}w !"#$%&'()+,-./012345
M ASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY
Návrh a simulace RLC obvodu˚ ˇ B AKALÁ RSKÁ PRÁCE
Martin Schulz
Brno, jaro 2007
Prohlášení Prohlašuji, že tato bakaláˇrská práce je mým puvodním ˚ autorským dílem, které jsem vypracoval samostatnˇe. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem pˇri vypracování používal nebo z nich cˇ erpal, v práci rˇ ádnˇe cituji s uvedením úplného odkazu na pˇríslušný zdroj.
Vedoucí práce: RNDr. Jaroslav Pelikán, Ph.D. ii
Shrnutí Cílem této práce je navrhnout a implementovat systém pro simulaci vybraných jevu˚ v elektrických obvodech obsahujících rezistory, cívky, kondenzátory a zdroje elektrického napˇetí. Systém umožnuje ˇ uživatelský návrh zapojení a jeho následnou cˇ asovou analýzu v reálném cˇ ase, provádˇenou pro každou zmˇenu charakteristických hodnot u použitých prvku˚ obvodu. Výstupem systému jsou informace o napˇet’ových a proudových pomˇerech panujících v daˇ ném zapojení. Ctenᡠr by mˇel být schopen orientovat se v elektrických schématech, mít znalosti základu˚ elektrotechniky a zpusobu ˚ vytváˇrení poˇcítaˇcových modelu. ˚
iii
Klíˇcová slova model, analýza, simulace, cˇ asová analýza, smyˇckové proudy, ideální prvky elektrického obvodu
iv
Obsah 1 Teorie elektrotechniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Použité teorémy elektrotechniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ohmuv ˚ zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 První Kirchhoffuv ˚ zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Druhý Kirchhoffuv ˚ zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Stˇrídavý elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elektrický obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Základní prvky elektrického obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Zdroj elektrické energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Rezistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Kondenzátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Cívka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Mˇerˇ ící pˇrístroje pro elektrotechniku a jejich vhodné modelování 1.4.6 Základní spojení ideálního rezistoru, kondenzátoru a cívky . . 2 Analýza obvodu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Abstraktní model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Simulaˇcní model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Analýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Výsledky analýzy a významné analyzaˇcní programy . . . . . . . . . . 2.4 Heuristická analýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Princip ekvivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Transfigurace hvˇezda–trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Postupné zjednodušování obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Ekvivalence reálných napˇet’ových a proudových zdroju˚ . . . . 2.5 Algoritmická analýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Metoda smyˇckových proudu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Metoda uzlových napˇetí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Matematický aparát algoritmické analýzy . . . . . . . . . . . . . ˇ 2.6 Casová analýza (transcient) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Kmitoˇctová analýza (AC analýza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Stejnosmˇerná analýza (DC analýza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Statistická analýza (Monte Carlo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Simulace obvodu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Poˇcítaˇcová simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Problémy pˇri poˇcítaˇcové simulaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Progam RLCSim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Model obvodu programu RLCSim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Funkce programu RLCSim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3 4 4 4 6 7 8 8 9 9 10 10 12 12 12 12 13 13 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 17 18 18 19 20 20 20 22 22 23 v
4.3
Popis knihovny ALGLIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Oblasti použití knihovny ALGLIB . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Popis použitých funkcí a typu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Popis vybraných algoritnu˚ programu RLCSim . . . . . . . . . . . 4.4.1 Algoritmus nalezení duležitých ˚ potenciálu˚ . . . . . . . . . 4.4.2 Algoritmus nalezení nejkratších smyˇcek . . . . . . . . . . . 4.4.3 Algoritmus sestavení matice ze smyˇcek . . . . . . . . . . . 4.4.4 Algoritmus výpoˇctu smyˇckových proudu˚ . . . . . . . . . . 4.4.5 Algoritmus chytrého vykreslování spojovacích cest . . . . 4.4.6 Algoritmus výpoˇctu rozdílu U mezi dvˇema potenciály . . 4.4.7 Algoritmus výpoˇctu rezistivity nebo impedance vztažené bodum ˚ obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Závˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Mˇerˇení rezistivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Mˇerˇení napˇetí a proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Ovˇerˇení vlastností pásmové propusti bez rezistoru˚ . . . . . . . . . . . D Ovˇerˇení vlastností pásmové propusti s rezistory . . . . . . . . . . . . E Ovˇerˇení vlastností rezonanˇcní pásmové propusti . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ke . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dvˇema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 26 26 27 27 28 29 30 30 30 31 32 33 34 35 38 41 43
vi
Seznam obrázku˚ 1 Teorie elektrotechniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Mˇerˇ ení napˇetí a proudu procházejícího lineárním rezistorem 3 1.2 Charakteristika závislosti napˇetí na proudu u lineárního rezistoru 3 1.3 Pˇríklad orientace proudu˚ v uzlu 4 1.4 Pˇríklad orientace napˇetí ve smyˇcce 5 1.5 Gaussova rovina 6 1.6 Schematický symbol ideálního stejnosmˇerného zdroje napˇetí 8 1.7 Schematický symbol ideálního rezistoru v jednoduchém stˇrídavém obvodu 8 1.8 Ideální kondenzátor v obvodu stˇrídavého proudu 9 1.9 Ideální cívka v obvodu stˇrídavého proudu 10 1.10 Spojení rezistoru a kondenzátoru 10 1.11 Spojení rezistoru a cívky 11 1.12 Spojení kondenzátoru a cívky 11 1.13 Spojení rezistoru, kondenzátoru a cívky 11 2 Analýza obvodu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Pˇrevod hvˇezdy tvoˇrené z rezistoru˚ R1, R4 a R3 na trojúhelník tvoˇrený z rezistoru˚ R6, R7 a R8 15 2.2 Pˇríklad signálu zobrazeného osciloskopem 17 2.3 Pˇríklad kmitoˇctové charakteristiky reproduktoru 18 2.4 Pˇríklad voltampérové charakteristiky diody 19 4 Progam RLCSim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Vzhled aplikace pˇri spuštˇené simulaci 23 4.2 Cívka L2 neovlivní chování obvodu, použité hodnoty: U1=250 V, f=600 Hz, R1=40 Ω, R2=250 Ω, L1=5 mH, L2=100 mH, C1=2 µF 24 4.3 Pˇríklad zobrazených hodnot pro C1 z obr. 4.2 24 4.4 Pˇríklad vykreslených prubˇ ˚ ehu˚ pro C1 z obr.4.2 25 4.5 Mˇerˇ ení rezistivity spojení rezistoru˚ bez zdroje 26 4.6 Mˇerˇ ení rezistivity stejnosmˇerného obvodu s rezistory 26 4.7 Mˇerˇ ení impedance stˇrídavého obvodu 27 4.8 Pˇríklad obvodu s vyhovujícím rozmístˇením smyˇckových proudu˚ 27 4.9 Redundantní smyˇcka 28 4.10 Chybˇející smyˇckový proud, smyˇcka obsahující n vˇetví musí sousedit alesponˇ s n-1 dalšími smyˇckami 29 A Mˇerˇ ení rezistivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Pˇríklad mˇerˇ ení rezistivity spojených rezistoru˚ 34 B Mˇerˇ ení napˇetí a proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1 Zapojení, na kterém je provádˇeno mˇerˇ ení napˇetí a proudu 35 B.2 Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u R1 36 B.3 Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u L1 36 1
B.4 B.5
Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u R2 37 Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u C1 37
C Ovˇerˇ ení vlastností pásmové propusti bez rezistoru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1 Schéma pásmové propusti, první cˇ ást je tvoˇrena dolní propustí, druhá cˇ ást je tvoˇrena horní propustí 38 C.2 Výstup pásmové propusti pˇri frekvenci 50 Hz 39 C.3 Výstup pásmové propusti pˇri frekvenci 31 Hz 39 C.4 Výstup pásmové propusti pˇri frekvenci 81 Hz 40 D Ovˇerˇ ení vlastností pásmové propusti s rezistory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1 Schéma pásmové propusti, první cˇ ást je tvoˇrena dolní propustí, druhá cˇ ást je tvoˇrena horní propustí 41 D.2 Napˇetí na cˇ ásti zapojení tvoˇrící dolní propust pˇri frekvenci 36 Hz 42 D.3 Napˇetí na výstupu pásmové propusti pˇri frekvenci 36 Hz 42 E Ovˇerˇ ení vlastností rezonanˇcní pásmové propusti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.1 Pˇríklad rezonanˇcní pásmové propusti 43 E.2 Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u L1 pˇri rezonanˇcní frekvenci 44 E.3 Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u C1 pˇri rezonanˇcní frekvenci 44
2
Seznam tabulek
3
Podˇekování Chtˇel bych tímto podˇekovat vedoucímu této bakaláˇrské práce RNDr. Jaroslavu Pelikánovi, Ph.D. za jeho rady a pˇripomínky k rˇ ešené problematice.
1
Úvod Poˇcítaˇcová simulace dnes pˇredstavuje neoddˇelitelnou souˇcást procesu elektrotechnického vývoje i výuky, ulehˇcuje ovˇerˇ ování správnosti návrhu a optimalizaci složitých obvodu˚ podle zadaných požadavku. ˚ Pˇri provádˇení návrhu na poˇcítaˇci je možné okamžitˇe a bez vˇetší námahy získat zpˇetnou vazbu o funkˇcnosti zapojení v podobˇe nejruznˇ ˚ ejších charakteristik. Oproti ovˇerˇ ování funkˇcnosti zapojení klasickou prací v laboratoˇri, zahrnující složité a zdlouhavé pochody pˇri získávání charakteristik zapojení, nepožaduje poˇcítaˇcová simulace tým odborníku˚ a cˇ asté využívání drahého vybavení pro vytváˇrení velkého množství zkušebních zapojení, nutných pro provedení optimalizace. Tím se šetˇrí cˇ as a prostˇredky na vývoj fyzických prototypu, ˚ které jsou v dobˇe návrhu spíše na obtíž. Poˇcítaˇcová analýza zapojení vyžaduje pˇresnˇe definované algoritmy, pomocí kterých muže ˚ být zapojení automaticky vyhodnoceno, a které vˇetšinou využívají maticového poˇctu. Se správnˇe navrženými algoritmy dokáže souˇcasná výpoˇcetní technika rychle analyzovat i velmi rozsáhlá zapojení. Naproti tomu, ovˇerˇ ování funkˇcnosti zapojení pomocí ruˇcního výpoˇctu se s rostoucí velikostí zapojení a rostoucím poˇctem smyˇcek stává nejen cˇ asto velmi namáhavou, ale i cˇ asovˇe neefektivní záležitostí. V cˇ lovˇekem provádˇené analýze obvodu, tj. podle libovolnˇe voleného algoritmu, se navíc snadno vytváˇrí a špatnˇe odhalují chyby, což jsou duvody ˚ proˇc se tento pˇrístup dnes pro vývoj prakticky nepoužívá. S využitím výpocˇ etní techniky pro provedˇení teoretického výpoˇctu je ale stále nezbytné, aby samotný návrh zapojení provádˇel cˇ lovˇek. Zatím neexistuje program, který by podle zadaných požadavku˚ ˇ sám vytvoˇril návrh libovolného obvodu. Cásteˇ cnˇe tuto práci vykonávají úzce zamˇerˇ ené syntetizéry, které dokáží provést i návrh, avšak pouze pro velmi úzce orientovaná zapojení. V souˇcasné dobˇe je dostupné velké množství profesionálních a pˇrevážnˇe komerˇcních simulaˇcních programu, ˚ které v závislosti na pˇresnosti a detailnosti popisu chování použitých prvku˚ obvodu mohou dosahovat velmi reálných simulaˇcních výsledku. ˚ Mnoho simulaˇcních programu˚ po provedení samotné simulace umožnuje ˇ vytvoˇrení návrhu desek plošných spoju˚ pro následnou praktickou realizaci a ovˇerˇ ení správné funkˇcnosti zapojení v reálném prostˇredí. V tomto kroku bývá automaticky vytvoˇren návrh desky plošných spoju˚ s vhodným rozložením použitých souˇcástek a stanovena jejich nezbytná tˇrída pˇresnosti. Výhodou tohoto postupu je, že potˇrebné údaje již byly zadány v prubˇ ˚ ehu návrhu zapojení a není potˇreba tuto cˇ innost opakovat ve specializovaném programu. V jednom vývojovém prostˇredí je tak mnohdy možné kompletnˇe vytvoˇrit návrh zapojení na míru požadavku˚ tak, aby se praktická realizace zbyteˇcnˇe neprodražila a zároven, ˇ aby vytvoˇrený návrh splnoval ˇ požadavky kladené na reálný obvod. V následujících odstavcích bude rˇ eˇc o možnostech vytváˇrení modelu˚ elektrických zapojení, které pˇredstavují základní stavební kámen poˇcítaˇcové simulace a jejich správný návrh je proto klíˇcový. Popsány budou nejˇcastˇeji provádˇené analýzy elektrických obvodu˚ zamˇerˇ ující se na ruzné ˚ rysy analyzovaného zapojení, jakými jsou napˇr. cˇ asové prubˇ ˚ ehy napˇetí nebo frekvenˇcní zavislosti výstupních hodnot. Vysvˇetleny budou ruzné ˚ principy, na kterých mohou být jednotlivé analyzaˇcní metody založeny. Na závˇer budou popsány základní principy simulace a nˇekteré problémy, které se simulace obecnˇe týkají. 2
Kapitola 1
Teorie elektrotechniky 1.1
Použité teorémy elektrotechniky
1.1.1 Ohmuv ˚ zákon Ohmuv ˚ zákon popisuje chování elektrické energie u lineárních prvku˚ elektrického obvodu. ˇ Ríká, že proud procházející vodiˇcem z jednoho jeho konce do druhého je pˇrímo úmˇerný rozdílu elektrických potenciálu˚ na uvažovaných koncích vodiˇce a nepˇrímo úmˇerný rezistivitˇe mezi uvažovanými konci vodiˇce R = UI (Ω; V, A) [12]. R udává rezistivitu se základní jednotkou ohm [Ω], U vyjadˇruje elektrické napˇetí se základní jednotkou volt [V] a I pˇredstavuje elektrický proud se základní jednotkou ampér [A].
Obrázek 1.1: Mˇerˇ ení napˇetí a proudu procházejícího lineárním rezistorem
Obrázek 1.2: Charakteristika závislosti napˇetí na proudu u lineárního rezistoru Pˇri zmˇenˇe IA1 se zmˇení UV1 vždy tak, aby vzniklý bod ležel na dané charakteristice (viz 3
ˇ 1.2. ST RÍDAVÝ ELEKTRICKÝ PROUD obr. 1.2), jejíž sklon je urˇcen parametrem R lineárního rezistoru R1. Více informací lze nalézt v [3]. 1.1.2 První Kirchhoffuv ˚ zákon První Kirchhoffuv ˚ zákon vychází z vlastností proudu definovaného jako celkový elektrický náboj, který projde pruˇ ˚ rezem vodiˇce za jednu sekundu. Také bývá oznaˇcován jako zákon o zachování elektrických náboju, ˚ které ve vodiˇci nemohou samovolnˇe vznikat ani se hromadit. Pokud dojde v nˇekterém místˇe k dˇelení vodiˇce, vzniklé dˇelící místo se oznaˇcuje jako uzel a platí, že souˇcet proudu˚ vstupujících do uzlu je roven souˇctu proudu˚ z uzlu vystupujících.
Obrázek 1.3: Pˇríklad orientace proudu˚ v uzlu Proudy vstupující do uzlu se znaˇcí s opaˇcným znaménkem než proudy z uzlu vystupující a za tohoto pˇredpokladu platí, že algebraický souˇcet všech proudu˚ v uzlu se rovná nule Pn k=1 Ik = 0 [3]. 1.1.3 Druhý Kirchhoffuv ˚ zákon Druhý Kirchhoffuv ˚ zákon vychází z vlastností napˇetí definovaného jako práce, potˇrebná pro pˇremístˇení elektrického náboje mezi dvˇema potenciály v elektrickém obvodu. Bývá oznaˇcován jako zákon o zachování energie, která musí být nulová, pokud náboj prošel po uzavˇrené dráze do místa se stejným potenciálem. Tedy platí, že algebraický souˇcet všech svorkových napˇetí zdroju˚ a všech úbytku˚ napˇetí P na spotˇrebiˇcích se v uzavˇrené smyˇcce rovná nule nk=1 Uk = 0 [3]. Polaritu jednotlivých napˇetí v souˇctu je nutné urˇcovat podle orientace smyˇcky, souhlasný smˇer smyˇcky s napˇetím na daném prvku obvodu znamená kladné znaménko, opaˇcný smˇer znaˇcí záporné znaménko (viz obr 1.4).
1.2
Stˇrídavý elektrický proud
Stˇrídavý proud je charakteristický tím, že se jeho velikost i smysl s cˇ asem periodicky mˇení. Dosud uvedené teorémy je možné uplatnit ve stejnosmˇerných i stˇrídavých elektrických ob4
ˇ 1.2. ST RÍDAVÝ ELEKTRICKÝ PROUD
Obrázek 1.4: Pˇríklad orientace napˇetí ve smyˇcce vodech. Základní pojmy pro popis prubˇ ˚ ehu˚ stˇrídavého proudu (stejné vztahy platí i pro popis stˇrídavého napˇetí): perioda T – cˇ as, za který se prubˇ ˚ eh periodické funkce opakuje, základní jednotkou je sekunda [s] frekvence f – poˇcet period za jednu sekundu f = [Hz]
1 T
(Hz; s), základní jednotkou je hertz
amplituda IMAX – maximální hodnota periodické funkce Pˇri skládání dvou periodických dˇeju˚ muže ˚ dojít k rezonanci, kdy výsledná amplituda je výraznˇe vˇetší než puvodní ˚ amplitudy [12]. efektivní hodnota I – hodnota proudu stejnosmˇerného, který v daném obvodu vykoná za stejný cˇ as stejnou práci jako proud stˇrídavý [12], popisuje tepelný úˇcinek stˇrídavého (A; A) proudu, I = IM√AX 2 stˇrední hodnota IAV – aritmetický prumˇ ˚ er všech okamžitých hodnot bˇehem jedné periody, IAV = 2IMπAX (A; A) okamžitá hodnota stˇrídavého proudu i – hodnota stˇrídavého proudu v cˇ ase t, pro oznaˇcení se používají malá písmena Okamžitou hodnotu sinusového signálu je možné vyjádˇrit jako i = IM AX sin α α = 2πf t (rad; Hz, s).
(A; A, rad),
5
1.3. ELEKTRICKÝ OBVOD fázový posun ϕ – udává velikost posunutí poˇcátku cˇ asového prubˇ ˚ ehu signálu vuˇ ˚ ci cˇ aso−1 vému poˇcátku, napˇr. i = IM AX sin(ωt + ϕ) (A; A, s , s, rad), základní jednotkou je radián nebo stupenˇ V analogové elektrotechnice se pro popis stˇrídavých napˇetí a proudu˚ využívá komplexních cˇ ísel. Oproti stejnosmˇerným prubˇ ˚ ehum ˚ elektrické energie je nutné použít imaginární složku komplexních cˇ ísel pro popis jalové složky elektrické energie, která vzniká napˇríklad v cívkách a kondenzátorech zapojených do stˇrídavých obvodu. ˚
Obrázek 1.5: Gaussova rovina Pro zjednodušení práce s cˇ asovými prubˇ ˚ ehy signálu˚ se dále používají fázory umístˇené do Gaussovy roviny komplexních cˇ ísel. Fázory zobrazené v Gaussovˇe rovinˇe rotují proti smˇeru hodinových ruˇciˇcek. Pro vektory cˇ asových prubˇ ˚ ehu˚ signálu˚ jsou zavedeny matematické výrazy vyjadˇrující cˇ asovou polohu vektoru. ˚ Tyto výrazy mohou být v ruzných ˚ tvarech, jež se liší svojí vhodností pro provádˇení ruzných ˚ matematických operací. Složkový (algebraický) tvar komplexních cˇ ísel je možné vyjádˇrit jako A = a + jb, kde j 2 = −1. Složka a se oznaˇcuje jako reálná, b jako imaginární. Složkový tvar komplexních cˇ ísel se hodí zejména pro provádˇení operací sˇcítání a odeˇcítání, kdy se sˇcítají (odeˇcítají) zvlášt’ reálné a imaginární složky sˇcítaných (odeˇcítaných) komplexních cˇ ísel. Goniometrický tvar komplexních cˇ ísel odpovídá zápisu A = |A| (cos α + j sin α) a je výhodné použít jej pˇri násobení. Absolutní hodnoty |A| násobených komplexních cˇ ísel se násobí a úhly α se sˇcítají. √ Absolutní hodnotu lze získat ze složkového tvaru vztahem |A| = a2 + b2 . b Argument komplexního cˇ ísla α lze získat ze složkového tvaru pomocí vztahu˚ sin α = |A| , a a cos α = |A| , tan α = b . Exponenciální tvar komplexních cˇ ísel se zapisuje formou ejα = cos α + j sin α. Složkový, goniometrický a exponenciální tvar zápisu komplexních cˇ ísel jsou navzájem ekvivalentní [4].
1.3
Elektrický obvod
Elektrický obvod pˇredstavuje vodivé spojení prvku˚ elektrického obvodu. Spojení musí být uzavˇrené ke zdroji, aby obvodem mohl protékat elektrický proud. V každém elektrickém 6
1.4. ZÁKLADNÍ PRVKY ELEKTRICKÉHO OBVODU obvodu platí první a druhý Kirchhoffuv ˚ zákon. elementární prvek obvodu – dále nedˇelitelná cˇ ást obvodu s definovanými charakteristickými vlastnostmi jako je rezistivita u rezistoru, indukˇcnost u cívky, kapacita u kondenzátoru nebo napˇetí u zdroje elektrického napˇetí uzel – místo, ve kterém se stýkají tˇri a více vodiˇcu˚ potenciál – popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v nemˇenném elektrickém poli [12] Stejný potenciál má napˇr. množina pˇrímo propojených uzlu, ˚ pokud se neuvažuje rezistivita vodiˇcu, ˚ a tedy na všech uzlech je možné namˇerˇ it stejnou hodnotou napˇetí vuˇ ˚ ci libovolnému místu v obvodu. vˇetev – dráha mezi dvˇema uzly tvoˇrená jedním nebo nˇekolika prvky spojenými do série smyˇcka – uzavˇrená dráha v cˇ ásti obvodu tvoˇrená vˇetvemi elektrický obvod – cˇ ást elektrotechnického zaˇrízení složeného z jednoduchých prvku˚ spojených libovolným zpusobem ˚ tvoˇrícím vodivou cestu elektrickému proudu lineární prvek – prvek obvodu, jehož parametr nezávisí na napˇetí nebo proudu pˇripojenému k tomuto prvku (napˇr. lineární rezistor} nelineární prvek – prvek obvodu, jehož parametr závisí na napˇetí nebo proudu pˇripojenému k tomuto prvku (napˇr. polovodiˇcová dioda) pasivní prvek – prvek obvodu, který nemuže ˚ vytváˇret v obvodu zisk elektrické energie (napˇr. rezistor) aktivní prvek – prvek obvodu, který muže ˚ vytváˇret v obvodu zisk elektrické energie (napˇr. zdroj elektrické energie) Duvodem ˚ seskupování prvku˚ obvodu do vˇetví a uzlu˚ do potenciálu˚ je zjednodušování práce s celým zapojením v dobˇe hledání informací o jeho logické struktuˇre. Nahradí–li se nˇekolik prvku˚ obvodu zapojených do série vˇetví, klesne poˇcet prvku˚ obvodu a tím se zjednoduší práce s obvodem. Nahradí–li se nˇekolik pˇrímo propojených uzlu˚ potenciálem, budou snáze dostupné informace o všech k sobˇe pˇripojených vˇetvích a klesne logická složitost zapojení.
1.4
Základní prvky elektrického obvodu
Elektrický obvod se typicky skládá ze zdroju˚ elektrické energie a spotˇrebiˇcu˚ elektrické energie (rezistor, kondenzátor, cívka, žárovka apod.). 7
1.4. ZÁKLADNÍ PRVKY ELEKTRICKÉHO OBVODU 1.4.1 Zdroj elektrické energie Základní dˇelení zdroju˚ elektrické energie je na zdroje napˇetí a zdroje proudu. Reálné zdroje napˇetí a proudu je možné, pˇri správném návrhu, vzájemnˇe zamˇenovat ˇ a pro zjednodušení budou dále uvažovány pouze obvody obsahující výhradnˇe ideální zdroje napˇetí. Podle dodávaného prubˇ ˚ ehu napˇetí se zdroje dále dˇelí na stejnosmˇerné a stˇrídavé.
Obrázek 1.6: Schematický symbol ideálního stejnosmˇerného zdroje napˇetí Ideální zdroj napˇetí má nulovou vnitˇrní impedanci. Reálný zdroj napˇetí odpovídá sériovému spojení ideálního zdroje napˇetí a ideálního rezistoru s hodnotou odpovídající vnitˇrní impedanci reálného zdroje. Velikostí vnitˇrní impedance zdroje je urˇcena jeho tvrdost, tj. míra úbytku napˇetí na svorkách zdroje, rostoucí s velikostí ze zdroje odebíraného proudu. Použitý schematický symbol pro ideální napˇet’ový zdroj nepatˇrí mezi nejˇcastˇeji používané, avšak jeho výhodou je grafické zobrazení nulové vnitˇrní impedance napˇet’ového zdroje. Minimalizuje se tak možnost vytvoˇrení chyby pˇri rˇ ešení zapojení s více zdroji elektrické energie napˇríklad metodou superpozice, kdy je potˇreba zdroje napˇetí nahradit zkratem. Bližší popis v [8].
1.4.2 Rezistor Rezistor je prvek obvodu s definovanou hodnotou rezistivity.
Obrázek 1.7: Schematický symbol ideálního rezistoru v jednoduchém stˇrídavém obvodu U reálného rezistoru se v obvodech se stˇrídavým proudem projevuje indukˇcnost vývodu˚ a vzniklá indukˇcní reaktance roste s frekvencí. Výsledné vlastnosti reálného rezistoru odpovídají sériovému spojení ideálního rezistoru a ideální cívky s indukˇcností odpovídající indukˇcnosti vývodu˚ reálného rezistoru. Ideální rezistor není frekvenˇcnˇe závislý. Napˇetí pˇripojené na sériové spojení rezistoru˚ se na jednotlivé rezistory rozdˇelí pˇrímo úmˇernˇe rezistivitˇe každého z nich. 8
1.4. ZÁKLADNÍ PRVKY ELEKTRICKÉHO OBVODU 1.4.3 Kondenzátor Kondenzátor je prvek obvodu s definovanou hodnotou kapacity C elektrického náboje. Ve stejnosmˇerných obvodech se po odeznˇení pˇrechodového jevu, v prubˇ ˚ ehu kterého se kondenzátor pozvolna nabíjí na hodnotu pˇriloženého napˇetí a prochází jím proud, ideální kondenzátor chová jako rozepnutý spínaˇc. U reálného kondenzátoru se projevuje vodivost dielektrika. Výsledné vlastnosti reálného kondenzátoru odpovídají paralelnímu spojení ideálního kondenzátoru a ideálního rezistoru s rezistivitou odpovídající rezistivitˇe dielektrika. Proud procházející kondenzátorem v obvodu se stˇrídavým proudem pˇredbíhá napˇetí na kondenzátoru o 90◦ .
Obrázek 1.8: Ideální kondenzátor v obvodu stˇrídavého proudu U ideálního kondenzátoru v obvodech se stˇrídavým proudem vzniká kapacitní reak1 tance, která klesá s rostoucí frekvencí podle vzorce XC = 2πf1 C = ωC (Ω; s−1 , F ). XC udává reaktanci se základní jednotkou ohm [Ω], f vyjadˇruje frekvenci se základní jednotkou hertz [Hz] a C pˇredstavuje kapacitu se základní jednotkou farad [F] [4]. Stˇrídavé napˇetí pˇripojené na sériové spojení ideálních kondenzátoru˚ se na jednotlivé kondenzátory rozdˇelí pˇrímo úmˇernˇe kapacitní reaktanci vzniklé v jednotlivých kondenzátorech. Stejnosmˇerné napˇetí pˇripojené na sériové spojení ideálních kondenzátoru˚ se rozdˇelí na jednotlivé kondenzátory nepˇrímo úmˇernˇe kapacitˇe každého z nich. 1.4.4 Cívka Cívka je prvek obvodu s definovanou hodnotou indukˇcnosti L. Ve stejnosmˇerných obvodech se ideální cívka po odeznˇení pˇrechodového jevu chová jako vodiˇc. U reálné cívky se projevuje odpor vinutí. Výsledné vlastnosti reálné cívky odpovídají sériovému spojení ideální cívky a ideálního rezistoru s rezistivitou odpovídající rezistivitˇe vinutí reálné cívky. Proud procházející cívkou v obvodu se stˇrídavým napˇetím se zpožd’uje o 90◦ za napˇetím na cívce. U ideální cívky v obvodech se stˇrídavým proudem vzniká indukˇcní reaktance, která roste s frekvencí podle vzorce XL = 2πf L = ωL (Ω; s−1 , H). XL udává reaktanci se základní jednotkou ohm [Ω], f vyjadˇruje frekvenci se základní jednotkou hertz [Hz] a L pˇredstavuje indukˇcnost se základní jednotkou henry [H] [4]. Stˇrídavé napˇetí pˇripojené na sériové spojení ideálních cívek se na jednotlivé cívky rozdˇelí pˇrímo úmˇernˇe indukˇcní reaktanci vzniklé v jednotlivých cívkách. 9
1.4. ZÁKLADNÍ PRVKY ELEKTRICKÉHO OBVODU
Obrázek 1.9: Ideální cívka v obvodu stˇrídavého proudu 1.4.5 Mˇerˇící pˇrístroje pro elektrotechniku a jejich vhodné modelování Ideální voltmetr je mˇerˇ ící pˇrístroj pro mˇerˇ ení elektrického napˇetí. Zapojuje se paralelnˇe k mˇerˇ enému prvku obvodu a má nekoneˇcnou vnitˇrní impedanci. Pro správné mˇerˇ ení polarity mˇerˇ eného napˇetí se rozlišuje kladná a záporná svorka voltmetru. Ideální ampérmetr je mˇerˇ ící pˇrístroj pro mˇerˇ ení elektrického proudu. Zapojuje se do série s mˇerˇ eným prvkem obvodu a má nulovou vnitˇrní impedanci. Pro správné mˇerˇ ení polarity mˇerˇ eného proudu se rozlišuje kladná a záporná svorka ampérmetru. Ideální ohmmetr je mˇerˇ ící pˇrístroj pro mˇerˇ ení rezistivity a má nekoneˇcnou vnitˇrní impedanci. Osciloskop je mˇerˇ ící pˇrístroj pro zobrazování cˇ asových prubˇ ˚ ehu˚ napˇetí a proudu. Reálné mˇerˇ ící pˇrístroje vykazují jistou koneˇcnou vnitˇrní impedanci danou proudem potˇrebným pro mˇerˇ ení daných veliˇcin. V simulaˇcních obvodech se tyto reálné vlastnosti mˇerˇ ících pˇrístroju˚ neberou v potaz. Mˇerˇ ící pˇrístroje nejsou souˇcástí výsledného zapojení a uvažováním tohoto reálného chování by se narušily pomˇery panující v analyzovaném obvodu a to navíc pouze v prubˇ ˚ ehu mˇerˇ ení. 1.4.6 Základní spojení ideálního rezistoru, kondenzátoru a cívky
Obrázek 1.10: Spojení rezistoru a kondenzátoru
10
1.4. ZÁKLADNÍ PRVKY ELEKTRICKÉHO OBVODU
Obrázek 1.11: Spojení rezistoru a cívky
Obrázek 1.12: Spojení kondenzátoru a cívky
Obrázek 1.13: Spojení rezistoru, kondenzátoru a cívky
11
Kapitola 2
Analýza obvodu˚ 2.1
Model
Model obecnˇe pˇredstavuje zjednodušenou a ekonomicky pˇrijatelnou napodobeninu budoucího systému. Umožnuje ˇ flexibilní zkoumání budoucího systému bez nutnosti jeho praktické realizace, cˇ ímž odpadá vytváˇrení cˇ asovˇe i finanˇcnˇe nároˇcných prototypu. ˚ Pˇri vytváˇrení poˇcítaˇcového modelu je potˇreba nejdˇríve zformulovat zjednodušený popis zkoumaného systému a charakterizovat závislosti výstupu˚ systému na jeho vstupech. Následnˇe se vzniklý abstraktní model zapíše formou programu. V tomto bodˇe již muže ˚ zaˇcít samotné experimentální ovˇerˇ ování vlastností simulaˇcního modelu na poˇcítaˇci, tj. simulace [9]. Vytvoˇrením modelu lze získat informace o vhodnosti daného systému pro ruzné ˚ úˇcely s durazem ˚ na specifické vlastnosti takto zamˇerˇ eného systému. Dále je možné prostˇrednictvím modelu˚ srovnávat a vyhodnocovat funkce ruzných ˚ systému, ˚ analyzovat citlivost systému˚ na zvolené faktory, optimalizovat již navržený systém nebo napˇr. definovat funkcionální závislosti mezi nejvýznamnˇejšími parametry a odezvou systému. 2.1.1 Abstraktní model Abstraktní model je založen na zjednodušeném popisu systému se základními rysy výsledného modelu. Abstraktní model abstrahuje od všech pro budoucí systém nepodstatných informací [9]. Slouží pˇredevším pro identifikaci vhodných složek modelu a pro definici systému a jeho okolí. Pro správný návrh abstraktního modelu je nutné zajímat se pouze o ohraniˇcené cˇ ásti systému, tzv. objekty. 2.1.2 Simulaˇcní model Pod pojmem simulaˇcní model se rozumí abstraktní model zapsaný formou programu v programovacím jazyce [9]. Pro tento úˇcel existují speciální simulaˇcní jazyky (napˇr. Verilog HDL, CSS, CSMP), které usnadnují ˇ efektivní popis jednotlivých složek modelu, jejich chování a propojení. Abstraktní model a simulaˇcní model mají shodné struktury a chování prvku˚ uvažovaného systému. 12
2.2. ANALÝZA
2.2
Analýza
Metodu analýzy je možné chápat jako konkrétní postup od sestaveného modelu obvodu, vˇetšinou ve formˇe soustavy rovnic, po získání cíle analýzy, tj. urˇcité vlastnosti originálního systému. Analýza zahrnuje rozbor a ovˇerˇ ení vlastností daného modelu.
2.3
Výsledky analýzy a významné analyzaˇcní programy
Typy výsledku˚ analýzy mohou být v ruzných ˚ tvarech, které závisí na použitých algoritmech a míˇre jejich abstrakce. Symbolické výsledky analýzy jsou ve formˇe matematických vzorcu˚ s promˇennými, cˇ ímž je pˇrehlednˇe zobrazena míra závislosti výsledku na potˇrebných promˇenných a v pˇrípadˇe potˇreby je možné dosáhnout semisymbolického i numerického výsledku (viz níže) dosazením patˇriˇcných hodnot za promˇenné. Tato výhoda je však vykoupena složitými matematickými postupy a jejich nároˇcností na pamˇet’, dobu výpoˇctu a vysoký výkon použitého hardware. Pˇri použití složitých modelu˚ se vytrácí i výhoda pˇrehlednosti zobrazení závislosti výsledku na promˇenných ve vzorci, i když je stále možné závislosti jednotlivých promˇenných sledovat a pˇri zmˇenˇe jejich hodnot se nemusí analýza opakovat. Výsledky v symbolickém tvaru umožnují ˇ napˇríklad programy Analog Insides, NODAL, Tina. Semisymbolické výsledky analýzy jsou ve formˇe s dosazenými hodnotami za nˇekteré symboly ve vzorci. Ve vzorci jsou tak pˇrítomny hodnoty i symboly. Mezi programy vracející výsledky analýzy v semisymbolickém tvaru patˇrí napˇr. CIA a Multisim. Numerické výsledky analýzy jsou v souˇcasnosti nejbˇežnˇeji vyžadované a pro vˇetšinu simulaˇcních programu˚ jsou základním výstupním typem. Výsledkem analýzy jsou pouze hodnoty bez zjevných funkˇcních závislostí, jak tomu bylo u vzorcu. ˚ Výhodou jsou ale optimalizované algoritmy pro numerický výpoˇcet a nízká nároˇcnost použitých algoritmu˚ na výpoˇcetní výkon. Více informací o možných výsledcích analýzy elektrických zapojení lze nalézt v [2]. Významným simulaˇcním programem pro elektrotechniku je Spice. Jedná se o celosvˇetovˇe rozšíˇrený standard analogové simulace a byl vyvinut v laboratoˇri elektrotechnického výzkumu na Kalifornské universitˇe v Berkeley v roce 1975. Puvodnˇ ˚ e byl navržen pro sálové poˇcítaˇce a napsán v jazyce Fortran, ze kterého se pozdˇeji pˇrešlo na jazyk C. Spice umožnuje ˇ napˇr. stejnosmˇernou a cˇ asovou analýzu nelineárních prvku˚ a kmitoˇctovou analýzu lineárních prvku. ˚ Spice puvodnˇ ˚ e pro analýzu využíval metodu uzlových napˇetí, a nedovoloval proto použití ideálních napˇet’ových zdroju. ˚ Souˇcasná verze využívá pozmˇenˇenou metodu uzlových napˇetí, která tento nedostatek rˇ eší. Spice byl od poˇcátku prodáván za symbolickou cenu pokrývající cenu média, což pˇredstavuje jeden z duvod ˚ u˚ jeho pozdˇejšího obrovského vlivu na podobné simulátory, které mnohdy ze Spice pˇrímo vychází [10]. Micro–Cap je kompatibilní se Spice a umožnuje ˇ simulaci analogových i digitálních obvodu˚ s numerickými i symbolickými výsledky. Umožnuje ˇ provádˇet napˇr. cˇ asovou, frekvenˇcní, stejnosmˇernou, Monte–Carlo nebo Fourierovu analýzu zadaného zapojení [6]. TinaPlus umožnuje ˇ simulaci analogových, digitálních VHDL a MCU obvodu˚ se symbo13
2.4. HEURISTICKÁ ANALÝZA lickými výsledky. Umožnuje ˇ napˇr. stejnosmˇernou, cˇ asovou, Fourierovu, stˇrídavou, sít’ovou nebo Monte–Carlo analýzu [11]. Electronic Workbench vychází ze Spice, skládá se ze simulátoru MultiSIM a modulu UltiBoard pro návrh desek plošných spoju. ˚ Byl vyvíjen jako výukový nástroj pro školy a dnes se jedná o profesionálnˇe využívaný simulaˇcní nástroj [7].
2.4
Heuristická analýza
Heuristická analýza je založena na tvurˇ ˚ cím pˇrístupu rˇ ešitele a jeho schopnosti nalézt nejlepší cestu k vyˇrešení obvodu. Není pˇri ní explicitnˇe stanoven postup, podle kterého se má obvod rˇ ešit. Postup rˇ ešení si volí rˇ ešitel podle aktuální situace v zapojení a svých pˇredchozích zkušeností s podobnými obvody, cˇ ímž odpadá riziko použití nepˇrimˇerˇ enˇe složitých postupu. ˚ Heuristická analýza je vhodná pro ruˇcní rˇ ešení ménˇe rozsáhlých obvodu˚ za pˇredpokladu, že byly pochopeny pomˇery panující v daném zapojení [2]. Pˇri rˇ ešení obvodu˚ pomocí heuristické analýzy se obyˇcejnˇe vychází ze základních teorému˚ elektrotechniky jako je první a druhý Kirchhoffuv ˚ zákon, Ohmuv ˚ zákon, Theveninuv ˚ zákon, transfigurace hvˇezda– trojúhelník a dále elektrických charakteristik jednotlivých souˇcástek a zpusobu ˚ jejich propojení. 2.4.1 Princip superpozice Principem superpozice je pravidlo, že úˇcinek souˇctu pˇríˇcin je roven souˇctu následku˚ jednotlivých pˇríˇcin pusobících ˚ samostatnˇe [2], cˇ ili obvod s nˇekolika zdroji se podle principu superpozice vyˇreší jako souˇcet samostatných odezev na jednotlivé zdroje. Docílí se tím zjednodušení výpoˇctu, který se provádí opakovanˇe pro každý zdroj zvlášt’. Superpozice vyjadˇruje závislost mezi pˇríˇcinou (pusobení ˚ zdroju˚ napˇetí a proudu v obvodu) a následkem (napˇetí nebo proud vzniklý v uvažovaném prvku obvodu). Praktickou aplikací principu superpozice je metoda lineární superpozice. Metoda lineární superpozice se používá v obvodech, ve kterých pusobí ˚ nˇekolik zdroju˚ elektrické energie a je použitelná pouze pro obvody s lineárními prvky. Napˇetí (proud) na libovolném prvku se stanoví tak, že se postupnˇe nechá zapojený vždy jeden zdroj napˇetí nebo proudu a stanoví se napˇetí (proud) na uvažovaném prvku. Ostatní zdroje napˇetí se zkratují, zdroje proudu se vyˇradí. To se provede pro každý zdroj v obvodu a z dílˇcích výsledku˚ se stanoví výsledná hodnota. 2.4.2 Princip ekvivalence Principem je nahrazení složitého obvodu nebo jeho cˇ ásti obvodem jednodušším tak, aby vykazoval stejné vlastnosti a aby napˇet’ové a proudové pomˇery ve zbytku obvodu zustaly ˚ zachovány [2]. Princip ekvivalence v sobˇe sdružuje další principy a teorémy (napˇr. princip substituce nebo Théveninuv ˚ a Nortonuv ˚ teorém), je na nˇem založena rˇ ada analyzaˇcních postupu˚ jako metoda postupného zjednodušování a metoda transfigurace hvˇezda–trojúhelník. 14
2.4. HEURISTICKÁ ANALÝZA Princip substituce je založen na nahrazení vˇetve obvodu, ve které je známa velikost proudu nebo velikost napˇetí, ideálním zdrojem napˇetí nebo proudu, aniž by se zmˇenily pomˇery ve zbytku obvodu. Théveninuv ˚ a Nortonuv ˚ teorém popisují skuteˇcnost, že libovolnˇe složitý lineární obvod je možné zamˇenit za reálný zdroj napˇetí (Thévenin) nebo proudu (Norton) se shodnými vlastnostmi. 2.4.3 Transfigurace hvˇezda–trojúhelník Ve složitých obvodech se cˇ asto objevuje spojení souˇcástek, které není paralelní ani sériové a jedinou možností, jak dané spojení zjednodušit, je pˇrevést jej na spojení jiné, které již umožní sériové nebo paralelní spojení v rámci zbytku obvodu. V takovém zapojení lze nalézt spojení tvoˇrící hvˇezdu nebo trojúhelník, pˇriˇcemž mezi tˇemito spojeními je možné libovolnˇe pˇrecházet, aniž by došlo k zmˇenˇe pomˇeru˚ v obvodu nebo k zmˇenˇe hodnot mezi stejnou dvojicí svorek zapojení do trojúhelníka a zapojení do hvˇezdy.
Obrázek 2.1: Pˇrevod hvˇezdy tvoˇrené z rezistoru˚ R1, R4 a R3 na trojúhelník tvoˇrený z rezistoru˚ R6, R7 a R8 Vztahy pro pˇrevod hvˇezdy na trojúhelník jsou R6 = R1 +R4 + RR1 R3 4 , R7 = R1 +R3 + RR1 R4 3 , R8 = R3 + R4 + RR3 R1 4 [3]. R6 R7 R6 R8 Vztahy pro pˇrevod trojúhelníka na hvˇezdu jsou R1 = R6 +R , R4 = R6 +R , R3 = 7 +R8 7 +R8 R7 R8 R6 +R7 +R8 [3]. 2.4.4 Postupné zjednodušování obvodu Princip je vhodný pro obvody s jedním zdrojem a zátˇeží. Pˇri více zdrojích v zapojení je nutné obvod rˇ ešit pro každý zdroj zvlášt’ a zbylé zdroje napˇetí je nutné nahradit zkratem, zbylé zdroje proudu se vyˇradí. Postupnˇe se provádí zjednodušování zátˇeže až na jeden prvek s urcˇ itou impedancí. Použitím Ohmova zákona se urˇcí proud ze zdroje. Postupným pˇrevádˇením zjednodušeného spojení na puvodní ˚ se pomocí Ohmova zákona urˇcí proudy v jednotlivých vˇetvích zapojení. 15
2.5. ALGORITMICKÁ ANALÝZA 2.4.5 Ekvivalence reálných napˇet’ových a proudových zdroju˚ Princip definuje pravidla pro správný návrh ekvivalentních reálných napˇet’ových a proudových zdroju˚ tak, aby je bylo možné pˇri dodržení pˇrevodních vztahu˚ libovolnˇe zamˇenovat. ˇ
2.5
Algoritmická analýza
Pˇri rˇ ešení obvodu pomocí algoritmické analýzy se vychází z postupu – algoritmu, který je univerzální a vede vždy k cíli [2]. Algoritmická analýza je vhodná pˇredevším pro simulaˇcní a analyzaˇcní programy, nebot’ není závislá na kreativním pˇrístupu rˇ ešitele a hledání optimálního algoritmu pro každé zapojení. Na druhou stranu se ale v každém libovolnˇe složitém zapojení postupuje stejným zpusobem, ˚ což muže ˚ být v nˇekterých pˇrípadech výpoˇcetnˇe neefektivní. 2.5.1 Metoda smyˇckových proudu˚ Metoda se vyznaˇcuje malým poˇctem rovnic a pomˇernˇe komplikovaným algoritmem pro jejich sestavení založeném na druhém Kirchhoffovˇe zákonˇe. Pˇri jejím použití nelze rˇ ešit obvody se zdroji proudu. Do každé smyˇcky se zavádí smyˇckový proud. Tyto smyˇckové proudy jsou neznámé veliˇciny a musí se sestavit tolik rovnic, kolik je v daném zapojení smyˇcek. Každou souˇcástkou, která je spoleˇcná dvˇema smyˇckám, prochází podle zavedeného oznaˇcení dva proudy. Jsou to proudy obou sousedních smyˇcek, pro nˇež je souˇcástka spoleˇcným prvkem. Výsledný proud souˇcástkou je dán jejich souˇctem s ohledem na jejich polaritu. 2.5.2 Metoda uzlových napˇetí Metoda se vyznaˇcuje malým poˇctem rovnic a pomˇernˇe snadným algoritmem pro jejich sestavení založeném na prvním Kirchhoffovˇe zákonˇe. Pˇri jejím použití nelze rˇ ešit obvody se zdroji napˇetí. Na uzly obvodu se aplikuje první Kirchhoffuv ˚ zákon. Jeden uzel se zvolí jako referenˇcní, nejlépe je zvolit uzel s co nejvˇetším poˇctem pˇripojených prvku. ˚ Napˇetí každého z ostatních uzlu, ˚ vztaženého k referenˇcnímu uzlu, se oznaˇcuje jako napˇetí uzlové. Proudy v prvcích obvodu se vyjádˇrí pomocí uzlových napˇetí a napˇetí zdroju. ˚ 2.5.3 Matematický aparát algoritmické analýzy Pˇri rˇ ešení lineárních nesetrvaˇcných obvodu, ˚ tj. lineárních obvodu˚ neobsahujících kondenzátory ani cívky, se využívá soustavy lineárních algebraických rovnic. Pˇri rˇ ešení lineárních setrvaˇcných obvodu, ˚ tj. lineárních obvodu˚ obsahujících kondenzátory a nebo cívky, se využívá lineárních algebraicko–diferenciálních rovnic, tj. bud’ soustavy algebraických rovnic obsahující komplexní kmitoˇcet (analýza harmonických ustále16
ˇ 2.6. CASOVÁ ANALÝZA (TRANSCIENT) ných stavu˚ pomocí fázoru), ˚ nebo soustava rovnic s Laplaceovým operátorem p (analýza jednodušších pˇrechodových dˇeju˚ Laplaceovou transformací) [2].
2.6
ˇ Casová analýza (transcient)
Prvotním cílem cˇ asové analýzy je imitace cˇ innosti „inteligentního osciloskopu," tj. zjišt’ování cˇ asových prubˇ ˚ ehu˚ signálu˚ v obvodu. „Inteligentní osciloskop" by mˇel umožnovat ˇ zobrazení všech možných cˇ asových prubˇ ˚ ehu, ˚ které lze odvodit na základˇe napˇetí a proudu˚ a dále zaznamenávat jednorázové pˇrechodové dˇeje [2].
Obrázek 2.2: Pˇríklad signálu zobrazeného osciloskopem
Reakce obvodu na daný budící signál závisí nejen na tomto signálu, ale i na poˇcáteˇcních podmínkách, v nichž se obvod nachází v okamžiku pˇripojení budícího signálu. Muže ˚ to být napˇr. napˇetí, na které je nabit kondenzátor nebo proud procházející cívkou. Tyto pocˇ áteˇcní podmínky jsou implicitnˇe nastaveny na nulu a teprve pˇri pˇrerušení cˇ asové analýzy tvoˇrí neznámé veliˇciny poˇcáteˇcní podmínky pro další prubˇ ˚ eh simulace. Z cˇ asového vývoje poˇcáteˇcních podmínek je možné odvodit všechny existující signály v obvodu [2]. V analogových simulátorech se z praktických duvod ˚ u˚ považují za stavové veliˇciny všechna uzlová napˇetí nebo smyˇckové proudy plus proudy všemi cívkami nebo napˇetí na všech kondenzátorech. Pˇri zjišt’ování jednoho uzlového napˇetí nebo jen jednoho smyˇckového proudu program ve skuteˇcnosti rˇ eší celou soustavu rovnic a k dispozici jsou všechny neznámé. ˇ Casová analýza se zabývá chováním zapojení v cˇ ase a zaznamenáváním reakcí na vstupní signály. Typicky se nejdˇríve vytvoˇrí soustava nelineárních, v cˇ ase se mˇenících diferenciálních rovnic, které reprezentují zapojení. Následnˇe jsou zinicializovány stavové promˇenné, tj. napˇr. uzlová napˇetí, proudy cívkami nebo logické stavy v digitálních obvodech. Poté bývá stanoven stejnosmˇerný pracovní bod, sloužící pro získání množiny stavových promˇenných reprezentujících stavové podmínky odpovídajících cˇ asu nula analýzy, nebo mohou být použity implicitní stavové promˇenné. Pro výpoˇcet napˇetí a proudu˚ v obvodu bývá cˇ asto nelineární obvod zlinearizován pro dané stavové promˇenné. Po tˇechto krocích muže ˚ být pˇrikroˇceno ke spuštˇení samotné cˇ asová analýzy [6]. 17
ˇ 2.7. KMITO CTOVÁ ANALÝZA (AC ANALÝZA)
2.7
Kmitoˇctová analýza (AC analýza)
Hlavním cílem je napodobení funkce „inteligentního obvodového analyzátoru," tj. pˇrístroje pro snímání kmitoˇctových charakteristik obvodu. ˚ Obvod se rˇ eší pro zadaný rozsah kmitoˇctu˚ [2].
Obrázek 2.3: Pˇríklad kmitoˇctové charakteristiky reproduktoru Pˇri kmitoˇctové analýze se pˇredpokládá vzájemná lineární závislost mezi stavovými promˇennými modelu. Je vytvoˇrena množina lineárních sít’ových rovnic, která je následnˇe rˇ ešena nad celým zadaným frekvenˇcním rozsahem. Pro tento úˇcel je nelineární model zlinearizován na nízkosignálový model reprezentovaný množinou konstant, které urˇcují vztah mezi napˇetími a proudy u každého prvku obvodu [10].
2.8
Stejnosmˇerná analýza (DC analýza)
Hlavním cílem je napodobení funkce „inteligentního charakterografu," tj. pˇrístroje pro snímání stejnosmˇerných charakteristik nelineárních obvodu˚ (napˇr. voltampérové charakteristiky) [2]. Pˇri stejnosmˇerné analýze jsou všechny kondenzátory v zapojení vyˇrazeny z obvodu a nahrazeny prázdným místem, cívky jsou nahrazeny zkratem a zdroje uvedeny do jejich poˇcáteˇcních stavu, ˚ definovaných pro cˇ as nula analýzy. Vychází se z malého množství na vstupu nezávislých promˇenných o specifickém rozsahu. Zadaný rozsah se prochází a pˇri každém kroku je vypoˇcítán pracovní bod obvodu. Typickým výstupem bývá pˇrechodová charakteristika [6]. 18
2.9. STATISTICKÁ ANALÝZA (MONTE CARLO)
Obrázek 2.4: Pˇríklad voltampérové charakteristiky diody
2.9
Statistická analýza (Monte Carlo)
Statistická analýza provádí výpoˇcet pro zjištˇení, nakolik výrobní rozptyly parametru˚ soucˇ ástek ovlivnují ˇ výsledné vlastnosti obvodu a pomáhá urˇcovat vhodné tolerance hodnot souˇcástek pro spolehlivou funkci zapojení [10]. Pˇri statistické analýze je provádˇeno nˇekolik bˇehu˚ s lišícímí se parametry zapojení. Zmˇeny v zapojení se týkají numerických parametru, ˚ které jsou náhodnˇe voleny. Míra náhodnosti je urˇcena zadanou tolerancí prvku˚ obvodu. Jako výstup bývá vytvoˇrena výkonnostní charakteristika z každého bˇehu.
19
Kapitola 3
Simulace obvodu˚ 3.1
Poˇcítaˇcová simulace
Simulací se oznaˇcuje provádˇení experimentální analýzy nad reprezentací simulaˇcního modelu pro získání informací o chování systému. Spoˇcívá v opakovaném rˇ ešení modelu a provádˇení tzv. simulaˇcních bˇehu, ˚ které jsou charakterizovány urˇcitými hodnotami parametru˚ a urˇcitými vstupními hodnotami z okolí. Pˇri každém simulaˇcním bˇehu dochází k vyhodnocení výstupních dat simulaˇcního modelu. Cílem simulace je analýza a rychlá optimalizace chování již navrženého modelu systému v závislosti na vstupních veliˇcinách a na hodnotách parametru˚ [9]. Simulaci samotné pˇredchází verifikace simulaˇcního modelu a ovˇerˇ ování korespondence mezi simulaˇcním a abstraktním modelem. V prubˇ ˚ ehu simulace je neustále testována validita modelu, tj. míra jeho pˇresnosti vzhledem k reálnému systému. V pˇrípadˇe, že chování modelu neodpovídá pˇredpokládanému chování originálu, musí být model modifikován s pˇrihlédnutím k informacím, které byly získány pˇredcházející simulací. Hranice mezi analýzou a simulací není ostrá, programy analyzující chování elektrických obvodu˚ se dnes vˇetšinou oznaˇcují jako simulátory.
3.2
Problémy pˇri poˇcítaˇcové simulaci
Modelování bývá oznaˇcováno jako proces popisování reality omezenými prostˇredky, kdy je potˇreba brát ohled na omezení použitého modelu a nevyvozovat z modelování nepatˇriˇcné závˇery. Základním pˇredpokladem pro obdržení vˇerohodných výsledku˚ z provádˇené simulace je vytvoˇrení spolehlivého simulaˇcního modelu, který správnˇe popisuje chování reálného systému. Jeho pˇrípadná nedokonalost, vzniklá napˇr. použitím zjednodušujících pˇredpokladu, ˚ by nemˇela podstatnˇe ovlivnovat ˇ výsledek provádˇené analýzy. V opaˇcném pˇrípadˇe je nutné model upravit. Obecnˇe platí, že každý model je nejvýše tak pˇresný, jak pˇresná jsou data do nˇej zadaná, nehledˇe na nepˇresnosti dané návrhem modelu. Reálné souˇcástky se v dusledku ˚ použité tolerance výrobních hodnot nebo vedlejších fyzikálních pochodu˚ mohou chovat mírnˇe odlišnˇe od pˇredpokladu˚ braných v úvahu v dobˇe návrhu modelu, což z pohledu chování samotné souˇcástky nemusí vadit. Z pohledu výsledného zapojení muže ˚ množství takto získaných velmi malých odchylek zpusobovat ˚ již nepˇrehlédnutelné rozdíly od pozorovaného chování reálného systému. Muže ˚ tak docházet k chybám ve výsledku analýzy, které bývají jen velmi obtížnˇe zjistitelné a zamezit jim lze pouze detailnˇejším a pˇresnˇejším návrhem 20
ˇ ˇ ˇ PO CÍTA 3.2. PROBLÉMY P RI COVÉ SIMULACI každého prvku obvodu. V dobˇe návrhu by se proto mˇely brát v úvahu nejhorší možné parametry každé souˇcástky dané tolerancí a parazitními jevy vznikajícími v reálné souˇcástce. Použitý model by rovnˇež nemˇel být pˇrehnanˇe složitý, aby s ním bylo možné na cílových poˇcítaˇcích vubec ˚ pracovat. Napˇr. obvody by se mˇely dále zjednodušovat a cˇ lenit do menších bloku, ˚ aby klesla nároˇcnost složitých zapojení na pamˇet’ a výpoˇcet. Simulace rozsáhlých zapojení se doporuˇcuje provádˇet po menších cˇ ástech pro dosažení jednodušší a rychlejší práce s modelem. Pro pˇrehlednost každé z analýz zapojení se dále doporuˇcuje provádˇet v každém bˇehu jen jednu podstatnou zmˇenu parametru. ˚ Pˇri analýze elektrických obvodu˚ metodou smyˇckových proudu˚ je potˇreba správnˇe zvolit potˇrebné smyˇckové proudy pro sestavení rovnic. Nemˇely by být vytváˇreny nadbyteˇcné smyˇckové proudy, které znovu popisují již popsané vztahy v obvodu. Zárovenˇ musí být zahrnuty všechny vˇetve obvodu a všechny cˇ ásti obvodu musí být smyˇckami kompletnˇe propojeny. Prostˇrednictvím soustavy rovnic musí být nalezena závislost každého smyˇckového proudu na všech ostatních. Souˇcástky typu ideální voltmetr, ideální ampérmetr a ideální ohmmetr nesmí ovlivnit chování obvodu a pˇri výpoˇctu promˇenných obvodu se musí ignorovat. Vˇetve obsahující pouze ideální voltmetr nebo ohmmetr nesmí být zahrnuty do smyˇcek, nebot’ jimi neprotéká žádný proud. Stejnˇe tak ideální kondenzátor má ve stejnosmˇerném obvodu nekoneˇcný odpor a vˇetev, která jej obsahuje, nesmí být zahrnuta do smyˇcek. V prubˇ ˚ ehu analýzy se ale napˇetí na daném kondenzátoru ve stejnosmˇerném obvodu musí dodateˇcnˇe dopoˇcítat. Pro správné zobrazování více prubˇ ˚ ehu˚ napˇetí nebo proudu pˇri cˇ asové analýze stˇrídavých obvodu˚ je potˇreba správnˇe urˇcit fázové posuvy zpusobené ˚ jalovou složkou stˇrídavého proudu a rozlišit fázové posuvy zpusobené ˚ opaˇcnou vzájemnou orientací prvku˚ obvodu, jejichž prubˇ ˚ ehy napˇetí nebo proudu jsou souˇcasnˇe zobrazovány. Poˇcítání impedance pomocí transfigurací cˇ ástí zapojení není vhodné pro poˇcítaˇcové zpracování a je pˇríliš složité pro rozsáhlejší zapojení. Proto se získání impedance obvodu vztažené k zadaným potenciálum ˚ rˇ eší za pomoci již implementovaných algoritmu˚ výpoˇctu napˇetí a proudu. Pˇredpokladem ale je, aby byl analyzovaný obvod pro tuto cˇ innost správnˇe upraven. V dusledku ˚ zhavarování algoritmu v prubˇ ˚ ehu analýzy muže ˚ dojít k nedokonˇcení analýzy a nenalezení požadovaných výsledku, ˚ napˇríklad pˇri zadání nulové hodnoty kapacity ve stˇrídavých obvodech. Simulaˇcní program by proto mˇel rozpoznat chybové vstupní hodnoty pro daný model. Pokud program nedovolí uživateli zadat chybné hodnoty, minimalizuje se riziko zhavarování požitých algoritmu. ˚ Simulaci s více stejnosmˇernými zdroji je možno jednoduše implementovat za použití mnoha principu. ˚ Naproti tomu rˇ ešení s více stˇrídavými zdroji, tˇreba i harmonických pru˚ bˇehu, ˚ naráží na mnoho zásadních problému. ˚ Pro práci se složenými stˇrídavými napˇetími je nutné použít harmonickou analýzu, nebot’ prubˇ ˚ ehy mohou být s ruznou ˚ frekvencí a vzájemnˇe posunuty o libovolný úhel.
21
Kapitola 4
Progam RLCSim 4.1
Model obvodu programu RLCSim
Model obvodu je popsán schématem a pomocí datové struktury logického zapojení obvodu. Pro snadnost uživatelského návrhu a pˇrehlednost vytváˇreného schématu je duležitá ˚ forma obrázku schématu umožnující ˇ vytvoˇrení libovolného grafického cˇ lenˇení, které zaruˇcuje intuitivní a pˇrehlednou práci se schématem a umožnuje ˇ seskupovat prvky obvodu podle funkˇcní závislosti. Pro poˇcítaˇcové zpracování a samotný výpoˇcet je nezbytný popis logického cˇ lenˇení schématu, pˇri kterém se ignoruje skuteˇcné rozložení prvku˚ obvodu na ploše. Pro úspˇešnou analýzu postaˇcuje znalost parametru˚ jednotlivých prvku˚ obvodu a znalost vzájemného propojení mezi prvky. U každého prvku obvodu se tedy musí uchovávat jeho poloha na kreslící ploše, jednoznaˇcný identifikátor, charakteristické vlastnosti a zpusob ˚ propojení. U uzlu je nutné zaznamenávat ještˇe seznam pˇripojených vodiˇcu. ˚ Uzel je vhodný pouze pro grafické znázornˇení schématu, nebot’ seznam vodiˇcu˚ urˇcuje pouze vodiˇce pˇripojené k jednomu konkrétnímu uzlu. Uzlu˚ ale muže ˚ být v zapojení pˇrímo propojeno více, a tudíž by docházelo opakovanˇe k vyhledávání všech vodiˇcu˚ pˇripojených k jednomu potenciálu. Pro logické znázornˇení je výhodné ještˇe seskupit všechny pˇrímo propojené uzly do potenciálu a dále pracovat s tímto objektem. U vodiˇce je nutné ukládat jeho jednoznaˇcný identifikátor, krajní body urˇcené pˇripojenými prvky obvodu a body zlomu, kde vodiˇc mˇení smˇer. Seznam zlomu˚ je automaticky vytvoˇren, pokud zlomy v cestˇe nebyly uživatelem definovány pˇri vytváˇrení vodiˇce. Prvky obvodu je možné vkládat pouze na místa urˇcená imaginární mˇrížkou, což pˇrináší pozitiva v oblasti shodného zarovnání všech prvku˚ a jednoduchosti vykreslování vodiˇcu. ˚ Kvuli ˚ jednoznaˇcnosti orientace napˇetí a proudu je nezbytné, aby se tyto hodnoty u jednotlivých prvku˚ obvodu ukládaly do pamˇeti vždy ve specifikovaném tvaru. Umožní to pozdˇejší práci s tˇemito hodnotami, napˇr. pˇri použití mˇerˇ ících pˇrístroju˚ a následném sˇcítání hodnot z více prvku. ˚ Napˇetí a proudy u jednolivých prvku˚ obvodu se ukládají s orientací od vývodu 1 k vývodu 2. Pˇri vykreslování stˇrídavých prubˇ ˚ ehu˚ je nezbytné ještˇe nalézt zpusob ˚ pˇripojení dané souˇcástky ke zdroji napˇetí. Orientovaná hodnota od vývodu 1 k vývodu 2 se použije, pouze pokud je zdroj napˇetí pˇripojen k vývodu 1 dané souˇcástky také vývodem 1, a tedy souˇcasné zobrazení probˇehne v poˇrádku. Naprosto spolehlivé zobrazení mˇerˇ eného prubˇ ˚ ehu probˇehne za podmínky, že se použijí virtuální mˇerˇ ící pˇrístroje, které mají polaritu již urˇcenou svými vývody. 22
4.2. FUNKCE PROGRAMU RLCSIM
4.2
Funkce programu RLCSim
Obrázek 4.1: Vzhled aplikace pˇri spuštˇené simulaci Editor schémat je založen na ovládání myší, lze využít klávesové zkratky nebo vyskakovací menu. Pro snadnˇejší práci se zapojením je implementována funkce zoom pro zmˇenu velikosti prvku˚ obvodu, cˇ ehož se dosahuje pouhým zvˇetšováním rozteˇce mˇrížky, na kterou se prvky obvodu vykreslují. Program je možné prakticky použít pro návrh frekvenˇcních filtru˚ a propustí, pro experimentální zjištˇení rezonanˇcní frekvence rezonanˇcních obvodu˚ nebo ovˇerˇ ení funkˇcnosti ruzných ˚ zapojení. Program umožnuje ˇ zapojení nˇekolika stejnosmˇerných zdroju˚ napˇetí nebo jednoho stˇrídavého zdroje napˇetí, který dále slouží jako porovnávací signál pˇri vykreslování prubˇ ˚ ehu˚ v obvodech se stˇrídavým proudem. Základní funkcí programu je poskytnutí nástroju˚ pro uživatelský návrh a nakreslení schématu zapojení vˇcetnˇe pˇriˇrazení charakteristických hodnot použitým prvkum ˚ obvodu. Propojování prvku˚ obvodu je možné provádˇet zadáním poˇcáteˇcního a koncového bodu s au23
4.2. FUNKCE PROGRAMU RLCSIM tomatickým nalezením vhodné cesty nebo ruˇcním vkládání zlomových bodu. ˚ Následnˇe je možné provádˇet uživatelské zmˇeny v bodech cesty vodiˇce a pˇresouvání cesty pomocí myši. Za vhodnou cestu pro pruchod ˚ vodiˇce se považuje cesta, která se nepˇrekrývá s jiným vodicˇ em, neprochází pˇres ostatní prvky zapojení a jde nejkraší možnou cestou s co nejmenším poˇctem zlomu. ˚ Program umožnuje ˇ následnou editaci schématu zapojení, tj. vkládání nových prvku, ˚ úpravu hodnot, pˇremíst’ování a mazání existujících prvku. ˚ Po spuštˇení simulace dochází k omezení povolených akcí pˇredevším na zmˇenu hodnot prvku, ˚ což umožnuje ˇ sledování zmˇen pomˇeru˚ v zapojení v dusledku ˚ provádˇených zmˇen. Zmˇeny ve zpusobu ˚ propojení jednotlivých prvku˚ obvodu nejsou v prubˇ ˚ ehu simulace povoleny. Na samém zaˇcátku simulace dochází k optimalizaci zapojení, redukci pro výpoˇcet nadbyteˇcných prvku˚ obvodu a tím k zjednodušení výsledného logického zapojení. Následnˇe jsou vytvoˇreny smyˇcky v zapojení tak, aby bylo možné sestavit matici smyˇckových proudu˚ a aby nebyly vytvoˇreny žádné smyˇcky nadbyteˇcnˇe. Z takto vzniklých smyˇckových proudu˚ se sestaví matice a spoˇcítají se jejich determinanty. Program rozpozná krátký obvod v zapojení, tj. cˇ ást obvodu, která nemuže ˚ ovlivnit chování celku a nezahrne tuto cˇ ást do výpoˇctu (viz obr. 4.2).
Obrázek 4.2: Cívka L2 neovlivní chování obvodu, použité hodnoty: U1=250 V, f=600 Hz, R1=40 Ω, R2=250 Ω, L1=5 mH, L2=100 mH, C1=2 µF Program umožnuje ˇ zobrazování hodnot napˇetí a proudu u libovolného prvku. Jednoduchým kliknutím v prubˇ ˚ ehu simulace na daný prvek se v dolní cˇ ásti okna ve stavové lištˇe zobrazí aktuální hodnota napˇetí, proudu a impedance souˇcástky (viz obr. 4.3).
Obrázek 4.3: Pˇríklad zobrazených hodnot pro C1 z obr. 4.2 Ve stˇrídavých obvodech se navíc zobrazí prubˇ ˚ ehy napˇetí a proudu vztažené ke zdroji napˇetí (viz obr. 4.4), který muže ˚ být v zapojení jenom jeden, jinak by pˇri ruzných ˚ frekvencích zdroju˚ bylo nutné rˇ ešit harmonickou analýzu jednotlivých prubˇ ˚ ehu. ˚ 24
4.2. FUNKCE PROGRAMU RLCSIM
Obrázek 4.4: Pˇríklad vykreslených prubˇ ˚ ehu˚ pro C1 z obr.4.2
V grafu zobrazených prubˇ ˚ ehu˚ napˇetí a proudu je možné mˇenit mˇerˇ ítko na osách pomocí tlaˇcítek U+, U-, I+ a I-. Graf neslouží k pˇresnému zjištˇení velikosti vykreslených prubˇ ˚ ehu˚ na jednotlivých prvcích obvodu, nýbrž k porovnání fázových posuvu˚ napˇetí a proudu u jednotlivých prvku˚ obvodu. Tmavˇe zelenou barvou je vždy vykreslováno napˇetí zdroje, tmavˇe modrou barvou proud tekoucí zdrojem. Svˇetle zelenou a svˇetle modrou barvou je vykreslováno napˇetí a proud u mˇerˇ ené souˇcástky. Zobrazovat je možné i prubˇ ˚ ehy napˇetí mezi dvˇema potenciály pomocí voltmetru. Vždy se nalezne nejkratší cesta mezi svorkami voltmetru a spoˇcítá se souˇcet napˇetí jednotlivých vˇetví této cesty. Na ostatních paralelních vˇetvích je napˇetí vždy stejné. Pˇrechodové dˇeje nejsou pˇri vykreslování prubˇ ˚ ehu˚ napˇetí a proudu uvažovány. Pro výstup slouží export schématu do souboru ve formátu BMP a je možné uživatelsky zvˇetšovat rozmˇery výsledného obrázku pomocí modrého rámu okolo zapojení. Další formou výstupu je export vykreslovaných prubˇ ˚ ehu˚ zobrazených signálu˚ do souboru ve formátu BMP. Vytvoˇrené schéma simulovaného zapojení je možné ukládat do netypovaného souboru. Ruzné ˚ datové struktury se ukládají s využitím bitového záznamu, udávajícího typ následujícího záznamu, pˇred každým ukládaným záznamem v souboru. Tato mírná redundance v poˇctu ukládaných záznamu˚ pˇrináší výhody dané použitím jednoho souboru a možností ukládat i velmi rozdílné typy záznamu. ˚ Program umožnuje ˇ mˇerˇ it rezistivitu obvodu vztaženou k dvˇema potenciálum ˚ urˇceným ohmmetrem. Rezistivitu je možné mˇerˇ it na spojení rezistoru˚ bez zapojeného zdroje (viz obr. 4.5). Nebo rezistivitu celého obvodu se zapojenými zdroji (viz obr. 4.6). 25
4.3. POPIS KNIHOVNY ALGLIB
Obrázek 4.5: Mˇerˇ ení rezistivity spojení rezistoru˚ bez zdroje
Obrázek 4.6: Mˇerˇ ení rezistivity stejnosmˇerného obvodu s rezistory Mˇerˇ it je možné i impedanci celého obvodu s pˇripojeným stˇrídavým zdrojem (viz obr. 4.7).
4.3
Popis knihovny ALGLIB
4.3.1 Oblasti použití knihovny ALGLIB ALGLIB je volnˇe šiˇritelná matematická knihovna dostupná na http://www.alglib.net/. Tato knihovna rˇ eší problémy maticového poˇctu, lineárních a diferenciálních soustav rovnic, derivace a integrace. Vˇetšina algoritmu˚ je implementována pro C#, C++, Delphi, Visual Basic nebo Zonnon. 4.3.2 Popis použitých funkcí a typu˚ V rˇ ešeném simulaˇcním programu byly použity funkce pro práci s komplexními cˇ ísly, LU dekompozici matice a výpoˇcet determinantu matice. Práce s komplexními cˇ ísly zahrnuje pˇredevším základní operace násobení, dˇelení, sˇcítání a odeˇcítání komplexních cˇ ísel. Všechny uvedené operace jsou implementovány i pro komplexní cˇ ísla smíšenými s reálnými cˇ ísly. Determinant je poˇcítán za použití LU dekompozice dané matice, kde L je nižší triangulární matice a U je vyšší triangulární matice. Po provedení LU dekompozice je determinant 26
˚ PROGRAMU RLCSIM 4.4. POPIS VYBRANÝCH ALGORITN U
Obrázek 4.7: Mˇerˇ ení impedance stˇrídavého obvodu matice urˇcen pouze diagonálními cˇ leny matice, cˇ ímž dojde k zjednodušení samotného výpoˇctu a zmenšení velikosti výsledných cˇ ísel.
4.4
Popis vybraných algoritnu˚ programu RLCSim
Obrázek 4.8: Pˇríklad obvodu s vyhovujícím rozmístˇením smyˇckových proudu˚
4.4.1 Algoritmus nalezení duležitých ˚ potenciálu˚ Algoritmus prochází všechny uzly v obvodu a hledá jiné uzly, které jsou s vybraným pˇrímo propojeny. Duležitý ˚ potenciál je pak definován jako seznam uzlu, ˚ který ovšem musí obsahovat více než dva pˇripojené ruzné ˚ prvky obvodu. Pˇri dvou pˇripojených prvcích se uzel 27
˚ PROGRAMU RLCSIM 4.4. POPIS VYBRANÝCH ALGORITN U nepovažuje za duležitý ˚ potenciál, ale pouze jako spojení dvou prvku. ˚ Duležité ˚ potenciály se dále uplatnují ˇ pˇri hledání vˇetví, které musí být bezprostˇredním spojením dvou duležitých ˚ potenciálu. ˚ 4.4.2 Algoritmus nalezení nejkratších smyˇcek Jedná se o základní algoritmus programu, který hned ze zaˇcátku urˇcuje složitost následného výpoˇctu. Ve složitých obvodech je možné vždy nalézt velké množství ruzných ˚ smyˇcek, kdy vˇetšina je redundantní a zbyteˇcnˇe popisují již popsané vztahy mezi smyˇckovými proudy (viz obr. 4.9).
Obrázek 4.9: Redundantní smyˇcka Pravidlem je, že by každá vˇetev mˇela být obsažena alesponˇ v jedné smyˇcce. Všechny cˇ ásti obvodu by mˇely být smyˇckami kompletnˇe propojeny, aby prostˇrednictvím soustavy rovnic byla nalezena závislost každého smyˇckového proudu na všech ostatních (viz obr. 4.10). Proto platí, že smyˇcka obsahující n vˇetví by mˇela sousedit s minimálnˇe n-1 smyˇckami, což vychází z podstaty již nalezených potenciálu. ˚ Pokud by bylo smyˇcek ménˇe, pak by dvˇe ruzné ˚ vˇetve obsahovaly stejný smyˇckový proud a žádný jiný, což by zpusobilo ˚ chybný výsledek analýzy. Vˇetev, která je spjata pouze s jedním smyˇckovým proudem, je definována dostateˇcnˇe pˇresnˇe, pokud je pro danou smyˇcku vˇetví jedinou. Algoritmus vychází z pˇredpokladu, že obvod obsahuje nˇekolik potenciálu˚ a nˇekolik vˇetví. Pˇrípad pouze s jednou smyˇckou se rˇ eší jiným algoritmem, což je dáno existencí pouze jedné vˇetve a žádného definovaného potenciálu. Samotné vytváˇrení nejkratších smyˇcek se provádí pomocí vyhledávacího stromu, kdy se pro každou dosud nezaˇrazenou vˇetev vezme první z jejích terminálních potenciálu˚ a zapojení se prohledává pro nalezení cesty k druhému terminálnímu potenciálu. 28
˚ PROGRAMU RLCSIM 4.4. POPIS VYBRANÝCH ALGORITN U
Obrázek 4.10: Chybˇející smyˇckový proud, smyˇcka obsahující n vˇetví musí sousedit alesponˇ s n-1 dalšími smyˇckami 4.4.3 Algoritmus sestavení matice ze smyˇcek Pro každý smyˇckový proud je potˇreba sestavit rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona. Znaménka jednotlivých napˇetí v souˇctu se urˇcí pro každou vˇetev podle orientace sousedního smyˇckového proudu u dané vˇetve. Pokud je orientace sousední smyˇcky opaˇcná než orientace smyˇcky pro kterou je vytváˇrena rovnice, výsledné napˇetí na sdílené vˇetvi se bude v rovnici odeˇcítat, pokud shodná, tak pˇriˇcítat. (R3 + R6 ) I1 − R3 I3 = U3 (R1 + R2 ) I2 − R2 I3 = U1 (R2 + R3 + R4 ) I3 − R3 I1 − R2 I2 − R4 I4 = 0 (R4 + R5 ) I4 − R4 I3 = −U2 Rovnice 4.4.1: Rovnice sestavené podle rozložení smyˇckových proudu˚ z obázku 4.8, každá rovnice popisuje jeden smyˇckový proud.
R3 + R 6 0 −R3 0 0 R 1 + R2 −R2 0 −R3 −R2 R2 + R3 + R4 −R4 0 0 −R4 R4 + R5
Rovnice 4.4.2: Matice pro výpoˇcet obecného determinantu sestavená podle rovnice 4.4.1 Každému sloupci a rˇ ádku v matici zobrazené v rovnici 4.4.2 odpovídá jeden smyˇckový 29
˚ PROGRAMU RLCSIM 4.4. POPIS VYBRANÝCH ALGORITN U proud. Prvky matice popisují rezistivitu vˇetve, která je spoleˇcná smyˇckovým proudum ˚ v rˇ ádku a ve sloupci.
U3 U1 0 −U2
Rovnice 4.4.3: Napˇetí zdroju˚ se uchovává mimo obecnou matici pro pozdˇejší použití pˇri výpoˇctu hodnot smyˇckových proudu. ˚
4.4.4 Algoritmus výpoˇctu smyˇckových proudu˚ Hodnota smyˇckových proudu˚ se poˇcítá podle vzorce I = ddx . Kde d je determinant obecné matice a dx je determinant matice vzniklé z obecné matice nahrazením sloupce poˇcítaného smyˇckového proudu sloupcem s napˇetími v jednotlivých smyˇckách. K výpoˇctu determinantu˚ je využita knihovna ALGLIB. Výsledkem algoritmu výpoˇctu smyˇckových proudu˚ jsou spoˇcítané smyˇckové proudy a z nich odvozené proudy v každé vˇetvi s pˇríslušnou orientací od prvního vývodu vˇetve k druhému. 4.4.5 Algoritmus chytrého vykreslování spojovacích cest Algoritmus ulehˇcuje vkládání vodiˇcu˚ do schématu, kdy se každý zlom spojovací cesty nemusí implicitnˇe oznaˇcovat, ale je vyhledán podle aktuálního rozložení prvku˚ obvodu na ploše. Algoritmus pracuje s již definovanou mˇrížkou, na kterou se zobrazovaly prvky obvodu pˇri vkládání. Mˇrížkou se prochází po kroku 1 ve vybraném smˇeru, jenž je prioritní, dokud se nedosáhne cílové hodnoty pro daný smˇer, popˇr. o nˇeco málo dál pokud zmˇenˇe smˇeru do nového brání existence jiného prvku než cílového. Pokud se algoritmus vrací stejnou cestou, kterou pˇrišel, napˇr. narazí na slepou uliˇcku, tak tuto cestu postupnˇe maže. Implicitní smˇer na zaˇcátku vykreslování spojovací cesty je vodorovný, pokud je cesta volná. V okamžiku, kdy je nalezena cesta, se již nezkoumá, zda je to cesta optimální. Optimalizaci muže ˚ provést uživatel vložením nového bodu do dráhy spojovací cesty nebo vymazáním všech existujících bodu˚ a vložením jednoho nového. Algoritmus pro vˇetšinu pˇrípadu˚ zarucˇ uje nalezení cesty s minimálním poˇctem zlomu. ˚ 4.4.6 Algoritmus výpoˇctu rozdílu U mezi dvˇema potenciály Algoritmus nejdˇríve pomocí vyhledávacího stromu vyhledá nejkratší cestu mezi dvˇema potenciály urˇcenými voltmetrem. Podle orientace vˇetví v nalezené cestˇe algoritmus provede souˇcet orientovaného napˇetí na jednotlivých vˇetvích cesty. Je nalezena jedna z nejkratších cest, pokud existují jiné paralelní cesty, napˇetí na nich bude stejné. 30
˚ PROGRAMU RLCSIM 4.4. POPIS VYBRANÝCH ALGORITN U 4.4.7 Algoritmus výpoˇctu rezistivity nebo impedance vztažené ke dvˇema bodum ˚ obvodu Algoritmus neprovádí výpoˇcet rezistivity nebo impedance klasickou cestou prací s R nebo Z jednotlivých prvku˚ obvodu. Protože je dotazována pouze výsledná rezistivita nebo impedance celého zapojení, je využito již vytvoˇrených algoritmu˚ pro výpoˇcet smyˇckových proudu. ˚ Pro tento výpoˇcet jsou nahrazeny všechny zdroje napˇetí v zapojení uzlem, cˇ ímž dojde k jejich zkratování a zapojení se nemusí pˇrepojovat. Propojovací cesty zustanou ˚ naprosto stejné, a zálohovat je proto nutné pouze seznam prvku˚ obvodu a nikoli senam vodiˇcu. ˚ Následnˇe se ohmmetr nahradí zdrojem napˇetí o libovolné hodnotˇe napˇetí, spoˇcítají se smyˇckové proudy a z nich odvozené proudy v jednotlivých vˇetvích. Napˇetí zdroje se podˇelí celkovým proudem ze zdroje, cˇ ímž se získá celková hodnota rezistivity nebo impedance vztažená k potenciálum ˚ urˇceným svorkami ohmmetru. Následnˇe dojde k obnovení puvodního ˚ obvodu.
31
Kapitola 5
Závˇer V rˇ ešení byla implementována cˇ asová analýza libovolného zapojení skládajícího se z prvku˚ R, L, C a jednoho stˇrídavého nebo více stejnosmˇerných zdroju˚ napˇetí. Pro analýzu obvodu byla zvolena metoda smyˇckových proudu, ˚ která dokáže popsat chování napˇet’ových zdroju˚ v zapojení. Pro každé simulované zapojení jsou prostˇrednictvím napˇetí a proudu u každého prvku získány znalosti o pomˇerech panujících v obvodu. Pro obvody se stˇrídavým proudem jsou navíc nalezeny prubˇ ˚ ehy napˇetí a proudu. Tyto prubˇ ˚ ehy jsou následnˇe vykresleny do grafu a porovnány s aktuálními prubˇ ˚ ehy na zdroji stˇrídavého napˇetí. Jednotlivá napˇetí a proudy je nutné uchovávat orientovanˇe vzhledem k orientaci souˇcástky v zapojení. Orientované napˇetí ale neˇríká nic o vlastním vztahu ke stˇrídavému zdroji, k jehož prubˇ ˚ ehu se zobrazovaný prubˇ ˚ eh vztahuje pˇri vykreslování. Jalová složka stˇrídavého proudu muže ˚ zpusobit, ˚ že proud v cˇ ásti obvodu prochází i v opaˇcném smˇeru než u zdroje, tj. s fázovým posuvem vˇetším než 180◦ , cˇ ímž se zobrazování signálu˚ komplikuje. Cílem je zobrazit prubˇ ˚ ehy na zdroji a mˇerˇ eném prvku obvodu ve shodném cˇ ase. Pro tento úˇcel je nezbytné najít vzájemnou orientaci mˇerˇ eného prvku vuˇ ˚ ci zdroji v obvodu a provést potˇrebnou korekci o 180◦ , pokud je vzájemná orientace obou prvku˚ v obvodu opaˇcná, tj. pokud si cˇ ísla spojených vývodu˚ souˇcástek a následnˇe ani znaménka orientovanˇe uložených hodnot napˇetí a proudu neodpovídají. Zobrazování prubˇ ˚ ehu˚ na jednotlivých prvcích obvodu automatickým zjištˇením umístˇení daného prvku v obvodu nemusí být vždy zcela spolehlivé, a je proto lepší polaritu daného napˇetí nebo proudu získat vložením voltmetru nebo ampérmetru s pˇríslušnou polarizací. Pˇri vyhledávání vztahu dané souˇcástky ke zdroji napˇetí muže ˚ totiž být nalezena „stejnˇe dlouhá cesta" ke kladnému i zápornému pólu zdroje, a dojít tak k chybnému vynesení hodnot do grafu. Proto by dané zobrazování bez použití mˇerˇ ících pˇrístroju˚ mˇelo sloužit spíše pro orientaˇcní zjištˇení velikosti mˇerˇ ené promˇenné. Pro získání pˇresné závislosti je vždy nezbytné použít virtuální mˇerˇ ící pˇrístroje. Do zapojení je možné vkládat pouze ideální souˇcástky a výsledné zapojení lze pˇriblížit reálnému pouze omezeným zpusobem. ˚ Ke každé ideální souˇcástce je možné pˇripojit další ideální souˇcástky, které popisují parazitní jevy v daném reálném prvku obvodu, napˇr. sériové pˇripojení ideální cívky popisující indukˇcnost vývodu˚ reálného rezistoru k ideálnímu rezistoru. Pˇri cˇ asové analýze nebyly uvažovány pˇrechodové jevy vznikající pˇri nabíjení kondenzátoru nebo pˇri zmˇenˇe velikosti proudu tekoucího cívkou. 32
Literatura [1] ALGLIB,
. ˇ [2] Biolek, D.: Rešíme elektronické obvody, aneb, Kniha o jejich analýze, BEN - technická literatura, 2004, 80-7300-125-X. 2.3, 2.4, 2.4.1, 2.4.2, 2.5, 2.5.3, 2.6, 2.6, 2.7, 2.8 [3] Blahovec, A.: Elektrotechnika I, Informatorium, 1999, 80-860-73-49-1. 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 2.4.3 [4] Blahovec, A.: Elektrotechnika II, Informatorium, 2000, 80-860-73-67-X. 1.2, 1.4.3, 1.4.4 [5] Blahovec, A.: Elektrotechnika III, Pˇríklady a úlohy, Informatorium, 1999, 80-860-7350-5. [6] Micro–Cap 9 Reference Guide, . 2.3, 2.6, 2.8 [7] Multisim User Guide, . 2.3 [8] Physique Appliquée, . 1.4.1 ˇ [9] Rábová, Z. a Ceška, M. a Zendulka, J.: Modelování a simulace, Státní nakladatelství technické literatury, 1982. 2.1, 2.1.1, 2.1.2, 3.1 [10] SPICE 3 User’s Manual, . 2.3, 2.7, 2.9 [11] TINA Design Suite v7 Quick start manual, . 2.3 [12] wikipedia, . 1.1.1, 1.2, 1.3
33
Pˇríloha A
Mˇerˇení rezistivity V programu je možné sestavit libovolné spojení rezistoru˚ a zmˇerˇ it rezistivitu výsledného zapojení. Pˇri hodnotˇe všech rezistoru˚ rovné 100 Ω má zapojení z obrázku A.1 rezistivitu 200 Ω.
Obrázek A.1: Pˇríklad mˇerˇ ení rezistivity spojených rezistoru˚
34
Pˇríloha B
Mˇerˇení napˇetí a proudu Souˇcet okamžitých napˇetí na R1 a L1 z obrázku B.1 je vždy roven okamžitému napˇetí zdroje, stejnˇe tak u R2 a C1. Souˇcet okamžitých proudu˚ v R1 a R2 je vždy roven okamžitému proudu, který prochází zdrojem (viz obr. B.2, B.3, B.4, B.5). Hodnoty souˇcástek jsou U1=250 V, f=600 Hz, R1=40 Ω, R2=250 Ω, L1=5 mH, C1=2 µF.
Obrázek B.1: Zapojení, na kterém je provádˇeno mˇerˇ ení napˇetí a proudu
35
ˇ ˇ B. M Eˇ RENÍ NAP ETÍ A PROUDU
Obrázek B.2: Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u R1
Obrázek B.3: Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u L1
36
ˇ ˇ B. M Eˇ RENÍ NAP ETÍ A PROUDU
Obrázek B.4: Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u R2
Obrázek B.5: Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u C1
37
Pˇríloha C
Ovˇerˇení vlastností pásmové propusti bez rezistoru˚
Obrázek C.1: Schéma pásmové propusti, první cˇ ást je tvoˇrena dolní propustí, druhá cˇ ást je tvoˇrena horní propustí Hodnota souˇcástek zapojení z obrázku C.1 je U=100 V, R1=100 Ω, R2=100 Ω, L1= 100 mH, C2=100 µF. Experimentálnˇe zjištˇená frekvence pro maximální propustnost je 50 Hz (viz obr. C.2). Se zmˇenou této frekvence napˇetí na výstupu ovšem neklesá. V tˇesném okolí této frekvence (od 50 do 31Hz a od 50 do 81Hz) napˇetí na výstupu dokonce roste. Je to zpusobeno ˚ jalovou složkou napˇetí na cívce, která je pˇri frekvencích 31 a 81 Hz dokonce nˇekolikanásobnˇe vˇetší. Pˇrenos na této pásmové propusti je tedy roven jedné v okolí frekvence 50 Hz a roste v obou smˇerech ke frekvencím 31 Hz a 81 Hz. Pˇri frekvenci 31Hz (viz obr. C.3) prochází cívkou L2 proud o velikosti pˇribližnˇe 337 A a napˇetí na výstupu je pˇribližnˇe 6572 V, proud odebíraný ze zdroje je pˇribližnˇe 546 A. Pˇri frekvenci 81 Hz (viz obr. C.4) prochází cívkou L2 proud o velikosti pˇribližnˇe 82 A a napˇetí na výstupu je pˇribižnˇe 4211 V, pˇriˇcemž velikost ze zdroje odebíraného proudu je pˇribližnˇe 48 A. Smˇerem dolu˚ od frekvence 31 Hz a nahoru od frekvence 81 Hz napˇetí na výstupu této frekvenˇcní propusti klesá, což je charakteristickou vlastností pásmových propustí.
38
ˇ ˚ C. O V Eˇ RENÍ VLASTNOSTÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI BEZ REZISTOR U
Obrázek C.2: Výstup pásmové propusti pˇri frekvenci 50 Hz
Obrázek C.3: Výstup pásmové propusti pˇri frekvenci 31 Hz
39
ˇ ˚ C. O V Eˇ RENÍ VLASTNOSTÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI BEZ REZISTOR U
Obrázek C.4: Výstup pásmové propusti pˇri frekvenci 81 Hz
40
Pˇríloha D
Ovˇerˇení vlastností pásmové propusti s rezistory
Obrázek D.1: Schéma pásmové propusti, první cˇ ást je tvoˇrena dolní propustí, druhá cˇ ást je tvoˇrena horní propustí Hodnota souˇcástek zapojení z obrázku D.1 je U=100 V, R1=100 Ω, R2=100 Ω, L1= 100 mH, C2=100 µF. Experimentálnˇe zjištˇená frekvence pro maximální propustnost je 36 Hz a s její zmˇenou napˇetí na výstupu klesá. Výstup první cˇ ásti obvoudu na rezistoru R1 tvoˇrí dolní propust (viz obr. D.2). Prubˇ ˚ eh napˇetí na výstupu pásmové propusti pˇri frekvenci 36 Hz je na obrázku D.3. V obou smˇerech od frekvence 36 Hz napˇetí na výstupu klesá.
41
ˇ D. O V Eˇ RENÍ VLASTNOSTÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI S REZISTORY
Obrázek D.2: Napˇetí na cˇ ásti zapojení tvoˇrící dolní propust pˇri frekvenci 36 Hz
Obrázek D.3: Napˇetí na výstupu pásmové propusti pˇri frekvenci 36 Hz
42
Pˇríloha E
Ovˇerˇení vlastností rezonanˇcní pásmové propusti
Obrázek E.1: Pˇríklad rezonanˇcní pásmové propusti Cílem je experimentálnˇe zjistit rezonanˇcní frekvenci obvodu z obrázku E.1. Pˇri rezonanˇcní frekvenci je velikost napˇetí na cívce rovna velikosti napˇetí na kondenzátoru s fázovým posuvem 180◦ (viz obr. E.2 a E.3). Veškeré napˇetí zdroje je proto pˇrítomno na rezistoru. Pro hodnoty U=100 V , L=100 mH, C1=100 µF, R1= 100 Ω byla nalezena rezonanˇcní frekvence pˇribližnˇe 50 Hz.
43
ˇ ˇ E. O V Eˇ RENÍ VLASTNOSTÍ REZONAN CNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI
Obrázek E.2: Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u L1 pˇri rezonanˇcní frekvenci
Obrázek E.3: Prubˇ ˚ ehy veliˇcin u C1 pˇri rezonanˇcní frekvenci
44
