1. 1.
T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek
p (b) z = x2 + y 2 : 90◦ -os ny´ıl´assz¨og˝ u k´ up, z szimmetriatengellyel az xy sik felett.
Bevezet´ es A fenti k´ up egy z tengellyel rendelkez˝ o ´ forg´asszimmetrikus alakzat. Altal´ aban a z szimmetriatengely˝ u forg´asszimmetrikus alakzat arr´ ol ismerhet˝o fel, hogy p z = g( x2 + y 2 )
Ennek a fejezetnek a c´elja a k´etv´ altoz´ os f¨ uggv´enyek vizsg´ alata, ami sor´ an a 3-dimenzi´ os fel¨ uleteket szeretn´en´enk meg´erteni. 1. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ Rn . Ekkor az f : D → R f¨ uggv´enyt n-v´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´enynek h´ıvjuk.
alak´ u ´es ekkor ez az xz s´ıkban l´ev˝ o z = g(x) f¨ uggv´eny z tengely k¨or¨ uli megforgat´ as´ aval kaphat´o meg.
Az n-v´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´eny m´ asik jel¨ ol´ese: w = f (x1 , x2 , . . . , xn ),
ahol w, xi ∈ R
p P´eld´aul a fenti k´ up eset´en g( x2 + y 2 ) = p x2 + y 2 , ez´ert g(x) = x, ´ıgy az xz s´ıkban l´ev˝ o z = x, x ≥ 0 f´elegyenes megforgat´as´aval kapjuk a fel¨ uletet, ami egy k´ up.
Speci´ alis esetek: 1. K´etv´ altoz´ os f¨ uggv´enyek: D ⊂ R2 , f : D → R, azaz z = f (x, y)
(c) z p = x2 + y 2 : szint´en egy forg´asfel¨ ulet, ahol 2 2 2 2 g( x + y ) = x + y , ez´ert g(x) = x2 , ´ıgy az xz s´ıkban l´ev˝o z = x2 , x ≥ 0 f´elparabola megforgat´as´aval kapjuk a fel¨ uletet, ami egy u ´n. forg´asparaboloid.
Ezt az x, y, z 3-dimenzi´ os t´erben ´ abr´ azolva egy fel¨ uletet kapunk. N´eh´ any term´eszetes k´erd´es ezzel kapcsolatban: (a) Hat´ arozzuk meg a fel¨ ulet egy P0 pontj´aban az ´erint˝ os´ıkot!
2. Implicit megad´asi n´od: F (x, y, z) = 0, azaz a fel¨ ulet pontjai: {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0}
(b) Hat´ arozza meg a fel¨ ulet lok´ alis minimumait ´es maximumait!
P´eld´ak:
(c) Hat´ arozza meg a fel¨ ulet ´es az xy s´ık k¨oz¨otti t´err´esz t´erfogat´ at!
(a) x2 + y 2 + z 2 − R2 = 0: O k¨oz´eppont´ u R sugar´ u k¨or
2. H´ aromv´ altoz´ os f¨ uggv´enyek: D ⊂ R3 , f : D → R, azaz w = f (x, y, z)
(b) z 2 − x2 − y 2 = 0: z szimmetriatengely˝ u mindk´et ir´anyban v´egtelen, 90◦ os nyil´assz¨og˝ u k´ up (c) x2 + y 2 − z 2 − 1 = 0: egyk¨openy˝ u hiperboloid
Egy term´eszetes k´erd´es ezzel kapcsolatban:
3. Param´eters megad´asi m´od. Legyen T ⊂ R2 . Legyen r1 : T → R, r2 : T → R, r3 : T → R f¨ uggv´enyek. A fel¨ ulet:
Legyen f (x, y, z) a D t´err´esz s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Mekkora D t¨ omege?
{(r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v)) : (u, v) ∈ T }
2.
Fel¨ uletek megad´ asa t´ erben
P´eld´ak:
A fel¨ uletek megad´ as´ ara h´ arom m´ odszert ismertet¨ unk:
(a) (5 cos u, 5 sin u, v), 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 10: z szimmetriatengely˝ u r = 5 sugar´ u 0 ≤ z ≤ 10 k¨ozt l´ev˝o henger pal´astja
1. Explicit megad´ asi m´ od:
(b) Hogyan param´eterezhtj¨ uk az R sugar´ u O k¨oz´eppont´ u g¨omb¨ot?
z = f (x, y), azaz a fel¨ ulet pontjai
Ha az xz s´ıkban adott az (r1 (u), r2 (u)), a ≤ u ≤ b param´eterez´es˝ u g¨orbe, akkor ezt a z tengely k¨or¨ ul megforgatva az
{(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D} P´eld´ ak:
{(r1 (u) cos v, r1 (u) sin v, r2 (u)) : a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2π} (a) z = x + y: s´ık, melynek egy pontja: P0 (0, 0, 0), norm´ alvektora: n = (1, 1, −1)
param´eterez´es´ u fel¨ uletet kapjuk. 1
A folytonoss´ag fogalma hasonl´o az egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek eset´en lt´atthoz:
A fenti g¨ ombh¨ oz az xz s´ıkban l´ev˝o (R sin u, R cos u), 0 ≤ u ≤ π f´elk¨ ort megforgatva jutunk. ´Igy a g¨ omb param´eterez´ese:
5. defin´ıci´ o. Az f (x, y) f¨ uggv´eny folytonos az (x0 , y0 ) pontban, ha
{(R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u) :
1. l´etezik a
0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π}
3.
lim
f (x, y)
(x,y)→(x0 ,y0 )
2. l´etezik a f (x0 , y0 )
Hat´ ar´ ert´ ek, parci´ alis deriv´ alt
3. lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) Ebben a fejezetben a k´etv´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´enyek (x,y)→(x0 ,y0 ) vizsg´ alat´ ahoz sz¨ uks´eges alapfogalmakat, t´eteleket adjuk 6. defin´ıci´ o. Az f (x, y) f¨ uggv´eny folytonos, ha az meg. ´ertelmez´esi tartom´anya minden pontj´aban folytonos. 2. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ R2 ´es f : D → R. Azt mondAz egyv´altoz´os f¨ uggv´enyekn´el megszokott tujuk, hogy az (x0 , y0 ) ∈ D az f (x, y) f¨ uggv´eny bels˝ o pontja, lajdons´ a gok ´ e rv´ e nyesek a hat´a´ert´ek ´es folytonos ha l´etezik olyan (x0 , y0 ) k¨ oz´eppont´ u k¨ or, mely benne van f¨ u ggv´ e nyekre, amikor o ¨ sszeadunk, kivonunk, sz´ ammal D-ben. szorzunk stb. 3. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ R2 ´es f : D → R. Azt mondjuk, hogy a D tartom´ any ny´ılt, ha minden (x0 , y0 ) ∈ D 4. Parci´ alis derv´ alt pont bels˝ o pont. Legyen az f (x, y) f¨ uggv´eny egy bels˝o pontja (x0 , y0 ). Tek4. defin´ıci´ o. Legyen D ⊂ R2 ´es f : D → R. Legyen az ints¨ uk az xy s´ıkban l´ev˝o y = y0 egyenesnek az ´ertelmez´esi f (x, y) f¨ uggv´eny ´ertelmezve az (x0 , y0 ) k¨ or¨ uli kicsi k¨or¨on tartom´anyba es˝o r´esz´et. Ennek a k´epe a fel¨ uleten l´ev˝ o legfeljebb az (x0 , y0 )t kiv´eve. Ekkor azt mondjuk, hogy az g¨orbe, mely az f (x, y) f¨ uggv´eny hat´ ar´ert´eke az L sz´ am, ha minden > 0 eset´en l´etezik δ > 0 sz´ am u ´gy, hogy {(x, y0 , z) : x, z ∈ R} |f (x, y) − L| <
s´ıkban vannak. Ennek a g¨orb´enek az (x0 , y0 ) pontban vett ´erint˝oj´enek meredeks´eg´et az egyv´altoz´os f¨ uggv´enyekn´el tanultakhoz hasonl´oan ´ertelmezz¨ uk:
ha 0< Jel¨ ol´es:
p (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ
lim
m = lim
f (x, y) = L
x→x0
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = x − x0
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x Hasonl´oan: tekints¨ uk az xy s´ıkban l´ev˝o x = x0 egyenesnek az ´ertelmez´esi tartom´anyba es˝o r´esz´et. Ennek a k´epe a fel¨ uleten l´ev˝o g¨orbe, mely az
P´eld´ ak:
lim
∆x→0
1. lim
sin(x + y) = sin(
(x,y)→(π/4,π/4)
2.
π π + )=1 4 4
x2 y = 0, (x,y)→(0,0) x2 + y 2
{(x0 , y, z) : y, z ∈ R}
lim
mert
2
|
s´ıkban vannak. Ennek a g¨orb´enek az (x0 , y0 ) pontban vett ´erint˝oj´enek meredeks´eg´et az egyv´altoz´os f¨ uggv´enyekn´el tanultakhoz hasonl´oan ´ertelmezz¨ uk:
2
x y x − 0| = | 2 ||y| ≤ |y|, x2 + y 2 x + y2
ez´ert δ = v´ alaszt´ as megfelel˝ o.
m = lim
y→y0
3. A
2
lim
(x,y)→(0,0) x2
x + y2
lim
∆y→0
hat´ ar´ert´ek nem l´etezik, mert ha y = mx egyenes ment´en k¨ ozel´ıtj¨ uk meg az O-t, akkor f (x, y) = f (x, mx) =
x2
f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) = y − y0
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) ∆y
7. defin´ıci´ o. Az f (x, y) f¨ uggv´eny (x0 , y0 ) pontj´ aban vett x szerinti parci´alis deriv´altja:
x2 1 = , + (mx)2 1 + m2
lim
x→x0
ami ugyan ´ alland´ o, de k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m-ek eset´en k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o.
lim
∆x→0
2
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = x − x0
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x
´es y-szerinti parci´ alis deriv´ altja: lim
y→y0
8. defin´ıci´ o. Az f (x, y) f¨ uggv´eny x-szerinti m´ asodik parci´alis deriv´altja: ∂2f ∂ ∂f 00 = fxx = ∂x ∂x ∂x2
f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) = y − y0
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) ∆y→0 ∆y lim
Hasonl´oan kapjuk a tov´abbi h´arom m´asodik parci´ alis deriv´altat: ∂ ∂f ∂2f 00 = = fyx ∂y ∂x ∂y∂x ∂ ∂f ∂2f 00 = = fxy ∂x ∂y ∂x∂y ∂2f ∂ ∂f 00 = fyy = ∂y ∂y ∂y 2
Jel¨ ol´es: x-szerinti parci´ alis deriv´ alt (x0 , y0 )-ban: ∂f (x0 , y0 ), fx0 (x0 , y0 ) ∂x y-szerinti parci´ alis deriv´ alt (x0 , y0 )-ban: ∂f (x0 , y0 ) ∂y
vagy
fy0 (x0 , y0 )
P´elda: f (x, y) = x2 + xy 2 + x3 y 2 + y 3 . Ekkor
Az x-szerinti parci´ alis deriv´ altat u ´gy sz´ amoljuk, hogy yt konstansnak tekintj¨ uk ´es x-szerint, mint v´ altoz´o szerint deriv´ alunk az egyv´ altoz´ os f¨ uggv´enyekn´el megszokott szab´ alyok szerint. Hasonl´ oan, az y-szerinti parci´alis deriv´ altat u ´gy sz´ amoljuk, hogy x-t konstansnak tekintj¨ uk ´es y-szerint, mint v´ altoz´ o szerint deriv´ alunk az egyv´altoz´os f¨ uggv´enyekn´el megszokott szab´ alyok szerint.
fx0 = 2x + y 2 + 3x2 y 2 fy0 = 2xy + 2x3 y + 3y 2 00 fxx = 2 + 6xy 2 00 fyx = 2y + 6x2 y
P´eld´ ak:
00 fxy = 2y + 6x2 y
1. f (x, y) = x2 y + xy 3 eset´en
00 fyy = 2x + 2x3 + 6y 00 00 . Ez ´altal´aban is igaz: = fxy A p´eld´aban fyx
∂f = 2xy + y 3 ∂x
1. t´ etel (Young). Ha f (x, y) ´es parci´alis deriv´ altjai 00 00 l´eteznek egy olyan ny´ılt tartom´anyon, ami , fxy fx0 , fy0 , fyx tartalmazza az (x0 , y0 ) pontot, ´es valamennyi folytonos az (x0 , y0 ) pontban, akkor
∂f = x2 + 3xy 2 ∂y 2. f (x, y) =
p x2 + yex eset´en
00 00 fyx (x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 )
p ∂f 1 = (x2 + y)−1/2 2xex + x2 + yex ∂x 2
Az egyv´altoz´os f¨ uggv´enyekn´el a deriv´alt fogalma a k¨ovetkez˝ott jelentette: ha
∂f 1 = (x2 + y)−1/2 ex ∂y 2 3 2
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ),
2
3. f (x, y, z) = x y sin(x + z )
akkor ∆y = f 0 (x0 )∆x + ∆x,
∂f = 3x2 y 2 sin(x + z 2 ) + x3 y 2 cos(x + z 2 ) ∂x
ahol → 0, amint ∆x → 0.
∂f = 2x3 y sin(x + z 2 ) ∂y
Ennek mint´aj´ara igaz az al´abbi t´etel:
∂f = 2x3 y 2 cos(x + z 2 )2z ∂z
2. t´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy f (x, y) parci´alis deriv´ altjai l´eteznek egy T ny´ılt tartom´anyon, mely tartalmazza az uk fel, hogy fx0 ´es fy0 folytonosak Mejegyz´es: A parci´ alis deriv´ altak l´etez´es´eb˝ol nem (x0 , y0 ) pontot ´es tegy¨ (x0 , y0 )-ban. Ekkor az f (x, y) f¨ uggv´eny v´altoz´asa k¨ ovetkezik a folytonoss´ ag, mint azt az ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) 0 ha xy 6= 0 f (x, y) = 1 ha xy = 0 kifejezhet˝o ∆z = fx0 (x0 , y0 )∆x + fy0 (x0 , y0 )∆y + 1 ∆x + 2 ∆y
A m´ asodik parci´ alis deriv´ altakat az els˝ o parci´alis dealakba, ahol 1 , 2 → 0, amint ∆x, ∆y → 0 mindketten. riv´ alt tov´ abbderiv´ al´ as´ aval kapjuk: 3
Ez motiv´ alja az al´ abbi defin´ıci´ ot:
K´erd´es: Mekkora ennek a g¨orb´enek az (x0 , y0 ) ponthoz tartoz´o meredeks´ege?
9. defin´ıci´ o. Tegy¨ uk fel, hogy f (x, y) ´ertelmezve van egy (x0 , y0 ) pontot tartalmaz´ o ny´ılt tartom´ anyon. Az f (x, y) f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o az (x0 , y0 ) pontban, ha fx0 (x0 , y0 ) ´es fy0 (x0 , y0 ) l´etezik, ´es
Megold´as: A k´erd´esre a lim
t→0
∆z = fx0 (x0 , y0 )∆x + fy0 (x0 , y0 )∆y + 1 ∆x + 2 ∆y
f (x0 + v1 t, y0 + v2 t) − f (x0 , y0 ) t
hat´ar´ert´ek adja meg. Ezt a l´ancszab´allyal sz´amljuk ki, alakba, ahol 1 , 2 → 0, amint ∆x, ∆y → 0 mindketten. ahol x(t) = x0 + v1 t Az f (x, y) f¨ uggv´enyt differenci´ alhat´ onak mondjuk, ha az ´ertelmez´esi tartom´ any minden pontj´ aban differenci´alhat´o. y(t) = y0 + v2 t Teh´ at
A l´ancszab´aly az al´abbit adja: fx0
fy0
3. t´ etel. Ha az f (x, y) f¨ uggv´eny ´es parci´alis dem = fx0 (x0 , y0 )v1 + fy0 (x0, y0 )v2 riv´ altjai folytonosak egy ny´ılt T halmazon, akkor f (x, y) 10. defin´ıci´ o. Legyen az f (x, y) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi differenci´ alhat´ o a T minden pontj´ aban. tartom´any´anak egy bels˝o pontja (x0 , y0 ) ´es v = (v1 , v2 ) A folytonoss´ ag defin´ıci´ oj´ ab´ ol k¨ onnyen l´ atszik az al´abbi egy |v| = 1 vektor. Ekkor az f (x, y) f¨ uggv´eny (x0 , y0 ) t´etel: u ir´anymenti deriv´altja: pontj´aban vett v ir´any´ 4. t´ etel. Ha f (x, y) differenci´ alhat´ o az (x0 , y0 ) pontban, fx0 (x0 , y0 )v1 + fy0 (x0, y0 )v2 akkor ott folytonos. Jel¨ol´es:
5.
Ir´ anymenti deriv´ alt, ´ erint˝ os´ık
∂f ∂v (x0 , y0 )
P´elda: Legyen f (x, y) = x2 + xy 3 , (x0 , y0 ) = (1, 2), ´es Legyen az f (x, y) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´ anya a D ⊂ v = ( 53 , 45 ). R2 ´es legyen az (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b g¨ orbe D-ben. Ekkor Ekkor a fx0 = 2x + y 3 , w = f (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b fy0 = 3xy 2 , egy egyv´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´eny. Ennek deriv´ altj´ar´ol sz´ol ez´ert az u ´n. l´ ancszab´ aly: fx0 (1, 2) = 10, 5. t´ etel (L´ ancszab´ aly). Ha az f (x, y) f¨ uggv´eny fx0 , fy0 fy0 (1, 2) = 12, parci´ alis deriv´ altjai folytonosak ´es x(t), y(t) differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyei t-nek, tov´ abb´ a az (x(t), y(t)) g¨orbe ´ıgy az f (x, y) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´ any´ aban tal´alhat´o, ∂f 3 4 (1, 2) = 10 ∗ + 12 ∗ = 15, 6 akkor a ∂v 5 5 w = f (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b 11. defin´ıci´ o. Tegy¨ uk fel, hogy az f (x, y) f¨ uggv´eny egyv´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´eny deriv´ altja: mindk´et parci´alis deriv´altja l´etezik az (x0 , y0 ) pontban. Ekkor a dw gradf = (fx0 , fy0 ) = fx0 (x(t), y(t))x˙ + fy0 (x(t), y(t))y˙ dt vektort gradiensvektornak h´ıvjuk. vagy m´ ask´epp A gradiensvektor egy m´asik jel¨ol´ese: ∇f dw ∂f dx ∂f dy = + dt ∂x dt ∂y dt A gradinsvektort haszn´alva az ir´anymenti deriv´ alt az al´ a bbi skal´ a rszorzatk´ e nt is ´ ırhat´ o : P´elda: sz´ am´ıtsuk ki a l´ ancszab´ allyal ´es k¨ ozvetlen¨ ul ∂f = gradf v ∂v
is az f (x, y) = xy f¨ uggv´eny t szerinti deriv´ altj´at az (x(t), y(t)) = (cos t sin t) g¨ orbe ment´en!
anymenti A parci´ alis deriv´ altak mint´ aj´ ara tekins¨ uk az al´abbi K´erd´es: Melyik ir´anyba kapjuk a legnagyobb ir´ deriv´ a ltat, azaz merre emelkedik legjobban a fel¨ u let? k´erd´est. Legyen az f (x, y) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´ any´ anak egy bels˝ o pontja (x0 , y0 ), ´es legyen v = oget. Megold´as: Jel¨olje γ a gradf ´es a v vektorok k¨ozti sz¨ uk az (x0 , y0 ) ponton (v1 , v2 ) egy |v| = 1 vektor. Tekints¨ Ekkor a skal´ a rszorzat defin´ ıci´ o ja szerint: atmen˝ ´ u v ir´ anyvektor´ u egyenesnek azt a r´esz´et, mely az ´ertelmez´esi tartom´ anyba esik. Ez a fel¨ uleten meghat´aroz ∂f = |gradf ||v| cos γ = |gradf | cos γ, egy g¨ orb´et. ∂v 4
ami akkor maxim´ alis, ha γ = 0, azaz, ha v a gradf ir´ any´ aba mutat´ o egys´egvektor.
13. defin´ıci´ o. At f (x, y) f¨ uggv´eny egy kritikus pontja az (x0 , y0 ), ha vagy fx (x0 , y0 ) = 0,
fy (x0 , y0 ) = 0
Hasonl´ oan okoskodva kapjuk, hogy a legkisebb ir´ anymenti deriv´ altat −gradf ir´ any´ aba kapjuk.
vagy legal´abb az egyik parci´alis deriv´alt nem l´etezik.
Feladat: Hat´ arozza meg az f (x, y) (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) pontj´ ahoz tartoz´ o ´erint˝ os´ıkot!
Megjegyz´es. Teh´at sz´els˝o´ert´ek csak kritikus pontban lehet.
fel¨ ulet
At f (x, y) f¨ uggv´eny (x0 , y0 ) pontban vett m´asodrend˝ u Megold´ as: A s´ık egyenlet´enek meghat´ aroz´ as´ ahoz egy Taylor-polinomja: pontra ´es a norm´ alvektorra van sz¨ uks´eg. Most egy pontj´at ismerj¨ uk, a norm´ alvektort kell meghat´ aroznunk. T2 (x, y) = f (x0 , y0 )+fx0 (x0 , y0 )(x−x0 )+fy0 (x0 , y0 )(y−y0 )+ Ha ismerj¨ uk a s´ık k´et nem p´ arhuzamos vektor´ at, akkor ezek vektori´ alis szorzata lesz a norm´ alvektor. Nyilv´an az 1 00 00 (f (x0 , y0 )(x − x0 )2 + 2fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 )+ ´erinit˝ os´ıkban lesz az x- ill y-szerinti parci´ alis deriv´altn´al 2 xx bevezetett fel¨ uleti g¨ orb´ek ´erint˝ ovektorai. Ezek: 00 fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2 ) v x = (1, 0, fx0 )
Ha ∆x = x − x0 ,
v y = (0, 1, fy0 )
∆y = y − y0 ,
akkor
Ekkor a vektori´ alis szorzat: i j k v x × v y = 1 0 fx0 = (−fx0 , .fy0 , 1), 0 1 fy0
T2 (x, y) = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )∆x + fy0 (x0 , y0 )∆y+ 1 00 00 00 (f (x0 , y0 )(∆x)2 +2fxy (x0 , y0 )∆x∆y+fyy (x0 , y0 )(∆y)2 )+ 2 xx ”pici”
ez´ert ennek (−1)-szerese j´ o lesz norm´ alvektornak:
ahol a ”pici” jelent´ese az, hogy ha ∆x ´es ∆y el´eg kicsi, akkor ez a r´esz elhanyogolhat´oan pici az ¨osszegben szerepl˝o tagokhoz k´epest, ez´ert a fel¨ ulet sz´els˝o´ert´ekeinek meghat´aroz´as´an´al ezzel nem kell foglalkozni, el´eg eld¨onten¨ unk azt, hogy a m´asodrend˝o Taylor-polinomnak van-e sz´els˝o´ert´eke (x0 , y0 )-ban.
n = (fx0 , fy0 , 1), ez´ert az ´erint˝ os´ık egyenlete: fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − f (x0 , y0 )) = 0 P´elda: f (x, y) = 2x2 + xy + 3y 2 ´erint˝ os´ıkja (2, 1)-ben
Tudjuk, hogy ha van sz´els˝o´ert´eke, akkor fx (x0 , y0 ) = 0,
Az ´erint˝ os´ık
fy (x0 , y0 ) = 0
´es f (x0 , y0 ) csak a magass´agot hat´arozza meg, ez´ert el´eg az
z = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 )
alakba is ´ırhat´ o, ahol a jobboldalt az f (x, y) f¨ uggv´eny f 00 (x , y )(∆x)2 +2f 00 (x , y )∆x∆y+f 00 (x , y )(∆y)2 = 0 0 xy 0 0 yy 0 0 (x0 , y0 )-ban vett els˝ orend˝ o Taylor-polinomj´ anak mondjuk. xx 2 ! ∆y ∆y 2 00 00 00 6. K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny lok´ alis (∆x) fxx (x0 , y0 ) + 2fxy (x0 , y0 ) ∆x + fyy (x0 , y0 ) ∆x
sz´ els˝ o´ ert´ eke
kifejez´est megvizsg´alnunk a sz´els˝o´ert´ek szempontj´ ab´ ol. A ∆y u poli12. defin´ıci´ o. Az f (x, y) f¨ uggv´eny egy (x0 , y0 ) bels˝o szorzat m´asodik t´enyez˝oje ∆x -ben egy m´asodfok´ u, ha a diszkrimin´ans negat´ıv. Most pontj´ aban lok´ alis minimuma (maximuma) van, ha l´etezik nom. Ez a´lland´o el˝ojel˝ egy olyan (x0 , y0 )-t tartalmaz´ o kis k¨ or, hogy minden ab- a diszkrimin´ans: ban l´ev˝ o (x, y) pont eset´en f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ) (f (x, y) ≤ 00 00 00 (2fxy (x0 , y0 ))2 − 4fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ). f (x0 , y0 )). Megjegyz´es: Ha egy (x0 , y0 ) pontban sz´els˝ o´ert´ek van ´es Emiatt ha ott l´etezik ´erint˝ os´ık, akkor ott az v´ızszintes, ami azt jelenti, 00 00 00 (2fxy (x0 , y0 ))2 − 4fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) < 0 hogy fx (x0 , y0 ) = 0, fy (x0 , y0 ) = 0 ´es 5
00 1. fxx (x0 , y0 ) > 0, akkor ∆y 00 00 (∆x)2 fxx (x0 , y0 ) + 2fxy (x0 , y0 ) + ∆x
(b) H(xi , yi ) < 0, akkor nincs sz´els˝o´ert´ek, u ´n. nyeregpont van. (c) Ha
00 fyy (x0 , y0 )
∆y ∆x
H(xi , yi ) = 0,
2 ! ≥ 0,
akkor tov´abbi vizsg´alatra van sz¨ uks´eg.
´ıgy (x0 , y0 )-ban lok´ alis minimum van
P´eld´ak:
00 2. fxx (x0 , y0 ) < 0, akkor ∆y 00 00 (∆x)2 fxx (x0 , y0 ) + 2fxy (x0 , y0 ) + ∆x
00 fyy (x0 , y0 )
∆y ∆x
1. Hat´arozza meg az f (x, y) sz´els˝o´ertekeit!
fx0 = 4x3 + 4y = 0,
≤ 0,
f 0 y = 4y 3 + 4x = 0 megold´asai: P1 = (−1, 1), P2 (0, 0), P3 (1, −1). (b)
Ha a diszkrimin´ ans pozit´ıv, azaz −
x4 + y 4 + 4xy
(a)
2 !
´ıgy (x0 , y0 )-ban lok´ alis maximum van.
00 (2fxy (x0 , y0 ))2
=
00 00 4fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 )
00 fxx = 12x2
> 0,
00 fxy =4 00 fyy = 12y 2 ,
akkor (∆x)2
00 00 fxx (x0 , y0 ) + 2fxy (x0 , y0 )
∆y 00 + fyy (x0 , y0 ) ∆x
∆y ∆x
2 !
ez´ert H = 144x2 y 2 − 16. Innen
´ert´eke pozit´ıv ´es negat´ıv is lesz, emiatt nem lesz sz´els˝ o´ert´ek, ekkor azt mondjuk, hogy (x0 , y0 ) pont nyeregpont.
i. P1 :
ez´ert lok´alis minimum P1 -ben
¨ Oszzefoglalva: a lok´ alis sz´els˝ o´ert´ekek megkeres´ese k´et l´ep´esb˝ ol ´ all f (x, y) mindenhol legal´ abb k´etszer parci´alisan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyek eset´en:
ii. P2 :
H(0, 0) = 16 < 0,
ez´ert nyeregpont van P2 -ben.
1. Megkeress¨ uk a kritikus pontokat az fx (x0 , y0 ) = 0,
00 H(−1, 1) = 128 > 0, fxx (−1, 1) = 12 > 0,
iii.
fy (x0 , y0 ) = 0
P3 :
egyenletrendszer megold´ as´ aval. Igy kapjuk a P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ), . . . , Pn (xn , yn ) pontokat.
00 H(1, −1) = 128 > 0, fxx (1, −1) = 12 > 0,
ez´ert lok´alis minimum van P3 -ban. 2. Hat´arozza meg az R sugar´ u f´elg¨ombb˝ol kiv´ aghat´ o legnagyobb t´erfogat´ u t´eglatest oldalainak hossz´ at (feltessz¨ uk, hogy minden cs´ ucs a felsz´ınen van).
2. Fel´ırjuk az u ´n. Hesse-determin´ ast: 00 00 fxx fxy H = 00 00 fxy fyy
Megold´as: A f´elg¨omb¨ot egy f´elg¨ombh´ej ´es egy k¨orlemez hat´arolja. Legyen a t´eglatest k¨orlemezen l´ev˝o lapj´anak oldalai: x, y. Ekkor a Pitagoraszt´etelb˝ol kapjuk, hogy a harmadik oldal: r x2 y2 z = R2 − − , 4 4
´es megvizsg´ aljuk a Pi pontokban. (a) Ha H(xi , yi ) > 0 akkor 00 i. fxx (xi , yi ) > 0 eset´en lok´ alis minimum van Pi -ben 00 ii. fxx (xi , yi ) < 0 eset´en lok´ alis maximum van Pi -ben
teh´at a t´eglatest t´erfogata r V = V (x, y) = xy 6
R2 −
x2 y2 − 4 4
(b)
Ennek maximum´ at keress¨ uk meg. r x2 y2 x2 y ∂V = y R2 − − − q 2 ∂x 4 4 4 R2 − x4 −
y2 4
r ∂V x2 y2 xy 2 = x R2 − − − q 2 ∂y 4 4 4 R2 − x4 −
y2 4
n
X ∂2f = x2i 2 ∂A i=1
=0
n
X ∂2 = xi ∂B∂A i=1
=0
n
X ∂2f = n 2 ∂B i=1
Ennek - figyelembe v´eve, hogy x, y > 0 - a megold´asa Ez´ert
2 x = y = √ R, 3
n n X X H = n( x2i ) − ( xi )2 > 0
´es a Hesse-determin´ ans fel´ır´ asa ut´ an l´ atszik, hoy itt maximum van.
i=1
(ez az u ´n. sz´amtani-n´egyzetes egyenl˝otlens´eg, ha nem minden xi megegyezik.)
3. Legkisebb n´egyzetek m´ odszere: Hat´ arozza meg az P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ), . . . , Pn (xn , yn ) pontokat legjobban k¨ ozel´ıt˝ o Ax + B egyenesben szerepl˝ o A, B ´ert´ekeket, ahol a legjobb k¨ ozel´ıt´est a n X (yi − (Axi + B))2 i=1
minim´ aliss´ a t´etel´evel szeretn´enk el´erni. Megold´ as: Legyen f (A, B) =
n X
(yi − (Axi + B))2
i=1
Ennek a minimum´ at kell meghat´ aroznunk. Ehhez (a) n
X ∂f = 2(yi − (Axi + B))(−xi ) = 0 ∂A i=1 n
X ∂f = 2(yi − (Axi + B))(−1) = 0 ∂B i=1 Az egyenleteket (−2)-vel osztva kapjuk: n X
xi yi − A
i=1
n X
x2i − B
i=1 n X
yi − A
i=1
n X
n X
xi = 0
i=1
xi − Bn = 0
i=1
Ezt az A, B-ben line´ aris egyenletrendszert megoldva a k¨ ovetkez˝ ot kapjuk: Pn Pn Pn ( i=1 xi )( i=1 yi ) − n i=1 xi yi Pn 2 Pn A= ( i=1 ) − n i=1 x2i B=
i=1
n n X 1 X ( yi − A xi ) n i=1 i=1
7
