14 Kuželosečky v základní poloze Následující texty 14 – 17 se týkají geometrie v rovině 2. Až dosud jsme studovali útvary lineární (v analytickém vyjádření byly vždy proměnné x, y, z v první mocnině). Nyní se budeme zabývat některými kvadratickými útvary (v analytickém vyjádření obsahují proměnné x, y v druhé mocnině).
14.1 Poznámka: Řezy na dvojkuželu v
3
roviny procházející vrcholem kužele vytnou z povrchu kužele: bod, přímku dvojici různoběžných přímek pokud neprocházejí vrcholem kužele, je množinou společných bodů roviny a kužele některá z křivek zvaných kuželosečky
14.2 Definice: elipsa Nechť a je kladné reálné číslo. Elipsa je množina bodů, které mají součet vzdáleností od dvou daných bodů F1 a F2 konstantní, roven 2a. Body F1, F2 se nazývají ohniska elipsy, číslo a se nazývá hlavní poloosa. Přímka F1F2 se nazývá hlavní osa elipsy. Bod S střed úsečky F1F2 se nazývá střed elipsy. Přímka kolmá k hlavní ose a procházející středem elipsy se nazývá vedlejší osa. Vzdálenost ohnisek |F1F2|=2e, kde číslo e se nazývá výstřednost a platí vždy e < a. Číslo b = (a2 – e2) se nazývá vedlejší poloosa a vždy platí b a. Průsečíky elipsy s hlavní osou se nazývají hlavní vrcholy elipsy; průsečíky elipsy s vedlejší osou se nazývají vedlejší vrcholy elipsy. Vzdálenost hlavních vrcholů je rovna 2a; vzdálenost vedlejších vrcholů je rovna 2b.
14.3 Definice: základní poloha elipsy Říkáme, že elipsa je v základní poloze, právě když F1 = [-e,0], F2 = [e,0], S = [0,0], hlavní osa je osa x.
14.4 Věta: Bod X = [x,y] leží na elipse , která leží v základní poloze, právě když jeho souřadnice splňují osovou rovnici elipsy
x2 : 2 a
y2 b2
1
14.5 Definice: kružnice Kružnice je množina bodů, které mají od daného bodu S konstantní vzdálenost r. Bod S se nazývá střed kružnice a r poloměr kružnice.
14.6 Věta: Elipsa, která má hlavní poloosu stejně velkou jako vedlejší poloosu a = b = r, tj. ohniska F1 = F2 = S, je kružnice se středem v bodě S a poloměrem r. Osová rovnice kružnice je x2 + y2 = r2.
14.7 Příklad: Napište rovnici elipsy, která je v základní poloze a platí a + b = 9, e = 3 Řešení: e2 = a2 – b2 = (a+b)(a-b) = 9 => a - b = 1 , a + b = 1 => a = 5, b = 4
:
x2 25
y2 16
1
14.8 Příklad: Napište rovnici kružnice v základní poloze, na které leží bod A = [5,12] Řešení: r2 = 52+122 = 132 => x2 + y2 = 169
14.9 Příklad: Napište rovnici elipsy v základní poloze, víte-li, že hlavní poloosa je 4krát větší než vedlejší a výstřednost se rovná 3 15. Napište rovnici kružnice, která má stejný obsah jako elipsa, víte-li, že obsah elipsy se spočítá podle vzorce S = πab. 2
2
2
2
Řešení: a = 4b, 9.15 = e = a – b = 15b , => a = 12, b = 3 S = π r2 = π a.b => r2 = 81 => x2 + y2 = 81
x2 144
y2 9
1
14.10 Definice: hyperbola Nechť a je kladné reálné číslo. Hyperbola je množina bodů, které mají rozdíl vzdáleností od dvou daných bodů F1 a F2 konstantní roven 2a.
Body F1, F2 se nazývají ohniska hyperboly, číslo a se nazývá hlavní poloosa. Přímka F1F2 se nazývá hlavní osa hyperboly. Bod S střed úsečky F1F2 se nazývá střed hyperboly. Přímka kolmá k hlavní ose a procházející středem hyperboly se nazývá vedlejší osa. Vzdálenost ohnisek |F1F2|=2e, kde číslo e se nazývá výstřednost a platí vždy e > a. Číslo b = (e2 - b2) se nazývá vedlejší poloosa (může nastat b>a, b=a, b
14.11 Definice: základní poloha hyperboly Říkáme, že hyperbola hlavní osa je osa x.
je v základní poloze, právě když F1 = [-e,0], F2 = [e,0], S = [0,0],
14.12 Věta: Bod X = [x,y] leží na hyperbole , která leží v základní poloze, právě když jeho souřadnice splňují osovou rovnici hyperboly
x2 : 2 a
y2 b2
1
14.13 Definice: rovnoosá Hyperbola
se nazývá rovnoosá, právě když a = b.
14.14 Definice: asymptoty Přímky a1: bx – ay = 0 , a2: bx + ay = 0 se nazývají asymptoty hyperboly v základní poloze.
14.15 Poznámka: Asymptoty
x2 a2
y2 0 b2 bx ay 0
b2 x 2
a2 y2
0
( bx ay)(bx ay) 0
bx ay 0
14.16 Příklad: Napište rovnici hyperboly v základní poloze, je-li vzdálenost mezi ohnisky 10 a vzdálenost vrcholů 8. Určete její asymptoty.
Řešení: 10 = 2e, 8 = 2a => a = 4, e = 5 => e2 = a2 + b2 => b = 3
x2 : 16
y2 9
1 , a1 : 3 x 4 y
0 , a2 : 3 x 4 y
0
14.17 Příklad: Hyperbola v základní poloze má jeden vrchol v bodě [3,0] a jednu asymptotu a1: 4x – 6y = 0. Napište její rovnici. Řešení: tedy a = 3, směrnicový tvar asymptot y =
:
x2 9
b/a x => b = 2
y2 4
1
14.18 Definice: parabola Nechť p je kladné reálné číslo. Parabola π je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky d jako od daného bodu F, který je od přímky vzdálen p. Bod F se nazývá ohnisko paraboly, přímka d se nazývá řídící přímka a číslo p se nazývá parametr paraboly. Přímka procházející bodem F kolmá k přímce d se nazývá osa paraboly. Průsečík V osy paraboly s parabolou se nazývá vrchol paraboly.
14.19 Definice: základní poloha paraboly Říkáme, že parabola π je v základní poloze, právě když F = [p/2,0], V = [0,0] a řídící přímka d: x = -p/2. Osa paraboly splývá s osou x.
14.20 Věta: Bod X = [x,y] leží na parabole π, která leží v základní poloze, právě když jeho souřadnice splňují vrcholovou rovnici paraboly
: y2
2 px
14.21 Příklad: Bod A = [2,6] leží na parabole v základní poloze. Napište její rovnici. Řešení: 36 = 2p.2 => p = 9 => π: y2=18x
14.22 Poznámka: Optické vlastnosti kuželoseček Paprsek vycházející z ohniska se odráží od paraboly v rovnoběžném směru s osou paraboly. svítilny, reflektory, antény, sluneční pece, mosty, rotující hladina vodorovný vrh, pohyb nabité částice v elektrickém poli
Paprsek vycházející z jednoho ohniska prochází po odrazu od elipsy druhým ohniskem pařížské metro, ďáblova kazatelna, oběh planet kolem slunce koule – kloubové náhrady (perfektně dosedá)
Paprsek vycházející z jednoho ohniska se po odrazu od hyperboly jeví jakoby vycházel s druhého ohniska. chladící věže
KONEC
