ORTVAY RUDOLF ´ ´ VERSENY FELADATAI PROBLEMAMEGOLD O Bead´ asi hat´arid˝ o: 1996. november 11. (h´ etf˝ o) 1200 , Postac´ım: D´ avid Gyula, Fizikus Di´ akk¨ or, G´ olyav´ ar, Hallgat´ oi Iroda, H-1088 Budapest, M´ uzeum k¨ or´ ut 6-8. Faxon a (1)-266-2556 sz´ amra lehet k¨ uldeni a megold´ asokat. A feladatok szem´elyesen a a G´ olyav´ ar ruhat´ ar´ aban adhat´ ok le. A M˝ uegyetemen Kert´esz J´ anos professzorn´al, Szegeden Szing Attil´an´ al, Debrecenben Rajta Istv´ann´ al lehet leadni a megold´ asokat. E-mailen LaTeX-form´ atumban a dgyludens.elte.hu c´ımre k¨ uldhet˝ok a megold´ asok. A feladatok megold´ asa sor´ an b´ armilyen seg´edeszk¨ oz haszn´ alhat´ o. Az ´ert´ekel´es ´evfolyamonk´ent t¨ ort´enik. Maximum 10 feladatot lehet beadni, mindegyik feladat 100 pontot ´er. Minden feladatot k¨ ul¨ on lapon, n´ ev ´ es ´ evfolyam felt¨ untet´ es´ evel k´ er¨ unk. Azonos vagy k¨ ozel azonos ¨osszpontsz´ am eset´en a d´ıjaz´ asn´ al el˝onyben r´eszes¨ ul az, aki koroszt´ aly´ anak megfelel˝ o feladatokb´ ol v´ alogatott. A zs˝ uri ´evfolyamonk´ent nulla, egy vagy t¨ obb els˝ o, m´ asodik ´es harmadik d´ıjat, valamint d´ıcs´ereteket oszt ki. Ezekkel szponzoraink pillanatnyi adakoz´ o kedv´et˝ ol f¨ ugg˝ o p´enzjutalom is j´ ar, ennek m´ert´ek´er˝ol jelenleg m´eg nem tudunk nyilatkozni. Egyes feladatok kiemelked˝ o megold´ as´ a´ert 1000 Ft-os k¨ ul¨ ond´ıj adhat´ o. M´ ar egy feladat´ert is kaphat´ o d´ıj, teh´ at egy-k´et feladat megold´ as´ at is ´erdemes beadni! A legeredm´enyesebb els˝ o´evesnek Di´ osi Lajos (KFKI) 10 000 Ft k¨ ul¨ ond´ıjat aj´ anlott fel. A 30. feladat kit˝ uz˝ oje, Cs¨ org˝ o Tam´as (KFKI) feladata legjobb megold´ oj´ at 5000 Ft-tal jutalmazza. A verseny eredm´enyhirdet´ese Fizikus Mikul´ assal egybek¨ otve 1996. december 5-´en 14 ´orakor kezd˝odik az ELTE TTK D ´ep¨ ulet´enek nagyterm´eben. Az egyes feladatok legjobb megold´ oit el˝ore felk´erj¨ uk, hogy megold´ asukat az eredm´enyhirdet´es ut´ an ismertess´ek. Minden r´esztvev˝ onek j´ o versenyz´est, tanuls´ agos ´es eredm´enyes feladatmegold´ ast k´ıv´ an az ELTE TTK Fizikus Di´ akk¨ ore ´es a Magyar Fizikus Hallgat´ ok Egyes¨ ulete
1. S¨ or¨ os¨ uveget sz´ aj´ aval felfel´e v´ızbe ejt¨ unk. Els¨ ullyed-e az u ¨veg? Hogyan f¨ ugg ez az ejt´esi magass´ agt´ ol ´es a kezdetben az u ¨vegben lev˝ o v´ız mennyis´eg´et˝ ol? Hogyan fog v´eg¨ ul u ´szni az u ¨veg, ha nem s¨ ullyed el: ´allva vagy fekve? (T´etelezz¨ uk fel, hogy az u ¨veg a v´ız alatti mozg´ asa sor´an mindv´egig f¨ ugg˝ oleges helyzetben marad!) (Bihary Zsolt) 2. V´ekony m˝ uanyag poh´ arb´ ol forr´ o te´ at iszogatunk. Hogyan v´ altozik a poh´ ar alakja? (Farkas Z´en´ o) 3. Stabiliz´ aljuk az egys´ın˝ u villamos mozg´ as´ at egy nagy tehetetlens´egi nyomat´ek´ u p¨ orgetty˝ uvel! Hat´ arozzuk meg a p¨ orgetty˝ u minim´alis sz¨ ogsebess´eg´et! (A villamos geometriai m´eretei ´es t¨ omege adottak, a kerekek k¨ oz´epen, a szimmetriatengelyen helyezkednek el.) Keress¨ unk ¨osszef¨ ugg´est a villamos sebess´ege ´es a p¨ orgetty˝ u sz¨ ogsebess´ege k¨ oz¨ ott! rjuk le ´altal´anosan a p¨ orgetty˝ uvel stabiliz´alt egys´ın˝ u villamos mozg´ as´ at! Haszn´ aljunk ciklikus koordin´at´ akat! (Aj´anlott irodalom: Landau I. 41. fejezet.) (Bakucz P´eter) 4. V´ızszintes asztallapon r¨ ogz´ıt¨ unk egy f¨ ugg˝ oleges tengely˝ u hengert, amire k¨ otelet cs´ev´el¨ unk. A k¨ ot´el fel nem cs´ev´elt r´esz´et feszesre h´ uzzuk, ´es a v´eg´ere er˝ os´ıtett testet a k¨ ot´elre mer˝oleges kezd˝osebess´eggel megl¨okj¨ uk. Hogyan mozog a test, ha mozg´ asa a k¨ otelet felcs´ev´eli a hengerre, ´es hogyan, ha letekeri? Vizsg´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o eseteket: a/ b/ c/ d/
nincs s´ url´ od´ as; a mozg´ o testre ´ alland´ o nagys´ ag´ u s´ url´ od´ asi er˝ o hat; a s´ url´ od´ asi er˝ o a sebess´eggel ar´ anyos; a s´ url´ od´ asi er˝ o a sebess´eg n´egyzet´evel ar´ anyos! (Bihary Zsolt)
5. ´Irjuk le egy rugalmatlan, pontszer˝ u test egydimenzi´ os mozg´ as´ at neh´ezs´egi er˝ ot´erben egy f¨ ugg˝ olegesen, harmonikusan mozg´ ou ¨tk¨ oz´esi pont f¨ ol¨ ott! (Kert´esz J´ anos) 1
6. Hogyan lehet Pitot-cs˝ ovel ny´ır´ ofesz¨ ults´eget m´erni? Adjunk m´er´esi utas´ıt´ ast ´araml´ o folyad´ek eset´ere (a folyad´ek fizikai ´alland´oit ismerj¨ uk)! Vizsg´ aljuk meg a Re → ∞ hat´aresetet! (Re a Reynolds-sz´ amot jelenti.) Hogyan tudunk ezek alapj´ an ”turbulenciam´etert” tervezni az ¨orv´enyess´eg m´er´es´ere? (Bakucz P´ter) 7. V´ızszintes asztallapon nyugv´ o v´ekony, lapos, homog´en karik´ ara (v´ekony = a k¨ uls˝ o ´es a bels˝ o k¨ or sugar´ anak k¨ ul¨ onbs´ege j´ oval kisebb a sugarakn´ al) k¨ otelet cs´ev´el¨ unk. A k¨ ot´el v´eg´et ´alland´o nagys´ ag´ u, ´alland´o ir´ any´ u er˝ovel h´ uzni kezdj¨ uk. A s´ url´ od´ ast nem hanyagolhatjuk el. Hogyan mozog a karika? Mi a helyzet, ha karika helyett homog´en korongot haszn´ alunk? (Bihary Zsolt) 8. V´ızszintes asztallapon v0 kezd˝osebess´eggel ´es ω0 = v0 /R kezd˝o sz¨ ogsebess´eggel u ´tj´ ara ind´ıtunk egy f¨ ugg˝ oleges helyzet˝ u, ´es a v´ızszintes szimmetriatengelye k¨ or¨ ul forg´ u f´elg¨ ombh´ejat (t¨ omege m, k¨ uls˝ o sugara R, bels˝ o sugara r). A kezd˝osebess´eg ir´ anya mer˝oleges a szimmetriatengelyre. A tapad´ asi s´ url´ od´ asi egy¨ utthat´o v´egtelen nagy. ´Irjuk le a a mozg´ ast! Milyen a mozg´ as, ha a kezd˝oa´llapotban nem v´ızszintes a szimmetriatengely? Van e stacion´ arius mozg´ as, ´es milyen kezd˝ ofelt´etelekkel? (Horv´ ath Tibor) 9. Egy R sugar´ u, ρ s˝ ur˝ us´eg˝ u, l hossz´ us´ ag´ u t¨ om¨or, merev hengert helyezz¨ unk bele egy ugyanolyan hossz´ u, R falvastags´ ag´ u, R bels˝ o sugar´ u cs˝ obe, majd az eg´eszet egy hasonl´ o, de 2R bels˝ o sugar´ u cs˝ obe. Mindh´ arom egys´eg ugyanolyan anyag´ u, hossz´ us´ ag´ u, ´es ´ıgy egy¨ utt egy 3R sugar´ u hengerr´e eg´esz´ıtik ki egym´ast, k¨ ozt¨ uk sem s´ url´ od´ as, sem h´ezag nincs. A rendszert a t´ avoli u ˝r egy olyan pontj´ aba helyezz¨ uk, ahol m´ as testek hat´asa elhanyagolhat´ o. A rendszer kis rezg´eseket v´egez egyens´ ulyi helyzete k¨ or¨ ul, ´es lehet, hogy az inerciarendszerhez k´epest forog is. a/ Milyen rezg´esi m´ odusok vannak, ´es mekkora a rezg´esidej¨ uk? Adjunk sz´ amszer˝ u becsl´est is a rezg´esid˝o nagys´ agrendj´ere! Itt tegy¨ uk fel, hogy a rendszer sz¨ ogsebess´ege z´erus. b/ Megm´erj¨ uk az egyik m´ odus rezg´esidej´et, ´es ´eszrevessz¨ uk, hogy az nem egyezik a fent kapott eredm´ennyel. Kisebb vagy nagyobb lehet? Mit mondhatunk ekkor a sz¨ ogsebess´eg-vektorr´ ol? c/ Mit ´all´ıthatunk a sz¨ ogsebess´eg-vektorr´ ol an´elk¨ ul, hogy megm´ern´enk a rezg´esid˝ot? d/ Lehet-e esetleg ´ altal´ anos´ıtani a feladatot t¨ obb r´eszb˝ ol ´all´ o rendszerre? (Veres G´ abor) 10. Hossz´ u egyenes cs˝ oben egym´ ast´ ol egyenl˝ o t´ avols´ agra egyforma, m t¨ omeg˝ u goly´ ok ´allnak. Az els˝ o goly´ ot ´alland´o F er˝ovel tolni kezdj¨ uk. A goly´ ok u ¨tk¨ oz´ese k u ¨tk¨ oz´esi sz´ ammal jellemezhet˝ o. A cs˝ o fal´an´ al fell´ep˝ o s´ url´ od´ ast´ ol tekints¨ unk el. Mekkora lesz a tolt goly´ o sebess´ege hossz´ u id˝ o m´ ulva? Milyen sz´eles a kialakul´ o l¨ ok´eshull´ am? Vizsg´ aljuk meg a k → 0 ´es a k → 1 hat´areseteket ´es az ´altal´anos esetet is! (Gn¨ adig P´eter) 11. Interkontinent´ alis t´ avvezet´ek Magyar m´ern¨ ok¨ ok thaif¨ oldi tanulm´ any´ utjuk alkalm´ aval feltal´ alt´ ak ´es kifejlesztett´ek a tetsz˝ olegesen magas es v´egtelen¨ ul szil´ ard p´ ozn´ at. E tal´ alm´ anyuk seg´ıts´eg´evel akarj´ak forradalmas´ıtani a vil´ag villamos h´ al´ ozat´ at. a/ J´ aruljunk hozza e nagyszab´ as´ u tervhez, ´ırjuk fel a g¨ omb alak´ u, mozdulatlan F¨old er˝oter´eben ´erv´enyes l´ ancg¨ orbe egyenlet´et! b/ Referenciamunkak´ent a Jarvis-szigetet (Csendes-´ oce´ an) es Macap´ at (Brazilia) akarj´ak k´et p´ ozn´ aval ¨osszek¨ otni u ´gy, hogy a Gal´ apagos-szigetekn´el a vezet´ek ´epp ´erintse a F¨old felszin´et, hogy a bennsz¨ ul¨ ottek szoci´ alis alapon u ¨zemeltethess´ek villanyp´asztoraikat. A Jarvis-szigetre mar fel´ all´ıtottak egy 20 000 km magas p´ ozn´ at. Mekkor´ anak kell v´ alasztani a m´ asik villanyoszlop magass´ ag´ at? Milyen hossz´ u vezet´eket kell haszn´ alniuk? (K¨ ozel´ıt´es, mint az a/ pontban, a F¨old sugara 6380 km.) c/ Egyesek felvetett´ek, hogy a k¨ ozel´ıt´esek t´ ulz´ oak, ´es t´ an m´egsem illene elhanyagolni a F¨old forg´ as´ at. Milyen jelleg˝ u ´es mekkora hat´asokat okoz ennek figyelembe v´etele? d/ P´ otk´erd´es: mib˝ ol k´esz´ıts´ek ´es hogyan m´eretezz´ek a vezet´eket? (Feh´er T´ıtusz) ´ t¨ 12. K¨ ozhiedelem szerint a F¨old eg´et egyetlen Nap vil´ag´ıtja be. Am uzetes ´es kitart´ o vizsg´alatok szerint id˝ onk´ent nem egy, hanem h´ arom Napot lehet l´ atni az ´egbolton. N´eh´ any szemtan´ u izgatott besz´ amol´ oj´ ab´ ol id´ezve: 2
a/ K´es˝ o d´elut´ an volt, ´es a Nappal szemben kellett vezetnem, ami el´egg´e kellemetlen. Mik¨ ozben a Nap egy felh˝ o m¨ og´e ereszkedett, arra lettem figyelmes, hogy k´et m´ asik Nap is megjelenik az ´egen... b/ Az aut´op´ aly´ an haladtunk, kicsit bor´ us volt az id˝ o, amikor a felh˝ ok¨ on ´atvil´ ag´ıt´ o Nap mellett k´et mell´eknapra lettem figyelmes... Mi okozhatja a jelens´eget? Sz´ am´ıtsuk ki a mell´eknapok hely´et ´es intenz´ıt´ as´ at! (Szab´ o Istv´an — Daruka Istv´an) 13. V´ızszintes (v´egtelen nagy) plafonon folyad´ekcsepp l´ og. Hat´ arozzuk meg a csepp alakj´ at! Mik a feladat relev´ ans param´eterei? Milyen min˝ os´egileg k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megold´ asokat v´ arunk? Vizsg´ aljuk meg a hat´arfelt´etelek szerep´et! Mi a lecs¨ oppen´es felt´etele? (Feh´er T´ıtusz) 14. Egy poh´ arban desztill´ alt v´ız van. Felsz´ın´en u ´szik egy r´egi t´ızfill´eres. Milyen (s˝ ur˝ us´eg˝ u) anyagb´ ol lehet a p´enzdarab? (Sass Bal´ azs) 15. Mint ismeretes, a gazdas´ agi helyzet kem´enyed´ese k¨ ovetkezt´eben a F¨old egy ideje nem tudja kifizetni a napenergiasz´ aml´ at, ez´ert a szolg´ altat´ok a Nap sug´ arz´ as´ at meghat´rozatlan id˝ ore kikapcsolj´ ak, holnapt´ ol egy fia foton nem sok, annyi sem ´erkezik. Hogyan v´ altozik a tov´ abbiakban a F¨old h˝ om´ers´eklete? (A l´egk¨ ort˝ ol, a F¨old forg´ as´ at´ ol ´es hasonl´ o zavar´ o t´enyez˝ okt˝ ol tekints¨ unk el.) (Gn¨ adig P´eter) 16. Egy h˝ oszigetel˝ o fal´ u, h˝ oszigetel˝ o dugatty´ uval lez´ art hengert fele magass´ agban egy szint´en h˝ oszigetel˝ o fal oszt k´et egyforma hengerre. A falon egyir´ any´ u, a g´ azt csak a dugatty´ ut´ ol t´ avolabbi tart´ alyr´esz fel´e ´atenged˝o szelep van, amely igen kis nyom´ ask¨ ul¨ onbs´egre is megny´ılik. A tart´ aly k´et r´esz´eben kezdetben egyforma mennyis´eg˝ u, azonos ´allapot´ u egyatomos ide´ alis g´ az van. A dugatty´ ut lassan befel´e toljuk, am´ıg csak neki nem u ¨tk¨ ozik a k´et r´eszt elv´ alaszt´ o falnak. a/ Mennyi munk´ at v´egezt¨ unk? ´ b/ Abr´ azoljuk a k´et tart´ alyr´eszben lev˝ o g´ az ´allapot´ anak v´ altoz´ as´ at a p − V diagramon! (Gn¨ adig P´eter) 17. Mint naponta tapasztaljuk, az ´eg k´ek sz´ın˝ u. Mi´ert feh´erek akkor a felh˝ ok? Honnan ”p´ otolj´ ak” a feh´er sz´ın ´ ha ezt megmagyar´ kikever´es´ehez a spektrumb´ ol hi´ anyz´ o sz´ıneket? Es aztuk, m´ ar csak azt kellene meg´erten¨ unk, hogy mi´ert s¨ ot´etk´ekek a viharfelh˝ ok. (Hantz P´eter) 18. A Lorentz-er˝ o s˝ ur˝ us´ege CGS m´ert´ekrendszerben 1 f = ρE + j × B. c Ezt a Maxwell-egyenletek felhaszn´al´ as´ aval ´atalak´ıtva, line´ aris, homog´en, de nem felt´etlen¨ ul izotr´ op k¨ ozegben az al´ abbi alak´ u kontinuit´ asi egyenletet nyerj¨ uk: −f =
∂p + divT. ∂t
Itt a p vektor impulzuss˝ ur˝ us´egk´ent ´es a T tenzor impulzus-´ arams˝ ur˝ us´egk´ent ´ertelmezhet˝o, ezeket egyel˝ore gondolhatjuk a t´er jellemz˝ oinek, −f pedig a k¨ uls˝ o t¨ olt´esekre hat´o Lorentz-er˝ o visszahat´ asa. A p ´es T formul´ ait az E, D, H ´es B terek seg´ıts´eg´evel el˝osz¨ or Minkowski ´ırta fel, ezeket tank¨ onyvekben is megtal´ alhatjuk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy T anizotr´ op k¨ ozegben nem szimmetrikus. Nom´ armost, ´ırjuk fel a t´er r × p impulzusmomentum-s˝ ur˝ us´eg´enek m´erleg´et. Mutassuk meg, hogy a Lorentz-er˝ o j´ arul´ek´ an k´ıv¨ uli forgat´ onyomat´ek-s˝ ur˝ us´eg anizotr´ op k¨ ozegben nem ´all el˝o divergencia alakj´ aban. Hozzuk a fel¨ uleti integr´ all´ a nem alak´ıthat´ o tagot a dielektromos ill. m´ agneses polariz´ aci´ o seg´ıts´eg´evel egyszer˝ u form´ ara. Milyen j´ ol ismert eredet˝ u forgat´ onyomat´ekok jelennek meg a m´erlegegyenletben? Mindezek alapj´ an mit gondolunk, p ´es r × p val´ oban rendre az elektrom´ agneses t´er impulzus- ´es impulzusmomentum-s˝ ur˝ us´ege? (Gy¨ orgyi G´eza) 3
19. G¨ ombfel¨ uleten n egyforma t¨ olt¨ ott r´eszecske helyezkedik el. Hat´ arozzuk meg az egyens´ ulyi konfigur´ aci´ ot minden n-re (n ≤ 20)! (Gn¨ adig P´eter) 20. A relativisztikus esethez hasonl´ oan nemrelativisztikus esetben is bevezethet˝oek a n´egyes vektorok, tenzorok, kovektorok, kotenzorok, stb. Ezek a mennyis´egek a Galilei-transzform´ aci´ okra viselkednek kovari´ ansan. Milyen n´egyes mennyis´eg konstru´ alhat´ o a h´ armas sebess´egb˝ ol, a h´ armas gyorsul´ asb´ ol, a h´ armas er˝ob˝ ol, a mozg´ asi energi´ ab´ ol? A mozg´ asi energi´ ab´ ol kapott n´egyes mennyis´eg seg´ıts´eg´evel ´all´ıtsunk fel egy, a Newton-egyenlettel ekvivalens mozg´ asegyenletet. Milyen hasonl´ os´ agok ´es milyen elt´er´esek fedezhet˝ oek f¨ ol a mozg´ asi energi´ ahoz tartoz´ o n´egyes mennyis´eg ´es a relativisztikus energia-lend¨ ulet n´egyes vektor, illetve az ´altalunk fel´ all´ıtott egyenlet ´es relativisztikus Newton-egyenlet k¨ oz¨ ott? Szorgalmi feladat: oldjuk meg a feladatot a nemrelativisztikus t´erid˝omodell eszk¨ ozeivel is (aj´ anlott irodalom: T. Matolcsi: Spacetime without reference frames, Akad´emiai Kiad´ o, Bp. 1993). (F¨ ul¨ op Tam´as) 21. A speci´ alis relativit´ aselm´elet szerint egy mozg´ ou ˝rhaj´ oban lassaban m´ ulik az id˝ o. Az ´altal´anos relativ´ıt´ aselm´elet szerint viszont a gravit´ aci´ os t´er lass´ıtja az id˝ o m´ ul´ as´ at, teh´ at a F¨old gravit´ aci´ os k´ utj´ ab´ ol kiemelked˝ o rak´et´ aban az ´or´ ak gyorsabban j´ arnak. A Richard Feynmanr´ ol elnevezett lopakod´ ou ˝rhaj´ o azt a feladatot kapta, hogy f¨ oldi b´ azis´ ar´ ol sug´ arir´ anyban felsz´ allva f¨ oldi id˝ o szerint pontosan egy nap m´ ulva t´erjen vissza ugyanoda u ´gy, hogy az u ˝rhaj´ o ´or´ ai a fizikailag lehets´eges legt¨ obb eltelt id˝ ot mutass´ ak. Hogyan kell a kapit´ anynak m˝ uk¨odtetnie a hajt´ om˝ uveket, ha teljes´ıteni akarja a feladatot? (A rak´eta v´egig sug´ arir´ anyban mozog, a F¨old kering´es´et˝ ol ´es a l´egk¨ or zavar´ o hat´as´ at´ ol tekints¨ unk el.) (Gn¨ adig P´eter) 22. George Deley, a neves m´ agneses, s˝ ot param´ agneses szakember k´et ´evet t¨ olt¨ ott az u ˝rben, hogy kicsatolja a v´ akuum-rezg´eseket, amikor r´ aj¨ ott, hogy a F¨old felsz´ıne sokkal kellemesebb hely. Most a F¨old m´ agneses ter´et akarja megcsapolni, ez´ert 1 cm2 keresztmetszet˝ u aluminiumhuzalb´ ol 1 km oldalhossz´ us´ ag´ u n´egyzetet fektetett le Budapesten (ρAl = 0.03 Ωmm2 /m). Tegy¨ uk fel, hogy a F¨old m´ agneses tere dip´ olussal helyettes´ıthet˝o, amely a F¨old ´ k¨ oz´eppontj´ aban van, 20 fokot z´ ar be a forg´ asi tengellyel, ´es az Eszaki-sarkn´ al a m´ agneses indukci´o 10−4 T. a/ Mennyi energi´ at tud ´ıgy kicsatolni George egy nap alatt? Fenyeget-e ¨okol´ ogiai katasztr´ ofaval, ha Budapest minden lakosa egy ilyen hurok ´ aram´ aval eg´esz´ıti ki energiasz¨ uks´eglet´et? b/ George v´erszemet kapott, a F¨old egy f˝ ok¨ or´en ´at akar vezet´eket fektetni. Melyik f˝ ok¨ ort c´elszer˝ u v´ alasztania? ( Feh´er Titusz) 23. Egy µ m´ agneses dip´ olus (µ > 0) mozog B(r) sztatikus, forr´ asmentes m´ agneses t´erben. A mozg´ o dip´ olus ir´ anya adiabatikusan k¨ oveti a lok´ alis teret, vagyis minden pillanatban azzal azonos ir´ anyba mutat. Csapd´ aba lehet-e ejteni a dip´ olust, azaz l´etezhet-e olyan B(r) t´er, amelyben van stabil egyens´ ulyi helyzete a dip´ olusnak? (Domokos P´eter) 24. Mint k¨ ozismert, a t´ avols´ aggal ar´ anyos vonz´ o er˝ ot´erben mozg´ o r´eszecske, azaz a(z egydimenzi´ os) harmonikus oszcill´ ator Hamilton-oper´ atora szimmetrikus ´es ¨onadjung´ alt is. Vizsg´ aljuk meg most a t´ avols´ aggal ar´ anyos tasz´ıt´ o er˝ot´erben mozg´ o r´eszecske kvantumechanikai probl´em´ aj´ at! L´ assuk be, hogy ennek Hamilton-oper´atora szimmetrikus, de nem ¨ onadjung´ alt! Milyen (a hull´ amf¨ uggv´eny v´egtelenbeli viselked´es´ere vonatkoz´ o) hat´arfelt´etelek megk¨ovetel´es´evel (azaz a Hilbert-t´er milyen lesz˝ uk´ıt´es´evel) tehetj¨ uk ¨onadjung´ altt´ a a Hamilton-oper´atort? H´ any ilyen lehet˝ os´eg¨ unk van? Oldjuk meg a Schr¨odinger-egyenletet, hat´arozzuk meg az energiaspektrumot ´es az energia-saj´ atf¨ uggv´enyeket! (Bajnok Zolt´ an) 25. L´ezerf´ennyel ´all´ ohull´ amokat hozunk l´etre. Az elektromos t´er E = E0 (x) cos (k z) cos (ω t) . Az x ir´ anyb´ol s´ıkhull´ ammal le´ırhat´ o atomnyal´ abot ejt¨ unk az a´ll´ ohull´ amokra. Az atomok egyform´ak, kezdetben alap´ allapotban vannak, ´es a l´ezerf´eny ω frekvenci´ aja k¨ ozel van az els˝ o gerjesztett ´allapotukba val´ o ´atmenet frekvenci´ aj´ ahoz. Sz´ am´ıtsuk ki nagy t´ avols´ agban az atomok ´altal kirajzolt elhajl´ asi k´epet, felt´eve, hogy az atomi ´allapotok adiabatikusan v´ altoznak az ´ all´ ohull´ amokon val´ o ´athalad´ as sor´ an. Milyen felt´etelek mellett ´erv´enyes ez a k¨ ozel´ıt´es? 4
(Bene Gyula) 26. Vizsg´ aljuk meg a t´ agul´ o fotong´ az h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o eset´eben fell´ep˝ o termodinamikai v´ altoz´ asok k¨ ozti hasonl´ os´ agokat ´es k¨ ul¨ onbs´egeket! a/ Dobozba z´ art fotong´ az: Ha egy t¨ ukr¨ oz˝ o fal´ u tart´ alyba elektrom´ agneses sug´ arz´ ast z´ arunk, ´es a tart´ aly falait lassan elmozd´ıtva n¨ ovelj¨ uk a t´erfogatot, a mozg´ o falon visszaver˝ od˝ o elektrom´ agneses hull´ amok Dopplereltol´ od´ ast szenvednek, ´es ´ıgy a spektrum lassan megv´ altozik. Ha a sug´arz´ as eredetileg Planck-eloszl´ ast k¨ ovetett, akkor a megv´ altozott spektrum egy m´ as h˝ om´ers´eklet˝ u Planck-g¨ orb´enek felel meg. gy ´ırhatjuk le a dobozba z´ art fotong´ az adiabatikus t´ agul´ as´ at. Vizsg´ aljuk meg a folyamat r´eszleteit, ´es hat´arozzuk meg a fotong´ az t´erfogata ´es h˝ om´ers´eklete k¨ oz¨ otti ¨osszef¨ ugg´est! b/ Az u ˝rben szabadon terjed˝ o fotong´ az: P´elda erre a Nap fotoszf´er´ aj´ anak kb. 6000 K h˝ om´ers´eklet˝ u anyag´ aval egyens´ ulyban lev˝ o elektrom´ agneses sug´ arz´ as, amely a Nap felsz´ın´et elhagyva eredeti t´erfogat´ at jelent˝ osen megn¨ oveli. Mekkora lesz a sug´ arz´ as h˝ om´ers´eklete, mire a F¨oldre ´er? Mekkora lenne a F¨old ´atlagh˝ om´ers´eklete, ha nem lenne l´egk¨ ore (a l´egk¨ or u ¨vegh´ azhat´ asa bonyol´ıtja a k´epet)? c/ Kozmikus h´ att´ersug´ arz´ as: A kozmol´ ogia szerint a t´ agul´ o vil´agegyetemben is hasonl´ o folyamat megy v´egbe: a hajdani ˝osrobban´ as visszf´enyek´ent fennmaradt, eredetileg a t¨ obbi anyagfajt´ aval termikus egyens´ ulyban volt fotong´ az termikus lecsatol´ od´ asa ´ ota a´lland´oan t´ agul ´es h˝ ul. A folyamat els˝ o pillant´ asra a b/ alattihoz hasonl´ıt. A kozmol´ ogusok azonban azt ´ all´ıtj´ak, hogy a sug´ arz´ as spektruma minden pillanatban a Planck-g¨ orb´et k¨ oveti, monoton cs¨ okken˝ o h˝ om´ers´eklettel, ´es a fotong´ az adiabatikus t´ agul´ as´ ar´ ol besz´elnek, ak´ arcsak az a/ p´eld´ aban. Ebben az esetben azonban semmif´ele visszaver˝ od´esi folyamat nem magyar´ azza az egyes hull´ amok Doppler-eltol´ od´ as´ at. Hogyan lehets´eges teh´ at az, hogy a fotong´ az mindig j´ ol meghat´ arozott h˝ om´ers´eklettel jellemezhet˝ o´ allapotokon ´ at folytatja adiabatikus t´ agul´ as´ at? Milyen anyaggal van termikus egyens´ ulyban a sug´ arz´ as? Sherlock Holmes j´ o tan´ıtv´ anyak´ent keress¨ unk valami szimmetri´ at a jelens´eg h´ atter´eben! Mi lenne a helyzet, ha a fotonnak v´eges - nem nulla - nyugalmi t¨ omege lenne? (D´avid Gyula — Hantz P´eter) 27. Indiana Jones jr. a m´ ult h´eten a Garay t´eri piacon j´ art. Itt tal´ alkozott J. B. Curcassal, a messewani egyetem kutat´ oj´ aval, aki ¨ or¨ ommel mutatta neki az Atlantiszr´ol hozott legbecsesebb leletet: egy u ¨vegszem˝ u ker´amia-kentaurt. Jones k´etked˝ o szavaira v´ alaszul elmondta, hogy a szobor ker´ amia-fark´ ab´ ol let¨ ort kis darabot termolumineszcencia-vizsg´ alatnak vetett´ek al´ a — ´es a vizsg´alat egy´ertelm˝ uen bizony´ıtotta, hogy a lelet legalabb 11 000 ´eves. Jonest a szobor jellegzetes vigyora ink´ abb a h´ıres m´ at´eszalkai m˝ ut´ argy-hamis´ıt´ o maffia term´ekeire eml´ekeztette — no de hogy sz´ allhatna szembe az egzakt fizikai kormeghat´ aroz´ asi m´ odszer ny´ ujtotta adatokkal? Ez´ert ezennel fizikus bar´ ataihoz fordul: seg´ıtsenek az esetleges mesters´eges, a termolumineszcens m´ odszert becsapni k´epes ¨oreg´ıt´esi elj´ ar´ as leleplez´es´eben. Jutalmul h´ arom tucat eredeti gondwanai ´es lemuriai — agyagb´ ol k´esz¨ ult — floppylemezt aj´ anl fel. (Szalay Tam´as — D´ avid Gyula) 28. Adott egy v´egtelen, egydimenzi´ os krist´ aly a r´ acs´ alland´oval, elemi cell´ank´ent egy atommal. Tudjuk, hogy a rendszert lok´ alis f¨ uggv´enyek ´ırj´ ak j´ ol le (pl. ionos krist´ aly). Kv´ azi-k¨ ot¨ ott elektron (tight binding) k´epben gondolkozunk. Egy r¨ ogz´ıtett s´ avban a 0-dik helyen lev˝ o atom ´es az n-dik szomsz´ed hull´ amf¨ uggv´eny´ere az ´atfed´esi integr´ al ´ert´eke sn , m´ıg a k¨ olcs¨ onhat´ asi m´ atrixelem ugyanezen k´et hely k¨ oz¨ ott Aun (A =´ alland´o). Az atomi megold´ asn´ al csak az E0 energi´ ara szor´ıtkozunk. A szil´ ardtestfizikai sz´ am´ıt´ asok sor´an a matematikai egyszer˝ us´eg miatt sok esetben v´eges sz´ am´ u elemi cell´ara alkalmazzuk a periodikus hat´arfelt´etelt. Ha a peri´ oduson bel¨ ul 2N +1 elemi cell´ank van, adott s ´es u mellett adjuk meg azt a legkisebb N -et, amire a v´eges periodikus hat´arfelt´etel m´eg jogos k¨ ozel´ıt´es (a s´ av m´eg nem torzul jelent˝ osen)! (Miro J´ ozsef) 29. Egy k´epzeletbeli anyag molekul´ ai egyszer˝ u k¨ ob¨ os r´ acsban krist´ alyosodnak, a molekul´ ak els˝ o szomsz´edjukhoz hidrog´enh´ıd-k¨ ot´esekkel k¨ ot˝ odnek. K´et els˝ o szomsz´ed molekula k¨ ot´esi energi´ aja −V , a k¨ oz¨ ott¨ uk lev˝ o hidrog´enatom pedig ω frekvenci´ aval rezeg. Vizsg´ aljuk a krist´ aly (100) szabad fel¨ ulet´et! A fel¨ ulet egy mikro´allapot´ at azzal jellemezhetj¨ uk, hogy a k¨ uls˝ o krist´ alys´ık egyes r´ acspontjaiban vannak-e vagy nincsenek-e molekul´ ak. Mutassuk meg, hogy a fel¨ ulet statisztikus fizikai szempontb´ ol anal´ og a k´etdimenzi´ os Ising-modellel! Mekkora a kritikus h˝ om´ers´eklet? Milyen jelleg˝ u ´ allapotok felelnek meg az Ising-modell ferrom´agneses, illetve param´ agneses ´allapot´ anak? (V´egs˝ o Andr´ as eml´ek´ere kit˝ uzte Bihary Zsolt) 30. Tekints¨ uk v´ akuumban az al´ abbi szabad L0 Lagrange f¨ uggv´eny ´altal le´ırt skal´ arteret: L0 =
1 1 ∂µ φ(x)∂ µ φ(x) − m20 φ2 (x), 2 2 5
(1)
ahol m0 a φ(x) skal´ art´er v´ akuumbeli t¨ omege. Ha a teret egy T ≥ T0 h˝ om´ers´ekletre meleg´ıtj¨ uk, akkor a φ t´er t¨ omege m´ odosul, amit az ´atlagt´er k¨ ozel´ıt´esben az al´ abbi k¨ ozegbeli LM Lagrange-f¨ uggv´eny jellemez: 1 1 ∂µ φ(x)∂ µ φ(x) − m21 φ2 (x). (2) 2 2 Tegy¨ uk fel, hogy a k¨ ozegbeli Lagrange-f¨ uggv´eny (2) kvantumai termaliz´ altak, majd T = T0 h˝ om´ers´ekleten a t´er kifagy, azaz l´etrej¨ onnek a szabad, v´ akuumbeli kvantumok. Jellemezz¨ uk a v´ akuumbeli egyr´eszecske impulzuseloszl´ asokat ´es a k´etr´eszecske impulzus-eloszl´ asban fell´ep˝ o Bose-Einstein korrel´ aci´ okat! LM =
(Cs¨ org˝ o Tam´as) A feladat kit˝ uz˝ oje a legjobb megold´ onak 5000 Ft k¨ ul¨ ond´ıjat aj´ anlott fel. 31. M´ odos´ıtsuk a j´ ol ismert k´etdimenzi´ os φ4 elm´elet Lagrange-s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et egy φ-ben hatodfok´ u taggal u ´gy, hogy az u ´j elm´eletben fagr´ af-szinten ne forduljon el˝o k´etr´eszecske ⇒ n´egyr´eszecske ´atalakul´ as! Hogyan kell ehhez megv´alasztani a hatodfok´ u tag egy¨ utthat´oj´ at? Ezut´ an vegy¨ unk hozz´ a a Lagrange-f¨ uggv´enyhez egy (megfelel˝ o egy¨ utthat´oj´ u) nyolcadfok´ u tagot, hogy (tov´ abbra is fagr´ af szinten) az el˝obbi mellett k´etr´eszecske ⇒ hatr´eszecske ´atmenetek se legyenek! Folytassuk az elj´ ar´ ast u ´jabb magasabb rend˝ u tagok hozz´ av´etel´evel, sorban kiirtva a k´etr´eszecske ⇒ 2n-r´eszecske ´ atmeneteket! Konvergens-e az elj´ ar´ as? Melyik elm´elet sorfejtett alakj´ at kapjuk ´ıgy meg? (Bajnok Zolt´ an) ´ amelyek igen gyorsan felveszik a k¨ 32. A termionok olyan r´eszecskk, ornyezet h˝ o merseklet´et. Boltzmann szerint E = kT , Einstein szerint E = mc2 , sz´ oval a termionok tmege ¨ mindig ar´ nyos a k¨ ornyezet lok´lis h˝ om´ers´ek;et´evel. Ezt nem kell bebizony´ıtani, ezt egyszer˝ uen el kell hinni. A termionoknak h´ arom fajt´ aja van. A forronok szeretik a meleget, ez´rt r´ ajuk a hm´ ˝ ers´eklet gradiens´evel ar´ anyos er˝o hat. A vacogonok ezzel szemben hidegkedvel˝ok, ez´rt a r´ ajuk hat´o er˝ o az el˝obbivel ellent´etes ir´ any´ u, b´ ar ¨ ´s a h˝ nagys´ agra megegyez˝ o. A temperonok a szelid, langyos vid´eket kedvelik, ez´rt r´ ajuk a sebess´ gk om´ers´ekletgradiens vektori´ alis szorzat´ aval ar´ anyos er˝ o hat. (A szmol´ ´ s sor´ n fell´ p¨ıg´enyeknek megfelel˝ oen tov´ abbi alt´ıpusokat is defini´ alhatunk.) Vizsg´ aljuk meg a termionok mozg´ as´ at id˝ oben ´alland´o, de t´erben nem homog´en h˝ om´ers´eklet-mez˝ oben! ´Irjuk fel a termionok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o t´ıpusaira vonatkoz´ o mozg´ asegyenleteket! (Javaslat: a sebess´egdimenzi´ oj´ u konstans param´eterek r¨ ovid´ıt´es´ere haszn´ aljuk a c bet˝ ut!) Vizsg´ aljuk meg az energia-, az impulzus- ´es az impulzusmomentum megmarad´ asi t´eteleinek termionokra vonatkoz´ o alakjait! Fejezz¨ uk ki a mozg´segyenletekb˝ ol a gyorsul´st! Mikor p´ arhuzamos a gyorsul´ as az er˝ovel? Fejezz¨ uk ki a megmarad´ asi t´etelek seg´ıts´eg´evel a sebess´eget a helykoordin´ata f¨ uggv´eny´eben! Vannak-e a t´ernek olyan tartom´ anyai, ahov´ a a termionok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o fajt´ ai soha sem juthatnak el? ´Irjuk le a mozg´ as lefoly´ as´ at n´eh´ any ´erdekes esetben! Pl.: homog´ n vagy egy koordi’ata ment´en exponenci´alisan v´ altoz´ o h˝ om´ers´ekletgradiens esete, termionok kering´ese forr´ o csillag k¨ or¨ ul vagy hideg csillag forr´ o l´egk¨ or´eben, stb.! P´ otk´erd´s: nem eml´ekeztet valamelyik termion-fajta mozg´ asa egy fizikai tanulm´ anyainkb´ol ismer˝ os esetre? H´t a t¨ obbi fajt´ at hov´ a tegy¨ uk? (D´avid Gyula) \end{document}
6
