2015.02.16.
2. Potenciálos áramlások Dr. Kristóf Gergely Department of Fluid Mechanics, BME 2015.
Potenciálos áramlások •
Nyugvó térből eredő áramlás potenciálos mindaddig, amíg a falon keletkező örvényesség bele nem keveredik.
•
A legtöbb analitikus megoldás potenciálos áramlásokra ismeretes. [H.Lamb, 1932, első kiadása 1879]
•
Egyszeresen összefüggő tartományban a potenciálos áramlás mozgási energiája a legkisebb a tartomány határán adott normális sebességkomponensű áramlások közül. [Thomson, 1849]
Alkalmazási példák
• Áramlás az elszívás közelében • Szárnyak • Szivárgás, kutak • Ivóvíztárolók
1
2015.02.16.
Sebességi potenciál (φ) Örvénymentes áramlás esetén:
∇×v = 0
Definiálhatjuk φ sebességi potenciált, melyre:
v = ∇φ
azaz:
Elég φ-t meghatároznunk, abból u, v, w, már könnyen számolhatók, tehát φ bevezetésével háromról egyre csökkentettük az ismeretlen skalármezők számát.
∂φ ∂x ∂φ v= ∂y ∂φ w= ∂z u=
Az örvénymentességen kívül más fizikai kikötést nem tettünk, így φ alkalmazható kompresszibilis áramlások esetén is.
Szivárgó áramlások Porózus anyagokban, például talajban, kőzetekben, adszorber ágyakban az egyfázisú szivárgó áramlások általában igen jó közelítéssel leírhatók a Darcytörvénnyel. Q térfogatáram egy vízszintes tengelyű porózus csatornában: L
Q=−
Q
p2 − p1 k A L µ
A p1 p2 melyben a dinamikai viszkozitás µ [Pa.s]=ρν, k [m2] pedig a porózus anyag áteresztőképessége. k értékét legtöbbször Darcy-egységben adják meg: 1 D ≅ 1012 m2. A Darcy-törvény általános alakja:
v=−
k
µ
∇( p + ρ g z )
Tehát a sebességi potenciál:
k
φ=−
µ
( p + ρ g z)
A nyomásmező meghatározása φ (és ebből v ) ismeretében a nyomásmezőt utólag is kiszámíthatjuk a Bernoulli-egyenlet felhasználásával. Ideális folyadékra (ν=0, ρ=áll.):
p2 − p1 =
ρ 2
(v
2 1
)
− v22 + ρ g ( z1 − z 2 )
Szivárgó áramlás esetében a nyomásmező más kapcsolatban áll a mozgásállapottal:
φ=−
k
µ
( p + ρ g z)
ezért:
p2 − p1 =
µ k
(φ1 − φ2 ) + ρ g (z1 − z2 )
2
2015.02.16.
φ kiszámítása A kontinuitás szerint:
∇⋅v = 0 ∇ ⋅ (∇φ ) = ∆φ = 0 φ tehát harmonikus függvény, azaz megoldása a Laplace-egyenletnek. Egy fontos alapmegoldás a Q [m3/s] intenzitású pontforrás sebességtere:
Q er 4r 2π
v=
φ=−
Q + áll. 4π r
A megoldások szuperponálhatók. Bármely potenciálos áramképet megközelíthetünk a határfelületen alkalmasan fölvett forrásmegoszlással.
Áramfüggvény (ψ) v = ∇ ×ψ
Def:
ψ vektorpotenciál.
ψ automatikusan kielégíti a kontinuitási egyenletet állandó sűrűségű folyadékra, mivel:
∇ ⋅ v = ∇ ⋅ ∇ ×ψ ≡ 0 ∂... =0 ∂z
w = 0 és
2D-ben ψ skaláris mennyiség, mivel:
∂ψ z ∂ψ y − ∂z u ∂y ∂ψ x ∂ψ z v=v= − ∂x w ∂z ∂ψ y ∂ψ x ∂x − ∂y
ezért ψ = ψ z , továbbá
u=
∂ψ ∂y
and v = −
∂ψ ∂x
Tehát 2D áramlásokat egyetlen ψ skalármezővel leírhatunk, 3Dben viszont 3 komponense van.
ψ fizikai értelmezése 2D-ben Az áramfüggvény teljes differenciálja:
y
ψ+dψ
dψ =
ψ
B u
dy
∂ψ ∂ψ = −v és =u ∂x ∂y
v A dx
∂ψ ∂ψ dx + dy ∂x ∂y
dψ = −v dx + u dy x
ψ az A és B pontok közötti térfogatáram (1 m széles tartományban):
Q A− B = ψ B − ψ A ψ szintvonalain nem áramlik át a folyadék, ezért ψ szintvonalai áramvonalak. A kontinuitás:
∂u ∂v ∂ 2ψ ∂ 2ψ + = − =0 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x
2D-ben is teljesül.
3
2015.02.16.
2D örvénymentes áramlás ψ eddig leírt tulajdonságai örvényes áramlásra is érvényesek. Szorítkozzunk mostantól örvénymentes áramlásokra:
(∇ × v )
z
=
∂v ∂u − =0 ∂x ∂y
∂ψ ∂ψ = −v és =u ∂x ∂y ∂ 2ψ ∂ 2ψ + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∆ψ = 0 Tehát áramfüggvény is lehet bármely harmonikus függvény.
Komplex potenciál (w) ∆ψ = 0
ψ is és φ is harmonikus függvények:
és
∆φ = 0
továbbá kielégítik a Cauchy-Riemann összefüggéseket:
u=
∂φ ∂ψ = ∂x ∂y
v=
∂φ ∂ψ =− ∂y ∂x
Tehát képezhetik egy komplex függvény valós és képzetes részét:
w( z ) = φ ( z , y ) + iψ ( x, y ) z a komplex helyvektor: z=x+iy Bármely analitikus komplex függvény valós és képzetes részei állandó sűrűségű, stacionárius, potenciálos síkáramlást írnak le. Már csak a peremfeltételeket kell kielégítenünk. Megvizsgálunk néhány alapmegoldást (pl. ln(z), z2 stb.), majd ezeket összegezve, transzformálva próbálunk bonyolultabb peremfeltételeket kielégíteni.
A komplex sebesség (c) A sebesség egy komplex számmal adható meg:
c = u +iv A sebesség komplex konjugáltját w differenciálásával nyerhetjük. A differenciálás bármely irányban végezhető:
dw ∂w ∂w = = = u −iv = c dz ∂x ∂iy y
c
iv −iv
x
c
4
2015.02.16.
Potenciálok ψ Neve Változó ρ esetén
φ
w
áramfüggvény sebességi pot. komplex pot. nincs **
van
nincs
van
nincs
nincs
3D-ben
vektor
skalár
nincs
Definíció
∇ ×ψ = v
∇φ = v
Örvényes áramlásra
w = φ + iψ
** 2D összenyomható áramlásra is definiálható áramfüggvény.
5
