn´e ˇreˇsen´ı dan´e soustavy diferenci´aln´ıch rovnic), ale aˇz na v´yjimeˇcnˇe jednoduch´e pˇr´ıpady jej nelze vyj´adˇrit analyticky. Podobnˇe jako dovedeme zderivovat kaˇzdou hladkou funkci, ale vyj´adˇrit primitivn´ı funkci analyticky je, aˇz na v´yjimeˇcnˇe jednoduch´e pˇr´ıpady, nemoˇzn´e.
2
ˇ ˚ nuje, Proˇc se zduraz zˇ e jde o neline´arn´ı dynamick´y syst´em?
9
Dynamick´e syst´emy, a to plat´ı pro diskr´etn´ı i spojit´e, se dˇel´ı na dvˇe disjunktn´ı tˇr´ıdy: line´arn´ı a neline´arn´ı, podle toho, je-li zobrazen´ı f line´arn´ı cˇ i nikoliv. Pˇripomeˇnme definici line´arn´ıho zobrazen´ı. ˇ ık´ame, zˇ e zobrazen´ı f z vektorov´eho prostoru do vektorov´eho prostoru je line´arn´ı, jestliˇze plat´ı Definice. R´ 1. f (cx) = cf (x) 2. f (x + y) = f (x) + f (y) pro vˇsechna x, y ∈ D(f ) a pro vˇsechna c ∈ R. Line´arn´ı syst´emy (koneˇcn´e dimenze) jsou pomˇernˇe d˚ukladnˇe teoreticky prozkoum´any, ale jejich ˇreˇsen´ı nemohou vykazovat chaos. Naproti tomu neline´arn´ı syst´emy jsou pro analytick´e zkoum´an´ı obt´ızˇ n´e a v ˇradˇe pˇr´ıpad˚u se mus´ıme (zat´ım) spokojit pouze s numerickou anal´yzou, kter´a silnˇe vyuˇz´ıv´a modern´ı v´ypoˇcetn´ı techniku. Pr´avˇe proto se t´eto oblasti vˇenuje tak velk´a pozornost aˇz v posledn´ı dobˇe. Zd˚uraznˇeme jeˇstˇe, zˇ e z praktick´eho pohledu rozd´ıl mezi line´arn´ım a neline´arn´ım syst´emem m˚uzˇ e z´aviset na volbˇe rozsahu hodnot. Napˇr. elektrick´y zesilovaˇc se pro mal´a vstupn´ı napˇet´ı m˚uzˇ e chovat line´arnˇe (v´ystupn´ı napˇet´ı je pˇr´ımo u´ mˇern´e vstupn´ımu), zat´ımco pro velk´a vstupn´ı napˇet´ı se bude chovat neline´arnˇe (v´ystupn´ı napˇet´ı bude omezen´e nap´ajec´ım napˇet´ım). Oboru, kter´y studuje neline´arn´ı dynamick´e syst´emy se ˇr´ık´a neline´arn´ı dynamika a zasahuje do aplikovan´e a numerick´e matematiky, fyziky, chemie, chemick´eho inˇzen´yrstv´ı, biologie, ekonomie a dalˇs´ıch obor˚u.
10
Kde se pojem deterministick´y chaos objevil poprv´e?
Poprv´e byl pojem chaos v t´eto souvislosti pouˇzit v pr´aci [17] s dnes jiˇz legend´arn´ım n´azvem Period three implies ” chaos“. Volnˇe ˇreˇceno: jestliˇze pro nˇejakou spojitou funkci f : R → R v (2) existuje bod x s periodou 3, tedy bod, pro kter´y plat´ı f (f (f (x))) = x, potom existuj´ı body s libovolnou periodou. ˇ Nen´ı bez zaj´ımavosti, zˇ e tento v´ysledek plyne z obecnˇejˇs´ı vˇety, kterou dˇr´ıve neˇz Li a Yorke dok´azal Sarkovskij ˇ y koment´aˇr k t´eto pr´aci vyˇsel v [2]. [28]. Cesk´
11
Jak´a je definice deterministick´eho chaosu?
Devaney [6] definuje deterministick´y chaos (pro dynamick´y syst´em s diskr´etn´ım cˇ asem) tˇremi podm´ınkami: 1. citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach, 2. hust´a mnoˇzina periodick´ych bod˚u, 3. tranzitivnost.
12
Co to je citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach?
Sledujme, co se stane, jestliˇze nepatrnˇe zmˇen´ıme poˇca´ teˇcn´ı podm´ınku x(0) pro ODR (1), resp. x0 pro (2). Je-li zmˇena mal´a a je-li prav´a strana ODR spojit´a, bude i zmˇena prav´e strany mal´a, tedy trajektorie vych´azej´ıc´ı z nov´e poˇca´ teˇcn´ı podm´ınky bude zpoˇca´ tku bl´ızk´a p˚uvodn´ı trajektorii. Budou-li se vˇsechny takto zmˇenˇen´e trajektorie (vych´azej´ıc´ı z jist´eho okol´ı p˚uvodn´ı poˇca´ teˇcn´ı podm´ınky) drˇzet bl´ızko p˚uvodn´ı trajektorie, ˇr´ık´ame, zˇ e je p˚uvodn´ı trajektorie stabiln´ı. Naopak citlivou z´avislost´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach naz´yv´ame stav, kdy libovolnˇe bl´ızk´a trajektorie se bude vzdalovat. V typick´em pˇr´ıpadˇe se bude vzdalovat exponenci´alnˇe s cˇ asem. Chov´an´ı t´eto bl´ızk´e trajektorie z´avis´ı na smˇeru, kter´ym se poˇca´ teˇcn´ı podm´ınka zmˇen´ı. Existuje-li jak smˇer, ve kter´em je trajektorie stabiln´ı, tak i smˇer, ve kter´em je nestabiln´ı, pak takovou trajektorii naz´yv´ame sedlo. To je typick´y pˇr´ıpad. Citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach m´a ˇradu z´avaˇzn´ych d˚usledk˚u, jak pro numerick´e simulace, tak pro moˇznost pˇredpov´ıd´an´ı chov´an´ı syst´emu. Z´avˇerem tohoto odstavce bychom chtˇeli zd˚uraznit rozd´ıl mezi
3
• citlivou z´avislost´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach, kter´a hovoˇr´ı o rozb´ıh´an´ı trajektori´ı, kter´e vych´azej´ı ze dvou bl´ızk´ych poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek pro stejnou volbu parametr˚u, a mezi • bifurkac´ı, kter´a znamen´a kvalitativn´ı zmˇenu f´azov´eho portr´etu, kdyˇz vybran´y parametr syst´emu pˇrekroˇc´ı kritickou, tzv. bifurkaˇcn´ı, hodnotu.
13
˚ Co to je hust´a mnoˇzina periodick´ych bodu?
Periodick´ym bodem dynamick´eho syst´emu (2) rozum´ıme bod x, pro nˇejˇz existuje pˇrirozen´e cˇ´ıslo k takov´e, zˇ e k-t´a iterace bodu x je rovna bodu x, tedy f k (x) = x. ˇ ık´ame, zˇ e mnoˇzina A je Nejmenˇs´ı takov´e cˇ´ıslo k se naz´yv´a perioda bodu x. Bod s periodou 1 se naz´yv´a pevn´y bod. R´ hust´a v mnoˇzinˇe B, jestliˇze pro kaˇzd´e ε > 0 a kaˇzd´y bod y ∈ B existuje bod x ∈ A takov´y, zˇ e ||x − y|| < ε. Pˇr´ıklad: ukaˇzme si syst´em s hustou mnoˇzinou periodick´ych bod˚u. Uvaˇzujme dynamick´y syst´em (naz´yvan´y Bernoulliho shift, cˇ ili posun) kde f (x) = 2x mod 1 (3) xn+1 = f (xn ), pro x ∈ h0; 1), viz obr. 1. f (x) 1
6
-
x
1 Obr. 1: Bernoulliho shift pˇredstavuje element´arn´ı pˇr´ıklad syst´emu s hustou mnoˇzinou periodick´ych bod˚u a tak´e element´arn´ı pˇr´ıklad deterministick´eho chaosu. Zap´ısˇeme-li cˇ´ıslo x ∈ h0; 1) ve dvojkov´e soustavˇe, potom s kaˇzdou iterac´ı funkce f se d´ıky n´asoben´ı dvˇema vˇsechny cˇ´ıslice posunou o jedno m´ısto doleva. A d´ıky operaci mod 1 se vynuluj´ı vˇsechna m´ısta vlevo od desetinn´e cˇ a´ rky. Uk´azˇ eme, zˇ e toto zobrazen´ı m´a hustou mnoˇzinu periodick´ych bod˚u. Ke kaˇzd´emu y ∈ h0; 1) a ke kaˇzd´emu ε > 0 vytvoˇr´ıme x ∈ h0; 1) tak, aby 1. x byl periodick´y bod syst´emu (3), tedy aby urˇcit´a iterace funkce f na tento bod dala opˇet tento bod; to ale v pˇr´ıpadˇe Bernoulliho shiftu vlastnˇe znamen´a, zˇ e se urˇcit´a koneˇcn´a posloupnost cˇ´ıslic v dvojkov´em z´apise cˇ´ısla x mus´ı periodicky opakovat, a 2. aby byl bod x bodu y bl´ızˇ e neˇz ε. K tomu je nutn´e a staˇc´ı, aby se dvojkov´e z´apisy cˇ´ısel x a y shodovaly na prvn´ıch k m´ıstech, kde k je − ln2 ε zaokrouhleno nahoru. Takˇze cˇ´ıslo x vytvoˇr´ıme tak, zˇ e op´ısˇeme prvn´ıch k dvojkov´ych cˇ´ıslic cˇ´ısla y a za nˇe tuto stejnou skupinku cˇ´ıslic periodicky st´ale opisujeme. Tak dostaneme bod x s periodou k, kter´y se na prvn´ıch k m´ıstech shoduje s y, takˇze je od nˇej vzd´alen m´enˇe neˇz ε. Tento dynamick´y syst´em je d˚uleˇzit´y, protoˇze je to tak´e element´arn´ı pˇr´ıklad syst´emu vykazuj´ıc´ı deterministick´y chaos.
14
Co to znamen´a tranzitivnost?
Definice: Zobrazen´ı f : X → X je (topologicky) tranzitivn´ı na nˇejak´e invariantn´ı mnoˇzinˇe Y , jestliˇze orbita {f n (p)} nˇejak´eho bodu p je hust´a v Y .
4
Birkhoff dok´azal, zˇ e f je tranzitivn´ı na Y pr´avˇe tehdy, kdyˇz pro libovoln´e dvˇe mnoˇziny U, V otevˇren´e v Y existuje kladn´e n takov´e, zˇ e f n (U ) ∩ V 6= ∅. Volnˇe ˇreˇceno: zˇ e se odkudkoliv (obˇcas) dostaneme libolnˇe bl´ızko kamkoliv.
15
Co to znamen´a m´ıchaj´ıc´ı syst´em?
To je silnˇejˇs´ı podm´ınka: f je m´ıchaj´ıc´ı, kdyˇz pro libovoln´e dvˇe otevˇren´e mnoˇziny U, V ⊂ Y existuje n0 takov´e, zˇ e f n (U ) ∩ V 6= ∅ pro vˇsechna n > n0 . Volnˇe ˇreˇceno: obrazy U se jednou pˇrekryj´ı s V a uˇz ji nikdy zcela neopust´ı.
16
Jsou tyto tˇri podm´ınky v Devaneyho definici chaosu nez´avisl´e?
Nejsou. Napˇr. Banks et. al. [4] dok´azali, zˇ e z tranzitivity a hust´e mnoˇziny periodick´ych bod˚u plyne citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach.
17
Co to jsou Lyapunovovy exponenty?
Lyapunovovy exponenty jsou cˇ´ısla, kter´a popisuj´ı rozb´ıhavost bl´ızk´ych trajektori´ı. Zhruba ˇreˇceno: vzd´alenost bl´ızk´ych trajektori´ı je u´ mˇern´a exp(λn) pro diskr´etn´ı cˇ as a exp(λt) pro spojit´y cˇ as, kde λ je Lyapunov˚uv exponent. Kladn´e λ znaˇc´ı rozb´ıh´an´ı, z´aporn´e λ znaˇc´ı pˇribliˇzov´an´ı trajektori´ı. Je-li alespoˇn jeden Lyapunov˚uv exponent kladn´y, je to povaˇzov´ano za dostateˇcn´y sign´al, zˇ e se studovan´y syst´em chov´a chaoticky (pro zvolen´e poˇca´ teˇcn´ı podm´ınky a zvolen´e hodnoty parametr˚u). Trochu pˇresnˇeji: pro dynamick´y syst´em s diskr´etn´ım cˇ asem xn+1 = f (xn ) lze cˇ asov´y v´yvoj odchylky vyj´adˇrit diferenci´alem dxn+1 = J(xn ) · dxn , kde Jij =
∂fi ∂xj
je Jacobiho matice parci´aln´ıch derivac´ı zobrazen´ı f . Potom dxn =
n−1 Y
J(xi ) · dx0
i=0
je line´arn´ı z´avislost dxn na dx0 . Tedy obrazem jednotkov´e koule je elipsoid. Lyapunovovy exponenty jsou stˇredn´ı hodnoty logaritmu rychlosti r˚ustu jeho poloos λ(dx0 ) = lim
n→∞
1 ||dxn || ln . n ||dx0 ||
Ty z´avis´ı na volbˇe dx0 . Pro r˚uzn´e volby dx0 dostaneme tolik Lyapunovov´ych exponent˚u, kolik je dimenze stavov´eho prostoru (tolik poloos m´a v´ysˇe zm´ınˇen´y elipsoid). A nejvˇetˇs´ı Lyapunov˚uv exponent je λmax = sup λ(dx0 ). dx0
5
Tuto hodnotu dostaneme pro skoro vˇsechny volby dx0 . Pro dynamick´y syst´em se spojit´ym cˇ asem dx = f (x) dt lze cˇ asov´y v´yvoj odchylky y(t) = δx(t) vyj´adˇrit variaˇcn´ı rovnic´ı dy = J(x(t)) · y(t). dt Zde z´avislost y(t) na y(0) je opˇet line´arn´ı a tedy obrazem jednotkov´e koule je opˇet elipsoid. Lyapunovovy exponenty jsou opˇet stˇredn´ı hodnoty logaritmu rychlosti r˚ustu jeho poloos λ(y(0)) = lim
T →∞
1 ||y(T )|| ln T ||y(0)||
a nejvˇetˇs´ı Lyapunov˚uv exponent je opˇet λmax = sup λ(y(0)). y(0)
Tuto hodnotu dostaneme opˇet pro skoro vˇsechny volby y(0). Urˇcit´e hodnoty Lyapunovov´ych exponent˚u pˇr´ısluˇs´ı jedn´e konkr´etn´ı orbitˇe {xn }∞ etn´ı cˇ as), popˇr. jedn´e n=0 (pro diskr´ konkr´etn´ı trajektorii x(t) (pro spojit´y cˇ as), tedy urˇcit´e poˇca´ teˇcn´ı podm´ınce a urˇcit´e volbˇe hodnot parametr˚u, pokud zobrazen´ı f z´avis´ı na parametrech. Vyˇsetˇrov´an´ı z´avislosti Lyapunovov´ych exponent˚u na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach a na parametrech patˇr´ı mezi cˇ ast´e u´ lohy, kter´e odhal´ı o syst´emu d˚uleˇzit´e informace vyuˇziteln´e i z praktick´eho hlediska.
18
Jak se Lyapunovovy exponenty poˇc´ıtaj´ı?
Hled´an´ı Lyapunovov´ych exponent˚u se prov´ad´ı dvˇema zcela rozd´ıln´ymi zp˚usoby podle toho, je-li zn´am dynamick´y syst´em nebo ne: 1. Je-li zn´am model, m˚uzˇ eme pouˇz´ıt postup uveden´y v pˇrechoz´ı cˇ a´ sti, tedy numerickou integrac´ı variaˇcn´ıch rovnic spolu s p˚uvodn´ı soustavou ODR v pˇr´ıpadˇe spojit´eho cˇ asu, nebo n´asoben´ı Jacobiho matic v pˇr´ıpadˇe diskr´etn´ıho cˇ asu. 2. Nen´ı-li zn´am model a m´ame k dispozici pouze experiment´aln´ı data napˇr. v podobˇe cˇ asov´e ˇrady, mus´ıme nejprve pouˇz´ıt metodu zpoˇzdˇen´ı pro rekonstrukci atraktoru a potom poˇc´ıtat Lyapunovovy exponenty porovn´an´ım zmˇen vzd´alenost´ı bl´ızk´ych bod˚u a jejich n´asledovn´ık˚u. Zde se budeme zab´yvat pouze pˇr´ıpadem, kdy je model zn´am.
19
˚ zeme si uv´est nˇejak´y pˇr´ıklad? Muˇ
Spoˇctˇeme Lyapunov˚uv exponent pro syst´em (3). Protoˇze se jedn´a o jednorozmˇern´y syst´em, m´a jedin´y Lyapunov˚uv exponent. A protoˇze f 0 (x) = 2 je Lyapunov˚uv exponent λ = ln 2 nez´avisle na poˇca´ teˇcn´ı podm´ınce. Tento syst´em nem´a parametry, takˇze nelze vyˇsetˇrovat z´avislost Lyapunovov´ych exponent˚u na parametrech.
6
20
Jeˇstˇe jeden pˇr´ıklad?
Uvaˇzujme plyn pˇri pokojov´e teplotˇe za norm´aln´ıho tlaku uzavˇren´y v n´adobˇe tvaru kv´adru, viz [8]. Jeho molekuly vz´ajemn´ymi sr´azˇ kami neust´ale mˇen´ı sv´e polohy a rychlosti. Odhadnˇeme nejvˇetˇs´ı Lyapunov˚uv exponent λmax odpov´ıdaj´ıc´ı dynamice jejich vz´ajemn´ych sr´azˇ ek. Pˇredpokl´adejme pro jednoduchost, zˇ e molekuly plynu jsou identick´e koule. Bylo by sice zaj´ımavˇejˇs´ı uvaˇzovat dvouatom´arn´ı plyn, protoˇze to je bl´ızˇ e vzduchu, ve kter´em zˇ ijeme, ale n´am zde bude staˇcit toto hrub´e pˇribl´ızˇ en´ı pro alespoˇn ˇra´ dov´y odhad Lyapunovova exponentu. Sr´azˇ ku dvou molekul pop´ısˇeme v takov´e souˇradn´e soustavˇe, kde je jejich spoleˇcn´e tˇezˇ iˇstˇe v klidu a v poˇca´ tku soustavy. Z obr. 2 lze odvodit z´avislost u´ hlu α, ve kter´em je zalomena dr´aha molekuly, na vzd´alenosti b stˇredu molekuly od pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı poˇca´ tkem a rovnobˇezˇ n´e s rychlostmi molekul pˇred sr´azˇ kou α = π − 2 arcsin
2b , d
kde d je pr˚umˇer molekuly. 6 B B B B B
6 B B B B B
6 B B B B B
-
-
Obr. 2: Dvˇe molekuly (a) pˇred sr´azˇ kou, (b) pˇri sr´azˇ ce, (c) po sr´azˇ ce. Mal´a zmˇena δα0 smˇeru dr´ahy jedn´e molekuly se po stˇredn´ı voln´e dr´aze l ≈ 10−6 m molekuly mezi dvˇema sr´azˇ kami projev´ı jako δb ≈ l δα0 a tato zmˇena se po sr´azˇ ce projev´ı jako nov´a zmˇena u´ hlu δα1 =
4 4 4l δb ≈ δb ≈ δα0 , d | sin α/2| d d
takˇze po n sr´azˇ k´ach bude odchylka δαn ≈ (
4l n ) δα0 . d
Oznaˇc´ıme-li stˇredn´ı dobu mezi dvˇema sr´azˇ kami T1 = kde
r v=
l , v
3kB T m
. . je stˇredn´ı kvadratick´a rychlost molekul, kB = 1,38 × 10−23 J/K je Boltzmannova konstanta, T = 300 K je absolutn´ı −26 −10 teplota, m ≈ 5 × 10 kg je hmotnost jedn´e molekuly, d ≈ 10 m je pr˚umˇer molekuly, % ≈ 3 × 1025 m−3 je poˇcet cˇ a´ stic na jednotku objemu, bude nejvˇetˇs´ı Lyapunov˚uv exponent λmax = lim
n→∞
δαn v 4l 1 ln | | ≈ ln ≈ 5 × 109 nat/s. nT1 δα0 l d
Jednotka nat znaˇc´ı, zˇ e jsme pouˇzili pˇrirozen´y logaritmus, kdybychom pouˇzili dekadick´y logaritmus, byl by v´ysledek v digits/s.
7
21
Jak´y je rozd´ıl mezi disipativn´ım a konzervativn´ım syst´emem?
M´ame-li deterministick´y dynamick´y syst´em, napˇr. soustavu obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic, potom, je-li prav´a strana ODR Lipschitzovsk´a, z kaˇzd´e poˇca´ teˇcn´ı podm´ınky - z kaˇzd´eho bodu ve f´azov´em prostoru - vych´az´ı pr´avˇe jedna trajektorie - kˇrivka ve f´azov´emm prostoru. Uvaˇzujme nyn´ı malou kouli poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek a jej´ı v´yvoj v cˇ ase. Tento u´ tvar, p˚uvodnˇe koule v cˇ ase 0, se bude s cˇ asem deformovat. D˚uleˇzit´a ot´azka je, jak se mˇen´ı s cˇ asem t objem V (t) tohoto u´ tvaru I Z dV = f · dS = divf dV. dt S(t)
V (t)
Dynamick´e syst´emy, pro kter´e je tento objem v cˇ ase konstantn´ı, tedy pro kter´e je divf = 0, se nˇekdy naz´yvaji konzervativn´ı. Sem patˇr´ı napˇr. hamiltonovsk´e syst´emy. Tyto syst´emy se objevuj´ı jako modely mechanick´ych syst´em˚u, kde neuvaˇzujeme disipaci energie tˇren´ım (energie je tedy zachov´ana, angl. conserved – odtud n´azev konzervativn´ı), a pouˇz´ıvaj´ı se pˇri popisu mikroskopick´ych syst´em˚u a tak´e pˇri studiu nebesk´e mechaniky. Ve skuteˇcnosti vˇzdy k disipaci energie doch´az´ı (napˇr. v pˇr´ıpadˇe nebesk´e mechaniky slapov´e s´ıly vyvol´avaj´ı pˇr´ıliv a odliv, cˇ´ımˇz je cˇ a´ st mechanick´e energie disipov´ana). Naproti tomu u model˚u, kter´e popisuj´ı syst´emy s lidsk´ymi mˇeˇr´ıtky, b´yv´a divf < 0. Takov´eto syst´emy se naz´yvaj´ı disipativn´ı a objem sledovan´e oblasti f´azov´eho prostoru s cˇ asem kles´a k nule.
22
Co to je atraktor?
Zhruba ˇreˇceno, atraktor je mnoˇzina ve f´azov´em prostoru, ke kter´e jsou pˇritahov´any (atrahov´any) trajektorie. Pˇresnˇeji: je to mnoˇzina, kter´a splˇnuje tyto tˇri podm´ınky: • Je invariantn´ı, tj. trajektorie, kter´a v t´eto mnoˇzinˇe zaˇc´ın´a, ji neopust´ı. • M´a oblast pˇritaˇzlivosti, tj. otevˇrenou mnoˇzinu takovou, zˇ e trajektorie, kter´a v t´eto mnoˇzinˇe zaˇc´ınaj´ı, se pˇribliˇzuj´ı k atraktoru. • Je nerozloˇziteln´a, tj. nem´a vlastn´ı podmnoˇzinu (tj. podmnoˇzinu, kter´a se nerovn´a t´eto mnoˇzinˇe), kter´a splˇnuje v´ysˇe uveden´e dvˇe podm´ınky. Dan´y dynamick´y syst´em m˚uzˇ e m´ıt jeden nebo v´ıce koexistuj´ıc´ıch atraktor˚u. Kaˇzd´y atraktor pak m´a svoji oblast pˇritaˇzlivosti. Ke kter´emu z moˇzn´ych atraktor˚u se urˇcit´a trajektorie bude pˇribliˇzovat, z´avis´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach. Opakem atraktoru je repelor, tedy mnoˇzina, od kter´e se trajektorie vzdaluj´ı. Pˇri inverzi cˇ asu pˇrejde atraktor na repelor a naopak. Pokud je invariantn´ı mnoˇzina stabiln´ı pouze v urˇcit´em smˇeru a v jin´em smˇeru nestabiln´ı, pak se naz´yv´a sedlo.
23
Co to je frakt´al?
Volnˇe ˇreˇceno, frakt´al je mnoˇzina, kter´a m´a velice cˇ lenitou hranici. Kdyˇz se na tuto hranici pod´ıv´ame v jemnˇejˇs´ım mˇeˇr´ıtku, (dnes se ˇr´ık´a, zˇ e provedeme zoom), tak objev´ıme dalˇs´ı detaily, kter´e mohou b´yt podobn´e p˚uvodn´ımu obrazu. Proto se takov´ym mnoˇzin´am tak´e ˇr´ık´a samopodobn´e (self–similar).
24
Jak souvis´ı frakt´aly a chaos?
Pˇri studiu dynamick´ych syst´em˚u se cˇ asto setk´ame s frakt´aly ve dvou r˚uzn´ych pˇr´ıpadech: • Atraktor chaotick´eho dynamick´eho syst´emu m˚uzˇ e (ale nemus´ı) b´yt frakt´alem. 8
• Pˇri studiu z´avislosti typu chov´an´ı dynamick´eho syst´emu na vybran´ych parametrech syst´emu nebo na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach m˚uzˇ e mnoˇzina v parametrick´em prostoru, kter´a odpov´ıd´a dan´emu typu chov´an´ı, m´ıt frakt´aln´ı strukturu.
25
Jak vznik´a frakt´aln´ı atraktor?
Pro chaotick´e chov´an´ı je typick´a citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach. Takˇze naˇse koule ve f´azov´em prostoru se bude v jednom (nebo v´ıce) smˇerech roztahovat a v jin´ych smˇerech naopak smrˇst’ovat. Poˇcet smˇer˚u, ve kter´ych se roztahuje, je roven poˇctu kladn´ych Lyapunovov´ych exponent˚u. V pˇr´ıpadˇe model˚u re´aln´ych fyzik´aln´ıch syst´em˚u je v´yvoj omezen v jist´e ohraniˇcen´e cˇ a´ sti f´azov´eho prostoru. Potom vedle roztahov´an´ı mus´ı doch´azet ke skl´ad´an´ı (angl. stretching and folding). To je schematicky zn´azornˇeno na obr. 3.
#
"!
Obr. 3: Schematick´e zn´azornˇen´ı roztahov´an´ı a skl´ad´an´ı ve f´azov´em prostoru. Mal´a koule poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek se roztahuje v nˇekter´ych smˇerech a souˇcasnˇe smrˇst’uje v jin´ych smˇerech. Pˇritom se tento u´ tvar oh´yb´a a skl´ad´a tak, zˇ e vypln´ı podobnou cˇ a´ st f´azov´eho prostoru jako p˚uvodn´ı koule, ale ˇridˇceji – prostˇredn´ı cˇ a´ st chyb´ı. Tento proces se neust´ale opakuje, cˇ´ımˇz vznik´a frakt´aln´ı struktura. Pˇri jednom takov´em kroku dostaneme u´ tvar, ve kter´em v pr˚uˇrezu chyb´ı prostˇredn´ı cˇ a´ st o relativn´ı velikosti q, napˇr. 33 %. V dalˇs´ım kroku ze zb´yvaj´ıc´ıch krajn´ıch cˇ ast´ı opˇet zmiz´ı jejich prostˇredn´ı cˇ a´ st o relativn´ı velikosti q atd. Po nekoneˇcnˇe mnoha takov´ychto kroc´ıch vznikne u´ tvar, kter´y se naz´yv´a Cantorova mnoˇzina. Spoˇctˇeme si kapacitn´ı dimenzi Cantorovy mnoˇziny, kterou dostaneme z jednotkov´e u´ seˇcky tak, zˇ e pˇri kaˇzd´em kroku odstran´ıme z kaˇzd´e souvisl´e cˇ a´ sti prostˇredn´ı d´ıl o relativn´ı velikosti q. Dimenzi line´arn´ıho vektorov´eho prostoru lze definovat jako poˇcet prvk˚u b´aze. Napˇr. dimenze pˇr´ımky je 1, dimenze roviny je 2. Kapacitn´ı dimenze (angl. capacity dimension, nebo tak´e box counting dimension) dan´e mnoˇziny je zobecnˇen´ım pojmu dimenze n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem. Necht’ N (ε) je nejmenˇs´ı poˇcet hyperkrychliˇcek o hranˇe ε nutn´ych pro pokryt´ı dan´e mnoˇziny. Napˇr. pro pokryt´ı jednotkov´e u´ seˇcky u´ seˇckami o d´elce ε je tˇreba alespoˇn N (ε) = 1ε tˇechto mal´ych u´ seˇcek. ˇ ık´ame, zˇ e u´ seˇcka m´a dimenzi 1. Pro pokryt´ı jednotkov´eho cˇ tverce mal´ymi cˇ tvereˇcky o d´elce hrany ε je tˇreba R´ ˇ ık´ame, zˇ e cˇ tverec m´a dimenzi 2. Pro pokryt´ı jednotkov´e krychle alespoˇn N (ε) = ( 1ε )2 tˇechto mal´ych cˇ tvereˇck˚u. R´ ˇ ık´ame, zˇ e krychle mal´ymi krychliˇckami o d´elce hrany ε je tˇreba alespoˇn N (ε) = ( 1ε )3 tˇechto mal´ych krychliˇcek. R´ m´a dimenzi 3. Kapacitn´ı dimenze je definov´ana jako exponent ve vztahu mezi nutn´ym poˇctem N mal´ych hyperkrychliˇcek o d´elce hrany ε a jejich hranou ε D 1 N (ε) ≈ ε tedy D = lim
ε→0+
ln N (ε) . − ln ε
Vrat’me se zpˇet k naˇs´ı Cantorovˇe mnoˇzinˇe. Po n dˇelen´ıch je tˇreba Nn = 2n u´ seˇcek o d´elce
εn =
1−q 2
9
n ,
(4)
takˇze jej´ı kapacitn´ı dimenze je ln Nn ln 2 ln 2n = = lim . n→∞ − ln εn n→∞ − ln( 1−q )n ln 2 − ln(1 − q) 2
D = lim Napˇr. pro
q = 1/3 dostaneme
ln 2 . = 0,63093. ln 3 Nab´ız´ı se ot´azka, jak´a bude dimenze u´ tvaru, kter´y vznikne z u´ seˇcky tak, zˇ e v kaˇzd´em kroku odstran´ıme cˇ a´ st, kter´a nen´ı prostˇredn´ı. Jeˇstˇe obecnˇeji m˚uzˇ eme uvaˇzovat mnoˇzinu, kter´a se skl´ad´a z m podmnoˇzin, pˇriˇcemˇz k-t´a podmnoˇzina je rk -kr´at zmenˇsen´a verze p˚uvodn´ı mnoˇziny. Pro pˇribl´ızˇ en´ı, v naˇsem pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe Cantorovy mnoˇziny jsme mˇeli m = 2 a pomˇery zmenˇsen´ı byly 2 . r1 = r2 = 1−q D=
Hled´ame dimenzi D, pro kterou plat´ı (4). Pro pokryt´ı k-t´e podmnoˇziny hyperkrychliˇckami o hranˇe ε je zapotˇreb´ı pr´avˇe tolik hyperkrychliˇcek, jako pro pokryt´ı cel´e mnoˇziny hyperkrychliˇckami o hranˇe rk ε tedy Nk =
1 rk ε
D .
Souˇcet tˇechto cˇ´ısel je poˇcet hyperkrychliˇcek nutn´ych pro pokryt´ı cel´e mnoˇziny, tedy m X
Nk = N
k=1
D D m X 1 1 = rk ε ε
k=1
a tak dost´av´ame vztah
D m X 1 = 1, rk
k=1
z kter´eho lze urˇcit dimenzi i v tomto obecn´em pˇr´ıpadˇe.
26
Jak souvis´ı dynamika a frakt´aln´ı atraktor?
Odvod’me kvalitativn´ı vztah mezi cˇ asov´ym popisem chaotiˇcnosti dynamick´eho syst´emu, tedy Lyapunovov´ymi exponenty na jedn´e stranˇe a statick´ymi geometrick´ymi vlastnostmi atraktoru tedy jeho kapacitn´ı dimenz´ı na stranˇe druh´e. Uvaˇzujme pro jednoduchost tˇr´ırozmˇern´y dynamick´y syst´em se spojit´ym cˇ asem se tˇremi Lyapunovov´ymi exponenty: • λ1 > 0 (ten souvis´ı s citlivou z´avislost´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach) • λ2 = 0 (ten odpov´ıd´a zmˇenˇe poˇca´ teˇcn´ı podm´ınky ve smˇeru trajektorie) • λ3 < 0 (ten souvis´ı se smrˇst’ov´an´ım). Pro disipativn´ı syst´em bude λ1 + λ3 < 0. Uvaˇzujme v´yvoj po takov´y cˇ as T , aby exp(λ1 T ) = 2, tedy aby se p˚uvodn´ı mnoˇzina poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek rozt´ahla dvakr´at. Za tuto dobu se ve smˇeru odpov´ıdaj´ıc´ım smrˇst’ov´an´ı vytvoˇr´ı skl´ad´an´ım uprostˇred mezera o relativn´ı sˇ´ıˇrce q a dvˇe postrann´ı cˇ a´ sti o relativn´ı sˇ´ıˇrce 1−q = exp(λ3 T ). 2 10
a 4
3
2
1
0 b 1
0
2
3
4
Obr. 4: Z´avislost Lyapunovova exponentu syst´emu (5) na parametrech a a b. Takˇze q = 1 − 2 exp(λ3 T ) a kapacitn´ı dimenze atraktoru bude D =2+
ln 2 λ1 ln 2 =2+ =2+ . ln 2 − ln(2 exp(λ3 T )) −λ3 T |λ3 |
Dvojka, kterou pˇrid´av´ame, odpov´ıd´a dvˇema dalˇs´ım smˇer˚um (smˇer trajektorie a smˇer rozp´ın´an´ı). Tento vztah se naz´yv´a Kaplanova - Yorkova domnˇenka a uv´ad´ı do souvislosti statick´e vlastnosti atraktoru vyj´adˇren´e dimenz´ı a dynamick´e vlastnosti vyj´adˇren´e Lyapunovov´ymi exponenty.
27
Mus´ı b´yt podivn´y atraktor chaotick´y a naopak?
Atraktory, kter´e maj´ı neceloˇc´ıselnou dimenzi, se naz´yvaj´ı podivn´e (angl. strange) atraktory. Atraktory dynamick´ych syst´em˚u s citlivou z´avislost´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach se naz´yvaj´ı chaotick´e atraktory. Protoˇze je cˇ ast´y pˇr´ıpad, kdy je atraktor jak podivn´y, tak chaotick´y, b´yvaj´ı tyto dva pojmy cˇ asto zamˇenˇ ov´any. Pˇresto existuj´ı i podivn´e nechaotick´e atraktory [24], [25].
28
Jak vznikaj´ı frakt´aly v parametrick´em prostoru?
Uvaˇzujme napˇr. diskr´etn´ı dynamick´y syst´em se dvˇema parametry xn+1 = fa,b (xn ), 11
(5)
a 2
1.8
1.6
1.4
1.2 b 1.6
1.8
2
2.2
2.4
Obr. 5: V´yˇrez z obr´azku 4 ukazuj´ıc´ı frakt´aln´ı strukturu v parametrick´em prostoru. kde fa,b (x) = a sin(πx) + b. Pro a = b = 0 m´a tento syst´em jedin´y pevn´y bod x = 0, kter´y je stabiln´ı. Pˇri rostouc´ım parametru a ztrat´ı pevn´y bod . x = 0 stabilitu, kdyˇz parametr a pˇrekroˇc´ı kritickou hodnotu a1 = π1 = 0,31831, a dojde k bifurkaci typu vidliˇcka (pitchfork bifurcation). Pˇri n´ı vlastn´ı cˇ´ıslo linearizovan´eho syst´emu (derivace funkce f ) opust´ı jednotkovou kruˇznici v bodˇe z = 1. Vznikne dvojice nov´ych pevn´ych bod˚u, kter´e jsou stabiln´ı. Pˇri dalˇs´ım zvˇetˇsov´an´ı parametru a dojde k bifurkaci zdvojen´ı periody (period doubling bifurcation) pˇri pˇrekroˇcen´ı . kritick´e hodnoty a2 = 0,719962. Pˇri t´eto bifurkaci vlastn´ı cˇ´ıslo linearizovan´eho syst´emu opust´ı jednotkovou kruˇznici v bodˇe z = −1, tyto dva pevn´e body ztrat´ı stabilitu a z kaˇzd´eho z nich se odvˇetv´ı kˇrivka dvouperiodick´ych bod˚u. N´asleduje Feigenbaumova kask´ada zdvojov´an´ı periody a oblast deterministick´eho chaosu. Pˇri dalˇs´ım r˚ustu parametru a se stˇr´ıdaj´ı okna s periodick´ym a chaotick´ym reˇzimem. Pevn´y bod je ˇreˇsen´ım rovnice fa,b (x) = x. Je-li nav´ıc 0 fa,b (x) = 0,
naz´yv´a se takov´y pevn´y bod super–stabiln´ı. Jeho Lyapunov˚uv exponent N 1 X ln |f 0 (xn )| N →∞ N n1
λ = lim
je λ = −∞. Snadno lze odvodit, zˇ e tyto super–stabiln´ı pevn´e body naˇseho dynamick´eho syst´emu odpov´ıdaj´ı parametr˚um, kter´e splˇnuj´ı podm´ınku 1 b ± a = k + , k ∈ Z. 2 12
Obr. 6: Obrazy M. C. Eschera pˇripom´ınaj´ı frakt´aln´ı mnoˇziny. Tato podm´ınka popisuje v parametrick´em prostoru a-b jakousi mˇr´ızˇ ku tvoˇrenou dvˇema soustavami rovnobˇezˇ n´ych pˇr´ımek. Vyneseme-li z´avislost Lyapunovova exponentu na parametrech a a b, dostaneme obr. 4. Ten m´a frakt´aln´ı strukturu, kterou lze pozorovat pˇri zobrazen´ı detailu na obr. 5.
29
Proˇc frakt´aly tak lahod´ı lidsk´emu oku?
Protoˇze jsou cˇ ast´e v pˇr´ırodˇe, zejm´ena v zˇ iv´e pˇr´ırodˇe: koruny strom˚u, koˇreny rostlin, c´evy v lidsk´em tˇele, struktura naˇsich plicn´ıch skl´ıpk˚u – to jsou pˇr´ıpady, kde pˇr´ıroda dociluje velk´eho povrchu pˇri mal´em poˇctu stavebn´ıch kamen˚u strukturou, kterou (na jist´em rozsahu mˇeˇr´ıtek) lze povaˇzovat za frakt´aln´ı.
30
Vyskytuj´ı se frakt´aly v umˇen´ı?
Frakt´aln´ı struktura je lidsk´emu oku pˇr´ıjemn´a t´ım, zˇ e kdyˇz se pod´ıv´ame zbl´ızka, m´ame st´ale co objevovat. A proto se frakt´aly objevuj´ı s oblibou i ve v´ytvarn´em umˇen´ı. Jedn´ım z nejzn´amˇejˇs´ıch mal´ıˇru˚ , kter´y se vydal t´ımto smˇerem, je Maurits Cornelis Escher (1898–1972) [7] viz obr. 6; z cˇ esk´ych mal´ıˇru˚ Frantiˇsek Kupka (1871–1957) viz obr. 7.
13
Obr. 7: Frantiˇsek Kupka, rod´ak z Opoˇcna, byl jedn´ım z prvn´ıch cˇ esk´ych mal´ıˇru˚ , v jejichˇz d´ılech se objevuj´ı frakt´aln´ı motivy.
31
Setk´ame se s chaosem v bˇezˇ n´em zˇ ivotˇe?
S citlivou z´avislost´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach, typickou pro deterministick´y chaos, se setk´av´ame na kaˇzd´em kroku. Vˇetˇsinou je to v´ysledek kladn´e zpˇetn´e vazby, tedy dˇeje, kdy jist´a odchylka m´a za n´asledek dalˇs´ı r˚ust t´eto odchylky. Napˇr. podnikatel, kter´y m´a na zaˇca´ tku jen o trochu vˇetˇs´ı kapit´al neˇz jeho konkurent, si m˚uzˇ e dovolit nakoupit dokonalejˇs´ı technologii. T´ım m´a vˇetˇs´ı produktivitu pr´ace, vˇetˇs´ı zisk, t´ım si m˚uzˇ e dovolit jeˇstˇe dokonalejˇs´ı technologii, t´ım m´a jeˇstˇe vˇetˇs´ı zisk atd. Nebo pˇredstavte si poln´ı cestu. Utvoˇr´ı-li se na n´ı malink´a jamka, bude v n´ı po deˇsti malink´a kaluˇz. Projede po n´ı automobil a tuto malinkou kaluˇz vyˇsplouchne. T´ım prohloub´ı jamku. Pˇri dalˇs´ım deˇsti se v n´ı vytvoˇr´ı vˇetˇs´ı kaluˇz, dalˇs´ı automobil vyˇsplouchne v´ıce bl´ata, t´ım se jamka d´ale prohloub´ı atd. Nˇeco podobn´eho se odehr´av´a i ve vztahu dvou lid´ı, napˇr. studenta a studentky. Vznikne-li mezi nimi n´aklonnost malinko vˇetˇs´ı neˇz mezi ostatn´ımi, budou v´ıce vyhled´avat spoleˇcn´e chv´ıle. T´ım se v´ıce poznaj´ı, prohloub´ı se jejich vz´ajemn´a n´aklonnost atd. Podobnou nestabilitu vykazuje i lidsk´a spoleˇcnost jako celek v ot´azce vyzbrojen´ı. Jeden n´avrh na ˇreˇsen´ı probl´emu n´asil´ı a v´alek d´av´a pacifismus: bylo by to kr´asn´e, kdybychom zniˇcili vˇsechny zbranˇe. Pak by koneˇcnˇe zavl´adl m´ır. Tento stav by ale byl nestabiln´ı: kdyby si nˇekter´y jedinec cˇ i skupina lid´ı poˇr´ıdila malou zbraˇn, z´ıskala by malou pˇrevahu nad okol´ım, mocenskou i hmotnou. T´ım by si mohla dovolit poˇr´ıdit vˇetˇs´ı zbraˇn a t´ım by z´ıskala vˇetˇs´ı pˇrevahu atd. Na chaosu je kr´asn´e, zˇ e touto citlivou z´avislost´ı na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach, t´ımto roztahov´an´ım ve f´azov´em prostoru, pˇr´ıbˇeh nekonˇc´ı. Vz´apˇet´ı nast´av´a skl´ad´an´ı a dˇej se opakuje, ale nikdy ne stejnˇe.
32
˚ Jak´e jsou dusledky chaosu na pˇredpov´ıdatelnost?
Citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach pˇredstavuje omezen´ı moˇznosti cˇ init pˇredpovˇedi. Jestliˇze je nejvˇetˇs´ı Lyapunov˚uv exponent syst´emu λmax > 0 a zn´ame-li souˇcasn´y stav syst´emu s pˇresnost´ı εinitial , pak nepˇresnost roste 14
Obr. 8: Vanessa virginiensis (americk´a baboˇcka), mot´yl, kter´y v´am moˇzn´a zachr´anil zˇ ivot. Proˇc? Protoˇze kr´atce pˇred vyfotografov´an´ım Kennethem Dwainem Harrelsonem 4. cˇ ervna 2007 zam´aval kˇr´ıdly a t´ım moˇzn´a odvr´atil niˇcivou bouˇri ve vaˇsem mˇestˇe pr´avˇe dnes. exponenci´alnˇe s cˇ asem εt ≈ εinitial exp(λmax t). Poˇzadujeme-li pˇredpovˇed’ stavu syst´emu s pˇresnost´ı εf inal za cˇ as t, nem˚uzˇ e b´yt tento cˇ as vˇetˇs´ı neˇz tLyap ≈
1 λmax
ln
εf inal . εinitial
To je z´asadn´ı omezen´ı, o kter´em se v souˇcasnosti m´ın´ı, zˇ e je nelze obej´ıt.
33
Co to je efekt mot´yl´ıch kˇr´ıdel ?
Citliv´a z´avislost na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach m´a jeˇstˇe dalˇs´ı d˚usledky. Nejenˇze mal´a chyba urˇcen´ı poˇca´ teˇcn´ıho stavu pˇreroste poˇzadovanou chybu pˇredpovˇedi, ale i sebemenˇs´ı odchylka stavu se v koneˇcn´e dobˇe projev´ı jako odchylka srovnateln´a s velikost´ı stavov´ych veliˇcin. Tomu se nˇekdy ˇr´ık´a efekt mot´yl´ıch kˇr´ıdel. V literatuˇre to b´yv´a ilustrov´ano na hypotetick´em pˇr´ıkladˇe, kdy zmˇena proudˇen´ı vzduchu zp˚usoben´a m´avnut´ım mot´yl´ıch kˇr´ıdel se za koneˇcnou dobu m˚uzˇ e projevit niˇcivou bouˇr´ı na druh´em konci zemˇekoule. J´a si dovoluji nab´ıdnout pˇr´ıjemnˇejˇs´ı ilustraci: m´avnut´ı kˇr´ıdel jedn´e baboˇcky (viz obr. 8) na druh´em konci zemˇekoule zp˚usobilo, zˇ e dnes se ve vaˇsem mˇestˇe nevyskytla niˇciv´a bouˇre a vy si m˚uzˇ ete v klidu cˇ´ıst tento cˇ l´anek.
34
Kde konˇc´ı determinismus (a zaˇc´ın´a n´ahoda)?
´ Ulohy z teorie neline´arn´ıch dynamick´ych syst´em˚u obvykle patˇr´ı do jedn´e ze dvou velk´ych tˇr´ıd: • M´ame k dispozici model ve tvaru diferenci´aln´ıch nebo diferenˇcn´ıch rovnic sestaven´y pomoc´ı fyzik´aln´ıch a jin´ych z´akon˚u na z´akladˇe naˇsich znalost´ı o studovan´em probl´emu. Potom m˚uzˇ eme vyˇsetˇrovat vlastnosti ˇreˇsen´ı tohoto modelu napˇr. v z´avislosti na poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınk´ach cˇ i parametrech a porovn´avat numerick´e v´ysledky z modelu s experiment´alnˇe namˇeˇren´ymi u´ daji. • Model nezn´ame, m´ame k dispozici pouze experiment´aln´ı data, napˇr. ve tvaru cˇ asov´e ˇrady jedn´e nebo v´ıce fyzik´aln´ıch veliˇcin mˇeˇren´ych v z´avislosti na cˇ ase.
15
V tomto druh´em, obt´ızˇ nˇejˇs´ım pˇr´ıpadˇe, mus´ıme nejprve rozhodnout, lze-li cˇ asovou ˇradu povaˇzovat za v´ystup z nˇejak´eho deterministick´eho dynamick´eho syst´emu, nebo zda se jedn´a o v´ysledek dˇeje pˇr´ıliˇs sloˇzit´eho na to, abychom byli schopni jej popsat deterministick´ym syst´emem – pak takov´y dˇej naz´yv´ame n´ahodn´ym neboli stochastick´ym, nˇekdy sˇumem. Zd˚uraznˇeme, zˇ e n´ahodnost nen´ı vlastnost syst´emu samotn´eho, ale je to vlastnost dvojice: syst´em a pozorovatel. Syst´em, kter´y se jednomu pozorovateli m˚uzˇ e zd´at n´ahodn´y, tedy pˇrekraˇcuj´ıc´ı jeho schopnosti detekovat deterministick´y p˚uvod, se m˚uzˇ e jin´emu pozorovateli jevit jako deterministick´y, napˇr. proto, zˇ e m´a k dispozici v´ıce informac´ı. To lze doloˇzit napˇr. dˇetskou hrou rozpoˇc´ıt´av´an´ı. Jistˇe to zn´ate: En-ten-t´y-ky dva sˇpa-l´ı-ky, cˇ ert vy-le-tˇel z e-lektri-ky... Je-li d´an poˇcet osob a poˇcet slabik b´asniˇcky, pak volbou osoby, na kterou padne prvn´ı slabika je jednoznaˇcnˇe d´ana osoba, na kterou padne posledn´ı slabika. To si dˇeti neuvˇedomuj´ı. Dospˇel´ı si to uvˇedomuj´ı, a proto hraj´ı jin´e hry. Nen´ı to tak d´avno, kdy na skoro kaˇzd´em cˇ esk´em n´adraˇz´ı bylo moˇzn´e spatˇrit skoˇra´ pk´aˇre – muˇze s mal´ym stolkem, na nˇem mˇel nˇekolik kel´ımk˚u dnem vzh˚uru a pod jedn´ım z kel´ımk˚u byla mal´a kuliˇcka. Na zaˇca´ tku kel´ımek obr´atil, aby v´am uk´azal, kde je kuliˇcka. Pak kel´ımky chv´ıli rychle pˇrem´ıst’oval po stolku a pot´e v´as vyzval, abyste uk´azali na kel´ımek, pod kter´ym je kuliˇcka. Pˇred obr´acen´ım kel´ımku mu d´ate nˇejakou velkou bankovku. Kdyˇz je pod kel´ımkem, kter´y obr´at´ıte, kuliˇcka, dostaneme dvojn´asobek sv´e s´azky. Kdyˇz nen´ı, nedostanete nic. Do dneˇska mi nen´ı jasn´e, jestli jsem tenkr´at prohr´al 500 korun, protoˇze jsem ned´aval dost pozor, nebo jestli skoˇra´ pk´aˇr podv´adˇel. Pod´ıvejme se podrobnˇeji na hranici mezi determinismem a nahodilost´ı. Zjednoduˇsenˇe ˇreˇceno, o deterministick´e dynamice hovoˇr´ıme, jestliˇze bl´ızk´e stavy syst´emu maj´ı podobn´e n´asleduj´ıc´ı v´yvoje. Abychom z´ıskali bl´ızk´e stavy, mus´ıme m´ıt k dispozici dostateˇcn´y poˇcet bod˚u. Napˇr. abychom mezi body pˇribliˇznˇe rovnomˇernˇe rozloˇzen´ymi na u´ seˇcce jednotkov´e d´elky z´ıskali dostatek dvojic bod˚u bliˇzsˇ´ıch neˇz ε, mus´ıme m´ıt alespoˇn N≈
1 ε
bod˚u. Tento poˇcet roste s dimenz´ı: abychom z´ıskali mezi body pˇribliˇznˇe rovnomˇernˇe rozloˇzen´ymi na jednotkov´em cˇ tverci dostatek dvojic bod˚u bliˇzsˇ´ıch neˇz ε, mus´ıme m´ıt alespoˇn 2 1 N≈ ε bod˚u. Pro obecnou dimenzi D potˇrebujeme alespoˇn N≈
D 1 ε
bod˚u. Kolik potˇrebujeme bod˚u, chceme-li odhalit deterministickou dynamiku syst´emu s diskr´etn´ım cˇ asem s nejvˇetˇs´ım Lyapunovov´ym exponentem λ, tedy syst´emu, ve kter´em se body vzd´alen´e ε pˇri jednom kroku zobraz´ı na body vzd´alen´e ε exp λ? Potˇrebujeme tolik bod˚u, abychom z´ıskali dvojice bod˚u natolik bl´ızk´e, zˇ e i po jednom kroku budou bl´ızk´e, tedy ε exp λ < 1 1 > exp λ ε D 1 > exp(λD) ε N > exp(λD).
(6)
Toto je vztah z´asadn´ıho v´yznamu pˇri posuzov´an´ı mezi deterministick´ymi a tzv. n´ahodn´ymi dˇeji. Je-li dimenze D probl´emu dostateˇcnˇe n´ızk´a a je-li chaotiˇcnost syst´emu (vyj´adˇren´a nejvˇetˇs´ım Lyapunovov´ym exponentem) dostateˇcnˇe mal´a, pak lze pozorovat deterministick´y p˚uvod sign´alu. Je-li ale dimenze probl´emu vysok´a (jak je tomu v pˇr´ıpadˇe mnoha syst´em˚u z re´aln´eho svˇeta) a je-li chaotiˇcnost vysok´a, je nemoˇzn´e z mal´eho poˇctu bod˚u vyˇc´ıst z´akonitosti, kter´e d´avaj´ı vzniknout studovan´emu sign´alu. Napˇr. pro λ = 10 a D = 10 je poˇzadavek . N > exp 100 = 1043 zcela mimo souˇcasn´e (a asi i budouc´ı) moˇznosti.
16
Dokonce i v pˇr´ıpadˇe, zˇ e je D n´ızk´e, ale λ vysok´e natolik, zˇ e jejich souˇcin je vysok´y, je nemoˇzn´e odhalit determinismus. To je pˇr´ıpad bˇezˇ n´ych gener´ator˚u pseudon´ahodn´ych cˇ´ısel pouˇz´ıvan´ych na souˇcasn´ych poˇc´ıtaˇc´ıch. Jak´a je hranice, kdy se softwarov´y gener´ator pseudon´ahodn´ych cˇ´ısel bˇezˇ´ıc´ı na deterministick´em poˇc´ıtaˇci bude jiˇz jevit jako deterministick´y? Napˇr. gener´ator drand48, kter´y je souˇca´ st´ı standardn´ı knihovny funkc´ı jazyka C, pouˇz´ıv´a algoritmus xn+1 = (axn + c) mod m, (7) . 48 10 kde m = 2 (odtud poch´az´ı n´azev), a =5 DE EC E6 6D16 = 3 × 10 , c = 11. V´ystupem jsou pak hodnoty xn /m. Snadno urˇc´ıme Lyapunov˚uv exponent . λ = ln a = 24 a tedy poˇcet bod˚u nutn´y pro odhalen´ı deterministick´eho algoritmu je podle (6) . N > exp(λD) = a = 3 × 1010 . Takˇze pokud tento gener´ator pouˇzijeme pro generov´an´ı m´enˇe neˇz ˇra´ dovˇe 1010 bod˚u, nelze jej povaˇzovat za deterministick´y, coˇz v praxi bohatˇe staˇc´ı. Tento pˇr´ıklad lze pouˇz´ıt jeˇstˇe pro grafick´e vysvˇetlen´ı podm´ınky (6). Budeme-li vyn´asˇet do grafu body v rovinˇe o souˇradnic´ıch (xn+1 /m, xn /m), potom pro (7) dostaneme body, kter´e budou pˇribliˇznˇe rovnomˇernˇe rozloˇzeny v jednotkov´em cˇ tverci. Pˇri mal´em poˇctu bod˚u nebude patrn´a zˇ a´ dn´a struktura v tomto grafu. Teprve pˇri poˇctu bod˚u vˇetˇs´ım neˇz ˇra´ dovˇe 1010 bude vidˇet, zˇ e body leˇz´ı na u´ seˇck´ach, kter´e tvoˇr´ı graf funkce (7). Tyto u´ seˇcky vˇsak maj´ı velkou smˇernici a tud´ızˇ leˇz´ı bl´ızko u sebe, proto jsou pˇri mal´em poˇctu bod˚u nepozorovateln´e. Poznamenejme jeˇstˇe, zˇ e podm´ınka (6) je nutn´a, ale ne postaˇcuj´ıc´ı. Napˇr. pro λ = 0,1 a D = 3 tato podm´ınka d´av´a . N > exp 0,3 = 1,3, coˇz rozhodnˇe neznamen´a, zˇ e ze dvou bod˚u lze usuzovat na deterministick´y p˚uvod sign´alu. Podm´ınku (6) lze cˇ a´ steˇcnˇe obej´ıt, pokud m´ame moˇznost volby poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek a m˚uzˇ eme pozorovat v´yvoj z r˚uzn´ych bl´ızk´ych poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek, kter´e m´ame moˇznost nastavovat tak, abychom vytvoˇrili bl´ızk´e body. Potom nepotˇrebujeme tak vysok´y poˇcet bod˚u. Poznamenejme jeˇstˇe, zˇ e i jednoduch´a dynamika se zaˇcne jevit jako sloˇzit´a, pokud m´ame k dispozici ne vˇsechny body cˇ asov´e ˇrady, ale pouze kaˇzdou napˇr. k-tou hodnotu. Potom je Lyapunov˚uv expoment k n´asobkem p˚uvodn´ıho Lyapunovova exponentu.
35
˚ Co to znamen´a pro kauzalitu a svobodnou vuli?
Mohlo by se zd´at, zˇ e rozd´ıl mezi determinismem a n´ahodou tedy spoˇc´ıv´a pouze v mnoˇzstv´ı dat, kter´e m´ame k disˇ kdybychom mˇeli dostatek mˇeˇren´ı, tak bychom mohli kaˇzd´y sign´al odhalit jako v´ysledek deterministick´eho pozici. Ze dynamick´eho syst´emu. Tato myˇslenka se v dˇejin´ach lidsk´eho pozn´an´ı v r˚uzn´ych podob´ach opakovanˇe vrac´ı, nejˇcastˇeji ˚ ı. jako spor mezi kauzalitou (pˇr´ıcˇ innost´ı) a svobodnou vul´ Nejstarˇs´ı zpr´ava o tomto sporu je jedin´y dochovan´y zlomek z d´ıla ˇreck´eho filozofa Leukippa (5. st. pˇr. n. l.): Ani jedna vˇec nevznik´a bez pˇr´ıcˇ iny, ale vˇse vznik´a z nˇejak´eho d˚uvodu (logos) a nutnosti (anank´e). P˚uvodn´ı v´yznam slova anank´e byla smyˇcka na krku otroka, tedy nˇeco, co omezuje pohyb a svobodu. Anank´e byla tak´e ˇreck´a bohynˇe osudu a nutnosti. Jej´ı povaha byla velmi nemˇenn´a, a tak nemˇela mnoho chr´am˚u, protoˇze lid´e se domn´ıvali, zˇ e by si jej´ı pˇr´ızeˇn takto nez´ıskali. Pˇredstava absolutn´ı determinovanosti veˇsker´eho dˇen´ı na svˇetˇe ale byla tˇezˇ ko pˇrijateln´a (a je dodnes [31],[21]). To ´ se pokouˇs´ı ˇreˇsit jiˇz ˇreck´y filozof Epikuros ze Samu (341-270 pˇr. n l.) t´ım, zˇ e zav´ad´ı parenklizi, malou odchylku od ˇra´ du nutnosti, kterou atomy projevuj´ı svoji svobodnou v˚uli. Opˇet, a ve vyostˇrenˇejˇs´ı podobˇe, se ot´azka determinismu vynoˇruje po u´ spˇesˇ´ıch newtonovsk´e mechaniky, kdy se zd´alo, zˇ e Newton˚uv gravitaˇcn´ı z´akon spolu s Newtonov´ymi pohybov´ymi z´akony umoˇznˇ uj´ı vysvˇetlit pohyb planet naˇs´ı sluneˇcn´ı soustavy. Francouzsk´y matematik a astronom Pierre Laplace (1749-1827) pˇrich´az´ı s pˇredstavou bytosti (pozdˇeji nazvanou Laplac˚uv d´emon), kter´a obdaˇrena dokonal´ymi v´ypoˇcetn´ımi moˇznostmi a dokonalou znalost´ı poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek (zde poloha a rychlost vˇsech hmotn´ych bod˚u v dan´em cˇ asov´em okamˇziku) by byla schopna urˇcit stav syst´emu v libovoln´em okamˇziku v budoucnosti i v minulosti. Fyzika poˇca´ tku 20. stolet´ı n´am k ot´azce determinismu podala dalˇs´ı d˚uleˇzit´e pˇr´ıspˇevky: teorii relativity a kvantovou mechaniku. Albert Einstein (1879-1955) ve speci´an´ı teorii relativity uk´azal, zˇ e pojem souˇcasnosti nen´ı absolutn´ı, ale z´avis´ı na rychlosti pohybu pozorovatele. A v obecn´e teorii relativity uk´azal, zˇ e Newton˚uv gravitaˇcn´ı z´akon, kter´y pˇrivedl Laplace k myˇslence d´emona, plat´ı jen pˇribliˇznˇe. D´ale dnes v´ıme, zˇ e silov´e p˚usoben´ı na d´alku se nedˇeje
17
okamˇzitˇe, ale s urˇcit´ym zpoˇzdˇen´ım, kter´e z koneˇcnˇe dimenzion´aln´ıho dynamick´eho syst´emu dˇel´a nekoneˇcnˇe dimenzion´an´ı syst´em. Werner Karl Heisenberg (1901-1976) odvodil relace neurˇcitosti, kter´e vyluˇcuj´ı souˇcasnou pˇresnou znalost polohy a hybnosti (tedy rychlosti) cˇ a´ stice. Pod´ıvejme se ted’ na ot´azku determinismu z jist´eho nadhledu. Pˇredevˇs´ım kaˇzd´y cˇ lovˇek m´a zkuˇsenost sv´e vlastn´ı svobodn´e v˚ule. Tu nelze sice dok´azat ani odvodit, ale tato vlastn´ı zkuˇsenost je siln´a. Kromˇe jin´eho by bylo nepraktick´e svobodnou v˚uli vyluˇcovat tak´e proto, zˇ e by t´ım padal cel´y pr´avn´ı ˇra´ d, na kter´em stoj´ı souˇcasn´a lidsk´a civilizace. Protoˇze jak by bylo moˇzn´e trestat zlodˇeje, kdybychom tvrdili, zˇ e tak jednal ne z vlastn´ı v˚ule, ale podle deterministick´ych z´akon˚u, kter´e ˇr´ıd´ı veˇsker´e dˇen´ı tohoto svˇeta? Jak je to tedy s platnost´ı fyzik´aln´ıch z´akon˚u? Plat´ı nebo neplat´ı? Je pˇr´ıroda deterministick´a nebo ne? Je n´asˇ osud urˇcen stavem vesm´ıru tˇesnˇe po velk´em tˇresku, nebo jsme my lid´e svobodn´e bytosti? Tyto ot´azky jsou v´ysledkem velk´eho nedorozumˇen´ı. To spoˇc´ıv´a v pˇreceˇnov´an´ı fyziky a toho, co naz´yv´ame pˇr´ırodn´ı z´akony. Pˇr´ırodn´ı z´akony totiˇz neplat´ı v absolutn´ı m´ıˇre. M´ame tˇri druhy z´akon˚u: boˇz´ı, pr´avn´ı a fyzik´aln´ı. A zˇ a´ dn´e z tˇechto z´akon˚u nepˇredstavuj´ı absolutn´ı omezen´ı. Boˇz´ı z´akony, aniˇz bychom zde ˇreˇsili ot´azku, kdo je jejich autorem, pˇredstavuj´ı velice dobr´a doporuˇcen´ı. Napˇr. nezabijeˇs, nepokradeˇs. Ale cˇ lovˇek m´a svobodu tato doporuˇcen´ı poruˇsit s t´ım, zˇ e ponese n´asledky sv´ych cˇ in˚u. Podobnˇe je to s pr´avn´ımi z´akony. Ale co fyzik´aln´ı z´akony? Kdyˇz ˇr´ık´ame, zˇ e ani fyzik´aln´ı z´akony neplat´ı absolutnˇe, nem´ame t´ım na mysli, zˇ e by se cˇ lovˇek mohl napˇr. rozhodnout, zˇ e se vznese a prolet´ı se vzduchem, sluneˇcn´ı soustavou cˇ i cˇ asem. Ani svobodn´a v˚ule cˇ lovˇeka nen´ı absolutn´ı. Vˇetˇsina fyzik´aln´ıch tvrzen´ı je doprov´azena velk´ym mnoˇzstv´ım nevysloven´ych pˇredpoklad˚u. A deterministick´y chaos n´am d´av´a dobrou pˇr´ıleˇzitost jeden d˚uleˇzit´y nevysloven´y pˇredpoklad si pˇripomenout. Je to pˇresnost. Nejen kaˇzd´y namˇeˇren´y v´ysledek m´a svoji koneˇcnou pˇresnost, ale i kaˇzd´y fyzik´aln´ı z´akon m´a svoji koneˇcnou oblast platnosti. Dokonce i kaˇzd´y fyzik´aln´ı pojem m´a svoji koneˇcnou oblast, kde m´a smysl. Pˇresnost namˇeˇren´eho v´ysledku je d´ana metodou mˇeˇren´ı, zejm´ena mˇeˇr´ıc´ım pˇr´ıstrojem. Oblast platnosti fyzik´aln´ıho z´akona je obvykle tak sˇirok´a, zˇ e ji nen´ı tˇreba v bˇezˇ n´e praxi br´at v u´ vahu. Nicm´enˇe pˇresnost tu hraje roli jak´ehosi horizontu. Tak jako horizont v bˇezˇ n´em slova smyslu je pomysln´a cˇ a´ ra kolem n´as nˇekde na bl´ızk´ych pahorc´ıch, kter´a oddˇeluje tu cˇ a´ st krajiny, kterou z naˇseho stanoviˇstˇe vid´ıme, od t´e, kterou nevid´ıme, tak horizont dan´y pˇresnost´ı pˇredstavuje hranici, kam aˇz plat´ı naˇse tvrzen´ı. Uvaˇzujme napˇr. Ohm˚uv z´akon U = RI. Plat´ı absolutnˇe pˇresnˇe? Nikoliv. Napˇr. plat´ı jen pro mal´e proudy I, protoˇze pˇri velk´em proudu se uvolˇnovan´ym Joulov´ym teplem mohou z´asadnˇe zmˇenit vlastnosti vodiˇce. Plat´ı pro libovolnˇe mal´e proudy? Nikoliv. Je-li napˇr. elektrick´y proud v kovov´em vodiˇci tvoˇren proudem elektron˚u o n´aboji e po dobu t ≈ 1s, pak nem´a smysl uvaˇzovat proud menˇs´ı neˇz e . Imin ≈ = 1, 6 × 10−19 A. t A tato hodnota pˇredstavuje nejen minim´aln´ı proud, kter´y m´a smysl uvaˇzovat, ale i pˇresnost, do jak´e m´a smysl v˚ubec uvaˇzovat elektrick´y proud po dobu jedn´e sekundy jako fyzik´aln´ı veliˇcinu. To je samozˇrejmˇe pro mnoho aplikac´ı zcela dostaˇcuj´ıc´ı pˇresnost. Tento horizont pˇresnosti zaˇcne b´yt d˚uleˇzit´y, potˇrebujeme-li uvaˇzovat o pˇresn´em urˇcen´ı poˇca´ teˇcn´ıch podm´ınek, napˇr. pro pˇredpov´ıd´an´ı chov´an´ı chaotick´eho dynamick´eho syst´emu. Nezapom´ınejme, zˇ e i samotn´y pojem element´arn´ı cˇ a´ stice je pouze model – lidsk´a myˇslenkov´a konstrukce, kter´a velice dobˇre popisuje malou cˇ a´ st svˇeta v nˇekter´ych situac´ıch. Star´a ot´azka Je elektron vlna nebo cˇ a´ stice?“ nem´a ” odpovˇed’ ani vlna ani cˇ a´ stice. Jak vlna, tak cˇ a´ stice jsou jen lidsk´e modely. Skuteˇcnost je mnohem sloˇzitˇejˇs´ı a pouze na urˇcit´em stupni pˇresnosti (tedy do jist´eho horizontu) je rozumn´e pouˇz´ıvat tyto modely. A jak to vypad´a za horizontem? M˚uzˇ eme si ˇr´ıci za horizontem m˚uzˇ e b´yt cokoliv“ (jako Hom´er˚uv Odysseus) a ” nebo co se nauˇc´ım tady, to pouˇziji i za horizontem“ (jako Kryˇstof Kolumbus). ” Dˇejiny lidsk´eho pozn´an´ı jsou neust´al´e posouv´an´ı horizontu smˇerem k vˇetˇs´ım pˇresnostem a neust´al´e objevov´an´ı nov´ych z´akonitost´ı. Kaˇzd´y tento z´akon a kaˇzd´y pojem, kter´y se v nˇem vyskytuje, m´a svoji omezenou oblast platnosti a smyslu. Nen´ı d˚uvod domn´ıvat se, zˇ e to, co jsme objevili dodnes, bude platit i daleko za souˇcasn´ym horizontem. Nen´ı ani d˚uvod domn´ıvat se, zˇ e souˇcasn´e n´astroje pro popis skuteˇcnosti (napˇr. diferenc´aln´ı a diferenˇcn´ı rovnice) budou st´ale t´ım nejlepˇs´ım n´astrojem. T´ım m´enˇe je d˚uvod domn´ıvat se, zˇ e nˇekdy cˇ lovˇek objev´ı definitivn´ı z´akon veˇsker´eho dˇen´ı na svˇetˇe. Protoˇze cˇ´ım d´al jdeme v tomto posouv´an´ı horizontu pˇresnosti, t´ım m´ame sice dokonalejˇs´ı v´ypoˇcetn´ı i mˇeˇr´ıc´ı techniku, ale t´ım jsme tak´e d´ale od naˇs´ı bˇezˇ n´e lidsk´e zkuˇsenosti. A tak, jako jsme si vyvr´atili pojem elektrick´eho proudu coby fyzik´aln´ı veliˇciny s absolutn´ı platnost´ı, tak podobnˇe m˚uzˇ eme u kaˇzd´e fyzik´aln´ı veliˇciny naj´ıt omezenou oblast, kde m´a smysl ji uvaˇzovat. Podobnˇe napˇr. teplota a tlak, tak d˚uleˇzit´e veliˇciny pro stanoven´ı souˇcasn´eho stavu a tedy i pro pˇredpov´ıd´an´ı poˇcas´ı, jsou pouze stˇredn´ı hodnoty souboru velk´eho poˇctu cˇ a´ stic. 18
ˇ neexistuje v pˇr´ırodˇe jako nˇejak´a objektivn´ı To vˇsak lze rˇ´ıci o vˇsech fyzik´aln´ıch veliˇcin´ach, napˇr. i cˇ asu. Cas realita. Je to pouze lidsk´a myˇslenkov´a konstrukce. To n´as vede k z´avˇeru, zˇ e fyzik´aln´ı z´akony jsou sice velice uˇziteˇcn´e a i kr´asn´e, ale jsou to pouze lidsk´e myˇslenkov´e v´ytvory vhodn´e pro pˇribliˇzn´y popis skuteˇcnosti. Tento popis je cˇ asto natolik bl´ızk´y skuteˇcnosti sam´e, zˇ e s n´ı b´yv´a ztotoˇznˇ ov´an. Pr´avˇe ta vysok´a m´ıra pˇresnosti je nebezpeˇcn´a, protoˇze vytv´aˇr´ı toto pokuˇsen´ı. Takˇze odpovˇed’ na ot´azku, je-li svˇet deterministick´y cˇ i nikoliv, nen´ı ani ano ani ne. Odpovˇed’ zn´ı: svˇet existuje, ˇ ek pozoruje svˇet se vyv´ıj´ı, my jej pozorujeme, jsme souˇca´ st´ı svˇeta, jednotliv´e cˇ a´ sti svˇeta se navz´ajem ovlivˇnuj´ı. Clovˇ dˇen´ı kolem sebe (a i dˇen´ı v sobˇe) a vytv´aˇr´ı si modely - myˇslenkov´e konstrukce, kter´e jsou kr´asn´e a uˇziteˇcn´e pro tˇr´ıdˇen´ı tˇechto pozorov´an´ı a pro cˇ a´ steˇcn´e pˇredpov´ıd´an´ı dˇej˚u. Tyto modely mohou b´yt deterministick´e nebo stochastick´e, ale jsou to jen pˇribliˇzn´e modely.
36
Kde se lze dozvˇedˇet v´ıce?
O chaosu bylo naps´ano nepˇrebern´e mnoˇzstv´ı knih i cˇ l´ank˚u v cˇ asopisech, jak odborn´ych, tak popul´arn´ıch. Vyv´azˇ enost´ı mezi srozumitelnost´ı a hloubkou se vyznaˇcuje [22]. Vztahem mezi neline´arn´ı dynamikou a statistickou mechanikou se zab´yv´a [8]. Zpracov´an´ı experiment´aln´ıch dat se vˇenuje [1], [14]. Popul´arn´ı pohled pˇrin´asˇ´ı [9]. Rozsahem citovan´e literatury vynik´a [18]. Vˇetˇsina prac´ı je v angliˇctinˇe, pˇresto i v cˇ eˇstinˇe najdeme zaj´ımav´e pr´ace [19], [13], [12], [15], [16]. Tento cˇ l´anek je shrnut´ım pˇredn´asˇek [26] a [27] a rozˇs´ıˇren´ım pˇr´ıspˇevku do sborn´ıku [11] ze semin´aˇre Matematika na vysok´ych sˇkol´ach. Vedle pap´ırov´ych pramen˚u dnes existuje bohat´a literatura v elektronick´e podobˇe. Obˇcas to jsou d´ıla rozsahem ˇ a hloubkou plnˇe srovnateln´a s pap´ırov´ymi, napˇr. [5]. Casto to jsou vˇsak kr´atk´e texty maj´ıc´ı r˚uznou u´ roveˇn. D´ıky vyhled´avac´ım n´astroj˚um jako Google [10] v nich lze snadno hledat. Mezi uˇziteˇcn´e zdroje informac´ı rozhodnˇe patˇr´ı UK Nonlinear News (Neline´arn´ı zpr´avy Spojen´eho kr´alovstv´ı) [29] a Nonlinear Science FAQ (Frequently Asked ˇ Questions - Casto kladen´e ot´azky) [20]. Arch´ıv arXiv [3] zaloˇzen´y v roce 1991 v Los Alamos National Laboratory p˚uvodnˇe pro cˇ l´anky z fyziky vysok´ych energi´ı, kter´y v roce 2001 pˇreˇsel do spr´avy Cornell University, dnes obsahuje pln´e texty publikac´ı z fyziky, matematiky, nelin´arn´ı vˇedy, poˇc´ıtaˇcov´e vˇedy a kvantitativn´ı biologie a pˇredstavuje rychl´y a pohodln´y zp˚usob pro sd´ılen´ı nov´ych matematick´ych a fyzik´aln´ıch v´ysledk˚u. Uˇziteˇcn´ym zdrojem odborn´ych informac´ı je Wikipedie – otevˇren´a encyklopedie [30]. Otevˇren´a zde znamen´a, zˇ e kaˇzd´y uˇzivatel m˚uzˇ e kdykoliv a zadarmo cˇ´ıst jej´ı obsah, ale tak´e, zˇ e kaˇzd´y m˚uzˇ e jej´ı obsah opravovat, upravovat a pˇrisp´ıvat. T´ım je dosaˇzeno, zˇ e jej´ımi spoluautory se mohou st´at vˇsichni gramotn´ı obyvatel´e t´eto planety a spoleˇcnˇe tak vytvoˇrit d´ılo neb´yval´eho rozsahu a v´yznamu.
37
Co rˇ´ıci z´avˇerem?
ˇ ıst literaturu, pap´ırovou cˇ i elektronickou je uˇziteˇcn´e, ale podle m´e osobn´ı zkuˇsenosti nezastupitelnou u´ lohu pˇri studiu C´ deterministick´eho chaosu hraje vlastn´ı proˇzitek. Je velice d˚uleˇzit´e zvolit si nˇejak´y neline´arn´ı model, napˇr. logistick´e zobrazen´ı nebo Lorenz˚uv model, vybrat si nˇejak´y softwarov´y n´astroj (nˇejak´y programovac´ı jazyk, napˇr. C, Fortran, Pascal nebo jeˇstˇe l´epe nˇejak´y vyˇssˇ´ı prostˇredek, napˇr. Mathematica, Maple, Matlab) a hr´at si. Volit si r˚uzn´e poˇca´ teˇcn´ı podm´ınky, r˚uzn´e hodnoty parametr˚u a iterovat, integrovat, simulovat, kontinuovat a kreslit si obr´azky a v klidu se na nˇe dlouze d´ıvat. Je to inspiruj´ıc´ı a kr´asn´e. Pˇreji v´am, mil´ı cˇ ten´aˇri, hodnˇe takov´ych kr´asn´ych z´azˇ itk˚u s deterministick´ym chaosem. Tato pr´ace je podporov´ana projektem MSM 6046137306 a vznikla d´ıky pˇr´ıstupu k v´ypoˇcetn´ım zdroj˚um METACentrum v r´amci MSM 6383917201.
Literatura [1] H. D. I. Abarbanel: Analysis of Observed Chaotic Data. Springer 1996. ˇ [2] J. Andres: Sarkovsk´ eho vˇeta a diferenci´aln´ı rovnice. PMFA 49 (2004) cˇ . 2, 151-159. [3] arXiv http://arXiv.org p˚uvodnˇe http://xxx.lanl.gov [4] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey: On Devaney’s definition of chaos, Amer. Math. Monthly 99 (1992), 332-334. 19
[5] P. Cvitanovi´c, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner, G. Vattay: Chaos: Classical and Quantum, ChaosBook.org (Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005) [6] R. Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, New York 1989. [7] http://www.mcescher.com [8] P. Gaspard: Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press 1998. [9] J. Gleick: Chaos, vznik nov´e vˇedy. Ando Publ. Praha 1996. [10] http://www.google.com [11] L. Herrmann (Ed.): Matematika na vysok´ych sˇkol´ach. Sborn´ık semin´aˇre Determinismus a chaos. Herbertov 5.-7.9.2005. [12] M. Holodniok, A. Kl´ıcˇ , M. Kub´ıcˇ ek, M. Marek: Metody anal´yzy neline´arn´ıch dynamick´ych model˚u. Academia Praha 1986. [13] J. Hor´ak, L. Krl´ın, A. Raidl: Deterministick´y chaos a jeho fyzik´aln´ı aplikace. Academia Praha 2003. [14] H. Kantz, T. Schreiber: Nonlinear time series analysis, Cambridge University Press 1997. [15] P. K˚urka: Chaotick´a dynamika. MFF UK Praha 1993. viz t´ezˇ http://ktiml.ms.mff.cuni.cz/˜kurka/ [16] V. K˚urkov´a: Frakt´aln´ı geometrie. PMFA 1989 34 267-277. [17] T. Y. Li, J. Yorke: Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly 82 (1975), 985-992. [18] M. Marek, I. Schreiber: Chaotic Behaviour of Deterministic Dissipative Systems. Academia Praha 1991. [19] M. Marek, I. Schreiber: Stochastick´e chov´an´ı deterministick´ych syst´em˚u. Academia Praha 1984. [20] J. Meiss (Ed.): Nonlinear Science Frequently Asked Questions http://www.faqs.org/faqs/sci/nonlinear-faq SIAM Dynamical Systems Web http://www.dynamicalsystems.org ˇ [21] J. Nosek (Ed.): Chaos, vˇeda a filosofie (Sborn´ık pˇr´ıspˇevk˚u). FILOSOFIA Nakl. Filosofick´eho u´ stavu AVCR Praha 1999. [22] E. Ott: Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press 2002. [23] Ott˚uv slovn´ık nauˇcn´y. J. Otto Praha 1897. [24] P. Pokorn´y, M. Marek: Origin and dimension of strange nonchaotic attractors. in T. Kapitaniak, J. Brindley (Eds.): Chaos and Nonlinear Mechanics. World Scientific Series on Nonlinear Science B Vol. 4 1994. [25] P. Pokorn´y, I. Schreiber, M. Marek: On the route to strangeness without chaos in the quasiperiodically forced van der Pol oscillator. Chaos, Solitons and Fractals Vol. 7, No. 3 (1996) 409-424. [26] P. Pokorn´y: Chaos je kr´asn´y. Pozvan´a pˇredn´asˇka. KMOP MFF UK Praha 21.5.2002 ˇ [27] P. Pokorn´y: Deterministick´y chaos a matematick´e, fyzik´aln´ı a filozofick´e souvislosti. Pozvan´a pˇredn´asˇka JCMF. MFF UK Praha 19.5.2004 ˇ ˇ [28] A. N. Sarkovskij: Sosuˇscˇ estvovanije ciklov nepreryvnogo otobraˇzenija v sebja. Ukrain. Matem. Zurn. 1 (1964) 61-71. [29] UK Nonlinear News http://www.maths.leeds.ac.uk/Applied/news.dir [30] http://www.wikipedia.org [31] P. Zamarovsk´y: Svobodn´a v˚ule, determinismus a fyzika. Rukopis.
20
