1. se hry astn v ce ne dva hr i,. pou v me jin losovac n stroj ne je symetrick mince. Graf na obr. 1a p edstavuje hrac pl tno ke h e popsan v loze 1

MATEMATIKA Stochastick grafy jako nstroj een matematickch loh PAVEL TLUST { IRENEUSZ KRECH Pedagogick fakulta JU, esk Budjovice Uniwersytet Pedagogiczny, Krakw, POLSKO

Stochastick m grafem rozum me orientovan graf, kde je kad hran piazeno kladn reln slo a souet sel piazench hranm se spolenm poten m uzlem je roven 1. Teorie stochastickch graf nachz

irok uplatnn v nejr znj ch oblastech matematiky i technickch aplikac . V tomto p spvku si ukeme, jak je lze vyu t pi e en konkrtn lohy z teorie pravdpodobnosti. V lnc ch 2] a 4] je e en nsleduj c problm

loha 1

Hri A a B hzej st dav pravidelnou minc . Vyhrv ten, pi jeho hodu se v srii v ech z skanch vsledk prv po k-t objevil l c, kde k = 1 a k = 2. Hr A hz prvn a zaj m ns, jak jsou ance na v tzstv hr A a B v zvislosti na parametru k. V 4] se k nalezen e en vyu v vlastnost tzv. aritmeticko-geometrickch posloupnost . Naproti tomu v 2] je zvolen pravdpodobnostn p stup, kter je dle zobecnn v 3], kde je podno obecn e en lohy 1 pro libovoln pirozen slo k. Nyn si ukeme, jak lze lohu 1 e it pomoc stochastickch graf . Tento p stup nm nav c umon dal zobecovn uvaovanho problmu a zejmna v situac ch, kdy Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

257

1. se hry astn v ce ne dva hri, 2. pou vme jin losovac nstroj ne je symetrick mince. Graf na obr. 1a pedstavuje hrac pltno ke he popsan v loze 1. Na zatku hry postav me gurku do uzlu s { start. Hz me minc a podle vsledku hodu posouvme gurku ve smru ipek tak dlouho, a se dostane bu do uzlu A (zv tz hr A), nebo do uzlu B (zv tz hr B ).

; Obr. 1a

Obr. 1b

Ozname x pravdpodobnost, e zv tz hr A. Uvame dle dva p pady: v prvn m hodu padne l c (to nastane s pravdpodobnost 12 , viz obr. 1b) a gurka se dostane do uzlu A v1 prvn m a druhm hodu padne rub (pravdpodobnost tohoto jevu je 2 12 = 14 ) a gurka se vrt do uzlu s , co znamen, e se situace vrt na zatek. Z tchto fakt a z obr. 1b vyplv, e

x = 12 + 14 x a tedy x = 32 : Analogicky spo tme, e hr B zv tz s pravdpodobnost 31 .

Dostali jsme shodn vsledek jako v 2] a 4]. Tento p stup nav c umouje snadno e it i obecnj lohy.

loha 2

Uvaujme analogickou hru jako v loze 1, ale budou ji hrt ti hri. Nejprve hz minc hr A, po nm hr B , pak hr C , pak opt A atd. Zv tz ten, komu prvn mu padne l c. Pro kadho hre vypo tejte pravdpodobnost jeho v tzstv . 258

Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

;

Obr. 2a

Obr. 2b

Graf na obr. 2a pedstavuje hrac pltno k tto he. Opt ozname x pravdpodobnost, e se gurka z uzlu s dostane do uzlu A , tedy x je pravdpodobnost v tzstv hre A. Uvame dva p pady: v prvn m hodu padne l c (to nastane s pravdpodobnost 12 , viz obr. 2b) a gurka se dostane do uzlu A v prvn m,1 1druhm a tet m hodu padne rub (pravdpodobnost tohoto jevu je 2 2 12 = 18 ) a gurka se vrt do uzlu s , tj. situace se vrt na zatek. Z tchto fakt a z obr. 2b vyplv, e x = 21 + 18 x a tedy x = 74 : Analogicky spo tme, e hr B zv tz s pravdpodobnost 72 a hr C zv tz s pravdpodobnost 17 . Z navrenho postupu je zejm, e ho lze pou t i v obecnm p pad, kdy hri ekaj na prvn spch v srii nezvislch pokus (pravdpodobnost u spchu v jednom pokusu je 0 < u < 1 nebo dokonce, kdy kad hr m jin losovac nstroj (mn se jen vhy jednotlivch hran stochastickho grafu). Ukame si to pi e en nsleduj c lohy.

loha 3

Hri A a B st dav losuj (s vracen m) kouli kad ze sv urny. Vyhrv ten, kdo vylosuje jako prvn ervenou kouli. Hr A bude losovat Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

259

prvn a v jeho urn jsou dv b l koule a jedna koule erven. Kolik nejmn koul mus bt v urn hre B , aby oba hri mli v takov he stejnou

anci zv tzit? een. Ozname u pravdpodobnost vylosovn erven koule z urny hre B . Na obr. 3 je hrac pltno a odpov daj c stochastick graf.

; Obr. 3a

Obr. 3b

Maj -li m t oba hri stejnou anci zv tzit, znamen to, e kad z nich zv tz ve he s pravdpodobnost 12 . Kdy zv tz hr A? Uvame dva p pady: v prvn m losovn vylosuje hr A ervenou kouli (to nastane s pravdpodobnost 13 , viz obr. 3b) a gurka se dostane do uzlu A v prvn m losovn vylosuje hr A b lou kouli, pak hr B vylosuje tak b lou kouli (pravdpodobnost tohoto jevu je 13 (1 ; u)) a gurka se vrt do uzlu s , co znamen, e se situace vrt na zatek. Z tchto fakt a z obr. 3b vyplv, e dostvme rovnici 1 = 1 + 2 (1 ; u) 1 a tedy u = 21 : 2 3 3 2 Odtud je zejm, e hra bude spravedliv, pokud urna hre B bude obsahovat jednu b lou a jednu ervenou kouli. Literatura

1] Mason, S. J.: Feedback Theory: Some properties of signal ow graphs, Proc. I.R.E. 41 (1953), Nr. 9, 1144-1156.

2] Tlust, P.: Jin pstup ke dvma loh m z pravdpodobnosti. MFI, Vol. 9, 1999/2000, . 8.

3] Tlust, P.: Obecn een jedn lohy z pravdpodobnosti, MFI. 2001, ro. 10, . 9.

4] Trojovsk, P.: Pat aritmeticko-geometrick ada na stedn kolu? MFI, Vol. 8, 1998/1999, . 10.

5] Plocki, A. { Tlust, P.: Pravdpodobnost a statistika pro za tenky a mrn pokroil. Prometheus, Praha, 2007.

260


Nkolik loh pro vuku innitezimlnho po tu na gymnziu JAN BENE Gymn zium Jihlava

Relativn n zk poet hodin vuky matematiky na gymnziu vede vyuuj c matematiky a veden kad jednotliv koly ke zven , zda do

koln ho programu nezaadit nebo zaadit, a v jakm rozsahu, vuku tmat innitezimln ho potu. Tento lnek m podpoit nzor, e je velmi vhodn poskytnout alespo zv davm student m ji na gymnziu pimen informace o diferenciln m a integrln m potu. Pro kvalitn studenty gymnzi , by' se v budoucnu podle svho zjmu a monost budou vnovat r znm odbornm zamen m, jsou vhodn pinejmen m ze dvou d vod . Pedn pimen pou vn innitezimln ho potu na gymnzi ch mimo ve kerou pochybnost obohacuje my len studenta, pin mu nov nstroje na e en problm (nap. prce s nekonen malmi veliinami) a vede k nr stu kompetenc studenta pro e en mnohch loh, kter dosud e it nemohl, nebo e il p li zdlouhav. Druh a velmi zvan d vod spo v v tom, e innitezimln poet pin monost vznamnch praktickch aplikac matematiky, kter student m potvrzuj , e matematika je vda pro praxi velmi uiten. K danmu tmatu bylo u napsno mnoh. Na podporu tvrzen vyslovench v pedchoz ch dvou odstavc ch uvd m dle e en nkolika osvdench praktickch loh z matematickho semine, kter vedu na na em gymnziu. Semin prob h ve tvrtm ron ku a lohy jsou zaazovny na zvr systematizace uiva z diferenciln ho a integrln ho potu. Nkter z nich navazuj na vuku fyziky a t m tak prohlubuj mezipedmtov vztahy.

1. Uit derivac loha 1

Vypotte tvar osovho ezu plechov konzervy tvaru rotan ho vlce o danm objemu V = 1 litr tak, aby plech pouit k vrob ml minimln hmotnost. Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

261

een. Konzervu si modelujme jako vlec, kde x je polomr podstavy a v v ka vlce. Z plechu se vyrbj podstavy (dna konzervy) a pl ' (boky konzervy), celkov povrch je tedy

S = 2 x2 + 2 xv:

(1)

Je t vyuijeme znalosti objemu. Pro objem V plat

V = 1 = x2 v odkud v = 1x2 . Po dosazen do (1) mme povrch

S = 2 x2 + 2 x 1x2 = 2 x2 + x2

(2)

a chceme, aby byl co nejmen . A nyn se obrt me na pedstavivost student : Pedstavte si, e v ka v je velmi mal, pak by konzerva vypadala jako velk disk a plechu by bylo poteba hodn. Kdy budeme polomr zmen ovat, bude se v ka konzervy zvt ovat, ale povrch S se bude nejprve zmen ovat, ale pak bude povrch zase r st, nebo' kdyby byl polomr nap. u jen 1 cm, byla by konzerva vysok a jej povrch S zase u velik. Nkde mezi tmito krajn mi p pady je S nejmen . Pro praktick lohy tohoto typu plat : Jestlie z praktick povahy lohy plyne, e nastane pr v jeden extrm, a jak je to extrm (maximum nebo minimum) a existuje jedin stacion rn bod, pak tento extrm nastane ve zjit nm bod . Pro vye en lohy tedy sta derivaci ddSx , poloit rovnu nule a naj t e en tto rovnice. Podle (2) je

dS 4 x ; 2 = 0 dx x2 2 x3 = 1 r x0 = 3 21 : Nyn zjist me odpov daj c v ku v0 . 262


r p 1 1 3 v0 = x2 = (2 )2 = : : : = 2 3 21 = 2x0 : 0

Z v r: Osovm ezem konzervy je tverec. Studenti se mohou dle zaj mat o problm: Jak je tvar osovho ezu, kdy plech na boc ch konzervy je dvakrt silnj ne na dnech.

loha 2

Kruhov st l o polomru r je osvtlen bodovm zdrojem svtla sv tivosti I , kter vis nad stedem stolu. V jak v ce v m bt zdroj zav en, aby osvtlen na okraji stolu bylo pro dan zdroj nejvt ? een. Opt nejprve se ky uvaujeme, jak se podle jejich pedstav bude mnit osvtlen okraje stolu, budeme-li zdroj svtla Z zvedat nad stedem stolu. Dospjeme k vsledku, e prakticky od temnho okraje stolu (jeli zdroj ve v ce 0, tj. p mo na stole) se jeho osvtlen bude zvt ovat k maximu a pak zase klesat, kdy zdroj vystupuje velmi vysoko, e tedy maximum osvtlen existuje. Situace je znzornna na obr. 1

; Obr. 1

Pipomeme standardn vztah pro osvtlen E bodu M okraje stolu od bodovho zdroje Z sv tivosti I vzdlenho l od bodu M : (3) E = I cos

l2

kde je hel, pod kterm svtlo dopad na okraj stolu (men od kolmice). Podle obr. 1 nyn zavedeme ve vztahu (3) zvislost osvtlen E na Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

263

v ce x zdroje Z nad stedem S stolu. Do (3) dosad me za l a za cos :

p l = x2 + r2

take

E=

Ixp

cos = xl = p 2x 2 x +l = Ix(x2 + r2 ); 32 = f (x):

(x + r ) x + r Nyn ur me 1. derivaci funkce E = f (x) z rovnice (4). Plat 2

2

2

2

(4)

dE = I (x2 + r2 ); 32 ; 3 x(x2 + r2 ); 52 2x = : : : = I r2 ; 2x2 : dx 2 (x2 + r2 ) 52 Pro zji tn stacionrn ho bodu sta itatel zlomku poloit p roven nule. Protoe x 0, dostvme jedin stacionrn bod x0 = 12 r 2, co je takov v ka zdroje nad stolem, e osvtlen na okraji stolu je nejvt . Toto oekvn m eme p i formln nsleduj c vahou: Protoe dpotvrdit 2 E pro x v intervalu x0 = 0 2 r je dx > 0, funkce E = f (x) je na tomto p intervalu rostouc . Pro x > 22 r je ddEx < 0, a proto je funkce f (x) zde klesaj c . Okraj stolu bude tedy skuten osvtlen nejv ce, bude-li bodov zdroj svtla ve v ce p2 x0 = 2 r: (5) Pro pedstavu o optimln v ce zdroje vypotme velikost hlu . Z (5) vid me, e p x0 = 2 = cotg r 2

odkud =: 54440 . Pomoc (4) m eme dopo tat hodnotu extrmn ho osvtlen , v p pad zjmu student i s konkrtn mi hodnotami r a I .

2. Uit integrl loha 3

Urete tlakovou s lu vody na svislou pehradn hrz tvaru obdln ka dlky a metr , v ky ponoen sti hrze h metr 264


een. Pro tuto lohu je vhodn, e ada student m zku enosti s koupn m ve vodn ch ndr ch. Proto zjem o vpoet s ly, kterou p sob vodn masiv na pehradn hrz, je celkem pirozen. Existuje v ce cest, jak lohu vye it. Zde je jedna z nich. Uv me, e hydrostatick tlak p zvis na hloubce x pod hladinou podle vztahu p = gx, kde je hustota vody a g t hov zrychlen . Rozdl me pehradn hrz na vodorovn obdln kov prouky dlky a, o ce (tj. v ce) (x a obsahu (S = a(x (obr. 2).

; Obr. 2

Na kad takov prouek p sob tlakov s la F = gx(S = agx(x: (6) Vztah (5) vyjaduje p spvek jednoho prouku k integrln mu soutu. Pro (x ! 0 lze vztah (6) vyjdit ve tvaru diferenciln m, tj. dF = agxdx take tlakov s la na celou pehradn hrz je Zh F = ag xdx = 12 agh2 : 0 Vsledek jist nepekvap , jsme-li si vdomi linern zvislosti hydrostatickho tlaku na v ce vodn ho sloupce. Pozn mka. Je teba, aby studenti z skali o vsledku njakou konkrtn pedstavu. Teba takto: Pro celkem malou pehradu, kde a = 80 m, h = = 16 m, = 103 kg/m3, g = 9 81 m/s2 , je F = 0 5 80 103 9 81 162 N =: 108 N (co je piblin t ha 528 kg zlata). Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

265

loha 4

Zjistte tvar, kter m povrch ideln kapaliny (piblin voda) rotuj c konstantn hlovou rychlost spolu s vlcovou ndobou kolem jej svisl osy. een. Pro pibl en lohy vyuijeme bn zku enosti student s m chn m npoj . Urit pozorovali zmnu tvaru povrchu a urit e ili i situace, kdy pi p li usilovnm m chn npoj petekl okraj ndoby. Vra'me se k zadn . Aby bylo mon dj pozorovat, je vhodn si pedstavit pr hlednou rotuj c ndobu. Vzhledem k symetrii m eme problm e it v osovm ezu. Kapalina v klidu m podle ndoby tvar vlce (obr. 3). Polomr podstavy vlcovho sloupce kapaliny ozname r.

; Obr. 3

Obr. 4

Pechz -li vlcov ndoba z klidu do rotace s konstantn hlovou rychlost !, mn se tvar povrchu kapaliny vdy tak, e vsledn s la F na kadou povrchovou strukturln stici kapaliny je kolm na tenu k povrchov kivce prochzej c zm nnou stic . Zavedeme soustavu souadnic (podle obr. 4) a tvar povrchu rotuj c kapaliny v osovm ezu hledejme jako graf funkce y = f (x). Vybereme jednu z povrchovch strukturln ch stic, jej hmotnost ozna me m, t hov zrychlen g, polohu stice vyjd me souadnicemi x y]. Smrnici uvaovan teny m eme vyjdit jako

k = ddxy = f 0 (x) = tg : 266

(7)


Na stici p sob t hov s la o velikosti FG = mg a setrvan odstediv s la o velikosti F! = mx!2 kde x je polomr oten vybran povrchov strukturln stice (tj. jej x-ov souadnice). Z vektorovho silovho rovnobn ku je

! x: tg = FF! = mx! = mg g G Ze (7) a (8) dostaneme dy = ! 2 x dx g 2

a po prav obdr me

2

(8)

dy = !g xdx: 2

Po integraci dostvme rovnici paraboly

y = !2g x2 + C:

(9)

y = !2g x2 + h

(10)

2

Dosazen m x = 0 do rovnice (9) zjist me vznam konstanty C je to y-ov souadnice h vrcholu paraboly, take rovnice paraboly je 2

V prostoru se jedn o rotan paraboloid. Vid me, e koecient v kvadratickm lenu p mo zvis na druh mocnin hlov rychlosti, co souhlas s na zku enost : m rychleji m chme, t m v ce se jamka v tekutin prohlubuje a okraje tekutiny se bl k okraji ndoby. Trv-li zjem student o danou lohu, m eme pokraovat hledn m souvislosti rozmr ndoby, v ky h0 hladiny kapaliny v klidu a polohy vznamnch bod rotuj c kapaliny, tzn. vrcholu paraboly 0 h] a nejvy

ch bod (nejvy

krunice) rotuj c kapaliny sta jeden: r h1 ]. Podle zkladn ch zkon hydromechaniky jsou obsahy ez kapaliny v klidu i pi rotaci stejn. Obsah ezu kapaliny v klidu je S0 = 2h0 r a obsah ezu rotuj c kapaliny

S1 = 2

Zr 0

!2 x3 r Z r !2 2 f (x)dx = 2 2g x + h dx = 2 2g 3 + hx =

2 = ! r3 + 2hr:

0

0

3g


267

Z rovnosti S0 = S1 vychz 2h0r = !3g r3 + 2hr 2

z eho

2 h = 12 2h0 ; !3g r2 :

Rovnici (10) tak lze vyjdit v konenm tvaru 2 2 y = !2g x2 + h0 ; !6g r2 :

(11)

Z (11) ji pak lehce dopo tme, kde jsou nejvy

strukturln stice rotuj c kapaliny: 2 2 2 h1 = f (r) = !2g r2 + h0 ; !6g r2 = h0 + !3g r2 :

Pozn mka. Urit je velmi vhodn vsledky v ce pibl it a spolu se studenty je oivit dosazen m konkrtn ch hodnot.

3. Jednoduch diferenciln rovnice loha 5

Do banky byl vloen poten kapitl K0 . Jakou hodnotu Km m kapitl na konci m-tho roku pi spojitm roen , je-li p rok p. a. (ron ) v % a u da z roku tak v %. (Pro formulaci a e en lohy je pouita terminologie a symboly z uebnice 4].) een. +vodem k e en lohy je diskuse se studenty o jejich zku enostech s roen m vklad , s frekvenc roen , s roky v na ich bankch a s vnosy z vklad . Pipomeneme, e v ,R je rok zdaovn 15 % sazbou, tj. u = 15. Shrneme vodn poznatky student o roen : na konci prvn ho roku pi ron m roen je hodnota kapitlu

p K ; p u K = K h1 + p 1 ; u i : K1 = K0 + 100 0 0 100 100 0 100 100

268


p a zdaovac koecient k = 1 ; u Ozname ron mru roen i = 100 100 pak K1 = K0(1 + ik) (12) a pi ms n m roen

K1 = K0 1 + 12i k

12

:

(13)

Uveme p klad. Uvaujme vklad K0 = 50 000 K, i = 0 03, k = 0 85 (pi souasnm zdaovn rok v ,R patnctiprocentn sazbou je zdaovac koecient 0,85). Pak podle (12) je K1 = 51 275 00 K a podle (13) je K1 = 51 290 00 K. Obecnji, bude-li roen prob hat bhem roku r-krt, bude K1 = ; = K0 1 + ri k r . (V na em p kladu nap. pro r = 100 je K1 = = 51 291 23 K.) Po m letech mme

Km = K0

r m i : 1 + rk

(14)

Nyn hledejme Km pi spojitm roen. O takovm roen mluv me tehdy, jestlie se dlka rokovac ch obdob neomezen zkracuje a jejich poet roste nade v echny meze. Ozname y pr bnou velikost kapitlu a t 2 h0 mi as (jednotkou je 1 rok). P r stek kapitlu za dobu (t je (y = yik(t, co lze v diferenciln m tvaru zapsat jako dy = yikdt (15) a to je zvl tn p pad diferenciln rovnice

y0 = ay

(16)

kde a je konstanta a y je neznm funkce. -e me ji separac promnnch a integrovn m pokraujme v e en rovnice (15): dy = ikdt y

ln jyj]KKm0 = ikt]m 0 Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

269

kde ln je oznaen pirozenho logaritmu, tj. logaritmu pi zkladu e (Eulerovo slo), a dle ln Km ; ln K0 = ikm m ln K K = ikm

(17)

0

Km = eikm K0 Km = K0 eikm :

(18) (V na em p kladu je podle tohoto vzorce nyn K1 = 51 291 40 K. Porovnejte vsledky.) Pidejme je t p klad na pouit vzorce (18): Jak dlouho by kapitl 50 000 K musel bt v bance spojit roen, aby vzrostl na 55 000 K? Z rovnice (18) resp. (17) vypoteme m: m = 1 ln Km

ik

K0

po ik = 0 03 0 85, K0 = 50 000, Km = 55 000 dostaneme m =: := 3dosazen 74, tj. asi 3 a 3/4 roku. Ukame si je t jin postup pi odvozen vzorce (11) pomoc limitn ch vah vychzej c ch ze vzorce (14)

Km = rlim !1 K0

1 + ri k

r m

= K0 rlim !1

1 + ri k

r m

:

Chceme nyn pou t znalosti, e

1 n=e lim 1 + r!1 n

a tak pokraujeme v pravch:

Km = K0 rlim !1

"

1 + ikr

ikr #ikm

"

ik = K0 rlim !1 1 + r k

(19)

ikr #ikm

= K0 eikm

nebo' plat , e pro r ! +1 tak n = ikr ! +1, take v hranat zvorce je lev strana rovnosti (19). Vid me, e jsme dostali t vsledek (18). 270


loha 6

Odvote zkon radioaktivn pemny, porovnejte rozpadov vlastnosti radia a radonu. een. Toto je dal p leitost, jak v pimenm pojet aplikovat jednoduchou diferenciln rovnici. Nejprve je vhodn se studenty prohovoit, jak jsou v souasn dob otzky radioaktivity vznamn a jak aktuln jsou ve vztahu k ivotn mu prosted . Ozname N0 poet nerozpadlch jader atom na potku popisu rozpadovho procesu ve vzorku pirozen radioaktivn ltky, jinak eeno v ase t = 0 s je N0 poet nerozpadlch jader atom . V ase t ozname poet nerozpadlch jader atom N (t). Jdra atom radioaktivn ltky se rozpadaj tak, e rychlost rozpadu v okamiku t je p mo mrn potu nerozpadlch jader atom N (t) p tomnch v okamiku t. Poet jader atom je pirozen slo, tedy v realit nen funkce N (t) spojit (obr. 5). Ukazuje se v ak, e kdy povaujeme funkci N (t) za spojitou (dokonce diferencovatelnou), odpov d model procesu realit velmi pesn (pro velk N se N (t) chov tm jako spojit funkce).

; Obr. 5

Vyjd me-li, e za as dt se rozpadne dN jader, m eme pst dN = ;N (t) dt kde konstanta mrnosti je pem nov konstanta charakterizuj c rozpadov vlastnosti uvaovan radioaktivn ltky. Popisujeme rychlost, se Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

271

kterou se jdra atom rozpadaj , proto znamnko na prav stran je minus (nerozpadlch jader ubv). Tato rovnice je opt typu (16). +pravou z skme 1 N dN = ;dt

a zvol me-li konstantu pi integraci ve vhodn (logaritmick) podob, bude

N (t) = C e;t : Z poten ch podm nek pak dostvme

N0 = C e;0 = C: a zkon radioaktivn pemny je:

N (t) = N0 e;t :

;

(20)

Ze zkona pesvdiv vyplv, e nerozpadl jdra ubvaj s asem podle exponenciln funkce. Tomu odpov d i grack podoba zkona (obr. 6).

Obr. 6

Nkdy je nzornj charakterizovat pirozen radioaktivn ltku poloasem rozpadu T jako dobou, za kterou se rozpadne prv polovina atom vzorku. Potom N0 = N e;T 0 2 a odtud 272

= lnT2

T = ln2 :


Zkon radioaktivn pemny pak m eme vyjdit

N (t) = N0 e; Tt ln 2 = N0 2; Tt :

(21)

Pro ilustraci spo tejme, kolik procent z p vodn ho potu jader radia 226 s poloasem rozpadu T = 1590 rok se rozpadne za 100 let. 88 Ra : 0 000 44 a dle N (100) = ln 2 = 0693 = Pro radium je: tedy = 1590 1590 = N0 e;0044 = 0 957 N0 . Bhem 100 let se rozpadne pouze 4,3 % uvedenho radia. Pro porovnn nyn zjist me, za jak dlouho by nastal stejn pokles u radonu 86 Rn222 s poloasem rozpadu T = 3 825 dne. Z podoby (21) zkona radioaktivn pemny vyplv ln N : t = ;T lnN20 = ;3 825 ln ln0 957 2 = 0 243 dne: U radonu by tedy stejn pokles nastal piblin za 5 hodin a 49 minut. Literatura

1]

2]

3]

4]

Trvn ek, S.: Matematick analza I. (http:kag.inf.upol.cz). Berman, G. N.: Zbierka loh z matematickej anylzy. NTL, Bratislava 1955. Kriegelstein, E.: U!it diferenci lnho potu. RMF, r. 40 (1961/62), . 6. Odvrko, O.: "lohy z #nann matematiky pro stedn koly. Promtheus, Praha 2005.

5] Ponomarev, K. K.: Sostavlenije di$erencialnych uravnnij (rusky). IV , Minsk 1978.

Zajmav matematick lohy Uvd me zadn dal dvojice loh na pravideln rubriky. Jejich e en m ete zaslat nejpozdji do 10. 3. 2010 na adresu: Redakce asopisu MFI, t. 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc. Jejich e en lze zaslat tak elektronickou cestou (pouze v ak v TEXovskch verz ch, p p. v MS Wordu) na emailovou adresu: m@upol.cz. Zaj mav a originln e en loh rdi uveejn me. Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

273

loha 165

Pipravuje se oslava narozenin, na kterou je pozvn lich poet host . V m stnosti je pro n pichystn odpov daj c poet idl rozm stnch u nkolika stol . Hostitel si ped zatkem oslavy v iml zaj mav vci. V echny hosty lze ve druh polovin veera pesadit tak, e dn z nich nebude sedt u stejnho stolu jako ped pesazen m. Kdyby v ak hostitel ped p chodem host srazil k sob libovoln dva stoly i s jejich idlemi a udlal z nich jeden spolen st l, takov pesazen ji nebude mon. Kolik stol je v m stnosti? Marek Pechal

loha 166

Dv shodn krunice k a l se prot naj v bodech A, B . Ozname Y obraz libovolnho bodu X 62 fA B g krunice k v otoen se stedem v bod A, kter pevd krunici k na krunici l. Dokate, e p mka XY prochz bodem B . Pavel Leischner Dle uvd me bilanci za uplynul (16.) ron k tto rubriky, kter je zrove estm ron kem dal ho cyklu dlouhodob soute. Redakce obdrela celkem 94 plnch nebo stench e en od 41 jednotlivc (alespo jednu vye enou lohu druhho cyklu pitom zaslalo 120 e itel ). Za kadou pln vye enou lohu e itel obdrel 6 bod , za sten vye enou 3 body k-nsobnm lauretem tto rubriky se stane e itel, kter z sk od 11. ron ku alespo k-nsobek sla 93 (rubrika byla zaloena v roce 1993). Poad e itel po estm ron ku druhho cyklu dlouhodob soute: 1. Anton Hn th z Moravan (258 b.), 2. Vladimr Pavel z Blovic (159 b.), 2. Miroslav Hbsch z Prahy 5 (156 b.), 4. Karol Gajdo z Trnavy (138 b.), 5. Jozef Msz ros z Jelky (126 b.). Pavel Cal bek

274


1. se hry astn v ce ne dva hr i,. pou v me jin losovac n stroj ne je symetrick mince. Graf na obr. 1a p edstavuje hrac pl tno ke h e popsan v loze 1

Recommend Documents