1. Állapotteres modellen alapuló szabályozótervezés A klasszikus irányítási algoritmusok zöme a folyamatok ki-bemeneti modellje (átviteli függvények) alapján határozzák meg az irányítási feladatot megoldó szabályozót. Ezek a szabályozók (a kaszkád szabályozó kivételével) csak a folyamat kimenetét veszik figyelembe a beavatkozó jel meghatározásánál. Az állapotteres modellekkel komplexebb viselkedés rendszerek is leírhatóak. Ezen modelleken alapuló szabályozók a folyamat bels állapotai is felhasználják a beavatkozó jel meghatározásánál. Így komplexebb irányítási feladatok, mint például nem polinomiális alapjel követése nulla állandósult állapotbeli hibával vagy nemlinearitást is tartalmazó rendszer irányítása, is megoldhatóak. Az állapotteres modell n darab egymással csatolt els fokú differenciálegyenlettel írja le a folyamat viselkedését. Mindegyik differenciálegyenlet az egyik állapot változását adja meg az összes állapot és bemenetek függvényében: x = A x + Bu
(9.1)
y = C x + Du
n az állapotok (x), m a bemenetek (u), p a kimenetek (y) száma. Az A, B, C, D mátrixok a folyamat paramétereit tartalmazzák, definiálva a folyamat dinamikus viselkedését. Az A mátrixot állapotmátrixnak is nevezzük. Mintavételes állapotteres modell a rendszer k+1 -ik mintavételbeli állapotát határozza meg a k-ik mintavételbeli állapot és a k-ik mintavételbeli bemenet függvényében. A kimeneti egyenletben a k-ik mintavételbeli kimenetet a k-ik mintavételbeli állapot és k-ik mintavételbeli bemenet alapján írható fel. Lineáris rendszerek esetén az állapotteres modell: x k +1 = Φ x k + Γu k y = C x k + Du k
(9.2)
k
A Φ, Γ, C, D mátrixok a folytonos rendszer paramétereit l valamint a mintavételi periódustól függenek.
F1.1.1 Egy bemenet egy kimenet állapotteres modellel leírt folyamatok stabilitása Feltételezzük, hogy az irányított modellnek egy bemenete és egy kimenete van, így a B mátrix oszlopvektor, a C mátrix sorvektor. Keressük az állapotteres modellnek megfelel átviteli függvényt. Feltételezzük, hogy D=0 valamint a rendszer kezd állapota nulla. Alkalmazzuk a (F1.28) rendszerre a Laplace transzformáltat. Az állapotváltozást leíró egyenlet alapján kapjuk: sX (s ) = AX (s ) + B ⋅ U (s ) (sI − A) ⋅ X (s ) = B ⋅ U (s )
X (s ) = (sI − A) ⋅ B ⋅ U (s ) −1
A kimenetet megadó egyenlet alapján kapjuk:
(F1.37)
Y (s ) = CX ( s ) = C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B ⋅ U (s )
(F1.38)
A folyamat átviteli függvénye: H (s ) =
Y (s ) C ⋅ adj (sI − A) ⋅ B = C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B = U (s ) det (sI − A)
(F1.39)
Az átviteli függvény nevez jét a det(sI-A) determináns definiálja. Az átviteli függvény stabil, ha nevez je összes gyökének valós része negatív. Tehát az állapotteres modellel leírt rendszer stabil, ha det(sI-A)=0 egyenlet összes gyökének valós része stabil. Közismert, hogy a fenti determinánsegyenlet (karakterisztikus egyenlet) gyökei az A mátrix sajátértékei. Tehát a rendszer stabil, ha az A mátrix összes sajátértékének valós része negatív. Akárcsak az átviteli függvénnyel modellezett rendszerek esetén, a stabilitás mellett a sajátértékek a rendszer tranziens viselkedését is definiálják. Például komplex sajátértékek esetén a rendszer válaszában lengésekre számíthatunk. F1.2-g Példa: Vizsgáljuk meg az (F1.31) modellel leírt mechanikai rendszer stabilitását. Határozzuk meg a folyamat állapotteres modellje A mátrixának ((F1.32) összefüggés) sajátértékeit. A karakterisztikus egyenlet:
det (λI − A) = det
kf − − m 0 λ 1
λ
0
λ2 +
−
k
kR m 0
kf m
f = det λ + m
−1
λ+
kR =0 m
kR m =0
λ
(F1.40)
A karakterisztikus polinom gyökei (az A mátrix sajátértékei):
λ1, 2 = −
kf 2m
±j
kf 2m
2
+
kR m
(F1.41)
Mivel kR,m>0 a sajátértékek valós része negatív, a rendszer stabil. Könnyen belátható, hogy a feltétel akkor is teljesül, ha a gyökök nem komplexek, hanem valósak.
F1.1.2 Egy bemenet egy kimenet állapotteres modellel leírt folyamatok stabilitása Feltételezzük, hogy az irányított modellnek egy bemenete és egy kimenete van, így a B mátrix oszlopvektor, a C mátrix sorvektor. Keressük az állapotteres modellnek megfelel átviteli függvényt. Feltételezzük, hogy D=0 valamint a rendszer kezd állapota nulla. Alkalmazzuk a (F1.28) rendszerre a Laplace transzformáltat. Az állapotváltozást leíró egyenlet alapján kapjuk:
sX (s ) = AX (s ) + B ⋅ U (s ) (sI − A) ⋅ X (s ) = B ⋅ U (s )
(F1.37)
X (s ) = (sI − A) ⋅ B ⋅ U (s ) −1
A kimenetet megadó egyenlet alapján kapjuk: Y (s ) = CX ( s ) = C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B ⋅ U (s )
(F1.38)
A folyamat átviteli függvénye: H (s ) =
Y (s ) C ⋅ adj (sI − A) ⋅ B = C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B = det (sI − A) U (s )
(F1.39)
Az átviteli függvény nevez jét a det(sI-A) determináns definiálja. Az átviteli függvény stabil, ha nevez je összes gyökének valós része negatív. Tehát az állapotteres modellel leírt rendszer stabil, ha det(sI-A)=0 egyenlet összes gyökének valós része stabil. Közismert, hogy a fenti determinánsegyenlet (karakterisztikus egyenlet) gyökei az A mátrix sajátértékei. Tehát a rendszer stabil, ha az A mátrix összes sajátértékének valós része negatív. Akárcsak az átviteli függvénnyel modellezett rendszerek esetén, a stabilitás mellett a sajátértékek a rendszer tranziens viselkedését is definiálják. Például komplex sajátértékek esetén a rendszer válaszában lengésekre számíthatunk. F1.2-g Példa: Vizsgáljuk meg az (F1.31) modellel leírt mechanikai rendszer stabilitását. Határozzuk meg a folyamat állapotteres modellje A mátrixának ((F1.32) összefüggés) sajátértékeit. A karakterisztikus egyenlet:
det (λI − A) = det
kf − − m 0 λ 1
λ
0
λ2 +
−
k
kR m 0
kf m
f = det λ + m
−1
λ+
kR =0 m
kR m =0
λ
(F1.40)
A karakterisztikus polinom gyökei (az A mátrix sajátértékei):
λ1, 2 = −
kf 2m
±j
kf 2m
2
+
kR m
(F1.41)
Mivel kR,m>0 a sajátértékek valós része negatív, a rendszer stabil. Könnyen belátható, hogy a feltétel akkor is teljesül, ha a gyökök nem komplexek, hanem valósak.
F1.1.3 Egy bemenet egy kimenet állapotteres modellel leírt folyamatok stabilitása
Feltételezzük, hogy az irányított modellnek egy bemenete és egy kimenete van, így a B mátrix oszlopvektor, a C mátrix sorvektor. Keressük az állapotteres modellnek megfelel átviteli függvényt. Feltételezzük, hogy D=0 valamint a rendszer kezd állapota nulla. Alkalmazzuk a (F1.28) rendszerre a Laplace transzformáltat. Az állapotváltozást leíró egyenlet alapján kapjuk: sX (s ) = AX (s ) + B ⋅ U (s ) (sI − A) ⋅ X (s ) = B ⋅ U (s )
(F1.37)
X (s ) = (sI − A) ⋅ B ⋅ U (s ) −1
A kimenetet megadó egyenlet alapján kapjuk: Y (s ) = CX ( s ) = C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B ⋅ U (s )
(F1.38)
A folyamat átviteli függvénye: H (s ) =
Y (s ) C ⋅ adj (sI − A) ⋅ B = C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B = U (s ) det (sI − A)
(F1.39)
Az átviteli függvény nevez jét a det(sI-A) determináns definiálja. Az átviteli függvény stabil, ha nevez je összes gyökének valós része negatív. Tehát az állapotteres modellel leírt rendszer stabil, ha det(sI-A)=0 egyenlet összes gyökének valós része stabil. Közismert, hogy a fenti determinánsegyenlet (karakterisztikus egyenlet) gyökei az A mátrix sajátértékei. Tehát a rendszer stabil, ha az A mátrix összes sajátértékének valós része negatív. Akárcsak az átviteli függvénnyel modellezett rendszerek esetén, a stabilitás mellett a sajátértékek a rendszer tranziens viselkedését is definiálják. Például komplex sajátértékek esetén a rendszer válaszában lengésekre számíthatunk. F1.2-g Példa: Vizsgáljuk meg az (F1.31) modellel leírt mechanikai rendszer stabilitását. dv kf dt = − m dx 1 dt y=x
−
kR m 0
1 v + m u x 0
(F1.31)
Határozzuk meg a folyamat állapotteres modellje A mátrixának ((F1.32) összefüggés) sajátértékeit. A karakterisztikus egyenlet:
det (λI − A) = det
kf − − m 0 λ 1
λ
0
λ2 +
− kf m
kR m 0
λ+
kf = det λ + m −1 kR =0 m
A karakterisztikus polinom gyökei (az A mátrix sajátértékei):
kR m =0
λ
(F1.40)
λ1, 2 = −
kf 2m
±j
2
kf 2m
+
kR m
(F1.41)
Mivel kR,m>0 a sajátértékek valós része negatív, a rendszer stabil. Könnyen belátható, hogy a feltétel akkor is teljesül, ha a gyökök nem komplexek, hanem valósak.
1.1. A stabilizálás feladata és a pályakövetés feladata Az irányítási feladatokat két nagy csoportba sorolhatjuk. Az els csoportba az úgynevezett. stabilizálási feladatok tartoznak, amikor a folyamat kimenetét és az összes állapotát nullába szeretnénk irányítani. Tehát a cél az, hogy a folyamatot ellen rzött módon ’megállítsuk’. Pályakövetés esetén azt szeretnénk, hogy a folyamat kimenete egy el írt pályát írjon le. Például festési feladatnál egy robot végberendezése szinuszos vagy f részfog-jel szer pályát kell leírjon, a végberendezés irányítása pályakövetési feladat. A stabilizálás feladatát egyszer en megoldhatjuk állapot visszacsatolással, például az el z alfejezetben bemutatott Ackermann módszerrel, amely el írt tranziensek mentén juttatja el a folyamat kimenetét és összes állapotát nullába. Ebben az alfejezetben ugyancsak állapotvisszacsatolással oldjuk meg a stabilizálás feladatát, csak a feladatot általánosabban fogalmazzuk meg. Ezután megmutatjuk, hogy a pályakövetés feladata visszavezethet a stabilizálás feladatára, ha a szabályozót el recsatoló ággal b vítjük. Feltételezzük, hogy a folyamatunkat leíró modell: x1 = x 2 x 2 = x3 x n = − a 0 x1 − a 1 x 2 −
− a n −1 x n + bu
(9.63) y = x1
A (9.63) modell ekvivalens az el z alfejezetben bemutatott irányíthatósági modellel. Ahhoz, hogy ezt belássuk, írjuk fel az ekvivalens ki-bemeneti modellt. Vegyük észre, hogy a folyamat állapotai a folyamat kimenetének els n-1 deriváltja. A (9.66) modell alapján: y ( n ) = −a0 y − a1 y −
− a n−1 y ( n−1) + bu
(9.64)
A fenti egyenletre alkalmazva a Laplace transzformáltat, kapjuk a folyamatot leíró átviteli függvényt: s nY ( s) = −a0Y ( s) − a1sY ( s) − H ( s) =
− a n−1s n−1Y ( s ) + bU ( s )
Y (s) b = n n−1 U ( s) s + a n−1 s + ... + a1s + a0
(9.65)
Tehát a (9.8) állapotteres modellel megegyez fordított, valamint b1, b2, …, bn-1=0, b0=1/b.
modellt kapunk, ha az állapotok sorrendje
1.1.1. A stabilizálás feladata Adott egy irányítható dinamikus rendszer. Határozzuk meg úgy a folyamat bemenetét, hogy a folyamat kimenete és összes állapota tartson a nullába, ha az id tart a végtelenbe (y, x 0, ha t ∞). Feltételezzük, hogy az irányított folyamatot a (9.63) modell írja le. Keressük a stabilizálási feladatot megoldó beavatkozó jelet, állapot visszacsatolás formájában: u=
1 ((a0 − k 0 ) x1 + (a1 − k1 ) x2 + ... + (an−1 − k n−1 ) xn ) b
(9.66)
A (9.66) beavatkozó jellel a zárt rendszer: x1 = x2 x2 = x3 x n = −k 0 x1 − k1 x 2 +
− k n xn
(9.67)
y = x1
A (9.67) összefüggéssel ekvivalens ki-bemeneti modell: y ( n ) + k n−1 y ( n −1) +
+ k1 y + k 0 y = 0
(9.68)
A fenti modell n-ed fokú homogén differenciálegyenlet, tehát a zárt rendszer autonóm (nincs bemenete). Így, ha a rendszer stabil, a folyamat kimenete bármely kezd állapotból zéróhoz konvergál. Tehát a szabályozó paramétereit (k0, k1,…, kn-1) úgy kell megválasztani, hogy a (9.68) rendszer karakterisztikus egyenlete összes gyökének valós része negatív legyen. A karakterisztikus egyenlet: s n + k n−1 s n −1 +
+ k1 s + k 0 = 0
(9.69)
Tehát ha az állapot visszacsatolás garantálja, hogy a (9.69) egyenlet összes gyöke stabil legyen, akkor a folyamat kimenete (és az összes állapota) nullába fog konvergálni, a stabilizálási feladatot megoldottuk. A szabályozó paramétereivel nem csak a stabilitást, hanem a zárt rendszer tranzienseit is megválaszthatjuk.
1.1.2. Pályakövetési feladat Adott egy irányítható dinamikus rendszer és az el írt pálya (yd=yd(t), n-szer deriválható id függvény). Határozzuk meg úgy a folyamat bemenetét, hogy a folyamat kimenete konvergáljon az el írt pályához, ha az id tart a végtelenbe (y(t)-yd(t) 0, ha t ∞). Feltételezzük, hogy az irányított folyamatot a (9.63) modell írja le.
Az el írt pálya mellett adott annak els n-1 deriváltja. Mivel a folyamat állapotai a folyamat kimenetének els n-1 deriváltja, képezzük az alábbi hibavektort:
e=
e1 e2
=
yd − y yd − y
=
y d ( n−1) − y ( n−1)
en
y d − x1 y d − x2
(9.70)
y d ( n −1) − xn
A hibavektor deriváltja:
e=
e1 e2
=
en
yd − y yd − y
=
y d (n) − y (n)
e2 e3
(9.71)
y d ( n ) − xn
A hibának a változása dinamikus rendszerként adható meg. A (9.63) és (9.71) összefüggések alapján a hiba dinamikáját megadó rendszer: e1 = e2 e2 = e3 en = y d ( n ) + a0 x1 + a1 x2 +
+ a n−1 xn − bu
(9.72)
e = e1
A pályakövetési feladat megoldásához válasszuk a beavatkozó jelet az alábbi formában: u=
1 1 (a 0 x1 + a1 x 2 + ... + a n −1 x n + k 0 e1 + k1e2 + ... + k n −1en ) + y d ( n ) b b
(9.73)
A beavatkozó jel kiszámításához szükség van az el írt kimenetre és annak deriváltjaira. A szabályozás pályája így magába foglalja az el írt kimenetet és annak els n-1 rend deriváltját is. A (9.73) beavatkozó jellel a zárt rendszer: e1 = e2 e2 = e3
(9.74)
en = − k 0 e1 − k1e2 − ... − k n−1en−1
A kimeneti hiba dinamikáját leíró, (9.74) összefüggéssel ekvivalens ki-bemeneti modell: e ( n) + k n−1e ( n−1) +
+ k1e + k 0 e = 0
(9.75)
A szabályozó paramétereit (k0, k1,…, kn-1) úgy kell megválasztani, hogy a (9.75) rendszer karakterisztikus egyenlete összes gyökének valós része negatív legyen. Ezzel a választással a kimeneti hiba konvergál a nullába, tehát a kimenet konvergál az el írt értékhez.
A beavatkozó jelnek két komponense van. Az els komponens függ a rendszer állapotaitól ( a0 x1 + a1 x2 + ... + a n −1 xn + k 0 e1 + k1e2 + ... + k n −1en ), a második csak az el írt pályától ( y d (n) ). Az els komponens a szabályozóban a visszacsatoló ágat, a második komponens az el recsatoló ágat képezi. 9.4 Példa: Legyen az alábbi egy szabadságfokú inerciális mechanikai rendszer: mx = u
(9.76)
m a tömeget, x a pozíciót, u a bemeneti er t jelöli. Keressük úgy a bemeneti er t, hogy a mechanikai rendszer pozíciója szinuszos pályát kövessen. Legyen a szinuszos pálya yd(t)=Asin(ω t). A feladat megoldásához hozzuk a rendszer modelljét a (9.63) alakba. A rendszer másodfokú, tehát két állapota lesz, az els állapot a pozíció x1=x, a második a sebesség x2=v. Felhasználva, hogy a sebesség a pozíció változása, valamint a (9.76) alapján: x1 = x2 1 x2 = u m y = x1
(9.77)
A kimenet a mechanikai rendszer pozíciója. A rendszer másodfokú, tehát a szabályozás pályája magába foglalja az el írt szinusz pozíció alapjel els - és másodrend deriváltját is, jelen esetben az el írt sebességet és az el írt gyorsulást: yd = A sin(ωt ) yd = Aω cos(ωt )
(9.78)
2
yd = − Aω sin(ωt )
A beavatkozó jelet a (9.73) alapján számíthatjuk: u = m(k 0 ( yd − x) + k1 ( y d − v) ) + my d
(9.79)
A k0, k1 paramétereket úgy kell megválasztani, hogy az s2+k1s+k0=0 karakterisztikus polinom gyökeinek valós része negatív legyen. A beavatkozó jel garantálja, hogy a mechanikai rendszer pozíciója szinuszos pályát írjon le. A szabályozási rendszer tömbvázlata a 9.5 Ábrán látható.
1.1 Ábra: Másodfokú inerciális rendszer pályakövetést biztosító irányítása
