11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes

6

MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM

TANULÓK KÖNYVE

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürd kádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi id alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban lev vízmennyiséget az eltelt id függvényében! Megoldás: 1. Válasz a kérdésre: 16 perc alatt telik meg a kád, mert

80 = 16 . 5

2. Értéktáblázat készítése: T (perc)

1

2

3

4

8

12

16

L (liter)

5

10

15

20

40

60

80

3. Ábrázolás grafikonnal:

4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt id t az x tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x

5 · x vagy f (x) = 5 x.

7

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Mintapélda2 Egy 20 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt id t l függ en! Megoldás:

1. Válasz a kérdésre: A gyertya 1 óra alatt

20 = 5 cm-t csökken, fél óra alatt 2,5 cm-rel 4

lesz alacsonyabb. 2. Értéktáblázat készítése: T (h)

0

0,5

1

1,5

2

3

4

M (cm)

20

17,5

15

12,5

10

5

0


4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt id t az x tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x

–5 x + 20. vagy f (x) = –5 x + 20.

8


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda3 Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 110 km/h sebességgel halad. Mennyi id alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! Megoldás:

1. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t =

v 50 = = 0,4! 5! . s 110

2. Értéktáblázat készítése: s (km)  km  v   h 

1

10

20

30

40

45

50

110

110

110

110

110

110

110


4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az x tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így:

x

110, vagyis f (x) = 110.

9


II. A lineáris függvény Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = mx + b képlettel adhatjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont második koordinátája. Ha m = 0, akkor az f ( x ) = b

1. f(x) = mx + b

hozzárendelést kapjuk, melyet konstans (nulladfokú) függvénynek nevezünk.

Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes.

2. f(x) = b

Ha m

0, akkor ez a lineáris függvény els fokú.

3. f(x) = mx, ha m > 0

4. f(x) = mx, ha m < 0

Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növ , vagyis növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökken , vagyis növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = mx függvény az egyenes arányosság függvénye, az arányossági tényez az m. (Minden x érték esetén az f(x) érték m-szerese az x-nek). A grafikonról leolvashatjuk, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

10


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda4 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x) = 2 x − 5 hozzárendeléssel megadott függvényt!

Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a 5 pontban metszi. 2. Ebb l a pontból kiindulva a +2 meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén 2 egységet lépünk felfelé az y tengely mentén. 3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 2,5. 4. Szigorúan növekv (mivel a meredeksége pozitív el jel").

Mintapélda5 3 Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( x) = − x + 3 hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a +3 pontban metszi. 2. Ebb l a pontból kiindulva a −

3 meredekség miatt 4

4 egységnyi jobbra haladás esetén 3 egységet lépünk lefelé az y tengely mentén. 3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 4. 4. Szigorúan csökken (mivel a meredeksége negatív el jel").

11


Feladatok 1. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott

függvények grafikonját! a) f (x ) = 2 x ;

b) f (x ) = −2 ;

1 c) f (x ) = − x ; 3

d) f (x ) =

3 . 2

2. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott

függvények grafikonját! a) f (x ) = x − 5 ;

b) f (x ) = − x + 4 ;

c) f (x ) = 5 − 2 x ;

d) f (x ) = 3 x − 4 .


függvények grafikonját! 1 a) f (x ) = − x + 5 ; 3

2 b) f (x ) = − x − 1 ; 3

c) f (x ) = 2 x −

1 ; 2

d) f (x ) = −

3 x +1 2


függvények grafikonját! a) f (x ) =

2x + 3 ; 6

b) f (x ) =

4x −1 ; 2

c) f (x ) = −

− 5x + 1 ; 3

 2  d) f (x ) = − − x − 1 .  3 

12


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda6 ha

x≤5

2 x − 8, ha

x>5

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) =  megadott függvény grafikonját!

x − 3,

hozzárendelési utasítással

Megoldás: Ábrázoljuk el ször az f1 (x ) = x − 3 függvény grafikonját a ] – #; 5] intervallumon, majd folytassuk az f 2 (x ) = 2 x − 8 függvény grafikonjával az ] 5; # [ intervallumon. Közben megfigyelhetjük, hogy az x = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik fel a függvények: f1 (5) = 5 − 3 = 2 ,

f 2 (5) = 2 ⋅ 5 − 8 = 2 .

Mintapélda7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = függvény grafikonját!

x 2 − 25 x −5

Megoldás: Egyszer"sítsük a törtet! x 2 − 25 (x + 5) ⋅ (x − 5) f (x ) = = = x + 5, (x − 5) x−5 x 5. Ábrázoláskor figyeljünk arra, hogy a függvény az x = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük.

hozzárendelési utasítással megadott


13

Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! x(x − 3) x 2 − 16 x2 ; ; c) f ( x ) = a) f ( x ) = ; b) f ( x ) = x+4 x x−3 x − x + 2, ha x ≥ 2 x 2 + 6x + 9 d) f ( x ) = ; e) f ( x ) = ; f) f ( x ) =  ; x+3 x  2 x − 4, ha x < 2 − 2 x, ha x ≤ 3  x − 2, ha x > −1 g) f ( x ) =  ; h) f ( x ) =  . − 6, ha x > 3 − x − 4, ha x ≤ −1

Mintapélda8 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( $3; 5) ponton és az y tengelyt a –10 helyen metszi! b) átmegy a P( 2; $1) ponton és grafikonja párhuzamos az f (x ) = −2 x + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonjával!

Megoldás: a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f (x ) = mx + b . Adott: P( $3; 5), valamint b = $10. f (x ) az x helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így

x = −3 és f (− 3) = 5 .

Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe kapjuk: 5 = −3m − 10 ⇒ m = −5 . A keresett hozzárendelési utasítás: f (x ) = −5 x − 10 . b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f (x ) = mx + b . Adott: P( 2; $1). Az el z példához hasonlóan x = 2 és f (2 ) = −1 . Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az f (x ) = −2 x + 6 függvény képével, akkor a meredekségük megegyezik. A keresett hozzárendelési szabályban a meredekség tehát szintén –2. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe kapjuk: $1 = 2·($2) + b, ebb l b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: g (x ) = −2 x + 5 .

14


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 6. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az

a) átmegy a P( 7; 4) ponton, és a meredeksége

1 ! 2

b) átmegy a P( 2 ; 2) ponton és az x tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P( $2; 6) ponton, és meredeksége 0! d) átmegy a P( 100; $1) ponton és párhuzamos az x tengellyel! e) átmegy a P($1; $4) és a Q( 4; 1) pontokon!

7. a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelel en rajzold be a koordináta-

tengelyeket!

f1 (x ) = x + 5 ;

f 2 (x ) = 2 x − 3 ;

f 3 (x ) = − x − 2 ;

b) Írd fel a következ grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is!

15


II. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenl tlenségek grafikus megoldása 1. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Mintapélda8 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank havi számlafenntartási díja 300 Ft, de havonta 2 tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 100 Ft. A másik banknál a havi számlafenntartási díj 100 Ft, de minden tranzakció 150 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha havonta 5 tranzakció történik? Havonta hány tranzakció esetén éri meg az els bank, illetve a második? Válaszaidat indokold!

Megoldás: Értéktáblázat készítése: Egyik bank: Havonta a tranzakciók száma

1

2

3

4

5

6

Díj (Ft)

300

300

400

500

600

700

Havonta a tranzakciók száma

1

2

3

4

5

6

Díj (Ft)

250

400

550

700

850

1000

Másik bank:

Hozzárendelési szabályok: x-szel jelöljük a tranzakciók számát. Egyik bank:

300 + (x − 2)⋅ 100, x ≥ 3 e(x ) =  ; x ∈ {1;2} 300,

Másik bank:

m(x ) = 100 + 150 x .

16


TANULÓK KÖNYVE

Grafikon készítése:

Szöveges válasz: Havi 5 tranzakció esetén az els bankot érdemes választani, mert itt csak 650 Ft-ot kell fizetnie, míg az másik banknál 850 Ft-ot. Havi egy tranzakció esetén a második bankban, de 2 vagy annál több tranzakció esetén az els ben éri meg számlát nyitni.

Feladatok Útmutató a következ 4 feladat megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat a következ képpen: töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatban a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben!

8. Egy új autó 2 500 eFt-ba kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz rá fordí-

tott költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben 100 eFt-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó ára csak 800 eFt, de az éves szervizdíja átlagosan 300 eFt. Melyik autóra kell többet költenünk, ha a költségeket az autók 10 éves koráig összeszámoljuk? Melyik az a legkés bbi id pont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold!

17


Kitöltend értéktáblázatok: Új autó év

0

6

7

8

10

11

15

8

10

11

15

költség (eFt)

Használt autó év

0

6

7

költség (eFt)

9. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azonnal

indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 25 percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi id alatt tesz meg a busz, ill. a villamos 1 km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltend értéktáblázatok: Villamos

s (km)

0

0,5

1

2

3

4

5

2

3

4

5

t (min) Busz

s (km)

0

0,5

1

t (min)

10. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autó-

busszal. A táv 100 km, a biciklisták 25 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola el l. A busz 9-kor indul ugyanerr l a helyr l, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat éri hamarabb a célt? Hány órával kés bb ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!

18


TANULÓK KÖNYVE

Kitöltend értéktáblázatok: Bicikli

s (km)

0

20

40

60

70

80

100

60

70

80

100

t (h; perc) Autóbusz

s (km)

0

20

40

t (h; perc)

11. Kati szeretne beiratkozni könyvtárba. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj,

és minden kölcsönzés 150 Ft. A másik könyvtárban 1200 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az els , illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltend értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db)

0

1

2

5

7

8

9

7

8

9

Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft)

0

1

2

5

19


2. Lineáris egyenl tlenségek Mintapélda10 Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül az y + 4 < 3x egyenl tlenség?

Megoldás: Az egyenl tlenséget y-ra rendezve kapjuk az y < 3x – 4 egyenl tlenséget. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azokat a síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a baloldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatók. A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík. Az egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshalmazba (ezt szaggatott vonallal jelöljük).

12. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül, hogy

a) y < x;

b) y " 3x + 4;

c) –y # x + 1;

e) 2y > 3x – 4?

13. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek!

Hozzárendelési utasítások: 3 1 1 f (x) = – x – 2 g (x) = x + h (x) = –2 x + 4 4 2 2 Pontok: 1 P(–1; ) Q(5; ) R( − ; ) S(1; ) T(–6; ) 2

i (x) = x – 3

U(0; )

V(3,5 ; )

14. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a

megoldási halmazt! a) y

3;

1 b) − x + 4 > 0,5, 3

c) –1

y < 5,

d) 2 x – 4

2.


megoldási halmazt! a) x + 4 > x – 2;

b) 3 x – 2

–2 x + 5;

c) –5 x – 7 < –5 x + 1;

d)

3 x–1 2

–x.

20


TANULÓK KÖNYVE


megoldási halmazt! a) y > 3 x – 1;

b) y

3 és |x| < 1;

c) y < –2 x + 1 és –1 < x < 5.

17. Jellemezd az adott ponthalmazokat!

a)

b)

21


IV. El!jel-, törtrész és egészrész függvény 1. El jelfüggvény Azt a függvényt, amely a negatív valós számokhoz –1-et, a pozitív valós számokhoz +1-et, a 0-hoz pedig 0-át rendel, el jelfüggvénynek (szignum függvénynek) nevezzük.  1, ha x > 0  A valós számok halmazán értelmezett sgn( x) =  0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással − 1, ha x < 0 

megadott függvény grafikonja a következ : Jellemzés: É.T.:

R.

É.K.:

{–1; 0; 1}.

Zérushely:

x = 0.

Monotonitás:

monoton növekv .

Széls érték:

minimumhely: minden x < 0 esetén;

minimumérték: –1;

maximumhely: minden x > 0 esetén;

maximumérték: 1.

Paritás:

páratlan, mert sgn(–x) = –sgn(x).

2. Egészrész-függvény Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Az egészrész jele: [x] A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük.

Grafikonja a következ :

22


TANULÓK KÖNYVE

Jellemzés: É.T.:

R.

É.K.:

Z.

Zérushely:

0

Monotonitás:

Az értelmezési tartományán monoton növekv , de szakaszonként

x < 1.

állandó. Ha k egész szám, akkor k Széls érték:

x < k+1 helyeken k értéket veszi fel.

nincs széls értéke.

3. Törtrész-függvény Ha egy számból elveszük az egészrészét, akkor a „törtrésze” marad. Jelölése: x $ [x] = {x} A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következ : Jellemzés: É.T:

R.

É.K:

[0; 1[.

Zérushely:

x

Monotonitás:

Ha k

Széls érték:

minimumhely: x

Z. Z, akkor a [k; k+1[ intervallumon szigorúan növekv . Z;

minimumérték: 0;

maximuma nincs. A függvény periodikus, vagyis tetsz leges helyen ugyanazt a függvényértéket veszi fel, mint az 1-gyel, vagy bármely egész számmal nagyobb helyen. Az 1 a legkisebb ilyen pozitív egész szám, ezt nevezzük a periódus hosszának. Jelöléssel: f(x + 1) = f(x), tetsz leges k

Z esetén f(x) = f(x + k).

23


Mintapélda11 Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = [2x];

b) g(x) = 2{x};

c) h(x) = sgn (x + 1).

Megoldás: a) A függvény a 0 értéket a [0; 0,5[ intervallumon veszi fel, pl.: [0 2[ = 0, de [0,5 2[ = 1. Az 1 értéket a [0,5; 1[ intervallumon veszi fel, pl.: [0,5 2[ = 1, de [1 2[ = 2 stb. A grafikon:

b) Az alapfüggvény minden függvényértéke kétszeresére n :

c) A függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel:

24


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 18. Ábrázold a következ függvényeket!

1 [x]; 2

a) f(x) = –[x];

b) f(x) = [–x];

c) f(x) =

d) f(x) = [x] + 1;

e) f(x) = [x ] – 1;

f) f(x) = [x + 1];

g) f(x) = [x – 1].

19. Ábrázold a következ függvényeket!

a) f(x) = –{x};

b) f(x) = {–x};

d) f(x) = {x} – 1;

e) f(x) = {x + 1}.

1  c) f(x) =  x  ; 2 

20. Ábrázold a következ függvényeket!

a) f(x) = –sgn(x);

b) f(x) = sgn(–x);

d) f(x) = sgn(x) – 1;

e) f(x) = 2 sgn(x).

c) f(x) = sgn( |x| );


25

Kislexikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az els fokú függvények összessége. Grafikon-

ja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete) mindig megadható f (x ) = mx + b

alakban, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont 2. koordinátája. b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón. Ha m = 0, akkor a függvény konstans függvény, grafikonja párhuzamos az x tengellyel. Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra

haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépni pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

Lineáris függvény monotonitása:

–

ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növ , vagyis ha az x helyébe bármely két különböz valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez nagyobb függvényérték tartozik.

–

ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökken , vagyis ha az x helyébe bármely két különböz valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez kisebb függvényérték tartozik.

Pont és egyenes illeszkedése: A P(x0;y0) pont rajta van az f (x ) = mx + b hozzárendelési uta-

sítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0 -t; f(x) helyébe y0 -t helyettesítve az egyenl ség teljesül. Ha y0 > mx0 + b , akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el, ha y0 < mx0 + b , akkor pedig alatta van. Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,

akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f (x ) = mx , m ≠ 0 lineáris függvény írja le, ahol m az arányossági tényez .

26


TANULÓK KÖNYVE

El jelfüggvénynek (szignumfüggvénynek) nevezzük a valós számok halmazán értelmezett  1, ha x > 0  sgn( x) =  0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt. − 1, ha x < 0 

Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x$nél. Az egészrész jele: [x]. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Ha egy számból elveszük az egész részét, akkor a „törtrésze” marad. Jelölése: x $ [x] = {x}. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük.

12. MODUL ABSZOLÚTÉRTÉKFÜGGVÉNY Készítette: Csákvári Ágnes

28


TANULÓK KÖNYVE

I. Az abszolútérték-függvény definíciója Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. |0|=0  a, ha a ≥ 0 a = − a, ha a < 0 A valós számok halmazán értelmezett abszolútérték-függvényt az  x, ha x ≥ 0 f ( x) = x =  − x, ha x < 0 hozzárendelési utasítással definiáljuk. Ez szemléletesen azt mutatja meg, hogy a szám milyen messze van a 0-tól a számegyenesen.

Az abszolútérték-függvény ( f (x) = |x| ) tulajdonságai x

–53

–10,5 –5

–4

f (x)

53

10,5

4

5

3 2 3 2

–

.

–1

–0,63

1

0,63

.

0

1

0

1

2 3 2 3

2

3

11,36

2

3

11,36

1. Monotonitás: – Ha x < 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = |x| függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken . – Ha x

0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a

függvény ezen a tartományon szigorúan monoton növekv . 2. Zérushely: Az f(x) = |x| függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel. 3. Széls érték: Az f (x) = |x| függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van.

29

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

(Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökken , pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekv .) Másképp: az f függvény az értelmezési

tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f(x) = 0. A g (x) = –|x| függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen maximuma van. (Látható, hogy a g függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton növekv , pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton csökken .) Másképp: a g függvény az értelmezési

tartományának x = 0 helyén veszi fel a legnagyobb értékét, ekkor g (x)=0.

Megállapításainkat értéktáblázattal is alátámasztjuk: x

–53

–10,5

–5

–4

g(x)

–53

–10,5

–5

–4

3 2 3 – 2

–

–1

–0,63

.

0

1

–1

–0,63

.

0

–1

2 3 2 – 3

2

3

11,36

–2

–3

–11,36

4. A h (x) = x − 3 függvénynek az x = 0-ban helyi (lokális) maximuma van, és maxi-

mumértéke h(0)=3. Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának az x = 0 hely egy környezetében van olyan valódi részhalmaza, amelyen a h függvény nem vesz fel 3-nál nagyobb értéket, de ez a teljes értelmezési tartományra természetesen nem feltétlenül igaz.

x h(x)

–6 3

–5 2

–4 1

–3 0

–2 1

–1 2

0 3

1 2

2 1

3 0

4 1

5 2

6 3

30


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda1 Az f (x) = –

3 |x| + 5 hozzárendelési szabály alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve 2

használjuk a tanult jelöléseket! Számítás el tt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát!

x

0

–2

f(x)

5

2

4 9 13 3

—

0

10 10 14 14 ; − ; − 3 3 3 3

6

5

0

–2

Megoldás: Függvényértékek számítása: 3 f(0)=– ·|0|+5=5 2 3 3 f ( –2 ) = – · | –2 | + 5 = – · 2 + 5 = –3 + 5 = 2 2 2 4 3 4 3 4 2 2 15 13 = f( )=– ·| |+5=– · +5=– +5=– + 9 2 9 2 9 3 3 3 3 Adott függvényértékek esetén az x értékek számítása: Tipp az x helyek számára: 0

f (x) = 6

A tipp indoklása: a – 32 |x| sohasem lehet pozitív, így a függvény 5–nél nagyobb értéket nem vehet fel. –

3 |x|+5=6 2

3 – |x|=1 2 |x|=–

2 3

Ellentmondás, mert az abszolútérték-függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.

f (x) = 5

–

3 |x|+5=5 2

–

3 |x|=0 2

|x|=0 x=0

Tipp az x helyek számára: 1

31


Tipp az x helyek számára: 2

f (x) = 0

–

3 |x|+5=0 2

–

3 | x | = –5 2

10  10  x1 = 3 |x|= = 3  x = − 10 2 3 

A többi függvényértékhez tartozó x helye(ke)t is ugyanígy kell kiszámolni.

Feladatok Az 1., 2., 3., feladatok megoldásánál figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Számítás el tt próbáld megtippelni az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellen rizheted. 1. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a

tanult jelöléseket! a) a (x) = 3 |x| 0 x a(x)

–1

2/3 6

1

0

–3

3

0

–2

6

4

1

0

–2

–1

4

1

–1

0

5 3

3

10 3

b) b (x) = –|x| + 4 –2 x b(x)

0

4

c) c (x) = |–2 x| – 1 –2 x c(x) d) d (x) = x d(x)

–

6 5

0

4

2 |x – 3| 3 0

0,75

32


TANULÓK KÖNYVE

2. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a

tanult jelöléseket! 1 a) a (x) = ·| x | – 2 2 a ( –8 ) = ?; a ( –1 ) = ?; a ( 4 ) = ? x = ?, ha a (x) = 4; 1; 0; –2; –4 b) b (x) = 2 | x + 3 | b ( 0,5 ) = ?; b ( 0 ) = ?; b ( 5 ) = ? x = ?, ha b (x) = –3; 0; c) c (x) = –

1 ; 1; 2. 2

1 |x|+4 2

c ( –2 ) = ?; c ( 0 ) = ?; c ( 1,24 ) = ? x = ?, ha c (x) = 5; 4;

3 ; 0; –0,5. 2

d) d (x) = | x – 4 | – 5 d ( –8 ) = ?; d ( –2 ) = ?; d ( 3 ) = ? x = ?, ha d (x) = 4; 0; –1; –5; –6.


3. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a

tanult jelöléseket! a) a (x) = –| x – 6 | + 8 a ( –1 ) = ?; a ( 3 ) = ?; a ( 10 ) = ? x = ?, ha a (x) = 10; 6; 4; 0; –2. b) b (x) = | x + 2 | – 3 b ( – 5 ) = ?; b ( 1 ) = ?; b ( 13 ) = ? x = ?, ha b (x) = –4; –3; 0; 2; 5. c) c (x) = 3 | x + 2 | c ( –2

2 ) = ?; c ( 0 ) = ?; c ( 0,1 ) = ? 3

1 4 x = ?, ha c (x) = 3 ; 3; ; 0; –0,5. 3 3 d) d (x) = –| x + 1 | + 1 d ( –3 ) = ?; d ( 0 ) = ?; d ( 1,75 ) = ? x = ?, ha d (x) = 2; 1;

3 ; 0; –4. 2

33

34


TANULÓK KÖNYVE

II. Az abszolútérték-függvény transzformálása Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = | x |, a g (x) = | x | – 3 illetve a (x) = | x | + 2 hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x

–5

–4,3

–3

–2

–1

0

g(x)

2

1,3

0

–1

–2

–3

h(x)

7

6,3

5

4

3

2

 x − 3, ha x ≥ 0 g (x) =  − x − 3, ha x < 0

2 3 7 − 3 8 3

2

3

4

5

–1

0

1

2

4

5

6

7

 x + 2, ha x ≥ 0 h (x) =  − x + 2, ha x < 0

Ha az f függvény értékeib l 3-at vonunk ki, akkor a g függvény megfelel értékeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozzá, akkor a h függvény megfelel értéke lesz az eredmény. Ez a grafikonon az f (x) függvény grafikonjának eltolását eredményezi az y tengely mentén –3 illetve +2 egységgel. Általánosságban: a g (x) = | x | + a („a” 0–tól különböz , tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = | x | függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |a| egységgel a < 0 esetén lefelé, a > 0 esetén felfelé.

35


Az abszolútérték-függvény transzformálása: x tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = | x |, a g (x) = | x + 1 | illetve a h (x) = | x – 2 | hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x

–5

–4,3

–3

–2

–1

0

f(x)

5

4,3

3

g(x)

4

3,3

x

–5

f(x) h(x)

1

2

1

0

2

1

0

1

2

–4,3

–3

–2

–1

0

1

5

4,3

3

2

1

0

1

7

6,3

5

4

3

2

1

1

4 3 4 3 4 3

2

3

4

5

2

3

4

5

3

4

5

6

2

3

4

2

3

4

0

1

2

3 5 3 4 5 3 2 5 4

5 5 3

 x + 1 , ha x ≥ −1 g (x) =  − x − 1 , ha x < −1  x − 2 , ha x ≥ 2 h (x) =  − x + 2 , ha x < 2

Az értéktáblázatból is látható, hogy a g függvény ugyanazokat az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt is jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy

36


TANULÓK KÖNYVE

kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba 1 egységgel. A h függvény ugyanazokat az értékeit 2 egységgel kés bb veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba történ eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = | x + a | („a” 0–tól különböz , tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = | x | függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén |a| egységgel „a” el jelével ellentétes irányba: a < 0 esetén pozitív, a > 0 esetén negatív irányba.

Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás 1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonját!

f (x) = | x |; g (x) = 3 | x |;

h (x) = −

1 x. 2

Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját!

x g(x)

–3 9

–2 6

x

–3 3 2

–2,5

h(x)

1,25

3x , ha x ≥ 0 g(x)=  − 3 x , ha x < 0

–1 3 –1 1 2

0 0

1,3 3,9 0 0

1 1 2

2 6 2 1

3 9 3 3 2

 1 − 2 x , ha x ≥ 0 h(x)=  1  x , ha x < 0 2

37


2. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonját:

f (x) = | x |; g (x) = 3 | –x |; h (x) =

1 −x ! 2

Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját!

x –x g(x)

–3 3 9

–2 2 6

x –x

–3 3 3 2

–2,5 2,5

h(x)

1,25

–1 1 3 –1 1 1 2

0 0 0

1,3 –1,3 3,9

2 –1 6

3 –3 9

1 –1 1 2

2 –2

3 –3 3 2

0 0 0

1

3x , ha x ≥ 0 g(x)=  − 3 x , ha x < 0

1  x , ha x ≥ 0 h(x)=  2 1 − x , ha x < 0  2

Észrevehetjük, hogy 1. az |x| és az |–x| függvények grafikonja és tulajdonságaik megegyeznek 2. az f függvény értékeit 3-mal szorozva, a g függvény értékeit, míg

1 –del szorozva, a 2

h függvény értékeit kapjuk meg. A definíciót felhasználva láthatjuk, hogy a megfelel lineáris függvény meredekségét változtatta meg ez a szorzótényez . Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk az abszolútérték definíciójából is két lineáris függvény ábrázolásával. Általánosságban: az f (x) = | x | függvényb l a g (x) = a | x | függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényez – 0 és 1 között van, akkor az abszolútérték-függvény grafikonja szétnyílik, – 1-nél nagyobb, akkor a grafikon meredekebb lesz, – negatív, akkor a grafikon az x tengelyre is tükröz dik. Megjegyzés: Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk egyetlen lineáris

függvényb l is a következ módon: el ször a lineáris függvény grafikonját nyújtjuk vagy zsugorítjuk, majd az x tengely alatti (ahol a függvény negatív értékeket vesz fel) részt tükrözzük az x tengelyre. Ezek a transzformációk megjelennek a lineáris függvényeknél is.

38


TANULÓK KÖNYVE

4. Válaszolj a következ kérdésekre!

1. Mit értünk egy szám abszolútértékén? Mit jelent szemléletesen? 2. Mi az abszolútérték-függvény definíciója? 3. A függvény legyen adott f (x) = | x | + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetsz leges valós szám. Ez a függvény mely y értékeket veszi fel 0, 1 ill. 2 helyen? 4. A függvény legyen adott f (x) = | x | + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetsz leges valós szám. Milyen b értékek esetén lesz a függvénynek 0, 1 ill. 2 zérushelye? 5. Mi a különbség az f (x) = | x + 5 |, illetve az f (x) = | x | + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonja között? 6. Az f (x) = | x – 1 | + 3 függvénynek hol van széls értéke? Maximuma vagy minimuma van? Mekkora ez a függvényérték? 7. Hogyan változik az f (x) = | x + 1 | + 3 függvény széls értéke a 6. feladatban található függvény széls értékéhez képest? 8. Az f (x) = c | x | függvénynek milyen c értékek esetén van minimuma, illetve maximuma? 9. Hogyan változik az f (x) = | x | függvény grafikonja, ha az | x |–t megszorozzuk egy ]0;1[ intervallumbeli számmal? 10. Jellemezd az f (x) = c | x | hozzárendelési utasítással megadott függvény monotonitását negatív, illetve pozitív c értékek esetén!

39


Mintapélda2 3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = – | x |, x [ –4;6 [ hozzárende4 lési utasítással megadott függvényt!

Megoldás: Értéktáblázattal:

x

–4

f(x)

–3

–3 9 – 4

–2 3 – 2

–1 3 – 4

0

1

0

–

2 3 4

–

3 3 2

–

9 4

4

5

5,9

–3

–4,75

–4,425

Transzformációs lépések: 1. h (x) = | x | 3 2. g (x) = | x | 4 3 3. f (x) = – | x | 4 Definíció szerint:  3 − 4 x , ha x ≥ 0 f (x) =  3  x , ha x < 0 4

Jellemzés: –

É.T.: –4 " x < 6, ahol x valós.

–

É.K.: –4,5 < f (x) " 0.

–

Zérushely: x = 0.

–

Monotonitás: –4 " x < 0 intervallumon szigorúan monoton növekv . 0 " x <6 intervallumon szigorúan monoton csökken .

–

Széls érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) = 0.

40


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az

f (x) = –| x | – 2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal:

x f(x)

–4 –6

–3 –5

–2 –4

–1 –3

0 –2

1 –3

2 –4

3 –5

4 –6

Transzformációs lépések: 1. h (x) = | x | 2. g (x) = –| x | 3. f (x) = –| x | – 2 Definíció szerint:

− x − 2 , ha x ≥ 0 f (x) =   x − 2 , ha x < 0 Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x) " –2.

–

Zérushely: nincs.

–

Monotonitás:

R.

x " 0 esetén szigorúan monoton növekv . 0 < x esetén szigorúan monoton csökken . –

Széls érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) = –2.

41


Mintapélda4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az

f (x) = | x – 6 | + 1 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal:

x f(x)

–3 10

0 7

3 4

4 3

5 2

6 1

7 2

9 4

12 7

Transzformációs lépések: 1. h (x) = | x | 2. g (x) = | x – 6 | 3. f (x) = | x – 6 | + 1 Definíció szerint: , ha x ≥ 6 x − 6 + 1 = x − 5 f (x) =  − x + 6 + 1 = − x + 7 , ha x < 6

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x)

–

Zérushely: nincs.

–

Monotonitás: x < 6 esetén szigorúan monoton csökken . x 6 esetén szigorúan monoton növekv .

–

Széls érték: x = 6 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( 6 ) = 1.

R.

1.

42


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = –

2 | x + 1 | hozzárendelési 3

utasítással megadott függvényt!

Megoldás: Transzformációs lépések: 1. l (x) = | x | 2. h (x) = | x + 1 | 3. g (x) =

2 |x+1| 3

4. f (x) = –

2 |x+1| 3

Definíció szerint: 2  2 − 3 x − 3 , ha x ≥ −1 f (x) =  2 2  x+ , ha x < −1 3 3

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x) " 0.

–

Zérushely: x = 0.

–

Monotonitás:

R.

x < –1 esetén szigorúan monoton növekv . x –

–1 esetén szigorúan monoton csökken .

Széls érték: x = –1 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( –1 ) = 0.

43


Mintapélda6 3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = – | x – 3 | + 8, x 2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt!

[ –2; 5 [

Megoldás:

Transzformációs lépések: 1. l (x) = | x | 2. h (x) = | x – 3 | 3. g (x) = –

3 |x–3| 2

3 4. f (x) = – | x – 3 | + 8 2

Definíció szerint: 3 9 3 25  3 − 2 (x − 3) + 8 = − 2 x + 2 + 8 = − 2 x + 2 , ha 3 ≤ x < 5 f (x) =  3 3 9 3 7  (x − 3) + 8 = x − + 8 = x + , ha − 2 ≤ x < 3 2 2 2 2 2

Jellemzés: – – –

É.T.: x [ –2; 5 [ , ahol x valós. 1 É.K.: " f (x) " 8. 2 Zérushely: nincs.

–

Monotonitás: 3 ≤ x < 5 intervallumon szigorúan monoton csökken . − 2 ≤ x < 3 intervallumon szigorúan monoton növekv .

–

Széls érték: x = 3 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 3 ) = 8.

x = –2 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( –2 ) =

1 . 2

44


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = | | x + 5 | – 4 | hozzárendelési utasítással megadott függvényt!

Megoldás: Transzformációs lépések: 1. l (x) = | x | 2. h (x) = | x + 5 | 3. g (x) = | x + 5 | – 4 4. f (x) = | | x + 5 | – 4 | Definíció szerint:

x + 1 − x − 1  f (x)=  x + 9 − x − 9

, ha , ha , ha , ha

x ≥ −1 − 5 ≤ x < −1 − 9 ≤ x < −5 x < −9

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: 0 " f (x).

–

Zérushely: x = –9 és x = –1 helyeken.

–

Monotonitás:

R.

x ≥ −1 esetén szigorúan monoton növekv . − 5 ≤ x < −1 intervallumon szigorúan monoton csökken .

− 9 ≤ x < −5 intervallumon szigorúan monoton növekv x < −9 esetén szigorúan monoton csökken .

–

Széls érték:

x = –9 és x = –1 helyeken minimuma van. A minimum értéke: f ( –9 ) = f ( –1 ) = 0.

x = –5 helyen lokális maximuma van. A maximum értéke: f ( –5 ) = 4.

45


Mintapélda8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = |x – 3| + |x – 5|, x [–5;10[ hozzárendelési utasítással megadott függvényt!

Megoldás: Definíció szerint:

 x − 3 , ha x ≥ 3 g (x) = | x – 3 | =  − x + 3 , ha x < 3

 x − 5 , ha x ≥ 5 h (x) = | x – 5 | =  − x + 5 , ha x < 5

Két függvény összege szerepel. Az egyik grafikonjának csúcspontja 3-nál, a másiké 5-nél van, ezért a számegyenest 3 részre tagoljuk, és eszerint vizsgáljuk a függvényt.

Összegezve: 2 x − 8 , ha 5 ≤ x < 10  f (x) = 2 , ha 3 ≤ x < 5 − 2 x + 8 , ha − 5 ≤ x < 3 

46


TANULÓK KÖNYVE

Jellemzés: – É.T: x

[ –5; 10 [.

– É.K: 2 " f (x) " 18. – Zérushely: nincs. – Monotonitás: 5 ≤ x < 10 intervallumon szigorúan monoton növekv . 3 ≤ x < 5 intervallumon állandó (konstans) értéket vesz fel. − 5 ≤ x < 3 intervallumon szigorúan monoton csökken .

– Széls érték: 3 ≤ x < 5 intervallumon minimuma van. A minimum értéke: f (x) = 2.

x = –5 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( –5 ) = 18.

Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal

megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) = | x + 5 |, 8

x

3;

b) f (x) = | x – 7 |;

d) f (x) = | x | – 4, 6

x

4;

e) f (x) = –| x |;

4 f) f (x) = – | x |, x 5

[ –4; 8 [;

3 g) f (x) = | x |, x 2

c) f (x) = | x | + 3;

] –6; 3 ];

h) f (x) = –3 | x |;

i) f (x) = –| x | – 1;

j) f (x) = –| x + 4 |, –5 < x < 1;

k) f (x) = |–3 x | ;

l) f (x) = | 2 x | ;

m) f (x) = –| x | + 5.

6. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal

megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 2 | x + 1 |; 3

a) f (x) = 2 | x – 4 |, 1 < x < 7;

b) f (x) = –

d) f (x) = | x + 3 | – 2, x

e) f (x) = | 3 x | + 2, –3

[–6;4];

3 | x | – 5, –2 < x < 4; 4 j) f (x) = –4 | x – 2 |, x ] –2; 5 ]; g) f (x) = –

h) f (x) = –2 | x | + 10; k) f (x) = | x – 2 | – 1;

c) f (x) = | x – 3 | + 4;

x < 5;

1 | x | – 2; 4 1 i) f (x) = | x + 3 |; 3 l) f (x) = –| x + 1 | + 3. f) f (x) =

47



megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) =

1 x + 4 −2; 3

b) f (x) = −

d) f (x) = | 2 x + 5 | + 1, x

[ –8; 1 ];

f) f (x) = | –4 x + 8 | + 2, x

[ –3; 7 ];

h) f (x) = | 2 | x – 1 | – 3 |, x j) f (x) = | –

5 x −5 +8, x 2

] –5; 6 ];

1 | x | + 3 |, –15 < x 3

[ –1; 8 [;

c) f (x) = 2 x + 5 + 1 ;

1 x | – 4 , x [–10;0[; 2 2 4 g) f (x) = − x − − 5 ; 3 3 i) f (x) = | | x + 4 | – 5 |; e) f (x) = | 3 +

15.


megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x ) = | –5 | x – 3 | + 2 |; d) f (x ) = | x | + | x + 2 |; x f) f (x) = |x + 1| – |x|;

b) f (x) = | x | + x; ] –8; 3 [;

c) f (x) = 2 x – | x |; x

e) f (x) = | x – 1 | + | x – 6 |; x

[ –6; 4 ];

[ –5; 10 [;

g) f (x) = –|x – 2| – |x + 4|; h) f (x) = 2 |x – 3| + |x + 1| – 2.

9. Rajzold be az ábrákba a grafikon és a hozzárendelési utasítás alapján a koordináta-

rendszer tengelyeit! a) f (x) = | x |

b) f (x) = –| x |

48


c) f (x) = | x + 5 |

e) f (x) = –

1 |x–3| 4

TANULÓK KÖNYVE

d) f (x) = –2 | x | + 8

1 3 f) f (x) = | x | – 2 2

g) f (x) = | x + 3 | – 6

h) f (x) = | x – 4 | – 3

i) f (x) = | x – 2 | + 3

j) f (x) = –| x + 1 | + 4

49


Mintapélda9 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m (x) = –| x – 10 | + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehet ség:

Másik lehet ség:

1. x tengely menti eltolás

1. x tengelyre történ tükrözés

2. x tengelyre történ tükrözés


3. y tengely menti eltolás


Feladat 10. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ

hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: – x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = | x | + 1;

b (x) = | x + 1 |;

c (x) = –| x |;

d (x) = –| x | – 2;

e (x) = –| x – 2 |;

f (x) = | x + 1 | + 2;

g (x) = | x – 2 | – 1;

h (x) = –| x + 3 | – 4.

50


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda10 Állítsuk sorrendbe az el bbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az 2 m (x) = – | x + 2 | – 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az 3 alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Els lehet ség: (ez a sorrend általános érvény#) 1. x tengely menti eltolás 2. x tengelyre történ tükrözés 3. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszer# el bb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani) 4. y tengely menti eltolás Többi lehet ség: az els három transzformáció sorrendje tetsz legesen felcserélhet . Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. (3·2·1 – 1 = 3! – 1 = 5 )

Feladat 11. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ

hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: – x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a) a (x) = 2 | x | + 3; d) d (x) = –

4 |x|+4; 3

2 |x–2|; 3 1 e) e (x) = – | x + 3 | – 2; 3

b) b (x) = –

c) c (x) = –

1 | x + 1 |; 2

f) f (x) = 3 | x – 1 | + 1.

51


III. Abszolútértékes egyenletek, egyenl tlenségek grafikus megoldása Mintapélda11 Oldjuk meg grafikusan a | x + 5 | = 3 egyenletet! Megoldás:

A keresett értékek: x1 = −8 , illetve x2 = −2 .

Mintapélda12 Oldjuk meg grafikusan a | x + 5 |

3 egyenl tlenséget!

Megoldás:

A keresett intervallum: –8

x

–2.

Mintapélda13 Oldjuk meg grafikusan a | x + 5 | > 3 egyenl tlenséget! Megoldás:

A keresett intervallumok: x1 < –8 vagy x2 > –2.

Feladat 12. Oldd meg grafikusan a következ egyenl tlenségeket!

a) | x | −2 ≥ 1 ;

b) − | x | +3 > − 4 ;

c) | x + 4 |< 5 ;

d) − | x − 2 |≤ 1 ;

e) | x |= x .

52


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda14 1 Oldjuk meg az | x – 2 | – 4 = – x + 2 egyenletet! 2 1. megoldás (grafikus):

A keresett értékek: x1 = −8 , x2 ≈ 5 .

2. megoldás (algebrai): Az abszolútérték definícióját alkalmazzuk (esetszétválasztás): I. x – 2 $ 0 eset: | x − 2 | = x − 2 behelyettesítéssel adódik: 1 16 1 x – 2 – 4 = – x + 2, ebb l x1 = =5 2 3 3 II. x – 2 < 0 eset: | x − 2 | = − (x − 2 ) behelyettesítéssel adódik: 1 – ( x – 2 ) – 4 = – x + 2, ebb l x2 = – 8 2 1 A megoldás tehát x1 = 5 , x2 = −8 . 3

Mintapélda15 1 Oldjuk meg grafikusan a | x – 2 | – 4 $ – x + 2 egyenl tlenséget! 2 Megoldás:

A metszéspontok x koordinátáját az el z mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: x < –8 vagy 5

1 <x 3

53


Mintapélda16 1 Oldjuk meg grafikusan a | x – 2 | – 4 < – x + 2 egyenl tlenséget! 2 Megoldás:

A metszéspontok x koordinátáját a 13. mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: –8

x

1 5 . 3

Feladatok 13. Oldd meg grafikusan a következ egyenl tlenségeket, egyenletet!

a) | x + 2 | −5 < 2 ;

b) | x + 3 |≥ − x + 3 ;

c) | x − 4 | −2 =

1 x − 2; 2

d) | x |> 2 x + 3 .

14. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket!

a) − 3 =| x − 2 | −5 ;

b) | x − 2 | −5 = 5 ;

c) − 3 <| x − 2 | −5 ≤ 5 ;

15. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl ség megengedett, akkor

a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete szín# legyen! a) | x | < 3 és y

4;

b) | x |

3 és y < 4;

c) | x |

3 és y > 4 .

Mintapélda16 Színezzük ki azon pontok halmazát, melyek koordinátáira teljesül, hogy | x | < 4 és | y | < 2! A színezéshez használjuk fel a 15. feladatban leírtakat!

Megoldás:

54


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 16. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket!

1 2 | x | −3 = x + 3 ; 2 3

a) − 2 x − 8 =

1 | x | −3 ; 2

b)

c) − 2 x − 8 ≤

1 2 | x | −3 < x + 3 ; 2 3

d) − 2 x − 8 >

1 1 2 | x | −3 vagy x − 3 ≥ x + 3 . 2 2 3

17. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket!

3 a) − 2 | x − 3 | +5 > − x + 6 ; 2

b) | x | −2 ≥ − | x | ;

c) | x + 8 | +7 < − | x + 5 | +1 ;

d) | x − 4 | +2 ≤| x − 5 | +3 ;

e) | x − 3 | + | x |= 3 .

18. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl ség megengedett, akkor

a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete szín# legyen! a) | x | < 4 és | y |

2;

b) | x |

4 és | y | > 2;

c) | x |

4 és | y |

2.

55


Kislexikon Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. |0|=0.  a, ha a ≥ 0 a = − a, ha a < 0 Legyen x tetsz leges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény:  x, ha x ≥ 0 f ( x) = x =  − x, ha x < 0 Tulajdonságai:

1. Monotonitás Ha x < 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = |x| függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken .

Ha x

0, akkor növekv

x értékekhez növekv

függvényértékek tartoznak. Így a

függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekv nek nevezzük. 2. Zérushely: Az f (x) = |x| függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel. 3. Széls érték: Az f (x) = |x| függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökken , pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekv .) Másképp: az f függvény az értelmezési

tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f (x) = 0

13. MODUL MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes

58


TANULÓK KÖNYVE

I. A másodfokú alapfüggvény definíciója, grafikonja és tulajdonságai A másodfokú alapfüggvény Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f (x) = x2 alakban írható fel. Adjunk meg táblázatban néhány értéket : –5

–4

f (x) 256 110,25 25

16

x

–16 –10,5

3 2 9 4

–

–1

–0,63

0

1

1

0,3969

0

1

2 3 4 9

2

3

11,3

4

9

127,69

Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f (x) = x2 függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek els tagja egy tetsz leges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következ görbét kapjuk:

Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, hiszen x2 = (–x)2. A parabola szimmetriatengelyén lév pontját tengelypontnak nevezzük.

Másodfokú hozzárendelési utasítással találkozhatunk az a oldalú négyzet területének, ill. az a oldalú kocka felszínének kiszámításakor, de a fizikában is találkozunk vele a szabadesés és az egyenletesen gyorsuló test mozgását leíró út–id kapcsolatnál.

A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai 1. Monotonitás – Ha x ! 0, akkor növekv

x értékekhez csökken

függvényértékek tartoznak. Ezért a

függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken . – Ha x

0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvényt

ezen a tartományon szigorúan monoton növekv nek nevezzük.

59

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

2. Zérushely Az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0. Az f (x) = x2 függvénynek az x = 0 pontban zérushelye van. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az x tengellyel. 3. Széls érték Az f (x) = x2 függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van. Másképpen: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét.

Tekintsük a g (x) = –x2 függvényt! Adjunk meg táblázatban néhány értéket, és ezek segítségével ábrázoljuk a függvényt!

x

–16

–10,5

–5

–4

g ( x)

–256

–110,25

–25

–16

3 2 9 – 4 –

–1

–0,63

0

1

–1

–0,3969

0

–1

2 3 4 – 9

2

3

11,3

–4

–9

–127,69

A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0 helyen széls értéke, nevezetesen maximuma van. A g függvény nempozitív x-ek esetén szigorúan monoton növekv , nemnegatív x-ekre pedig szigorúan monoton csökken . Másképpen: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét.

Mintapélda1 Az f (x) = ( x – 3 )2 + 2 hozzárendelési utasítás alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Figyeljünk arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Számítás el tt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát!

60


TANULÓK KÖNYVE

a) x

0

2

–3

4,5

6

1

2

4,25

3

6

f ( x)

b) x f ( x)

Megoldás:

a) Függvényértékek kiszámítása: f ( 0 ) = ( 0 – 3 )2 + 2 = ( –3 )2 + 2 = 9 + 2 = 11 f ( 4,5 ) = ( 4,5 – 3 )2 + 2 = ( 1,5 )2 + 2 = 2,25 + 2 = 4,25

A többi függvényértéket is ehhez hasonlóan kell kiszámítani. Az eredmény: x

0

2

–3

4,5

6

f ( x)

11

3

38

4,25

11

b) x értékek kiszámítása: Tipp az x helyek számára: 0

f (x) = 1

Gondolkozzunk! Az (x – 3)2 el jele pozitív, ezért a függvény grafikonja felfelé nyílik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az utána következ +2 miatt ez a minimumérték +2, tehát ennél kisebb értéket nem vehet fel. Így f (x) = 2 függvényértéket egyetlen helyen fogja felvenni, a többit két helyen. (x – 3)2 + 2 = 1 (x – 3)2 = –1

Ellentmondás, mert egy szám négyzete 0 vagy pozitív. A fenti tipp ellen rzése

f (x) = 2

(x – 3)2 + 2 = 2 (x – 3)2 = 0 x–3=0 x=3

61


A fenti tipp ellen rzése

f (x) = 3

(x – 3)2 + 2 = 3  x − 3 = 1 → x1 = 4 (x – 3)2 = 1   x − 3 = −1 → x 2 = 2

A további x értékeket is ehhez hasonlóan lehet kiszámítani. Az eredmény: x f ( x)

1

0

1,5; 4,5

4; 2

5; 1

2

4,25

3

6

Feladatok A 2. és a 3. feladatban figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Számítás el tt tippeld meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát! Számításodat grafikonon ellen rizheted. 1. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult

jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a (x) = –x2 + 3 –6

x

–5

–2

0

1

2

4

4,5

6

a( x )

b) b (x) = ( x – 4 )2 + 3 0

x b( x )

c) c (x) = 2 x2 – 8 c (–2 ) = ?; c ( −

d) d (x) =

1 3 ) = ?; c ( ) = ?; c ( 1 ) = ?; c ( 2 ) = ? 2 2

1 2 x –2 4

d (–1 ) = ?; d ( 0 ) = ?; d ( 2 ) = ?; d (

1 ) = ?; d ( 4 ) = ? 2

62


e) e (x) = –

TANULÓK KÖNYVE

1 2 x +4 2

e (–2 ) = ?; e ( 0 ) = ? ; e (1,24) = ? f) f (x) = 3 (x + 2)2

2 f (–2 ) = ?; f ( 0 ) = ?; f (0,1) = ? 3 g) g (x) = –(x + 3)2 g (–6) = ?; g ( –5 ) = ?; g (–2) = ?; g ( 0 ) = ?; g ( 1 ) = ?

1 h) h (x) = – (x + 3)2 3 h (–6) = ?; h (–5) = ?; h ( –2 ) = ?; h ( 0 ) = ?; h ( 1 ) = ?

i) k (x) = (x – 4)2 – 5 k (–8) = ?; k (–2) = ?; k ( 3 ) = ?

j) l (x) = –(x + 1)2 + 1 l (–3) = ?; l ( 0 ) = ?; l ( 1,75 ) = ? 2. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult

jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékekhez tartozó x helyeket! a) a (x) = –x2 + 3 x a (x)

0

–2

4

3

–6

2

3

4,25

6

b) b (x) = (x – 4)2 + 3 x b (x)

1

c) c (x) = 2 x2 – 8 x = ?, ha c (x) = 0; –10; –8; 4,5; –9.

d) d (x) =

1 2 x –2 4

x = ?, ha d (x) = 0; –4; –2; −

31 ; –1. 16

63


e) e (x) = –

1 2 x +4 2

x = ?, ha e (x) = 5; 4;

3 ; 0; –0,5. 2

f) f (x) = –(x + 3)2 x = ?, ha f (x) = –5; –3; 0; 1;

2 . 3

g) g ( x ) = 3 ( x + 2 )2 1 4 x = ?, ha g (x) = 3 ; 3; ; 0; –0,5. 3 3 1 h) h (x) = – (x + 3)2 3 1 5 x = ?, ha h (x) = 3; 0; − ; –1; − . 9 3 i) k (x) = (x – 4)2 – 5 x = ?, ha k ( x ) = 4; 0;–1; –5; –6.

j) l (x) = –(x + 1)2 + 1 x = ?, ha l (x) = 2; 1;

3 ; 0; –4. 2

3. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot!

a) f (x) = (–2 x)2 – 1 x

–2

0

4

f (x)

0

–2

–1

4

1

–1

0

5 3

3

10 3

2 b) g (x) = (x – 3)2 3 6 0 0,75 x – 5 g (x)

64


TANULÓK KÖNYVE

4. Egy 4 m széles, 3 m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút

közepén haladva. Az alagút formája követi az f (x) = –

1 2 x + 4 másodfokú függvény 2

grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton? 5. Egy 10 m magas árbocú vitorlás megkísérelné az átkelést a 38 m széles folyón átível

híd alatt. A vitorlás szélessége 2 m. A híd íve követi az f (x) = –

1 2 x + 12 másodfokú 32

függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter. Át tud-e úszni a vitorlás a híd alatt a folyó közepén? Át tud–e kelni a folyó partjától 10 m-re? (A vitorlás árboca 10 m-re van a parttól.) 6. A Lucullus tengerjáró hajó át szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A hajó 7 méterre

süllyed a tenger szintje alá. A szélessége pedig 10 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f (x) =

1 2 x – 8 függvény 2

grafikonját, és az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter? 7. Peti elhajítja a labdáját. A labda mozgásának íve az f (x) = –

1 2 x + 2 másodfokú 4

függvény grafikonját követi , és az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter. Peti 180 cm magas, és a fejével egy magasságból indítja a labdát, vagyis 1,8 méter magasságból. Hány métert repül el re a labda, amikor ismét olyan magasságba kerül, ahonnét elindult? 8. Egy m"ugró bajnok 10 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata

végrehajtására, miel tt beleesne a vízbe? (s = (g/2)·t2, ahol g = 9,81 m/s2) 9. Egy ember vitorlázórepül vel szeretne leereszkedni a domb tetejér l a völgybe. Milyen

magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala és a völgy az f (x) = (x – 5)2 függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 kilométer? A domb tet pontjának talppontja (tet pont x tengelyre való vetülete) és a völgy aljának a távolsága 0,5 km. 10. Hányszorosára változik a négyzet területe, ha az oldalait másfélszeresére növeljük?

Készíts értéktáblázatot, illetve grafikont a változás mértéke és a terület kapcsolatáról!

65


II. A másodfokú alapfüggvény transzformációi 1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f (x) = x2,

a g (x) = x2 – 3, illetve h (x) = x2 + 2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. Összehasonlítjuk a megfelel függvényértékeket: x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

g(x)

13

6

1

–2

–3

–2

1

6

13

h(x)

18

11

6

3

2

3

6

11

18

Ha az f függvény értékeib l 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelent –3, illetve +2 egységgel. Általánosságban: a g (x) = x2 + v („v” 0–tól különböz , tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén | v | egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé. 2. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x2, a g (x) =

(x + 1)2, illetve a h (x) = (x – 2)2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz

felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

66


TANULÓK KÖNYVE

Összehasonlítjuk a megfelel függvényértékeket: x f (x) g (x)

–4 16 9

–3 9 4

–2 4 1

–1 1 0

0 0 1

1 1 4

2 4 9

3 9 16

4 16 25

x f (x) h (x)

–4 16 36

–3 9 25

–2 4 16

–1 1 9

0 0 4

1 1 1

2 4 0

3 9 1

4 16 4

Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp

fogalmazva, negatív irányba 1 egységgel. A h függvény az értékeit 2 egységgel kés bb veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba történ eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = (x + u)2 („u” 0–tól különböz tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén | u | egységgel „u” el jelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

67


3. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények

grafikonjait! f (x) = x2;

g (x) = 3 x2;

h (x) = −

1 2 x 2

4. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonjait! 1 f (x) = (–x)2; g (x) = 3 (–x)2; h ( x ) = − (–x)2 2

Észrevehetjük, hogy 1. az f (x) = x2 és a f (x) = (–x)2 függvények grafikonjai és tulajdonságaik megegyeznek, hiszen x2 = (–x)2 . 2. az f függvény értékeit 3-mal szorozva a g függvény megfelel 1 értékeit, míg – -del szorozva a h függvény megfelel értékeit 2 kapjuk meg. Általánosságban: a függvény az f (x) = a x2 hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a

0 valós számot jelöl. Az f (x) = x2 függvényb l a

g (x) = ax2 függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-

szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az „a” szorzótényez 0 és 1 között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja szétnyílik; 1–nél nagyobb, akkor a grafikon sz"kül; negatív, akkor a grafikont az x tengelyre tükröznünk is kell.

68


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda2 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = – (x + 1)2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás:

A transzformáció lépései: 1. h (x) = x2

alapfüggvény ábrázolása

2. g (x) = (x + 1)2 h eltolása az x tengely

mentén balra, 1 egységgel. 3. f (x) = –(x + 1)2 g tükrözése az x tengelyre.

Értéktáblázattal: –4 –9

x f (x)

–3 –4

–2 –1

–1 0

0 –1

1 –4

2 –9

3 –16

4 –25

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x)

–

Zérushely: x = –1 helyen.

–

Monotonitás: x 0 esetén szigorúan monoton növekv!.

R. –

R

{0} (vagy: a nempozitív számok halmaza).

x " 0 esetén szigorúan monoton csökken!.

–

Széls!érték: x = –1 helyen maximuma van. A maximumérték: f (–1) = 0.

69


Mintapélda3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) =

1 2 x hozzárendelési utasítással 3

megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései: 1. g (x) = x2 alapfüggvény ábrázolása 1 1 2. f (x) = x 2 g minden függvényérté- kének - szorosára változtatása (y tengely 3 3 menti zsugorítás)

Értéktáblázattal: –4 16 f ( x) 3

x

–3

–2 4 3

3

–1 1 3

0 0

1 1 3

2 4 3

3 3

4 16 3

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x)

–

Zérushely: x = 0 helyen.

–

Monotonitás: x 0 esetén szigorúan monoton csökken!.

R. R: f ( x )

0 (vagy f (x)

[ 0; + [ ).

0 < x esetén szigorúan monoton növekv!. –

Széls!érték: x = 0 helyen minimuma van. A minimumérték: f ( 0 ) = 0.

70


TANULÓK KÖNYVE

Mintapélda4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = −

3 2 x + 2 hozzárendelési 2

utasítással megadott függvényt! Megoldás:

A transzformáció lépései: 1. l (x) = x2


3 2/a. h (x) = x2 2

3 –szeresére 2 változtatunk. (y tengely menti nyújtás) vagy

2/b. h (x) = –x2

x tengelyre tükrözés

3. g (x) = −

minden függvényértéket

3 2 x 2

a 2. lépést!l függ!en a h függvény grafikonját 3 – 2

vagy tükrözzük az x tengelyre, vagy

szeresére nyújtjuk. 3 2 4. f (x) = − x + 2 g függvény grafikonjának eltolása az y tengely mentén pozitív irányba 2 2 egységgel. Értéktáblázattal: –4

x

f (x) –22

–3 23 − 2

–2

–1 1 2

–4

0

1 1 2

2

2

3

–4

−

4 23 2

–22

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x)

–

Zérushely: x1 = −

–

Monotonitás:

–

R. R: f ( )

2.

2 3

illetve x2 =

2 3

helyen.

x

0 esetén szigorúan monoton növekv!.

0

x esetén szigorúan monoton csökken!.

Széls!érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximumérték: f ( 0 ) = 2.

71


Mintapélda5 1 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = − ( x − 6) 2 + 8 hozzárendelési 2 utasítással megadott függvényt! Megoldás:

A transzformáció lépései: 1. l(x) = x 2


2. h(x) = ( x − 6) 2

az l függvény grafikonjának eltolása x tengely mentén pozitív irányba 6 egységgel.

1 3. g(x) = − ( x − 6) 2 2

a h függvény grafikonjának 1 -szeresére változtatása, majd 2 tükrözése az x tengelyre.

1 4. f(x) = − ( x − 6) 2 + 8 2

a g függvény grafikonjának eltolása az x tengely mentén 8 egységgel felfelé

Jellemzés: –

É.T.: x

–

É.K.: f (x)

–

Zérushely: x1 = 2, illetve x2 = 10 helyen.

–

Monotonitás: x 6 esetén szigorúan monoton növekv!.

R.

6 –

R: f ( x )

8.

x esetén szigorúan monoton csökken!.

Széls!érték: x = 6 helyen maximuma van. A maximumérték: f ( 6 ) = 8.

72


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 11. Az alábbi csoportokban 3–3 állítást olvashatsz ugyanarról a tulajdonságról vagy

transzformációról. Döntsd el, melyik közülük a hamis! Válaszodat indokold! a) Tekintsük az f (x) = x2 függvényt! 1. Az f függvény grafikonját a lineáris függvény grafikonjából, az x tengely alatti részének az x tengelyre történ! tükrözésével kapjuk. 2. Az f függvény grafikonját parabolának hívjuk. 3. Az f függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. b) Tekintsük az f (x) = x2 + 3 hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!. 1. Az f függvény a 3 értéket pontosan egy helyen, mégpedig az x = 0–ban veszi fel. 2. Az f függvény sohasem vehet fel negatív függvényértéket. 3. Az f függvény a 2 értéket pontosan 2 helyen veszi fel. c) Tekintsük az f (x) = x2 + b hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!. 1. Az f függvénynek pozitív b esetén nincs közös pontja az x tengellyel. 2. Az f függvénynek pozitív b esetén pontosan egy közös pontja van az x tengellyel. 3. Az f függvény negatív b esetén pontosan két közös pontja van az x tengellyel. d) Tekintsük az f (x) = x2, a g (x) = (x + 5)2, illetve a h (x) = x2 + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvényeket! 1. Az g függvényt az f –b!l annak x tengely menti +5 –tel való eltolásával kapjuk. 2. A h függvényt az f –b!l annak y tengely menti, +5 –tel való eltolásával kapjuk. 3. Az g függvényt az f –b!l annak x tengely menti, –5 –tel való eltolásával kapjuk. e) Tekintsük az f (x) = (x – 3)2 + 2 hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt! 1. Az f függvénynek a 3 helyen van széls!értéke. Az ebben a pontban felvett függvényérték 2. 2. Az f függvénynek a P ( 3; 2 ) pontban minimuma van. 3. Az f függvénynek a P ( 3; 2 ) pontban maximuma van. f) Tekintsük az f (x) = a x2 hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt! Az f függvénynek negatív a értékek esetén minimuma van. Az f függvénynek negatív a értékek esetén maximuma van. Az f függvénynek pozitív a értékek esetén minimuma van.

73



megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f (x) = x2 + 1;

b) f (x) = x2 – 3;

c) f (x) = –x2;

d) f (x) = –(x + 3)2;

e) f (x) = –x2 + 7;

f) f (x) = (x + 5)2;

g) f (x) = (x – 3)2;

h) f (x) = 2 x2;

i) f (x) =

1 2 x ; 4

j) f (x) = −

1 2 x . 2


megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. 1 (x – 5)2; 4

a) f (x) = –(x + 3)2 + 2;

b) f (x) =

g) f (x) = (2 x)2 – 6;

h) f (x) = ( −

c) f (x) = (x + 3)2 – 5;

1 x + 6 )2; 2

i) f (x) = (–

3 2 x) + 1. 2


megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f (x) = –3 (x + 3)2 + 2; d) f (x) = −

3 (x – 4)2 – 2; 2

g) f (x) = | x2 – 4 | ;

b) f (x) =

1 (x – 5) 2 + 1; 4

3 c) f (x) = (x + 1)2 – 6; 2

e) f (x) = 2 (x + 2)2 – 3;

1 f) f (x) = ( x − 3) 2 + 10 ; 2

h) f (x) = | x – 4 |2;

i) f (x) = | –x2 + 6 |.

Mintapélda6 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az g (x) = – (x – 10)2 + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az

alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehet!ség:

Másik lehet!ség:


1. x tengelyre történ! tükrözés

2. x tengelyre történ! tükrözés




74


TANULÓK KÖNYVE

Megjegyzés: Az els! lehet!ség egy általános érvény# sorrend. Ha a behelyettesítési lépések

sorrendjét követjük a megfelel! geometriai transzformációban, akkor biztosan jó az eljárás. 15. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ!

hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk:

– x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = x2 – 5;

b (x) = (x – 5)2;

d (x) = 3 x2;

e ( x) = –

2 2 x + 6; 3

c (x) = –x2 + 3; f (x) = –(x + 6)2.

Mintapélda7 2 Állítsuk sorba az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a g(x) = – (x + 2)2 – 6 3 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Els! lehet!ség: (ez a sorrend általános érvény#)

1. x tengely menti eltolás 2. x tengelyre történ! tükrözés 3. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszer# el!bb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani.) 4. y tengely menti eltolás Többi lehet!ség: az els! három transzformáció sorrendje tetsz!legesen felcserélhet!. Ez

további 5 lehetséges sorrendet eredményez. (3·2·1 – 1 = 3! – 1 = 5 )

75


16. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ!

hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk:

– x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = – (x + 4)2 + 7; d ( x) =

1 (x – 4)2; 2

b (x) = (x – 2)2 – 6; e ( x) =

1 (x – 1)2 + 2; 4

c (x) = –3 x2 – 1; f (x) = 4 (x + 2)2 – 8.

76


TANULÓK KÖNYVE

III. Másodfokú egyenletek, egyenl tlenségek grafikus megoldása Mintapélda8 Oldjuk meg grafikusan a –x2 + 3 = – 6 egyenl!séget! Megoldás:

A megoldások a grafikonról leolvashatók: x1 = –3; x2 = 3.

Behelyettesítéssel ellen!rizhetjük a megoldást.

Mintapélda9 Oldjuk meg grafikusan az x2 – 3 " 6 egyenl!tlenséget! Megoldás:

A keresett intervallumok: x1 –3 vagy x2 " 3.

Mintapélda10 Oldjuk meg grafikusan a –x2 + 3 > –6 egyenl!tlenséget! Megoldás:

A keresett intervallum: –3 < x < 3.

77


Feladat 17. Oldd meg grafikusan a következ! egyenl!tlenségeket!

a) x2 – 2 < 2;

b) –x2 + 6 " –3;

d) –(x – 2)2 < x – 4;

e)

c) (x + 5)2 = 1;

1 2 1 x – 1 " x. 2 2

Mintapélda11 Oldjuk meg grafikusan a –2 x2 + 6 =

1 | x | – 3 egyenl!séget! 2

Megoldás:

A megoldások a grafikonról leolvashatók: x1 = –2 x2 = 2

Mintapélda12 Oldjuk meg grafikusan a –2x2 + 6

1 |x|–3 2

egyenl!tlenséget! Megoldás:

A keresett intervallumok: x1 –2 vagy x2 " 2

Mintapélda13 Oldjuk meg grafikusan a –2x2 + 6 > egyenl!tlenséget! Megoldás:

A keresett intervallum: –2 < x < 2

1 |x|–3 2

78


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 18. Oldd meg grafikusan a következ! egyenl!tlenségeket!

1 1 (x – 1)2 – 4 < – x – 1,5 4 2

a) (x + 2)2 + 3 " 4x + 8

b)

d) 2 (x – 3)2 > 2 | x – 3 |

e) –1 < (x + 1)2 – 5 < 4

c) –2x2 + 8 "

1 |x|–1 2

19. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl!ség megengedett, akkor

a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltér! szín# legyen! a) x2 – 3

y

b) x2 – 3 > y

Mintapélda14 Oldjuk meg grafikusan a –2x2 + 4 = x2 + 1 egyenl!séget! Megoldás:

a) A megoldás a grafikonról leolvasható: x1 = –1; x2 = 1 b) Ezt az egyenletet algebrai úton is könny# megoldani: átrendezéssel kapjuk: 3 = 3 x2 1 = x2 ebb!l x1 = –1; x2 = 1

Mintapélda15 Oldjuk meg grafikusan a –2 x2 + 4

x2 + 1 egyenl!tlenséget!

Megoldás:

A keresett intervallumok: x –1, illetve x " 1

Szintén jó megoldást kapunk, ha ábrázolás el!tt nullára rendezzük az egyenl!tlenséget. Ekkor csak egyetlen másodfokú függvényt kell ábrázolnunk, és azt vizsgáljuk, hogy hol vesz fel nem negatív (pozitív vagy 0) függvényértékeket.

79


Feladatok 20. Oldd meg grafikusan a következ! egyenl!tlenségeket!

1 a) – (x – 4)2 + 3 " – (x – 4)2 4

b) –2x2 + 6 < x2 + 3

c) (x + 2)2 – 1 = x2 – 5

21. Oldd meg grafikusan a következ! egyenl!tlenségeket!

a) (x – 4)2 – 3 < 2| x – 4 | – 3

b)

1 1 (x + 1)2 + 2 " – (x – 1)2 + 7 2 2

22. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl!ség megengedett, akkor a

tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltér! szín# legyen! a) ( x + 2 )2 – 1 > y

b) – x2 + 5 < y

0

80


TANULÓK KÖNYVE

Kislexikon A másodfokú alapfüggvény: Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a

hozzárendelési utasítás f(x) = x2 alakban írható fel. A kapott görbe neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. A parabola szimmetria tengelyén lév! pontját tengelypontnak nevezzük.

A függvénytranszformációkról általánosan: Eltolás az y tengely mentén:

A g(x) = f (x – c) (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét eltoljuk az x tengely mentén c egységgel. (Ha c > 0 pozitív irányba, ha c < 0, akkor negatív irányba.) Eltolás az x tengely mentén:

A g(x) = f (x) + c (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét eltoljuk az y tengely mentén c egységgel. (c > 0 esetén pozitív irányba, c < 0 esetén negatív irányba.) Tükrözés az y tengelyre:

A g(x) = –f (x) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét tükrözzük az x tengelyre. Tükrözés az y tengelyre:

A g(x) = |f (x)| függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azokat a görbedarabokat, ahol f negatív értéket vesz fel, tükrözzük az x tengelyre. Nyújtás, zsugorítás:

A g(x) = c f (x) (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbe minden pontjának y koordinátáját c-szeresére változtatjuk.

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

Recommend Documents