1.
feladat megoldásokkal
Az általunk vizsgált gazdaságban két iparág állít el˝o termékeket, az X és az Y. A termelés során mindekét iparág reprezentatív vállalata két termelési tényez˝o típust használ egy iparágspecifikusat, és egy olyant, amely szabadon áramolhat a két iparág között. Ez utóbbi a munkaer˝o, míg az iparágspecifikus termelési tényez˝o az X terméket létrehozó vállalatnál a föld, az Y terméket el˝oállító vállalatnál a t˝oke. A termelési függvények a következ˝o formában adhatók meg: QX = F 0,2 L0,8 X QY = K 0,5 L0,5 Y A termelési tényez˝okból maximálisan rendelkezésre álló mennyiség: L = 782 K = 65 F =4 A gazdaság reprezentatív fogyasztója az egyes termékekb˝ol az U = ln DX + 1, 25 ln DY formában felírt hasznosságnak a költségvetési korlát mellett elérhet˝o maximumát biztosító mennyiséget vásárolja. A gazdaság kis nyitott gazdaság, amely a világpiacon a A gazdaság statisztikai hivatala a P =
0,3 0,7 PX PY
világ
PX
világ
PY
= 1 relatív árral szembesül.
képlettel határozza meg a fogyasztói árindexet.
1. Adja meg a termelési lehet˝oségek határa nev˝u függvény egyenletét! A munkapiacon a munkakínálatnak meg kell egyeznie a munkakereslettel: L = LX + LY 782 = LX + LY A termelési lehet˝oségek határának azonban nem a lehetséges munkafelhasználás-kombinációkat, hanem a termelési tényez˝ok maximális kihasználása mellett elérhet˝o termék-kombinációkat kell tartalmaznia. A termelési függvények azonban a kibocsátás és a munkaer˝ofelhasználás közötti kapcsolatot írják le, így ha a termelési függvényekb˝ol kifejezzük a munkamennyiséget, és visszahelyettesítjük a munkapiaci egyensúlyi feltételbe, megkapjuk a termelési lehet˝oségek határa nev˝u összefüggést. 1
QX = F
0,2
L0,8 X
−→ LX =
0,8 QX 0,2
4 0,8 2 Q Y QY = K 0,5 L0,5 −→ L = Y Y 65 Q1,25 Q2 X 782 = + Y 1, 414213562 65
2. Adja meg annak a függvénynek a feltételnek az egyenletét, amely adott termelési lehet˝oségek határa, és adott árarány mellett kijelöli a termelt termékek kombinációját. A határtermékek arányának meg kell egyeznie a piaci áraránnyal M P LY PX = M P LX PY ahol QY LY QX = 0, 8 LX
M P LY = 0, 5 M P LX
1
A határtermékeket az el˝oz˝o összefüggésbe visszahelyettesítve adódik a keresett egyenlet Y 0, 5 Q LY X 0, 8 Q LX
=
PX PY
QY LX QY 0, 625 = 0, 625 QX LY QX = 0, 625
Q1,25 X 1,414213562 Q2Y 65
Q0,25 Q0,25 65 PX X = 28, 72621299 X = 1, 414213562 QY QY PY
3. Adja meg a költségvetési korlát egyenletét. A költségvetési korlát azt mutatja, hogy a fogyasztó csak a megszerzett jövedelmét költheti X és Y termék vásárlására. A megszerzett jövedelem a GDP (termelési megközelítés = jövedelmi megközelítés), így a költségvetési korlát PX QX + PY QY = PX DX + PY DY A termékek ára nem lesz ismert a feladat megoldása során, csak a két termék árának egymáshoz viszonyíott aránya, így érdemes a fenti egyenletet PY -al végigosztani, hogy abban árak már nem, csak árarány szerepeljen. PX PX QX + QY = DX + DY PY PY 4. Írja fel azt a függvényt, amely azt formalizálja, hogy az optimális jószágkosárban a közömbösségi görbe érinti a költségvetési korlátot. A helyettesítési határrátának meg kell egyeznie az áraránnyal M UX PX = M UY PY ahol 1 DX 1, 25 M UY = DY
M UX =
Behelyettesítve DY PX = 1, 25DX PY 5. Autark állapotban mennyi X terméket hozott volna létre a gazdaság? Autark állapotban tudjuk, hogy a fogyasztó pont a megtermelt termékmennyiséget fogyasztja, azaz QX = DX QY = DY A termelési (és fogyasztási) pont kiszámításához szükséges információk: (a) a termelési pont rajta van a termelési lehet˝oségek határa nev˝u görbén, (b) a termelési lehet˝oségek határát pont ebben a pontban érinti egy áraránynak megfelel˝o meredekség˝u egyenes, (c) a közömbösségi görbe is pont ebben a pontban érinti az áraránynak megfelel˝o meredekség˝u egyenest (költségvetési korlátot). 2
Formalizálva (és már kihasználva a termelés = fogyasztás összefüggést): 782 =
Q1,25 Q2 X + Y 1, 414213562 65
Q0,25 PX X = QY PY QY PX = 1, 25QX PY
28, 72621299
amelyb˝ol 28, 72621299
Q0,25 QY X = QY 1, 25QX
35, 90776623Q1,25 = Q2Y X 1,25 QX 35, 90776623Q1,25 X + = 1, 259533954Q1,25 X 1, 414213562 65 = 171, 5526768
782 = QX
6. Mekkora lett volna az Y-ból el˝oállított mennyiség, ha a gazdaság nem létesített volna kereskedelmi kapcsolatot a világ többi részével? 35, 90776623Q1,25 = Q2Y X QY = 149, 3112844
7. Mekkora lett volna az X termék árának az Y termék árához viszonyított nagysága autark állapotban? QY PX = 1, 25QX PY PX = 0, 696281922 PY 8. Mennyi X és mennyi Y terméket fogyasztott volna a reprezentatív fogyaszó, ha a gazdaság nem kapcsolódott volna a nemzetközi kereskedelembe? Az két termékb˝ol elfogyasztott mennyiség megyegyezik a két termékb˝ol el˝oállított termékmennyiséggel: DX = 171, 5526768 DY = 149, 3112844
9. Mekkora lett volna a gazdaság reál GDP-je autark állapotban? A reál GDP a nominális GDP és az árindex hányadosa, ahol a nominális GDP a megtermelt termékek piaci áron számított értéke, az árindexet pedig a statisztikai hivatal a feladatban megadott képlet alapján számítja ki. PX QX + PY QY nominális GDP = 0,3 0,7 P PX PY 0,7 0,3 PX QX PY QY PX PY = 0,3 0,7 + 0,3 0,7 = QX + QY PY PX PX PY PX PY 0,3 1 0,7 = (0, 696281922) 171, 5526768 + 149, 3112844 = 299, 5915781 0, 696281922
reál GDP =
3
10. Autark állapotban mekkora reálbért realizálhattak volna a munkavállalók? A reálbér a nominálbér és az árszínvonal hányadosa w=
W P
Tudjuk, hogy egy profitmaximalizáló vállalat addig növeli a felhasznált munkaer˝o mennyiségét, amíg a határtermék piaci áron számított értéke (határbevétel) meg nem egyezik a nominálbérrel (a pótlólagos munkaer˝o felhasználásából származó határköltséggel). A munkaer˝o szabadon áramlik a két iparág között, így az iparágak azonos bért fizetnek a munkavállalóknak. Ez utóbbi eredményb˝ol következik, hogy mindegy, melyik iparágra vonatkozó profitmaimum feltételt választjuk, a nominális bérre vonatkozóan nem kaphatunk más eredményt. Válasszuk az X iparágat. A fenti határbevétel = határköltség feltétel ekkor PX M P LX = W A reálbér képletébe behelyettesítve és kihasználva, hogy az árszínvonalat a statisztikai hivatal egy adott képlet alapján számítja ki: PX M P LX W = 0,3 0,7 P PY PX 0,7 PX QX 171, 5526768 0,7 = = 0, 242635975 0, 8 = (0, 696281922) 0, 8 PY LX 439, 0175439
w=
11. Autark állapotban mekkora reálbérleti díj biztosított volna egyensúlyt a földpiacon? A föld reálbérleti díja a föld nominális bérleti díjának és az árszínvonalnak a hányadosa rF =
RF P
A profitmaximalizáló vállalat egészen addig növeli a föld felhasználását, amíg a pótlólagos föld felhasználásából származó pótlólagos bevétel (határtermék piaci áron számított értéke) meg nem egyezik a pótlólagos föld felhasználásának pótlólagos költségével (határköltség). Formálisan PX M P FX = RF A fenti összefüggést, és a statisztikai hivatal árszínvonal meghatározásához használt képletét a reálbérleti díj definíciójába behelyettesítve a reálbérleti díj értéke már kiszámolható RF PX M P FX = 0,3 0,7 P PX PY 0,7 PX QX 171, 5526768 0,7 = 0, 2 = (0, 696281922) 0, 2 = 6, 657590624 PY F 4
rF =
12. Mekkora lett volta a t˝okepiaci egyensúlyt biztosító reálbérleti díj nagysága, ha a gazdaság autark állapotban maradt volna? A t˝oke reálbérleti díja a t˝oke nominális bérleti díjának és az árszínvonalnak a hányadosa rK =
RK P
A profitmaximalizáló vállalat egészen addig növeli a t˝oke felhasználását, amíg a pótlólagos t˝oke felhasználásából származó pótlólagos bevétel (határtermék piaci áron számított értéke) meg nem egyezik a pótlólagos t˝oke felhasználásának pótlólagos költségével (határköltség). Formálisan PY M P K Y = R K 4
A fenti összefüggést, és a statisztikai hivatal árszínvonal meghatározásához használt képletét a reálbérleti díj definíciójába behelyettesítve a reálbérleti díj értéke már kiszámolható RK PY M P KY = 0,3 0,7 P PX PY 0,3 PY QY 149, 3112844 −0,3 = 0, 5 = (0, 696281922) 0, 5 = 1, 280305889 PX K 65
rK =
13. A világpiaci árarány ismeretében melyik termék el˝oállításában van komparatív el˝onye a gazdaságnak? Az autark árarány 0,696281922, a világpiaci árarány 1, így a gazdaságnak komparatív el˝onye van az X termék el˝oállításában (a másik termékhez képest relatíve olcsón meg tudja termelni és a világpiacon drágábban el tudja adni). 14. Melyik termék létrehozásában van komparatív hátránya a gazdaságnak? X termékben volt komparatív el˝onye, így Y termékben lesz komparatív hátránya. 15. Mennyi X terméket állít el˝o a gazdaság? A termelési pont meghatározásához szükségünk van (a) a termelési lehet˝oségek határa nev˝u összefüggésre, (b) és arra az egyenletre, amely azt mutatja, hogy a termelési pontban a világpiaci áraránynak megfelel˝o meredekség˝u egyenes érinteni fogja a termelési lehet˝oségek határát (határtermékek aránya megegyezik az áraránnyal). Formálisan (az egyenleteket korábban már felírtuk, itt csak annyit módosítunk, hogy az árarányt átírjuk világpiaci árarányra): 782 =
Q1,25 Q2 X + Y 1, 414213562 65 világ
28, 72621299
Q0,25 P X = X világ QY PY
A világpiaci árarányt a második egyenletbe behelyettesítve és a QY -t kifejezve, majd a QY -t a termelési lehet˝oségek határa nev˝u egyeneletbe visszapakolva az alábbi összefüggéshez jutunk: QY = 28, 72621299Q0,25 X 2 0,25 1,25 28, 72621299Q X QX 782 = + 1, 414213562 65 0 = 782 −
Q1,25 X − 12, 6953125Q0,5 X 1, 414213562
A fenti egyenletet bármely egyenletmegoldó szoftverrel meg tudjuk oldani (például az Excel Solvel b˝ovítményével, melynek használatáról lásd az el˝oadás megfelel˝o slide-jait). QX = 218, 5845217 (Megjegyzés: a gazdaságnak komparatív el˝onye volt az X termék el˝oállításában, így X-b˝ol a kereskedelem megindítása után az autark állapothoz képest többet állít el˝o.) 16. Mennyi Y terméket hoz létre az azt el˝oállító iparág? A QY = 28, 72621299Q0,25 összefüggés alapján X QY = 110, 4544526 (Megjegyzés: a gazdaságnak komparatív hátránya volt az Y termék el˝oállításában, így Y-ból a kereskedelem megindítása után az autark állapothoz képest kevesebbet állít el˝o.) 5
17. Mennyi X és mennyi Y terméket fogyaszt a reprezentatív fogyasztó? A fogyasztási pont meghatározásához szükségünk lesz (a) a költségvetési korlátra, (b) és arra az összefüggésre, amely azt mutatja, hogy a közömbösségi görbe a fogyasztási pontban érinti a költségvetési korlátot (határhasznok aránya megegyezik a piaci áraránnyal). Az egyenleteket már korábban felírtuk, egyetlen változtatásként most az árarányt kicseréljük a világpiaci árarányra. világ
világ
PX
PX
PY
PY
Q + QY = világ X
világ
DX + DY
világ
P DY = X világ 1, 25DX PY A világpiaci árarány és a két termékb˝ol el˝oállított mennyiség ismert, ezt behelyettesítve adódik az a két egyenletb˝ol álló rendszer, amit a két fogyasztási szintre már meg tudunk oldani 218, 5845217 + 110, 4544526 = 329, 0389743 = DX + DY DY = 1, 25DX 329, 0389743 = 2, 25DX DX = 146, 2395441 DY = 182, 7994302 18. Melyik terméket exportálja a gazdaság és mennyit exportál bel˝ole? Az X termékb˝ol többet termel a gazdaság, mint amennyit fogyaszt, ezt exportálja (amúgy ezt korábban is tudtuk, mert azt exportáljuk, amiben komparatív el˝onyünk van). DX = 146, 2395441 QX = 218, 5845217 EX = QX − DX = 72, 3449776
19. Melyik terméket importálja a gazdaság és mennyit importál bel˝ole? Az Y termékb˝ol kevesebbet termel a gazdaság, mint amennyit fogyaszt, ezt importálja (amúgy ezt korábban is tudtuk, mert azt importáljuk, amiben komparatív hátrányunk van). DY = 182, 7994302 QX = 110, 4544526 IM = DY − QY = 72, 3449776 (Megjegyzés: itt le is ellen˝orizhetjük, hogy jól számoltunk-e, mert az import piaci áron számított értékének meg kell egyeznie az export piaci áron számított értékével.) 20. Mekkora a gazdaság reál GDP-jének értéke? A reál GDP továbbra is a nominális GDP és az árszínvonal hányadosa. A képlet a korábbiakhoz képest nem változott, csak a behelyettesítend˝o értékek módosultak világ
reál GDP =
világ
=
világ
P QX + PY QY nominális GDP = X világ;0,3 világ;0,7 P PX PY PX QX
világ;0,3
PX
0,7
reál GDP = (1)
világ;0,7
PY
világ
+
PY
világ;0,3
PX
218, 5845217 + (1)
0,3
QY világ;0,7
PY
világ
=
PX
világ
PY
!0,7
világ
QX +
110, 4544526 = 329, 0389743
A reál GDP növekedett az autark állapothoz képest. A gazdaság jól járt. 6
PY
világ
PX
!0,3 QY
21. Hány százalékkal magasabb/alacsonyabb a reál GDP az autark állapothoz viszonyítva? A reál GDP 9,8291803 százalékkal magasabb, mint amennyi autark állapotban lett volna. 22. Mekkora a reálbér? A reálbér most is a nominálbér és az árszínvonal hányadosa. A képlet a korábbihoz képest nem változik, csak a behelyettesített értékek módosulnak. világ
PX M P LX W = világ;0,3 világ;0,7 P PX PY !0,7 világ PX QX 218, 5845217 = 0, 8 = 0, 8 ∗ = 0, 294238931 világ L 594, 3048293 X P
w=
Y
A reálbér növekedett, így a munkavállalók jól jártak a kereskedelembe való bekapcsolódással. 23. Hány százalékkal magasabb/alacsonyabb a reálbér az autark állapothoz viszonyítva? A reálbér 21,26764385 százalékkal növekedett. 24. Számítsa ki a föld reálbérleti díját! A reálbérleti díj most is a nominális bérleti díj és az árszínvonal hányadosa. A képlet a korábbihoz képest nem változik, csak a behelyettesített értékek módosulnak. világ
PX M P FX RF = világ;0,3 világ;0,7 P PX PY !0,7 világ PX QX 218, 5845217 0, 2 = = 0, 2 = 10, 92922609 világ F 4 P
rF =
Y
˝ A föld reálbérleti díja nagymértékben növekedett. EXPORTÁLÓ IPARÁG SPECIFIKUS TERMELÉSI TÉNYEZOINEK TULAJDONOSAI JÓL JÁRNAK! 25. Hány százalékkal magasabb/alacsonyabb a föld reálbérleti díja az autark állapothoz viszonyítva? A föld reálbérleti díja 64,16188235 százalékkal lesz magasabb, mint amekkora autark állapotban lett volna. 26. Határozza meg a t˝oke reálbérleti díját! A reálbérleti díj most is a nominális bérleti díj és az árszínvonal hányadosa. A képlet a korábbihoz képest nem változik, csak a behelyettesített értékek módosulnak. világ
PY M P KY RK = világ;0,3 világ;0,7 P PX PY ! világ 0,3 PY QY 110, 4544526 = 0, 5 = 0, 5 = 0, 849649635 világ K 65 P
rK =
X
˝ IPARÁG SPECIFIKUS A t˝oke reálbérleti díja csökkent az autark állapothoz képest. IMPORTTAL VERSENYZO ˝ TERMELÉSI TÉNYEZOINEK TULAJDONOSAI ROSSZUL JÁRNAK A KERESKEDELEMBE VALÓ BEKAPCSOLÓDÁSSAL. 27. Hány százalékkal magasabb/alacsonyabb a t˝oke reálbérleti díja az autark állapothoz viszonyítva? A t˝oke reálbérleti díja 33,63698142 százalékkal csökken. 28. Ki járt jól és ki járt rosszul a kereskedelembe való bekapcsolódással? Jól jár a gazdaság, mert a reál GDP és a társadalmi jólét is növekszik. Jól jár a munkavállaló és a földtulajdonos, mert reálbérük/reál bérleti díjuk növekszik. Rosszul jár a t˝oketulajdonos, mert reálbérleti díja csökken.
7
