1. Matematika-módszertani kiadvány KEDVES OLVASÓ! TARTALOM:

I. évfolyam 2009/1. Matematika-módszertani kiadvány KEDVES OLVASÓ!

TARTALOM: MIKOR? MIT? HOGYAN?

2

Válogatás a matematikatanítás aktuális kérdéseiből Pénzügyi alapismeretek

JÓ GYAKORLATOK

3

Óravázlatok pedagógusoktól, akik már bevezették a kompetencia alapú oktatást A tört fogalmának elmélyítése

NEM SZAKRENDSZERŰ OKTATÁS

6

Projekttémák, leírások Matematikatörténet a tananyagban

INTERAKTÍV MATEMATIKA

8

Ötletek az interaktív tananyagok tanórai felhasználásához A problémamegoldás tanulható

Örömmel köszöntjük Önt matematika-módszertani lapunk első számával. A mai matematikaoktatás részeseként – akár pedagógusként, tananyagfejlesztőként vagy szakértőként, de még gondos szülőként is – mindnyájan érezzük, hogy milyen sok nehézséggel kell szembesülnünk még egy olyan egzakt tudomány tanításatanulása során is, mint a matematika. Ebben a helyzetben mi, pedagógusok is elbizonytalanodhatunk, hogy mit, mennyit és hogyan, milyen eszközök segítségével tanítsunk annak érdekében, hogy tanítványaink kellő motivációval és az alapkompetenciák megfelelő fejlettségével hagyják el az általános iskolát. Bizonyos tudáselemek kikerülnek, újak lépnek a helyükbe; komoly fejtörést okoz, mely ismeretek megtanítását hagyhatjuk el úgy, hogy ezzel a későbbi ismeretek beépülését ne akadályozzuk. Felmerül az a kérdés is, milyen mértékben és hogyan alkalmazzuk óráinkon az új, interaktív információhordozókat. Kétségeinket látván tanítványaink is bizonytalanokká válhatnak – ha nem tudjuk kellőképpen motiválni őket, nem értik, hogy mit, miért és hogyan kell tanulniuk. Bizonytalanok a szülők, ha úgy látják, az oktatás, az iskolai tananyag, a tanári elvárások nincsenek összhangban a gyorsan változó társadalmi elvárásokkal. Felelősségteljes, átgondolt döntést kell a tananyagfejlesztőknek is hozniuk, amikor a tanulók életkori sajátosságaihoz, a társadalmi igényekhez, a lecsökkentett óraszámokhoz legjobban illeszkedő tananyagot szeretnék kiválasztani.

AJÁNLÓ

11

Feladatok és kiadványok a kompetenciák fejlesztéséhez

KÉRDEZZE MEG!

12

Ön kérdez, a szerző válaszol

Még számtalan ilyen és ehhez hasonló probléma merülhet fel a matematikaoktatás kapcsán. Nem ígérhetjük, hogy lapunk hasábjain mindenre választ tudunk adni, de célunk, hogy segítsük az általános iskolában matematikát tanító kollégák munkáját módszertani ötletek, követendő tanítási gyakorlatok bemutatásával. Szándékunk a legégetőbb, a legtöbb gondot jelentő problémákkal foglalkozni, és interaktívvá tenni ezt a lapot: kérjük, a szerzőkhöz írt kérdésekkel, megvalósítható példák bemutatásával, óravázlatok közzétételével segítsük egymás munkáját. A megújuló www.hajdumatek.hu weboldalon szintén olvashatnak a felvetett témákról, és ott is várjuk észrevételeiket, kérdéseiket, leveleiket.

[email protected] www.hajdumatek.hu

Tüskés Gabriella szerkesztő

Mikor? Mit? Hogyan?

PÉNZÜGYI ALAPISMERETEK „Pénzügyi alapismeretek kötelező oktatásának bevezetése a közoktatásban” címmel országgyűlési határozati javaslatot nyújtot tak be ez év februárjában. Az előterjesztést az Oktatási és Kulturális Minisztérium honlapján tették közzé, és itt várták a széles közvélemény javaslatait is a kormányzati állásfoglalás kialakításához. (http://www.okm.gov.hu) A pénzügyi alapismeretek kötelező oktatásának szükségességét a következőkkel indokolja az előterjesztés. „A lakossági hitelállomány megnövekedése mögött olyan döntések állhatnak, melyek a nem megfelelő pénzügyi ismeretekből eredően, a hitelfelvétel kapcsán jelentkező kockázatokat ténylegesen nem figyelembe véve születtek… Megfelelő oktatási alapok nélkül nem lehet felelős pénzügyi viselkedést kialakítani.” A Nemzeti alaptanterv 2007 óta tartalmazza a kezdeményezőképesség és a vállalkozói kompetencia fejlesztését, valamint a gazdasági és pénzügyi ismereteket. Az azóta kiadott OKM kerettantervekben számos évfolyamon és több tantárgy keretei között is megnövekedett a gazdálkodási és a fogyasztóvédelmi tartalom. A közoktatás rendszerében folytatott tanulmányok ideje alatt már évtizedek óta kötelező tananyag a matematika tantárgyon belül a százalékszámítás, a kamat, illetve a kamatoskamat-számítás, mint a pénzügyi ismeretek alapja. Mindezek ellenére, mint ahogy az előterjesztésből is kiderült, ez nem megfelelő hatékonysággal történik, továbbá az eddigieket más tartalmakkal is szükségszerű lesz kiegészíteni. Ahhoz, hogy a tantárgy akár önállóan, akár integrálva megjelenhessen a középiskolákban, a jelen előterjesztésben javasolt pénzügyi ismeretekkel való foglalkozás megalapozásához már az általános iskola alapozó és fejlesztő szakaszában (felső tagozat) hozzá kell kezdeni. A szociális és állampolgári kompetenciák fejlesztésének ilyen irányú megközelítését az osztályfőnöki, a technika és életvitel (azon belül is vagy azon túlmenően a háztartástan), valamint a matematika tantárgyak óraszámának „visszanövelésével” szükséges biztosítani, a megfelelő tantervi elemek beemelésének lehetőségével. Többek szerint az ilyen taneszközök és pedagógusórák kötelező módon finanszírozott költségének egy részét külső forrásokból kellene előteremteni. Ezt a pénzintézetek, illetve tőzsdei cégek állhatnák a „környezetvédelmi termékdíjhoz” hasonló módon, egy-egy adott pénzügyi szolgáltatás, befektetés, avagy hitel kockázatosságának függvényében (talán a mostani helyzetben ez nem reális lehetőség). Az előbb említett célokhoz az általános iskolai matematikatananyag átstrukturálására is szükség van.

Néhány példa közös végigondolásra: A törtek → tizedestörtek deduktív felépítése helyett (ahol tizedestörteket elsősorban a törtekről tanultakból vezetjük le az 5. év végén), az tizedestört-fogalom induktív bevezetésére van szükség. Lehetőleg a bevezető szakaszban (amikor a számkörbővítéssel párhuzamosan vezetjük be a tizedestörteket), a 4. osztályos, de legkésőbb az 5. osztályban a közvetlen év eleji tananyagban. Erre már csak az euró előbb-utóbb megtörténő bevezetése miatt is szükség lesz. Mindez először az egyszerűbb, az euró–cent váltással bevezethető korlátozott (két tizedesjegyű), véges tizedestörtek megismerésén és alkalmazásán alapuló számkörbővítéssel történhet, amely csupán a helyiértékrendszer részleges kiterjesztésével jár, és alaposabban elmélyíthető vele az írásbeli műveletvégzés algoritmusainak értő használata is. Így a felső tagozatban már teljes joggal és végig kötelező lehetne a számológépek használata is. Mivel a 6. osztályból eltűnt a fizika, 7. osztálytól csökkent a fizika és kémia óraszáma, így a százalékszámítás súlyát, a ráfordítandó időkeretet csak a matematika (és technika) órákon növelhetjük, vagy ha korábban, már az 5. osztály második felében bevezetjük legalább a százalékérték kiszámítását. (Tanulóink többsége már most is képes 4. osztály végére a tanulmányi átlagát kerekített tizedestörtben kiszámítani, 5. osztályban már dolgozatainak értékelését százalékosan kifejezni, pedig nem iskolai tananyag.) 6. osztályban már be kell vezetni az ismerkedés, fogalomalkotás szintjén a hatványozást, illetve visszahelyezni ide, hogy a későbbiekben a kamatos kamat legegyszerűbb eseteitől tovább léphessünk. (Az elmúlt időszakban a statisztika és valószínűség-számítás szerencsére nagyobb hangsúlyt kapott a NAT-ban, így a 12. osztályra a kockázatok elemzése is szerepelhet.) A kamatszámítás témája miatt a sorozatok témakörének szintén nagyobb teret kell szentelni hetedikben; továbbá nyolcadikra számtani és mértani sorösszegek legegyszerűbb példáin át ismét vissza kell térni az ilyen képletek ismeretéhez és alkalmazásához. Egyetértünk azzal, hogy nem szabad a gyerekeket az életkoruknak nem megfelelő ismeretekkel terhelni, valamint a fölösleges lexikális tudást is mérsékelni kell, de ezek a tananyagtartalmak maguk után vonják a kooperatív munkaformákat, célszerűsítik a projekt alkalmazását, ezáltal és a tartalom motiváló ereje révén reálisan elsajátíttathatók. Ezekre az alapokra támaszkodva a középiskola cizelláltabban, s nemcsak elrettentés céljából oktathat pénzügyi alapismereteket. A cél hatékony, döntésre képes leendő vállalkozói réteg „kitermelése”, s az érettségi megszerzésével olyan állampolgárok érlelése, akik a gazdaság egyéni és társadalmi céljait együttesen képesek szem előtt tartani.

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS


2

Szerkesztő: Tüskés Gabriella ISSN: 2060-775X Azonosító szám: MK–4443-2 Kiadja a Mu ˝szaki Könyvkiadó Kft. Felelős kiadó: Orgován Katalin igazgató Szerkesztőségvezető: Hedvig Olga Mu ˝szaki szerkesztő: Raja Gabriella Kiadványterv, tördelés: H-moll Grafika Nyomta és kötötte: Pátria Nyomda Zrt. Felelős vezető: Fodor István vezérigazgató

A felvetéssel kapcsolatban várjuk észrevételeiket a [email protected] e-mail címen!

Jó gyakorlatok

A TÖRT FOGALMÁNAK ELMÉLYÍTÉSE

A törtszám fogalmának kialakítása már 3. osztályban elkezdődik. 4. osztályban elmélyítjük a tört fogalmát, megtanuljuk az egyszerű egységtörtek és többszöröseik megnevezését, megjelenítését, a törtek jelölését. Tapasztalati alapon végezzük a törtek összehasonlítását, az egyenlő törtek felismerését, az egyenlőség értelmezését, magyarázatát, mennyiségek mérését egységtörtekkel. Az alsó

tagozatban a fogalmak előkészítésén, a szemléleti alapozáson van a hangsúly, nem a megtanítás, hanem a tapasztalatgyűjtés igényével. A törtek átalakításának (bővítésének, egyszerűsítésének) megtanulása, a törtekkel végzett műveletek értelmezése és begyakorlása a felső tagozat feladata. 4. osztályban újra és újra el kell végezni azokat a tevékenységeket, amelyeket 3. osztályban végeztünk.

Tantárgy:

Matematika – általános iskola 4. osztály

Témakör:

Törtek (1. óra)

Téma:

Tört jelölése, elnevezések

Az óra típusa:

Gyakorló és új ismeretet feldolgozó óra

Az óra célja:

A törtekről korábban tanultak felidézése, a tört értelmezésének tudatosítása. A tört jelölése és az elnevezések. Mennyiségek egyenlő részekre osztásával hozunk létre egységtörteket, majd azok többszöröseit. Darabolásokkal, kirakásokkal, színezésekkel állítunk elő törteket, az előállított törteket hasonlítjuk össze.

Fejlesztési célok:

Számolási készség, a számfogalom fejlesztése. Megfigyelőképesség fejlesztése, a szorzó- és bennfoglalótáblák gyakorlása, illetve elmélyítése játékos feladatokkal, relációk, összefüggések keresésével, a logikai gondolkodás fejlesztése. Megfigyelőképesség, problémafelismerés, ok-okozati összefüggés meglátása, rendszerező képesség, arányossági következtetés fejlesztése.

Kapcsolódás más műveltségterületekkel:

NAT szerint: Anyanyelvi nevelés; Életvitel és gyakorlati ismeretek; Vizuális nevelés; Környezeti nevelés; Énkép, önismeret; Tanulás.

Kapcsolódás más kompetenciaterületekkel:

Szövegértés, szövegalkotás; Szociális kompetencia; IKT kompetenciák.

Eszközök:

Matematika 4. Hajdu-tankönyvcsalád Matematika 4. e-tananyag MIMIO interaktív tábla

Tevékenységi formák:

Frontális, csoport, egyéni

Az óra menete

Módszerek, tevékenységi formák, eszközök

Tartalom

Mesehallgatás – frontális

1. Motiváció Meserészlet felolvasása, ráhangolás.

A két medvebocs és a róka c. mese

Kérdések – Melyik meséből olvastam részletet? – A mesék melyik fajtájához tartozik? – Ugyanannyi sajtot kapott mindkét medvebocs? Feladat A mese eljátszása. Két tanuló a medvebocsokat, egy pedig a rókát alakítja. A „róka” egy kerek rajzlapot oszt szét társai között.

Ellenőrzés

Csoportmunka (heterogén) Eszköz Csoportonként egy kerek rajzlap Ha akad olyan tanuló, aki félbehajtja előtte a körlapot és annak mentén tépi ketté, akkor lehetőség nyílik a különböző megoldások ütköztetésére. Frontális

A kérdések alapján a csoportok beszámolnak, hogy igazságosan osztotta-e el a társuk, illetve a róka a sajtot. Kérdések – Indokold meg, miért volt igazságos vagy igazságtalan a felosztás! – Hogyan lehet igazságossá tenni a felosztást?


Nagy Antalné

3

Jó gyakorlatok

2. Ismétlés

Frontális

Felidézzük és tudatosítjuk a törtekről korábban tanultakat. – Melyik mesére gondoltam? A szereplők tulajdonságai alapján a mese címének kitalálása (Hófehérke és a hét törpe). Tk. 101/2. kidolgozott mintapélda alapján az egyenlő részekre osztás tudatosítása. Kérdés: Igaza volt-e Tudornak?

Feladat Adott területű téglalap lefedése színes rudakkal. A megoldások táblázatba rendezése. – Osszuk fel a színes rudak felhasználásával a tepsi süteményt. – A lefedés eredményeit rendezzük táblázatba.

Csoportmunka Eszköz: Csoportonként mindenből 1 db – 10 x 7 cm oldalú téglalap alakú fehér lap – színesrúd-készlet – táblázat

Kérdések – Hogyan fedjük le a téglalapot, ha azt szeretnénk, hogy minden törpe ugyanakkora darab sütit kapjon? – Mely rudakkal érdemes próbálkozni? – Minden kirakás lehetővé tette a törpék közti igazságos szétosztást? – Igaza volt-e Tudornak? A kérdés megválaszolásával a tört értelmezésének megadása.

3. Elnevezések tudatosítása – új anyag feldolgozása

Frontális


Eszköz: Az előző feladathoz kapott táblázat Táblakép: A tankönyvi magyarázó szöveget egészítettem ki a lefedés eredményét rögzítő táblázattal. A csoportok a táblázat két oszlopát töltötték ki önállóan. A csoportok beszámolói alapján kitöltjük a táblán lévő táblázatot. Ennek alapján közösen alkotjuk meg a törteket, és egészítjük ki vele a táblázatot. Minden egyes tört esetén használjuk az újonnan tanult elnevezéseket. A feladat segít megérteni a számláló és a nevező fogalmainak jelentését.

4

4. Megadott törtrész jelölése

Önálló munka

Törtrész kiszámításának gyakoroltatása csoportosítással, rajzzal.

Eszköz: Tankönyv 106. old. 14. feladat füzet

A feladat ellenőrzése a tankönyvhöz kapcsolódó CD segítségével az interaktív táblánál gyorsan megvalósítható. Kiegészítettem plusz halmazokkal a tankönyvi ábrát. A megoldott feladat képét rögzítem, és újra elővesszük, amikor az egyenlő törtrészek több alakban való felírásával fogunk foglalkozni.

Frontális munka

1 2 Táblázatba rendezzük a megoldásokat: pl. ⎯ = ⎯ 18 36 Ez további lehetőséget ad a számláló és a nevező fogalmának pontosítására, elmélyítésére.

Jó gyakorlatok

5. Differenciált gyakorlás játékosan az interaktív táblán

Csapatjáték

Mindkét feladatot csapatokban játsszuk az interaktív táblánál.

A csapatok választhatnak, hogy melyik játékba kívánnak benevezni, minden csapat csak egy megmérettetésre jogosult.

Az I. játék esetében a különböző síkidomokon jelölt törtrészt és a mennyiséget kifejező törtalakú számot kell párosítani. Cél: minél kevesebb hibával megtalálni a párokat. A játék azonnal értékeli a megoldást.

A II. játék segítségével az egyenlő részekre osztás, az egységtörtek előállítása gyakoroltatható tevékenykedtetéssel. A megoldásokat a gép ebben az esetben is azonnal értékeli. Cél: minél hamarabb az adott törtrész meg jelölése kattintással.

www.matek.ide.sk

Matematika 4. (Hajdu-sorozat) e-tananyag

6. Értékelés a kialakított szokások szerint 7. Differenciált házi feladat a tankönyvből – Lassabban haladóknak különböző sokszögek színezett törtészeinek meghatározása Tk. 104. old. 11. – Átlagos ütemben haladóknak Tk. 104/13. feladat: itt kis kockákból a testeket kell megépíteni, és így megállapítani az egészből a törtrészt, illetve a törtrészből az egészet. Hasonló feladatok megoldatásával a tanulók térszemléletét is fejlesztjük, valamint előkészítjük a térfogat fogalmát. A manipulatív tapasztalatszerzést követő következtetések levonásával az induktív gondolkodás fejlesztése valósul meg. Helyes tanulási szokások kialakítására a feladat végrehajtásának megterveztetése hat. A csoportmunkával és játékkal a gyerekek kooperatív képessége, csapatszelleme erősödik.

26 éve vagyok a pedagógusi pályán, sokféle módszert volt alkalmam kipróbálni az évek során. A mai gyerekek érdeklődését már nem lehet lekötni úgy, ahogy azt régen tettük. A világban sok minden változik, nekünk, pedagógusoknak is alkalmazkodnunk kell ezekhez a változásokhoz és a megváltozott követelményekhez, amelyeket az élet elénk állít. 2007 óta gyakorlom a kompetencia alapú oktatást. Azonnal elkezdtem használni az interaktív táblát, ahogy az iskolánk megkapta a szükséges eszközöket. A gyerekek nagy örömmel vetették bele magukat a programok felfedezésébe, és szinte észre sem vették, hogy gyakoroltak vagy új ismereteket szereztek eközben.

Nagyon gyorsan elsajátították a tábla kezelését, már egyáltalán nem okoz nekik problémát a toll használata, amely a MIMIO eszköz része. Folyamatosan újabb szoftvereket keresek nekik a neten is, vagy készítek saját magam gyakorló feladatsort. Játékosan, felszabadultan tudunk vele dolgozni, és a légkör is nyugodt, vidám. Ez nagyban hozzájárul ahhoz, hogy a gyerekek szívesen járjanak iskolába, és ne nyűg legyen a tanulás, hanem örömteli, sikeres tevékenységgé változzon. A motiváció maga a tábla és a programok. Remélem, hogy minél több iskolában és osztályban lehetőség nyílik majd arra, hogy a gyerekek megismerkedhessenek ezzel a nagyszerű eszközzel.

Következő számunkban a már sokak által megszeretett és az oktatási folyamatban is naponta használt MATANDA nevű, a számolási készség fejlesztését támogató eszközt mutatjuk be. Feltalálója, Csordásné Anda Éva számos elismerés mellett 2008-ban Arany díjat nyert a Női Feltalálók I. Világkiállításán Szöulban. Amennyiben már most szeretne többet tudni a

piros-kék korongok és a hagyományos golyós abakusz egyesítésével megalkotott, a logikát és a kreativitást fejlesztő, tanulást segítő eszközről, látogasson a www.matanda.hu honlapra!


Kapcsolódó képességek fejlesztése: A beszámolók a szóbeli kifejezőkészséget, a szókincset, a beszédkészséget, a beszédbátorságot fejlesztik. A megoldások és eljárások bemutatásával az indoklást, érvelést gyakoroltathatjuk.

5

Nem szakrendszerű oktatás

Tüskés Gabriella

MATEMATIKATÖRTÉNET A TANANYAGBAN

A nem szakrendszerű oktatás kerettantervi előirányzata 5. évfolyamon, a kommunikáció témakörében foglalkozik a jelek, jelrendszerek világával. Az ember jelképalkotó lény, ezért a művelődéstörténet is felfogható úgy, mint jelképek története. Csak az ember képes arra, hogy jelképalkotó mivoltát kamatoztassa. Ez a funkció jóval tágabb, mint a hétköznapi jelképek felismerése. A nyelv alkalmas arra, hogy a leghétköznapibb kommunikációban használatos legyen. Mindenféle írás hagyomány, amelyet csak a beavatottak érthetnek, közös kapcsolatok, megállapodások során alakult ki. A számírás az írás egy különleges fajtája, de célja megegyezik az íráséval: eszközül szolgálni az ember azon törekvésének megvalósításához, hogy gondolatait rögzítse és közölje. A számok leírására minden népnél és minden írásmódban különleges jelek, szimbólumok szolgáltak. A modul keretében jól feldolgozható projekt altémája a számok, számrendszerek kialakulásának matematikatörténeti áttekintése. A téma feldolgozása valamennyi műveltségterülettel összefüggésben tárgyalható. Lehetőséget ad a kompetenciák komplex fejlesztésére: nyelvi (anyanyelvi és idegen nyelvi) kommunikációs; történelmi (források használata; tájékozódás térben és időben stb.); matematikai; digitális; hatékony és önálló tanulás; szociális és állampolgári kompetenciák. Az egyes csoportok az informatikaórák keretében is végezhetnek kutatásokat az egyiptomi, babiloni, római, kínai, arab, magyar stb. számírásról. A csoportok számától függ a feldolgozandó témák köre. Miután az egyes csoportok kiválasztották, hogy melyik korban kívánnak elmélyülni, tervet készítenek először csak az információk megszerzésének, majd a feldolgozásának módjára. A csoportok számára megadhatunk könnyen elérhető honlapokat, ahonnan információkat gyűjthetnek, így megismerkedhetnek a modern információszerzés lehetőségével. Képezhetünk specialistákat, akik egy-egy kor kutatásával válnak szakértővé, tudásukat a közös munkában szakértőként hasznosíthatják. A számírás történetének áttekintése fejleszti a tanulók infokommunikációs képességét, történelmi ismereteit, történelmi méretűvé tágítja az idő fogalmát, segíti a számfogalom elmélyülését és a helyiértékes számrendszer megértését.

tíz hatványainak megkülönböztetésére. A jelcsoportok által ábrázolt szám az egyes hieroglifák értékeinek összegeként állt elő, esetenként tehát akár kilencszer is le kellett rajzolni ugyanazt a jelet.

0

snkkunmr

0/

jdmfxdk+ajkx

0//

jsksdjdqbr

0///

kstry

0////

jyorÌtii

0/////

dahg`k

0//////

`ufsdkdmhrsdmd

Az összegyűjtött jeleket a csoportok listázzák, vagy játékos módszerekkel bemutatják. Feladat lehet: – A másik csoport jeleinek kitalálása. – Mikor, hol, milyen jelrendszert használtak? – A használt jelek alapján a számábrázolási csoportok kialakítása: alfabetikus, hieroglif, rovás, arab, római stb.

– Összehasonlíthatjuk az egyes népeknél használt jeleket, például a fent látható magyar rovásírást és a római számírást. – Megvizsgálhatjuk, hogy különböző idegen nyelvekben hogyan képezik a számok nevét. (Például francia nyelven a 71-et úgy mondják 60+11). Még inkább kiaknázhatjuk a lehetőséget, ha a tanulóink családjában a magyaron kívül más nyelv használata is jelen van. – Felvethető kérdés: vajon az arab számok írása miért lett egyöntetű a világon, míg a beszélt nyelv és a betűk jelölése miért nem? Készíthetnek tablókat az adott kor számírására, számrendszerére vonatkozó legfontosabb információk összegzésére.


A feldolgozás módja

6

A tanulók csoportokban összegyűjtik az általunk megjelölt szempontok szerint (pl. számfogalom, számrendszer, számírás, számolás), hogy az adott korban milyen jeleket használtak a mennyiségek jelölésére, milyen számrendszerben számoltak a kor emberei, hogyan számoltak, miért volt szükség a számokra stb.

Például: Egyiptom Az egyiptomiak hozzánk hasonlóan tízes számrendszert használtak, a helyiértékes számábrázolást és a nulla használatát azonban még nem ismerték. A hieroglif rendszerben hét jel szolgált egytől egymillióig a

Az egyes csoportok munkáját, az adott korokról gyűjtött ismereteket időrendi táblázatba is rendezhetjük, így az időben való tájékozódási képesség és a rendszerező képesség egyidejű fejlesztését tudjuk megvalósítani. Matematikaórák keretében is jól tudjuk hasznosítani a számírás történeti áttekintését például a törtek, illetve a tizedestörtek tanításának előkészítésére, bevezetésére, gyakoroltatására.

Nem szakrendszerű oktatás

A törtekkel való számolás érdekes módja alakult ki i. e. 2000 körül Egyiptomban. Az alaptörteknek, mint az 1/2, 1/3, 1/4... stb. külön jelük volt. A nevezőt egy oválissal és alatta levő kis vonalkákkal jelölték. Itt látható hieroglif és a hieratikus írásmódja:

A függőleges ékek megszámlálása közvetlenül az 1, 2, 3 stb. kiolvasásához vezetett, egész a 9-ig. Ekkor következik egy „<”, melynek 10-et kell jeleznie. Hasonlóan olvashatjuk ki a következő jelekből a 11, 12 számokat. A <, <<, <<< nyilvánvalóan 10, 20, 30-nak olvasandó. A következő jeleket 1, 1.10, 1.20 … 2, 2.10-nek írjuk át.

Minden törtet egységszámlálójú törtek összegére bontottak. A törtek előállításában az egész számok reciprok értékei (az 1 számlálójú törtek) fontos szerepet játszottak. Táblázataik voltak arra, hogy az egyéb törteket hogy lehet ilyen reciprokok összegeként előállítani (Rhind-papirusz). Kizárták a kettőzést, mint pl. 1/3+1/3, mégis minden törtet fel tudtak írni az elemi törtek segítségével.* Feladat lehet: A törtekkel való műveletvégzés, az egyszerűsítés, bővítés gyakoroltatására adhatunk feladatot tanítványainknak az egyiptomi számíráshoz kapcsolódóan. Képzeld magad a fáraó írnokának, akinek az a feladata, hogy segédkezzen elkészíteni azt a táblázatot, amelyet az adóbehajtók fognak használni. Kérdések lehetnek: – az 1/3+1/15 felírással mely törteket tudták kifejezni? – Fejezd ki egységtörtekkel a 3/5-öt! Stb.

Ezek a jelek úgy értelmezhetők, ha az első „1”-et 60-nak olvassuk és 1.10-et 60 + 10 = 70-nek, az 1.20-at pedig 60 + 20 = 80-nak vesszük. A következő „2” jel értéke ily módon 120, míg az utolsó 2.10 jel eszerint 120 + 10 = 130 A számírás és a számolás matematikatörténeti vonatkozásai jól köthetők a mértékegységekhez, a mértékegységek tanításához. A számfogalom kialakulását a kereskedelem gyorsította meg, tette szükségessé. A legfejlettebb kereskedelmi életet elérve történhetett, hogy a számokat a számolásnál kezdték csoportokba foglalni, például a kéz ujjainak mintájára ötös vagy tízes csoportokba. Így jöttek létre a számrendszerek, amelyekhez azután a számnevek kialakulása is igazodott. A sokféle számrendszer között a tízes terjedt el legjobban, de a mértékegységek között, főleg a régi vagy angolszász mértékegységnél még megtaláljuk maradványaikat.

Adhatunk táblázatot az egységtörtekkel való kifejezéshez. – Töltsd ki a táblázatot, ha x jelöli az összeadandó törteket!

A számírás fejlődéséről bővebben olvashatunk az alábbi oldalakon: – Filep László–Bereznai Gyula: A számírás története (1985) – Sain Márton: Nincs királyi út! http://mek.niif.hu – Sain Márton: Matematikatörténet (Nemzeti Tankönyvkiadó) – Csattári Ferenc: A számfogalom matematikatörténeti fejlődéséről http://www.szv.hu – A számírás fejlődése http://www.sulinet.hu – A számok varázslatos világa: avagy a szimbólumokban rejtőző szépség http://www.felkol.org.yu – Számolás, számírás http://www.ttk.pte.hu – Egyiptomi számírás http://www.fvt.hu

Ugyanabban az időben Mezopotámiában már a mi tizedestörtjeinkhez hasonló módon, a hatvanas helyiértékes számrendszerbe illő „hatvanados” törtekkel számoltak. A hatvanas számrendszert még ma is őrzi az óra–perc–másodperc mértékegységrendszerünk.

* Végezetül álljon itt egy sejtés, mely bizonyításra vár, de kisebb vagy speciális számok esetén tanítványaink is boldogulnak vele: Minden 1-nél nagyobb egész n számhoz találhatók olyan x, y és z (nem feltétlen különböző) pozitív egészek, amikre teljesül, hogy 4/n = 1/x+1/y+1/z.


– Sci-fi és matematika http://teszerakt.uw.hu

7

Interaktív matematika

Bedő Andrea

A PROBLÉMAMEGOLDÁS TANULHATÓ

A problémamegoldó gondolkodás nagyon fontos eleme mindennapjainknak. Problémaszituációkkal szembesülünk, és nekünk kell kitalálnunk, hogy mi a megoldás, illetve hogyan juthatunk el a megoldásig. Az is gyakran előfordul, hogy magát a problémát is saját magunknak kell felismernünk, beazonosítanunk. A folyamat komplexitása miatt sokan gondolják, hogy a gyerekeknek ezt meg sem lehet tanítani, hogy a diákok tehetségüktől függően vagy rájönnek maguktól a megtanult feladatsémák alkalmazására, vagy nem. Ez azonban nem így van, a problémamegoldó gondolkodás tanulható és tanítható. A problémamegoldásnak (angolul: problem solving) komoly kutatási háttere van. A tudósok, kutatók olyan következtetésekre jutottak, amelyeket sikerrel lehet alkalmazni a pedagógiai gyakorlatban. Gondoljunk csak Pólya György A problémamegoldás iskolája (Tankönyvkiadó, 1968) című könyvére, amelyben már 1954ben leírta a problémamegodás lépéseit, vagy Robert Fisher Hogyan tanítsuk gyermekeinket gondolkodni? (Műszaki Kiadó, 2000) című művére, amely a mindennapi pedagógiai folyamatban hasznosan, hatékonyan alkalmazható. A problémamegoldó gondolkodás oktatásának interaktív táblával való támogatására jó megoldás lehet az Infinitas Learning (mely csoportnak a Műszaki Kiadó is tagja) által interaktív táblára fejlesztett, s azóta Berlinben már díjat is nyert A problémamegoldás tanulható című, hat részből álló CD-ROMsorozat. Az elsősorban matematikai kompetenciákra építkező CD-ROMsorozatban jól megvalósul a tantárgyköziség, hiszen a problémaszituációk kontextusa nem matematikai, hanem olyan helyzetek, melyek a mindennapokban bármelyik diákkal előforduló szituációk lehetnek. Minden CD-ROM kilenc feladatot tartalmaz. A feladat kiválasztásánál segít a képességszint, illetve a módszer szerinti válogatási lehetőség. Megoldási módok lehetnek: szituáció eljátszása, szabályszerűség keresése, egyszerűbb esettel való próbálkozás, kép, diagram rajzolása, lista vagy táblázat készítése, kísérletezés és tökéletesítés. A harmadik CD-ROM-on található feladatok közül most Péter kaktuszait nézzük meg, mely jó példája az egyszerűbb esettel való próbálkozásnak mint problémamegoldási stratégiának az alkalmazására.


A CD-ROM indítása után a feladat, illetve az óravázlat irányából is közelíthetünk. Óravázlat menüpont alatt elolvashatjuk a feladat tartalmát, információkat kapunk a képességfejlesztési szintekről, a feladat megoldásáról, a megoldási stratégiákról, illetve nyomtathatunk

8

részletes óraleírást is. Természetesen nem szükségszerű ennek az óravázlatnak a követése, nyugodtan készíthetünk sajátot is a felkészülési idő, illetve a saját erőforrásaink figyelembevételével. Mindenesetre javasolt innen indulni, hiszen a fejlesztés, a feladat kialakítása ezen óravázlat mentén történt. Az első dián olvashatjuk a problémaszituációt.

Az osztállyal való kontaktustartást segíti, hogy egy kattintás a táblán (hozzáérinteni a tollat vagy az ujjat), s a feladat szövege máris eltűnt. Ez minden feladatnál így van, a feladat szövege elrejthető. Mire is jó ez? Máris olyan szituációba hoztuk a diákjainkat, mely fejleszti a megfigyelést. A következő feladatnál a diákok már sokkal jobban fognak figyelni a feladat szövegére, mert tudják, hogy a tanár elrejtheti azt, s lehet, hogy megkérdezi akár személyesen tőle is, hogy mit értett meg a feladatból. A szövegértés gyakoroltatásával tudjuk erősíteni a nyelvi jellegű tapasztalatokat. A szöveg közös értelmezése után, mely része az önálló gondolkodás megtanulásának, a feladatot akár csoportmunkában, akár más óraszervezési módon megoldathatjuk. Javasolt a diákok közös gondolkodásának, interaktív készségének a kihasználása, hiszen ezáltal is fejlődnek tanulóink, megismernek más stratégiákat. (Érdemes az eredményeket felíratni, ki, illetve melyik csoport mire jutott.) Ekkor lépjünk csak át a 2. diára, ahol egy táblázat kitöltésével kell a feladatot modellezni. A törlés lehetősége adott, így bármikor visszaléphetünk egy korábbi szintre, ha valamelyik diákunk nem értene valamit. A diákok a tábla előtt közvetlen élményként élhetik meg a kaktuszok új hajtásainak növekedését. Nem csak elképzelni kell a kaktuszok növekedését. A számpad segítségével a táblánál is könnyen írhatunk számokat,


nem kell a billentyűzethez menni. Számpad szintén minden feladatnál szerepel, ahol szükséges számokat használni. A táblázatba hibás eredményeket is beírhatunk, típushiba lehet például, ha a diákok a feladatot szeretnék megválaszolni, és nem veszik észre, hogy még csak az új hajtásokat kell összeszámolni évenként. Fontosnak tartom, hogy a tanár itt ne javítson, ha valamelyik diák észreveszi a téves megoldást, beszéljék meg természetesen, de inkább engedjük a diákoknak felfedezni saját tévedéseiket. Ez fejleszti az oknyomozó készséget, ezáltal élénkíti a kreatív és a kritikai gondolkodást.

A megoldás során lejátszhatjuk a 4 évet, hogyan nőtt Péter kaktusza, illetve láthatjuk a táblázat helyes kitöltését. A kiegészítés pedig további kihívásokra sarkall, ellenőrizhetjük vele a tényleges megértést, illetve kapcsolatba hozhatjuk a diákot tudásának és készségeinek alkalmazásával.

Tudom, a pedagógusok többsége nem szeret hibás megoldást látni a táblán, de ha átlépünk a következő diára, akkor mindenki egyből rájöhet, hogy mit rontott el. Ez pedig nagyon fontos, hogy a közvetlen élményen keresztül ő jöjjön rá valamire, hiszen a valós problémaszituációban sem fog mellette állni senki, hogy megmondja azonnal, hogy itt rossz, mert nem az a táblázat fejléce. Ha hagyjuk a diákjainkat felfedezve, akár hibás gondolkodást felfedezve tanulni, az fejleszti az önbizalmat és a hozzáértést. A második és harmadik dia között bármikor válthatunk és javíthatunk. Illetve, ha az éveket léptetjük, az ábrás megjelenítésnél a szoftver elhalványítja azokat a hajtásokat, melyek abban az évben még nincsenek. Így akár a megszámolást is segítheti. Ez azért hasznos, mert a különböző csoportoknál az adott szituáció-

Természetesen nem állítjuk, hogy ez a CD-ROM-sorozat az egyedüli üdvözítő megoldás. Számos ilyen szituáció létrehozható az interaktív tábla segítségével, sőt akár a diákokkal is készíthetünk feladatokat, azonban ez a tartalmilag jól felépített, széles spektrumot átölelő feladatsorozat mindenképpen hasznos kiegészítője lehet annak, hogy megtanulják a diákok problémamegoldásra használni a gondolkodásukat. Ma az élethosszig tartó tanulás és a problémamegoldó gondolkodás szinte alapfeltétele annak, hogy sikeresek legyenek az életben. Ez nem demagógia. Eddig is megoldattunk velük ilyen jellegű feladatokat, csak kevésbé hatékonyan. Azonban, ha e feladatok segítségével elsajátítják tanítványaink a „magamtól is rá tudok jönni”, a „társaim segítenek, ha elakadok”, „vannak jól ismert stratégiák, melyeket tudok használni” alapállást, akkor a sorozatos visszacsatolások segítségével megértik, hogy a hétköznapi problémák megoldásakor is fontos a kapcsolatteremtés a különálló tapasztalatok között. Más gondolkodásmódokat meg kell ismerni, megérteni, és kritikai, ugyanakkor kreatív gondolkodással megoldani azokat.

Ha úgy döntöttünk, készen vagyunk, meg kell nyomnunk a kész gombot, s ekkor aktívvá válik a megoldás és a kiegészítés fül. Eddig hiába próbálkoztunk volna. Ez azért hasznos, mert csoportokban dolgozva a Péter kaktuszával egy csoportnyi diákot otthagyhatunk a problémával, annyit mondva nekik, hogy oldjátok meg a feladatot. Ők pedig ekkor kihívásként és motivációként élik meg a feladatot, mely kapcsolódik a szükségleteikhez, ezáltal célt és értelmet ad a tanulásnak.

Irodalomajánló: – Kontra József: A probléma és a problémamegoldó gondolkodás – MAGYAR PEDAGÓGIA 96. évf. 4. szám 341–366. (1996) – Revákné Markóczi Ibolya: A problémamegoldó gondolkodást befolyásoló tényezők – MAGYAR PEDAGÓGIA 101. évf. 3. szám 267–284. (2001) – Csapó Benő: A komplex problémamegoldás a PISA 2003 vizsgálatban – Új Pedagógiai Szemle, 3. sz. 43–52. (2005) – Molnár Gyöngyvér: Az ismeretek alkalmazhatóságának korlátai: komplex problémamegoldó gondolkodás fejlettsége 7. és 11. évfolyamon – MAGYAR PEDAGÓGIA 106. évf. 4. szám 329–344 (2006) – Pólya György: A problémamegoldás iskolája (Tankönyvkiadó, 1968) – Robert Fisher: Hogyan tanítsuk gyermekeinket gondolkodni? (Műszaki Könyvkiadó, 2000) – Molnár Gyöngyvér: Tudástranszfer és komplex problémamegoldás (Műszaki Könyvkiadó, 2006)


nak megfelelően tudja a tanár a táblánál segíteni a diákok megértését, mindez pedig rugalmasságot és dinamizmust adhat az órájának.

9


A PROBLÉMAMEGOLDÁS TANULHATÓ

A problémamegoldás tanulható CD-sorozat a problémamegoldásra egy ötlépcsős mintát kínál:

MK–6186-6

6 részes interaktív CD-sorozat

MK–6185-9

MK–6184-2

MK–6183-5

MK–6182-8

MK–6181-1

Ez a modell Pólya négylépcsős problémamegoldási leírását kiegészíti a tanulságok levonásával, a tapasztalatok általánosításával. A problémamegoldó gondolkodás és az interaktív tábla Tanulni, tanítani – másképp? Mi az interaktív tábla? Mire jó? Hogyan használjuk? Hogyan válasszunk? Mi kell egy jó interaktív táblás anyag elkészítéséhez? Hogyan illesszük be a már kész interaktív anyagokat a tanórába?

Comenius EduMedia díjazott termék

Miért fontos a problémamegoldás? A különböző iskolai tantárgyak anyagának ismerete, a tantárgyakhoz kötődő képességek birtoklása lényeges, azonban napjainkban már nem elegendő ahhoz, hogy az iskolából kilépő diák a mindennapi életben is boldogulni tudjon. A problémamegoldó képességek fejlesztése során nemcsak a hétköznapi helyzetek megoldására korlátozódó tudásról van szó, hanem a kognitív szemléletmódban kifejezett értelmes, megértett tudásról. A problémamegoldó kompetencia az egyén arra való képessége, hogy kognitív eljárásokat használni tudjon valós, a tudományterületeket átfogó helyzetekben, ahol a megoldás menete nem egyértelmű, és a megoldás folyamán alkalmazott ismeretek nem egy tudomány területről valók. (OECD, 2003) Érthető tehát, hogy a problémamegoldás képességét alapvető képességnek tekintjük, és az oktatási rendszerek hatékonyságának egyik meghatározó fokmérője, hogy mennyire eredményes e képesség kifejlesztésében.


A PISA-mérések sorozatában az első vizsgált kompetencia a komplex problémamegoldás volt. A felmérések során azt figyelték, mennyire tudják használni – és nem reprodukálni – a tanulók ismereteiket, valamint a kötelező iskoláztatás végén fel vannak-e készülve a tudás társadalmának kihívásaira (OECD, 2004). A problémamegoldás modul elméleti keretének fő váza Pólya György ismert modelljére épül, amelyben a probléma megoldásának fő fázisai: azonosítás, megértés, reprezentáció, megoldás, eredmények kommunikálása.

10

Lénárd Ferenc kísérleti úton vizsgálta a problémamegoldási folyamatot. A kísérletek anyaga alapján a következő gondolkodási fázisokat határozta meg, melyek érzelmi elemeket is tartalmaznak: ténymegállapítás, probléma módosítása, megoldási javaslat, kritika, mellékes mozzanatok említése, csodálkozás, tetszés, bosszankodás, kételkedés, a munka feladatása.

MK–6135-0 Számtalan kérdés vetődhet fel az interaktív tábla használata kapcsán. Bedő Andrea és Schlotter Judit saját tapasztalataik, hazai és nemzetközi kutatási eredmények alapján fogalmazzák meg válaszaikat, s adnak jól hasznosítható gyakorlati tanácsokat a kérdésekre. A könyv gyakorlatban való használhatóságát a CD-mellékleten található tantárgyfüggetlen, illetve műveltségi területekhez kapcsolódó mintapéldák biztosítják.

Ajánló

FELADATOK ÉS KIADVÁNYOK A KOMPETENCIÁK FEJLESZTÉSÉHEZ A Kapcsolj matematikai képességfejlesztő munkafüzet-sorozatban a megszokott iskolai feladatoktól eltérően úgy jelennek meg a matematikai tartalmak, hogy felkelt sék a diákok érdeklődését, a tanulás nehéz folyamatát izgalmas játékká változtassák. A szórakoztató és fejtörő feladatok a matematikai készségek, a problémamegoldás, a kreativitás, a szövegértő és szövegalkotó, valamint az önálló ismeretszerző képesség fejlesztésére alkalmasak.

MK–4390-9

MK–4391-6

Egyszámjáték A következő játék az úgynevezett „egyszámjáték” osztálytermi keretek között is gyorsan lejátszható változata (legalább négy játékos esetén kezd érdekessé válni): Minden játékos jelöljön meg a szelvényén öt számot úgy, hogy társai lehetőleg ne lássák. Ezután egy „kikiáltó” elkezdi sorolni a számokat növekvő sorrendben: „Ki írt 1-et?”, 2-t, 3-at, …, akinek a megjelölt számát sorolják, az jelzi. Az nyer, aki a legkisebb olyan számot jelölte, amit rajta kívül más nem. Például, ha az 1, 2, 3 és 4 számok mindegyikét több ember is bejelölte, az 5-öt senki, a 6-ot csak egy játékos, akkor a 6-ot jelölő nyer. Az első hallásra talán bonyolultnak tűnő játékot a tanulók a legkisebbektől a legnagyobbakig szívesen játsszák, mivel úgy érzik, hogy a szerencse mellett ők is befolyásolni tudják az eredményt, viszont az esélyek kiegyenlítődnek. A játékot szelvények nélkül is játszhatjuk, a 90 közül az öt szám felsorolásával (van, aki lottózóból hozott szelvényeket vágott körbe), de lehet kevesebb számmal, ám közülük több jelölésével is játszani. Néhány perc alatt több fordulót is lejátszhatunk.

Ajánljuk a sorozat füzeteit azoknak a pedagógusoknak, akik – a tanulók matematikai kompetenciájának széles körű fejlesztését tűzték ki célul, – a tanítási órákon és azon túl is differenciálva „kínálják meg” tanítványaikat érdekes matematikai problémákkal, – sokoldalúan szeretik feldolgozni és alkalmazni az ismeretanyagot a felzárkóz tatástól a versenyekre való felkészülésig, a tehetség gondozásig.

Elsősökkel 20-as számkörben játszva, kevesebb szám megjelölése mellett kiváló ráhangoló-bemelegítő, figyelemfókuszáló gyakorlat. Később akár sorsolásra vagy statisztikák készítésére is használhatjuk. Egyszerű logikai kérdéseket is feltehetünk: 1. Nyerhet-e három játékos közül valaki a 90-nel? 2. Mindig van-e győztes? Megvitatásra alkalmas kérdések lehetnek: 3. Baj-e, ha látja a szomszédunk, hogy mit írunk? 4. Mire következtethetünk a korábbi játékokból?

Az újság megrendelhető a [email protected] e-mail címen. További információ a kiadványokról, megrendelés: www.muszakikiado.hu


JÓ SZÓRAKOZÁST!

11

[email protected]

KÉRDEZZE MEG! A www. hajdumatek.hu oldalra érkezett felvetésére reagálva közöljük most a könyv egyik szerzőjének válaszát. A felvetés szerint az első osztályos Hajdu-könyv „úgy kezeli az elsős gyerekeket, mintha már felnőttek lennének”, s „a legtöbb szülőnek is komoly fejtörést okoz”.

Előzetes a következő számunkból: Jó gyakorlatok sorozatunkban a szöveges feladatok feldolgozására mutatunk példát. A nem szakrendszerű oktatás keretében az alsó és a felső tagozat közti átmenetet segítő projektekkel foglalkozunk.

Kedves Apuka! Mi valóban úgy kezeljük az elsős gyermeket, mint egy okos, gondolkodó embert, aki kíváncsi a környezetére, a világra, mindent fel szeretne fedezni, élvezi az újjal, ismeretlennel való találkozást. Ha megfigyelte a gyermekét s a többi gyereket, minden gyermek nagyon szereti a kihívást, a problémák megoldását. Lehet, hogy ebben segítségre szorul, de mégis élvezi, hogy ő fedezheti fel a világot. Ha belegondol, már a pici gyermek is sok olyan kifejezéssel, szóval találkozik, s használja is azokat, amelyek tartalmával csak sokkal később ismerkedik meg. Pl. Föld, Hold, Nap, nappal, éjszaka stb. De ezek pontos magyarázatával csak később találkozik. Alapelvünk, hogy ne tanítsunk olyat, amit később másként tanítunk, mert sokkal nehezebb egy nem pontosan megtanított dolgot pontossá tenni, mint egy fogalmat az első perctől használni, s azt fokozatosan tartalommal megtölteni.

Interaktív matematika rovatunkban további ötleteket adunk interaktív tananyagok tanórai felhasználására.

Akkreditált, 30 órás módszertani interaktív képzés Matematikai tartalmak hatékony felhasználása interaktív táblán, illetve szavazóegységek használata a kompetencia alapú oktatás segítésére

A könyv nagyon széles sávban dolgozza fel a tananyagot, éppen azért, hogy a leggyengébb értelmi képességű tanulótól a legtehetségesebb tanulóig található legyen feladat, amellyel a képességeik, tudásuk fejlődhessen, gyarapodhasson. Hazai és külföldi (angol, finn) matematikai szakemberek nagy részének véleménye szerint ez a tankönyvcsalád szakmailag, módszertanilag az egyik legigényesebben, átgondoltabban kidolgozott tankönyvcsalád, amelyben valamennyi feladat nagyon tudatosan segíti elő a gyermek matematikai gondolkodásának fejlődését. Még ha ez kezdetben egy kicsit nehéznek is bizonyul, hosszú távon ez az apró lépésekből összerakott matematikai tudás sokkal magasabb szintű, biztosabb alapokat ad azoknak a gyermekeknek, akik ebből a könyvből tanulnak. Én Oroszlányban tanítok, ahol rengeteg a hátrányos helyzetű gyermek, szinte egyáltalán nincs értelmiségi, s mégis azok a gyermekek, akik ebből a könyvből tanultak, mindig megállják a helyüket a különböző matematikaversenyeken, „oroszlányi csoda”ként emlegetik őket, s legtöbbjük főiskolán, egyetemen folytatja tanulmányait.


Arra vagyok a legbüszkébb, hogy a legtöbb gyermek érettségi után, illetve egyetemista, főiskolás korában keres meg, hogy megköszönje, mert ebből a könyvből s tőlem olyan alapokkal indultak, hogy soha nem volt problémájuk a matematikával. Ezt kívánom az Ön gyermekének is, s Önnek is; csak türelem és következetes, alapos munka kell hozzá.

12

Minden könyv csak egy eszköz, amelyet felhasználhatunk a tanultak elmélyítésére, begyakorlására, de nagyon fontos a gyermek érdeklődése, a pedagógus és a szülő segítő támogatása, munkája. Csak így, közösen érhető el az igazi tudás, a képességek fejlődése, amely kihat valamennyi tantárgy tanulására is. Így egy igazán sokoldalú, képzett, érdeklődő, logikusan gondolkodó embert fejleszthetünk. Ez valamennyiünk érdeke, ezért dolgozunk mi tankönyvszerzők, s Önök szülők, gyermekek. Biztos vagyok abban, hogy az idő, a tanulásban való elmélyülés bennünket igazol, s Ön is egyre pozitívabban látja a jövőt, gyermeke fejlődését. Tisztelettel: Scherlein Márta szerző

További információ, jelentkezés Müller Anna marketingmenedzsernél Telefon: (1) 437-2401 e-mail: [email protected]

Műszaki Kiadó 1033 Budapest, Szentendrei út 91–93. telefon: [+36 1] 437-2405, fax: [+36 1] 437-2404 e-mail: [email protected] www.muszakikiado.hu

1. Matematika-módszertani kiadvány KEDVES OLVASÓ! TARTALOM:

Recommend Documents