4.
K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. Určete počet vlajek: a) které lze z těchto látek sestavit (60) b) kolik z nich má modrý pruh (36) c) kolik z nich má modrý pruh uprostřed (12) d) kolik z nich nemá červený pruh uprostřed. (48)
16. Kombinatorika Další dovednosti: - permutace s opakováním - kombinace s opakováním (při min.14-ti hod.dotaci) - základní pojmy pravděpodobnosti - důkazové úlohy na základě binomické věty
5. O telefonním čísle spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. (42)
Možné maturitní otázky: Variace a permutace Kombinace Binomická věta
6. S připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentu vystoupit šest poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet: a) všech možných pořadí jejich vystoupení (720) b) všech pořadí,kdy vystupuje A po E (360) c) všech pořadí,kdy vystupuje A ihned po E (120)
Úlohy: 1. Kolik přirozených čísel větších než 300 lze vytvořit z cifer 1, ( 36;288) 2, 3, 4 (bez opakování, s opakováním).
7. Kolika způsoby může 50 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit: a) do řady (50!) b) do řady, kdy je táborník A na kraji (2.49!) c) do řady, v níž nejsou táborníci A, B vedle sebe (48.49!) d) do kruhu, v němž záleží na pořadí. (49!)
2. Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do místa C vedou cesty 3. Určete, kolika způsoby lze vybrat trasu z místa A do místa C a zpět tak, že: a) bez omezení (144) b) z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát (72) c) z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát (60) d) z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát (12)
8. Kolik přirozených čísel lze vytvořit z cifer 0, 1, 2, 3 , 5 ( 252) větších než 15 (bez opakování).
3. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto čísel je větších než 9000? Kolik je menších než 3000? (336, 672)
9. Jsou dány cifry 1, 2, 3, 4, 5. Kolik lze sestavit čtyřciferných čísel (přirozených, s opakováním), dělitelných pěti, (dvěma, čtyřmi). (125;250;125) 1
10. Kolik přirozených čísel menších než 5000 lze vytvořit ( 42) z cifer 0, 3, 4, 5 bez opakování. c) kružnic
11. Kolika způsoby se v šestimístné lavici může posadit šest hochů, jestliže: a) dva chtějí sedět vedle sebe (240) b) dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji. (96) 12. Zjednodušte:
13. Řešte rovnici:
n p − 3 3
18. Ze šesti mužů a čtyř žen se má vybrat sedmičlenná skupina: (120) a) kolika způsoby je to možné b) kolika způsoby je to možné, mají-li tam být právě dvě ( 36) ženy c) vypočtěte v % pravděpodobnost, že v náhodně vybrané sedmičlenné skupině budou aspoň tři ženy. 2 .100% 3
n! ( n + 1)! − ( n + 2)! − n! = − ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 3)! ( n + 3)! − n ( n + 1).( n + 3) x! ( x − 1)! = 4 + 2!( x − 2 )! 2!( x − 3)!
( x = 3)
19. V prostoru je dáno 15 bodů. Kolik určují : a) rovin, jestliže žádné 4 neleží v jedné rovině b) rovin, jestliže 8 z nich leží v jedné rovině.
14. Dokažte, že platí: 1!+ 2.2!+ 3.3!+ ... + n.n! = ( n + 1)!− 1 15. Řešte: log ( x + 6)!− log( x + 5)!= 2 log x
n p − 3 3
( x = 3)
(455) (400)
20. Je dána krychle ABCDEFGH. Na každé hraně je dáno 8 vnitřních bodů. Určete počet: a) trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech (142208) b) trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech a trojúhelníky leží na povrchu krychle. (28416)
16. Z kolika prvků lze vytvořit 5040 variací čtvrté třídy bez (10) opakování. 17. V rovině je dáno n bodů a p z nich leží na jedné přímce. Kolik je těmito body určeno: a) přímek n p − + 1 2 2
21. V krabici je 10 výrobků, z nichž právě 3 jsou vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5 výrobků tak, aby: a) žádný nebyl vadný (21) b) právě 1 byl vadný (105) c) nejvýše 1 byl vadný (126) d) právě 2 byly vadné (105)
b) trojúhelníků
2
e) nejvýše 2 byly vadné f) aspoň 2 byly vadné
(231) (126)
26. Test zkoušky se skládá z 5 otázek. Budou tam dvě otázky z dějepisu, (připraveno je 30), dvě ze zeměpisu (připraveno je 25), a jedna otázka z občanské výchovy (připraveno je 20). Kolik variant testu je možných? 30 25 20 . . 2 2 1
22. Kolika způsoby, je možno ze dvaceti osob vybrat deset, požadujeme-li , aby mezi vybranými: 19 a) nebyl pan A 10 20 18 − b) nebyli současně A a B 10 8 18 18 2. + c) byl aspoň jeden z A a B. 9 8
27. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet kombinací třetí ( 7) třídy o 21. Kolik bylo prvků? 28. Pro jaké x je v rozvoji výrazu
3
4 − 2x +
6
3 − 2x
člen roven 168?
23. Je dána čtvercová síť 5x4 v obdélníku ABCD tak, že AB = 5 dílků. Kolik cest vede z A do C, jestliže mohu jít jen vpravo a nahoru? Kolik těchto cest vede bodem Q[3;2]? (126;60) 24. Řešte: x x x2 + 1 + = a) 2 x − 1 x − 2 x x x b) + + = 5 x 1 2 3 n + 1 n + 4 n + 7 + + 〈 90 c) 2 2 2
(
)
9
sedmý
(1)
29. Určete komplexní číslo x, pro které je sedmý člen rozvoje 1 10 výrazu x − i 2 roven -105. 2
(
)
30. Určete absolutní člen v rozvoji výrazů:
( x = 1)
a)
(
3
[
x2 +
5
x3
b) 4 x − 3x − 1
( x1 = 3)
]
)
20! 10 3 x .x 15!.5! 9 4 ( 2 .3 .5 .7 )
20
8
31. Najděte všechny členy rozvoje, které obsahují: 12 a) x3 v rozvoji 2 x 2 − x − 1
(
25. Zapište jediným kombinačním číslem: 3 4 5 6 7 a) + + + + = 3 3 3 3 3
(
b) x6 v rozvoji 2 x 3 + x − 1
)
)
12 5 3 .2 .x 7 10
10 4 6 .2 .x 6
10 11 12 13 b) + + + = 10 10 10 10
3
1 32. V rozvoji výrazu x x + 4 x
n
je součet prvních tří 11 11; 3
koeficientů 67. Určete absolutní člen rozvoje.
33. Určete kolik racionálních členů má rozvoj
(
2+
3
určete je.
3
)
50
,
( 8)
34. Dokažte, že platí: a) 100 / 1110 − 1 b) 7 / 6 2 n − 1 n n n n n n c) − + − + ... + ( − 1) = 0 0 1 2 3 n n n n n 2 n 3 n n d) + 2. + 2 . + 2 . + ... + ( 2 ) = 3 0 1 2 3 n
(
(
)
)
n n n n n 2 n 3 n e) − 2. + 2 . − 2 . + ... + ( − 2 ) = ( − 1) 0 1 2 3 n
35. Najděte všechna čísla z, pro která je sedmý člen rozvoje 10 výrazu z − i 2 roven číslu -1680.
(
)
(z
1
= 1; z 2 = − 1; z 3 = i; z 4 = − i
(
)
)
10
36. Určete největší člen v rozvoji výrazu podle 2+1 binomické věty. (pátý člen = 1680)
4
17. Posloupnosti a řady
∞
1 3. Dokažte, že posloupnost 3 − n + 1 1 vypočtěte její limitu.
Další dovednosti a znalosti: - umět převést poslední ze zadání n-tým členem na rekurentní vztah a obráceně - aktivně ovládat důkaz matematickou indukcí - znát jednoduché a složené úrokování při spořících účtech - znát výpočet splatnosti úvěrů
{
4. Je dána posloupnost log 2 n a) dokažte, že je rostoucí b) určete rekurentní vzorec.
Možné maturitní otázky: Obecné vlastnosti posloupností Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řada
}
je monotónní a
( R;3)
∞ 1
a1 = log 2 a n + 1 = a n + log 2
5. Rozhodněte, jestli jsou posloupnosti shora- zdola omezené, rostoucí-klesající : a) {n 2 − 1} ∞ ( R, zdola ) 1 ∞
1 b) − n 1
( R, omezená ) ∞
5n + 2 c) n+ 1 1
Úlohy: ∞
2n + 1 1. Vypočtěte limitu posloupnosti n 3− 2 1
∞
( − 1)
d) n + 4 − n 1 ∞
n e) n + 1 1
∞
5 + 3n 2. V posloupnosti 2n + 1 1 a) zjistěte monotónnost
(K)
c) pro která n jsou členy této posloupnosti větší než
23 15
( R, omezená ) ( R, omezená )
6. U posloupnosti rozhodněte o monotónnosti a vypočtěte její ∞ 1 1 + 2 + 3 + .... + n limitu: 1 6 9n 4 + 1
3 2
b) určete limitu
( R, omezená )
( n〈 52) 5
7. Určete, zda je posloupnost monotónní:
∞
∞
2n + 2 a) 2n + 1 1
b) { log n −
5 + ( − 1) n . n d) n 1
(K)
∞
n3 − 4 e) 2 5n 1
( R)
log( n + 1)} 1
∞
d) {n 2 + 2n + 4} 1
∞
∞
n+ 1 e) 2n + 3 1
∞
∞
( R)
5n 2 − 4n + h) 2 3n + 2n −
1 an a n + 1 = 1 − n.( 2n + 1)
b) rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí- klesající
(K)
c) rozhodněte, zda je posloupnost omezená.
(O)
5 K, 3 1 K ,− 2
10. Určete první a osmý člen posloupnosti: a) a n + 1 = a n + 3 a4 = 0
a1 = − 9 a 8 = 12
b) a n + 2 = a n + a n + 1 a 5 = 10
9. Vypočtěte limitu posloupnosti. Určete, zda je konvergentní či divergentní: ∞ 3n + 1 a) ( K ,3) n+ 21
∞
∞
3 1 1 ∞
1
2n c) 2 n + 2 1
( K ,0 )
i) 1 + 2 + 3 + ...... + n − n n+ 2 2 1
a) odhadněte a dokažte vzorec pro n-tý člen posloupnosti n an = 2n −
∞
( K ,2 )
3n 2 + 4n + 5 g) 3 2 4n − 2n 1
8. Posloupnost je dána rekurentně a1 = 1
n 2 + 1 b) 2 n − 1 1
( D)
(n − 3)(2n − 1) f) ( n + 1) 2 1
(K) ( R)
c) { − 2n + 3} ∞ 1
( D)
a6 = 9
a1 = 23 a 8 = 28
11. Mezi čísla 4 a 37 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o součtu 246. Určete počet (10 − čísel; d = 3) vložených čísel a její diferenci.
( K ,1) ( K ,0 ) 6
12. Čísla a1, a2, a3, a4, a5 mají tu vlastnost, že první tři tvoří geometrickou posloupnost a poslední 4 tvoří aritmetickou posloupnost. Určete tato čísla, jestliže: a2 + a3 + a4 + a5 = 4
a2 .a5 = − 8
19. Je dána aritmetická posloupnost: an = 80 d= 8 sn = 416 Určete: a1 , n.
( 8;4;2;0;− 2)
n1 = 13; a1 = − 16 n´1 = 8; a´1 = 24
13. Určete velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníka, jestliže jeho úhly tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické ( 30° ;60° ;90° ) posloupnosti.
20. Určete geometrickou posloupnost v níž platí: s4 = 15 a1 + a4 = 9
14. Součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti je 190, součin prostředních členů je 357. Určete je! (1;5;9;13;17;21;25;29;33;37)
q = 2; a1 = 1 q´= 1 ; a´ = 8 1 4
15. V aritmetické posloupnosti 30, 27, 24, 21,... najděte člen, jenž je roven 1/8 součtu všech předcházejících členů ( a 6 = 15; a 33 = − 66) aritmetické posloupnosti.
21. Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníka, jestliže jeho strany tvoří tři po sobě jdoucí (α = 38° 10´) členy geometrické posloupnosti.
16. Velikosti stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Velikost větší odvěsny je 24. Vypočtěte velikost stran a úhlů. (α = 36° 52´; β = 53° 8´; a = 18; c = 30)
22. Určete počet prvních n-členů geometrické posloupnosti, jeli: a1 = 2
17. Částka se má rozdělit tak, aby první osoba dostala 100,- a každá další o 5,- více. Kolik osob lze podělit při částce 1225,- a kolik dostane poslední z nich. ( n = 10; a10 = 145 Kč ) 18. Urči aritmetickou posloupnost je-li: a2 + a5 − a3 = 10 a1 + a6 = 17
q= − 3
(
)
s n = − 80 3 − 1
23. V geometrické posloupnosti je: a1 = 1 an = 512 sn = 1023
( a1 = 1; d = 3)
7
( n = 8)
( n = 10; q = 2)
Určete n.
a1 + a 4 7 = a 2 + a3 3 a1 − 48 = a2 Určete a1 a q.
24. Mezi čísla 5 a 640 vložte n čísel tak, aby součet vložených čísel byl 630 a aby všechna tvořila geometrickou posloupnost. ( a 2 = 10; q = 2) 25. Pro která t∈R existuje: lim t + 1 n→ ∞ t − 1
a1 = − 24; q = 3 a = 72; q = 1 1 3
n
(t ∈ (−
31. V geometrické posloupnosti je: a7 − a5 = 48 a6 + a5 = 48 sn = 1023 Určete a1, q, n.
∞ ;0 ) )
26. Povrch kvádru je 78 cm2 , součet délek hran jdoucích z jednoho vrcholu je 13 cm. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li hrany tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. V = 27cm 3
(
)
28. Určete geometrickou posloupnost, je-li: a1 = 2 an = 13122
29. V geometrické posloupnosti je: a1 + a3 + a5 = 105 a2 + a4 = 50
2; a1 = 1; n = 10)
32. Určete čtyři čísla, z nichž tři tvoří aritmetickou posloupnost a poslední tři geometrickou posloupnost. Přitom součet krajních dvou čísel je 37 a součet prostředních je 36. 5 q = ; a1 = 12; d = 4 4 7 99 9 ;d = − q = ; a1 = 9 4 2
27. Určete tři kladná čísla, aby byla za sebou jdoucími členy geometrické posloupnosti, víme-li, že jejich součet je 21 a ( 3;6;12) součet jejich převrácených hodnot je 7/12.
sn = 19682
(q =
( q = 3)
33. Původní cena stroje byla 40000,- Kč. Jakou cenu bude mít stroj za 20 let, je-li ročně amortizován 20%. 34. Vkladatel si uložil v bance 20000,- Kč na termínovaný vklad dvou let, při pololetním úrokovacím období. Roční úroková míra je 11% a daň z úroků je 15% . Kolik bude mít (V = 24800 Kč ) vkladatel za dva roky?
(q = )
30. V geometrické posloupnosti je:
8
35. Občan si založil osobní konto v bance v úvodu roku vkladem 1500,- Kč. Každý měsíc pak vkládal 1500,- po dobu 5 let, Úroková míra banky byla 9%, úroky byly připisovány na konci každého roku. Daň z úroků je 15%. Kolik měl střadatel na konci pátého roku? (V = 111411,80 Kč )
∞
)
b)
b)
3−1 2
+
(
) +(
3−1 2
2
c) 1 + cos 2 x + cos 4 x + ...
)
3− 1 2
3
+ ...
∑
sin 2 n − 2 x = 2tgx
x x + + ... = log( 4 x − 14 ) 2 4 x2 x3 x 4 3x + 1 d) x + + + + ...〉 2 4 8 3
42. Vypočtěte: 1 + 2 + 3 + ... + n = n n a) n + + + ... 2 4 2 b) 5 − 2 + 5 − 2 +
39. Určete součet: 1
2 nx = 1
c) log x +
3
sin n x
( x = 3)
n= 1
3 x= 2 ∞
∑
n= 1 ∞
38. Řešte rovnici: ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + ... = 1
∑
12.2 3 x − 8
a)
34 62 − ; ; ;... 99 165
a)
b) 2 3 x + 2 3 x − 1 + 2 3 x − 2 + ... =
3 x= ± 3 1 x1 = ; x 2 ´0 3
41 Řešte:
37. Vyjádřete zlomkem čísla: - 0, 34; 0,375; 3,5135;...
2
tg 2 x 1 + tg 2 x
1 x x c) 2 log x + 2 + 4 + ... = log( 4 x − 14 ) 2 2 2 d) 2 + 3 + 9 + 27 + ... = log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 1)
36. Banka poskytla podnikateli počátkem roku úvěr ve výši jeden milion korun na dobu tří let s úrokovou mírou 14% při úrokovacím období 1 roku. Podnikatel zaplatí dluh ve třech stejných splátkách a to vždy na konci roku. Kolik ( s = 432111,40 Kč ) bude každým rokem splácet?
(
a) 1 − tgx + tg 2 x − tg 3 x + ... =
sin x s= 1 − sin x 6+ 2 s= 2 1 s= sin 2 x
(
) (
) (
)
3
5 − 2 + ... =
43. Do rovnostranného trojúhelníka o délce hrany a je vepsán kruh, do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník, do něj zase kruh atd. Vypočtěte součet obsahů takto vzniklých:
40. Řešte rovnici: 9
a2 s = 3 3 2 a s = π 9
a) trojúhelníků b) kruhů
44. V rovnoramenném trojúhelníku ABC s přeponou AB 1
1
1
2
sestrojíme výšku CC , v trojúhelníku ACC výšku C C 1,
1
2
1
2
2
z vrcholu C v trojúhelníku AC C výšku C C z vrcholu C 1
2
3
atd. Vyjádřete délku nekonečné čáry CC C C …. pomocí délky a odvěsny BC.
(d = a.(
))
2+1 45. V krychli ABCDEFGH o hraně a = 6 cm označte postupně A1, B1, C1, D1 středy hran EF, FG, GH, HE. Čtverec A1B1C1D1 tvoří podstavu další krychle A1B1C1D1E1F1G1H1, která je postavená na původní krychli. Označte postupně A2, B2, C2, D2 středy hran E1F1, F1G1, G1H1, H1E1. Čtverec A2B2C2D2 tvoří podstavu další krychle A2B2C2D2E2F2G2H2, která je postavená na předchozí krychli. Tento postup stále opakujte. Vypočítejte objem nekonečné pyramidy, která takto vznikne. 432 4 + 2 3 V = cm 7
(
)
10
a) u =H-A, v = B-C, P = B b) u =B-A, v = F-G, P = D c) u =G-A, v = A-H, P = D
18. Vektorová algebra Další dovednosti: -
6. V trojúhelníku ABC označíme střed strany BC jako P. Dokažte, že platí: (B-A) +2(C-B) +3(A-C) = 2(A-P) 7. Je dána krychle ABCDEFGH. Dokažte, že platí: 2(C-A) +3(E-D) = 2(F-A) +(F-C)
Možná maturitní otázka: Vektorová algebra
8. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Dokažte, že: AB + AC + AD + AE + AF = 3 AD Úlohy: 1. Určete vektor v , který je kolmý k u (5;12) a má velikost v = 32,5 .
9. Jsou dány body A[1;1], B[2;-1],C[3;2]: a) dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy ∆ b) vypočtěte vzdálenost těžiště T od vrcholu C.
2. Určete úhly v ∆ ABC: A[-1;0], B[2;5], C[4;1]. Vypočtěte jeho plochu. α = 54° 12´; β = 57° 30´; χ = 74° 45´ S = 14 , 36
(u ≠ k.v)
5 TC = 3
10. Jsou dány vrcholy ∆ ABC: A[0;5], B[6;-2] a těžiště T[3;6]. ( C = [ 3;15] ) Určete souřadnice vrcholu C. 11. Vypočtěte souřadnice těžiště ∆MNQ: M[1;3], N[0;4], Q[1;4]. 11 T = 0; 3
3. V trojúhelníku ABC je AB = u , BC = v . Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory AM , BN , CP, kde M, N, P jsou středy stran proti vrcholům A, B, C. u = B-A, 4. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF a vektory: v =E-F. Vyjádřete pomocí vektorů u , v vektory: a = F-C, b = E-D, c = F-D, d = B-F, e = C-E. Dále určete součet vektorů a + b + c .
12. Dokažte, že ABCD je lichoběžník a v jakém poměru jsou velikosti základen a velikost úhlu BAD; A[1;1], B[3;5],C[ ( α = 29° 45´; c : a = 2 : 3) 7;9], D[4;3].
5. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete bod X tak, aby platilo u + v = X-P. Zapište bod X pomocí vrcholů krychle: 11
20. V prostoru je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a = 3. Zvolte soustavu souřadnic a pomocí skalárního součinu určete velikost úhlu ϕ mezi vektorem (H-B) a vektorem: a) A-B b) G-A c) A-F d) G-B
13. Dokažte, že ABCD jsou vrcholy kosočtverce; A[0;0], B[3;-4], C[6;0], D[3;4]. Vypočtěte velikosti jeho hran, úhlopříček a velikosti vnitřních úhlů. a = 5; α = 106° 16´; e = 6; f = 8 14..Vektor u (0;− 2;4) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů a (2;− 2;3) , b (1;− 1;2) , c (0;4;2) .
21. V trojúhelníku ABC jsou dány vrcholy A[0;0], B[2;0] a 2 2 3 těžiště T ; . Dokažte, že trojúhelník ABC je 3 3
1 u = − 5a + 10b − c 2
pravoúhlý a vypočtěte velikosti všech jeho úhlů. ( α = 90° ; β = 60° ; χ = 30° )
15. Zjistěte, zda body A, B, C, D leží v rovině (využijte lineární kombinace vektorů): a) A[2;-3;1], B[6;-10;2], C[-3;-1;-5], D[1;-8;-4] (ano) b) A[1;0;1], B[2;2;-1], C[4;6;-2], D[1;2;5]. (ne) c) A[1;2;-1], B[1;1;5], C[-1;2;1], D[2;1;3]. (ano)
22. Určete všechny body přímky p: x - 7y + 36 = 0, ze kterých je vidět úsečka AB v zorném úhlu 90°, je-li A[0;-2], B[6;6]. ( P = [ 6;6]; Q[ − 1;5] )
16.
23. Určete vektor v , který je kolmý k vektoru v = jehož velikost je 4.
17. Určete úhel vektorů u , v je-li u = 5 , v = 8 a u − v = 7 . (ϕ = 60° ) 18. Vektory u , v svírají úhel 30° a přitom platí u = 3 , v = 1 . Určete úhel vektorů a = u + v a vektoru b = u − v . (ϕ = 20° 34´)
48 20 ;− 13 13
24. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož podstavná hrana má velikost a = 4, výška jehlanu v = 6 a střed hrany BC je bod E. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a řešte úlohy: a) vypočtěte velikost boční hrany jehlanu b) určete velikost úhlu vektorů v = V − E a u = D − A c) určete velikost úhlu vektorů u a w = C − A
19. Jsou dány vektory a = ( 2;5;− 1) ; b = (1;− 2;3) ; c = ( 2;− 1;1) . Určete souřadnice vektoru, který je kolmý k vektorům a, b a dále platí: x.c = 6.
u = ( 5;12 ) a
13 7 9 x = ;− ;− 4 4 4
12
25. Je dán trojúhelník ABC, A[1;3;1], B[4;1;3], C[1;4;-1], 7 S= Vypočítejte jeho obsah: 2
32. Jsou dány body A[1;3;-2], B[3;-2;5], C[0;1;7], D[8;0;3]. a) vypočítejte obsahy všech stěn b) vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD. c) vypočítejte vektory, které jsou určeny všemi výškami čtyřstěnu ABCD.
26. Vypočítejte vektorový součin vektorů u a v , je-li dáno: a) u = ( 2;1;3) a v = ( − 1;4;2 ) , w = ( − 10;− 7;9) b) u = ( 0;1;3) a v = (1;0;2) ,
c) u = ( 2;− 1;3) a v = ( 4;− 2;6 ) , d) u = ( 2;1) a v = ( 3;4 ) , 27.Jsou dány vektory
u = ( 2;3;4 ) a
(
) (w = ( 2;3;− 1) ) (w = ( 2;1;− 1) ) (w = ( 0;0;5) )
33. Vypočítejte obsah trojúhelníku v rovině, jsou-li jeho vrcholy dány souřadnicemi: A[-1;-1], B[2;0], C[1;3]. (S=5) 34. Vypočítejte obsah rovnoběžníku ABCD v rovině, jsou-li dány body A[2;1], B[1;3], C[-2;-1]. (S=10)
v = ( − 2; m;0 ) . Určete
hodnotu parametru m ∈ R tak, aby platilo ux v = 4 6 . 1 m1 = − ; m 2 = − 1 5
28. Na ose x určete bod X tak, aby obsah trojúhelníka PQX byl 3. Souřadnice P, Q jsou: P[4;0], Q[2;-4]. ( X 1 = [ 7;0]; X 2 = [1;0] ) 29. Na ose y určete bod Y tak, aby obsah trojúhelníka XYZ byl 10. Souřadnice X, Z jsou: X[2;1;0], Z[2;2;3]. 30. Jsou dány vektory a = ( 2;4;− 1) a b = ( 3;1;2 ) . Určete hodnotu parametru p ∈ R tak, aby pro vektor z = (1; p;2 ) platilo: ( p1 = 5; p 2 = 2) a x z ⊥ z xb
31. Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD, jsou-li dány jeho vrcholy: A[1;2;-1], B[3;-1;1], C[1;1;3], D[-1;2;0]. (V=3) 13
3. V ∆ ABC je vrchol A[-2;-4], B[4,-2] a průsečík výšek V[2;-1]. Určete souřadnice vrcholu C a těžiště T. 4 2 C = [1;2]; T = 1; ; O = 1;− 3 3
19. Analytická geometrie lineárních útvarů Další dovednosti: - znát zavedení soustavy souřadnic u plošných a prostorových útvarů - úsekový tvar přímky v rovině a jeho geometrický význam - vzájemný převod jednoho druhu rovnice přímky na jiný
4 Jsou dány body A[2;5], B[9;-3], C[-4;2]. Dokažte, že se jedná o trojúhelník, určete jeho vnitřní úhly a obsah. ( α = 104° 37´; β = 28° 20´; S = 34,5) 5 Na přímce x - 2y + 3 = 0 najděte body, které mají od bodu A[1;-2] vzdálenost 10.
Možné maturitní otázky: Analytická geometrie v rovině Analytická geometrie v prostoru
X = − 3 + 4 109 ; 6 + 2 109 ; Y = − 3 − 4 109 ; 6 − 2 109 5 5 5 5
Úlohy: 1.Je dán trojúhelník ABC, A[1;4], B[3;-2], C[-4;-6]. Určete parametrické, obecné a směrnicové rovnice přímek, na kterých leží: a) strana c b) výška vc c) těžnice tb d) osa úsečky BC e) střední příčka rovnoběžná s AC f) kolmice na AB bodem A.
6 Určete souřadnice bodu A´ souměrně sdruženého s bodem A[ ( A´= [ − 4;5] ) 8;1] podle přímky p: P[1;0], u (1;3). 7. Je dán trojúhelník ABC, A[-1;4], B[2;-2], C[5;-1]. Vypočítejte: ( β = 98° 8´) a) vnitřní úhel β trojúhelníka (ϕ = 81° 52´) b) odchylku přímek AB a BC c) odchylku osy úsečky AB a osy x d) velikost úhlu ATB, kde T je těžiště trojúhelníka ABC.
2. Bod S[1;-1] je střed čtverce, jehož strana leží na přímce p: x – 2y + 12 = 0. Najděte rovnice přímek, na kterých leží ostatní strany čtverce. x − 2 y − 18 = 0 2 x + y + 14 = 0 2 x + y − 16 = 0
3 x − 1 . Určete 3 směrnici k přímky p tak, aby odchylka přímek p a q byla 30°;
8. Jsou dány přímky p: y = kx + 2 a q: y =
14
x− y− 4= 0 7 x + y + 20 = 0
1. Napište obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem A a má od přímky p odchylku α: a) A[6;1]; p: 3x - √3.y – 7 = 0; α = 30° x − y. 3 + 3 − 6 = 0 b) A[5;√3]; p: x + √3.y – 1 = 0; α = 60° x − y. 3 − 2 = 0
(
(
)
15. Jsou dány body A[2;-3], B[1;4], C[2;2]. Najděte souřadnice bodu D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. ( AD = [ 3;− 5] )
)
16. Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem M [4;6]. Dva dané body A[-6;10], B[10;-6] mají od přímky stejnou vzdálenost. x + y − 10 = 0 2x − y − 2 = 0
10. Napište rovnici přímky p, která prochází bodem A[1;2] a 3 2 má od bodu B[1;-1] vzdálenost v = . 2 x − y + 1= 0 x + y − 3 = 0
17. Vypočítejte souřadnice vrcholů B, C rovnoramenného trojúhelníka ABC se základnou AB, víte-li, že vrchol A [3;-2 ], vrchol C leží na ose x, a dále víte, že osa úhlu χ má ( C = [ − 3;0]; B[ − 5;− 6] ) rovnici o: 2x + y + 6 = 0.
11. Na přímce 5x - 4y – 28 = 0 najděte bod, který má stejnou ( X = [10;5,5] ) vzdálenost k bodům M[1;5] a N[7;-3]. 12. Jsou dány body M[-2;3], A[5;-1], B[3;7]. Určete všechny přímky, které procházejí bodem M a mají od bodů A,B stejnou vzdálenost. 4x + y + 5 = 0 y= 3
18. Vypočítejte souřadnice vrcholů rovnoramenného trojúhelníka ABC se základnou AB, jestliže znáte obecnou rovnici přímky, na které leží těžnice ta: 4x + 3y + 5 = 0, ( A = [ − 2;1]; B[ 4;3]; C [10;− 25] ) těžiště T[4;-7] a SAB[1;2].
13. Na přímce p: 2x + y = 0 najděte bod C tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný, se základnou AB, kde A[6;4], B[2; 11 11 C = − ; 2]. 4 2
19. Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce ABCD tak, aby vrchol A ležel na přímce a: 2x – y + 1 = 0 a vrchol C ležel na přímce c: x + 5y – 12 = 0. Střed čtverce S[-2;1]. ( A = [ − 1;− 1]; B[ 0;2]; C [ − 3;3]; D[ − 4;0] )
14. Určete rovnici přímky, která prochází bodem ( A = [ 3;− 5] ) a jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 2 2 .
20. Vypočítejte souřadnice vrcholů kosočtverce ABCD tak, znáte-li vrchol B[4;-3] a víte-li, že úhlopříčka AC leží na přímce p: 2x – y + 4 = 0. Dále platí, že AC=2BD. ( A = [ 4;12]; C [ − 8;− 12]; D[ − 8;3] ) 15
c) vypočtěte objem tohoto jehlanu.
21. Jsou dány vrcholy ∆ABC: A[5;8], B[-2;9], C[-4;5]. Zjistěte, zda průsečík výšek, těžiště a střed kružnice opsané leží v téže přímce. 22. Bodem A[2;3;-1] veďte přímku, která je kolmá na rovinu ρ: x = 2 + r y = -1 + s z=r-s ( P = [ 3;2;− 2] ) Určete souřadnice paty této kolmice.
1 V = 3
27. V prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož podstavná hrana |AB| = 3 a výška v = 5. Určete: a) vzdálenost středu S podstavy od hrany AV (v=1,9) b) vzdálenost středu S podstavy od roviny ADV (v=1,44) c) objem jehlanu. (V=15) 28. Je dán čtyřstěn ABCD: A[0;1;3], B[1;0;2], C[-2;-1;5], D[0;-2;-6]. Vypočtěte odchylky: (α = 42° 10´) a) AD a ABC ( β = 46° 10´) b) ADC a ABC ( χ = 16° 35´) c) DC a ABD
23. Dokažte, že vrcholy A[4;-1;2], B[-8;0;4], C[8;2;2] tvoří vrcholy trojúhelníku. Urči jeho obsah a vnitřní úhly (těžiště, rovnici osy strany...). 4 1 8 S = 20,61; T ; ; ; 3 3 3 α = 137° 30´; β = 12° ; χ = 30° 30´
29. Jsou dány body A[1;-1;3], B[-2;-13;2] a rovina ρ: 2x – 3y + 8z –6 = 0. Najděte rovinu jdoucí body A a B ( − 9 x + 2 y + 3z + 2 = 0 ) takovou, že je kolmá k ρ.
24. Určete obraz bodu A[1;10;-8] v osové souměrnosti podle přímky p: x = 1 - 2t y=3+t ( A´= [ 5;− 6;0] ) z = -1 + 3t
30. ∆ ABC je určen vrcholy A[2;0;4], B[4;-2;0] a těžištěm T[ ( C = [ − 3;5;− 1] ) 1;1;1]. Určete souřadnice vrcholu C.
25. Určete obraz bodu A[3;-4;-6] v rovinné souměrnosti učené ( A´= [1;− 2;2] ) rovinou x – y - 4z - 13 = 0.
31. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A[1;3;2 ], B[2;-3;5] a je kolmá k rovině ρ: 4x+y-3z+7=0. 3x + 3 z + 5 z − 22 = 0
26. Jsou dány body A[1;-2;-2], B[2;-1;-1], C[1;-1;-2], D[0;2;-2 ]. 2 a) vypočtěte vzdálenost bodu D od roviny ABC d = 2 b) najděte souměrně sdružený bod D´ podle roviny ABC ( D´= [1;2;− 3] )
32. Průsečnicí p dvou rovin ρ, σ prochází rovina φ kolmá ke třetí rovině τ. Napište obecnou rovnici roviny φ, je-li: ρ: 3x-2y+z-1=0 σ: x+y-2z+1=0 τ: x-y-z+2=0 x − 4z + 5z − 3 = 0 16
37. Je dána krychle ABCDEFGH s hranou a = 4cm. S je střed hrany AE, K je střed hrany BC, L je střed hrany BC. Vypočítejte: a) vzdálenost středu hrany FG od přímky DS b) vzdálenost E od roviny FSH c) přímky BK a roviny ALG d) odchylku rovin BCK a ALH.
33. Je dána rovina ρ: x-y+z-1=0 a přímka p: x = 1 + t y=-t z=1 a) Určete vzájemnou polohu a společné body přímky a 1 1 P´= ; ;1 roviny 2 2 b) Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem x= t přímky p do roviny ρ. y = 1− t z = 2 − 2t 34. Jsou dány vrcholy čtyřstěnu A[6;0;0], B[0;5;0], C[5;6;0] D[ 2;3;8]. Určete: (ϕ = 73° 36´) a) odchylku rovin ABC a BCD ( ϕ = 87° 34´) b) odchylku mimoběžek AB a CD 35. Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku v = 6, délku hrany AB= 4. Označte S střed hrany AV, M střed hrany VC, T těžiště trojúhelníku BCV. Vypočítejte: 67 d= a) délku úsečky ST 3 b) vzdálenost M od přímky AB. v= 3 2
(
)
36. V soustavě souřadnic je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že A[2;3;0], B[4;3;0], C[4;1;0], D[2;1;0], V[ 3;1;4]. Vypočtěte: a) vzdálenost středu S podstavné hrany BC od přímky AV ( d = 2,06) ( v = 4) b) výšku jehlanu, když V je jeho vrchol. 17
20. Analytická geometrie kvadratických útvarů
3. Určete souřadnice společných bodů křivek: k: x 2 + y 2 = 25 l: x 2 + y 2 + 8 x + 4 y − 65 = 0 Dále určete, pod jakým úhlem se tyto křivky protínají. ( X 1 = [ 3;4]; X 2 = [ 5;0]; ϕ = 12° 30´)
Další dovednosti: -znát zavedení soustavy souřadnic u plošných a prostorových útvarů -úsekový tvar přímky v rovině a jeho geometrický význam -vzájemný převod jednoho druhu rovnice přímky na jiný
1. Najděte rovnici kružnice souměrně sdružené s kružnicí k podle přímky p; 2 2 k: ( x − 1) + ( y − 2) = 1 p: x − y − 3 = 0 ( x − 5) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1
(
Možné maturitní otázky: Analytická geometrie v rovině Analytická geometrie v prostoru
2
)
2
x y + = 1 najděte body, které mají od jejího 100 36 pravého ohniska F vzdálenost 14. ( X 1 = [ − 5;5]; X 2 = [ − 5;− 5] )
5. Na elipse
6. Je dána elipsa 25 x 2 + 36 y 2 = 100 a přímka y = 3x + 2 . Napište rovnici tečny elipsy, která má od dané přímky odchylku 45°. 3x − 6 y + 2 34 = 0 3x − 6 y − 2 34 = 0 6 x + 3 y − 13 = 0 6 x + 3 y + 13 = 0
Úlohy: 1. Určete číslo a tak, aby přímka p byla tečnou ke křivce k; k: x 2 + y 2 = 169 p: x = − 7 + at y = − 17 + t 12 5 ; a2 = − a1 = . 5 12 2. Najděte rovnici kružnice, která se dotýká přímky p v bodě T[ 1;2] a přímky q: p: 7 x − y − 5 = 0 q: x + y + 13 = 0
1. Je dána elipsa 3 x 2 + 6 y 2 = 18 a bod M[4;-1]: a) dokažte, že M je vnějším bodem b) najděte tečny z bodu M k elipse x + y − 3= 0 x − 5y − 9 = 0 (ϕ = 56° 20´) c) určete úhel tečen
( x + 6 ) 2 + ( y − 3) 2 = 50 ( x − 29 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 800
18
8. Na elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36 najděte body, které mají od přímky 2 x + 3 y − 15 = 0 maximální a minimální vzdálenost. Určete ji.
y2 x2 H : − = 1 144 64
16. Určete rovnici tečny hyperboly x. y = 12 , která je 3x + 4 y − 5 = 0 . rovnoběžná s přímkou Vypočtěte souřadnice dotykových bodů. Dále vypočtěte souřadnice ohnisek. 3x + 4 y + 24 = 0; X = [ − 4;− 3] 3x + 4 y − 24 = 0; Y = [ 4;3]
9. Elipse je vepsán čtverec. Vypočtěte velikosti jeho stran. 2ab x= e 10. Je dána elipsa 4 x 2 + 9 y 2 = 36 a bod Q[1;1]. Najděte přímku, která vytíná na elipse tětivu, která je půlená bodem Q. ( 4 x + 9 y − 13 = 0) 11. Najděte odchylku křivek: a) 9 x 2 + 25 y 2 = 900 a x 2 + y 2 = 64 b) 8 x 2 + 9 y 2 = 72 a y 2 = 4 x c) y 2 = 4 x a x 2 = 4 y
(ϕ
(ϕ
= 27° 53´)
(ϕ
= 67° 45´)
1. Je dána hyperbola x 2 − 9 y 2 = 1 a bod M[3;1]: a) určete velikost poloos, ohniska a vrcholy 1 1 1 a = 1; b = ; F1 10 ;0 ; F2 − 10 ;0 3 3 3 A[ − 1;0]; B[1;0] b) zjistěte polohu bodu M vzhledem k hyperbole (vně) c) určete všechny přímky jdoucí bodem M a mající s hyperbolou společný právě jeden bod. t1 : − 5 x + 12 y − 7 = 0; t 2 : x − 3 y = 0; a1 : x − 3 y = 0; a 2 : x + 3 y − 6 = 0
= 36° 50´;φ = 90° )
12. Vypočtěte souřadnice bodů, která leží na parabole y 2 = 8 x a mají od jejího ohniska vzdálenost 20. ( X [18;12]; Y [18;− 12] )
18. Je dána H: x. y = 2 a K: x 2 + y 2 = 4 . Určete úhel, pod kterým se křivky protínají. (α=0°)
2 13. Z bodu K[-2;0] veďte tečny k parabole y = 8 x . x − y + 2 = 0 x + y + 2 = 0
19. Určete množinu všech bodů, které mají od počátku soustavy souřadnic třikrát větší vzdálenost než od přímky p: x = −4. 2 y2 4( x + 4,5) H: − = 1 9 18
14. Najděte tečny křivek v jejich společných bodech: y 2 = 7 x a y 2 = 11( x − 9) . 15. Napište osovou rovnici hyperboly, která prochází bode M[ 15;6] a má asymptotu 2 x + 3 y = 0 . 19
hodnoty reálného parametru m je přímka p o rovnici p: m.x + y − 4 = 0 sečnou elipsy. 27. Je dána hyperbola x 2 - 9y 2 - 9 = 0 a bod M[5;0]. Napište rovnice všech přímek, která procházejí bodem M a mají s hyperbolou právě jeden společný bod.
20. Jsou dány kružnice k1: x 2 + y 2 - 2x + 4y = 0 a k2: x 2 + y 2 - 6x - 8 = 0 . Vypočítejte průsečíky těchto kružnic. Napište rovnici přímky, která těmito body prochází. 21. Jsou dány kružnice k: x 2 + y 2 - 18x - 4y + 60 = 0 a l: x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0 a) určete průsečíky daných kružnic b) napište rovnice tečen kružnic k, l v jejich průsečících c) vypočtěte odchylku těchto tečen
28. Je dána parabola o rovnici y 2 + 6x + 4y + 4 = 0 a přímka p: 3x − y + 7 = 0 . Napište rovnici tečny t p k dané parabole. U paraboly určete vrchol, ohnisko, rovnici řídící přímky a zakreslete ji v soustavě souřadnic.
1. Napište rovnici kružnice, která: a) prochází středy stran trojúhelníka ABC: A[1;5], B[3;9], C[ 5;-3]. Určete její průsečíky se stranami trojúhelníku ABC b) má střed v bodě S[5;4] a dotýká se přímky p p: 5x - 12y - 29 = 0 c) prochází bodem M[2;4] a dotýká se obou souřadnicových os.
29. Napište rovnici kružnice, která prochází body F1[3;2], F2[ 1;4] a dotýká se osy x. 30. . Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě S[-5;4] a na přímce p: y = 2x + 4 vytíná tětivu délky 8. 31. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem M[1;1] a dotýká se daných přímek p: x + y – 6 = 0 a q: x + y + 2 = 0.
23. Určete rovnice tečen elipsy 3x 2 + 8 y 2 = 45 , které mají od jejího středu vzdálenost d = 3.
32. Napište rovnici kružnice, která se dotýká kružnice k: ( x + 2) 2 + y 2 = 8 , přímky p: x – y + 8 = 0. její střed leží na kolmici vedené středem kružnice k na přímku p.
24. Na elipse 4x 2 + 9y 2 = 36 najděte body, které mají nejmenší nebo největší vzdálenost od přímky p: 2x + 4y - 15 = 0 .
33. Do elipsy x 2 + 3 y 2 = 36 vepište rovnostranný trojúhelník KLM tak, aby vrchol K splýval s hlavním vrcholem (vedlejším vrcholem) elipsy a vrcholy L, M ležely na dané elipse. Vypočítejte souřadnice vrcholů K, L, M a velikost jeho strany.
25. Je dána elipsa 5x 2 + 9y 2 = 45 a bod M[0;-3]: a) dokažte, že M je bodem vnější oblasti elipsy b) napište rovnice tečen elipsy procházející bodem M a) vypočtěte odchylku těchto tečen
34. Jsou dány paraboly P1: y 2 = 1 − x a P2: y 2 = − 4( x + 2 ) . Napište rovnice jejich společných tečen a načrtněte obrázek.
26. Napište osovou rovnici elipsy, která má excentricitu e = 2√2 a prochází bodem M[2;√6]. Stanovte, pro která 20
35. Jsou dány elipsy E1: 4x 2 + 5 y 2 = 20 a E2: 5x 2 + 4y 2 = 20 . Napište rovnice jejich společných tečen a načrtněte obrázek. 2 36. Jsou dány kružnice k1: x 2 + y 2 = 5 a k2: ( x - 10 ) + y 2 = 45 . Napište rovnice jejich společných tečen a načrtněte obrázek.
37. Vyšetřete množinu bodů X v rovině, které mají od bodu A[-3;6] dvakrát větší vzdálenost než od počátku souřadnic. 38. Jsou dány body M[-1;0], N[1;0]. Vyšetřete množinu bodů X v rovině, pro které platí: XM+XN = 6 39. Jsou dány body M[√2;√2], N[-√2;-√2]. Vyšetřete množinu bodů X v rovině, pro které platí: XM-XN = 2√2
21
