06

Základy matematiky – kombinované studium 714 – 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, 2 3 průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce:  a  b  ,  a  b  , a 2  b 2 , a 3  b3 2. Algebraické výrazy I. – úpravy 3. Algebraické výrazy II. – úpravy 4. Funkce: definice, způsob zadání funkce, def. obor, obor hodnot, graf, operace s funkcemi, vlastnosti funkcí (sudá, lichá, monotónní, ohraničená, prostá), složená fce, inverzní funkce 5. Elementární funkce I.: lineární, kvadratická, mocninná, lineární lomená (def.obor, obor hodnot, graf, vlastnosti) 6. Elementární funkce II.: exponenciální, logaritmická (def.obor, obor hodnot, graf, vlastnosti), pravidla pro počítání s logaritmy a mocninami, jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice ( využití pro určování podmínek def. oborů fcí ) 7. Elementární funkce III. : goniometrické funkce, (def. obor, obor hodnot, graf, vlastnosti), základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi, jednoduché goniometrické 1 rovnice (typu sin x   ), hodnoty v obloukové a stupňové míře 2 8. Rovnice: lineární, kvadratické (i v oboru komplexních čísel), jednoduché iracionální rovnice 9. Nerovnice: lineární, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 10. Definiční obory složitějších funkcí 11. Analytická geometrie v rovině I.: bod, vektor, přímka (parametrické rce přímky, obecná rce přímky, přímky v směrnicovém a úsekovém tvaru), graf přímky, kružnice, typy rovnic, určení středu a poloměru doplněním na čtverec 12. Analytická geometrie v rovině II. elipsa, hyperbola (graf lin. lomené fce), parabola (graf kvadratické fce). Určení základních parametrů doplněním na čtverec 13. Rezerva 14. Zápočet, opravy testů Zápočet lze získat za splnění následujících podmínek: 1. docházka na společnou výuku 2. absolvování závěrečného testu, ve kterém bude šest příkladů z učiva v osnově. Přitom je potřeba získat minimálně 45 bodů z maximálního počtu 90.

1

1. Některé základní pojmy

Číselné množiny

Přirozená čísla, označ. N , 1, 2,3, , vyjadřují počet konečných neprázdných množin Celá čísla, označ Z,   3, 2, 1, 0,1, 2,3

p , kde p  Z , q  N q Iracionální čísla, charakterizována nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, např. 2 Reálná čísla, označ R, jsou sjednocením všech racionálních a iracionálních Racionální čísla, označ Q, lze psát ve zlomku

2

Intervaly

3

Operace s intervaly, sjednocení, průnik

Např. x  R : e x >0 x  R : log x <0 x  R : e x <1

Absolutní hodnota reálného čísla

4

Rozklad kvadratického trojčlenu

Často používané vztahy

Pravidla pro počítání s mocninami

5

Pravidla pro počítání s odmocninami

Pozn. základy všech sudých odmocnin musí být nezáporné, jmenovatelé zlomků rozdílní od nuly.

2-3. Algebraické výrazy

4. Funkce

x - nezávisle proměnná y - závisle proměnná

6

Vlastnosti funkce Ohraničenost funkce

Monotónnost funkce

Prostá funkce

7

Sudá a lichá funkce

Graf sudé fce je souměrný podle osy y

Graf liché fce je souměrný podle podle počátku soustavy souřadnic Periodická funkce

Inverzní funkce

8

K funkci f: y = 2x+1 najděte funkci inverzní:

f 1 :

y

1 1 x 2 2

5.-7. Elementární funkce Konstantní funkce

Lineární funkce

grafem je přímka, je-li

Kvadratická funkce

9

Určení vrcholu paraboly: kvadratickou funkci y  ax 2  bx  c převedeme na tvar

y  a  x  x0   y0 , kde V   x0 , y0  je vrchol paraboly 2

Lineární lomená funkce

Grafem funkce je rovnoosá hyperbola

10

Nakreslete graf lineární lomené funkce: y 

2x  1 x 1

Mocninné funkce

11

Exponenciální funkce

12

Logaritmická funkce

Je-li

13

Goniometrické funkce Z pravoúhlého trojúhelníka:

14

15

16

Tabulka:

17

8. Rovnice Lineární rovnice

Kvadratické rovnice

D  b 2  4ac nazýváme diskriminantem kvadratické rovnice D  0 , rce má 2 různé reálné kořeny D  0 , rce má jeden dvojnásobný reálný kořen D  0 , rce má dva komlexně sdružené kořeny 18

Rovnice s absolutní hodnotou

Iracionální rovnice

řešíme umocňováním umocňování není ekvivalentní úprava proto:

Exponenciální rovnice

19

Logaritmické rovnice

Goniometrické rovnice

využíváme všech znalostí o goniometrických funkcích

9. Nerovnice

1. Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 2. Kvadratické nerovnice (řešíme rozkladem kvadratického členu v součin) 20

11.-12. Analytická geometrie v rovině Vektory

Operace s vektory

21

Přímka v rovině

Parametrické vyjádření

Obecná rovnice přímky Tento tvar lze jednoduše odvodit z parametrických rovnic vyloučením parametru t .

 normálový vektor: n   a , b   směrový vektor: u    b, a 

vyjádřením y z obecného tvaru přímky dostaneme směrnicový tvar: y  kx  q k-směrnice přímky, tangenta směrového úhlu, q je úsek vyťatý přímkou na ose y

22

Odchylka dvou přímek

Vzdálenost bodu od přímky

Kružnice

středový tvar kružnice:

 x  m

2

  y  n   r 2 , kde S  m, n  2

je-li S  0,0 potom x 2  y 2  r 2 obecná rovnice kružnice: x 2  y 2  Ax  Bx  C  0

Elipsa

a – hlavní poloosa elipsy b – vedlejší poloosa elipsy 23

e – excentricita platí: a 2  e2  b 2 středový tvar rovnice elipsy: je-li S  0,0 potom

 x  m a2

2



 y  n b2

2

 1 , kde S  m, n 

x2 y 2  1 a 2 b2

obecná rovnice elipsy: Ax 2  By 2  Cx  Dx  E  0 A  B  0, A  B

Hyperbola

a – hlavní poloosa hyperboly b – vedlejší poloosa hyperboly e – excentricita platí: a 2  b 2  e 2

středový tvar rovnice hyperboly : rovnice asymptot hyperboly:

 x  m

2

 y  n 

a2 b2 b y  n    x  m a

2

 1 , kde S  m, n 

24

je-li S  0,0 potom:

x2 y 2  1 a 2 b2 rovnice asymptot hyperboly:

y

b x a

obecná rovnice hyperboly: Ax 2  By 2  Cx  Dx  E  0 A  B  0, A  0, B  0, A  B Pozn. Otočíme-li hyperbolu o 90 . tj. EF je rovnoběžné s osou y je středový tvar rovnice

 x  m hyperboly :

rovnice asymptot hyperboly:

a2

yn  

2

 y  n  b2

2

 1 , kde S  m, n 

b  x  m a

Ax 2  By 2  Cx  Dx  E  0 A  B  0, B  0, A  0, A  B

Parabola

25

26