MODELY A MODELOVÁNÍ
1.
MODELY A MODELOVÁNÍ as ke studiu: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete um t: •
charakterizovat model jako nástroj pro zobrazení skute nosti
•
popsat proces modelování
•
provést klasifikaci základních model
•
vysv tlit pojem matematický model
•
vysv tlit pojmy: stochastický a deterministický model
•
popsat r zné p ístupy k modelování, jako dedukce, indukce a retrodukce
Výklad 1.1.
Model
Pojem model se vyskytuje v odborné literatu e velmi asto. Teorie model a modelování nabyla v souvislosti s rozvojem kybernetiky zna ného metodologického významu a modely nacházejí uplatn ní v nejr zn jších oborech. Termín model m že být chápán r zn a modely mohou sloužit odlišným cíl m. Problematika modelování zahrnuje velké množství r znorodých otázek, takže jsme nuceni omezit se jen na ty, které p ímo nebo nep ímo aspo áste n souvisí s použitím statistických metod. R zné názory na obecnou podstatu model , na jejich obsah, klasifikaci a p edevším funkci netvo í ani zdaleka ucelenou teorii s p esn vymezenou a jednotnou terminologií. Konstrukce modelu a pravidla této konstrukce jsou vázána na ešení konkrétních úloh teoretického i praktického rázu, a je proto z ejmé, že p i posuzování metodologických otázek je t eba k této skute nosti p ihlédnout. P i sledování jev a proces reálného sv ta si uv domujeme, že je v naprosté v tšin p ípad nejsme schopni zcela vysv tlit. Jen velmi obtížn postihujeme zákonitosti jejich vzniku a ješt h e pronikáme do jejich vazeb a souvislostí. Modelování je tv r í lidská innost spo ívající v idealizaci a zjednodušení d j reálného sv ta. V tšina autor se shoduje v tom, že model musíme chápat jako ur itou formu zobrazení skute nosti. Rozdíly jsou pouze v tom, jaká je modelována skute nost, jaké jsou modelovací prost edky a k jakému ú elu model slouží. Slovo model má sv j p vod ve stavitelství, kde ozna uje míru, podle níž jsou vyjád eny proporce stavby. Pozd ji dostal pojem model zásadn nový význam. P ipouští se, že teorie nemusí být jen zobrazením skute nosti její objektivní podob , ale že m že jít o její ur itou idealizaci. asté jsou p ípady, kdy je výhodn jší operovat s modelem místo se skute ností z toho d vodu, že asto ovládáme lépe pravidla modelovací techniky než pravidla nezachytitelné nebo p ímo nepozorovatelné skute nosti.
5
MODELY A MODELOVÁNÍ
Gnozeologická podstata modelování vyplývá ze zákon p írody a z historicky vzniklé schopnosti abstrahovat shodné vlastnosti r zných objekt . Díky souvislostem, které mezi objekty existují, m žeme nep ímo sledovat n které objekty prost ednictvím jiných objekt . P es mnohozna nost pojmu model jej m žeme charakterizovat jako zjednodušenou formu zobrazení podstatných rys zkoumaného úseku reality. Model je sestaven podle ur itých pravidel, která dovolují napodobovat chování a vlastnosti zobrazované reality. Model je nejen prost edkem získávání poznatk , ale pomocí modelu je také možno rozvinout teorii ur ité oblasti. Studium modelu umož uje vyvodit n které poznatky o zobrazované skute nosti jen v p ípad , pokud mezi skute ností a modelem existuje obdoba, která je pro poznávání skute nosti nezbytná. innost zam enou ke konstrukci modelu nazveme modelováním. Modelováním m žeme dojít k matematické teorii, která umož uje vysv tlovat a objevovat souvislosti a áste n je i zobec ovat. Tento popis však nem že opravovat nebo dokonce odstra ovat chyby zp sobené nedokonalostí modelu samotného.
1.2.
Jedna z možných klasifikací modelu
Samotné slovo model je tedy velmi mnohozna né. N kte í auto i si dali práci a uvedli seznamy n kolika desítek výklad významu pojmu model. Úplná definice modelu se dnes asi neobejde bez aparátu teorie množin a matematické logiky. Odlišné p ístupy p itom najdeme v p írodních a technických v dách, logice a spole enských v dách, jiné pojetí v kybernetice a jiných disciplínách. Východiskem p i t íd ní model m že být modelovaná skute nost a prost edky modelování, jakož i charakter cíl , kterým konstrukce modelu slouží. Velmi jednoduché je rozlišení materiálních model od myšlenkových model . Zatímco materiální modely zobrazují reáln existující objekty, modely druhé skupiny mají charakter spíše teoretický a existují jen v našem v domí. Myšlenkové modely je možné dále t ídit na p edstavové modely, vytvá ené hypotetickou konstrukcí nebo idealizací skute nosti podle p edstav, a na symbolické modely, jejichž prvky jsou vytvá ené symboly nebo znaky. Modely této skupiny mají velmi blízko k model m, u kterých mají rozhodující význam logické a matematické vlastnosti, a nazývají se modely logické i formální nebo také matematické.
1.3.
Matematické modely
Rovn ž pojem matematický model lze chápat ve více významech. V tšinou se matematickým modelem rozumí n jaká formalizovaná teorie, n kdy i její matematické zobrazení, ale asto se také (nep íliš š astn ) matematickým modelem ozna uje jakýkoli kvantifikovaný popis n kterých stránek skute nosti. Úsp ch matematického modelování závisí mimo jiné na našich schopnostech formalizovat teoretické i praktické poznatky o zkoumaném úseku reality. Jde o nalezení takového matematického aparátu, který odpovídá modelované skute nosti a p itom respektuje ú el, ke kterému byl model konstruován. Matematický model musí (stejn jako každý jiný model) objektivním zp sobem znázor ovat jevy a procesy reálného sv ta. Matematický model vyjad uje zákonitosti jev a proces , a to jak v oblasti v deckého poznávání, tak v oblasti praktické lidské innosti. Je zajímavé, že i když matematické modely neobsahují žádné vztahy, které do nich nebyly vloženy, p esto poskytují poznání, které do nich nebylo v dom dáno. Matematické modely mohou pomoci 6
MODELY A MODELOVÁNÍ
k poznání tím, že nazna í nebo dokonce umožní dokázat obecné výsledky, které byly obsaženy v souborech pozorování, ale nebyly z t chto soubor z ejmé. Mohou dávat podn t a inspiraci k budoucímu bádání. Matematický model m žeme zjednodušen definovat jako ur itou formu zobrazení n kterých aspekt jev a proces reálného sv ta matematickými prost edky. Takovým prost edkem m že být t eba soustava rovnic obsahující prom nné (veli iny) a konstanty (parametry).
1.4.
N které typy matematických model
Matematické modely lze t ídit z r zných hledisek. Za hlavní lze považovat odlišení deterministických model od stochastických model . Deterministické modely mají povahu zákonitostí, jež p i dodržení ur itých p edpoklad a podmínek vždy platí, neboli vyhovují každé konkrétní empirické situaci. Pro deterministické modely je charakteristické, že postavení všech veli in v modelu je nesporné a konkrétní hodnoty p edstavují adu pevn daných ísel. U deterministického modelu je známa nejen jeho struktura, která m že být popsána t eba algebraickou nebo diferenciální rovnicí, ale nesporné jsou i hodnoty parametr . Pro odlišení deterministických a stochastických vztah není zatím podstatné, zda jsme k matematickému modelu došli logickým d kazem, kdy záv ry vyplývají p ímo z p edpoklad , i zobecn ním provedeným na základ empirických zkušeností. Uvažujme Newton v pohybový zákon: dráha y, kterou p edm t na Zemi urazí za dobu t, je p i ur itých zjednodušeních dána rovnicí
y = vt −
at 2 2
V této rovnici konstanty v, a p edstavují po áte ní rychlost a tíhové zrychlení. K této rovnici je možné dojít vhodnou úpravou diferenciální rovnice modelující pohyb t lesa na Zemi anebo zobecn ním ur itých pozorování, tedy induktivním (datov orientovaným) zp sobem. Zatímco p i deduktivní úvaze p edpokládáme p esnou znalost hodnot v, a, vylu ujeme vliv odporu vzduchu a provádíme n která další zjednodušení, p i induktivní úvaze respektujeme chyby m ení prom nných y,t (tyto prom nné se stávají náhodnými prom nnými Y,T) a do analýzy tím zahrnujeme i vliv n kterých dalších initel zp sobujících, že platnost rovnice je pouze p ibližná. Do rovnice vstoupil prvek nejistoty (náhody) a hovo íme o modelu stochastickém: at 2 Y = vT − 2 Na rozdíl od deterministického modelu vyhovuje stochastický model konkrétním situacím jen p ibližn a s ur itou pravd podobností. Stochastické modely bývají též ozna ovány jako pravd podobnostní a práv s nimi se v tomto textu budeme výhradn setkávat. V b žných úlohách r zných v dních obor existuje mnoho d vod , pro získaná pozorování i m ení mají charakter spíše náhodný než deterministický. Pro stochastické modely je charakteristické, že dovolují pom rn p esnou matematickou manipulaci se vztahy mezi veli inami, i když ve skute nosti platí tyto vztahy pouze p ibližn .
7
MODELY A MODELOVÁNÍ
Pro naše pot eby m žeme p ijmout pracovní definici stochastického modelu jako rovnice nebo soustavy rovnic obsahující náhodné veli iny, nenáhodné veli iny a parametry. Náhodné veli iny jsou prom nné, jejichž hodnoty p edem neznáme, jsou dány provedením pokusu nebo pozorováním. Nenáhodné veli iny (n kdy též ozna ované jako pevné nebo fixní veli iny) jsou prom nné, jejichž hodnoty ur ujeme. Parametry jsou známé nebo ast ji neznámé konstanty. Potíže související s konstrukcí stochastického modelu vyplývají z nejistoty, která se týká i n kterých zcela základních otázek. Na prvním míst je t eba uvést nejistotu týkající se odlišení podstatných a nepodstatných veli in. Výb r prom nných, které by model m l obsahovat, je velmi složitý v cný i empirický problém. Nejistotou poci ujeme i kolem samotné matematické formy modelu. Informace teoretického rázu nemusí být dostate né pro výb r konkrétní formy modelu. Nejistota se týká i oprávn nosti u in ných p edpoklad , p esnosti m ení (zjiš ování), vhodnosti metody použité k odhadu parametr atd. Matematické modelování je nep etržitý proces srovnávání našich znalostí, p edpoklad a úvah s výsledky zjiš ování a s užite ností modelu z hlediska cíl , ke kterým byl sestaven. Modely ur ené ke zkoumání vztah mezi veli inami se obvykle d lí na modely funk ní, modely pro ú ely ízení a modely predik ní. Není t eba zd raz ovat, že pokud známe skute ný funk ní vztah mezi veli inami, jsme p ímo v ideální situaci. M žeme ídit, pop . kontrolovat i p edpovídat hodnoty veli in, které jsou p edm tem našeho zájmu. P ípady, kdy máme podobné modely k dispozici, jsou (odmyslíme-li si defini ní vztahy) zcela výjime né, p i emž funk ní vztahy bývají v tšinou nelineární a obtížn interpretovatelné. Znalost funk ního p edpisu vyjad ujícího vztahy mezi veli inami nemusí ješt umož ovat ízení i kontrolu všech zú astn ných veli in. Užite ný model ízení m že být n kdy sestrojen jen tehdy, pokud jsou veli iny v úloze p í in zcela pod naší kontrolou a jsme schopni vypracovat podrobný a p esný plán experimentu. Pokud nejsme z nejr zn jších d vod schopni funk ní model sestrojit a plánovaný experiment nep ichází v úvahu, spokojujeme se v tšinou s modelem, který není v plné mí e realistickým zobrazením skute nosti a je pouze zjednodušujícím p iblížením k hlavním rys m chování a vztahu veli in. Modely této skupiny se n kdy ozna ují jako predik ní. D vodem k tomuto ozna ení je z ejm skute nost, že práv úlohy související s p edpov dí hodnot n kterých veli in na základ znalosti hodnot jiných veli in, se asto eší pomocí model , které jsou pouze zjednodušenou abstrakcí skute nosti. Predik ní modely jsou asto užite né a za ur itých podmínek mohou nazna it vnit ní podstatu sledovaných jev a proces . Tyto modely bývají konstruovány p edevším metodami regresní analýzy, což vyžaduje velkou obez etnost v i p edpoklad m a respekt k vypovídající schopnosti t chto metod. Zjednodušující abstrakce je velmi asto spojená s otázkou linearity, pop . se stupn m nelinearity modelu. Zkušenosti z r zných v dních obor ukazují, že v tšina systém i proces má nelineární charakter, což zna n zt žuje modelovací p ístup. áste ným východiskem m že být linearizující zjednodušení. Matematicky je možné problém linearizace ešit rozvojem nelineární funkce do Taylorovy ady se zanedbáním len vyššího než prvního ádu. Jinou možností linearizace je zjednodušení, p i kterém zanedbáme p sobení n kterých veli in a chování ostatních veli in do ur ité míry idealizujeme. Na jedné stran je tento p ístup nebezpe ný v tom smyslu, že lineární funkce bude p íliš hrubým zobrazením skute nosti, ale na druhé stran linearizace zjednodušuje interpretaci výsledk a zpracování dat.
8
MODELY A MODELOVÁNÍ
Stochastické modely (a samoz ejm nejen ty) je možné dále t ídit podle ady jiných hledisek. Nap íklad podle závislosti na ase rozlišujeme modely statické a dynamické, podle veli in v modelu na spojité a nespojité (diskrétní), atd.
1.5.
P ístupy k modelování
Podle K. Pearsona (1938) jednota ur ité v dní disciplíny spo ívá v samotných metodách této disciplíny a nikoli v oblasti, kde jsou tyto metody používány. Znamená to, že i když je t eba respektovat specifika r zných v dních obor , tak n které typy úsudk používané v jedné oblasti zkoumání svou podstatou nejsou zásadn odlišné od podobn utvo ených úsudk v jiných oblastech. Aristoteles uvádí t i typy v deckých úsudk , deduktivní, induktivní a retroduktivní. P i deduktivní úvaze se postupuje od obecného k zvláštnímu a dedukcí se rozumí typ úsudk nebo metoda zkoumání, p i níž podle ur itých pravidel záv ry jednozna n vyplývají z p edpoklad . Typickým p íkladem je matematický d kaz nebo úsudek o realit p i znalosti modelu této reality, p i emž pravdivost výchozích tvrzení ur uje i p esnost i pravdivost výsledk . V tomto smyslu paradoxn teorie matematické ( íká se též induktivní) statistiky vyplývá z p evážn deduktivních úvah, zatímco úvahy o cílové populaci na základ získaných výb rových údaj lze ozna it za induktivní úlohu. P i induktivní úvaze se postupuje ve srovnání s deduktivní úlohou obrácen , tedy od konkrétního k obecnému, od reality k modelu anebo od výb rových dat ke skute ným nebo hypotetickým populacím. Pro statickou indukci je charakteristické, že obecný záv r se vyvozuje na základ konkrétních pozorování. Základním p edpokladem v deckého pokroku je neustálé hromad ní poznatk získaných ze zkušeností. Podle cíle úlohy je znalost získaná tímto zp sobem bohužel asto jen popisem napozorovaných skute ností, jindy navíc odborným i datov orientovaným vysv tlením r zných okolností a zvláštností a jen n kdy se výzkumník i zadavatel úlohy snaží ovládnout realitu poznáním a využitím vztah , závislostí a souvislostí k prediktivním i zobec ujícím úvahám. Nejsporn jší je retroduktivní forma úsudku, p i které na základ zkušeností pouze vyvozujeme možnost výskytu ur itého jevu nebo p edpokládáme pr b h ur itého procesu a hledáme teoretické zd vodn ní nepozorovatelných skute ností. Tato oblast v souvislosti i s využíváním subjektivn pojímaných pravd podobností bývá n kdy v odsuzujícím významu ozna ovaná až za metastatistiku. Úvahy tohoto typu jsou však nesporn pot ebné a statistika v této oblasti zaznamenala nejen zásadní teoretický rozvoj, ale i mnoho užite ných využití. P i konstrukci matematických model se setkáváme s r znými p ístupy. P ístup vycházející z v cných znalostí problematiky je velmi blízký deduktivní úvaze, p i které p edpokládáme že odpovídající modely jsou ur itelné na základ obecných princip dané úlohy i p íslušného v dního oboru. V poslední dob se p i modelování stále ast ji doporu uje kybernetický p ístup, p i kterém je modelovaný systém pojímán jako známá i zcela fiktivní sk í ka transformující ur ité vstupy (p í iny) na výstupy (d sledky). V publikaci Statistical Science 3/2001 byla popsána zajímavá debata o len ní statistik podle postoje k pot eb znalosti mechanismu této sk í ky. Nejednozna nost takové transformace je zp sobena neuvažovanými veli inami a p edpokladem o náhodných složkách (poruchách) umož ujícím využít pravd podobnostní 9
MODELY A MODELOVÁNÍ
principy. Pokud teorie zkoumaného úseku reality není dostate n propracovaná a existují pouze hypotézy o chování jednotlivých veli in, používá se empirický p ístup, který má zna n subjektivní charakter a závisí na odborných znalostech i na intuici zpracovatele. P i empirickém modelování mají vytvo ené modely asto vztah pouze ke konkrétnímu souboru pozorování a zobecn ní mimo obor hodnot vyskytujících se v souboru je problematické.
Shrnutí pojm kapitoly 1. Pojem model je velmi obecný a mnohozna ný. P es mnohozna nost pojmu model jej m žeme charakterizovat jako zjednodušenou formu zobrazení zkoumaného úseku reality. Model je sestaven podle ur itých pravidel, která dovolují napodobovat chování a vlastnosti zobrazované reality. Model je nejen prost edkem získávání poznatk , ale pomocí modelu je také možno rozvinout teorii ur ité oblasti. Konstrukce modelu a pravidla této konstrukce jsou v tšinou vázána na ešení konkrétních úloh teoretického i praktického rázu. innost zam enou ke konstrukci modelu nazveme modelováním. Modelování je tv r í lidská innost spo ívající v idealizaci a zjednodušení d j reálného sv ta.
Matematickým modelem se v tšinou rozumí n jaká formalizovaná teorie, n kdy i její matematické zobrazení, ale asto se jím také ozna uje jakýkoli kvantifikovaný popis n kterých stránek skute nosti. Matematický model musí objektivním zp sobem znázor ovat jevy a procesy reálného sv ta. Matematický model vyjad uje zákonitosti jev a proces , a to jak v oblasti v deckého poznávání, tak v oblasti praktické lidské innosti. Matematický model lze zjednodušen definovat jako ur itou formu zobrazení n kterých aspekt jev a proces reálného sv ta matematickými prost edky. Takovým prost edkem m že být t eba soustava rovnic obsahující prom nné (veli iny) a konstanty (parametry). Matematické modely lze t ídit z r zných hledisek. Za hlavní lze považovat odlišení deterministických model od stochastických model . Deterministické modely mají povahu zákonitostí, jež p i dodržení ur itých p edpoklad a podmínek vždy platí, neboli vyhovují každé konkrétní empirické situaci. Na rozdíl od deterministického modelu vyhovuje stochastický model konkrétním situacím jen p ibližn a s ur itou pravd podobností. Stochastické modely bývají též ozna ovány jako pravd podobnostní. Pro n je charakteristické, že dovolují pom rn p esnou matematickou manipulaci se vztahy mezi veli inami, i když ve skute nosti platí tyto vztahy pouze p ibližn . Je pro n charakteristická nejistota, kterou poci ujeme i kolem samotné matematické formy modelu. Zjednodušen lze p ijmout definici stochastického modelu jako rovnice nebo soustavy rovnic obsahující náhodné veli iny, nenáhodné veli iny (fixní, pevné) a parametry (konstanty). Nejjednodušší stochastické modely jsou lineární. Pro reálné složit jší nelineární modely se používá linearizující zjednodušení. P i konstrukci matematických model se setkáváme s r znými p ístupy. P ístup vycházející z v cných znalostí problematiky je velmi blízký deduktivní úvaze, p i které p edpokládáme že odpovídající modely jsou ur itelné na základ obecných princip dané úlohy i p íslušného v dního oboru. P i induktivní úvaze se postupuje ve srovnání s deduktivní úlohou obrácen , tedy od konkrétního k obecnému, od reality k modelu anebo od výb rových dat ke skute ným nebo hypotetickým populacím. Pro statickou indukci je charakteristické, že obecný záv r se vyvozuje na základ konkrétních pozorování. V poslední dob se p i
10
MODELY A MODELOVÁNÍ
modelování stále ast ji doporu uje kybernetický p ístup, p i kterém je modelovaný systém pojímán jako známá i zcela fiktivní sk í ka transformující ur ité vstupy (p í iny) na výstupy (d sledky).
Otázky 1. 1. Charakterizujte pojmy model a modelování. 2.
ím se odlišuje stochastický model od deterministického ?
3. Na em jsou založeny logické procedury?
11
