ALJABAR BOOLEAN (LANJUTAN)
TUJUAN Ketika anda menyelesaikan unit ini, anda akan mengetahui dan mcngingat serta mampu menggunakan masing-masing ke-enam belas hukum clan teorema aljabar Boolean yang pertama seperti tertera dalam daftar di akhir 'Jnit 2. Secara jelas, a~da akan dapat : I.
Menerapkan hukum dan teorema ini unluk m~nghitun~kalimat-kalimataljabar yang meliputi : a.
Penyederhanaan kalimat
b.
Menemukan komplemen atau dual suatu kalimat
c.
Mengkalikan dan memfaktorkan suatu kalimal. ..
2.
Buktikan setiap teorema dengan menggunakan tabel kebenaran atau berikan pembuktian aljabar jika sesuai.
3.
Tentukan OR - eksklusif dan operasi ekuivalensi. Nyatakan, buktikan dan gunakan teorema dasar yang berkaitan dengan operasi ini.
4.
Tentukan logika positif dan negatif; tcrJpkan teorema logika negatif.
PETUNJUKBELAJAR I.
Pelajari Bagian 3.1, Inversi
2.
Temukan komplemen dari masing-masing kalimat berikut ini. Dalam jawaban anda, operasi komplemen hams diterapkan pada variabel tunggal saja. (a) (ab'c')'
=
(b) . (a' + b + c + d')'
= + cd)' =
(c) (a' + be)' (d) (a'b'
(e) [a(b' + c'd')] = 62
=
3.
Karena (X')' =X, jika anda rnengkomplementasikanmasing-masingjawaban anda ke 2 anda akan mendapatkan kalimat asli. Buktikan bahwa hal ini benar. (a) (b) (c) (d) (e)
4.
(a) Nyatakan satu aturan tunggal yang dapat digunakan untuk membuat
komplemen dari suatu kalimat Boolean dalam satu langkah. (b) Dalam persamaan berikut ini, masing-masing operasi OR dan AND
telah diberikan angka sebagai rujukan : Z
=A
·
B + C
·
[D + E
·
F + G
·
(H + I
·
1)]
23456789
Ketika suatu kalimat dievaluasi, manakah dari pasangan operasi berikut ini yang dikerjakan pertama kali ?
Dengan aturan satu langkah, Z'
= A'
+ B'
· C' + D' · E'+ F' · G' + H' · r + l' 2
345
6
7
8
9
Isilah kalimat yang diperlukan dalam Z' s~hinggamasing-masingpasang operasi dilakukan dalam urutan yang sama dengan di atas. Misalnya, karena 9 dilakukan sebelum 8 dalam Z, tambahkan tanda kurung sehingga 9 dilakukan sebelum 8 dalam Z'. Maka tambahkan empat pasang tanda kurung lagi.
63
(c) Ketika aturan ini diaplikasikan dalam Persamaan(3-8), yang tanda kurung mana yang ditambahkan untuk mendapatkan susunan operasi yang tepat ?
Buktikan bahwa Persamaan (3-8) adalah benar, dengan menggunakan P~rsamaan (3-1) dan (3-2).
5. Dengan persamaanF = a'b + b'c,
F'
=
Selesaikanlah tabel kebenaran berikut ini dan buktikan bahwa jawaban anda benar :
abc
a'b
b'c
a'b + b'c
(a+b')
(b +c')
F'
00 0 00 I 010 o I I 100 10 I I I 0 I I I
6.
Kerjakanlah soal 3.3 dengan menggunakan metode satu-Iangkah. Kerjakanlah soal 3.15.
7.
Bacalah Bagian 3.2, Dualitas. Anda akan menemukan aplikasi dualitas yang menarik ketika kita mempelajari logika positif dan negatif. (a) Bagaimana dualitas suatu kalimat dibedakan dengan komplemen kalimat tersebut ? (b) Berapa dilakukan konstan I dan 2 ketika melakukan dual ?
Dan berapa ketika melakukan komplemen ? 64
(c) Periksalah bahwa teorema yang terdapat dalam daftar pada akhir Unit 2 disusun dalam pasangan dual. ( Secara mental buktikan bahwa masingmasing pasangan adalah dual.) Hal ini berarti bahwa sebenamya anda hanya mempunyai setengahdari teoremayang dipelajari, karenajika anda mengetahui satu, anda dapat membuat dual-nya dengan penelitian. (d) Kerjakan Soal 3.5.
8.
Pelajarilah Bagian 3.3, Mengkalikan dan Memfaktorkan Kalimat (a) Daftarlah tiga hukum atau teorema yang bermanfaat ketika mengkalikan dan memfaktorkan kalimat. (b) Gunakan Persamaan (3-12) untuk memfaktorkan masing-masing berikut 1m :
ab 'c + bd = abc + (ab)'d
=
(c) Dalam contoh berikut ini, kelompok term pertama (3-11) dapat diaplikasikan dua kali. FI = (x+y' + z)(w' + z' + y)(w + x + y')(w' + y + z') Setelah mengaplikasikan (3-11), aplikasikan (3-12) dan kemudian selesaikan perkalian dengan menggunakan (3-10). Jika kita tidak menggunakan (3-11) dan (3-12) dan hanya menggunakan (3-10) pada kalimat di atas kita akan menurunkan beberapa te~ : F =
(w'x + w'y' + w'z + xx' + x'y' + x'z + xy + yy' + yz) (xx' + w'x + w'y' + wy + xy + yy + wz' + xz' + y'z')
=
(w'x + w'xy' + w'xz +
...
+ yzy'z')
49 term semuanya
65
Cara seperti ini jelas bukan cara yang efisien untuk dilakukan ! Dasar dari cara ini adalah kelompok term pertama dan mengaplikasikan (3-11) serta (3-12) bila memungkinkan.
(d) Kerjakan Latihan Program 3.1. Kemudian kerjakan soal 3.9(a) dan (b) , hati-hatilah untuk tidak memasukkan term yang tidak perlu ke dalam proses tersebut. (e) Dalam Unit 2 anda mempelajari bagaimana memfaktorkan kalimat Boolean dengan menggunakan dua hukum distributif. Lagi pula, unit ini telah memperkenalkan penggunaan teorema
XY + X'Z
= (X
+ Z)(X' + Y)
dalam proses pemfaktoran. Pilihan susunan yang tepat di mana hukum dan teorema ini diaplikasikan dapat memotong jumlah kerja yang diperlukan untuk memfaktorkan suatu kalimat. Ketika memfaktorkan, paling baik mengaplikasikan Persamaan (3-10) terlebih dahulu, dengan menggunakan variabel variabel yang muncul paling sering sebagai X. Kemudian Persamaan (3-11) dan 93-12) dapat diaplikasikan pada salah satt! susunan tergantung pada kondisinya. (f)
9.
Kerjakan Latihan Program 3.2. Kemudian kerjakan Soal 3.11 (a) dan (b).
Periksalah jawaban anda : Cara yang baik untuk memeriksa kebenaran jawaban anda setiap bagian adalah dengan mensubstitusikan 0 atau I untuk beberapa variabel. Misalnya, jika kita mensubstitusikan A = I dalam kalimat pertama dan terakhir pada Persamaan (3-14), kita dapatkan I - C+O - BD'+O - C'DE = (I+B+C')(I+B+D) C=I-I-I-C,",
Dengan' pensubstitusian yang sarna A o + 0 + 0 + C'DE
66
= (0 + C')(O = C'DE--i
= 0,
B
- (I + D'+ E)(O + C)
=0
kita dapatkan
+ E)(D' + E)(I + C)
Buktikanlah bahwa hasilnya juga benar ketika A
= 0 dan B= I.
10. Metode yang anda gunakan untuk mendapatkan jawaban mempakan hal yang sangat penting dalam unit ini. Jika penyelesaian soal ini memerlukan dua halaman aljabar dan satu jam untuk menyelesaikan sebuah soal yang sebenarnya dapat diselesaikan dalam sepuluh menit dengan tiga baris pekerjaan. maka ini berarti bahwa anda belum mempelajari materi unit ini ! Bahkan jika anda memperoleh jawaban yang tepat. kerja anda tidak memuaskanjika anda mengerjakansoal tersebut dengan metode yang panjang dan memakan waktu. Penting sekali bagi anda untuk menyelesaikan soal sederhana dengan eara yang sederhana, jika tidak, ketika anda diminta untuk menyelesaikan soal yang mmit anda akan menyerah dan tidak akan pemah mendapatkan jawabannya. Ketika anda disodori soal untuk diselesaikan, jangan langsung begitu saja mengerjakannya, namun pertama kali tanyakan pada diri anda sendiri, "Bagaimana eara paling mudah untuk mengerjakan soal ini ?" Misalnya. ketika anda diminta untuk mengkalikan suatu kalimat, jan~an langsung begitu saja mengkalikan term demi term. Namun tanyalah diri anda sendiri, "Bagaimana saya dapat mengelompokkan term-term ini dan teorema mana yang hams saya aplikasikan terlebih dahulu sehingga mengurangi kerja?" (Lihat Petunjuk Belajar Pertanyaan 8.) Setelah anda menyelesaikan Soal 3.9 dan 3.11, bandingkanlah penyelesaian anda dengan penyelesaian dalam buku kunei. Jika penyelesaian anda seeara substansial memerlukan kerja yang lebih banyak daripada penyelesaian yang diberikan dalam buku kunei, maka kerjakanlah kembali soal tersebut dan eob<:lah untuk mendapatkan jawabannya dengan eara yang lebih singkat.
II. Pelajarilah Bagian 3.4, Operasi Eksklusive OR dan Ekuivalen (a) Buktikan Teorema (3-17) sampai (3-22). Anda hams dapat membuktikan baik dengan aljabar maupun dengan menggunakan tabel kebenaran. (b) Tunjukkan bahwa (xy' + x'y)'
= xy + x'y'.
Catatlah hasil ini.
(e) Buktikan Teorema (3-24). (d) Tunjukkan bahwa (x
= 0) = x',
(x=x) = I, dan (x=y)' = (x=y').
(e)
Buatlah (x=y)' dalam bentuk eksklusif-OR.
(t)
Kerjakan Soal 3.18 dan 3.19
67
12. Pelajarilah Bagian 3.5. Logika Positif dan Negatif. (a) Perhatikan definisi positif dan negatif. Jika logika 1 = -3 volts dan logika 0= -6 volts, apakah ini merupakan logika + atau - ? Jika logika I = +3 volts dan logika 0 logika + atau - ?
= +6 volts, apakah ini merupakan
Apakah tanda voltase berkaitan dengan logika + atau - ?
(b) Jika suatu sirkuit tanda logika menyatakan Z
= [(A
+ B')C'D
+ A'BD](E'
+ F)
untuk logika negatif, fungsi apakah yang ia nyatakan untuk logika positif ?
(c) Mengapa suatu inverter untuk logika positif dan juga bertindak sebagai inverter untuk logika negatif ?
(d) Kerjakanlah Soal 3.23 dan 3.25.
13. Ketika anda menempuh tes persiapan, anda akan diharapkan uuntuk mengetahui dari catatan ke-enam belas hukum dan teorema pertama yang terdaftar pada akhir Unit 2. Apabila tepat, anda har'ls memahami hukum dan teorema tersebut "dari muka dan dari belakang"; yakni dari masing-masing sisi persamaan anda hams dapat mengisi yang lain. Ujilah diri anda sendiri untuk melihat apakahanda dapat melakukanhal ini. 14. Bacalah kembali tujuan yang dinyatakan pada awal pelajaran ini. Jika anda merasa telah memenuhi tujuan ini, tempuhlah uji persiapan.
68
ALJABARBOOLEAN(LANJUTAN) Oalam unit ini kita melanjutkan pelajaran kita mengenai metode tambahan untuk menghitung kalimat-kalimat Boolean. Kita memperkenalkan metode untuk menemukan komplemen dan dual kalimat-kalimat Boolean. Kemudian, konversi antara kalimat hasil jumlah dan kalimat jumlah - hasil diselesaikan dengan mengkalikan dan memfaktorkan. Penghitungan aljabar semacam itu menyadarkan kita terhadap fungsi pengatupan atau switching dalam berbagai bentuk. Operasi eksklusif OR dan ekuivalen diperkenalkan bersama dengan contoh-contoh penggunaannya. Akhirnya, kita menggunakan konsep logika positif dan negatif untuk menghubungkan tingkat voltase tinggi dan rendah pada gerbang input dan output ke fungsi yang dihadapi oleh gerbang tersebut.
3.1 INVERSI Inversi atau komplemen dari setiap kalimat Boolean dapat ditemukan dengan mudah dengan teorema-teorema berikut ini secara berurutan, yang seringkali ditunjuk sebagai hukum OeMorgan : (X + Y)' = X'Y' (XY)' = X' + Y'
(3-1) (3-2)
Kita akan membuktikan hukum ini dengan menggunakan tabel kebenaran :
x Y
X' Y' I
o o I I
0 I 0 I
I I I 0
i
o I o 0
I
X+Y 0 I I I
I
I
(X + V)' I 0 0 0
X'Y'
XY
(XY)'
I 0 0 0
0 0 0 I
I I I 0
I
i
I
X' +Y'
I I I I
I I I 0
69
Hukum DeMorgan mudah digeneralisasikan ke variabel n :
(X, + X2 + x] + ... +Xn)'
= X,'X2'X],..xn'
(3-3) (3-4)
(X (X2X],..Xn)' =X ('+X2'+X]'+...+Xn'
Misalnya untuk n
= 3,
Dengan menunjuk pada operasi OR sebagai jumlah logika dan operasi AND sebagai hasH logika, hukum DeMorgan dapat dinyatakan sebagai berikut : Komplemen hasH adalah jumlah dari komplemen. Komplemen jumlah adalah hasH dari komplemen. Untuk membuat komplemen suatu kalimat yang berisi baik operasi OR maupun AND, hukum DeMorgan diaplikasikan secara bergantian. CONTOH 1 Untuk menemukan komplemen dari (A' + B)C', pertama kali aplikasikan (3-2) kemudian (3-1).
[(A' + B)C']'
= (A'
+ B)' + (C')'
= AB'
+C
CONTOH 2 [(AB' + C)D' + E)'
= [(AB'+
C)D']'E'
= [(AB' + C)' + D]E' = [(AB')'C' + O]E' = [(A' + B)C' + D]E'
(dengan
(3-1)
(dengan (3-2» (dengan (3-1) (dengan (3-2»
(3-5)
perhatikan bahwa dalam kalimat akhir, operasi komplemen hanya diaplikasikan pada variabel tunggal. 70
Inversi
F
= A'B
+ AB' adalah p73
F= (A'B + AB')' = (A'B)'(AB')' = (A + B')(A' + B) = AA' + AB + B'A' + BB' = A'B' + AB
Kita akan membuktikan bahwa hasil ini benar dengan menyusun tabel "kebenaran" untuk F dan F' : A B
A'B
AB'
F=A'B + AB'
A'B'
AB
F'=A'b' + AB
o 0
0 1 0 0
0 0 I 0
0 1 I 0
1 0 0 0
0 0 0 I
1 0 0 1
o 1 I 0 I I
I
Pada tabel di atas, perhatikan bahwa untuk setiap kombinasi nilai A dan B di mana F = 0, F'=I; dan di mana F= I, F' = O. Kita dapat mengkombinasikandua bentuk hukum DeMorgan ke dalam aturan tunggak yang memungkinkan kita mengkomplementasikanseluruh kalimat dalam satu langkah: Untuk ~embuat komplemen dari kalimat Boolean, gantilah masing-masing variabel dengan komplemennnya, gantilah 0 dengan I, 1 dengan 0, + dengan ., dan · dengan + Dalam mengaplikasikanaturan ini, kita hams hati-hati untuk menjaga susunan operasi yang tepat dengan penambahan (atau penghapusan) tanda kurung bila diperlukan. Dalam kalimat Boolean, susunan operasi yang normal adalah AND dilakukan sebelum OR, jika tidak tanda kurung menunjukkan yang lain. Misalnya, Persamaan (3-5), mengaplikasikan aturan "satu-Iangkah" untuk melakukan komplementasi dengan memberikan [(AB'+ C)D' + E]'
'"
= [(A'
+ B)C' + D]E'
(3-6)
AND dilakukan ~kurung tambahansehingga sebelumOR OR dilakukansebelumAND
71
Pada sisi sebelah kiri dari Persamaan (3-6). C di-OR-kan dengan AB'. Jadi. tanda kurung ditambahkan pada sisi sebelah kanan untuk meyakinkan bahwa C' di-AND-kan dengan komplemen AB'. Aturan satu-Iangkah untuk mengaplikasikan hukum DeMorgan dapat ditulis secara simbolik dengan (3-7)
Notasi ini secara sederhana berarti bahwa untuk membuat komplemen dari suatu kalimat yang berisi variabel XI' X2. ..Xn. konstan 0 dan I. dan operasi + dan .. gantilah XI dengan XI" X2 dengan X2' Xn dengan Xn'. 0 dengan I. I dengan O. + dengan .. · dengan +. Dalam contoh berikut ini. kembali perhatikan bagaimana tanda kurung ditambahkan dan dihapus sehingga susunan operasi yang terjaga tepat setelah pengaplikasian aturan satu langkah. [(a'b+ c')(d'+ ef) + gh + w]'= [(a+b')c+d(e'+t)](g'+h')w'
(3-8)
Buktikan bahwa jawaban di atas adalah benar dengan melakukan komplementasi satu langkah pada satu waktu.
3.2 DUAL/TAS Dalam kalimat Boolean. dual dibentuk dengan menggantikan AND dengan OR, OR dengan AND. 0 dengan I. dan I dengan O. Variabel dan komplemen dibiarkan tetap tidak berubah. Aturan untuk membuat dual ini dapat diringkas sebagai berikut : (3-9) CONTOH : Jika F
= ab'
+ d' + 0 · e). 72
+ c + O. d'(I+e). maka kalimat dualnya adalah FD = (a + b')c(l
Perhatikan bahwa metode untuk membuat dual tersebut sarna dengan metode untuk membuat komplemen kecuali bahwa variabelnya tidak dikomplementasikan ketika membuat dual. Metode altematif untuk membuat dual dari suatu kalimat adalah dengan pertama kali membuat komplemen kalimat tersebut dan kemudian mengganti masing-masing variabel dengan komplemennya. Pada contoh di atas, F'
= (a'+b)c'(I
+d+0
·
e')
di mana FD= (a+b')c(l+d'+O
· e)
Dengan dua kalimat Boolean yang sarna dengan berisi variabel yang sarna, maka dual-nya juga sarna. Untuk menunjukkanbahwa hal ini benar untuk kalimat F dan G, pertama kali telitilah bahwajika F= G, maka F' = G'. Jika kita mengganti masing-masing variabel dalam F' dan G' dengan komplemennya, maka hal ini tidak akan merusak kesamaan tersebut karena ini adalah ekuivalen untuk menggantikan satu variabel dengan yang lain pada kedua sisi persarnaan. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa jika F = G, maka FD = GD. Ini berarti bahwajika sebuah teorema benar, maka demikian pula dual':nya.Misalnya, (X + Y')Y = XY (Teorema 11), secara langsung ia diikuti dengan dualitas XY'+Y = X + T (Teorema lID).
3.3 MENGALIKAN DANMEMFAKTORKAN KALiMAT Dengan kalimat-kalimat dalarn bentukhasil-jumlah, kalimat juinlah-hasil yang berkorespondensi dapat diperoleh dengan "mengkalikan" dengan menggunakan dua hukum distributif :
= XY + XZ (X + Y)(X + Z) = X + YZ X(Y + Z)
(3-10) (3-11)
Sebagai tambahan, teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk memfaktorkan dan mengkalikan :
73
-
-
----
(X + Y)(X' + Z) " ~
= XZ + X'Y
(3-12)
Perhatikan bahwa variabel yang dipasangkan dengan X pada satu sisi persamaan tersebut dipasangkan dengan X' pada sisi lain, dan sebaliknya.
Bukti: Jika X=O,(3-12)disisakanke yo + Z)= 0 + I · Y atau Y = Y. Jika X=1,(3-12)disisakanke (I + Y)Z= Z + 0 · Z atau Z = Z. Karena persamaantersebut validbaik untuk X =0 dan X = I, maka persamaan tersebut selalu valid. Contoh berikut ini menggambarkan penggunaan Teorema (3-12) untuk memfaktorkan :
,
,
AB + A'C " ,
=(A + C)(A'
+ B)
Perhatikan bahwa teorema tersebut dapat diaplikasikanketika kita mempunyai dua term, yang salah satunya berisi satu variabel dan yang lainnya berisi komplemennya. Teorema (3-12) sangat bermanfaat untuk mengkalikan kalimat. Pada contoh berikut ini, kita dapat mengaplikasikan (3-12) karena satu faktor terdiri dari variabel Q, dan faktor lainnya berisi Q':
(Q" + AB')(C'D~ + en
= QC'D
+ Q' AB'
Jika kita secara sederhana mengkalikan dengan menggunakan hukum distributif, kita akan mendapatkan empat term, (Q + AB')(C'D + Q') = QC'D + QQ' + AB'C'D + AB'Q' Karena term AB'C'D sulit dihilangkan, maka lebih baik menggunakan (3-12) daripada hukum distributif. 74
Secara umum, ketika kita mengkalikan kalimat; kita harns menggunakan (312) bersama dengan (3-10) dan (3-11). Untuk menghindari penumnan term yang tidak perlu ketika mengkalikan,(3-11) dan (3-12) hams secara umum diaplikasikan sebelum (3-10), dan term hams dikelompokkan untuk mempercepat aplikasi
mereka.
.
CONTOH : I
~ = ~ =
(A + B + C')(A + B + D)(A + B + E)(A + D~'
,
+ C)
(A + B + C'D)(A + B + E)[AC + A'(D' + E)]
y.
(A + B + C'DE)(AC + A'D' + A'E)
= AC + ABC +A'BD' + A'BE" A'C'DE(3-13) (teorema mana yang digunakan untuk menghapuskan ABC ? Petunjuk: Buat1~ X = AC.) Dalam contoh ini jika hukum distributif. biasa (3-10) digunakan untuk mengkalikan kalimat dengan "secara kasar", maka 162 term akan ditumnkan dan 158 dari term ini hams dihapuskan. Teorema yang sarna yang berguna untuk mengkalikan kalimat juga berguna untuk memfaktorkan kalimat. Dengan mengaplikasikan secara bemlang-ulang (3-10), (3-11), dan (3-12), setiap kalimat dapat dikonversikan ke bentuk hasiljumlah. CONTOH PEMFAKTORAN AC + A'BD + A'BE + A'C'DE
= AC -~ + A'(BD' + BE + C'DE) XZ
X'
Y
.
=
(A + BD' + BE + C'DE)(A'
=
[A + C'DE + B(D' + E)](A' + C) '---y
X
'
'---y
Y
Z
+ C)
'
= (A + B + C'DE)(A + C'DE + D' + E)(A' + C) = (A + B + C')(A + B + E)(A + D' e)(A' + C)
(3-14)
Ini adalah kalimat yang sarna yang dimulai dengan (3-13). 75
--
----
3.4 OPERASIEKSKLUSIF-OR DANEKUIVALENSI Operasi eksklusif-OR
EBdidefinisikan sebagai berikut
0$0=0
OEBI=I
IEBO=I
1$1=0
:
Tabel kebenaran untuk X EBY adalah :
x Y
I
XEBY
~~ ~ ~ 1 0
110
~
I
1
I
Dari tabel ini, dapat kita lihat bahwa X EBY = 1jika X + ! atau Y = I, namun tidak jika kedua-duanya sarna dengan I. Operasi OR biasa, yang telah lebih dahulu kita definisikan, kadang-kadang disebut inklusif OR karena X + Y = I jika X = I atau Y = I, atau kedua-duanya sarna dengan satu. Eksklusif-OR dapat dibuat kalimat dalam bentuk AND atau OR. Karena X EBY = I jika X adalah 0 dan Y adalah I atau X adalah I dan Y adalah 0, dapat kita tulis X EBY
= X'Y
+ XY'
(3-15)
Term pertama dalam (3-15) adalah I jika X = 0 dan Y = I; term kedua adalah I jika X = 1 dan Y = O. Kemungkinan lain, kita dapat menderivasikan Persamaan (3-15) dengan mengobservasibahwaX EBY = 1jika X = 1 atau Y = 1 dan X dan Y keduanya bukan I. Jadi, X $ Y
= (X
+ Y)(XY)'
= (X + Y)(X'
+ Y)= X'Y + XY'
Dalam (3-16), perhatikan bahwa (XY)' bukan I.
76
= 1 jika
(3-16)
X dan Y keduanya
Kita akan menggunakan simbol berikut ini untuk gerbang eksklusif-OR :
Teorema berikut ini diaplikasikan pada eksklusif-OR : X EB0 X EBI
=X = X'
(3-17) (3-18)
XEBX =0
(3-19)
X EBX' = I
(3-20)
X EBY = Y (+) X (hukum komulatif)
(3-21)
~EB~$Z=XEB~EB~=X$YEBZ
(3-22)
(hukum asosiatif) X(Y $ Z) (X EBY)'
= XY
EBXZ (hukum uistributif)
= X EBY'=X'
EBY = Xy + X'Y'
(3-23) (3-24)
Masing-masing teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabei "kebenaran" atau dengan mengganti X EBY dengan salah satu dari kalimnt ekuivalen dari Persamaan (3-16). Bukti dari hukum distributif adalah sebagai berikut : XY EBXZ
= XY (XZ)' + (XY)'XZ = XY (X' = XYZ' + XY'Z
+ Z') + (X' + Y') XZ
= X(YZ' + Y'Z) = X(Y EBZ)
Operasi ekuivalensi ( = ) didefinisikan dengan (0 = 0) (1=0)=0
=1
(0 = I) = 0
(3-25)
(1=1)=1
Tabel kebenaran untuk X = Y adalah 77
x Y o o I I
X=Y
0 I 0 I
I 0 0 I
Dari definisi ekuivalensi, kita lihat bahwa (X = Y) = I jika X (X = Y)= I jika X = Y = 0, dapat kita tulis, (X=Y)
= XY + X'Y'
= Y. Karena (3-26)
Ekuivalensi adalah komplemen dari eksklusif-OR: (X (+) Y)'
= (X'Y
+ XY')'
= XY + X'Y' =
= (X (
+ Y')(X' + Y) X = Y)
(3-27)
Hanya pada eksklusif-OR, operasi ekuivalensinya komutatif dan asosiatif.
Kita akan menggunakan simbol berikut ini untuk gerbang ekuivalensi :
~=8-x
= Y
Karena ekuivalensi merupakan komplemen dari eksklusif-OR, maka simbol lain untuk gerbang ekuivalensi adalah gerbang eksklusif-OR dengan output yang dikomplementasikan :
:
~
(X (£) y)'= (Xa Y)
Gerbang ekuivalensi juga disebut gerbang eksklusif-NOR.
78
Untuk menyederhanakan suatu kalimat yang berisi AND dan OR seperti juga eksklusif-OR dan ekuivalensi, maka biasanya, pertama kali mengaplikasikan (3-15) dan (3-26) untuk menghapuskan operasi E9dan E. Sebagai contoh, kita
akan menyederhanakan F
.
= (A'B
E
C) + (B E9AC')
Dengan (3-15) dan (3-26), F = [(A'B)C + (A'B')C'] + [B'(AC') + B(AC')']
= A'BC + (A + B')C' + AB'C' + B(A'+C) =B(A'C + A' + C) + C'(A + B' + AB') =B(A'+C)+ C'(A+B') Ketika menghitung suatu kalimat yang berisi beberapa operasi eksklusif-OR atau ekuivalensi. perlu mencatat bahwa (XY' + X'Y')
= XY + X'Y'
(3-28)
Misalnya, A' E9B E9C
= [A'B' = (A'B'
+ (A')'B] E9C
= (A'B'
+ AB)C' + (A'B + AB')C
= A'B'C'
+ AB)C' + (A'B'+AB)'C
(dengan (3-15» (dengan (3-28»
+ ABC' + A'BC + AB'C
3.5 LOGIKAPOSITIFDANNEGATIF Gerbang logika dapat disusun dengan menggunakan diode. transistor, atau elemen berkatup lainnya. Beberapa jenis siakuit gerbang logika dianalisis dalam Lampiran A. Dalam bagian ini kita akan mendiskusikan hubungan antara tingkat voltase pada gerbang input dan output dan fungsi logika yang dilakukan oleh gerbang tersebut. 79
Di bawah kondisi pengoperasian yang normal, voltase yang diaplikasikan pada setiap terminal input dari gerbang logika dibatasi untuk mempunyai salah satu nilai nominal. Ketika voltase input yang tepat diaplikasikan ke gerbang logika, maka voltase pada terminal output akan mengasumsikan salah.satu dari suatu nilai nominal yang memungkinkan. Gamb~ 3-I(b)1 Lihat Lampiran A.l untuk contoh sirkuit diode yang menyatakan tabel ini. d menunjukkan voltase input dan output untuk gerbang logika dari Gambar 3-1.(a).Kita telah mengasumsikan bahwa masing-masing voltase input dan output dapat mempunyai satu atau dua nilai nominal, 0 volt atau +V volt. Karena ada tiga terminal input, delapan kombinasi yang berbeda nilai dari input voltase dapat diaplikasikan ke gerbang tersebut. Misalnya, jika voltase inputnya adalah el = 0, e2 = +V dan e3 = +V, maka voltase outputnya adalah eo = O. Untuk menentukan fungsi logika yang dinyatakan dengan gerbang, kita hams menerjemahkan tingkat voltase sebagai nilai logika. Dua cara untuk melakukan hal ini adalah : 1. Buatlah +V mewakili logika I dan 0 volt mewakili logika o. 2.
Buatlah +V mewakili logika 0 dan 0 volt mewakili logika I.
Dua cara tersebut disebut logika positif dan negatif, secara berurutan. Secara umum jika kita mempunyai dua tingkat voltase, logika positif dan negatif didefinisikan sebagai berikut : Logika positif - tingkat yang lebih tinggi dari antara dua voltase mewakili logika I dan tingkat yang lebih rendah dari antara dua voltase mewakili logika O. Logika negatif - tingkat yang lebih rendah dari antara dua voltase mewakili logika 1 dan yang lebih tinggi dari antara dua voltase mewakili logika O. Kedua sistem tersebut digunakan ~alampraktek, sehingga kita hams mengenal dengan baik keduanya.
80
e
e
o o o o
0 (} 0 +v +v o +v +v
+v +v
Logic Gale
+v
e
0 0
e.
0 0 I
0 0 0 0
o +v
...v
o
,
0
+v +v +vl+v (b)
(a)
Gambar 3-1
lika kita menerjemahkan Gambar 3-1 (b) sesuai dengan logika positif (0 volt adalah logika 0 dan +V volt adalah logika 1), kita mendapatkan
el
e2
e3
eo
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1
Karena eo adalah 1 jika el, e2, dan e3 semuanya adalah 1, eo
= e1e2e3
dan
gerbang tersebut melakukan fungsi AND untuk logika positif. lika kita menerjemahkan Gambar 3-1 (b) sesuai dengan logika negatif (0 volt adalah logika 1 dan +V volt adalah logika 0), maka kita dapatkan :
81
e(
e2
e3
eo
I I I I 0 0 0 0
I I 0 0 I I 0 0
I 0 I 0 I 0 I 0
I I I I I I I 0
Karena eo adalah I jika el' e2, atau e3 adalah I, eo =el +e2+e3, dan gerbang tersebut melakukan fungsi OR untuk logika negatif. Perhatikan bahwa fungsi yang dinyatakan untuk logika negatif adalah dual dari fungsi untuk logika positif. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa hal ini benar secara umum untuk setiap jaringan logika. Berikutnya, kita akan mempertimbangkanjenis gerbang logika lainnya yang mempunyai voltase input dan output yang berkaitan seperti terlihat dalam Tabel 3-1(a). Lihat Lampiran A.I untuk contoh sebuah sirkuit diode yang menyatakan tabel ini.
Tabel3-1
(a) voltase
82
e(
e2
e3
0 0
0 0
0 +V
0 0 +V
+V +V 0
0 +V 0
+V
0
+V
+V +V
+V +V
0 +V
eo 0
I
I
+V +V +V +V
+V +V I1 +V I
I
(b)
logika positif el
e2
e3
eo
0 0 0
0 0 I
0 1 0
0 1
0 I
I 0
I 0
I
I 1 1
0 I I
I 0 I
I
I
I I
I I I I
(c) logika negatif el
e2
e3
I 1 I I 0 0 0 0
I I 0 0 I I 0 0
I 0 I 0 I 0 I 0
I
eo
0 0 0 0 0 0
Tabel 3-1(b) dan 3-I(c) rnenunjukkanhasil ketika Tabel 3-I(a) diterjemahkan sesuai dengan logika positif dan negatif. secara berurutan. Untuk logika positif. eo adalah 1 jika el. e2. atau e3. adalah I sehingga eo = el + e2 + e3. dan Tabel 3-1(a) rnewakili sebuah gerbang OR. Untuk logika negatif. eo = e.e2e3. dan Tabel 3-1(a) rnewakili gerbang AND. Jika kita mengetahui fungsi yang dinyatakan dengan jaringan watching untuk logika positif. kita dengan rnudah dapat rnenentukan fungsi yang dinyatakan dengan jaringan yang sarna untuk logika negatif dengan penerapan teorema logika negatif : Jika jaringan kornbinasi yang ada rnenyatakan suatu fungsi F ketika variabel input dan output ditentukan sesuaidengan logika positif.jaringan yang sarna akan rnewujudkan fungsi dual (FD)ketika variabel input dan output ditentukan sesuai dengan logika negatif. 83
.
_ h _... u_.
CONTOH : A~ B~ C~
G
.
G
Tingkat voltase input dan output adalah 0 dan +5 volt. Jika untuk logika positif (Iogika 0
=0
volt, logika I
=5
volt) jaringan output-nya adalah
= ABC'
G
kernudian untuk logika negatif (Iogika I output-nya adalah G
= (A
+ A'B'C
=0
volt, logika 0
=5
volt) jaringan
+ B + C')(A' + B' + C)
Untuk rangkaian voltase input tersebut , voltase output-nya sarna pada kedua kasus. Ini hanya merupakan interpretasi logika dari voltase ini yang berbeda dalam kedua kasus. Bukti : Pertimbangkan jaringan berikut ini di mana logika positif digunakan untuk semua variabel : x1~
z xn~
Sekarang berilah label kernbali input dan output dengan menggunakan variabel logika negatif. wl~ w2~ z wn~
84
Untuk voltase input tertentu yang diaplikasikanke terminali. jika xi = O.
Wi
= 1.Oleh karenaitu. Wj=X/dan demikianpula y = z'. Untukvariabellogika
positif. buatlah z= f(xi. x2.
xn). Kemudian untuk variabellogika negatif.
. I I Y =fi(wI' w2
.
wn )
Oleh karena itu.
karena dual dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan mengkomplementasikan sebuah fungsi dan kernudian mengganti semua variabel dengan komplemen rnereka. Jika. seperti dilakukan dalam contoh. kita rnenggunakan nama variabel yang sarna untuk kedua logika positif dan negatif. kernudian untuk logika negatif.
Dengan rnengaplikasikan teorema logika negatif. kita dapat melihat bahwa sebuah sirkuit logika yang menyatakan gerbang AND untuk logika positif rnenyatakan gerbang OR untuk logika negatif dan sebaliknya. Karena dual dari eksklusif OR adalah (x (9 yp= (x'y + xy')D=(x'+y)(x + y')= x'y'+ xy= (x-y)
(3-29)
gerbang yang menyatakan eksklusif OR untuk logika positif rnenyatakan ekuivalensi untuk logika negatif.
LATiHANTERPROGRAM 3.1 Tutuplah jawaban untuk latihan ini dengan selembar kertas dan geserlah tutup tersebut ke bawah ketika anda mengecek jawaban anda. Tulislah jawaban anda pada ruang yang tersedia sebelum rnelihat pada jawaban yang benar. Kalirnat berikut ini harus dikalikan untuk membentuk jumlah produk : (A + B + C')(A' + B'.+ D)(A' + C + D')(A + C' + D) 85
Pertama kali, tentukan pasangan penjurnlahan term yang rnernpunyai dua huruf biasa dan rnengaplikasikanhukurndistributif kedua. Juga aplikasikan hukurn yang sarna untuk pasangan term yang lain. Jawaban : (A + C' + BD)[A'+ (B' + D)(C + D')] (Catatan : Jawaban ini didapatkan dengan rnenggunakan (X + Y)(X + Z) + YZ).
=X
Selanjutnya, tentukan term pasangan jurnlah yang rnernpunyai variabel pada satu sisi dan kornplernennya pada sisi yang lain. Gunakan teorerna yang tepat untuk rnengkalikan jurnlah term ini bersarna-sarna tanpa rnemperkenalkan term sisa. Aplikas.kan teorema yang sarna saat kedua. Jawaban : (A+C'+ BD)(A'+ B'D'+ CD)= A(B'D'+ CD)+A'(C'+BD) atau A(B'+D)(C + D') + A'(C'+BD)
= A(B'D'+CD)
+A'(C'+BD)
Catatan : Jawaban ini diperoleh dengan rnenggunakan (X + Y)(X' + Z) + X'Y).
= XZ
Lengkapilah soal dengan mengkalikan menggunakan hukurn distri.butif biasa. Jawaban Akhir : AB'D + ACD + A'C' + A'BD
LATiHANTERPROGRAM 3.2 Tutuplah jawaban dari latihan ini dengan selernbar kertas dan geserlah ke bawah ketika anda rnengecekjawaban. Tulislah jawaban anda pada ruang I spasi yang tersedia sebelum rnelihat pada jawaban yang benar. Kalirnat yang berikut ini harus difaktorkan untuk rnembentuk hasil penjurnlahan : 86
- -..
----.........
+
...
WXY' + W'X'Z + WY'Z + W'YZ' Pertama kali, faktorkanlah sepanjang anda menggunakan hukum distributif biasa.
Jawaban:
WY'(X + Z) + W'(X'Z + YZ')
Berikutnya, faktorkan lebih lanjut dengan menggunakan sebuah teorema yang melibatkan sebuah variabel dan komplemennya. Aplikasikan teorema ini dua kali.
Jawaban :
(W + X'Z + YZ)[W'+ Y'(X + Z)] = [W + (X'+Z')(Y + Z)][W'+Y'(X + Z)]
atau
WY"(X + Z) + W'(X'+Z')(Y + Z) = [W + (X'+Z')9Y + Z)][W' + Y'(X + Z)] (Catatan : jawaban ini diperoleh dengan menggunakan AB = A'C=(A + C)(A' + B).)
Sekarang, selesaikan pemfaktoran dengan menggunakan hukum distributif kedua.
Jawaban akhir: (W + X' + Z')(W + Y + Z)(W'+ Y')(W'+X + Z)
87
SOAL 3.3
3.4
(a)
wx(y'z + yz') + w'x'(y' + z)(y + z')
(b)
VI+ (ab + c')(d'e + 1)+ g(h'+O)
(c)
lab' + d(e'f+ g'h)][a'+ bcd(e'+ fg))
Ulangilah Soal 3.3 untuk: (a)
(a'b + 1)(cd + e')+ f(g'+ 0) + h
(b)
a'b'(c + d')(c' + d) + ab(c'd + cd')
(c)
[abc(d' + e'f) + g][a'g + c(d'e' + fh)]
3.5
Tentukan dual dari masing-masing kalimat dalam Soal 3.3 (jangan disederhanakan).
3.6
Tentukan dual dari masing-masing kalimat dalam Soal 3.4 (jangan disederhanakan).
3.7
Tentukan dual dan komplemen dari kalimat berikut ini Uangan disederhanakan) :
3.8
88
Berapakan komplemen dari masing-masing kalimat berikut ini (jangan menyederhanakan hasilnya):
(a)
F
= [(AB + C'D
(b)
F
= (A'
(c)
F = [AB'(C + DE') · 0] + AC(I + CD + B'E)
+ B
·
+ E' + O)(A' + BC)+ I(D'E + B)](C + E')
·
0 + 1)[1 (AB'+ C)D + E ,.0] + A'B · I
Tentukan dual dan komplemen dari kalimat berikut ini Uangan disederhanakan) :
·
(a)
F
= (I
(b)
F
= [A
(c)
F = [I · (A'B + C) + (0'+ CE)(B' + CD + AE' + O)](B'+ E)
+ AB + C'D)AE + [0
·
0 + B(C + DE')
·
C'E(A + BD')]
1](0'+ E
·
0 + I) + D'E. I
3.9
(a)
Kalikanlah untuk memperoleh jumlah dari empat term ; (A' + B + D)(A + C)(A + B' + D)(A'+C'+D')(A'B)
(Petunjuk : Aplikasikan X(X + Y)= X untuk menghilangkan sebuah term sebelum anda memulai perkalian.)
(b)
Kalikanlah untuk mendapatkan jumlah empat term : (B' + C' + D')(A' + B' + C')(A + B + C)(B + C + D)
(c)
Kalikanlah untuk mendapatkan penjumlahan dari tiga term: (A'+ C' + D)(A' + C)(B + C'+D')(A'+B + C)(C + D)
3.10
Ulangilah Soal 3.9 untuk : (a)
(A'+ B' + c")(A + C + D')(A + B)(A' + D)(A' + C + D)
(b)
(A. + B' + C)(A + D')(A'+ B + D')(A + C + D')
(c)
(A + B + C)(A' + B' + D')(A' + B'+ C')(A + B + D)
3.11 (a)
.Faktorkanlah untuk mendapatkan hasil dari empat term: A'B'C'+ A'D' + ABC' + AD
(b)
Faktorkanlah untuk mendapatkan hasil dari empat term : ACD + A'B'D' + A'BC + AC'D'
(c)
Faktorkanlah untuk mendapatkan hasil dari empat term : A'C'D' + AB'D' + A'CD' + BD
3.12 (a)
Faktorkanlah untuk mendapatkan hasil dari empat term: A'B'C + AC'D + ABC + BC'D'
(b)
Faktorkanlah untuk mendapatkan hasil dari empat term: AB + A'B'+ B'C'D' + BCD' 89
(c)
Faktorkanlah untuk mendapatkan hasil daTiempat term: AB + A'B'c + B'C'D + BC'D'
3.13 Sederhanakanlah
masing-masing kalimat ini:
(a).
AB' + A'B'D + A'CD'
(b)
(A' + C' + D)(A + B' + C')(B + C')
(c)
AB' + AB'CD + ABC'D'
(d)
CE(A' + B + C' + E')(B + C' + D + E')(A + B + C' + E')
3.14 Sederhanakanlah masing-masing kalimat berikut: (a)
ABCD' + A'B'CD + CD'
(b)
AB'C" + CD' + BC'D'
(c)
(A + B')(A' + B' + D)(B' + C + D')
(d)
(A' + B + C' + D)(A' + C' + D + E)(A' + C' + D + E')AC
3.15 Carilah F dan G serta sederhanakan: A B F (a)
A
(b) R s T R S
90
v ,
p G
3.16 Konversikan kalimat berikut ini ke bentuk hasil-jumlah : WX'Y + WXZ' + Y'Z
3.17 Konversikan kalimat berikut ini ke bentuk jumlah-hasil : (A' + B)(A' + B' + C)(B + D + E)(A + B' + E') 3.18 Tulislah kalimat untuk F dan sederhanakanlah :
A B
F
A D
3.19 Jawablah berikut ini : (a)
Apakah hukum distributif berikut ini valid ? A E9 BC + (A E9 B)(A E9 C). Buktikan jawaban anda.
(b) Nyatakan dan buktikan hukum asosiatif untuk operasiekuivalensi.
3.20 Sederhanakanlah untuk mendapatkan jumlah dari dua term : (a) (b
[A E9(B + C")][A + C) = B'C] (X E9Y)(X E9Z) + (X E9Y)(Y E9Z)
91
-
3.21 (a) (b)
Tunjukkanbahwa x e y
= (x = y)'.
Nyatakan a'b'c' + a'bc + ab'c + abc' dengan menggunakan 2 input gerbang ukuivalen saja.
~.22 .Carilah kalimat untuk F yang hanya menggunakan operasi eksklusif -OR dan komplemen. F
= a'b'c'
+ abc' + a'bc + ab'c
3.23 Tabel berikut ini menunjukkan voltase input dan output untuk 2 input sirkuit gerbang logika. (a) Translasikan tabel ini ke tabel "kebenaran" dengan menggunakan logika positif. Fungsi logika apakah yang dinyatakan untuk logika positif ? (b) Translasikan tabel ini ke tabel "kebenaran" dengan menggunakan logika negatif. Fungsi logika apakah yang dinyatakan untuk logika negatif ?
el
e2
-5 -5 +5
-5 +5 -5
+5
+5
+5
+5
-5 -5
3.24 UIangilah Soal 3.23 untuk tabel berikut ini :
92
e.
e2
eo
+5 +5 -5 -5
+5 -5 +5
-5 +5 +5
-5
-5
3.25 Tabel berikut ini menunjukkan voltase input dan output untuk 3 input sirkuit gerbang logika. (a) Jika +5 volt adalah logika I, dan -5 vo't adalah logika 0, logika operasi manakah yang dinyatakan oleh gerbang tersebut ? (b) Jika -5 volt adalah logika I, dan +5 volt adalah logika 0, operasi logika manakah yang dinyatakan oleh gerbang tersebut ?
el
e2
e3
eo
+5 +5 +5 +5 -5 -5 -5 -5
+5 +5 -5 -5 +5 +5 -5 -5
+5 -5 +5 -5 +5 -5 +5 -5
+5 +5 -5 +5 +5 +5 +5 -5
93
