13
Fázové posuvy střídavých proudů vzhledem k napětí
Proměřovaný obvod je schématicky znázorněn na obrázku 1. Napájecí napětí je do obvodu dodáváno z generátoru harmonického napětí (grafem harmonických kmitů je v časovém rozvoji sinusovka) s nastavitelnou frekvencí. Osciloskopem budeme pozorovat i měřit časový průběh napětí na jednotlivých částech obvodu.
R
L
uR
uL
C
uC
u U
~ Obrázek 1: Schéma RLC obvodu Na výstupu generátoru jest napětí u = U sin(ω + ϕ) které je funkcí času t. U je amplituda výstupního napětí, ω = 2πf (f je frekvence nastavená na generátoru) se nazývá úhlová frekvence a ϕ je fázový posuv mezi napětím a proudem generátoru. Průběh proudu je také harmonický a je vyjádřen časovou funkcí i = I sin ϕt. Proud je tvořen pohybujícími se elektrony ve vodiči, a protože nikde v obvodu se náboje nehromadí nebo neubývají, proud rezistorem R, cívkou L i kondenzátorem C je stejný a má i stejnou fázi. Napětí na jednotlivých prvcích má však rozdílnou amplitudu a navíc rozdílný fázový posun svého časového průběhu. Na rezistoru platí uR = UR sin ωt, na cívce s indukčností L je uL = UL sin(ωt + π/2) a na kondenzátoru uC = UC sin(ωt − π/2). Pro napěťové amplitudy platí UR = I ·R, kde R nazýváme rezistancí (odporem), UL = I ·XL , kde XL = ωL nazýváme induktancí a UC = I ·XC , kde XC = 1/ωC nazýváme kapacitancí. Ohmův zákon pro sériový p obvod se střídavým proudem zapisujeme takto U = Z·I, kde Z je impedance, pro kterou platí Z = R2 + (XL − XC )2 . Názorněji to ukáží fázové diagramy na obr. 2, ve kterých reaktance X = XL − XC má induktivní charakter pro XL > XC . Při obrácení nerovnosti převažuje kapacitance, potom je však ϕ záporné. UC
XC
UL
XL
U j
UR
Z j
UC
R
XC
a)
b) Obrázek 2: Fázové posuvy napětí a skládání reaktancí
Protože proud je ve všech prvcích sériového obvodu stejný, je obrázek 2a podobný obr. 2b. Z obrázků vyplývá, že cos ϕ = UR /U a tg ϕ = X/R. Jestliže je k rezistoru sériové připojena pouze cívka je tg ϕ = ωL/R a tedy L = (Rtg ϕ)/ω. Pro sériové zapojení rezistoru a kondenzátoru s kapacitou C jest tg ϕ = 1
1/ωCR. Tedy když XL − XC = 0 (a tedy když ωL = 1/ωC), je napětí UX = 0 a U = UR . Říkáme, že obvod je v rezonanci a platí Thomsonův vztah ω 2 = 1/LC. Osciloskop je elektronický přístroj s obrazovkou, na níž se zobrazuje časový průběh napětí. Na svorky osciloskopu připojujeme tedy takové uzly zkoumaných elektrických obvodů, ve kterých nás zajímá průběh napětí v závislosti na čase. Schématicky vidíme princip na obrázku 3.
P1
P2 horizontální zesilovaè
vertikální zesilovaè
vertikální vstup
horizontální vstup
generátor pilových kmitù
Obrázek 3: Blokové schéma osciloskopu Obrazovka osciloskopu je podobná malé obrazovce televizoru. Paprsek po dopadu na stínítko z luminiscenčního materiálu vyzařuje světlo. Na rozdíl od televizoru je paprsek vychylován elektrickým napětím (v televizním přijímači magnetickým polem cívek), připojeným na dvojici deskových elektrod v trubici (jedna je nad dráhou a druhá pod dráhou paprsku). Situace je znázorněna v obr. 3 kružnicí, která představuje řez obrazovkovou trubici. V ní vidíme na schématu ještě druhý pár vychylovacích destiček jejichž případné napětí prostřednictvím elektrického pole, vychyluje elektronový paprsek (jehož stopu vidíme na obrazovce) ve vodorovném směru. Stopou elektronového paprsku je bod. Při dostatečně rychlé změně polohy bodu nám stopy paprsku vytvoří v oku vjem čáry, která není trvale zakreslena, a proto vjem rychle pomine. Pro zevrubné pozorování dějů očima (tedy ne fotografickým záznamem) musí být stopa trvalejší a nehybná. Toho lze dosáhnout u periodicky se opakujících dějů pomocí synchronizace začátků děje. Proto většina dosavadních osciloskopů (pokud nemají obrazovku s dlouho doznívající světelnou stopou na speciálnim luminiforu) umí zobrazit jenom periodické děje a nazýváme je analogovými osciloskopy. Moderní digitální osciloskopy analogový záznam digitalizují a zaznamenávají ho do paměti obdobného typu jaké jsou v počítači. Dokáží zaznamenat i jednorázový děj a periodicky ho pak vybavovat na obrazovku pro zevrubné pozorování. Z obr. 3 je zřejmé, že pozorovaný napěťový signál mohu připojit vlevo na horizontální vstup, nebo vpravo na vertikální vstup. V obou případech je možná regulace velikosti maximální výchylky paprsku na obrazovce podle velikosti obrazovky potenciometrem P1 resp P2 . Signál je dále zesílen v zesilovačích. Připojíme-li zkoumaný průběh signálu na vertikální vstup, vznikne ve středu obrazovky svislá úsečka. Po připojení generátoru pilových kmitů (který je vnitřní součástí každého osciloskopu) se přemístí svislá úsečka na levý okraj obrazovky a bude se rovnoměrně posouvat k pravému okraji. Zvětšíme-li frekvenci pilových kmitů, rozvine se úsečka do křivky časového průběhu funkce u(t), která byla přivedena na vertikální vstup osciloskopu. Nastavením synchronizace se nastaví frekvence pilového generátoru časové základny v určitém menším rozsahu frekvencí (v okolí předtím nastavené frekvence časové základny) tak, že perioda pilových kmitů je celistvým násobkem n frekvence zkoumaného periodického děje. Na obrazovce uvidíme n period zkoumaného děje u(t). Pilové kmity připomínají zuby určitého typu pily (viz obr. 4). Lineární průběh napětí časové základny uz (t) zaručuje nezkreslený průběh zkoumaného signálu u(t) a jeden zub představuje jeden přeběh paprsku přes celou obrazovku zleva doprava. Svislá úsečka zubu (kdy je oslabena intenzita paprsku) představuje okamžitý přesun kreslicího paprsku zprava doleva na začátek nového kreslení průběhu funkce u(t).
2
uèz
t
Obrázek 4: Pilový průběh napětí časové základny Dvoupaprskové osciloskopy mají dvojitou obrazovkovou trubici se dvěma samostatnými paprskovými systémy včetně vychylování, avšak společnou jedinou obrazovku, na které jsou současně zakresleny oba sledované signály. Takové provedení jest výrobně drahé. Jednodušší je připojování dvou zkoumaných signálů na jediný pár vertikálních vychylovacích destiček přes neustálé, dostatečně rychlé přepínání. Časová základna je jediná, takže synchronizována může být jenom na jeden z obou signálů. Druhý signál bude rovněž na obrazovce vidět, ale má-li jinou frekvenci než signál první, která není ani násobkem nebo podílem celých čísel k frekvenci synchronizovaného signálu, bude se na obrazovce neustále pohybovat. Poznamenejme, že může vzniknout obava, zdali nebude přepínač obou signálů způsobovat na obrazovce ”čárkované” průběhy obou sledovaných signálů a to tak, že kde bude vykreslován první signál bude u druhého signálu křivka přerušena a naopak. Pozorujeme však periodické signály, které se stále opakují a perioda časové základny se zřídka kdy ”strefí” do celistvého násobku period přepínače. Proto v následujících periodách jsou přerušovaná místa postupně vyplňována a na obrazovce pozorujeme souvislou křivku u1 (t) a v případě stejné frekvence j u2 (t). Některé osciloskopy mají dvě světelné značky, jejichž časová odlehlost je změřena čítačem, zabudovaným v osciloskopu. Protože obě značky můžeme knoflíkem osciloskopu libovolně posouvat můžeme tak změřit například periodu zobrazeného signálu. Z obrázku 3 je zřejmé, že časovou základnu můžeme odpojit a druhý vnější signál připojit na horizontální vstup. Výsledkem jest křivka, jejíž průběh y = f (x) získáme z časových funkcí obou signálů u1 (t) = k1 x a u2 (t) = k2 y vyloučením parametru t. Takto bývá osciloskop využíván zřídka. Konstanty k1 a k2 jsou číselné velikosti zesílení horizontálního resp. vertikálního zesilovače a mohou se měnit odpovídajícím regulačním knoflíkem.
Obecné vlastnosti elektronických přístrojů a pracovní zásady. Obvykle jedna svorka v každé vstupní dvojici (např. u osciloskopů) případně výstupní dvojici (např. u generátoru) signálních svorek je uzemněna. Zemněné svorky musí být při propojování přístrojů propojeny. Tak například, propojíme-li zemnící svorku osciloskopu s tak zvanou ”živou” (rozuměj neuzemněnou) svorkou generátoru, projde signál generátoru přes uzemněnou svorku osciloskopu, (která je spojena s kostrou přístroje a tím připojena na třetí vodič síťové šňůry dále na uzemňovací kolik zásuvky jenž je v rozvodné síti zase propojen s uzemňovacím kolíkem zásuvky napájející generátor) a síťovou šňůru generátoru na zemněnou svorku výstupu generátoru tedy zkratuje vzájemně obě výstupní svorky generátoru. Nejenom, že nebudeme mít signál z generátoru pro naši práci, ale generátor se bude zkratovým proudem přehřívat a tím ničit. Osciloskopy s elektronkovou obrazovkou, podobně jako televizory s elektronkovou obrazovkou, mají knoflík na regulaci jasu svítící stopy a knoflík na seřízení kontrastu (zaostření svítící stopy). Jinak je tomu u dosud málo rozšířených plochých obrazovek z polovodičů. Na osciloskopu nikdy nenecháváme jasně svítit zaostřený nepohyblivý bod. Může dojít v tomto místě ke spálení luminiscenční vrstvy obrazovky a tím se na ni vytvoří trvalá černá skvrnka. Další popisy zacházení s elektronickým přístrojem nejsou univerzální a liší se nejen druhem ale i typem elektronického přístroje. Vyžádejte si proto popis přístroje, nebo příručku.
3
Rady pro splnění zadaných úkolů. Uzemnění generátoru a obou přívodů k vychylovacímu zařízení osciloskopu musí být provedeno promyšleně tak, aby některé části našeho kmitavého obvodu nebyly překlenuty zkratem. Takovou podmínku splňuje zapojení podle obr 5. D uC C
uL
G
u
B uR A
Obrázek 5: Zapojení osciloskopu do obvodu Poměr frekvencí, přivedených na horizontální vychylování k frekvenci na vertikálním vychylování lze určit z počtu průsečíků Lissajousova obrazce vhodnou vodorovnou a svislou přímkou tak, jak je zřejmé z následujícího obrázku 6. Vhodnými přímkami myslíme takové libovolné přímky, které neprotínají průsečík Lissajousovy křivky. Poměr frekvence horizontálního vychylování f1 ku frekvenci vertikálního vychlování f2 na obr. 6a je 4:2.
Y
Y X
X b)
a)
p q
Obrázek 6: Lissajousovy křivky a odečítání fázového posuvu z osciloskopu Obecným tvarem Lissajousova obrazce pro poměr frekvencí f1 :f2 = 1:1 je elipsa na obr. 6b. Tu spatříme při zapojení RLC obvodu podle obr. 5 na obrazovce osciloskopu. Jestliže nastavíme střed elipsy do počátku souřadných os a změříme na souřadné ose x délky úseček p a q podle obrázku, potom platí pro fázový posun proudu vzhledem k napětí vztah |sin ϕ| = p/q. Jest zřejmé, že v okamžiku rezonance, kdy fázový posuv ϕ = 0, jest p = 0 a tedy elipsa degeneruje na šikmo položenou úsečku. Jestliže v RLC obvodu překleneme vodičem (tedy zkratujeme) cívku nebo kondenzátor, nemůže ve zbývajícím obvodě dojít k rezonanci. Můžeme však určit úhel ϕ a ze známé hodnoty R a frekvence generátoru f vypočíst indukčnost cívky L, případně kapacitu kondenzátoru C. Z Thomsonova vztahu pak můžeme zkontrolovat hodnotu rezonanční frekvence, jak bylo uvedeno při popisu obr. 2.
4
Provedení experimentu. a) Určete fázový posuv ϕ napětí vzhledem k proudu pro sériový RLC obvod a jeho závislost na frekvenci f . b) Určete vlastní indukčnost cívky L a kapacitu kondenzátoru C z fázového posunu napětí proti proudu u sériového RL a RC obvodu, když znáte odpor rezistoru R. c) Ze získané závislosti ϕ(f ) zjistěte rezonanční frekvenci RLC obvodu a porovnejte s hodnotou získanou dosazením vypočtených L a C do Thomsonova vztahu.
5
