2. cvičení vzorové příklady

2. cvičení – vzorové příklady Příklad 1 Nakreslete zatěžovací obrazce složek hydrostatických sil, působících na automatický segementový jezový uzávěr s hybným ramenem. Vypočtěte hodnotu souřadnice x, udávající polohu hladiny v tlačené šachtici, při níž se jez začne sklápět. Hrazená výška h = 4,0 m, poloměr zakřivení válcové plochy r = 4,8 m, a = 0,85 m, tíha uzávěru G = 17 658 N.m-1, = 60o,  = 45o, fG = 3,0 m. Úlohu řešte na 1 m´ délky konstrukce. Uzávěr U1 je otevřen, U2 uzavřen.

E

P

Š

x

fG

h

  O

G r k4

C

a B U4

k1 k3

U3

k2

U2

U1

obr. 1 Řešení

Vzhledem ke složitosti konstrukce i zatížení je vhodné nejprve zatěžovací obrazce rozkreslit pro jednotlivé části konstrukce. P E

x

E

O

O x

C

C x

B

obr. 2

Pro celkový názor na působení sil a momentů se složí jednotlivé zatěžovací obrazce do obrazce výsledného.

x výsledný zatěžovací obrazec

x obr 3

Pro výpočet hodnoty x se nejprve určí ty složky sil, které mají na pohyb uzávěru vliv. Síla, působící na válcovou část, prochází jejím středem křivosti, který je zároveň středem otáčení jezové konstrukce O. Uvažují se tedy pro výpočet x pouze síly, působící na rovinné části konstrukce. Výsledné síly (obr. 5):

Ve složkách (obr. 4):

F1

Fz1

fz1

x

Fz2

Fx1

fz2

fx1

O

O



x

fx2 x

Fx2



F2

Výpočet sil - podle obr. 5: F1    g  b  1   1 h 1 4 1    r   h  r  cos    4,8  44,8  cos45o  0,26 m 2 o 2  cos  2  cos45  F1  1000  9,81 1 0,26  2550,6 N





F2    g  b  2 2  a  x  0,85  x F2  1000  9,81 1 0,85  x  8338,5 x Výpočet délky ramen sil F1 a F2 k bodu O:   1 h 1 4 f1  r    r   4,8    4,8   5,086 m o 3  cos  3  cos45 

f2  r 

a 0,85  4,8   5,225 m 2 2

Momentová výminka k bodu O: F1  f1  F2  f2  G  fG  0

2550,6  5,086 8338,5  x  5,225  17658  3  0 65943,3 x  1,51 m 43568,7

Příklad 2 Na obrázku je znázorněn sklápěcí uzávěr s osou otáčení O. Stanovte hloubku h, při které se uzávěr začne sklápět. Hmotnost 1 m širokého výseku uzávěru je 530 kg. 0,46 m h G

0,61 m

O 1,52 m

obr. 6

Řešení Pro řešení je výhodné použít momentovou podmínku k ose O (síly působící v tomto místě mají vzhledem k ose O nulové rameno a v momentové podmínce se neuplatní). Ostatní síly působící na uzávěr: F1 na svislou plochu, F2 na vodorovnou plochu, G – vlastní tíha konstrukce. fg = 0,46 m f2

F2

h

F1

G f1

O 1,52 m

obr. 7

Výpočet sil pro výsek konstrukce 1m široký F1    g  b  1 1 1   h 2 2

1 F1    g  b  1  1000  9,81 1  h 2  4905  h 2 2

F2    g  b  2 2  1,52  h F2    g  b  2  1000  9,81 1 1,52  h  14911,2  h G  m  g  530  9,81  5199,3 N

Výpočet délky ramen sil 1 1,52 f1   h , f2   0,76 m , fG = 0,46 m 3 2 Momentová výminka k bodu O: F1  f1  F2  f2  G  fG  0 1 4905  h 2   h  14911,2  h  0,76  5199,3  0.46  0 3 Tato rovnice má tři řešení: h = -2,73 m, h = 0,21 m a h = 2,52 m, přičemž řešení první (h = -2,73 m).

Závěr: stabilita uzávěru bez použití dalších zajišťovacích mechanismů nastane při hloubkách h = 0,21 m a h = 2,52 m. Příklad 3

Vypočtěte velikost hydrostatické síly F, působící na 1 m´ tížné betonové hráze a navrhněte sklon vzdušního líce hráze tak, aby hráz byla stabilní proti posunu v základové spáře se součinitelem bezpečnosti  = 1,25. Součinitel tření  = 0,7. Měrná hmotnost betonu b = 2400 kgm-3. 62,0

60,0

5

5

15,0 0,0

 obr. 8

Řešení Složky hydrostatické síly určíme ze zatěžovacích obrazců.

Fz

Fx z

x



obr. 9 Fx = ·g·x = 1000·9,81·0,5·602 = 17 658·103 N = 17 658 kN Fz = ·g·z = 1000·9,81·5·0,5·(45 + 60) = 2 575,125·103 N = 2 575,125 kN Tíha hráze: G = b·g·(5·62+0,5·5·15+0,5·622·cotg ) = (8 181,54+45 251,57·cotg )·103 [N] = = 8 181,54 + 45 251,57·cotg  [kN] T = ·(Fz+G) = 0,7·(2 575,125+8 181,54+45 251,57·cotg  =

= (7 529,67 + 31 676,1 cotg )·103 [N] = 7 529,67 + 31 676,1 cotg  [kN] ·Fx = 1,25·17 658,0 = 22 072,5 kN T  ·Fx 7 529,67 + 31 676,1 cotg  = 22 072,5 z toho 31676,1 tg    2,17812    65o 20 14542,83 Příklad 4 Určete velikost a působiště hydrostatické síly F, působící na šikmé čelo cisterny s naftou - obr. 10. Průměr cisterny D = 2 m,  = 60o, na hladinu působí přetlak pp = 30 kPa, n = 900 kgm-3.

h

pp zT xc'

D

a xc" T F

n

a

C 

obr. 10 Řešení

D D 1,15m;b 1,0m 2sin 2 Pro výpočet zT je třeba určit polohu tlakové čáry (fiktivní volnou hladinu) souřadnicí h = zT - D/2. Přetlak pp = n . g . h - z toho: 1) Síla F = n . g . S . zT;

pp

S =  . a . b a

30000  D 3,4m;Fn.g..b h 140,35kN n.g 900.9,81 2  2) Působiště hydrostatické síly: D h Io z 3,41 .a 3 .b x ´T  T  2   5 , 08 m ;    0,66m sin sin sin60 o S.x ´T 4..b.x ´T h



Příklad 5 Vypočtěte velikost síly F, potřebné k nadzdvihnutí poklopu, hradícího výpust nádrže s vodou - obr. 11. Hloubka vody v nádrži h = 1,0 m, a = 0,5 m,  = 60o, tíha poklopu G = 1,2 kN. Počítejte na 1 m' šířky poklopu, tření zanedbejte.

F

f

f

h

voda G 



obr. 11



a/s in

a

h/ s in L

f'

0,5 f

obr. 12

Řešení h/sin  = 1,155; a/sin  = 0,577 m; L = 1,55 + 0,577 = 1,732 m. f = L . cos  = 1,732 . cos 60o = 0,866 m. Hydrostatická síla na obr. 12: h2 1 1 1 F' =  . g .  = .g. . 1000.9,81. . 5664N sin 2 2 sin60o Potřebná síla se vypočte z momentové výminky k ose otáčení poklopu: a 2 h 2 f´  . 0,577 .1,1551,347m sin 3 sin 3

f  F.f 2 f F . f   G . 2  5664 . 1, 347  1200 . 0, 433  9410 N. F f 0, 866

F . f   G .

Příklad 6 Vypočtěte velikost síly F1, osově namáhající jeden šroub ze 24, kterými je: a) spojeno dno nádoby se svislou částí pláště, b) připojen horní kónický díl pláště. Nádoba je rotační a je naplněna vodou. Rozměry nádoby podle obr. 13 jsou: h1 = 0,4 m, h2 = 0,4 m, h3 = 1,0 m, D1 = 0,25 m, D2 = 1,0 m.

h1 D1

h2

D2

h3

F obr. 13 Řešení a) Hydrostatická síla působící na dno:

.D22 h1h2 h3 1000.9,81.0,40,41,013868,6N F.g. 4 4 F Na jeden šroub působí: F1 577,9N . 24 b) Hydrostatická síla působící na horní díl nádoby: Hydrostatická síla působí kolmo na zatěžovanou plochu. Znamená to, že síly FAB vytvářejí v každém osovém řezu dvojici vzájemně se rušících sil a jejich celkové působení na nádobu je nulové - . obr. 14.

FAB

A

FBC

FAB FBC

B C

FBCz

A

z

B C

r1 rT r2

obr. 14 obr. 15 Síly FBC v osových řezech lze rozložit na složky vodorovné FBCx a svislé FBCz, z nichž vodorovné se opět ruší. Výsledná hydrostatická síla je tedy dána tíhou zatěžovacího tělesa svislé složky F = .g.Vz - obr. 15. Objem zatěžovacího tělesa jedná se o těleso rotační - je Vz = 2 .  . rT . z. z = (r2 - r1) h1 + 0,5 (r2 -r1) h2 = (0,5 - 0,125) 0,4 + 0,5 (0,5 - 0,125) 0,4 = 0,225 m2 Velikost rT se určí z momentové výminky:

1 r2 r1 2 .h1  1.2 r2 r1 2 .h 2 10,3752 .0,4 10,3750,3752 .0,4 23 3 lrT r1  2 2 0,208m;rT 1r1 0,333m; z 0,225 V = 2 .  . rT . z = 2 .  . 0,333 . 0,225 = 0,471 m3; F =  . g . Vz = 4 618,2 N; na jeden šroub: F1 = F/24 = 192,4 N. Příklad 7 Stanovte velikost a směr ( = ?) hydrostatické síly F, působící na válcovou výduť ve stěně nádrže - obr. 16. Průměr válcové výdutě je D = 0,5 m, h = 2,0 m, b = 1,5 m,  = 30o. Fz

h

D 

b  F

b

Fx x



z

obr. 16 obr. 17 Řešení V tomto případě je možné k řešení hydrostatické síly použít řezovou metodu.

a) Výpočet hydrostatické síly, působící na plochu řezu: Fs =  . g . h .D . b = 1000 . 9,81 . 2 . 0,5 . 1,5 = 14 715 N Fsx = F . sin  = 14 715 sin 30o = 7 357,5 N Fsz = F . cos  = 14 715 cos 30o = 12 743,6 N

 . D2

b) Výpočet tíhy kapaliny ve výduti: G   . g 8    c) FGFs;Fx Fsx 7357,5N;Fz Fsz G14188,24N.

. b  1444 , 64

N

Fx 7357,5  0,5186;27o 25 Fz 14188,2 Pro srovnání se vypočte hydrostatická síla ještě pomocí zatěžovacích obrazců podle obr. 17. Fx =  . g . b . x; x = D . sin  . h = 0,5 m2 Fx = 1000 . 9,81 . 1,5 . 0,5 = 7 357,5 N .D2 .0,52 z D.cos.h 0,5.cos30o.2,0 0,964m2 8 8 Fz =  . g . b . z = 1000 . 9,81 . 1,5 . 0,964 = 14 188,2 N. Již z porovnání složek hydrostatické síly Fx a Fz je zřejmé, že oběma způsoby výpočtu vyjde hydrostatická síla F stejně velká. F Fx2 Fz2 15982N;tg

Příklad 8 Určete velikost a směr ( = ?) hydrostatické síly F, kterou působí voda na 1 m´stěny nádrže podle obr. 18. Dáno: h1 = 6,0 m, h2 = r = 2,0 m.

Fz1 r

A

h1

b h2

r

z1

x1

B Fx1

C

D obr. 18

obr. 19

Řešení Pro výpočet hydrostatické síly se nakreslí zatěžovací obrazec složek hydrostatických sil: 1) pro zatížení horní vodou - obr. 19, 2) pro zatížení dolní vodou - obr. 20.

Fz z

x

Fz2 Fx

z2 Fx2 x2 obr. 20

obr. 21

Složením dílčích zatěžovacích obrazců se získá výsledný zatěžovací obrazec obr. 21. a z něj složky hydrostatické síly: Fx =  . g . b . x = 1000 . 9,81 . 1,0 . 16,0 = 156 960 Nm -1 2 2 kde x 0,5h1h2  h1h2 h2 0,562 62.216,0m2

.r 2 .2 2 62.22 2  8,858m 2 4 4 Fz =  . g . b . z = 1000 . 9,81 . 1 . 8,858 = 86 900 Nm -1 z h1 h 2 .r r 2 

F Fx2 Fz2 179410Nm1 F 86900 tg z  0,5536ztoho28o 58 Fx 156960 Poznámka Výpočet hydrostatické síly pomocí zatěžovacího obrazce, vzniklého složením dílčích zatěžovacích obrazců je možný v případě, že je konstrukce zatěžována z obou stran kapalinou se stejnou měrnou hmotností. V opačném případě není skládání zatěžovacích obrazců možné. Vypočítají se hydrostatické síly pro každý zatěžovací stav zvlásť a teprve jejich složením se určí výsledná hydrostatická síla.

Příklad 9 Pro hydrostatický sektorový jez na obr. 22: a) nakreslete zatěžovací obrazce složek hydrostatických sil, působících na jezový uzávěr; b) stanovte pomocí vzdálenosti x polohu hladiny v tlačené komoře, při níž se jezový uzávěr právě začne sklápět. Hloubka vody před jezem h = 3,2 m, r = 4,0 m, tíha jezového uzávěru G = 17,73 kNm-1, fg = 2,2 m. x h G

fG r

obr. 22

obr. 23

Řešení V tomto případě si ukážeme zatěžovací obrazce hydrostatických sil. Numerické řešení hydrostatických sil a sestavené momentové výminky je obdobné jako ve vzorovém příkladu 1. Zatěžovací obrazce viz obr. 23. Vzdálenost x, určující polohu hladiny v tlačné komoře x = 0,93 m.

Příklad 10 Navrhněte rozmístění tří vodorovných nosníků po výšce svislého stavidlového uzávěru tak, aby každý z nich byl namáhán stejně velkou silou. Hloubka vody před stavidlem h = 3,0 m - obr. 24. Řešte pro šířku stavidla 1,0 m.

zc1 F1

zc2 h zc3

z1 z2

F2 F3 obr. 24

Řešení 1) Numerické řešení:

h2 3 2  4,5m2 2 2

Celková zatěžovací plocha:



Na jeden nosník:

1 

4, 5  1, 5 m2 3

Hloubky rozdělující plochy: z2 1 1 ztohoz1 21  2.1,5 1,732m 2 z 22 21 ztohoz 2  41  4.1,5 2,449m 2 z2 31 3 ztohoz3  61  6.1,5 3,0m (uvedeno pro kontrolu) 2 Nosníky budou umístěny v úrovni těžišť příslušných zatěžovacích obrazců. Jejich vzdálenosti od hladiny: 2 z c1 z11,155m. 3 Vzdálenost dalších těžišť je určena z momentových výminek: 2 4 4 1.z c1  1.z c 2 21. z 2 ; zc 2  z 2 z c1 .2,4491,1552,111m 3 3 3 2 2 4 21. z2 1.zc 3 31. h; z2 zc 3 2h 3 3 3 4 4 zc 3 2h z 2 6 .2,4992,735m 3 3 Zatížení nosníků:

h2 32 celková hydrostatická síla F.g. 1000.9,81. 44145N 2 2 F 44145 na jeden nosník F1  14715N 3 3 2) Řešení pomocí součtové čáry. 0

h h

F1

B

zC3

h

h parabola 2

zC1

h

F2

zC2

h

A F1 

F 3

F2 

F 3

F3 F3 

h F 3

obr. 25 Vychází se ze zatěžovacího obrazce, který se rozdělí po výšce na pruhy o stejné tloušťce h. Čím větší počet pruhů, tím je grafické řešení přesnější. Každému pruhu se přisoudí hodnota zatížení, odpovídající jeho střednici. Tyto střednice se pomocí zvoleného pólu graficky sečítají. V hloubce h vytíná součtová čára úsečku, odpovídající celkové hydrostatické síle F. Tato úsečka se rozdělí na n dílů, odpovídající n vodorovným nosníkům. Dělící body A i se promítnou svisle do součtové čáry (body Bi) a vodorovné úsečky z nich vedené rozdělí zatěžovací obrazec na zatěžovací obrazce stejné velikosti. Těžiště těchto zatěžovacích obrazců určují polohu stejně namáhaných nosníků. Vlastní řešení je patrné z obr. 25. Z uvedeného řešení vychází zc1 = 1,15 m, zc2 = 2,1 m a zc3 = 2,75. Z výsledků je vidět velmi dobrá shoda obou způsobů řešení. Součtová čára vyjadřuje hydrostatickou sílu při proměnné hloubce z: 1 F ..g.b.z2 2 Tato kvadratická závislost vyjadřuje parabolu s vrcholem v hladině. Pokud by bylo zatížení stavidla oboustranné, zatěžovacím obrazcem bude lichoběžník. Až do hladiny dolní vody bude hydrostatická síla při proměnné hloubce z1 určena rovněž výrazem F1 = 0,5  .g .b . z12. Tato parabola končí potom v úrovni hladiny dolní vody, kde je její úsečka FH = 0,5  .g .b . H2. Pod hladinou dolní vody je zatížení rovnoměrné a hydrostatická síla v proměnlivé hloubce z2 bude dána součtem F2 = F1 + 0,5  .g .b .H . z2. Roste tedy lineárně s hloubkou z2 až do koncové souřadnice v úrovni dna H  F.g.b.H h2 ; součtová čára je zde přímkou. 2 