1. GRUP
Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan a, b ∈ G . Operasi biner ∗ pada G merupakan pengaitan
pasangan elemen ( a, b ) pada G , yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen ( a, b ) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen 2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen
( a, b )
pada G
merupakan elemen di G.
Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G merupakan himpunan, ∗ operasi pada G, dan a, b ∈ G , maka a ∗ b menyatakan elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen ( a, b ) terhadap operasi ∗ .
Contoh 1.2
Diketahui G = ] , yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi ∗ pada ] dengan syarat untuk setiap a, b ∈ ] , a ∗ b = a + b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada ] ? Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan bulat
akan
menghasilkan
bilangan
bulat
juga.
Sehingga
dengan
demikian
a ∗ b = a + b ∈ ] . Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner pada ] .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
1
Contoh 1.3
Didefinisikan operasi ∗ pada ] dengan syarat untuk setiap a, b ∈ ] , a ∗ b = a b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada ] ? Diperhatikan bahwa jika a = 1 dan b = 2 akan berakibat a ∗ b = 1 ∗ 2 = 1 2 ∉ ] . Jadi, operasi ∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a = 1 dan b = 0 akan berakibat a ∗ b = 1 ∗ 0 = 1 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi ∗ tidak
memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi ∗ bukan merupakan operasi biner pada ] .
Definisi 1.4 (Grup)
Diketahui G himpunan dan ∗ operasi biner ∗ pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi ∗ jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut : 1. G bukan merupakan himpunan kosong 2. Untuk setiap a, b, c ∈ G berlaku ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) 3. Terdapat e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈ G berlaku e ∗ a = a ∗ e = a 4. Untuk setiap a ∈ G terdapat a ' ∈ G sehingga berlaku a ∗ a ' = a '∗ a = e . Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen e ∈ G pada aksioma 3 disebut juga dengan elemen identitas. Elemen a ' ∈ G pada aksioma 4 disebut juga dengan invers elemen a terhadap operasi ∗ .
Contoh 1.5
Misalkan G = ] × ] =
{( a, b ) a, b ∈ ]} . Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk
setiap ( a, b ) , ( c, d ) ∈ G berlaku ( a, b ) ∗ ( c, d ) = ( a + c, b + d ) . Apakah G merupakan grup terhadap operasi ∗ ? Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1) ∈ G . Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang ( a, b ) , ( c, d ) , ( e, f ) ∈ G , dan dengan menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa: Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
2
( ( a, b ) ∗ ( c, d ) ) ∗ ( e, f ) = ( a + c, b + d ) ∗ ( e, f ) = ( a + c + e, b + d + f ) = ( a, b ) ∗ ( c + e, d + f ) = ( a, b ) ∗ ( ( c, d ) ∗ ( e, f ) ) .
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku. Jika dipilih elemen ( 0, 0 ) ∈ G , maka untuk setiap ( a, b ) ∈ G akan berlaku:
( 0, 0 ) ∗ ( a, b ) = ( 0 + a, 0 + b ) = ( a, b ) = ( a + 0, b + 0 ) = ( a, b ) ∗ ( 0, 0 ) . Jadi, ( 0, 0 ) ∈ G merupakan elemen identitas pada G. Untuk sebarang ( a, b ) ∈ G dipilih elemen ( −a, −b ) ∈ G , sehingga akan berlaku:
( a, b ) ∗ ( −a, −b ) = ( a + ( −a ) , b + ( −b ) ) = ( a − a, b − b ) = ( 0, 0 ) = ( ( −a ) + a, ( −b ) + b ) = ( − a , −b ) ∗ ( a , b ) . Jadi, setiap elemen
( −a, −b ) ∈ G .
( a, b ) ∈ G
memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu
Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap
operasi ∗ .
Contoh 1.6
Misalkan G = ] × ] = setiap
{( a, b ) a, b ∈ ]} . Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk
( a , b ) , ( c, d ) ∈ G
berlaku
( a, b ) ∗ ( c, d ) = ( ac, bd ) .
Apakah G merupakan grup
terhadap operasi ∗ ?
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
3
Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1) ∈ G . Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang ( a, b ) , ( c, d ) , ( e, f ) ∈ G , dan dengan menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
( ( a, b ) ∗ ( c, d ) ) ∗ ( e, f ) = ( ac, bd ) ∗ ( e, f ) = ( ace, bdf ) = ( a, b ) ∗ ( ce, df ) = ( a, b ) ∗ ( ( c, d ) ∗ ( e, f ) ) .
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku. Jika dipilih elemen (1,1) ∈ G , maka untuk setiap ( a, b ) ∈ G akan berlaku:
(1,1) ∗ ( a, b )
= (1a,1b ) = ( a, b ) = ( a1, b1) = ( a, b ) ∗ (1,1) .
Jadi, (1,1) ∈ G merupakan elemen identitas pada G. Akan ditunjukkan tidak setiap elemen
( a, b ) ∈ G
memiliki elemen invers terhadap
operasi ∗ . Misalkan ( a, b ) , ( c, d ) ∈ G , agar ( a, b ) ∗ ( c, d ) = ( ac, bd ) = (1,1) maka harus dipenuhi ac = 1 dan bd = 1 . Jika a, b ≠ 1 , maka menurut sifat bilangan bulat tidak ada c, d ∈ ] sehingga ac = 1 dan bd = 1 . Jadi, tidak setiap elemen ( a, b ) ∈ G memiliki invers terhadap operasi operasi ∗ . Akibatnya G bukan merupakan grup terhadap operasi ∗ . Untuk selanjutnya notasi ( G, ∗) menyatakan himpunan G yang disertai operasi biner ∗ .
Definisi 1.7 (Grup Komutatif)
Grup ( G, ∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ G berlaku a ∗b = b ∗ a .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
4
Contoh 1.8
Grup
( G, ∗)
pada Contoh 1.5 merupakan grup komutatif karena untuk setiap
( a , b ) , ( c, d ) ∈ G
berlaku
( a , b ) ∗ ( c, d ) = ( a + c , b + d ) = ( c + a , d + b ) = ( c, d ) ∗ ( a , b ) ,
sesuai dengan sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat.
Definisi 1.9 (Subgrup)
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup. Himpunan H ⊆ G disebut subgrup atas G jika dan hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut : 1. H bukan merupakan himpunan kosong 2.
( H , ∗)
merupakan grup.
Contoh 1.10
Diperhatikan kembali Contoh 1.5. Misalkan
H=
{( a, 0 ) a ∈ ]} ⊆ G .
Apakah H
merupakan subgrup dari G ? Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong, karena ( 0, 0 ) ∈ H . Akan ditunjukkan bahwa H memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang ( a, 0 ) , ( b, 0 ) , ( c, 0 ) ∈ H , dan dengan menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
( ( a, 0 ) ∗ ( b, 0 ) ) ∗ ( c, 0 ) = ( a + b, 0 ) ∗ ( c, 0 ) = ( a + b + c, 0 ) = ( a , 0 ) ∗ ( b + c, 0 ) = ( a , 0 ) ∗ ( ( b, 0 ) ∗ ( c , 0 ) ) .
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku. Jika dipilih elemen ( 0, 0 ) ∈ H , maka untuk setiap ( a, b ) ∈ H akan berlaku:
( 0, 0 ) ∗ ( a, 0 ) = ( 0 + a, 0 ) = ( a, 0 ) = ( a + 0, 0 ) = ( a, 0 ) ∗ ( 0, 0 ) . Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
5
Jadi, ( 0, 0 ) ∈ H merupakan elemen identitas pada H. Untuk sebarang ( a, 0 ) ∈ H dipilih elemen ( − a, 0 ) ∈ H , sehingga akan berlaku:
( a, 0 ) ∗ ( − a, 0 )
= ( a + ( −a ) , 0 ) = ( a − a, 0 ) = ( 0, 0 ) = ( ( − a ) + a, 0 ) = ( − a, 0 ) ∗ ( a, 0 ) .
Jadi, setiap elemen
( a, 0 ) ∈ H
memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu
( −a, 0 ) ∈ H . Karena keempat aksioma berlaku maka H merupakan grup terhadap operasi ∗ . Akibatnya H merupakan subgrup atas G.
Definisi 1.11 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati)
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan H ⊆ G merupakan subgrup atas G. Subgrup H disebut subgrup trivial jika dan hanya jika H = {e} , dengan e ∈ G merupakan elemen identitas. Subgrup H disebut subgrup sejati jika dan hanya jika H ≠ G .
Teorema 1.12 (Kanselasi Kanan)
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan a, b, c ∈ G . Jika a ∗ c = b ∗ c , maka berlaku a = b . Bukti.
Misalkan a ∗ c = b ∗ c . Menurut aksioma 3 Grup (Definisi 1.4) terdapat elemen c ' yang merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:
( a ∗ c ) ∗ c ' = (b ∗ c ) ∗ c ' . Menggunakan sifat asosiatif grup diperoleh: a ∗ ( c ∗ c ') = b ∗ ( c ∗ c ') .
Sesuai definisi aksioma 3 Grup diperoleh c ∗ c ' = e , dengan e elemen identitas sehingga: a∗e = b∗e .
Sesuai definisi aksioma 2 Grup diperoleh: a =b. Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
6
Teorema 1.13 (Kanselasi Kiri)
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan a, b, c ∈ G . Jika c ∗ a = c ∗ b , maka berlaku a = b .
Teorema 1.14
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan a, b ∈ G , maka hanya ada tepat satu x ∈ G yang memenuhi persamaan a ∗ x = b . Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa terdapat x ∈ G yang memenuhi a ∗ x = b . Akan ditunjukkan bahwa a '∗ b merupakan elemen x yang dimaksud, dengan a ' merupakan invers elemen a. Diperhatikan bahwa: a ∗ ( a '∗ b ) = ( a ∗ a ' ) ∗ b = e ∗b =b
sifat asosiatif definisi a ' sifat e.
Kemudian akan ditunjukkan bahwa elemen x tersebut tunggal. Misalkan ada penyelesaian lain, namakan x2 ∈ G yang memenuhi a ∗ x2 = b . Karena a ∗ x = b dan a ∗ x2 = b , maka berlaku a ∗ x = a ∗ x2 . Menggunakan teorema kanselasi kiri, diperoleh x = x2 . Jadi, terbukti bahwa hanya ada tepat satu x ∈ G yang memenuhi persamaan a ∗ x = b .
Teorema 1.15
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan e ∈ G merupakan elemen identitas, maka hanya ada tepat satu elemen identitas pada G. Bukti.
Misalkan ada elemen e, e1 ∈ G , dengan e ∗ a = a ∗ e = a dan e1 ∗ a = a ∗ e1 = a untuk setiap a ∈ G . Misalkan dipilih a = e1 , akibatnya berlaku e ∗ e1 = e1 ∗ e = e1 . Karena e1 juga
merupakan elemen identitas, akibatnya e1 ∗ e = e , dan dengan kata lain e = e1 . Jadi, elemen identitas pada grup G tunggal.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
7
Teorema 1.16
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan a ∈ G . Jika a ' merupakan invers elemen a, maka hanya ada tepat satu elemen a ' pada G. Bukti.
Misalkan elemen a ∈ G memiliki dua elemen invers, yaitu a ' dan a '' , sehingga a ∗ a ' = a '∗ a = e dan a ∗ a '' = a ''∗ a = e . Akibatnya a ∗ a ' = a ∗ a '' = e , dan dengan
teorema kanselasi kiri diperoleh a ' = a '' . Jadi, terbukti bahwa elemen invers tunggal.
Teorema 1.17
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan a, b ∈ G , maka ( b '∗ a ') merupakan invers elemen
( a ∗ b)
pada G.
Bukti.
Menggunakan sifat grup, perhatikan bahwa:
( a ∗ b ) ∗ ( b '∗ a ') = a ∗ ( b ∗ b ') ∗ a ' = ( a ∗ e ) ∗ a ' = a ∗ a ' = e . Jadi, terbukti bahwa ( a ∗ b ) ' = ( b '∗ a ') .
Teorema 1.18
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan H subgrup atas G, maka kedua pernyataan berikut berlaku: 1. Elemen identitas e ∈ G juga merupakan elemen pada H 2. Untuk setiap a ∈ H , berlaku a ' ∈ H dengan a ' merupakan invers elemen a. Bukti.
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 1. Andaikan terdapat eH ∈ H , dengan eH ∗ a = a ∗ eH = a untuk setiap a ∈ H . Karena H ⊆ G , maka untuk setiap a ∈ H berlaku a ∈ G . Karena G merupakan grup, maka berlaku e ∗ a = a ∗ e = a . Dengan demikian diperoleh a ∗ eH = a ∗ e = a dan menggunakan teorema kanselasi kiri diperoleh eH = e . Jadi, terbukti bahwa e ∈ H .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
8
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 2. Karena H merupakan grup terhadap operasi biner ∗ , maka menurut definisi grup jelas bahwa a ' ∈ H untuk setiap a ∈ H .
Teorema 1.19
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan H ⊆ G . Himpunan H merupakan subgrup atas G jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ H berlaku a ∗ b ' ∈ H , dengan b ' merupakan invers elemen b. Bukti. ⇒
Karena H merupakan subgrup atas G, maka menurut Teorema 1.17 berlaku b ' ∈ H dan dengan demikian a ∗ b ' ∈ H . ⇐
Akan ditunjukkan H merupakan subgrup atas G. Karena H ⊆ G maka sifat asosiatif operasi ∗ pada G juga berlaku pada H. Jika dipilih b = a , akan diperoleh a ∗ b ' = a ∗ a ' = e ∈ H . Dengan demikian H memuat elemen identitas dan sekaligus
menunjukkan bahwa H bukan himpunan kosong. Selanjutnya, jika dipilih a = e , akan diperoleh a ∗ b ' = e ∗ b ' = b ' ∈ H untuk setiap b ∈ H . Dengan demikian H memuat invers dari setiap elemennya. Jadi, terbukti bahwa H merupakah subgrup atas G.
Teorema 1.20
Diketahui ( G, ∗) merupakan grup dan H , K merupakan subgrup-subgrup atas G, maka
H ∩ K juga merupakan subgrup atas G. Bukti.
Ambil sebarang a, b ∈ H ∩ K , akibatnya a, b ∈ H dan a, b ∈ K . Karena H merupakan subgrup maka menurut Teorema 1.19 berlaku a ∗ b ' ∈ H . Karena K juga merupakan subgrup maka menurut Teorema 1.19 juga berlaku a ∗ b ' ∈ K . Akibatnya a ∗ b ' ∈ H ∩ K , dan menurut Teorema 1.19 berakibat H ∩ K merupakan subgrup atas G.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
9
Sumber
Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
10
