13. Tárcsák számítása 1. A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusai A tartószerkezeteket geometriai méreteik alapján osztályozzuk. Az eddigi tanulmányainkban szerepl rúdszerkezetek rúdjaira az a jellemz , hogy a hosszuk lényegesen nagyobb, mint a keresztmetszeti méreteik. A felületszerkezetekre az a jellemz , hogy a vastagságuk lényegesen kisebb, mint a másik két irányú méreteik. Rúdszerkezeteknél a vonatkoztatási tengely a rúd szilárdsági tengelye, felületszerkezeteknél a vonatkoztatási felület a vastagságot felez középfelület. Rúdszerkezeteknél a rúdtengely egyes pontjaiban határozzuk meg az igénybevételeket és elmozdulásokat, és a ponthoz tartozó keresztmetszet mentén vizsgáljuk a feszültségek és alakváltozások megoszlását, míg felületszerkezeteknél a középfelület egyes pontjaiban határozzuk meg az er ket és elmozdulásokat, és a ponthoz tartozó vastagság mentén határozzuk meg a feszültségek és alakváltozások megoszlását. A rúdszerkezetek tengelyének egyes pontjait, és az azokhoz tartozó állapotjellemz ket egyváltozós függvény, a felületszerkezetek középfelületének egyes pontjait és az azokhoz tartozó állapotjellemz ket kétváltozós függvény írja le. Rúdszerkezetek rúdjainak tengelye lehet egyenes vagy görbe, a felületszerkezetek középfelülete is lehet sík, vagy görbült felület. Sík felületszerkezeteknél a középfelület összes pontja egy síkban van. Görbült felületszerkezeteknél a középfelület legalább egyirányú görbülettel rendelkezik. A görbült felületszerkezeteket héjszerkezeteknek nevezzük, amelyeket az alakjuk és az er játékuk alapján további osztályokba sorolhatunk. A sík felületszerkezeteket a középfelület és a teher iránya szempontjából két típusba soroljuk. Tárcsák esetén a szerkezetre ható összes küls er a középfelület síkjában, lemezek esetén a szerkezetre ható összes küls er a középfelületre mer legesen m ködik. Következésképpen, ugyanaz a szerkezet lehet egyszer tárcsa, máskor lemez. Például egy panelház oldalfala a födémekr l átadódó teher szempontjából tárcsa, a szélteher oldalnyomása szempontjából lemez. A megkülönböztetést a lemezekben és a tárcsákban ébred igénybevételek eltér jellege, következésképpen a vonatkozó eltér számítási eljárások indokolják. Míg a tárcsák alapvet igénybevétele a nyomás, addig a lemezek domináns igénybevétele a hajlítás, és ez eltér számítási módszereket igényel. S t, általános jelleg teher esetén a kétféle hatást, az ún. lemez- és tárcsahatást külön-külön számoljuk, és kis elmozdulások esetén összegezzük ket. A továbbiakban csak a sík felületszerkezetekkel, a tárcsák és lemezek számításával foglalkozunk. ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ő
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ő
ı
tárcsa
lemez
héj
A peremértékfeladat és annak megoldási módszerei Felületszerkezetek számításának alapjául a rugalmasságtan differenciálegyenletei szolgálnak. Ezeket az általános érvény , az általános alakú és terhelés szilárd testre érvényes parciális differenciálegyenleteket a lemezre, illetve a tárcsára – mint speciális alakú és terhelés szerkezetre – alkalmazunk, az adott szerkezetre vonatkozó egyszer sít feltevésekkel egészítünk ki, és a differenciálegyenlet-rendszer átrendezésével egyetlen parciális differenciálegyenletre vezetünk vissza. Így kapjuk meg a tárcsaegyenletet és a lemezegyenletet, amelyek a vonatkozó peremfeltételekkel együtt alkotják az ún. peremértékfeladatot. A peremértékfeladatok megoldására egységes módszer nem adható meg. A problémát az jelenti, hogy általában sem az adott teherfüggvény, sem a differenciálegyenlet megoldását jelent ismeretlen függvény nem tartozik az elemi függvények családjába. A teherfüggvények rendszerint törésekkel, szakadásokkal rendelkeznek; a koncentrált er például matematikai értelemben a legnehezebben kezelhet függvények közé tartozik. Ezért a peremértékfeladatok megoldására rendszerint közelít megoldást alkalmazunk, ami azt jelenti, hogy a megoldást a végtelen dimenziós függvénytér helyett véges dimenziós függvénytérben keressük, és a dimenziószám fokozásával emelhetjük a megoldás pontosságát. A közelít eljárások célja a parciális differenciálegyenletet és a peremfeltételeket jó közelítéssel kielégít függvény megkeresése. Ekkor az ismeretlen függvényt valamely alkalmas alakban vesszük fel, legtöbbször elemi függvények lineáris kombinációjaként. A cél a lineáris kombinációban szerepl együtthatók meghatározása, amely vagy a differenciálegyenlet és peremfeltételei, vagy valamely energia-elv minimális hibával történ kielégítése útján történik. Gyakori, hogy a keresett függvényt például hatványsor, vagy trigonometrikus sor formájában veszik fel. A hatványsorok polinom alakú függvények, a trigonometrikus sorok legismertebbjei a Fourier-sorok. Ilyenkor a megoldás el állítása a polinom együtthatóinak, vagy a Fourier-együtthatóknak a meghatározását jelenti. A megoldás pontossága a polinom fokszámának, vagy a Fourier-sor tagjai számának növelésével emelhet . Más közelít eljárásoknál a geometriai tartományt, magát a lemezt vagy a tárcsát osztják fel résztartományokra, és ezek találkozási pontjaihoz, az ún. csomópontokhoz rendelik az ún. bázisfüggvényeket, amelyek a lineáris kombinációban szerepelnek. Ekkor az együtthatókat az ismeretlen függvény csomópontokhoz tartozó értékei, vagy deriváltjai alkotják. Ilyen közelít módszer a véges differenciák módszere, vagy a végeselem-módszer, ahol a csomópontok s rítésével, valamint a bázisfüggvények fokszámának a növelésével növelhet a pontosság. Itt a feladat dimenziószáma a csomópontok számától és az egyes csomópontokhoz rendelt függvényértékek és deriváltak számától függ. Bármely közelít módszert alkalmazzuk, mindig a lineáris kombinációban szerepl együtthatókat kell meghatározni a megoldás során. Az erre vonatkozó feltételek pedig lineáris egyenletrendszert alkotnak, amelynek együttható mátrixa általános esetben telemátrix. Ha a közelít megoldást ortogonális sorok formájában keressük, az együttható mátrix diagonálmátrix lesz. Ha pedig ortonormált sorokat alkalmazunk, akkor a megoldásra kész képleteket kaphatunk. A megértés könnyítése érdekében tekintsük az alábbi egyszer példát. Közelítsük a nehezen kezelhet f (x) függvényt az ő
ő
ı
ő
ő
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ő
ı
ı
ı
ı
ő
ı
n
f n ( x) = a1 y1 ( x) + a2 y2 ( x) + ... + ai yi ( x) + ... + an yn ( x) = ∑ ai yi ( x) i =1
függvénysorral. Ezzel a megoldást a végtelen dimenziós függvénytér helyett az n-dimenziós függvénytérben keressük, amelynek koordinátái az ai együtthatók. A feladat az n darab ai együttható meghatározása, hiszen az yi (x) függvények - a bázisfüggvények - ismert függvé-
ı
nyek, mi választjuk meg ket az egyváltozós geometriai térben, amelynek koordinátarendszerét az x-tengely alkotja. Az f n (x) függvényt az f (x) függvény n-dimenziós közelítésének nevezzük. Legyen a közelítend f (x) függvény például az alábbi ábrán látható, [0, π ] zárt intervallumon értelmezett függvény, amely x=0 0 f ( x) = 1 0 < x < π 0 x =π ı
ı
Vegyük fel a közelít
f n (x) függvényt az alábbi páratlan sinus Fourier-sor alakjában m
f n ( x) = a1 sin x + a3 sin 3 x + ... + ai sin ix + ...am sin mx = ∑ ai sin ix = f n ( x, ai ) , i = 1,3,5..., m ,
n = (m + 1) / 2 .
i =1
Itt a bázisfüggvények a n
f n ( x, ai ) = ∑ ai yi ( x) i =1
ı
lineáris kombinációnak megfelel en rendre: f1 ( x) = sin x , f 3 ( x) = sin 3x , f 5 ( x) = sin 5 x , … f m ( x) = sin mx . Vegyük észre, hogy a közelít függvény felvételével a geometriai térb l átléptünk a függvénytérbe, mivel a közelít függvény az n-dimenziós függvénytér ai koordinátái függvényében van felírva! A sinus függvény a tartomány határán, az x=0 és az x= π helyen kielégíti az f ( x) = 0 feltételeket, így az n darab ai együttható meghatározásához szükséges n darab feltételt abból kapjuk, hogy a felvett f n ( x) közelít függvény minimális hibával különbözzön az eredeti függvényt l a 0 < x < π tartományon, ahol annak értéke f ( x) = 1 . Képezzük a hibafüggvényt, amely ugyancsak a függvénytérben van értelmezve h( x) = h( x, ai ) = f ( x) − f n ( x, ai ) = 1 − f n ( x, ai ), amelynek négyzete – hogy az el jelekt l eltekinthessünk – a [0, π ] tartományon legyen minimum: ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
2
m G (ai ) = ∫ h( x, ai ) dx = ∫ [ f ( x) − f n ( x, ai )] dx = ∫ 1 − ∑ ai sin ix dx = min! 0 0 0 i =1 Ez az extrémum-feltétel az alábbi, a függvénytérben értelmezett parciális deriváltakból álló ndimenziós egyenletrendszerre vezet: ∂G (ai ) = 0 , i = 1,3,5..., m , n = (m + 1) / 2 , ∂ai amelyb l a Fourier-együtthatók meghatározhatók. Tekintsük például a Fourier-sor els két tagját, ekkor a közelít függvény: f 2 ( x, a1 , a3 ) = a1 sin x + a3 sin 3x .
π
2
π
2
π
ı
ı
ı
A hibafüggvény négyzete π
π
2
2
[ f ( x) − f n ( x, a1 , a2 )] dx = ∫0 (1 − a1 sin x − a3 sin 3x ) dx 0
G (a1 , a3 ) = ∫
= min!
Végezzük el az integrálást: G(a1, a3 ) = ∫ (1 + a12 sin2 x + a32 sin 2 3x − 2a1 sin x − 2a3 sin3x + 2a1a3 sin x sin3x ) dx = π
2
0
π
a a32 a32 2a a12 sin 2x sin 4x = x + x − sin 2x + x − sin 6x + 2a1 cos x + 3 cos3x + a1a3 − = 2 4 2 12 3 4 0 2 2 1
=π +
a12 a2 4a π + 3 π − 4a1 − 3 = min! 2 2 3 ı
A minimumfeltételekb l adódó egyenletrendszer: ∂G (a1 , a3 ) = a1π − 4 = 0 , ∂a1 ∂G (a1 , a3 ) 4 = a3π − = 0 , ∂a3 3 amelyb l az együtthatók: 4 4 a1 = és a3 = . π 3π Ha a Fourier-sor további tagjait is figyelembe vesszük, az együtthatókat hasonlóan kapjuk: 4 4 4 a5 = , …, ai = , …, am = . 5π iπ mπ A közelít megoldás tehát: 4 1 1 1 f n ( x) = (sin x + sin 3 x + sin 5 x + ... + sin mx) . π 3 5 m A közelítést az alábbi ábra mutatja, amelyr l jól látszik az összeg alakulása, vagyis hogy a közelít diagram a tagok számának emelkedésével egyre jobban hasonlít a konstans függvényhez. ı
ı
ı
ı
Egyébként vegyük észre, hogy a fenti egyenletrendszer együttható mátrixa diagonálmátrix, ennek oka az, hogy a bázisfüggvények ortogonális rendszert alkotnak, skalárszorzatuk a vizsgált tartományon zérust ad: 〈 y1 ( x), y2 ( x)〉 = ∫
π
0
π
sin 2 x sin 4 x y1 ( x) ⋅ y2 ( x)dx = ∫ sin x ⋅ sin 3xdx = − = 0. 0 8 0 4 π
Foglalkozzunk ezek után a tárcsák számításával.
2. Tárcsák számítása A tárcsák vizsgálatánál a korábbi szilárdságtani feltételezéseket tartjuk érvényben, amelyeket a tárcsára vonatkozó speciális feltevésekkel egészítünk ki: - a tárcsa anyaga homogén, izotrop, lineárisan rugalmas, - a tárcsa vastagsága állandó, - a tárcsa vékony, azaz vastagsága lényegesen kisebb a másik két irányú kiterjedésénél, - a tárcsa középsíkjának minden pontja síkbeli mozgást végez, tehát a középsík nem térhet ki a síkjából, - a tárcsa kis elmozdulást végez, és a középfelület normálisán fekv pontok az alakváltozás után is a normálison maradnak, - a tárcsa középfelületére mer leges feszültségeket elhanyagoljuk, - a számítás során az els rend elméletet követjük, vagyis az er játék vizsgálata során a terheletlen állapot geometriai adataival számolunk, - a tárcsát peremei mentén tetsz leges geometriai alakzat határolhatja, - a peremek megtámasztási viszonyai olyanok, hogy nem keletkeznek a tárcsa síkjára mer leges reakcióer k, vagyis a tárcsa peremei csak a tárcsa síkjában vannak megtámasztva. ı
ı
ı
ı
ő
ı
ı
ı
ı
ı
Az utolsó feltevés szerint a keletkez reakcióer k csak a tárcsa síkjában m ködhetnek, amely feltétel lehet vé teszi a tárcsa középsíkjára mer legesen keletkez igénybevételek – a lemezhatás – elhanyagolását. ő
ı
ı
ı
2.1. A tárcsaegyenlet
Írjuk fel most a tárcsára a rugalmasságtan differenciálegyenleteit. Ezek a tárcsa egyetlen pontjának környezetére, az elemi hasábra vonatkozó egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletek. Ezeket az általános érvény , általános alakú és terhelés szilárd testre érvényes parciális differenciálegyenleteket most a tárcsára, mint speciális alakú és terhelés szerkezetre a fenti egyszer sít feltevésekkel egészítjük ki, majd a differenciálegyenlet-rendszer átrendezésével egyetlen parciális differenciálegyenletre vezetjük vissza. Így kapjuk meg a tárcsaegyenletet, amely a vonatkozó peremfeltételekkel együtt alkotja a tárcsára el írt peremértékfeladatot. ő
ő
ő
ı
ő
ı
Az egyensúlyi egyenletek
Vegyük fel az x,y koordinátarendszert a h vastagságú tárcsaszerkezet középsíkjában és a z tengelyt erre mer legesen az ábra szerint. ı
ı
ı
Tekintsük el ször a tárcsa egyensúlyi egyenleteit. Ragadjuk ki a tárcsa egy bels pontja környezetéb l a dx ⋅ dy ⋅ dz méret elemi hasábot, és tüntessük fel a hasáb egyensúlyát biztosító feszültségkomponenseket. A tárcsaszerkezet definíciójából következ en csak a középsíkjában m ködnek terhek és a síkjára mer legesen terheletlen, így a hasáb z normálisú síkjai feszültségmentesek, azaz σ z ( x, y ) = 0 , τ zx ( x, y ) = 0 és τ zy ( x, y ) = 0 . Tehát a tárcsa minden pontja síkbeli feszültségállapotban van. Eszerint a tárcsa középsíkjának bármely (x,y) pontjában a feszültségi állapotot három feszültségkomponens jellemzi: σ x ( x, y ) , σ y ( x, y ) és ı
ő
ı
ı
ő
τ xy ( x, y ) . A feszültségtenor mátrixa: σ x (x, y) τ xy (x, y) σ x τ xy F(x, y) = , vagy tömörebben F = . τ yx (x, y) σ y (x, y) τ yx σ y Feltételezzük, hogy ezek a feszültségek a tárcsa vastagsága mentén állandóak.
Tekintsük az ábrán az elemi hasábra ható feszültségeket a síkbeli feszültségállapotnak megfelel en. Ha a tömeger ket elhagyjuk, az x- és y-irányú vetületi egyenletekb l az egyensúlyi differenciálegyenletek: ∂σ x ∂τ xy + =0 , ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 , ∂x ∂y A nyírófeszültségek reciprocitása miatt τ xy = τ yx . ı
ı
ı
Most ragadjunk ki a tárcsából egy dx ⋅ dy ⋅ h méret tárcsaelemet, amely itt ugyanazt a szerepet játssza, mint a rúdszerkezeteknél az A ⋅ dz méret rúdelem. Míg az elemi hasábra a feszültségek, addig a tárcsaelemre az igénybevételek m ködnek, akárcsak a rúdelem esetén. Ahogyan a rúdelemre ható igénybevételeket a feszültségek ered jeként kaptuk, úgy most a ő
ő
ő
ı
ı
ı
tárcsaelemre ható igénybevételeket is a tárcsaelemre m köd feszültségek ered jeként kapjuk. A tárcsa igénybevételeit hosszegységre vonatkozó fajlagos értékként definiáljuk. ő
ı
Az ábrán a tárcsaelemre m köd fajlagos igénybevételeket, a normál- és nyíróer ket tüntettük fel, amelyek tehát a tárcsaelem dx és dy oldalai mentén m köd vonalmenti megoszló er k. Mivel feltételeztük, hogy a feszültségek a tárcsa vastagsága mentén állandóak, nagyságuk: N x = σ x ⋅ h , N y = σ y ⋅ h és N xy = τ xy ⋅ h . ő
ı
ı
ő
ı
Az anyagegyenletek
Most írjuk fel a síkbeli feszültségállapotú rugalmas tárcsa anyagegyenleteit, amelyek: 1 ε x = (σ x − νσ y ) , E 1 ε y = (σ y − νσ x ) , E
ν
(σ x + σ y ) , E 2(1 + ν ) γ xy = τ xy , E ahol a nyírásnál a G = E / 2(1 + ν ) behelyettesítést alkalmaztuk. Mivel a harántkontrakció miatt a tárcsa középsíkjára mer leges ε z alakváltozások is létrejönnek, a tárcsa bármely pontja térbeli alakváltozási állapotban van. εz = −
ı
A geometriai egyenletek
Most írjuk fel a tárcsa geometriai egyenleteit. A tárcsa elmozdulási állapotát a középsíkjában fekv pontok elmozdulásaival jellemezzük. Mivel a tárcsa stabilitásvesztésb l ered kihorpadásával itt nem foglalkozunk, a tárcsa (x,y) középsíkja a terhek hatására nem tér ki a síkjából, a középsík pontjai a z tengely irányában nem végeznek elmozdulást, azaz w( x, y ) = 0 . Megjegyezzük azonban, hogy a középsíkon kívül es pontok a harántkontrakció miatt a középsíkra mer legesen is elmozdulnak, viszont a tárcsa középfelületének bármely (x,y) pontja síkmozgást végez, vagyis elmozdulási állapotát csak az x és y tengely irányában létrejöv u ( x, y ) és v( x, y ) elmozdulások jellemzik. Az ennek megfelel elmozdulásvektor: ı
ı
ı
ı
ı
ı
u u ( x, y ) , vagy tömörebben u = . u ( x, y ) = v v ( x, y )
Következésképpen a geometriai differenciálegyenletek: ∂u εx = , ∂x
ı
∂v , ∂y ∂u ∂v γ xy = + . ∂y ∂x A harántkontrakcióból származó ε z alakváltozást is figyelembe véve a tárcsa középsíkjának bármely (x,y) pontjában az alakváltozási állapotot négy alakváltozás-komponens jellemzi: ε x ( x, y ) , ε y ( x, y ) , ε z ( x, y ) és γ xy ( x, y ) . Így az alakváltozástenzor mátrixa:
εy =
0 εx γxy / 2 0 εx (x, y) γ xy(x, y) / 2 A(x, y) = γ yx(x, y) / 2 ε y (x, y) 0 , vagy tömörebben A= γyx / 2 εy 0 . 0 εz (x, y) 0 εz 0 0
A feszültségfüggvény ı
Ez a 9 egyenletb l álló parciális differenciálegyenlet-rendszer a tárcsaszerkezetek fent ismertetett 9 ismeretlen állapotváltozó függvényének a meghatározására szolgál: σ x ( x, y ) , σ y ( x, y ) , τ xy ( x, y ) ,
ε x ( x, y ) , ε y ( x, y ) , ε z ( x, y ) , γ xy ( x, y ) , u ( x, y ) , v ( x , y ) . Természetesen az egyes differenciálegyenletekhez peremfeltételek is tartoznak, amelyek az ismeretlen függvények adott pontbeli függvényértékeire, vagy deriváltjaira vonatkozóan el re ismert értékeket adnak meg. Például az egyensúlyi differenciálegyenletek peremfeltételei a tárcsa peremén megadott terhek, a geometriai differenciálegyenletek peremfeltételei pedig a tárcsa peremének megtámasztási körülményeib l adódó el re ismert elmozdulások lehetnek. Fontos szerepe van az ún. homogén peremfeltételeknek, amelyek valamely függvényérték, vagy derivált zérus voltát rögzítik, például azt, hogy a terheletlen peremen a feszültség zérus, vagy azt, hogy a mereven megtámasztott peremen az elmozdulás zérus. A fenti differenciálegyenlet-rendszert nem ebben a formájában oldjuk meg. A tárcsafeladatok megoldására Airy bevezetett egy olyan új függvényt, az F ( x, y ) feszültségfüggvényt, amelyb l a feszültségek közvetlenül kifejezhet k: ∂ 2 F ( x, y ) ∂ 2 F ( x, y ) ∂ 2 F ( x, y ) , , = −τ xy ( x, y ) , = σ ( x , y ) = σ ( x , y ) y x ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 és amelynek segítségével a fenti parciális differenciálegyenlet-rendszer egyetlen parciális differenciálegyenlet formájában írtható fel. Ha behelyettesítjük a feszültségfüggvényt az egyensúlyi egyenletekbe a feszültségek helyére, meggy z dhetünk róla, hogy a feszültségfüggvény az egyensúlyi egyenleteket automatikusan kielégíti: ∂3F ∂3F − =0 , ∂x∂y 2 ∂x∂y 2 ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
∂3F ∂3F − =0 . ∂x 2∂y ∂x 2∂y Most helyettesítsük be a feszültségfüggvényt az anyagegyenletekbe: 1 ∂2F ∂2F ε x = 2 −ν 2 , E ∂y ∂x
1 ∂2F ∂2F 2 − ν 2 , E ∂x ∂y 2 (1 + ν ) ∂ 2 F γ xy = − , E ∂x∂y majd vonjuk össze egyetlen egyenletbe a három geometriai egyenletet. Ezt úgy tudjuk megtenni, ha γ xy második vegyes deriváltját képezzük:
εy =
∂2 ∂ 2 ∂u ∂v ∂ 3u ∂ 3v ∂2 ∂2 + = γ xy = + = ε + εy . x ∂x∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂x∂y 2 ∂x 2∂y ∂y 2 ∂x 2 Ha most behelyettesítjük ebbe az egyenletbe az alakváltozások feszültségfüggvénnyel kifejezett alakját ∂ 2 2(1 + ν ) ∂ 2 F ∂2 1 ∂2F ∂2F ∂2 1 ∂2F ∂2F − = 2 2 − ν 2 + 2 2 − ν 2 , ∂x∂y E ∂x∂y ∂y E ∂y ∂x ∂x E ∂x ∂y majd minden tagból elhagyjuk az 1/E szorzót, akkor az ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F − 2(1 + ν ) 2 2 = 4 − ν 2 2 + 4 − ν 2 2 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y egyenlet átrendezésével egyetlen olyan differenciálegyenlethez jutunk, amely a fenti egyensúlyi, geometriai és anyagegyenleteket magában hordozza, tehát a fenti differenciálegyenletrendszer helyébe lép: ∂ 4 F ( x, y ) ∂ 4 F ( x, y ) ∂ 4 F ( x, y ) + 2 + =0 , ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 Ez a biharmonikus differenciálegyenlet a tárcsaegyenlet. A ∆ =
∂2 ∂2 + harmonikus Lap∂x 2 ∂y 2
lace-operátor segítségével tömörebben így írható: ∆∆F = 0 . Az Airy-féle feszültségfüggvénnyel felírt tárcsaegyenlet peremfeltételei a feszültségfüggvényre, vagy annak deriváltjaira, a feszültségekre vonatkoznak. A tárcsaegyenlet és a peremfeltételei együtt alkotják a tárcsára vonatkozó peremérték-feladatot. Ez a peremértékfeladat az er módszernek felel meg, mert a benne szerepl ismeretlen függvények statikai jelleg állapotváltozók. A peremértékfeladat megoldása olyan F ( x, y ) függvény el állítását jelenti, amely a tárcsa belsejében kielégíti a ∆∆F = 0 differenciálegyenletet, a peremén pedig a peremfeltételek által meghatározott értékeket veszi fel. Az alábbi ábra a peremfeltételeket illusztrálja olyan esetben, ahol a peremen megoszló teher m ködik. Az els ábrán egy általános helyzet , görbe perem egy pontjának környezetében felrajzolt elemi hasábra ható feszültségek és terhek egyensúlyát mutatja. Ilyenkor a peremfeltételi feszültségkomponensek felírásához a küls terhet fel kell bontani x,y irányú komponenseire. ı
ı
ı
ő
ı
ő
ő
ı
Egyszer bb a helyzet, ha a peremek egyenesek, és valamelyik koordináta-tengellyel párhuzamosak. Például, ha a perem az x tengellyel párhuzamos, és a q y nagyságú konstans megoszló teher mer leges a peremre, amint a második ábrán látható, akkor a h vastagságú tárcsa y=b peremén a peremfeltételek: ∂2 F ( x, y) ∂2 F ( x, y) ∂ 2 F ( x, y) σ x ( x, b) = = 0 , σ ( x , b ) = = − q / h , τ ( x , b ) = − = 0. y y xy ∂y 2 y =b ∂x2 y =b ∂x∂y y =b ő
ı
Hasonlóképpen, az x=a peremen, a harmadik ábra szerint: ∂ 2 F ( x, y) ∂ 2 F ( x, y) ∂ 2 F ( x, y) a y a y σ x (a, y) = = − q / h , σ ( , ) = = 0 , τ ( , ) = − = 0. x y xy ∂y 2 x=a ∂x2 x=a ∂x∂y x=a Ha a perem-szakasz terheletlen, akkor a perem e szakaszának bármely pontjában mindhárom feszültség zérus. Tekintsük példaként az alábbi a) ábrán felrajzolt tárcsát, és írjuk fel a peremfeltételeket. Ezt a tárcsát a tetején egyenletesen megoszló teher terheli, két támaszát pedig egy-egy alapfal szolgáltatja. A támaszer k a teherrel egyensúlyban vannak, megoszlásukat a megtámasztási szakaszon ugyancsak egyenletesnek tekintjük. ı
ı
ı
A b), illetve a c) ábrákon felrajzoltuk a teherb l származó nyíróer és nyomatéki ábrát a tárcsa peremeit olyan önegyensúlyi rendszerrel terhelt keretszerkezetnek képzelve, amely a b) ábra 0-pontján fel van vágva. Mivel a peremen a megoszló teher feszültségként m ködik, amely az igénybevételi ábráknál tanultak értelmében a nyomatékfüggvény második deriváltja, így a peremen a nyomatéki ábra magát a feszültségfüggvényt jelenti, és a nyíróer ábra pedig annak els deriváltját. Eszerint a peremfeltételek az y = ±b peremen: ∂F F = M (x) és = Qy (x) , ∂x és az x = ± a peremen: ∂F F = M (± a ) és = Qx (± a) ∂y és természetesen a perem terheinek megfelel en az y = −b peremen ő
ı
ı
ı
σy = és az y = +b perem terhelt szakaszán
∂2F =q, ∂x 2
∂2F = −5q . ∂x 2
σy = 2.2. Tárcsák közelít megoldásai ı
Hatványsoros megoldás ı
Tekintsük az ábrán felrajzolt tárcsát, amelynek fels szélén p nagyságú egyenletesen megoszló teher hat, amelyet a függ leges oldalai mentén megoszló teherként m köd p ⋅ a ered j er egyensúlyoz. A tárcsa h vastagsága a 2a és 2b méreteinél lényegesen kisebb. Határozzuk meg a tárcsában m köd feszültségeket. ı
ı
ő
ı
ı
ő
ı
ő
Vegyük fel a feszültségfüggvényt az alábbi hiányos kétváltozós polinom alakjában: F ( x, y ) = α 1 y 5 + α 2 y 3 + α 3 x 2 y 3 + α 4 x 2 y + α 5 x 2 , amely alak nem más, mint az yi ( x, y ) bázisfüggvények lineáris kombinációja, hiszen 5
F ( x, y ) = ∑ α i f i ( x, y ) , i =1
ahol f1 ( x, y ) = y 5 , f 2 ( x, y ) = y 3 , f 3 ( x, y ) = x 2 y 3 , f 4 ( x, y ) = x 2 y , f 5 ( x, y ) = x 2 . Ezek a bázisfüggvények nem képeznek ortogonális rendszert, így az egyenletrendszer együttható mátrixa nem lesz diagonálmátrix. A cél az öt együttható meghatározása, amelyeket azokból a feltételekb l határozhatjuk meg, hogy az F ( x, y ) függvénynek egyrészt ki kell elégítenie a tárcsaegyenletet, másrészt a peremfeltételeket. A peremfeltételek az F ( x, y ) deriváltjaira, azaz a tárcsa peremeinek különböz pontjaiban el re ismert feszültségértékekre vonatkoznak. Mivel a szerkezet és a teher egyaránt szimmetrikus, elegend , ha csak a bal oldali 0 ≤ x ≤ a tartományt vizsgáljuk. Képezzük az F ( x, y ) függvény azon deriváltjait, amelyekre a feltételek kielégítése során szükségünk lesz: ∂2F σ x = 2 = 20α1 y 3 + 6α 2 y + 6α 3 x 2 y , ∂y ı
ı
ı
ı
∂2F = 2α 3 y 3 + 2α 4 y + 2α 5 , 2 ∂x ∂2F =− = −6α 3 xy 2 − 2α 4 x , ∂x∂y
σy = τ xy továbbá:
∂4F ∂4F ∂4F = 0 , = 120 α y , = 12α 3 y . 1 ∂x 4 ∂y 4 ∂x 2∂y 2 A mez egyenlet kielégítése: ∂4F ∂4F ∂4F + 2 2 2 + 4 = 0 , azaz 2 ⋅ 12α 3 y + 120α1 y = 0 , ∂x 4 ∂x ∂y ∂y amely így egyszer síthet : α 3 + 5α1 = 0 . A peremfeltételek rendre az alábbiak. Az y = −b perem terheletlen, így ott σ y = 0 , tehát ı
ı
ő
σ y = −2α 3b3 − 2α 4b + 2α 5 = 0 , amely egyszer sítés után: ő
− α 3b3 − α 4b + α 5 = 0 . Az y = b peremen m ködik a vonalmenti megoszló teher, így ott az elemi hasábra σ y = − p / h nyomófeszültség hat. Ez egy újabb peremfeltétel: ő
σ y = 2α 3b3 + 2α 4b + 2α 5 = − p / h , amely egyszer sítés után: ő
α 3b3 + α 4b + α 5 = − p / 2h . Az y = −b terheletlen peremen a perem-menti nyírófeszültség is zérus, azaz τ yx = 0 , és ez érvényes a sarokpontokra is, ahol x = a , eszerint τ xy = −6α 3ab 2 − 2α 4 a = 0 , amely egyszer sítés után − 3α 3b 2 − α 4 = 0 . Végül a tárcsa x = a peremén a peremre mer leges vízszintes normálfeszültség is zérus, azaz σ x = 0 , amely ugyancsak érvényes az y = ±b sarokpontokra is, így például az y = b esetben ő
ı
σ x = 20α1b3 + 6α 2b + 6α 3a 2b = 0 , amelyet egyszer sítve ő
10α1b 2 + 3α 2 + 3α 3a 2 = 0 . Összefoglalva, az öt ismeretlenes lineáris egyenletrendszer tehát az alábbi alakú: 5α1 + α 3 = 0 − b 3α 3 − bα 4 + α 5 = 0 b3α 3 + bα 4 + α 5 = − p / 2h − 3b 2α 3 − α 4 = 0
10b 2α1 + 3α 2 + 3a 2α 3 = 0 amely, mint látjuk, a tehernek köszönhet en nem homogén. Ezt mátrix-alakban is felírhatjuk: 0 1 0 0 α1 0 5 0 3 0 −b − b 1 α 2 0 0 0 b3 b 1 α 3 = − p / 2h 2 0 − 3b − 1 0 α 4 0 0 10b 2 3 3a 2 0 0 α 5 0 ı
ahol az együttható mátrix – mint korábban utaltunk rá - nem diagonálmátrix. Az egyenletrendszer megoldása a polinom együtthatóit adja: p p b2 a2 p 3p p − , α 3 = α1 = − , α2 = , α4 = − , α5 = − , 3 3 3 40hb 4hb 3 2 8hb 8hb 4h így behelyettesítés és egyszer sítés után a keresett feszültségfüggvény: p 1 5 b 2 a 2 3 1 2 3 3b 2 2 − y + ( − )y + x y − F ( x, y ) = x y − b3 x 2 . 3 4hb 10 3 2 2 2 Ezután határozzuk meg a feszültségek függvényeit, és rajzoljuk fel azokat a tárcsa egyes metszeteiben. A feszültségfüggvények rendre: ∂2F p σx = 2 = − 2 y 3 + 2b 2 y − 3a 2 y + 3x 2 y , 3 ∂y 4hb ő
(
)
∂2F p = y 3 − 3b 2 y − 2b3 , 2 3 ∂x 4hb 2 ∂ F p =− = − 3xy 2 + 3b 2 x . 3 ∂x∂y 4hb
(
σy = τ xy
)
(
)
Mivel valamennyi feszültség függvénye y-ban magasabb fokú, mint x-ben, célszer , ha a különböz x értékek mellett a feszültségek függ leges megoszlását vizsgáljuk. Tekintsük el ször a vízszintes σ x feszültségek függ leges megoszlását a tárcsa középs , x = 0 metszetében. Itt a feszültségek a p σ x (0, y ) = ( − 2 y 3 + (2b 2 − 3a 2 ) y ) 3 4hb Harmadfokú függvény szerint változnak, és amint az ábrán látjuk, y = 0 -nál a feszültség értéke zérus, y = ±b -nél pedig ő
ı
ı
ı
ı
ı
3a 2 p 3a 2 p , illetve σ ( 0 , − b ) = x 4hb 2 4hb 2 értéket vesz fel. Most nézzük meg a σ x feszültségek függ leges megoszlását a tárcsa széls , x = a metszetében is:
σ x (0, b) = −
ı
ı
(
)
(
)
p 2p − 2 y 3 + (2b 2 − 3a 2 ) y + 3a 2 y = − y 3 + b2 y . 3 4hb 4hb3 Amint az ábrán látjuk, y = 0 -nál a feszültség értéke zérus, akárcsak y = ±b -nél. A függvény-
σ x (a, y ) =
nek az y = ±b / 3 = ±0, 577 b értéknél van széls értéke, ahol a feszültség nagysága p p σ x ( a, b / 3 ) = , illetve σ x (a,−b / 3 ) = − . h3 3 h3 3 Vizsgáljuk most a függ leges σ y feszültségeket. Látható, hogy ezek a feszültségek nem függnek x-t l, így a tárcsa minden függ leges metszetében az ábrán látható alakot öltik: az alsó, y = −b peremen értékük zérus, a fels , y = b peremen értékük a teherrel egyezik. A harmadfokú megoszlást az ábra mutatja. A függvénynek az y = b peremen van széls értéke. Végül tekintsük a τ xy nyírófeszültségek függ leges megoszlását. A tárcsa középs , ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
x = 0 metszetében nem keletkeznek nyírófeszültségek, az x = ± a metszetben annál inkább: 3ap p τ xy (± a, y ) = ± −3ay 2 + 3ab 2 = ± − y 2 + b2 . 3 3 4hb 4hb A nyírófeszültségek a tárcsa szélén tehát másodfokú megoszlást mutatnak, a sarkoknál, az y = ±b értéknél egyaránt zérus értékkel, és az y = 0 helyen maximum értékkel: 3ap 3ap τ xy (a,0) = , illetve τ xy (− a,0) = − . 4hb 4hb Az elemi és az általános szilárdságtani megoldás összehasonlítása kedvéért vizsgáljuk meg a tárcsát gerendának tekintve az ábra szerint. A tárcsa függ leges peremein ható nyíróer ket a kéttámaszú tartó reakcióer inek tekintve, az ábrán felrajzoltuk a nyíróer és a nyomatéki ábrát. A tárcsánál felvett koordinátarendszert használva, a szükséges keresztmetszeti jellemz k: h(2b)3 2hb3 b− y h Iz = = , S' z ( y ) = h(b − y )( y + ) = (b 2 − y 2 ) . 12 3 2 2 Továbbá, az igénybevételi függvények: pa 2 px 2 p 2 − = (a − x 2 ) . Q ( x) = px , M ( x) = 2 2 2 A feszültségek függvényei az elemi szilárdságtan szerint a gerendának tekintett tárcsa egy x,y pontjában, figyelembevéve, hogy itt az y tengely felfelé mutat: p 2 (a − x 2 ) M ( x) 3 p(a 2 − x 2 ) p σ x ( x, y ) = (− y ) = − 2 y = − y= − 3a 2 y + 3 x 2 y , 3 3 2hb Iz 4hb 4hb 3 3 σ y ( x, y ) = 0 ,
(
)
(
)
ı
ı
ı
ı
ı
(
)
h(b 2 − y 2 ) Q( x) S ( y ) p 2 τ xy = = = − 3xy 2 + 3b 2 x . 3 3 2 hb I zh 4hb h 3 A kétféle úton nyert feszültségfüggvények összehasonlítását mutatja az alábbi táblázat. ' z
σx
px
Elemi szilárdságtan p ( − 3a 2 y + 3 x 2 y ) 3 4hb
(
)
Általános szilárdságtan
(
p − 2 y 3 + 2b 2 y − 3a 2 y + 3 x 2 y 3 4hb
)
σy
(
p y 3 − 3b 2 y − 2b3 4hb3 p − 3 xy 2 + 3b 2 x 4hb3
0
τ xy
(
p − 3 xy 2 + 3b 2 x 4hb3
)
(
)
)
ı
Látható, hogy a különbségnek akkor van nagy jelent sége, ha a gerendának nagy a b magassága, mert ekkor már nem alkalmazhatók az elemi szilárdságtani feltevések, például a sík és merev keresztmetszetek elve, amelynek köszönhet en az elemi megoldásban nem keletkezhetnek függ leges σ y feszültségek. A magas gerendákat tehát faltartóként, vagyis tárcsaként kell kezelni. Ugyanez a helyzet a rövid gerendáknál is, ahol a gerenda l hosszúsága kicsi a keresztmetszet magasságához képest. ı
ı
Fourier-soros megoldás Periodikus terhelés esetén, mint amit az alábbi ábrán láthatunk, célszer en Fouriersorok segítségével állíthatjuk el a megoldást. A tárcsa fels és alsó síkjára ható terhek egyensúlyban vannak. ő
ı
ı
ı
El ször a terheket kell Fourier-sorba fejteni, mivel azok szakadásos függvények: nπ . a n =1 n =1 Amennyiben x irányban tetsz legesen hosszúnak tekinthet a tárcsa, a megoldást, vagyis a tárcsaegyenletben szerepl F ( x, y ) feszültségfüggvényt az alábbi Fourier-sor alakjában közelítjük: ∞
pn ( x) = a0 + ∑ an cos(α n x) és
∞
pn ( x) = a0 + ∑ an cos(α n x) , ahol α n =
ı
ı
ı
∞
Fn ( x, y ) = a0 + ∑
Φ
n=0
n
( y ) ⋅ cos α n x .
Ezt a függvényt behelyettesítve a tárcsaegyenletbe, a negyedik parciális deriváltakat kell képezni: ∞ ∂ 4 Fn 4 = α n ∑ n ( y ) ⋅ cos α n x , ∂x 4 n =0 Φ
∞ ∂ 4 Fn 2 = − α n∑ ∂x 2∂y 2 n =0 ∞ ∂ 4 Fn = ∑ ∂y 4 n = 0
Φ
'''' n
'' n
Φ
( y ) ⋅ cos α n x ,
( y ) ⋅ cos α n x .
A tárcsaegyenlet ekkor: ∞
∆∆Fn = α n4 ∑ n =0
∞
Φ
n
( y ) ⋅ cos α n x − 2α n2 ∑ n =0
∞
Φ
'' n
( y ) ⋅ cos α n x + ∑ n=0
Φ
'''' n
( y ) ⋅ cos α n x = 0 .
Ez akkor teljesül, ha teljesül a
α n4
( y ) − 2α n2 n' ' ( y ) + n' ' ' ' ( y ) = 0 feltétel. Ez pedig egy közönséges negyedrend homogén lineáris differenciálegyenlet, amelynek megoldási módja ismert. Feladatunk esetén az általános megoldás: 1 (c1n chα n y + c2n α n y chα n y + c3n shα n y + c4 n α n y shα n y ) , n ( y) = 2 Φ
Φ
Φ
n
ő
Φ
αn
ı
amelyben a c1n , c2 n , c3n , c4 n együtthatókat a peremfeltételekb l határozzuk meg. A négy peremfeltétel y = b / 2 -nél σ y = p (x) és τ xy = 0 , y = −b / 2 -nél σ y = p (x) és τ xy = 0 , amelyekb l a négy együttható: sh(α nb / 2) + (α nb / 2)ch(α nb / 2) c1n = −(an + an ) , sh(α nb) + α nb ch(α nb / 2) c2 n = (an + an ) , sh(α nb) − α nb ı
ch(α nb / 2) + (α nb / 2) sh(α nb / 2) , sh(α nb) − α nb sh(α nb / 2) c4 n = (an + an ) . sh(α nb) + α nb n ( y ) képletébe, majd az így kapott n ( y ) függvényt a feszültség-
c3n = −(an + an )
Behelyettesítve ezeket
Φ
Φ
∞
függvény Fn ( x, y ) = a0 + ∑ n=0
Φ
n
( y ) ⋅ cos α n x képletébe, a tárcsaegyenlet megoldását kapjuk.
ı
ı
ı
Ennek különböz második deriváltjaiból az n különböz értékei melletti összegzésb l megkapjuk a feszültségek függvényeinek n-t l függ közelít képleteit. A feszültségek így számolt megoszlását mutatja az ábra. ı
ı
ı
Hasonló úton kaphatunk megoldást egyéb szimmetrikus esetekre is. Ha a feladat (szerkezet és teher) nem szimmetrikus, a feladat megoldása zárt formában nem is állítható el . Látható tehát, hogy a tárcsák analitikus közelít számítása nagyon nehézkes, ezért valamilyen numerikus közelít módszert kell választani. Ennek vizsgálatával itt nem foglalkozunk. ı
ı
ı
