Matematikai statisztika p´ eld´ ak
Matematikai statisztika p´ eld´ ak Norm´ alis eloszl´ as 1. A sk´ot bak´ak mellkas k¨orm´erete N (88, 10). A sk´ot bak´ak mekkora h´anyada f´er bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ´ebred´es´et figyelt¨ uk meg. Azt tapasztaltuk, hogy 10%-uk 430 el˝ott m´aszott le a f´ar´ ol, 20%-uk 915 ut´an. Felt´etelezve, hogy az ´ebred´esi idej¨ uk norm´alis eloszl´ast k¨ovet, mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy reggel 7-ig felkel a kedvenc majmunk? 3. A h´azimacsk´ ak tests´ ulya j´o k¨ozel´ıt´essel norm´alis eloszl´ast k¨ovet: a macsk´ak 10%-a k¨onnyebb, mint 1, 5 kg ´es 20%-a nehezebb, mint 7 kg. Mekkora a 6 kg-n´al nehezebb h´azimacsk´ ak ar´anya? 4. A programoz´o hallgat´ok val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as-gyakorlaton szerzett pontsz´ama k¨ozel´ıt˝ oleg norm´alis eloszl´as´ u: 8%-uk szerzett kevesebb, mint 50 pontot ´es 12%-uk szerzett t¨obb, mint 86 pontot. Mekkora h´anyaduk szerzett 51 ´es 61, illetve 62 ´es 73 k¨oz¨ otti pontsz´ amot? 5. A 200 gramm n´evleges t¨omeg˝ u Tibi csokol´ad´e t´enyleges t¨omege 200 gramm v´arhat´ o ´ert´ek˝ u, norm´alis eloszl´as´ u v.v.: a csokol´ad´ek 80%-´anak a t¨omege 195 ´es 205 gramm k¨oz´e esik. Mekkora h´anyaduk k¨onnyebb, mint 190 gramm? 6. Szegedn´el a Tisza v´ızszint ingadoz´asa norm´alis eloszl´ast k¨ovet. Ha a 402 m-es v´ızszintnek a v´arhat´ o ´ert´ekt˝ ol val´o elt´er´ese a sz´or´asn´egyzet h´aromszorosa, ´es enn´el alacsonyabb v´ızszint az esetek 67%-´aban m´erhet˝o, akkor mekkora µ ´es σ? 7. Egy u ¨zemben egy foly´ekony term´ek t¨olt´es´et k´et automata v´egzi. Az u ¨vegekbe t¨olt¨ ott mennyis´eg ´atlagosan 2 dl ´es norm´alis eloszl´as´ u mindk´et g´ep eset´eben. A bet¨olt¨ott mennyis´eg sz´or´ asa az els˝o g´epn´el 0, 14 dl, a m´asodikn´al pedig 0, 08 dl. Az u ¨vegek 60%-´at az els˝o g´ep t¨olti, a t¨obbit a m´asodik. Mi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy u ¨veget v´eletlenszer˝ uen kiv´eve a napi k´eszletb˝ ol, abban a bet¨olt¨ott folyad´ek mennyis´ege a v´arhat´o ´ert´ekt˝ol 0, 1 dl-n´el kevesebbel t´er el? de Moivre-Laplace-t´ etel, Centr´ alis hat´ areloszl´ as t´ etel 8. Sz´azszor feldobunk egy ferde forintos ´erm´et. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy az ´ır´ ast eredm´enyez˝ o dob´asok sz´ama 40 ´es 60 k¨oz´e esik? 9. Egy szab´alyos dob´okock´ at 600-szor feldobunk: ´ırjuk fel annak a pontos val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy a dobbott 6-osok sz´ama 100 ´es 105 k¨oz´e esik, ´es k¨ozel´ıts¨ uk ezt a val´osz´ın˝ us´eget a de Moivre-Laplace-t´etel seg´ıts´eg´evel! 10. Egy c´elpontra 200 l¨ov´est adnak le. A tal´alatok val´osz´ın˝ us´ege minden l¨ov´esn´el 0, 4. Adjon meg olyan fels˝o korl´ atot, amelyet a tal´alatok sz´ama 90% es´ellyel nem halad meg! 11. Budapesten meg akarj´ ak ´allap´ıtani, hogy a doh´anyosok milyen p ar´anyban fordulnak 1
oszi
el˝o. Ehhez n embert kiv´alasztanak, u ´gy hogy minden v´alaszt´asn´al mindenki ugyanolyan val´ osz´ın˝ us´eggel ker¨ ulhet kiv´alaszt´ asra ´es csak ezek k¨oz¨ott n´ezik meg a doh´anyosok k sz´am´ at. Milyen nagyra kell az n-et v´alasztani, hogy legal´abb 95% val´osz´ın˝ us´eggel a mint´ ab´ ol kapott k/n ar´ any legfeljebb 0, 005 hib´aval megk¨ozel´ıtse a doh´anyosok val´odi p ar´ any´ at ( b´armi is legyen p, 0 < p < 1)? 12. Egy pakli magyar k´arty´ at j´ol ¨osszekever¨ unk, majd kih´ uzunk egy k´arty´at. Ezt 150-szer megism´etelj¨ uk. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a kih´ uzott kir´alyok sz´ama 35 ´es 62 k¨oz´e esik? 13. Ketten j´atszanak egy j´at´ekot. Andr´as 37/72 val´osz´ın˝ us´eggel, B´ela 35/72 val´osz´ın˝ us´eggel nyer meg egy j´at´ekot. A j´at´ek 200 j´atszm´ab´ol ´all, minden j´atszm´an´al 10 doll´ar a t´et, vagyis ha Andr´as nyer, B´ela ad neki 10 doll´art ´es ford´ıtva. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy Andr´as nyerem´enye 50 ´es 100 doll´ar k¨oz¨ott lesz! 14. 1000 esetb˝ol kb. 300-szor fordul el˝o, hogy egy doboz m´alna nett´o s´ ulya t¨obb, mint 35 dkg. Becs¨ ulj¨ uk meg norm´alis eloszl´as t´abl´azat seg´ıts´eg´evel, hogy h´any szem m´alna van egy dobozban, ha az egyes m´alanszemek s´ ulya 2 g k¨or¨ ul ingadozik, 0, 25 g sz´or´assal! 15. X1 , . . . , X1000 f¨ uggetlen, k¨ ul¨ on-k¨ ul¨on [0, 1]-en egyenletes eloszl´as´ u v´eletlen v´altoz´ok. P1000 Norm´alis eloszl´as t´abl´ azat seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg a P ( i=1 Xi2 ≥ 350) val´ osz´ın˝ us´eg k¨ozel´ıt˝ o ´ert´ek´et! 16. Egy adott rep¨ ul˝ og´ep eset´en a k´et meghib´asod´as k¨oz¨ott eltelt id˝otartam exponenci´alis eloszl´ast k¨ovet, 30 nap v´arhat´ o ´ert´ekkel. A rep¨ ul˝ot 100 meghib´asod´as ut´an kivonj´ak a forgalomb´ol. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy 3600 napn´al tov´abb u ¨zemelhet? 17. V´eletlenorsz´ agban egy bank p´enzt´ar´an´al az egyik napon el˝orel´athat´oan 60 u ¨gyf´el vesz ki p´enzt. A p´enzt´ arn´ al az ´atlagos kifizet´es u ¨gyfelenk´ent 50 tall´er, 20 tall´er sz´or´assal. Mennyi p´enzt tartson a kassz´ aj´ aban a p´enzt´aros, ha 0, 95 val´osz´ın˝ us´eggel, minden fennakad´ as n´elk¨ ul tudja teljes´ıteni a kifizet´eseket? 18. Egy u ´tvonalon k´et l´egit´ arsas´ ag ind´ıt j´aratokat: a k´et t´arsas´ag szolg´altat´asi sz´ınvonala ´es jegyek ´ara azonos, a j´aratok azonos id˝oben indulnak, feltehet˝o, hogy az utasok teljesen v´eletlenszer˝ uen ´es azonos val´osz´ın˝ us´eggel d¨ontenek egyik vagy m´asik l´egit´arsas´ ag mellett. Az adott viszonylatban 200-an akarnak utazni: h´any f´er˝ohelyes g´epekre van sz¨ uks´ege a l´egit´ arsas´ agoknak, ha azt akarj´ak, hogy legfeljebb 1% legyen annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy utast amiatt kelljen elutas´ıtani, mert m´ar nincs szabad hely a g´epen? Empirikus eloszl´ asf¨ uggv´ eny, empirikus v´ arhat´ o´ ert´ ek ´ es empirikus sz´ or´ as 19. A k¨ovetkez˝ o adatokat kapt´ ak a heti tv-n´ez´esi id˝ore, ´or´aban m´erve, egy 14 di´akkal v´egzett felm´er´esn´el: 3, 6, 14, 21, 4, 15, 20, 28, 45, 20, 5, 4, 4, 35. Hat´arozzuk meg az adatok empirikus eloszl´asf¨ uggv´eny´et, empirikus v´arhat´o ´ert´ek´et ´es empirikus sz´or´as´at! 20. Egy gyermek j´at´ekszer fizikai terhelhet˝os´eg´ere elv´egzett pr´obatesztek a k¨ovetkez˝ o m´er´esi eredm´enyekre vezettek: 40, 45, 39, 42, 37 (kg). (a) Hat´arozzuk meg az adatok empirikus eloszl´asf¨ uggv´eny´et, empirikus v´arhat´o ´ert´ek´et 2
Matematikai statisztika p´ eld´ ak
´es empirikus sz´or´ as´ at! Ezut´an tegy¨ uk fel, hogy a terhelhet˝os´eg norm´alis eloszl´as´ u a becsl´esb˝ol ad´od´o sz´or´assal ´es v´arhat´ o ´ert´ekkel. (b) Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy j´at´ekszer terhelhet˝os´ege 15 ´es 28 kg k¨ozz´e esik? (c) Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy j´at´ekszer terhelhet˝os´ege nem ´eri el a 13 kg-ot? (d) Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy j´at´ekszer terhelhet˝os´ege el´eri a 46 kg-ot? (e) Adjunk meg egy olyan intervallumot, amelybe egy tal´alomra kiv´alasztott j´at´ekszer terhelhet˝os´ege 0.9 val´ osz´ın˝ us´eggel esik bele! ( a (b),(c),(d),(e) feladatokn´al az elm´eleti ´ert´ekeket kell meghat´arozni!) 21. 7 sz´am´ıt´ og´ep ´eletkora (X) ´es karbantar´asukra elk¨olt¨ott p´enz mennyis´ege (Y ) a k¨ovetkez˝ o volt: ´ Sz´ am´ıt´ og´ep Eletkor(X) K¨olts´eg(Y ) (´ev) (eFt) 1. 10 50 2. 15 60 3. 12 57 4. 18 60 5. 08 45 6. 11 53 7. 10 52 Jellemezz¨ uk az X ´es Y mutat´ ok k¨oz¨otti kapcsolat szoross´ag´at! 22. Egy v´aros egyik piac´an 10 egy´ast k¨ovet˝o napon megfigyel´est v´egeztek a ny´ari alma felhozatal´ara ´es egys´eg´ ar´ anak alakul´as´ara vonatkoz´oan. Az adatokat a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: Sorsz´am Felhozatal Egys´eg´ar (q) (Ft/kg) 1. 0.4 85 2. 0.7 90 3. 0.9 86 4. 1.2 80 5. 1.2 78 6. 1.1 75 7. 1.4 69 8. 1.5 65 9. 1.5 66 10. 1.3 65 Sz´am´ıtsuk ki a felhozatalra ´es az egys´eg´arra vonatkoz´o empirikus korrel´aci´os egy¨ utthat´ot! Maximum likelihood becsl´ es
3
oszi
23. A gy´art´ ot ´es a keresked˝ ot egyar´ ant ´erdekli, hogy egy adott ´ar´ uk´eszletben h´any darab selejtes van. Tegy¨ uk fel, hogy az ´ar´ uk´eszlet N darabb´ol ´all. V´alasszunk ebb˝ol v´eletlenszer˝ uen egy n-elem˝ u (1 ≤ n < N ) mint´at. Ez azt jelenti, hogy b´armely n darabos kollekci´ ot egyenl˝ o, teh´at µ 1 ¶ val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztunk ki. Megsz´amoljuk N n h´any selejtes van a mint´ aban. Legyen m a mintabeli selejtes darabok sz´ama. Adjunk maximum likelihood becsl´est a teljes k´eszletben l´ev˝o selejtesek sz´am´ara! Konkr´et p´eldak´ent tekints¨ uk azt az esetet, amikor a k´eszlet 2000 darabb´ol ´all ´es 20elem˝ u mint´ at vesz¨ unk. 24. A k´ekb´ alna´ allom´ any becsl´es´ere a k¨ovetkez˝om´odszert alkalmazt´ak. N´eh´any napon ´at kb. 30 cm hossz´ u f´emhengereket l˝ottek be a b´aln´ak zs´ırp´arn´aj´aba, k¨ozvetlen˝ ul a b¨or al´a. Feljegyezt´ek, hogy h´any b´aln´at jel¨oltek meg (M ). Ezut´an felsz´ol´ıtott´ak a b´alnahal´ aszhaj´okat, hogy adj´ak meg, h´any b´aln´at fogtak (n), s azok k¨ozt h´any volt megjel˝olve (k). Adjunk maximum likelihood becsl´est a b´aln´ak N sz´am´ara! 25. Egy c´ell¨ ov˝ o egy sz´am´ ara ismeretlen pusk´aval el˝osz¨or n1 l¨ov´est ad le egy c´elpontra, minden egyes l¨ov´es tal´alati val´ osz´ın˝ us´ege p. Ezut´an ujra l˝o, ez´ uttal n2 l¨ov´est ad le ´es αp a l¨ov´esek tal´alati val´ osz´ın˝ us´ege. Jel¨olj¨ uk a tal´alatok sz´am´at az egyes sorozatokban x1 -el ´es x2 -vel. (a) A p param´etert ismertnek t´etelezve, adjunk maximum likelihood becsl´est a α-ra. (b) Tegy¨ uk fel, hogy p is ismeretlen ´es becs¨ ulj¨ uk mindk´et param´etert. (c) Adjuk meg a konkr´et becsl´eseket az (a) illetve (b) esetekben, ha n1 = 15, n2 = 10, x1 = 9, x2 = 8. 26. Egy t´oban a halakat betegs´eg t´amadta meg, mely az egyes egyedeket ismert p (0 < p < 1) val´ osz´ın˝ us´eggel puszt´ıtja el. (a) A kifogott haltetemek k sz´ am´ ab´ol adjunk maximum likelihood becsl´est a betegs´eg el˝ott a t´oban ´elt halak sz´am´ ara. (b) Mennyiben v´altozik a becsl´es¨ unk, ha a mint´aban megk¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk a h´ım ´es n˝ost´eny egyedeket ´es felt´etelezz¨ uk, hogy mindk´et nemet ugyanolyan ar´anyban ´erinti, valamint a t´oban ugyanannyi n˝ost´eny ´es h´ım van? (c) Adjuk meg a konkr´et becsl´est az (a) esetben, ha k = 100 ´es p = 0.05. 27. Tegy¨ uk fel, hogy egy alm´askertben v´eletlenszer˝ uen, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul tal´alhat´ ok fert˝oz¨ ott f´ak, melyek sz´ama Poisson eloszl´ast k¨ovet. T´ız egyforma nagy, egyenk´ent h´arom sorb´ol ´all´ ou ¨ltetv´enyben rendre 0, 3, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 1, 2 beteg f´at tal´altak. Adjunk maximum likelihood becsl´est az egy sorban tal´alhat´o fert˝oz¨ott f´ak sz´am´anak v´arhat´ o ´ert´ek´ere. 28. A sz´ınvaks´ ag gyakoris´ aga egy popul´aci´oban genetikai t´enyez˝ok miatt p a f´erfiakn´al ´es 2 p a n˝okn´el. Adjuk meg a p maximum likelihood becsl´es´et az alapj´an, hogy M f´erfib˝ ol m ´es N n˝ob˝ ol n volt sz´ınvak. 4
Matematikai statisztika p´ eld´ ak
29. Egy v´arosban a g´epkocsik rendsz´amai egyszer˝ u sz´amok, 1-t˝ol kezd˝od˝oen. Adjunk maximum likelihood becsl´est a v´arosban tal´alhat´o g´epkocsik sz´am´ara n megfigyel´es alapj´an ( jel¨olje pl. x1 , x2 , . . . , xn a megfigyelet n rendsz´amot). Adjuk meg a konkr´et becsl´est, ha az 5, 8100, 76, 77073 ´es a 125916 rendsz´amokat figyelt¨ uk meg. 30. Egy alkatr´eszekb˝ ol ´all´ o sokas´ ag 6 mintap´eld´anynak k¨ovetkez˝o volt a teljes ´elettartama: 39, 45, 67, 50, 50, 60 (h´onap). Tegy¨ uk fel, hogy az ´elettartam exponenci´alis eloszl´as´ u egy ismeretlen λ param´eterrel. (a) Sz´amoljuk ki a λ param´eter maximum likelihood becsl´est! Ezut´an tegy¨ uk fel, hogy az ´elettartam v´arhat´o ´ert´eke a mintaelemek ´atlaga. (b) Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy alkatr´esz ´elettartama a v´arhat´o ´ert´ekre szimmetrikus 20 h´onap hossz´ u intervallumba esik? (c) Milyen T id˝otartamot ´er meg az alkatr´eszek 10%-a? (d) Milyen T id˝otartamot nem ´er meg az alkatr´eszek 85%-a? (e) Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy alkatr´esz 35 h´onapn´al r¨ovidebb ideig tart ki? (f) Mi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy alkatr´esz legal´abb 70 h´onapig m¨ uk¨odik? ( a (b),(c),(d),(e),(f) feladatokn´al az elm´eleti ´ert´ekeket kell meghat´arozni!) 31. Hat´arozzuk meg egy ismeretlen helyzet˝ u 1 hossz´ us´ag´ u intervallum felez˝opontj´anak maximum likelihood becsl´est! Adjuk konkr´et becsl´est, ha a k¨ovetkez˝o minta ´all rendelkez´es¨ unkre: 1.1, 1.9, 1.3, 1.5, 1.7, 1.99. 32. Egy laborban a m´er´est ´altal´ aban az (ismert) σ sz´or´as´ u m˝ uszeren v´egzik. n ilyen m´er´es elv´egz´ese ut´an (a f¨ uggetlen, azonos N (µ, σ) eloszl´as´ u adatok: x1 , . . . , xn ) elromlott a k´esz¨ ul´ek ´es csak a r´egi, kσ (szint´en ismert) sz´or´as´ u m˝ uszert lehetett haszn´alni. Ezzel a m˝ uszerrel az y1 , . . . , ym adatokhoz jutottunk (µ v´altozatlan). Adjunk maximum likelihood becsl´est µ-re. Adjuk meg a konkr´et becsl´est, ha a k¨ovetkez˝o minta ´all rendelkez´es¨ unkre: 1.1, 1.9, 1.3, 1.5, 1.7, 1.99 ´es 1.1, 0.9, 1.3, 1.5, 1.7, 1.99, 2.1, 1.9, 2.3 a r´egi m˝ uszerrel m´ert minta (σ = 0.2, k = 1.2). 33. Egy alkatr´esz ´elettartama exponenci´alis eloszl´as´ u η/t, ha t h˝om´ers´ekleten m˝ uk¨odtetj¨ uk. (a) Hogyan f¨ ugg a v´arhat´ o ´elettartam a t h˝om´ers´eklett˝ol? (b) Tegy¨ uk fel, hogy n megfigyel´est k¨ ul¨onb¨oz˝o t1 , t2 , . . . , tn h˝om´ers´ekleten v´egezt¨ unk ´es x1 , x2 , . . . , xn ´elettartamot figyelt¨ unk meg. Adjunk maximum likelihood becsl´est η-ra! (c) Adjunk meg konkr´et becsl´est η-ra, ha a k¨ovetkez˝o megfigyel´esek ad´odtak: ´ Megfigyel´es Elettartam H˝om´ers´eklet x(´ev) t(o C) 1. 2.3 20 5
oszi
2. 3. 4. 5. 6. 7.
9.8 0.8 10.2 8.1 7.7 1.2
25 17 26 23 22.5 19
Konfidencia intervallum, tesztek 34. Egy v´aros energiafogyaszt´ asa norm´alis eloszl´as´ u ismeretlen µ v´arhat´o ´ert´ekkel ´es a kor´ abbi tapasztalatok alapj´an ismert σ sz´or´assal. n napon ´at v´egezt¨ unk m´er´eseket x1 , . . . , xn eredm´ennyel, majd n + 1. napt´ol m napon ´at csak a v´aros egyik ker¨ ulet´eb˝ ol ´erkeztek adatok, ahol a fogyaszt´ as v´arhat´o ´ert´eke az eg´esz v´aros´enak a fele: y1 , . . . , ym a kapott adatsor (t´etelezz¨ uk fel, hogy a sz´or´as itt is σ). Adjunk maximum likelihood becsl´est µ-re. 35. Legyen X1 , X2 , . . . , Xn mint´ ank az f (x) =
2 3x 2η
, ha − η ≤ x ≤ η
0
, k¨ ul¨onben
(η > 0) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny˝ u eloszl´asb´ol. Adjunk maximum likelihood becsl´est az ismeretlen η parameterre. 36. Legyen X1 , X2 , . . . , Xn az
2α · x(1 − x2 )α−1 f (x) =
0
, ha0 < x < 1 , k¨ ul¨onben
s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny˝ u eloszl´asb´ ol vett minta. Adjunk maximum likelihood becsl´est az ismeretlen α > 0 parameterre. 37. Egy gyermek j´at´ekszer fizikai terhelhet˝os´eg´ere elv´egzett pr´obatesztek a k¨ovetkez˝ o m´er´esi eredm´enyekre vezettek: 40, 45, 39, 42, 37 (kg). Tegy¨ uk fel, hogy a terhelhet˝os´eg norm´alis eloszl´as´ u a becsl´esb˝ ol ad´od´o sz´or´assal. (a) Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely a terhelhet˝os´eg v´arhat´o ´ert´ek´et 0.9 val´ osz´ın˝ us´eggel tartalmazza! (b) Tesztelj¨ uk azt a nullhipot´ezist 1, 5, 10% szignifikancia szinten, hogy a terhelhet˝os´eg v´arhat´ o ´ert´eke 40 kg-mal egyezik meg! 38. Adott g´epen gy´artott gy˝ ur˝ uk k¨ uls˝ o ´atm´er˝oje, mint v´eletlen v´altoz´o, norm´alis eloszl´ast k¨ovet. Tegy¨ uk fel, hogy a sz´or´ as ismert: σ = 0.12. Tesztelj¨ uk azt a nullhipot´ezist 1, 5, 10% szignifikancia szinten, hogy a k¨ uls˝o ´atm´er˝o v´arhat´o ´ert´eke 16.8 mm-rel egyezik meg,ha 5 darabot lem´erve: 16.7, 16.9, 16.3, 17.1, 17.2! 39. Egy laborban a m´er´est egy ismeretlen σ sz´or´as´ u m˝ uszeren v´egzik. Egy m´er´est 62 szor megism´etelve a ( f¨ uggetlen, azonos N (µ, σ ) eloszl´as´ u) k¨ovetkez˝o adatokat kaptuk: 1.1, 1.9, 1.3, 1.5, 1.7, 1.99. Adjunk meg a egy olyan intervallumot, amely a sz´or´ as n´egyzetet 90% val´ osz´ın˝ us´eggel tartalmazza! 6
Matematikai statisztika p´ eld´ ak
40. 5 egy´en testmagass´ag´ ara a k¨ovetkez˝o m´er´esek ad´odtak: 171, 177, 183, 169, 172(cm). Az adatok sz´or´ asa ismeretlen. (a) Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely a v´arhat´o magass´agot 95% val´osz´ın˝ us´eggel tartalmazza! (b) 1, 5, 10% szignifikancia szinten tesztelj¨ uk azt a nullhipot´ezist, hogy a v´arhat´o magass´ag 178 cm! 41. Jancsi b´acsi t¨ uzif´ at f˝ ur´eszel, sz´and´eka szerint 10 cm-es darabokra. Mivel a reggeli els˝o f´el decij´en m´ar t´ ul van, a lev´agott darabok hossza k¨ozel´ıt˝oleg norm´alis eloszl´ast k¨ovet, ismeretlen sz´or´ assal. Elfogadjuk-e 10%-os szignifikancia szinten, hogy a t¨ uzif´ak v´arhat´ o ´ert´eke 10 cm, ha 5 darabot lem´erve: 8.7, 6.9, 10.3, 8.1, 7.9? 42. Az al´abbi k´et minta 5-egyforma k´epess´eg¨ unek felt´etelezett- sportol´o s´ ulyl¨ok´esben el´ert adatait tartalmazza ( tegy¨ uk fel, hogy az adatok norm´alis eloszl´asb´ol sz´armaznak). Az els˝o dob´as el˝ott az edz˝o b¨ uszk´en ´all´ıtotta, hogy tan´ıtv´anyai ´atlagosan legal´abb ´ 17m-t dobnak, amit a klubb igazgat´oja k´ets´egbe vont. Ugy d¨ont¨ott, hogy csak akkor hosszabb´ıtja meg az edz˝o szerz˝od´es´et, ha a H0 : µ = 17 hipot´ezis α = 0.05 els˝ofaj´ u hibaval´ osz´ın˝ us´eg mellett elfogadhat´o! (a) Hogyan d¨ont¨ ott az igazgat´o, ha a kor´abbi tapasztalataik alapj´an a dob´asok sz´or´as´ at 2-nek tekintett´ek? (b) V´altozott volna-e a helyzet, ha nem tekintik a sz´or´ast ismertnek? ˝ az (c) Az el˝oz˝ oek alapj´an az igazgat´o v´eg¨ ul is m´eg egy es´elyt adott az edz˝onek. O els˝o kis´erlet ut´an mindenkinek elmagyar´azta, hogy mire kellene odafigyelnie a jobb eredm´eny ´erdek´eben. Seg´ıtett-e az ”edz´es”? (d) V´eg¨ ul is mi legyen az edz˝o sorsa? Sportol´o 1. dob´as 2. dob´as
1. 2. 3. 4. 5. 14.8 12.2 16.8 17.1 16.1 18.0 12.1 17.2 17.7 17.0
43. Az al´abbi k´et minta 5 aut´o fogyaszt´asi adatait tartalmazza. Az els˝o sorban a szerviz el˝otti, a m´asodikban a szerviz ut´ani ´ert´ekek tal´alhat´oak. Cs¨okkentette-e a szerviz a fogyaszt´ ast? Aut´o 1. 2. 3. 4. 5. szerviz el˝ott 7.9 8.1 8.8 7.2 6.0 szerviz ut´an 7.5 7.5 8.1 7.2 5.7 44. 1000 embert megk´erdezt¨ unk doh´anyzik-e, 386 mondta mag´at doh´anyosnak. Adjunk 0, 9 megb´ızhat´ os´ agi szint˝ u konfidencia intervallumot arra a val´osz´ın˝ us´egre, hogy valaki doh´anyzik! ´ ıt´ 45. All´ olag Szegeden a feh´er aut´ok ar´anya 30%. Egy forgalmas u ´tkeresztez˝od´esben 100 aut´o haladt kereszt˝ ul: ezek k¨ozz¨ ul 35 volt feh´er. 7
oszi
(a) Adjunk 99%-os megb´ızhat´ os´ agi szint˝ u konfidencia intervallumot a feh´er aut´ok ar´any´ara! (b) α = 0, 01 szinten elfogadjuk-e H0 : p = 0, 3 nullhipot´ezist? 46. Legyen A egy esem´eny ismeretlen P (A) = p val´osz´ın˝ us´eggel. A de Moivre-Laplace t´ertel felhaszn´al´ as´ aval konstru´ aljunk tesztet a k¨ovetkez˝o nullhipot´ezis ellen˝orz´es´ere: H0 : p = p0 (l.a. centr´ alis hat´areloszl´as t´etelen alapul´o pr´ob´akat!) V´egezz¨ uk el a tesztet 1% szignifikancia szint mellett annak ellen˝orz´es´ere, hogy az A esem´eny val´ osz´ın˝ us´ege 0.9, ha azt figyelt¨ uk meg, hogy 100 esetb˝ol 86 esetben k¨ovetkezett be A. 47. A Szerencsej´at´ek fel¨ ugyelet kaszin´ot ellen˝oriz, arra kiv´ancsiak szab´alyos-e a dob´okock´ ajuk. Azt tapasztalj´ak, hogy sz´az dob´asb´ol 1 2 3 4 5 6 15 19 20 17 18 11 Elfogadjuk-e α = 0.05 megb´ızhat´ os´agi szinten hogy szab´alyos a kocka?
8
