59
1 egyenletet a valós számok halmazán! 2
l$Z
5( x2 ! ' l & 2( 6
Ellen!rizhetjük, hogy x1 és x 2 valóban gyökei a sin x !
6
k$Z
A megoldások ívmértékben: x1 !
' k & 2(
(
x2 ! 150% ' l & 360% l $ Z
x1 ! 30% ' k & 360% k $ Z
1 tozó forgásszögek a sin x ! egyenlet megoldásai: 2
1 egyenletnek. 2
1 Két különböz! egységvektor van, amelyek második koordinátája . Az ezekhez tar2
körben, akár az f " x # ! sin x függvény grafikonja.
A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a sin x definíciója az egységsugarú
Megoldás:
Oldjuk meg a sin x !
Mintapélda8
segítséget.
Ezeknek az egyenleteknek a megoldásához a tanult trigonometrikus azonosságok nyújtanak
függvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenl!tlenségeknek nevezzük.
Azokat az egyenleteket és egyenl!tlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szög-
III. Trigonometrikus egyenletek
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM
3 2
7( ' l & 2( 6 x2 !
l$ Z
k$Z
5 . 3
3 . Az ezekhez tarto2
TANULÓK KÖNYVE
Számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével kapjuk a megoldást:
Rendezzük az egyenletet: tg x ! )
Megoldás:
Oldjuk meg a 3tg x ! ) 5 egyenletet a valós számok halmazán!
Mintapélda10
melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.
5( ' k & 2( 6
x 2 ! 210% ' l & 360% l $ Z
x1 ! 150% ' k & 360% k $ Z
3 egyenlet megoldásai: 2
A megoldások ívmértékben: x1 !
Az egyenlet megoldásai:
zó forgásszögek a cos x ! )
Két különböz! egységvektor van, amelyek els! koordinátája )
Rendezzük az egyenletet: cos x ! )
Megoldás:
Oldjuk meg a 2 cos x ' 3 ! 0 egyenletet a valós számok halmazán!
Mintapélda9
60
61
1 b) sin + ! ) 2
b) cos + ! )
2 3
a) tg + !
3 3
alábbi egyenl!ség!
b) tg + ! )4
17. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti + szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
a) cos + ! 0
16. Add meg azoknak az + szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenl!ség!
a) sin + ! 0
alábbi egyenl!ség!
15. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti + szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
Feladatok
lógép DRG beállítására!
valós szám, és a megoldásokat nagy részben ezen a halmazon keressük. Vigyázzunk a számo-
Megjegyzés: A trigonometrikus egyenletek gyökeit általában radiánban adjuk meg, mert az
Ennek helyességér!l az ellen!rzés során meggy!z!dhetünk.
Ívmértékben: x * ) 0,64 ' k & ( k $ Z
x * ) 36,7% ' k &180% k $ Z
körben, akár az f " x # ! tg x függvény grafikonja.
A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a tg x definíciója az egységsugarú
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK TANULÓK KÖNYVE
2 3 b) ctg + ! 0
b) sin + ! 1,5
b) cos + !
3 2
b) 2tg x ! )3
c) 3tg x ) 2 ! 0
c) 2 cos + ' 1 ! 0
c) 8 sin + ! 4
a) ctg x ! )1,25
3 cos x ! sin x egyenletet a valós számok halmazán!
c) 3ctg x ' 1 ! 0
sin x ! tg x cos x 3
(
' k &(
k$Z
Ez valóban megoldása az egyenletünknek.
x ! 60% ' k & 180% !
3!
Oszthatunk cos x -szel, mert cos x , 0 , ui. sin x és cos x nem lehet egyszerre 0.
Megoldás:
Oldjuk meg
b) 2ctg x ! 5
22. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
a) tg x ! 2,75
21. Oldd meg a következ! egyenleteket!
a) cos + ! )0,4
20. Oldd meg a következ! egyenleteket!
a) sin + ! 0,6
19. Oldd meg a következ! egyenleteket!
a) ctg + ! )
alábbi egyenl!ség!
18. Add meg azoknak a 0 és 2( közötti + szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM
Mintapélda11
62
1 2
x3 ! 330% ' m & 360% !
11( ' m & 2( 6
b) 2 cos x ) sin x ! 0
c) ) 5 sin x ' cos x ! 3 cos x
a) sin 2 x !
1 9
b) 4 sin 2 x ! 1
c) cos 2 x !
b) 4 cos 2 x ' cos x ! 0
25. Oldd meg a következ! egyenleteket!
a) sin x"2 cos x ) 1# ! 0
1 2
24. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
a) cos x ! 3 sin x
m$ Z
l $ Z,
k$Z
7( ' l & 2( 6
' k &(
23. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
Feladatok
2
(
x 2 ! 210% ' l & 360% !
x1 ! 90% ' k & 180% !
Ez valóban megoldása az egyenletünknek.
vagy sin x ! )
vagy cos x ! 0 -
Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényez!je nulla, ezért
Alakítsunk szorzattá: cos x"2 sin x ' 1# ! 0
Rendezzük nullára az egyenletet: 2 sin x cos x ' cos x ! 0
Megoldás:
k$ Z
2( k & 2( ' 3 3
4( 2( ! ' k & 2( 3 3
2( ' k & 2( 3
1 2
8( l & 2( 2( "4 ' 3l # l $ Z ' ! 9 3 9 x2 !
8( l & 2( ' 9 3
TANULÓK KÖNYVE
l$Z
4( 4( ! ' l & 2( 3 3
4( ' l & 2( 3
2( k & 2( 2( "k ' 1# k $ Z ' ! 3 3 3
x2 !
3x1 )
+1 !
x1 !
4( 3
Ezek helyességér!l ellen!rzéssel gy!z!djünk meg.
Az egyenlet megoldásai:
x1 !
3x1 )
+1 !
Ebb!l: cos + ! )
Vezessünk be új változót: + ! 3x )
4( 0 1 3 Rendezzük az egyenletet: cos1 3x ) .!) 3 / 2 2
Megoldás:
4( 0 3 Oldjuk meg a 2 cos1 3x ) . ' 1 ! 0 egyenletet a valós számok halmazán! 3 / 2
MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM
Mintapélda13
64
Oldjuk meg a 2 sin x cos x ' 4 cos x ! 3 cos x egyenletet a valós számok halmazán!
63
Mintapélda12
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK
b) sin "2 x ' 25%# ! 0,5261
5( 0 3 b) cos1 x ) . !1 4 / 2
3 3
(0 3 b) tg 1 2 x ) . ! )1 4/ 2
(0 3 b) cos 2 1 3x ' . ! 1 2/ 2
a)
sin x
b)
1 sin x
c) 1 ' cos x
d) 1 ) sin 2 x
31. Határozd meg, hogy mely valós x számokra értelmezhet!k a következ! kifejezések!
(0 3 a) 4 sin 2 1 2 x ) . ! 3 6/ 2
30. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
a) ctg 3 x ! 1
(0 3 b) ctg 1 2 x ' . ! ) 3 6/ 2
29. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
a) tg 2 x !
28. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
a) cos 3 x ! 0,5
27. Oldd meg a következ! egyenleteket!
a) sin ") 2 x # ! 0
26. Oldd meg a következ! egyenleteket!
Feladatok
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK
65 MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM
II. eset
Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenl!ek:
TANULÓK KÖNYVE
4 x ! 100% ' l & 360%
2 x ! 120% ' k & 360%
II. eset
x!)
2( ' k & 2( 3 5( ' k & 2( 6
! x)
k $Z
3x !
2x '
2
(
6
' l & 2(
-
x!
6
(
2( 0 3 ! )1 x ) . ' l & 2( 3 / 2
( 6
( 2x '
el egymástól: egymástól:
'
l & 2( 3
l $Z
ódus egész számú többszörösével térnek el a periódus egész számú többszörösével térnek
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás ellentettje, illetve csak
I. eset
Megoldás: Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek koszinuszai egyenl!ek:
2( 0 (0 3 3 Oldjuk meg a cos1 2 x ' . ! cos1 x ) . egyenletet a valós számok halmazán! 6/ 3 / 2 2
Mintapélda15
gy!z!djünk meg.
Ezek helyességér!l az ellen!rzés során
x2 ! 25% ' l & 90% l $ Z
x1 ! 60% ' k & 180% k $ Z
Az egyenlet megoldásai:
x ! 25% ' l & 90%
3 x ) 20% ! 180% ) " x ' 100%# ' l & 360% l $ Z
3x ) 20% ! x ' 100% ' k & 360% k $ Z x ! 60% ' k & 180%
vel térnek el egymástól:
egymástól:
ódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösé-
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészít! szögei, illet-
I. eset
Megoldás:
Oldjuk meg a sin "3 x ) 20%# ! sin " x ' 100%# egyenletet!
Mintapélda14
66
6
(
'
l & 2( 3
l $Z
k $Z
67
melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.
x ! 58% ' k & 60% k $ Z,
Az egyenlet megoldásai:
x ! 58% ' k & 60%
3 x ! 174% ' k & 180%
8 x ) 42% ! 5 x ' 132% ' k & 180% k $ Z
dus egész számú többszörösével térnek el egymástól:
Két szög tangense csak akkor egyenl!, ha a két szög megegyezik, illetve csak a perió-
Megoldás:
Oldjuk meg a tg "8x ) 42%# ! tg "5x ' 132%# egyenletet!
Mintapélda16
gy!z!djünk meg.
Ezek helyességér!l az ellen!rzés során
x2 !
5( x1 ! ) ' k & 2( 6
Az egyenlet megoldásai:
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. eset
k$Z
4
( 'l& 2
(
9( ( 'k& 40 4 l$ Z
k$ Z
gyökei az eredeti egyenletnek.
Ellen!rizzük, hogy x1 és x 2 valóban
x2 !
x1 !
Az egyenlet megoldásai:
( 9( 'k& 40 4
9( ' k & 2( 5
7( 3 2( 0 !( )1 ) 2 x . ' l & 2( 5 2 5 /
2
(
b) tg 5 x ! tg 3x
c) tg 6 x ! tg "2 x ' 70%#
a) sin 3 x ! ) sin 5 x
b) cos 2 x ! ) cos 6 x
34. Oldd meg a következ! egyenleteket a valós számok halmazán!
a) tg 2 x ! tg x
33. Oldd meg a következ! egyenleteket!
d) cos 4 x ! cos"25% ) x #
'l&
c) cos 3 x ! cos x
4
(
(0 (0 3 3 b) sin 1 2 x ' . ! sin 1 x ) . 3/ 6/ 2 2
x!
4 x ! ( ' l & 2(
6x )
vel térnek el egymástól:
a) sin 2 x ! sin x
32. Oldd meg a következ! egyenleteket!
Feladatok
x!
8x !
7( 2( 6x ) ! ) 2 x ' k & 2( 5 5
egymástól:
l$ Z
ódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösé-
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészít! szögei, illet-
I. eset
Megoldás:
7( 0 3 3 2( 0 ) 2 x . egyenletet a valós számok halmazán! Oldjuk meg a sin 1 6 x ) . ! sin 1 5 2 / 2 5 /
Mintapélda17
68
sin "3 x ' 20%# ! sin "90% ) x #
II. eset
Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenl!k:
gének szinuszával:
vények szerepeljenek. Felhasználjuk, hogy egy szög koszinusza megegyezik pótszö-
A megoldások helyességér!l ellen!rzéssel gy!z!djünk meg.
a) sin 3 x ! cos x
(0 5( 0 3 3 b) cos1 x ) . ! sin 1 x ' . 6 / 3/ 2 2
függvényei közötti összefüggéseket!)
35. Oldd meg a következ! egyenleteket! (A megoldáshoz használd fel a pótszögek szög-
Feladatok
-
x2 ! 30% ' k & 180% !
6
(
3
(
' k &(
2
(
' k &(
k$Z
k$Z
Ezt helyettesítsük be az eredeti egyenletbe: 8 ' 7 cos x ! 6"1 ) cos 2 x #
2 3 cos x ! )
l$ Z
4( ' l & 2( 3
x2 ! 240% ' l & 360% !
x 4 * 288,19% ' n & 360% n $ Z
x3 * 131,81% ' m & 360% m $ Z
k$Z
2 3 2( ' k & 2( 3
y2 ! ) x1 ! 120% ' k & 360% !
1 2
Ezek helyességér!l az ellen!rzés során gy!z!djünk meg.
1 2 cos x ! )
így kapott másodfokú egyenletet: y1 ! )
Vezessük be az y ! cos x új ismeretlent, ekkor 6 y 2 ' 7 y ' 2 ! 0 majd oldjuk meg az
Ez cos x -ben másodfokú egyenlet.
Rendezzük az egyenletet: 6 cos 2 x ' 7 cos x ' 2 ! 0
k$Z
TANULÓK KÖNYVE
4 y ' 1 ! 0 , majd oldjuk meg az 3 3 . 3
' k &(
y2 !
A pitagoraszi összefüggés alapján: sin 2 x ! 1 ) cos2 x
Megoldás:
Mintapélda20
3 3
x2 ! 35% ' l & 180% l $ Z
x ! 35% ' l & 180% l $ Z
x ! 17,5% ' k & 90% k $ Z
tg x !
x1 ! 60% ' k & 180% !
Oldjuk meg a 8 ' 7 cos x ! 6 sin 2 x egyenletet!
2 x ! 70% ' l & 360%
4 x ! 70% ' k & 360%
tg x ! 3 -
így kapott másodfokú egyenletet: y1 ! 3
Vezessük be a tg x ! y új ismeretlent, ekkor y 2 )
Ez tg x -ben másodfokú egyenlet.
Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol a cos x , 0 , azaz x ,
Megoldás:
Oldjuk meg a tg 2 x )
4 tg x ' 1 ! 0 egyenletet a valós számok halmazán! 3
MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM
Mintapélda19
70
x1 ! 17,5% ' k & 90% k $ Z
3 x ' 20% ! 180% ) "90% ) x # ' l & 360% l $ Z
3x ' 20% ! 90% ) x ' k & 360% k $ Z
Az egyenlet megoldásai:
vel térnek el egymástól:
egymástól:
ódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösé-
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri- Ha a két szög egymás kiegészít! szögei, illet-
I. eset
69
Az egyenlet mindkét oldalát úgy alakítjuk át, hogy mindkét oldalon azonos szögfügg-
Megoldás:
Oldjuk meg a sin "3 x ' 20%# ! cos x egyenletet!
Mintapélda18
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK
3 cos x ! 2 sin x ) 1 egyenletet a valós számok halmazán!
71
x 4 * 198,69% ' n & 360% n $ Z
x3 * 341,31% ' m & 360% m $ Z
x 2 * 116,90% ' l & 360% l $ Z
x1 * 63,10% ' k & 360% k $ Z
y2 ! )0,3204 .
d) cos 2 x ' 7 cos x ! sin 2 x ' 3
f) "3 sin x ) 2 # & "sin x ) 1# ! )4
h) tg x ' ctg x ! 2
j) sin x ) 1 ! cos x
c) 3 cos 2 x ' 2 ) cos x ! 5 cos x ' 11
e) 5 sin 2 x ' cos 2 x ' 2 ! 4 3 sin x
g) 3tg x ! 2 cos x
i) ctg x ! 3 ) tg x
+ 1 * 70%, + 2 * 20%
Határozd meg az + szöget!
37. Derékszög" háromszögben az + hegyesszögre teljesül, hogy tg + ' ctg + ! 3,1114 .
b) 5 ' 8 cos x ! 4 cos 2 x
a) 2 sin 2 x ' 9 sin x ) 5 ! 0
36. Oldd meg a következ! egyenletet a valós számok halmazán!
Feladatok
és cos x el!jele különböz!, továbbá 2 sin x 2 4 1 .
egyenletnek, x 2 és x3 azonban nem. Ez abból is látható, hogy ezekre az értékekre sin x
Behelyettesítéssel meggy!z!dhetünk arról, hogy x1 és x 4 valóban gyökei az eredeti
sin x ! )0,3204 -
sin x ! 0,8918 -
így kapott másodfokú egyenletet: y1 ! 0,8918
Vezessük be az y ! sin x új ismeretlent, ekkor 7 y 2 ) 4 y ) 2 ! 0 majd oldjuk meg az
Ez sin x -ben másodfokú egyenlet.
Rendezzük az egyenletet: 7 sin 2 x ) 4 sin x ) 2 ! 0
Mivel cos 2 x ! 1 ) sin 2 x , ezért 3"1 ) sin 2 x # ! 4 sin 2 x ) 4 sin x ' 1
Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 3 cos 2 x ! 4 sin 2 x ) 4 sin x ' 1
Megoldás:
Oldjuk meg a
Mintapélda21
8. modul: EGYSZER!BB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENL"TLENSÉGEK
