2011.06.06.
Év végi témazáró A dokumentum csak a legfontosabb képleteket, illetve definíciókat tartalmazza, példákat nem! Azokat ajánlatos a füzetben, illetőleg a tankönyvben megkeresni! A függvénytáblázat használata sem tilos.
1. Kombinatorika, gráfok
Permutációk (sorba rendezések) N elem ismétlés nélküli permutációja
n!
N elem ciklikus permutációja
(n-1)!
N elem ismétléses permutációja
,k 2 ... ke Pnk,1ism =
n! k1!∗k 2 !....k e !
Kiválasztások Ha a sorrend számít: VARIÁCÓ N elem ismétlés nélküli variációja
N elem ismétléses variációja
Vnk =
n! = n(n − 1) ∗ (n − 2)......(n − k + 1) (n − k )!
Vnk,ism = n ∗ n = n k
Ha a sorrend nem számít: KOMBINÁCIÓ N elem ismétlés nélküli kombinációja
n n! C nk = = k k!(n − k )!
N elem ismétléses kombinációja
n + k − 1 C nk,ism = k
Gráfok Definíciók: -
-
-
Gráfnak nevezzük a pontokból és – az ezekből alkotható pontpárok közül néhányat (lehet, hogy mindet, lehet, hogy egyer sem) összekötő – vonalakból álló alakzatot. A pontok a gráf pontjai vagy csúcsai, a vonalak a gráf élei. Egy gráf pontjainak fokszáma (foka) a pontban találkozó élek száma. Ha egy pontban nincs él, azt a pontot izolált pontnak nevezzük. Fokszáma 0. Minden gráfban a pontok fokszámának összege az élek számának kétszerese. Minden gráfban a pontok fokszámának összege páros szám. Egy egyszerű gráfot teljes gráfnak nevezünk, ha bármely két pontja össze van kötve éllel. (Az egy izolált pontból álló gráf is teljes gráf). A n pontú teljes gráf éleinek száma:
n ∗ (n − 1) 2
Út, séta, vonal, kör -
-
-
Sétának nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben ugyanazok az élek és pontok többször is előfordulhatnak. (Azaz a gráf bejárása során egy ponton többször is áthaladhatunk) Vonalnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben minden él legfeljebb egyszer fordulhat elő, de lehetnek olyan pontok, amelyek többször is előfordulnak. Útnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször. Körnek nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben a kiindulási pont megegyezik a végponttal, egyébként minden él és minden más pont legfeljebb egyszer fordul elő.
Euler-vonal -
-
Euler-vonalnak nevezünk a gráfban egy vonalat, ha az a gráf minden élén áthalad. Az Euler-vonal lehet nyitott, ha a kezdőpontja nem egyezik meg a végpontjával, vagy lehet zárt, ha a kezdőpontja megegyezik a végpontjával. Egy gráfban zárt Euler-vonal létezésének szükséges feltétele, hogy minden pont fokszáma páros legyen. Egy gráfban nyitott Euler-vonal létesésének szükséges feltétele, hogy két pont fokszáma páratlan, a többi páros legyen.
Fa-gráfok: -
-
Egy gráf ágakat hajtva növekszik, ha egy pontból kiindulva felépíthető úgy, hogy egy meglévő ponthoz egy új élt kapcsolunk, melynek másik végpontja új pont lesz. Fa-gráfnak nevezzük azt az összefüggő gráfot, amely ágakat hajtva növekszik. A fa-gráf elsőfokú pontjait leveleknek nevezzük. Egy összefüggő gráf akkor, és csak akkor fa-gráf, ha nincs benne kör, de bármely két pontja közé élt behúzva már lesz benne kör.
2. Hatvány, gyök, logaritmus Hatványazonosságok Azonos alapú hatványok szorzása:
a m ∗ a n = a m+ n
Azonos alapú hatványok osztása:
am = a m− n n a
Szorzat hatványozása:
(a ∗ b )n
Tört hatványozása:
an a = n b b
Hatvány hatványozása:
(a )
= an ∗ am
n
Tört kitevőjű hatvány
n m
a
m n
= a n∗m
= n am
Gyökazonosságok (n-edik gyök) n
a ∗b = n a ∗n b
n
a = b
n
a
n
b
ak =
n m
n
n
( a) n
k
a = n∗m a
a m = n∗k a m∗k
Exponenciális egyenletek
ab = ac a 〉 0 a ≠ 1
5 2 x = 625 pl.:
52 x = 54 2x = 4
x=2
Logaritmus -Jele: log a b -„a” alapú logaritmus „b” az a kitevő, amelyre „a”-t emelve „b”-t kapunk. Jele:
a log a b = b
Logaritmus-azonosságok Szorzat logaritmusa:
log a ( x ∗ y ) = log a x + log a y
Tört logaritmusa:
x log a = log a x − log a y y
Hatvány logaritmusa:
p q
log a x =
p ∗ log a x q
log a b =
log c b log c a
Áttérés másik alapú logaritmusra:
3. Trigonometria Szögfüggvények
sin α =
a szöggel szemközti befogó = c átfogó
cos α =
b szög melletti befogó = c átfogó
tg α =
a szöggel szemközti befogó = b szög melletti befogó
ctg α =
szög melletti befogó b = a szöggel szemközti befogó
Összefüggések a szögfüggvények között
sin 2 α + cos 2 α = 1 cos α = sin (90° − α ) sin α tg α = cos α
tg α ∗ ctg α = 1 ctg α = tg (90° − α ) cos α ctg α = sin α
Addíciós tételek
sin (α ± β ) = sin α ∗ cos β ± cos α ∗ sin β cos(α ± β ) = cos α ∗ cos β m sin α ∗ sin β
tg α + tgβ 1 − tgα ∗ tgβ tgα − tgβ tg (α − β ) = 1 + tgα ∗ tgβ tg (α + β ) =
Kétszeres szögek szögfüggvényei
sin 2α = 2 sin α ∗ cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
tg 2α =
2tgα 1 − tg 2α
A háromszög tételei, képletek Sinus tétel: (a háromszög köré írható kör sugara meghatározható vele) A háromszög oldalfelező merőlegeseinek a metszéspontja adja a háromszög köré írható kör középpontját.
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ∗ cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ∗ cos β
Cosinus tétel:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ∗ cos γ A háromszög területének megadása sinus tétel segítségével:
Sinus tétel nélkül (ehhez ki kell számolnunk a kerületet):
T=
1 ∗ a ∗ b ∗ sin γ 2
T = s ∗ (s − a ) ∗ (s − b ) ∗ (s − c ) s=
K 2
Melyiket mikor kell használni? Alapesetek (adatok)
Tétel
Kiszámítható hiányzó adat
Egy oldal és két szög
Sinus
Hiányzó oldal
Két oldal és a nagyobbal szemközti szög
Sinus
Kisebb oldallal szemközti szög (hegyesszög)
Két oldal és az általuk bezárt szög
Cosinus
A harmadik oldal
Három oldal
Cosinus
Egy szög
4. KoordinátaKoordináta-geometria Alapvető képletek
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2
A és B pont távolsága:
AB =
Szakasz felezőpontjának koordinátái:
a + b a + b2 F 1 1 ; 2 2 2
A háromszög súlypontjának koordinátái:
a + b + c a + b2 + c 2 S 1 1 1 ; 2 3 3
Az egyenes irányvektoros képlete:
v2 x − v1 y = v2 x0 − v1 y0
Az egyenes normálvektoros képlete:
n1 x + n2 y = n1 x0 + n2 y0
Az egyenes iránytényezős képlete:
y − y 0 = m( x − x 0 )
A kör egyenlete:
( x − u )2 + ( y − v )2 = r 2
A kör és egyenes kölcsönös helyzete 2
2
Az ( x − u ) + ( y − v ) = r 2 egyenletű kör és az y = mx + b egyenes közös pontjainak koordinátái a két egyenletből adódó egyenletrendszer megoldásai. A második egyenletnek az elsőbe történő behelyettesítése (az egyik ismeretlen kiküszöbölése) után kapott egy ismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsa határozza meg a közös pontok számát: - ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenes két pontban metszi a kört - ha a diszkrimináns nulla, az egyenes érinti a kört - ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja.
5. ValószínűségValószínűség-számítás, statisztika Valószínűségi kísérlet Lényegében azonos körülmények között tetszőlegesen sokszor megismételhető kísérlet. Kimenetelés eseménynek nevezzük.
Valószínű ség =
Kedvező e setek száma k Jele : P = Összes eset száma n
Speciális események -
Lehetetlen esemény: soha nem következik be. Jele: 0
-
Biztos esemény: mindig bekövetkezik. Jele: I
Esemény algebra Az események között műveleteket értelmezünk: -
A+B à akkor Jele: P(A+B)
-
A*B à akkor következik be, ha A és B esemény is bekövetkezik Jele: P(A*B)
-
Ha A*B = 0 à akkor A és B egymást kizáró események, azaz lehetetlen esemény.
-
A à akkor, ha A esemény nem következik be.
következik
be,
ha
A
vagy
B
esemény
bekövetkezik
A valószínűség-számítás axiómái -
0 ≤ P ( A) ≤ 1 A valószínűség 0 és 1 közé eső valós szám.
-
-
()
P ( A) + P A = 1
()
P ( A) = 1 − P A
P( A + B ) = P( A) + P(B ) − P( AB )
MINTAVÉTELI ELJÁRÁSOK Visszatevés nélküli mintavétel
P ( A) =
k n
Visszatevéses mintavétel
n n−k P(k ) = ∗ P k ∗ (1 − P ) k Statisztika -
módusz: A leggyakrabban előforduló adat medián: a rendezett minta középső eleme, vagy középső elemeinek átlaga
