1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető
µ1 λ1 µ2 λ2 n Az R vektortérbeli v = . . . és w = . . . vektorok skaláris szorzata µn λn λ1 µ1 + λ2 µ2 + . . . + λn µn . Jele hv, wi. hv, wi = v T u, azaz mátrixszorzással is felírható.
Freud, 8.1.1. Definíció Legyen V vektortér R fölött és b1 , . . . , bn bázis V -ben. Ha v = λ1 b1 + . . . + λn bn és w = µ1 b1 + . . . + µn bn , akkor hv, wi = λ1 µ1 + . . . + λn µn a b1 , . . . , bn bázishoz tartozó skaláris szorzat. A fenti Rn -ben a szokásos bázishoz tartozó skaláris szorzat. Euklideszi tér F8.1.3. Definíció Legyen V véges dimenziós vektortér R fölött. A kétváltozós (v, w) 7→ hv, wi ∈ R függvény skaláris szorzat, ha tetszőleges u, v, w ∈ V és λ ∈ R esetén (1) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi. (2) hλv, wi = λhv, wi. (3) hw, u + vi = hw, ui + hw, vi. (4) hw, λvi = λhw, vi. (5) hv, wi = hw, vi (szimmetrikus). (6) hv, vi ≥ 0 és hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0 (pozitív definit).
Euklideszi tér: skaláris szorzattal ellátott vektortér.
(1) és (2) együttes neve: az első változóban lineáris (vagyis A(v) = hv, wi lineáris leképezés minden rögzített w-re). Hossz, távolság Állítás Minden bázishoz tartozó skaláris szorzat teljesíti az előző definícióban felsorolt hat tulajdonságot. Bizonyítás Az (1)–(5) igazolása HF. A (6) azért igaz, mert hv, vi = λ21 + . . . + λ2n > 0, kivéve ha mindegyik λj = 0. Belátjuk majd, hogy minden skaláris szorzat bázishoz tartozik. 1
A továbbiakban V euklideszi tér R fölött és u, v, w ∈ V .
Freud, 8.2.1. és 8.2.4 Definíció p A v normája vagy hossza kvk = hv, vi. A v és w távolsága kv − wk. Szög, háromszög-egyenlőtlenség F8.2.7. és F8.1.5. Definíció Legyen V euklideszi tér R fölött, és v, w ∈ V . A v, w nem nulla vektorok szögén azt a 0 ≤ α ≤ 180◦ szöget értjük, amelyre hv, wi = kvkkwk cos α. v merőleges (ortogonális) w-re, ha hv, wi = 0. Jele v ⊥ w. F8.2.8. Cauchy–Bunyakovszkij–Schwartz-egyenlőtlenség |hv, wi| ≤ kvkkwk, és egyenlőség pontosan akkor áll, ha v és w párhuzamos, azaz lineárisan összefüggő. (Emiatt két vektor szöge értelmes, mert −1 ≤ cos α ≤ 1 jön ki.) F8.2.2. Háromszög-egyenlőtlenség kv + wk ≤ kvk + kwk, és egyenlőség pontosan akkor áll, ha v és w egyike a másik nemnegatív valós számszorosa. A CBS-egyenlőtlenség bizonyítása Állítás Ha a > 0, akkor az ax2 +bx+c ∈ R[x] polinom pontosan akkor vesz föl mindenütt nemnegatív értéket, ha b2 − 4ac ≤ 0. Ha ez teljesül, akkor ax2 + bx + c = 0 csak úgy lehetséges valamilyen x ∈ R-re, ha b2 − 4ac = 0.
Bizonyítás: Teljes négyzetté való kiegészítéssel: 2 ax2 + bx + c = a x + (b/2a) − (b2 − 4ac)/4a.
A CBS-egyenlőtlenség bizonyítása Ha v = 0, akkor az állítás igaz. Tetszőleges x ∈ R esetén 0 ≤ hxv + w, xv + wi = x2 hv, vi + 2xhv, wi + hw, wi. Ez x-ben másodfokú polinom, melynek a főegyütthatója pozitív. 2 Így 2hv, wi ≤ 4hv, vihw, wi. Négyzetgyökvonással kész. A bizonyítások folytatása CBS-egyenlőség 2 Ha 2hv, wi = 4hv, vihw, wi, akkor a fenti másodfokú egyenletnek létezik egy valós λ gyöke. Erre hλv + w, λv + wi = 0, azaz λv + w = 0.
2
Háromszög-egyenlőtlenség Mivel mindkét oldal nemnegatív, elég a négyzetét belátni. hv, vi + 2hv, wi + hw, wi = hv + w, v + wi = kv + wk2 hv, vi + 2kvkkwk + hw, wi = kvk2 + 2kvkkwk + kwk2 = (kvk + kwk)2 A CBS-egyenlőtlenség miatt az egyenlőtlenség igaz. Egyenlőség akkor áll, ha hv, wi ≥ 0, és a CBS-ben egyenlőség van. Azaz w = −λv, és 0 ≤ hv, wi = hv, −λvi = −λhv, vi, ami azzal ekvivalens, hogy −λ ≥ 0.
2. Ortogonalitás Ortonormált bázis F8.1.4. Definíció Normált vektor: hossza 1. A v vektor „normáltja” v/kvk. Ortogonális vektorrendszer: bármely két eleme ortogonális. Ortonormált vektorrendszer: ortogonális, elemei normáltak. Tétel Tegyük föl, hogy b1 , . . . , bn ortonormált bázis. Ekkor minden v-re v = hb1 , vib1 + . . . + hbn , vibn .
Azaz a koordináták kiszámításához nem kell egyenletrendszer! Bizonyítás Pn Ha v = λ1 b1 + . . . + λn bn , akkor hbj , vi = k=1 λk hbj , bk i = λj , hiszen k 6= j-re hbj , bk i = 0, és hbj , bj i = kbj k2 = 1. Ortonormált rendszer független F8.1.2. Feladat Nem nulla vektorokból álló ortogonális rendszer független. Bizonyítás Legyen v1 , . . . , P vm ilyen rendszer és λ1 v1 + . . . + λm vm = 0. A vj -vel skalárisan m szorozva 0 = k=1 λk hvk , vj i = λj hvj , vj i, hiszen k 6= j-re hvk , vj i = 0 az ortogonalitás miatt. Mivel vj 6= 0, ezért hvj , vj i = 6 0, és így λj = 0. Így minden dim V elemszámú ortonormált rendszer bázis.
Tétel (Gram–Schmidt-ortogonalizáció) Minden ortonormált rendszer kibővíthető ortonormált bázissá. Speciálisan minden euklideszi térben van ortonormált bázis.
3
A Gram–Schmidt-módszer Gram–Schmidt-ortogonalizáció (Freud, 202. oldal) Tegyük föl, hogy b1 , . . . , bm ortonormált rendszer, és a v vektor nincs benne a b1 , . . . , bm által generált altérben. Legyen w = v − hb1 , vib1 − . . . − hbm , vibm , ekkor w ortogonális b1 , . . . , bm mindegyikére (HF). Így ha bm+1 = w/kwk, akkor b1 , . . . , bm+1 ortonormált. Ilyenkor kwk a v pont távolsága a hb1 , . . . , bm i altértől. Állítás Ha b1 , . . . , bk ortonormált bázis, akkor a hozzá tartozó skaláris szorzat ugyanaz, mint a tér eredeti skaláris szorzata. Vagyis minden skaláris szorzat tényleg bázisból származik. és w = µ1 b1 + . . . + µn bn , Valóban: ha v = Pλ1 b1 + . . . + λn bn P akkor hv, wi = j,k λj µk hbj , bk i = j λj µj . Példa a Gram–Schmidt-módszerre Álljon a W ≤ R4 azokból a vektorokból, melyek koordinátáinak összege nulla. (Tipográfiai ki a √ √ okokból sorvektorokat írunk.) Egészítsük b1 = (1/ 2)(1, −1, 0, 0) ∈ W és b2 = (1/ 2)(0, 0, 1, −1) ∈ W ortonormált rendszert W egy ortonormált bázisává, majd ezt az R4 egy ortonormált bázisává. √ √ Legyen v = (1, 0, 0, √−1), ekkor√hb1 , vi = 1/ 2 és hb2 , vi = 1/ 2, ezért w = v − (1/ 2)b1 − (1/ 2)b2 = (1/2, 1/2, −1/2, −1/2). Mivel ennek hossza 1, ezért b3 = (1/2, 1/2, −1/2, −1/2). Legyen most√v = (1, 0, 0, 0), ekkor w = v − (1/ 2)b p 1 − 0 · b2 − (1/2)b3 = (1/4, 1/4, 1/4, 1/4). Ennek hossza 4 · (1/4)2 = 1/2, ezért b4 = w/(1/2) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2).
4
3. Transzformáció adjungáltja Komplex euklideszi tér (Freud, 8.3. szakasz) Legyen V vektortér C fölött és b1 , . . . , bn bázis V -ben. Ha v = λ1 b1 + . . . + λn bn és w = µ1 b1 + . . . + µn bn , akkor hv, wi = λ1 µ1 + . . . + λn µn e bázishoz tartozó skaláris szorzat. hv, wi = [v]∗b [w]b , ahol [v]∗ a [v] transzponált konjugáltja. A kétváltozós (v, w) 7→ hv, wi ∈ C függvény skaláris szorzat, ha tetszőleges u, v, w ∈ V és λ ∈ C esetén (1) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi. (2) hλv, wi = λhv, wi. (3) hw, u + vi = hw, ui + hw, vi. (4) hw, λvi = λhw, vi. (5) hv, wi = hw, vi (Hermite-féle). (6) hv, vi ≥ 0 és hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0 (pozitív definit). Szöget nem definiálunk. A többi eddigi működik C fölött is. Transzformáció mátrixa Állítás Legyen V euklideszi tér, b1 , . . . , bn ONB és A ∈ Hom(V ). Ekkor a v ∈ V vektor i-edik koordinátája a b1 , . . . , bn bázisban hbi , vi, továbbá [A]b = hbi , A(bj )i (vagyis az i-edik sor j-edik eleme hbi , A(bj )i).
Bizonyítás Ha v = λ1 b1 +. . .+λn bn , akkor komplex felett is igaz, hogy bi -vel balról skalárisan szorozva λi = hbi , vi, mert a skaláris szorzat a második tényezőben lineáris. Ha az A mátrixában az i-edik sor j-edik eleme λij , akkor A(bj ) = λ1j b1 + . . . + λnj bn . Komplex fölött fontos a tényezők sorrendje a skaláris szorzatban! Adjungált transzformáció Definíció Legyen V euklideszi tér, b1 , . . . , bn ONB és A, B ∈ Hom(V ). Azt mondjuk, hogy B az A adjungáltja, ha [A]b és [B]b R fölötti tér esetében egymás transzponáltjai; C fölötti tér esetében egymás transzponált konjugáltjai.
Megjegyzés: valós fölött minden skalár konjugáltja önmaga, ezért a C fölötti definíció jó R fölött is. 5
Tétel (F8.4.1. és F8.4.2. Tétel) A és B egymást egyértelműen meghatározza. Pontosan akkor adjungáltak, ha hB(v), wi = hv, A(w)i minden v, w ∈ V -re. Az (egyértelműen meghatározott) B jele A∗ . Az M mátrix adjungáltja a transzponált konjugáltja, jele M ∗ .
Az adjungált jellemzésének bizonyítása Bizonyítás Tetszőleges A, B mátrixokra (AB)T = B T AT , így (AB)∗ = B ∗ A∗ . Láttuk, hogy hv, wi = [v]∗ [w] tetszőleges ONB-ben. Ezért ha [A] = [B]∗ , akkor hB(v), wi = [B(v)]∗ [w] = ([B][v])∗ [w] = ([v]∗ [B]∗ )[w] = = ([v]∗ [A])[w] = [v]∗ ([A][w]) = [v]∗ [A(w)] = hv, A(w)i. Itt kihasználtuk, hogy a mátrixok szorzása asszociatív. Megfordítás: Jelölje b1 , . . . , bn az ONB-t. Ha hB(v), wi = hv, A(w)i minden v, w-re, akkor hB(bi ), bj i = hbi , A(bj )i minden i, j-re. Mivel hv, wi = hw, vi, ezért )i. hbj , B(bi )i = hbi , A(bj Tudjuk, hogy [A] = hbi , A(bj )i és [B] = hbi , B(bj )i . Transzponáláskor az indexek megcserélődnek, ezért [B]∗ = [A].
4. Egybevágósági transzformációk Szép alak ortonormált bázisban Emlékeztető (F6.6.4 Tétel): Komplex fölött minden transzformáció mátrixa alkalmas bázisban Jordan-alakú. Ez speciális felső háromszögmátrix. Tétel (F8.5.15. Feladat) Komplex fölött minden transzformáció mátrixa alkalmas ortonormált bázisban felső háromszögmátrix. Emlékeztető (F6.6.1 Feladat): Komplex fölött az A ∈ Hom(V ) pontosan akkor diagonalizálható (a bázisra nincs megkötés), ha a minimálpolinomjának minden gyöke egyszeres. Tétel (F8.5.2. Tétel) Komplex fölött az A ∈ Hom(V ) pontosan akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha AA∗ = A∗ A (normális transzformáció).
6
Egybevágósági transzformációk F8.5.6. Tétel V euklideszi tér, A ∈ Hom(V ). Ekvivalensek: (1) A∗ inverze A-nak. (2) A skalárszorzattartó, azaz (∀u, v) hAu, Avi = hu, vi. (3) A normatartó, azaz (∀u) kAuk = kuk. (4) A távolságtartó, azaz (∀u, v) kAu − Avk = ku − vk. (5) A minden ONB-t ONB-be visz. (6) Minden b ONB-ben [A]b inverze [A]∗b . (7) A alkalmas ONB-t ONB-be visz. (8) Alkalmas b ONB-ben [A]b inverze [A]∗b . (9) A normális, és sajátértékei 1 abszolút értékűek. Elnevezés: Valósban ortogonális, komplexben unitér. Egybevágósági transzformációk: bizonyítás (1) =⇒ (6) =⇒ (8) =⇒ (1) és (2) =⇒ (3) ⇐⇒ (4) triviális. (1) =⇒ (2): Ha A∗ A = I, akkor hu, vi = hu, A∗ Avi = hAu, Avi. (3) =⇒ (2): kA(u + λv)k2 = ku + λvk2 = hu + λv, u + λvi. hu + λv, u + λvi = hu, ui + λhu, vi + λhv, ui + λλhv, vi = = kuk2 + |λ|2 kvk2 + 2 Re(λhu, vi), hiszen hv, ui = hu, vi, és kA(u + λv)k2 = kAuk2 + |λ|2 kAvk2 + 2 Re(λhAu, Avi). Innen Re(λhAu, Avi) = Re(λhu, vi) minden λ ∈ C-re. Ezt λ = 1-re és λ = i-re alkalmazva hAu, Avi = hu, vi. (2) =⇒ (5): hAbj , Abk i = hbj , bk i = 1, ha j = k, 0 egyébként. (5) =⇒ (7): triviális. (7) =⇒ (8): hAbj , Abk i = hbj , A∗ Abk i, tudjuk, hogy ezek [A∗ A]b elemei. De hAbj , Abk i = hbj , bk i, és mivel b1 , . . . , bn ONB, ezért [A∗ A]b az egységmátrix. (1) ⇐⇒ (9): Ha b ONB és [A]b diagonális, akkor [A∗ ] = [A−1 ] azt jelenti, hogy minden sajátértékre λ = λ−1 , azaz |λ| = 1. A felcserélhető az inverzével, így A∗ = A−1 =⇒ A normális. Egybevágósági transzformációk: megjegyzések Az előző tétel szerint egy bázistranszformáció akkor és csak akkor visz ortonormált bázist ortonormált bázisba, ha az áttérés mátrixa unitér, illetve ortogonális. Speciálisan minden M ∈ Cn×n mátrixhoz van olyan unitér U ∈ Cn×n , hogy U −1 M U felső háromszögmátrix.
7
A normalitás valós mátrix esetében azt jelenti, hogy felcserélhető a transzponáltjával. Ebből azonban csak az következik, hogy komplex fölött van ortonormált sajátbázisa. Egy valós mátrix akkor ortogonális, ha a transzponáltja az inverze, azaz ha komplex fölött ONB-ben diagonalizálható, és minden komplex sajátérték abszolút értéke 1. Mi a legszebb alakja valós fölött? Ortogonális transzformációk F8.6.4. Tétel Egy valós euklideszi téren ható A lineáris transzformáció pontosan akkor ortogonális, ha van olyan ortonormált bázis, amelyben A mátrixa diagonális blokkokra cos α − sin α bomlik, ahol minden blokk vagy 1 × 1-es, és az eleme ±1, vagy sin α cos α alakú alkalmas α ∈ R-re. Vagyis minden sokdimenziós egybevágóság síkbeli forgatásokra, valamint „tükrözésekre” „bontható”. A bizonyítás ötlete: A karakterisztikus polinom valós együtthatós, így a sajátértékek konjugált párok, vagy ±1. Az A mátrixa ONB-ben √ M . Ha M v = λv, √akkor M v = λv. Legyen b1 = (v +v)/ 2 és b2 = −i(v −v)/ 2. Ekkor b1 és b2 valós, ortonormált, és ebben a kételemű bázisban A mátrixa a fenti forgatás.
5. Összefoglaló A 7. előadáshoz tartozó vizsgaanyag Fogalmak Absztrakt és bázishoz tartozó skaláris szorzat R és C fölött, euklideszi tér. Hossz, távolság, szög, ortogonalitás. Ortogonális, ortonormált vektorrendszer és bázis. Adjungált; normális, unitér, ortogonális transzformáció. Tételek A CBS-egyenlőtlenség, a háromszög-egyenlőtlenség, egyenlőség. Vektor koordinátái, transzformáció mátrixa ortonormált bázisban. Ortogonális rendszer független. Gram–Schmidt-ortogonalizáció, minden ortogonális rendszer kibővíthető ONB-vé. Az adjungált jellemzése skaláris szorzattal. A diagonalizálhatóság jellemzése ONB-ben C fölött. Komplex feletti transzformáció alkalmas ONB-ben háromszögmátrix. Az egybevágósági transzformációk jellemzései. Ortogonális transzformáció blokkfelbontása.
8
