1 Spo jité náhodné veli iny

1 1.1

Spojité náhodné veli£iny Základní pojmy a °e²ené p°íklady

Hustota pravd¥podobnosti U spojité náhodné veli£iny se pravd¥podobnost, ºe náhodná veli£ina ur£itého intervalu

(a, b),

P (X ∈ (a, b)) =

kde funkce

f

P°íklad 1.1

X

padne do

po£ítá jako

Rb

f (x) dx,

a je tzv. hustota pravd¥podobnosti náhodné veli£iny

Hustota pravd¥podobnosti náhodné veli£iny

  0 f (x) = x −   0

pro 1 2

pro pro

X

X.

má tvar:

x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, x > 2.

P (1,5 ≤ X ≤ 1,8), P (X < 1,2), P (X > 1,7), P (X = 1,5), hodnotu a, pro kterou by platilo P (X < a) = 0,8.

Vypo£t¥te pravd¥podobnosti

P (X < 3).

e²ení:

Dále najd¥te

První t°i pravd¥podobnosti vypo£ítáme jako integrál z hustoty

f

p°es p°íslu²ný

interval. Integrály z nulové funkce bychom mohli rovnou vynechávat, ale zde, v na²em prvním p°íkladu, je vypí²eme.

1,8

1,8

x2 1 f (x) dx = − x P (1,5 ≤ X ≤ 1,8) = dx = 2 2 1,5 1,5 2 2 1,8 1 1,5 1 = − 1,8 − − 1,5 = 0,345, 2 2 2 2 Z

Z

1,2

Z

Z

P (X < 1,2) =

f (x) dx = Z

∞

P (X > 1,7) = 1,7

−∞

P (X = 1,5),

f (x) dx = 0. 1,5

1,8 = 1,5

2 1,2 1 x 1 x− dx = − x = 0,12, 2 2 2 1

2

zde m·ºeme rovnou °íct, ºe výsledek je nula, ale mohli bychom

1,5

P (X = 1,5) =

1

1,2

1 x− 2

2 2 Z ∞ 1 x 1 f (x) dx = x− dx + 0 dx = − x = 0,405. 2 2 2 1,7 1,7 2 Z

pouºít i integrál:

Z

Z 0 dx +

−∞

Pokud jde o

1

2

Fakulta elektrotechniky a komunika£ních technologií VUT v Brn¥

P (X < 3), m·ºeme téº ur£it bez jakéhokoli po£ítání. Výsledek náhodná veli£ina X men²í neº 3 ur£it¥ je. Pomocí integrálu bychom

Poslední pravd¥podobnost, musí být

1,

protoºe

k výsledku do²li takto:

Z

3

Z f (x) dx =

P (X < 3) = −∞ 2

=

1

0 dx + −∞

x 1 − x 2 2

2

Z 1

Z 3 1 dx + 0 dx = x− 2 2

2 = 1. 1

a, pro kterou je P (X < a) = 0,8 hledáme vlastn¥ 0,8-kvantil X . Je z°ejmé, ºe a ∈ (1, 2). Musí platit Z a 1 x− dx = 0,8. P (X < a) = 2 1

Nakonec ur£íme konstantu náhodné veli£iny

Odtud dostáváme

x2 1 − x 2 2

a = 0,8 1

a2 1 − a− 2 2

⇒

e²ením této kvadratické rovnice s neznámou

a1,2

√ √ 1 ± 7,4 1 ± 1 + 4 · 1,6 = . = 2 2

Protoºe ko°en

a=

1+

P°íklad 1.2

√ 1− 7,4 nenáleºí do intervalu 2

√ 2

12 1 − · 1 = 0,8 2 2 a

⇒

a2 − a − 1,6 = 0.

dostáváme

(1, 2),

z·stává nám jediná moºnost, a to

7,4 . = 1,86.

Teplota ve skleníku je náhodná veli£ina

X

s lichob¥ºníkovým rozd¥lením

pravd¥podobnosti, graf její hustoty je na obrázku 1.1. a) Ur£ete hodnotu

h

vyzna£enou v obrázku.

b) Vypo£t¥te pravd¥podobnost, ºe teplota p°ekro£í

31,5◦ C.

c) Pod jakou mez se teplota dostane jen s pravd¥podobností

0,05?

y y = f (x) h

27

28

29

30

31

32

33

Obrázek 1.1: K p°íkladu 1.2: Hustota zadané náhodné veli£iny X

x

3

e²ení:

a) Pro ur£ení zatím neznámé hodnoty h (vý²ky lichob¥ºníka) vyuºijeme faktu, R∞ ºe P (X ∈ (−∞, ∞)) = f (x) dx = 1. To znamená, ºe obsah celého lichob¥ºníka musí −∞ h být roven 1. Pro výpo£et obsahu lichob¥ºníka platí vztah S = (a + c), kde h je vý²ka a 2 a, c jsou délky základen. V na²em p°ípad¥ je a = 6, c = 4, S má být rovno jedné, a tedy

1=

h (6 + 4) 2

⇒

h=

2 1 = = 0,2. 10 5

b) Máme za úkol vypo£ítat P (X > 31,5). Tato pravd¥podobnost je dána integrálem R∞ f (x) dx neboli obsahem oblasti vyzna£ené na obrázku 1.2. 31,5

y y = f (x) h

27

31,5

33

x

Obrázek 1.2: K p°íkladu 1.2, £ást b) M·ºeme postupovat dv¥ma zp·soby: bu¤ vypo£teme p°ímo obsah oblasti, nebo najdeme funk£ní p°edpis pro hustotu, a tu pak zintegrujeme. P°edvedeme ob¥ moºnosti. Nejprve pomocí p°ímého výpo£tu obsahu: Oblast se skládá z obdélníka a trojúhelníka. Vý²ka je v obou p°ípadech délku

1.

h = 0,2,

²í°ka obdélníka je

0,5

a základna trojúhelníka má

Celkem tedy

P (X > 31,5) = 0,5 · 0,2 +

1 · 1 · 0,2 = 0,2. 2

(Tento výsledek jsme mohli ur£it i od oka, bez znalosti hodnoty

h.

Sta£í si uv¥domit, ºe

vybarvená £ást tvo°í jednu p¥tinu celkové plochy a ºe obsah celého lichob¥ºníka je

1.)

Nyní vy°e²íme stejný problém pomocí integrálu z hustoty: Nejprve musíme najít funk£ní p°edpis pro hustotu. Z obrázku vidíme, ºe graf hustoty se skládá z n¥kolika £ástí. Vn¥

h27, 33i je f (x) = 0, na intervalu h28, 32i intervalu h27, 28) je grafem hustoty £ást p°ímky

intervalu

je hustota konstantní,

Na

se sm¥rnicí

k = 0,2

f (x) = 0,2.

(p°ipome¬me,

ºe sm¥rnice p°ímky je tangens úhlu, který p°ímka svírá s kladným sm¥rem osy

x,

a ºe

tangens se vypo£ítá jako pom¥r protilehlé a p°ilehlé odv¥sny pravoúhlého trojúhelníka). To znamená, ºe funk£ní p°edpis na tomto intervalu bude ve tvaru prochází bodem

[27, 0],

0 = 0,2 · 27 + q

y = 0,2x + q .

P°ímka

a proto

⇒

q = −0,2 · 27

⇒

y = 0,2(x − 27).

Podobným zp·sobem bychom zjistili, ºe pro interval

(32, 33i

je

f (x) = −0,2(x − 33).

4


Celkem tedy máme

  0       0,2(x − 27) f (x) = 0,2    −0,2(x − 33)     0

x < 27, 27 ≤ x < 28, 28 ≤ x ≤ 32, 32 < x ≤ 33, x > 33

pro pro pro pro pro

Poºadovanou pravd¥podobnost te¤ vypo£teme p°íslu²ným integrálem:

Z

32

P (X > 31,5) = 31,5

0,2 dx − 0,2

Z

33

32

(x − 33) dx =

0,2 [x]32 31,5

(x − 33)2 − 0,2 2

c) Pot°ebujeme najít mezní hodnotu teploty, ozna£me ji

P (X < T ) = 0,05.

To znamená, ºe hledáme

na obrázku 1.3 byl roven

T,

T,

33 = 0,2. 32

pro kterou by platilo

pro které by obsah oblasti vyzna£ené

0,05.

y y = f (x) h

27

33

T

x

Obrázek 1.3: K p°íkladu 1.2, £ást c) T bude n¥kde mezi 27 a 28 (protoºe P (X < 28) = 0,1, coº uº je víc neº 0,05). Pro výpo£et T pouºijeme hustotu náhodné veli£iny X , ale kdo chce, m·ºe zkusit najít T pouze pomocí obsahu vyzna£eného trojúhelníka. T Z T (x − 27)2 P (X < T ) = 0,2(x − 27) dx = 0,2 = 0,1(T − 27)2 2 27 27 p 2 2 0,1(T − 27) = 0,05 ⇒ (T − 27) = 0,5 ⇒ T − 27 = ± 0,5 √ Protoºe T je ur£it¥ v¥t²í neº 27, p°ichází v úvahu pouze + 0,5. Mezní hodnota, pod √ . kterou teplota klesne jen s pravd¥podobností 0,05, je proto T = 27 + 0,5 = 27,7.

Je evidentní, ºe

Distribu£ní funkce a její vztah s hustotou Univerzální denice distribu£ní funkce náhodné veli£iny

X

je

F (x) = P (X < x). U spojité náhodné veli£iny se hodnoty distribu£ní funkce po£ítají jako

F (x) = P (X ∈ (−∞, x)) = Hustota

f

se proto z distribu£ní funkce

V bodech, kde

F 0 (x)

není

F

Rx

f (t) dt.

−∞

spo£ítá jako

f (x) = F 0 (x). denována, m·ºeme f (x)

zvolit libovoln¥.

5

P°íklad 1.3


  0 f (x) = sin x   0 a) Vypo£t¥te

pro pro pro

P (X < −1), P (X < π4 ), P (X < π3 )

b) Ur£ete p°edpis pro distribu£ní funkci náhodné

x ≤ 0, 0<x≤ x > π2 .

X

má tvar:

π , 2

P (X < 2). veli£iny X . a

e²ení: Hledání distribu£ní funkce student·m £asto p·sobí problémy. Proto zde budeme postupovat pomalu a opatrn¥. V²em, kdo by distribu£ní funkci um¥li najít hned, bez zbyte£ného zdrºování, se omlouváme. a) Budeme postupovat obdobn¥ jako v p°íkladu 1.1. Zdá se, ºe tato £ást p°íkladu nep°iná²í nic nového, je v²ak mín¥na jako p°íprava na £ást b). V rámci této p°ípravy te¤ jako integra£ní prom¥nnou místo

P (X < −1) =

x

pouºijeme

Z−1

Z−1 f (t) dt =

−∞

π P (X < ) = 4

Z

t:

0 dt = 0 −∞

π/4

Z

π/4

sin t dt =

f (t) dt = −∞ Z π/3

[− cos t]π/4 0

0

Z

√ 2 . =− − (−1) = 0,293 2

π/3

1 sin t dt = [− cos t]π/3 = − − (−1) = 0,5 0 2 −∞ 0 Z 2 Z π/2 Z 2 = −0 − (−1) = 1 0 dt = [− cos t]π/2 sin t dt + f (t) dt = P (X < 2) = 0

π P (X < ) = 3

f (t) dt =

−∞

π/2

0

F (x) = P (X < x). To znamená, ºe v £ásti a) uº F (−1), F (π/4), F (π/3) a F (2). Zde máme najít obecný p°edpis

b) Distribu£ní funkce je denována jako jsme vypo£ítali hodnoty pro

F (x).

Platí

Z

x

F (x) =

f (t) dt. −∞

To uº zde sice bylo uvedeno ve vzorcích v ráme£ku, p°i pohledu na °e²ení £ásti a) ale moºná bude jasn¥j²í, co se tímto vzorcem myslí. Téº uº je asi jasné, ºe distribu£ní funkce

x (neboli horní mez integrálu) men²í neº 0, h0, π/2i a je-li v¥t²í neº π/2. Proto výpo£et rozd¥líme na t°i £ásti: Pro x < 0 : Z x Z x F (x) = f (t) dt = 0 dt = 0.

bude vypadat jinak, je-li

−∞ Pro

je-li v intervalu

−∞

x ∈ h0, π/2i (reprezentanty tohoto p°ípadu byly výpo£ty pro x = π/4 a x = π/3) : Z x Z 0 Z x F (x) = f (t) dt = 0 dt + sin t dt = [− cos t]x0 = − cos x + 1 = 1 − cos x. −∞

−∞

0

6


Pro

x > π/2 : Z

x

0

Z

−∞

−∞

π/2

Z

x

0 dt = 1.

sin t dt +

0 dt +

f (t) dt =

F (x) =

Z

π/2

0

Celkem jsme dostali p°edpis pro distribu£ní funkci

  0 F (x) = 1 − cos x   1

pro pro pro

x < 0, 0 ≤ x ≤ π/2, x > π/2.

Kdybychom nyní do této funkce dosadili za

x

π/4,

nap°.

jako v £ásti a). M·ºete si téº v²imnout, ºe funkce

F

dostali bychom stejnou hodnotu

je spojitá, její jednotlivé £ásti na sebe

navazují.

Upozorn¥ní na £astou chybu: R π/2 Pro

x ∈ h0, π/2i

je

V prost°ední fázi výpo£tu studenti ob£as napí²ou:

sin x dx = · · ·

F (x) =

0 To v²ak není správn¥. Práv¥ uvedený integrál udává pravd¥podobnost, ºe náhodná veli£ina

X

h0, π/2i. To ale v·bec není to, co chceme spo£ítat. P°i výpo£tu F (x) X je men²í neº x, a v tomto p°ípad¥ horní mez integrálu je z intervalu h0, π/2i, jako tomu bylo nap°íklad

pat°í do intervalu

po£ítáme pravd¥podobnost, ºe náhodná veli£ina víme, ºe tohle pro

x

x = π/3.

Jiná £astá chyba:

Rx F (x) = −∞ f (t) dt patrn¥ nelíbí 0 hustotu f dostanu jako F , tak je F

N¥kterým student·m se vzorec

a pouºít jej necht¥jí. Místo toho si °eknou: Kdyº integrál z hustoty a hotovo! A napí²ou:

Z F (x) =

Z f (x) dx =

sin x dx = − cos x.

To je ²patn¥, coº ukáºeme na jednoduchém p°íkladu. Vypo£t¥me pomocí takto získané distribu£ní funkce

P (X < π/3):

P (X < π/3) = F (π/3) = − cos(π/3) = −0,5 Pravd¥podobnost nám vy²la záporn¥!! (Pokud n¥koho tento fakt nezarazil, nech´ se vrátí k první kapitole o pravd¥podobnosti.)

Oprava této chyby jiný zp·sob nalezení F (x): distribu£ní funkce

F

Práv¥ popsaný zp·sob (nalezení

pomocí neur£itého integrálu z hustoty

f)

se ve skute£nosti pouºít

dá, musíme být ale opatrní. P°ed chvílí jsme totiº zapomn¥li na integra£ní konstantu, ono +c na záv¥r. Máme

Z F (x) = Konstantu ºe

F (π/2)

c

Z f (x) dx =

sin x dx = − cos x + c.

nyní ur£íme tak, aby hodnoty funkce

musí být

F (π/2) = 1

1

(protoºe

⇒

P (X < π/2) = 1).

− cos(π/2) + c = 1

⇒

F

vycházely správn¥. Nap°íklad víme,

Odtud

0+c=1

⇒

c = 1.

7

Distribu£ní funkce pro

x ∈ h0, π/2i

je proto

F (x) = − cos x + 1. c vyuºít faktu, ºe F (0) musí být 0 (pro tento konkrétní nemusí). Op¥t bychom dostali, ºe c = 1.

Stejn¥ dob°e jsme mohli pro ur£ení p°íklad; obecn¥ to být pravda

Nyní p°edvedeme je²t¥ jeden p°íklad na hledání distribu£ní funkce. Hustota tentokrát bude rozd¥lena na více £ástí.

P°íklad 1.4

Najd¥te distribu£ní funkci náhodné veli£iny

X

z p°íkladu 1.2 (p°íklad se

skleníkem).

e²ení:

Uº jsme zjistili, ºe hustota zkoumané náhodné veli£iny

  0       0,2(x − 27) f (x) = 0,2    −0,2(x − 33)     0

pro pro pro pro pro

X

je

x < 27, 27 ≤ x < 28, 28 ≤ x ≤ 32, 32 < x ≤ 33, x > 33

Budeme hledat distribu£ní funkci pro jednotlivé intervaly: Pro Pro

x < 27 je z°ejm¥ F (x) = 0. x ∈ h27, 28) : x Z x (t − 27)2 = 0,1(x − 27)2 . 0,2(t − 27) dt = 0,2 F (x) = 2 27 27

(Poznamenejme, ºe primitivní funkce se samoz°ejm¥ mohla vyjád°it i jako

2

0,2( t2 − 27t).

Dosazení mezí by pak vedlo k o²kliv¥j²ímu tvaru výsledku, do kterého by se pracn¥ji dosazovaly konkrétní hodnoty Pro

x ∈ h28, 32i : Z F (x) =

x.)

28

27

0,2(t − 27) dt +

Z

x

28

(t − 27)2 0,2 dt = 0,2 2

28

+ 0,2 [t]x28 =

27

= 0,1 + 0,2(x − 28). Pro

x ∈ h32, 33i : Z F (x) =

28

Z

32

Z

x

0,2(t − 27) dt + 0,2 dt + (−0,2)(t − 33) dt = 27 28 32 28 x (t − 33)2 (t − 27)2 32 + 0,2 [t]28 − 0,2 = 0,1 + 0,2 · 4 − = 0,2 2 2 27 32 x (t − 33)2 −0,2 = 0,9 − 0,1((x − 33)2 − 1) = 1 − 0,1(x − 33)2 . 2 32

8

Pro


x > 33

m·ºeme °íci rovnou, ºe bude

F (x) = 1.

Kdo by v²ak cht¥l vid¥t výpo£et

rozepsaný, má p°íleºitost:

Z

28

Z

32

33

Z

0,2(t − 27) dt + 0,2 dt + (−0,2)(t − 33) dt + 27 28 32 28 33 (t − 33)2 (t − 27)2 32 + 0,2 [t]28 − 0,2 = = 0,2 2 2 27 32 = 0,1 + 0,2 · 4 − 0,1(0 − 1) = 1.

Z

x

F (x) =

0 dt = 33

Celkem jsme dostali pro distribu£ní funkci p°edpis

  0    2   0,1(x − 27) F (x) = 0,1 + 0,2(x − 28)    1 − 0,1(x − 33)2    1

pro pro pro pro pro

x < 27, 27 ≤ x < 28, 28 ≤ x ≤ 32, 32 < x ≤ 33, x > 33.

Graf distribu£ní funkce vidíme na obrázku 1.4

y 1

y = F (x)

27

28

29

30

31

32

33

x

Obrázek 1.4: Distribu£ní funkce náhodné veli£iny z p°íkladu 1.4

P°íklad 1.5 F (x) =

Náhodná veli£ina

X

má distribu£ní funkci

1 1 + arctg x 2 π

a) Vypo£t¥te následující pravd¥podobnosti:

P (−0,5 ≤ X ≤ 1).

b) Najd¥te hodnotu ností

0,01.

P (X < 1), P (X > 1,5), P (0,5 ≤ X < 1,5)

x, kterou náhodná veli£ina X

a

p°ekro£í (sm¥rem nahoru) jen s pravd¥podob-

9

c) Najd¥te interval soum¥rný podle po£átku, do kterého náhodná veli£ina s pravd¥podobností

padne

0,9.

d) Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodné veli£iny

e²ení:

X

X.

F (x) = P (X < x). Proto 1 1 π . 1 1 P (X < 1) = F (1) = + arctg 1 = + · = 0,75. 2 π 2 π 4 Pro výpo£et P (X > 1,5) pouºijeme pravd¥podobnost jevu opa£ného. Opa£ný jev k jevu X > 1,5 je X ≤ 1,5. Dále vyuºijeme faktu, ºe P (X = x) je u spojité náhodné veli£iny X vºdy nulová. Celkem máme a) Je²t¥ jednou p°ipome¬me, ºe

P (X > 1,5) = 1 − P (X ≤ 1,5) = 1 − (P (X < 1,5) + P (X = 1,5)) = 1 1 . = 1 − (F (1,5) + 0) = 1 − + arctg 1,5 = 0,187. 2 π Má-li být 0,5 ≤ X < 1,5, znamená to, ºe X musí být men²í neº 1,5, a p°itom men²í neº 0,5. Proto

nesmí být

P (0,5 ≤ X < 1,5) = P (X < 1,5) − P (X < 0,5) = F (1,5) − F (0,5) = 1 1 1 1 . + arctg 1,5 − + arctg 0,5 = 0,165. = 2 π 2 π Protoºe práv¥ p°edvedená úvaha n¥kterým student·m £iní potíºe, vysv¥tlíme v²e je²t¥ pomocí obrázku 1.5. Na tomto obrázku je znázorn¥na hustota náhodné veli£iny

X

(funk£ní

p°edpis pro ni zatím neznáme, ale to te¤ nijak nevadí). Jak víme, pravd¥podobnost, ºe

0,5 ≤ X < 1,5,

h0,5; 1,5). X < 0,5, je rovna

je rovna obsahu plochy pod grafem hustoty na intervalu

Dále, hodnota distribu£ní funkce v bod¥

0,5,

tj. pravd¥podobnost, ºe

(−∞; 0,5). V na²em obrázku je tato plocha hodnota distribu£ní funkce v bod¥ 1,5 je rovna

obsahu plochy pod grafem hustoty na intervalu vyzna£ena svislým ²rafováním. Podobn¥,

obsahu plochy, která je v obrázku 1.5 ²ed¥ vybarvena. Nás zajímá obsah plochy, která je ²edá, ale nikoli ²rafovaná. Op¥t se dostáváme k tomu, ºe od sebe musíme ode£íst a

F (1,5)

F (0,5). y y = f (x) 0,5

1,5

x

Obrázek 1.5: K p°íkladu 1.5 hustota náhodné veli£iny X Je²t¥ zbývá vypo£ítat

P (−0,5 ≤ X ≤ 1).

Protoºe pravd¥podobnosti, ºe by se

X

rovnalo

n¥jaké jedné konkrétní hodnot¥, jsou nulové, m·ºeme tento p°íklad °e²it stejn¥ jako ten p°edchozí:

1 1 P (−0,5 ≤ X ≤ 1) = F (1) − F (−0,5) = + arctg 1 − 2 π

1 1 . + arctg (−0,5) = 0,398. 2 π

10


P (X > x) = 0,01. Uº jsme ukázali, ºe u spojité náhodné veli£iny je P (X > x) = 1 − P (X < x) = 1 − F (x). Proto musíme najít x, pro které bude 1 − F (x) = 0,01. Dosazením do funkce F dostáváme: 1 1 1 + arctg x = 0,01 ⇒ arctg x = π − 0,01 1− 2 π 2 b) Hledáme

x,

pro které by platilo

Tedy

. x = tg (0,49π) = 31,82. (−a, a), pro který funkce arctg je lichá.

c) Hledáme interval, ozna£me jej výpo£tu vyuºijeme faktu, ºe

by platilo

P (−a < X < a) = 0,9.

P°i

1 1 1 1 + arctg (−a) = P (−a < X < a) = F (a) − F (−a) = + arctg a − 2 π 2 π 1 2 = (arctg a − arctg (−a)) = arctg a π π 2 0,9π . arctg a = 0,9 ⇒ a = tg = 6,31 π 2 Hledaný interval je tedy (−6,31; 6,31). 0 d) Platí, ºe f (x) = F (x), a tedy v na²em p°ípad¥ 0 1 1 1 1 f (x) = + arctg x = · . 2 π π 1 + x2 Kdo by cht¥l, m·ºe te¤ £ásti p°íkladu a), b), c) vy°e²it pomocí hustoty. V p°edchozím p°íkladu jsme ukázali výpo£ty pravd¥podobnosti r·zných typ· nerovností. V²e shrneme do ráme£ku:

Výpo£ty r·zných pravd¥podobností pomocí distribu£ní funkce Pro jakoukoli náhodnou veli£inu platí

Protoºe pro spojité náhodné

P (X < x) = F (x) P (X ≥ x) = 1 − F (x) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a). veli£iny je P (X = x) = 0, m·ºeme

veli£iny v²ude nahradit ostré nerovnosti neostrými a naopak.

St°ední hodnota, rozptyl a sm¥rodatná odchylka St°ední hodnota spojité náhodné veli£iny

EX =

X R∞

−∞

se vypo£ítá jako

x · f (x) dx,

rozptyl jako

DX = a sm¥rodatná odchylka je

√

R∞ −∞

DX .

x2 · f (x) dx − (EX)2

pro spojité náhodné

11

P°íklad 1.6 f (x) =


  0 1 2



pro

sin x

0

pro pro

X

má tvar:

x ≤ 0, 0 < x ≤ π, x > π.

a) Vypo£t¥te st°ední hodnotu, rozptyl a sm¥rodatnou odchylku náhodné veli£iny b) Vypo£t¥te pravd¥podobnost, ºe náhodná veli£ina st°ední hodnotu více neº o

X

X.

p°ekro£í (sm¥rem nahoru) svou

π/4.

c) Vypo£t¥te pravd¥podobnost, ºe se náhodná veli£ina

X

bude od své st°ední hodnoty li²it

nanejvý² o dvojnásobek sm¥rodatné odchylky.

e²ení:

a) St°ední hodnota:

∞

Z u = x u0 = 1 π 1 x sin x dx 0 EX = x · f (x) dx = v = sin x v = − cos x 2 0 −∞ Z π 1 1 π π = cos x dx = (π + [sin x]π0 ) = . [−x cos x]0 + 2 2 2 0 Z

Tento výsledek jsme mohli i uhodnout, protoºe graf hustoty je soum¥rný podle p°ímky

x = π/2, π/2.

takºe se dá £ekat, ºe pr·m¥rn¥ bude náhodná veli£ina

X

nabývat hodnoty

Rozptyl:

Z

∞

1 x · f (x) dx − (EX) = DX = 2 −∞ 2

Nejprve zvlá²´ vypo£teme integrál z

π

Z

2

π

Z

x2 sin x,

0

x2 sin x dx −

π 2 2

.

a pak se vrátíme k výpo£tu

DX :

Z π u = x2 u0 = 2x 2 π x cos x dx = x sin x dx = 0 = −x cos x 0 + 2 v = sin x v = − cos x 0 Z π u = x u0 = 1 π 2 = 0 = π + 2 [x sin x]0 − sin x dx = π 2 − 4 v = cos x v = sin x 0 2

0

Rozptyl je pak

π 2 π 2 1 2 . DX = π −4 − = − 2 = 0,467. 2 2 4 Sm¥rodatná odchylka:

√

r DX =

π2 . − 2 = 0,684. 4

Upozorn¥ní na £astou R chybu:

P°i výpo£tu rozptylu £asto £lov¥k správn¥ zapí²e za∞ 2 £átek výpo£tu: DX = x f (x) dx − (EX)2 , ale pak se soust°edí na výpo£et integrálu −∞ 2 a na ode£tení (EX) zapomene. Nevíme, jak této chyb¥ zabránit. Snad jen doporu£íme

12


£tená°i, a´ si poctiv¥ po£ítá p°íklady. Jestliºe se této chyby párkrát dopustí, dokud je to nane£isto, p°i písemce se mu to snad uº nestane. b) Budeme po£ítat pravd¥podobnost, ºe

bude v¥t²í neº

EX + π/4:

π

Z

sin x dx = 12 [− cos x]π3π/4 = 3π/4 √ !! √ 1 2 2− 2 . = − −1 − − = = 0,146. 2 2 4 D E √ √ pravd¥podobnost, ºe X bude v intervalu EX − 2 DX, EX + 2 DX :

P (X > EX + π4 ) = P (X >

c) Vypo£teme

X

3π ) 4

1 2

=

q q √ √ 2 2 . P (EX − 2 DX ≤ X ≤ EX + 2 DX) = P ( π2 − 2 π4 − 2 ≤ X ≤ π2 + 2 π4 − 2) = Z 2,506 . 1 sin x dx = 0,804. P (0,636 ≤ X ≤ 2,506) = 2 0,636

1.2

P°íklady pro samostatnou práci

P°íklad 1.7

Náhodná veli£ina

( f (x) =

1+3x2 2

0

pro

P (X < 2);

Výsledek:

a)

P°íklad 1.8

jinak.

F (x) =

P (X > 3). . 35/128 = 0,273; e)

1 3



1

pro

x−1

pro pro

P (X > 2);

Výsledek:

a)

P°íklad 1.9

e)

0,1635;

X

c)

b)

P (X < 0,3);

. 43/125 = 0,344;

d)

1;

c)

e)

P (X > 4/5);

0


x ≤ 3, 3 < x ≤ 6, x > 6.

Vypo£t¥te pravd¥podobnosti: a) d)

P (X ∈ (1/2, 3/4));

b)

Náhodná veli£ina

  0

má hustotu

x ∈ h0, 1i,

Vypo£t¥te pravd¥podobnosti: a) d)

X

P (X < 4);

b)

P (X > 5,5);

c)

P (3,5 < X < 5);

P (X > 7).

1/3;

b)

1/6;

c)

1/2;

d)

1;

e)

0


  0 f (x) = x −   0

pro 1 2

pro pro

X

má tvar:

x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, x > 2.

Najd¥te distribu£ní funkci náhodné veli£iny

X

a pak pomocí ní vypo£ítejte tytéº pravd¥podob-

nosti, jaké se po£ítaly v p°íkladu 1.1 (v²imn¥te si, ºe jde o náhodnou veli£inu se stejnou hustotou).

13

Výsledek:

F (x) = 0

pro

x ≤ 1; F (x) = (x2 − x)/2

pro

Pravd¥podobnosti viz p°íklad 1.1.

P°íklad 1.10

1 < x ≤ 2; F (x) = 1

pro

x > 2.

Je dána funkce

( a − x2 f (x) = 0 a) Ur£ete konstantu

pro

x ∈ h0, 1i,

jinak.

a tak, aby funkce f (x) byla hustotou pravd¥podobnosti n¥jaké náhodné

veli£iny. b) Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl p°íslu²né náhodné veli£iny. Výsledek:

a = 4/3

a)

(najde se na základ¥ podmínky

R∞ −∞

f (x) dx = 1);

b)EX

= 5/12,

DX = 17/240.

P°íklad 1.11 F (x) =

Náhodná veli£ina

  0


x ≤ 2, − 2) pro 2 < x ≤ 6, pro x > 6. pro

1 (x 4



X

1

a)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodné veli£iny

X.

b)Znázorn¥te gracky hustotu a distribu£ní funkci. c)Ur£ete st°ední hodnotu, rozptyl a sm¥rodatnou odchylku.

√ f (x) = 1/4 √ pro. 2 < x < 6; f (x) = 0 DX = 4/3, DX = 2 3/3 = 1,155 Výsledek:

a)

jinak; b) viz obrázek 1.6; c)

y

y

1

1 y = F (x)

y = f (x)

1/4 2

6

x

EX = 4,

2

6

x

Obrázek 1.6: K p°íkladu 1.11 distribu£ní funkce a hustota náhodné veli£iny X

P°íklad 1.12

Náhodná veli£ina

  0 F (x) = x2   1

pro pro


x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, x > 1.

a, kterou X p°ekro£í sm¥rem dol· jen s pravd¥podobností 0,25. b, kterou X p°ekro£í sm¥rem nahoru jen s pravd¥podobností 0,1. hodnotu a rozptyl náhodné veli£iny X .

a) Ur£ete hodnotu b) Ur£ete hodnotu c) Ur£ete st°ední

pro

X

14


Výsledek:

a = 0,5;

a)

P°íklad 1.13

b)

√ . b = 3 10/10 = 0,949;

Náhodná veli£ina

  0 F (x) = sin 2x   1

pro pro pro

X

c)

EX = 2/3, DX = 1/18


x ≤ 0, 0 < x ≤ π4 , x > π4 .

a)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodné veli£iny

X.

b)Znázorn¥te gracky hustotu a distribu£ní funkci. c)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

f (x) = 2 cos 2x pro 0 < x < π/4, f (x) = 0 EX = −1/2 + π/4, DX = −3/4 + π/4

Výsledek: c)

a)

jinak; b) viz obrázek 1.6;

y 2

y = f (x)

y 1

1

y = F (x)

π/4

x

π/4

x

Obrázek 1.7: K p°íkladu 1.13 distribu£ní funkce a hustota náhodné veli£iny X

P°íklad 1.14

Je dána funkce

( f (x) =

a x

pro

0

jinak.

a) Ur£ete konstantu

a

x ∈ h1, ei,

tak, aby funkce

f (x)

byla hustotou pravd¥podobnosti.

b) Ur£ete p°edpis pro distribu£ní funkci p°íslu²né náhodné veli£iny. c) Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

a = 1; b) F (x) = 0 pro x < 1, F (x) = ln x . EX = e − 1, DX = −e2 /2 + 2e − 3/2 = 0,242

Výsledek:

x > e;

c)

a)

pro

1 < x < e, F (x) = 1

pro

15

P°íklad 1.15

Hustota pravd¥podobnosti náhodné prom¥nné

( c cos x f (x) = 0 a) Ur£ete konstantu

−

pro

π 2

jinak.

X

má tvar

< x ≤ π2 ,

c.

b) Ur£ete p°edpis pro distribu£ní funkci

F (x).

c) Najd¥te interval soum¥rný kolem nuly, ve kterém náhodná veli£ina s pravd¥podobností

X

bude leºet

0,95

c = 1/2; b) F (x) = 0 pro x < −π/2, F (x) = (1 + sin x)/2 pro −π/2 ≤ x < . π/2, F (x) = 1 pro x ≥ π/2; c) (− arcsin(19/20), arcsin(19/20)) = (−1,253; 1,253)

Výsledek:

a)

P°íklad 1.16


( 6x(1 − x) f (x) = 0 f

a) Ov¥°te, ºe funkce

pro

X

má tvar

0 < x ≤ 1,

jinak.

opravdu m·ºe být hustotou n¥jaké náhodné veli£iny.

b) Ur£ete p°edpis pro distribu£ní funkci

F (x).

c) Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl. d) Ur£ete pravd¥podobnost, ºe se náhodná veli£ina od své st°ední hodnoty li²í více neº o

1/3. R∞ a) ano, f je nezáporná funkce a f (x) dx = 1; b) F (x) = −∞ 3 2 −2x + 3x pro 0 ≤ x < 1, F (x) = 1 pro x ≥ 1; c) EX = 1/2, DX

Výsledek:

F (x) = . d) 4/27 = 0,148

P°íklad 1.17


( a(3x − 4) f (x) = 0 a) Ur£ete konstantu

a

pro

X

0 pro x < 0, = 1/20;

má tvar

1 < x ≤ 2,

jinak.

a pak na£rtn¥te graf funkce

b) Ur£ete p°edpis pro její distribu£ní funkci P (0 < X < 12 ). d) Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

f.

F (x).

c) Ur£ete

f

nabývá na £ásti intervalu

h1, 2i

R∞

f (x) dx = 1 by vy²lo a = 2, jenºe funkce ∞ záporných hodnot, coº se u hustoty nesmí stát. ásti

Výsledek: P°íklad nemá °e²ení. Z podmínky

b), c), d) proto nemá význam po£ítat.

P°íklad 1.18

Chyba ur£itého m¥°ení je náhodná veli£ina

X

s trojúhelníkovým rozd¥lením

pravd¥podobnosti. Graf její hustoty je na obrázku 1.8. a) Ur£ete hodnotu

h.

b) Najd¥te funk£ní p°edpis pro hustotu

f.

c) Najd¥te funk£ní p°edpis pro distribu£ní funkci

F.

d) Vypo£t¥te pravd¥podobnost, ºe chyba bude v intervalu

(−1, 1).

e) Najd¥te interval soum¥rný kolem nuly, v n¥mº bude chyba s pravd¥podobností

0,99.

16


y h

y = f (x)

−3

−2

−1

1

2

3

x

Obrázek 1.8: K p°íkladu 1.18 hustota náhodné veli£iny X

h = 1/3; b) f (x) = (x + 3)/9 pro −3 < x < 0, f (x) = −(x − 3)/9 pro 0 ≤ x < 3, f (x) = 0 jinak; c) F (x) = 0 pro x < −3, F (x) = (x + 3)2 /18 pro −3 ≤ x < 0, F (x) = 1 − (x − 3)2 /18 pro 0 ≤ x < 3, F (x) = 1 pro x ≥ 3; d) 5/9; e) (−2,7; 2,7) Výsledek:

a)

P°íklad 1.19

X má distribu£ní funkci:   pro x ≤ 1, 0 F (x) = ln x pro 0 < x ≤ a,   1 pro x > a.

Náhodná prom¥nná


a.

b)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodní prom¥nné. c)Znázorn¥te gracky hustotu a distribu£ní funkci. d)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

P°íklad 1.20


F (x) =

  0 1

2   1

X

má distribu£ní funkci:

x ≤ −2, pro −2 < x ≤ 2, pro x > 2.

pro

+

1 π

arcsin x2

a)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodní prom¥nné. b)Znázorn¥te gracky hustotu a distribu£ní funkci. c)Pravd¥podobnost toho, ºe náhodná prom¥nná nabýva hodnoty z intervalu

P°íklad 1.21

X má distribu£ní funkci:   pro x ≤ 0, 0 F (x) = a + b sin x pro 0 < x ≤   π 1 pro x > 2 .


a) Ur£ete konstanty

a, b.

π , 2

b)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodní prom¥nné.

c)Znázorn¥te gracky hustotu a distribu£ní funkci. d)Ur£ete

(−1, 1).

P (X > 0, 2).

e)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

17

P°íklad 1.22

X má distribu£ní funkci: ( a + b.e−x pro x > 0, F (x) = 0 pro x ≤ 0,



a, b.

b)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodní prom¥nné. c)Znázorn¥te gracky hustotu a distribu£ní funkci. d)Ur£ete

P (0 < X < 3).

e)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

P°íklad 1.23

X má distribu£ní funkci: ( b pro x > 0, a + 1+x 2 F (x) = 0 pro x ≤ 0,



a, b.

b)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodní prom¥nné.

P°íklad 1.24


X

má distribu£ní funkci:

F (x) = a + b arctan a) Ur£ete konstanty

x a

a, b.

b)Ur£ete hustotu pravd¥podobnosti náhodní prom¥nné. c)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

P°íklad 1.25


 0    a(x − 1) f (x) = a(x − 2)    0 a) Ur£ete konstantu

pro pro pro

má tvar:

x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, 2 < x ≤ 3, x > 3.

a.

b) Ur£ete p°edpis pro její distribu£ní funkci 3 c) Ur£ete P (1 < X < 2 ). d)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

P°íklad 1.26

pro

X

F (x).


 0    a(x + 1) f (x) =  a(1 − x)    0

pro pro pro pro

X

x ≤ −1, −1 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, x > 1.

má tvar:

18



a. F (x).


P°íklad 1.27


  0     ax  f (x) = a   a(3 − x)    0 a) Ur£ete konstantu

pro pro pro pro

x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, 2 < x ≤ 3, x > 3.

F (x).


 0    ax2 f (x) = 1 x    0 a) Ur£ete konstantu

má tvar:

a.


P°íklad 1.28

pro

X

pro pro pro pro

X

má tvar:

X

má tvar:

X

má tvar:

x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ e, x > e.

a. F (x).

b) Ur£ete p°edpis pro její distribu£ní funkci c)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

P°íklad 1.29


f (x) = a) Ur£ete konstantu

a.

b) Ur£ete p°edpis pro její distribu£ní funkci c) Ur£ete

a . 1 + x2 F (x).

P (−1 < X < 1).

d)Ur£ete st°ední hodnotu a rozptyl.

P°íklad 1.30


f (x) = a) Ur£ete konstantu

ex

4a . + e−x

a.

b) Ur£ete p°edpis pro její distribu£ní funkci

F (x).

1 Spo jité náhodné veli iny

Recommend Documents