12
´ PLNOU HRY S NEU INFORMACI´
JJ x II 543
Ne v kazˇde´ hrˇe majı´ vsˇichni hra´cˇi u´plne´ informace o vy´platnı´ch funkcı´ch ostatnı´ch. Ve skutecˇnosti je veˇtsˇina situacı´ s informacı´ neu´plnou. Naprˇ´ıklad: ➥ V aukcı´ch zpravidla jednotlivı´ drazˇitele´ neznajı´ hodnocenı´ vsˇech drazˇeny´ch polozˇek vsˇemi ostatnı´mi drazˇiteli ➥ Prˇi prˇijı´ma´nı´ novy´ch zameˇstnancu˚ zameˇstnavatel nezna´ schopnosti uchazecˇu˚ o zameˇstna´nı´ ➥ V Cournotoveˇ modelu oligopolu nemusejı´ jednotlivı´ oligopoliste´ zna´t na´kladove´ struktury ostatnı´ch oligopolistu˚ ➥ Postoje jednotlivy´ch hra´cˇu˚ k riziku nemusı´ by´t vsˇeobecneˇ zna´me´ Nynı´ budeme uvazˇovat hry, v nichzˇ neˇkterˇ´ı hra´cˇi neznajı´ hodnoty vy´platnı´ch funkcı´ neˇktery´ch ostatnı´ch hra´cˇu˚, a teˇmto hra´m budeme rˇ´ıkat hry s neu´plnou informacı´.
JJ x II 544
☛ Prˇ´ıklad 1: Prˇedstavme si, zˇe na trhu pu˚sobı´ Firma 1, ktera´ stojı´ prˇed rozhodnutı´m, zda ma´ otevrˇ´ıt dalsˇ´ı pobocˇku, a Firma 2, ktera´ zvazˇuje, zda ma´ na tento trh vstoupit cˇi nikoli. Obeˇ firmy se rozhodujı´ soucˇasneˇ. Firma 2 nevı´ prˇesneˇ, jake´ jsou na´klady Firmy 1 na otevrˇenı´ nove´ pobocˇky; vı´ jen, zˇe tyto na´klady mohou by´t bud’ vysoke´ ve vy´sˇi 3 milionu˚ nebo nı´zke´ – uvazˇujme nejprve, zˇe nulove´. Hodnoty vy´platnı´ funkce Firmy 2 neza´visejı´ prˇ´ımo na uvedeny´ch na´kladech, ale na tom, jestli Firma 1 novou pobocˇku otevrˇe cˇi nikoli.
Vy´platnı´ funkce jsou na´sledujı´cı´: Pro vysoke´ na´klady: Firma 2 Strategie
Vstoupit
Otevrˇ´ıt
(0, −1) ↓ (2, 1)
Firma 1 Neotevrˇ´ıt
Nevstoupit → ←
(2, 0) ↓ (3, 0) JJ x II 545
Pro vysoke´ na´klady: Firma 2 Strategie
Vstoupit
Otevrˇ´ıt
(0, −1) ↓ (2, 1)
Firma 1 Neotevrˇ´ıt
Nevstoupit →
(2, 0) ↓ (3, 0)
←
Pro nı´zke´ na´klady: Firma 2 Strategie
Vstoupit
Otevrˇ´ıt
(3, −1) ↑ (2, 1)
Firma 1 Neotevrˇ´ıt
Nevstoupit → ←
(5, 0) ↑ (3, 0) JJ x II 546
Je zrˇejme´, zˇe Firma 1 novou pobocˇku otevrˇe jen tehdy, kdyzˇ budou na´klady nı´zke´. Prˇedpokla´dejme, zˇe Firma 1 ma´ soukrome´ informace o na´kladech na otevrˇenı´ nove´ pobocˇky, Firma 2 nikoli a jednotlivy´m situacı´m mu˚zˇe jen prˇirˇadit urcˇitou apriornı´ pravdeˇpodobnost; oznacˇme pravdeˇpodobnost, kterou Firma 2 prˇirˇadı´ situaci, kdy jsou na´klady vysoke´, jako p ∈ [0, 1]; pravdeˇpodobnost nı´zky´ch na´kladu˚ je pak 1 − p. Z hlediska Firmy 2 se tedy jedna´ o loterii: s pravdeˇpodobnostı´ p jsou vy´platnı´ funkce da´ny prvnı´ dvojmaticı´ a Firma 1 na trh nevstoupı´, s pravdeˇpodobnostı´ 1 − p jsou vy´platnı´ funkce da´ny druhou dvojmaticı´ a Firma 2 na trh vstoupı´. Jestlizˇe Firma 2 na trh vstoupı´, pak s pravdeˇpodobnostı´ p bude jejı´ vy´platnı´ funkce 1 mil. a s pravdeˇpodobnostı´ 1−p to bude -1 mil.; ocˇeka´vana´ hodnota vy´platy je tedy p − (1 − p) = 2p − 1. Jestlizˇe Firma 2 na trh nevstoupı´, pak bude jejı´ vy´platnı´ funkce v kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ nulova´. Firmeˇ 2 se tedy vyplatı´ vstoupit na trh pra´veˇ tehdy, kdyzˇ 2p − 1 > 0, tj. pro p > 21 .
JJ x II 547
☛ Prˇ´ıklad 2: Nynı´ prˇedpokla´dejme, zˇe nı´zke´ na´klady nejsou nulove´, ale jsou rovny 3/2 mil. Hodnoty vy´platnı´ch funkcı´ pro nı´zke´ na´klady nynı´ budou na´sledujı´cı´: Firma 2 Strategie
Vstoupit
Otevrˇ´ıt
( 32 , −1) ↓ (2, 1)
Firma 1 Neotevrˇ´ıt
Nevstoupit → ←
( 72 , 0) ↑ (3, 0)
Optima´lnı´ strategie Firmy 1 nynı´ za´visı´ na odhadu, co bude deˇlat Firma 2. Oznacˇme pravdeˇpodobnost, kterou Firma 1 prˇirˇadı´ skutecˇnosti, zˇe Firma 2 vstoupı´ na trh, jako q ∈ [0, 1]. Firmeˇ 1 se pak vyplatı´ otevrˇ´ıt novou pobocˇku, bude-li 3 7 q + (1 − q) > 2q + 3(1 − q), 2 2
1 tj. q < . 2
JJ x II 548
Firma 1 se tedy musı´ pokusit odhadnout chova´nı´ Firmy 2, aby mohla vybrat svou vlastnı´ strategii. Celkem tedy ma´me: Firma 1 • prˇi vysoky´ch na´kladech novou pobocˇku neotevrˇe • prˇi nı´zky´ch na´kladech – otevrˇe novou pobocˇku, jestlizˇe q <
1 2
– neotevrˇe novou pobocˇku, jestlizˇe q >
1 2
Firma 2 • q = 1, jestlizˇe p >
1 2
• q = 0, jestlizˇe p <
1 2
• q ∈ (0, 1), jestlizˇe p =
1 2
JJ x II 549
Bayesovska´ hra John Charles Harsanyi, 1967–68: Prˇi modelova´nı´ te´to situace si prˇedstavı´me jesˇteˇ jednoho hra´cˇe – prˇ´ırodu, ktera´ bude hra´t jako prvnı´ a rozhodne o ”typu” Firmy 1, tj. o tom, zda budou na´klady nı´zke´ nebo vysoke´.
Příroda Vysoké náklady
Nízké náklady
1-p
p Firma 1 Otevřít
Firma 1 Otevřít
Neotevřít
pot Firma 2
Firma 2 Vstoupit
q
(0,-1)
Nevstoupit
1-q
(2,0)
Vstoupit
q
(2,1)
Nevstoupit
1-q
(3,0)
Neotevřít
1-pot Firma 2
Firma 2 Vstoupit
Nevstoupit
q
1-q
(1.5,-1)
(3.5,0)
Vstoupit
q
(2,1)
Nevstoupit
1-q
(3,0)
JJ x II 550
Příroda Vysoké náklady
Nízké náklady
1-p
p Firma 1 Otevřít
Firma 1 Otevřít
Neotevřít
pot Firma 2
Firma 2 Vstoupit
q
(0,-1)
Nevstoupit
1-q
(2,0)
Vstoupit
q
(2,1)
Nevstoupit
1-q
(3,0)
Neotevřít
1-pot Firma 2
Firma 2 Vstoupit
Nevstoupit
q
1-q
(1.5,-1)
(3.5,0)
Vstoupit
q
(2,1)
Nevstoupit
1-q
(3,0)
Obecneˇ se uvazˇuje apriornı´ tah fiktivnı´ho hra´cˇe nazy´vane´ho Prˇ´ıroda, ktery´ urcˇuje ”typ” kazˇde´ho hra´cˇe (v nasˇem prˇ´ıkladu to byly na´klady na otevrˇenı´ nove´ pobocˇky). Obvykle se prˇedpokla´da´, zˇe vsˇichni hra´cˇi majı´ stejne´ apriornı´ na´zory na pravdeˇpodobnostnı´ rozdeˇlenı´ tahu Prˇ´ırody. Prˇitom kazˇdy´ hra´cˇ zna´ svu˚j typ a vsˇechny mozˇne´ typy ostatnı´ch hra´cˇu˚ (spolu s prˇ´ıslusˇny´mi apriornı´mi pravdeˇpodobnostmi). Tı´m zı´ska´me hru s u´plnou, ale nejistou informacı´. JJ x II 551
Definice 1. Bayesovska´ hra H je urcˇena: ➥ Mnozˇinou hra´cˇu˚ Q = {1, 2, . . . , N } ➥ Mnozˇinou prostoru˚ strategiı´ {S1 , S2 , . . . , SN }; prvek prostoru Sk budeme znacˇit sk ➥ Mnozˇinami prostoru˚ typu˚ hra´cˇu˚ {T1 , T2 , . . . , TN }; typ ti ∈ Ti odpovı´da´ urcˇite´ vy´platnı´ funkci, kterou mu˚zˇe mı´t hra´cˇ i. Hra´cˇ i zna´ svu˚j typ, ale nezna´ typy ostatnı´ch hra´cˇu˚ ➥ Mnozˇinou na´zoru˚ hra´cˇu˚ {p1 , p2 , . . . , pN }; pi prˇedstavuje na´zor hra´cˇe i, ktery´ ma´ o typech dalsˇ´ıch hra´cˇu˚ ➥ Mnozˇinou vy´platnı´ch funkcı´ vsˇech hra´cˇu˚ {f1 (s1 , . . . sN , t1 , . . . , tN ), . . . fN (s1 , . . . sN , t1 , . . . , tN )}
JJ x II 552
Definice 2. Rozsˇ´ırˇena´ hra H∗ : (hra s nejistou informacı´) ➥ Mnozˇina hra´cˇu˚ Q∗ = {1, 2, . . . , M }, P kde M = N i=1 mi hra´cˇ j = (i, ti ) ➥ Prostory strategiı´ {Y1 , Y2 , . . . , YM } ➥ Vy´platnı´ funkce vsˇech hra´cˇu˚ {g1 (y1 , . . . , yM ), . . . gM (y1 , . . . , yM )} jejich hodnoty jsou pocˇı´ta´ny jako ocˇeka´vane´ hodnoty prˇi dane´m apriornı´m rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnostı´
JJ x II 553
Definice 3. Bayesova-Nashova rovnova´ha ve hrˇe H s neu´plnou informacı´ je Nashova rovnova´ha ve hrˇe H∗ s nejistou informacı´, ktera´ je reprezentacı´ pu˚vodnı´ hry H. Veˇta 1. Kazˇda´ konecˇna´ hra s neu´plnou informacı´ ma´ alesponˇ jedno Bayesovo-Nashovo rovnova´zˇne´ rˇesˇenı´.
JJ x II 554
☛ Prˇ´ıklad 2 – dokoncˇenı´ Oznacˇme VN – vysoke´ na´klady, NN – nı´zke´ na´klady, OT – otevrˇ´ıt novou pobocˇku, NEOT – neotevrˇ´ıt novou pobocˇku, VST – vstoupit na trh, NEVST – nevstoupit na trh, Z – zvazˇovat vstup H: Hra´cˇi a typy: Q = {1, 2}, T1 = {VN, NN}, T2 = {Z} Strategie: S1 = {OT, NEOT}, S2 = {VST, NEVST} Na´zory a vy´platnı´ funkce: p(VN) = p, p(NN) = 1 − p f1 (s1 , s2 , VN), f1 (s1 , s2 , NN), f2 (s1 , s2 , VN), f2 (s1 , s2 , NN) H∗ : Hra´cˇi a typy: Q∗ = {1, 2, 3} = {(1, VN), (1, NN), (2, Z)} Strategie: Y1 = Y2 = S1 = {OT, NEOT}, Y3 = S2 = {VST, NEVST} Na´zory a vy´platnı´ funkce: g1 (y1 , y2 , y3 ) = f1 (s1 , s2 , VN) g2 (y1 , y2 , y3 ) = f1 (s1 , s2 , NN) g3 (y1 , y2 , y3 ) = pf2 (s1 , s2 , VN) + (1 − p)f2 (s1 , s2 , NN)
JJ x II 555
Oznacˇme: pot – pravdeˇpodobnost, zˇe hra´cˇ (1,NN) otevrˇe novou pobocˇku, q – pravdeˇpodobnost, zˇe hra´cˇ (2,Z) vstoupı´ na trh (za´rovenˇ smı´sˇena´ strategie hra´cˇe (2,Z)) Hleda´nı´ rovnova´zˇne´ho bodu: (1, VN): dominujı´cı´ strategie NEOT (neotevrˇ´ıt) (2,Z) Strategie
Vstoupit
Otevrˇ´ıt
(0, −1) ↓ (2, 1)
(1,VN) Neotevrˇ´ıt
Nevstoupit → ←
(2, 0) ↓ (3, 0)
JJ x II 556
(1, NN): (2,Z) Strategie
VST (q)
OT (pot )
( 32 , −1) ↓ (2, 1)
(1,NN) NEOT (1 − pot )
NEVST (1 − q) ( 72 , 0) ↑ (3, 0)
→ ←
pot = 1 . . . ocˇeka´vana´ vy´hra: π2 (1, q) = 23 q + 72 (1 − q) = 27 − 2q pot = 0 . . . ocˇeka´vana´ vy´hra: π2 (0, q) = 2q + 3(1 − q) = 3 − q π2 (1, q) = π2 (0, q) ⇔ q = 21 Nejlepsˇ´ı odezva: 1 pro pot = R2 (q) = h0, 1i pro 0 pro
0≤q< q= 1 2
1 2
1 2
(2, Z): JJ x II 557
(2,Z) Strategie
VST (q)
OT (pot )
( 32 , −1) ↓ (2, 1)
(1,NN) NEOT (1 − pot )
NEVST (1 − q) ( 72 , 0) ↑ (3, 0)
→ ←
ocˇeka´vana´ vy´hra pro VST: π3 (p, pot ) = p · 1 + (1 − p)[pot · (−1) + (1 − pot ) · 1] = 1 − 2pot (1 − p) ocˇeka´vana´ vy´hra pro NEVST: π3 (p, pot ) = 0 1 − 2pot (1 − p) = 0 ⇔ pot =
1 2(1−p)
Nejlepsˇ´ı odezva:
q = R3 (pot ) =
1
pro
h0, 1i pro 0 pro
0 ≤ pot <
1 2(1−p)
pot =
1 2(1−p)
1 2(1−p)
< pot ≤ 1
JJ x II 558
Rovnova´zˇne´ strategie: p<
1 2
: (NEOT, NEOT, VST), (NEOT, OT, NEVST)
(NEOT, OT s pravdeˇpodobnostı´
1 , 2(1−p)
Neboli (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, p>
1 2
VST s pravdeˇpodobnostı´ 21 )
1 1 , ) 2(1 − p) 2
: (NEOT, NEOT, VST), neboli (0, 0, 1)
JJ x II 559
