A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark
´ 0. BEVEZETES Decision theory: web Google keres´es= 27 milli´o tal´alat D¨ont´eselm´elet: web Google keres´es= 12 ezer tal´alat D¨ont´eselm´elet n´eh´any ter¨ulete: • orvosi, • jogi, b´ır´oi, • k¨ ozgazdas´ agi, • m˝uszaki, • egy´eb. M´odszerek ´es a kapcsol´od´o fontosabb szoftverek • AHP analytic hierarchy process (Saaty, 1980, EC expert choice) • PROMETHEE preference ranking organization method for enrichment evaluation (Brans, 1982, Decision Lab) • GAIA geometric analysis for interactive assistance (Marechal, Brans, 1988,Decision Lab) • WINGDSS, Sztaki • WinQSB (Quantitative System for Business) decision analysis (Yih-Long Chang, Georgia Institute of Technology)
1
2
1. ALAPFOGALMAK (ld. Temesv´ari J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 11-13) 1.1 N´ eh´ any jellemz˝ o d¨ ont´ esi probl´ ema Cselekv´eseinket d¨ont´esek ir´any´ıtj´ak. Nagyon gyakran ker¨ul¨unk d¨ont´esi (k´enyszer)helyzetbe. N´eha azonnal kell d¨onteni, m´askor lehet˝os´eg¨unk van (s˝ot k´enyszer´ıtve vagyunk) a´tgondolt, indokolt d¨ont´eseket hozni. 1. Termel´ esi feladat: t¨obbf´ele term´ek el˝oa´ll´ıt´as´anak mennyis´eg´er˝ol d¨ont¨unk. C´el a maxim´alis profit, vagy maxim´alis profit minim´alis k¨ornyezeti k´aros´ıt´assal, vagy maxim´alis profit minim´alis munkaer˝o felhaszn´al´as´aval. 2. Befektet´ esi feladat: maxim´alis hozamot biztos´ıt´o portfolio kiv´alaszt´asa. Korl´atok: p´enz¨ugyi, szempontok: ´ovatoss´ag vagy kock´azat, befektet´es id˝otartama. 3. Iskola v´ alaszt´ asi probl´ ema: u´j lak´ohelyre k¨olt¨oz¨unk ´es keress¨uk a legjobb iskol´at. Szempontok: lak´ast´ol val´o t´avols´ag, iskola sz´ınvonala, tand´ıj, zs´ufolts´ag, iskola felszerelts´ege: sport, sz´am´ıt´og´epes h´al´ozat. 4. Szem´ et´ eget˝ o telep´ıt´ ese. Szempontok: technol´ogia, helyi munkaer˝o, k¨olts´egek, k¨ornyezeti felt´etelek, lakoss´agi hozz´aa´ll´as. 5. K¨ ozbeszerz´ esi p´ aly´ azat ki´ ert´ ekel´ ese. Pl. banki sz´am´ıt´og´epes tender ´ert´ekel´ese. Szempontok: ´ar, hardver min˝os´ege, szolg´altat´asi felt´etelek, garanci´alis felt´etelek, betan´ıt´as.
3
Minden esetben a c´el egyetlen cselekv´es (a legjobb termel´esi terv, legjobb befektet´es, iskola stb.) kiv´alaszt´asa. 1.2 Matematikai programoz´ as, felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ eksz´ am´ıt´ as D¨ont´esi v´altoz´ok: x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn egy n-dimenzi´os vektorba foglalva, Felt´etelek le´ır´asa: adott gi : Rn → R i = 1, . . . , k + l f¨uggv´enyek seg´ıts´eg´evel gi(x) = 0
(i = 1, . . . , k); k < n egyenl˝os´eg t´ıpus´u felt´etelek
gj (x) ≤ 0
(j = k + 1, . . . , k + l); egyenl˝otlens´eg t´ıpus´u felt´etelek
D¨ont´esi halmaz: alternat´ıv´ak halmaza ( X=
x ∈ Rn :
gi(x) = 0, i = 1, . . . , k,
)
gj (x) ≤ 0 j = k + 1, . . . , k + l. Egyetlen c´elf¨uggv´eny: f (x) = max ha, x ∈ X Mivel f (x) = min ⇔ −f (x) = max, ha, x ∈ X, ez´ert elegend˝o csak max keres´es´evel foglalkozni. Megold´as: line´aris vagy eg´esz programoz´as, felt´eteles sz´els˝o´ert´eksz´am´ıt´as. P´elda line´aris programoz´asra (k´ et v´ altoz´ o, grafikus megold´ as):(ELOAD1.LPP)
4
x1, x2 ≥ 0, x1 + 2x2 ≥ 6 x2 − x1 ≤ 3 x1 + x2 ≤ 10 2x1 − 3x2 = z → max vagy min
´ s: Az egyenl˝otlens´egrendszernek elegettev˝o pontok halmaza Megolda egy soksz¨og mely az a´br´an sz´ınezve van. A 2x1 − 3x2 = z egyeneseket valamely z = konstans eset´en a´br´azolva p´arhuzamos egyeneseket kapunk (´abr´ankon a z = 20, 6, −12, 5 egyeneseket rajzoltuk be. z maxim´alis ´ert´ek´et akkor kapjuk, ha az egyenes ´atmegy a (10, 0) cs´ucsponton,
5
minim´alis ´ert´ek´et pedig akkor kapjuk, ha az egyenes ´atmegy a (3, 5, 6, 5) cs´ucsponton, zmax = 20, zmin = −12, 5. T¨obb v´altoz´o (szimplex m´ odszer, megold´ as komputerrel, szoftver pl WinQSB) (ld. Varga J.: Gyakorlati programoz´as, Tank¨onyvkiad´o, Bp. 1985, 262268) 1. D¨ont´es el˝ok´esz´ıt´ese. 100000m3 t¨olgyr¨onk¨ot kell f˝ur´esz´aruv´a feldolgozni 4 u¨zemben, melyek k¨ozel azonos technikai felszerelts´eg˝uek. Mindegyikben 6 f´ele term´eket tudnal el˝oa´ll´ıtani: I, II, III-adoszt´aly´u szelv´eny´arut, dong´at, parkettal´ecet, b´anyasz´eldeszk´at ´es k¨ozben f¨ur´eszpor ´es darabos hullad´ek keletkezik. 2. Technol´ogi´ak sz´amszer˝ us´ıt´ese. E term´ekek el˝oa´ll´ıt´as´ara ¨ot technol´ogia van. E technol´ogi´ak kihozatali mutat´ oi pr´obav´ag´asok alapj´an az 3 al´abbiak, 1m r¨onkre vonatkoz´oan, %-ban Technol´ogi´ak I. o. szelv.´aru II. o. szelv.´aru III. o. szelv.´aru Donga Parkettal´ec B´anyasz´eldeszka Darabos hullad´ek F¨ur´eszpor
I 10 30 20 25 15
II 40 10 40 10
III 50 30 20
IV 10 30 15 4 25 16
V 5 25 15 12 28 15
3. Technikai korl´atok. Az u¨zemek kapacit´asa messzemeghaladja a feldolgozand´o mennyis´eget, csup´an a parkettagy´art´o g´epsor kapacit´asa korl´atozott ´evi 10000m3-re.
6
4. Keresleti korl´atok. Az egyes term´ekekb˝ol az ´evi kereslet/terv I.o legal´abb 1000m3, II. o. legal´abb 5000m3, donga legfeljebb 20000m3, parkettal´ec legal´abb 5000m3 -t kell el˝oa´ll´ıtani, ´es a hullad´ek (f¨ur´eszpor ´es darabos hullad´ek) nem haladhatja meg a 45%-ot. 5. A c´elt befoly´asol´o adatok, a k´eszterm´ekek ´arai: K´eszterm´ek I. o. szelv.´aru II. o. szelv.´aru III. o. szelv.´aru Donga Parkettal´ec B´anyasz´eldeszka Darabos hullad´ek F¨ur´eszpor
Ft/m3 3000 2400 1400 3500 3100 1000 500 100
´Igy 1m3 r¨onk feldolgoz´as´aval az ´ arbev´etel : ´ ¨ Techn. Arbev´ etelek (Ft) Ossz.(Ft) I. 0,1· 3000+0,3· 2400+0,2· 1400+0,15· 100 1440 +0,25· 500 II. 0,4· 3500+0,1· 3100+0,4· 500+0,1· 100 1920 III. 0,5· 3100+0,3· 500+0,2· 100 1720 IV. 0,1· 3000+0,3· 2400+0,15· 3100+0,04· 1000 1666 +0,16· 100+0,25· 500 V. 0,05· 3000+0,25· 2400+0,15· 3500+0,12· 3100 1802 +0,15· 100+0,28· 500 6. Matematikai modell. Legyen x1, x2, x3, x4, x5 az egyes technol´ogi´ak szerint felv´agand´o r¨onk mennyis´ege m3-ben, akkor
7
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
nemnegativit´as
0, 1x1 + 0, 1x4 + 0, 05x5 ≥ 1000
I.oszt. terv
0, 3x1 + 0, 3x4 + 0, 25x5 ≥ 5000
II.oszt. terv
0, 4x2 + 0, 15x5 ≤ 20000 donga tervkorl. 0, 1x2 + 0, 5x3 + 0, 15x4 + 0, 12x5 ≥ 5000
park.l´ec terv
0, 1x2 + 0, 5x3 + 0, 15x4 + 0, 12x5 ≤ 10000 park.l´ec kapac. 0, 4x1 + 0, 5x2 + 0, 5x3 + 0, 41x4 + 0, 43x5 ≤ 45000 hullad´ek x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 100000 teljes k´eszlet
Az ´arbev´etel maximaliz´al´asa a c´el, azaz a c´elf¨uggv´eny:
1440x1 + 1920x2 + 1720x3 + 1666x4 + 1802x5 = z → max
Megold´as: Bevitel a WinQSB programba:(FAUZEM.LPP)
8
A megold´as a program seg´ıts´eg´evel:
9
Combined Report for fauzem5 13:40:22 Decision
Solution
Variable
Value
Sunday
February
15
Unit Cost or Profit c(j)
Total
Reduced
Basis
Allowable Allowable
Contribution
Cost
Status
Min. c(j)
Max. c(j)
17,454,550. 52,363,630. 0
basic basic at bound
-M 1,741.667 -M
1,731.2 2,073.867 2,543.03
at bound
-M
1,770.909
basic
1,744.3
2,016.00
1 X1 2 X2 3 X3
12,121.21 27,272.72 0
1,440. 1,920. 1,720.
4 X4
0
1,666.
5 X5
60,606.06
1,802.
0 0 823.0303 0 104.9091 109,212,100. 0
Function
(Max.) =
179,030,300.
Objective
1 2 3 4 5 6 7
2009
Left Hand Constraint Side
Right Hand Direction Side
Slack or Surplus
Shadow Price
Allowable Allowable Min. RHS Max. RHS
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
>= >= <= >= <= <= =
3,242.424 13,787.88 0 5,000.00 0 454.5451 0
0 0 648.4848 0 2,206.061 0 1,440.00
-M -M 12,500. -M 5,000.002 44,545.45 87,878.79
4,242.424 18,787.88 20,000.00 10,000.00 10,000.00 44,545.45 100,000.00
1,000. 5,000. 20,000. 5,000. 10,000. 45,000. 100,000.
4,242.424 18,787.88 21,666.67 10,000.00 11,600.00 M 101,136.4
10
A megold´as t´abl´azat´aban a reduk´ alt k¨ olts´ eg nulla ´ert´ek˝u c´elv´altoz´okn´al szerepel, ´es azt mutatja, hogy hogyan v´altozik a c´elf¨uggv´eny ´ert´eke, ha az illet˝o c´elv´altoz´ora pozit´ıv ´ert´eket k¨ovetel¨unk meg. P´eld´aul, x3 = 0n´al a reduk´alt k¨olts´eg −823, 03, ami azt jelenti, hogy ha x3 ≥ 0 helyett x3 ≥ a3(> 0)-t k¨ovetelj¨uk meg, akkor az c´elf¨uggv´eny ´ert´eke (k¨ozel´ıt˝oleg) −823, 03a3-mal v´altozik. Egy felt´eteln´el szerepl˝o ´ arny´ ek´ ar azt mutatja meg, hogy a felt´etel jobboldal´an a´ll´o konstans v´altoz´asa hogyan hat a c´elf¨uggv´eny ´ert´ek´ere. P´eld´aul, a C3 felt´eteln´el az ´arny´ek´ar 648, 48, ami azt jelenti, hogy ha C3 jobboldal´at b3-mal megn¨ovelj¨uk, (eset¨unkben 20000 + b3-ra) akkor az c´elf¨uggv´eny ´ert´eke (k¨ozel´ıt˝oleg) 648, 48b3-mal n˝o. Az utols´o k´et oszlop 1-5 sorai azt mutatj´ak, hogy a c´elf¨uggv´enyben az illet˝o c´elv´altoz´o egy¨utthat´oja milyen hat´arok k¨oz¨ott v´altozhat ahhoz, hogy m´eg l´etezzen optim´alis megold´as. Az utols´o k´et oszlop utols´o 7 sora azt mutatja, hogy a korl´atoz´o felt´etel jobboldala milyen hat´arok k¨oz¨ott v´altozhat, ahhoz, hogy m´eg l´etezzen optim´alis megold´as. A megold´ as ´ ertelmez´ ese:
x1 x2 x3 x4 x5
= 12121 = 27273 =0 =0 = 60606
els˝o technol´ogi´aval felv´agand´o m´asodik technol´ogi´aval felv´agand´o harmadik technol´ogi´aval felv´agand´o negyedik technol´ogi´aval felv´agand´o o¨t¨odik technol´ogi´aval felv´agand´o
´ Arbev´ etel 179 030 412 Ft Gy´artott term´ekek: I.oszt. 0, 1 · 12121 + 0, 1 · 0 + 0, 05 · 60606 = 4242 = 1000+t¨obblet, II.oszt. 0, 3 · 12121 + 0, 3 · 0 + 0, 25 · 60606 = 18787, 8 = 5000+ t¨obblet, III.oszt. 0, 2 · 12121 = 2424, 2, Donga 0, 4 · 27273 + 0, 15 · 60606 = 20000,
11
Parkettal´ec 0, 1 · 27273 + 0, 5 · 0 + 0, 15 · 0 + 0, 12 · 60606 = 10000 = 5000+ t¨obblet, B´anyasz´eldeszka 0, 04 · 0 = 0, Hullad´ek 0, 4 · 12121 + 0, 5 · 27273 + 0, 05 · 0 + 0, 41 · 0 + 0, 43 · 60606 = 44545, 48 = 45000-hi´any. T´ulteljes´ıt´esek: I.oszt. 3242 II. oszt. 13788 Dong´ab´ol a megengedett 20000-t termelj¨uk Parkettal´ecb˝ol 5000-rel t´ulteljes´ıtj¨uk a tervet, ´es a teljes kapacit´ast kihaszn´aljuk. A hullad´ek 45% alatt van. 1m3 r¨onk¨ot 1790,30 Ft a´ron ´ert´eks´ıtj¨uk. A modell m´ odos´ıt´ asai: 1. Ha a II. oszt. a´r´ub´ol 13788m3 eladhatatlan, csak 11000 adhat´o el, akkor m´odos´ıtani kell a probl´em´at, egy u´j felt´etel k¨ozbeiktat´as´aval: 0, 3x1 + 0, 3x4 + 0, 25x5 ≤ 11000 Az u´j probl´ema lehet megoldhatatlan, kaphatunk u´j optimumot. 2. Ha pl. b´anyasz´eldeszk´ab´ol 1000m3-re van ig´eny, akkor az u´j felt´etel 0, 04x4 ≥ 1000 3. Ha a hullad´ekra nem tesz¨unk kik¨ot´est akkor eggyel kevesebb felt´etel¨unk lesz, az optim´alis megold´as magasabb c´el´ert´eket eredm´enyezhet. 4. Az is el˝ofordulhat, hogy az egyes f˝ur´esz¨uzemek technikai sz´ınvonala k¨ul¨onb¨oz˝o, ekkor sz´et kell osztanunk a gy´artand´o term´ekeket az u¨zemek k¨oz¨ott, felt´eve, hogy az ¨osszkapacit´asuk meghaladja a feldolgozand´o nyersanyagot.
12
Tov´abbi megjegyz´esek: El˝ofordulhat az, hogy a line´aris programoz´asi feladatnak t¨ obb megold´ asa van. P´eldak´ent tekints¨uk a (ELOAD2.LPP) x1, x2, x3, x4 ≥ 0 x1 − x2 + x3 ≤ 8 x2 + x3 − x4 ≤ 11 x1 + 2x2 − x3 + x4 ≤ 10 z = 6x1 + 2x2 + 5x3 + 7x4 → max feladatot. Ennek k´et b´azismegold´asa van (0, 0, 8, 18) ´es (0, 7, 15, 11) ´es nyilv´an ezek konvex kombin´aci´oja, azaz λ(0, 0, 8, 18) + (1 − λ)(0, 7, 15, 11) b´armely λ ∈ [0, 1] mellett is megold´as. Megt˝ort´enhet az is, hogy nincs megold´ as, erre p´elda a (ELOAD3.LPP) x1, x2 ≥ 0 x1 + x2 ≤ 120 x1 ≤ 90 12x1 + 12x2 ≥ 1680 z = 14x1 + 6x2 → max feladat. ´Igy el˝ofordulhat, hogy a d¨ont´esi probl´ema megold´ashoz p´ otl´ olagos inform´ aci´ ora van sz¨uks´eg¨unk, vagy pedig a felt´ eteleinken kell enyh´ıten¨ unk. Ez vezetett el a c´ elprogramoz´ ashoz, ahol a c´elokat ket r´eszre osztjuk, egy r´esz¨uk szigor´uan betartand´o, a m´asik r´esz¨u csak egy bizonyos szinten tartand´o be.
13
Egy m´asik lehet˝os´eg a t¨ obbc´ el´ u programoz´ as. Ha t¨obb c´elf¨uggv´eny¨unk van, melyeket egy vektorba foglalunk f (x) = (f1(x), )f2(x), . . . , fk (x)) akkor a max f (x) x∈X
maximumprobl´ema megold´asa egy un. Pareto-optim´ alis megold´ as ez olyan x∗ vektort (vagy vektorokat) jelent melyekhez nem tudunk megadni (nem l´ etezik) olyan xˆ ∈ X, hogy f (ˆ x) ≥ f (x∗) ´es f (ˆ x) 6= f (x∗) teljes¨ul. Mivel a Pareto optim´alis megold´asok halmaza gyakran v´egtelen, ´ıgy annak megkeres´ese nem adja meg a d¨ont´esi probl´ema megold´as´at. Ez´ert egy un. kompromisszumos megold´ast keres¨unk • s´ulyoz´asos m´odszerrel, • lexikogr´afikus m´odszerrel, • korl´atok m´odszer´evel, • kompromisszumprogramoz´as elv´evel. S´ ulyoz´ asn´ al az egyes c´elf¨uggv´enyeket fontoss´agi s´ulyokkal l´atjuk el, ´es pl. s´ulyozott a´tlagk´ent vagy ¨osszegk´ent egyetlen c´elf¨uggv´enyt alkotunk. Lexikogr´ afikus m´ odszern´ el el˝osz¨or a legfontosabb c´el szerint ´ert´ekel¨unk, ha egy megold´as van akkor k´eszen is vagyunk, ha t¨obb akkor ezeket a fontoss´agban k¨ovetkez˝o szempont szerint ´ert´ekelj¨uk, ´es ´ıgy tov´abb. A korl´ atok m´ odszer´ en´ el egy kiv´etel´evel az ¨osszes t¨obbi c´elt valamely k´ıv´anatos korl´at seg´ıts´eg´evel be´ep´ıtj¨uk a felt´eteli rendszerbe. A kompromisszumprogramoz´ asban olyan d¨ont´est v´alasztunk, mely az ide´alis (minden c´el szerint a legjobb, ´es a´ltal´aban nem l´etez˝o) v´altozathoz legk¨ozelebb esik. 1.3 Alapfogalmak (ld. Temesv´ari J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 18-20)
14
Alternat´ıv´ ak: a k¨ul¨onb¨oz˝o d¨ont´esi lehet˝os´egek, ezek halmaza a d¨ont´esi t´er. Le´ır´asuk: explicit (pl. felsorol´as), vagy implicit. Jellemz˝oik: • sz´amoss´ag, • sz´amszer˝us´ıthet˝os´eg, • k¨olcs¨onkapcsolatok (f¨uggetlens´eg), • bizonytalans´ag (v´eletlent˝ol val´o f¨ugg´es). C´ elok (krit´ eriumok,´ ert´ ekel´ esi t´ enyez˝ ok): azok az ir´anyok, amerre a rendszert vinni szeretn´enk. Ezek sok esetben nem felt´etlen¨ul el´erhet˝o, vagy sz´amszer˝us´ıthet˝o k´ıv´ans´agokat jelentenek. Hierarchikusan elrendezve o˝ket, a legmagasabb szinten lev˝ok ´altal´aban kev´esb´e oper´acion´alisak, az alacsonyabban l´ev˝o krit´eriumok m´ar kezelhet˝ok, m´ıg a legalacsonyabb szinten l´ev˝ok, mint sz´amszer˝u ´ert´ekel´esi t´enyez˝ok jelennek meg. Az ´ ert´ ekel´ esi t´ enyez˝ oknek rendelkezni¨uk kell az al´abbi tulajdons´agokkal: • teljess´eg (egyetlen fontos t´enyez˝o se maradjon ki), • oper´acionaliz´alhat´os´ag (elemz´esre alkalmas legyen), • felbonthat´os´ag (az alternat´ıv´akat az adott t´enyez˝o szerint k¨ul¨on is vizsg´alhassuk), • redundancia kisz˝ur´ese (felesleges, ism´etl˝od˝o szempont elhagy´asa), • minimalit´as (ne legyen ugyanolyan j´o, de kisebb elemsz´am´u t´enyez˝ohalmaz),
D¨ ont´ eshoz´ ok: azok a szem´elyek, akik felel˝osek • az inform´aci´ok megad´as´a´ert, • az alternat´ıv´ak meghat´aroz´as´a´ert, ki´ert´ekel´es´e´ert, • a megold´as realiz´al´as´a´ert.
15
D¨ont´eshoz´o magatart´asa: racion´alis (optimaliz´al´asra t¨orekszik), vagy irracion´alis. A d¨ont´eshoz´o a probl´em´ak egy r´esz´et objekt´ıven l´atja (egy¨utthat´ok, m´er´esek eredm´enyei, sz´am´ıtott ´ert´ekek), m´asik r´esz´et preferenci´ak adj´ak. Magatart´ astudom´ any: a d¨ont´eshoz´okra a korl´atozott racionalit´as elve ´erv´enyes¨ul. D¨ ont´ esi folyamat: • d¨ont´esi szitu´aci´o keletkez´ese (konfliktus felold´asa), • d¨ont´esi probl´ema megfogalmaz´asa, • d¨ont´esi probl´ema formaliz´al´asa (pl. matematikailag), • d¨ont´esi probl´ema m´odszer´enek megv´alaszt´asa, • megold´as: egyetlen cselekv´es kiv´alaszt´asa, • adapt´al´as, ´ert´ekel´es, elemz´es: helyes volt-e a d¨ont´es, vagy u´jra kell kezdeni.
16
2. N´ eh´ any elemi d¨ ont´ esi m´ odszer (ld. Temesv´ari J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 23-30) 2.1 Harci rep¨ ul˝ og´ ep v´ as´ arl´ asa Szak´ert˝ok szempontjai:
• X1 = • X2 = • X3 = • X4 = • X5 = • X6 =
max. sebess´eg km /´o, rakfel¨ulet m2, max. terhelhet˝os´eg kg, beszerz´esi k¨olts´eg milli´o doll´ar, megb´ızhat´os´ag, man˝overez´esi k´epess´eg.
X5, X6 -ot egy o¨tfokozat´u sk´al´an ´ert´ekelj¨uk: na=nagyon alacsony, a=alacsony, a´=´atlagos, j=j´o, nj=nagyon j´o.
17
Az aj´anlatok t´abl´azata: A1
A2
A3
A4
X1
1000
1250
900
1100
X2
150
270
200
180
X3
20000 18000 21000 20000
X4
5, 5
6, 5
4, 5
5, 0
X5
a´
a
j
j
X6
nj
´a
j
a´
2.2 Kvalitat´ıv szempontok sz´ amszer˝ us´ıt´ ese na=nagyon alacsony a=alacsony a´=´atlagos j=j´o nj=nagyon j´o
=1 =3 =5 =7 =9
pont pont pont pont pont
2.3 M´ ert´ ekegys´ egt˝ ol f¨ uggetlen adatok el˝ o´ all´ıt´ asa Ide´alis ´ert´ek meghat´aroz´asa: szak´ert˝ok adj´ak meg, vagy t´abl´azatb´ol vessz¨uk T´abl´azat eredeti adatai: xij az i-edik sor, j-edik oszlop adata (egy 6 × 4 t´ıpus´u m´atrix elemei)
18
Ide´alis ´ert´ek a i-edik sorban: max xij , j
(ahol a maximumot minden j indexre vessz¨uk) ha a legnagyobb ´ert´ek az ide´alis, ´es min xij , j
ha a legkisebb ´ert´ek az ide´alis. A transzform´alt ´ert´ek rij =
xij , max xij j
ha a legnagyobb ´ert´ek az ide´alis, ´es min xij rij =
j
xij
,
ha a legkisebb ´ert´ek az ide´alis. . Igy, ha x1j (j = 1, 2, 3, 4) i = 1 akkor max x1j = 1250, r1j = j 1250 x2j i = 2 akkor max x2j = 270, r2j = (j = 1, 2, 3, 4) j 270 x3j (j = 1, 2, 3, 4) i = 3 akkor max x3j = 21000, r3j = j 21000 4, 5 i = 4 akkor min x4j = 4, 5, !!! r4j = (j = 1, 2, 3, 4) j x4j x5j i = 5 akkor max x5j = 7, r5j = (j = 1, 2, 3, 4) j 7 x6j i = 6 akkor max x6j = 9, r6j = (j = 1, 2, 3, 4) j 9 Az u´j t´abl´azat:
19
A1
A2
X1
0, 80
1
0, 72 0, 88
X2
0, 56
1
0, 74 0, 67
X3
0, 95 0, 86
1
0, 95
X4
0, 82 0, 64
1
0, 90
X5
0, 71 0, 43
1
0, 71
X6
1
A3
A4
0, 56 0, 78 0, 56
Az oszloponk´enti minimumokat vastagon ´ırtuk ki. A m´ atrix minden eleme 0 ´ es 1 k¨ oz¨ ott van, ´ es minden sorban lesz 1-es (ti. a legjobb aj´anlati ´ert´ek(ek). Az aj´ anlati oszlopokban a legjobb az 1, ´ es a legkisebb ´ ert´ ek a legrosszabb. M´asik lehet˝os´eg a transzform´aci´ora,az, hogy a minim´alis ´es maxim´alis ´ert´ekek k¨oz´e szor´ıtjuk be az adatokat, az al´abbi m´odon: xij − min xij rij =
j
max xij − min xij j
,
j
ha a legnagyobb ´ert´ek az ide´alis, ´es max xij − xij rij =
j
max xij − min xij j
,
j
ha a legkisebb ´ert´ek az ide´alis. Enn´el a transzform´aci´on´al t´abl´azatunk az al´abbi alak´u
20
A1 X1 X2
A2
A3
A4
0, 286 1
0
0, 572
0
1 0, 417 0, 250
X3
0, 667 0
1
0, 667
X4
0, 500 0
1
0, 500
X5
0, 500 0
1
0, 500
X6 1 0 0, 500 0 Minden sorban van 0 ´ es 1, a t¨ obbi ´ ert´ ek 0 ´ es 1 k¨ oz¨ otti. Ezt a transzform´aci´ot haszn´alja az ELECTRE m´odszer.
21
2.4 Elimin´ aci´ os elj´ ar´ asok: az alternat´ıv´ ak lesz˝ uk´ıt´ ese (a) Kiel´ eg´ıt´ esre t¨ orekv˝ o m´ odszer: minden szemponthoz tartozik egy kiel´eg´ıt´esi szint, mely alatt (f¨ol¨ott) az alternat´ıva m´ ar nem elfogadhat´ o. Ez gyakran ´eletszer˝u, pl. egyetemen 2 jegy a minim´alis Ha p´eld´ankban ez a szint (1000, 150, 20000, 6,0, ´a, a´), akkor a vastagon szedettek elfogadhatatlanok, ´es csak k´et alternat´ıv´ank marad: A1, A4. A1
A2
A3
A4
X1
1000
1250
900
1100
X2
150
270
200
180
X3
20000 18000 21000 20000
X4
5, 5
6, 5
4, 5
5, 0
X5
a´
a
j
j
X6
nj
a´
j
´a
(b) Diszjunkt´ıv m´ odszer: a kiv´ al´ os´ agot jutalmazza (pl. sport, tudom´any, m˝uv´eszet). Ha egy szempont szerint az alternat´ıva egy szintn´el jobb (nem rosszabb) akkor m´ar elfogadhat´o. Ha ez a szint (1200, 250, 21000, 4,5, j, nj) akkor csak A4 esik ki, mert az els˝o szempont szerint A2 kiv´al´o, ´ıgy marad, a m´asodik szempont szerint A2 kiv´al´o, ´ıgy marad, a harmadik szempont szerint A3 kiv´al´o, ´ıgy marad,
22
a negyedik szempont szerint A3 kiv´al´o, ´ıgy marad, az o¨t¨odik szempont szerint A3 kiv´al´o, ´ıgy marad, a hatodik szempont szerint A1 kiv´al´o, ´ıgy marad. (c) Dominancia. Domin´alt alternat´ıva az, mely minden szempontb´ol alatta marad (esetleg azonos) egy m´asikkal. Racion´alis d¨ont´eshoz´o nem v´alaszt domin´alt alternat´ıv´at. 2.5 Lexikogr´ afikus m´ odszer Ez a m´odszer fontoss´ agi sorrendbe ´ all´ıtja az alternat´ıv´ akat adott szempontok szerint. P´eld´aul ha az a´r a legfontosabb, akkor A3-t v´alasztjuk, ha az megb´ızhat´os´ag a legfontosabb, akkor ism´et A3-t v´alaszjuk, ha az sebess´eg a legfontosabb, akkor A4-t v´alaszjuk, stb.
23
2.6 Pesszimista ´ es optimista d¨ ont´ eshoz´ o A pesszimista d¨ ont´ eshoz´ o u´gy v´alaszt, hogy az
A1
A2
X1
0, 80
1
0, 72 0, 88
X2
0, 56
1
0, 74 0, 67
X3
0, 95 0, 86
1
0, 95
X4
0, 82 0, 64
1
0, 90
X5
0, 71 0, 43
1
0, 71
X6
1
A3
A4
0, 56 0, 78 0, 56
t´ abl´azat minden oszlop´aban a legrosszabb ´ert´eket kiv´ alasztja, ´es ezekb˝ ol a legjobbat v´alasztva kapja a d¨ont´esi alternat´ıv´at, (a rossz elker¨ul´ese) : maximin m´odszer, a
max min xij = 0, 72 j
i
´ert´ekhez tartoz´o d¨ont´es, ami ´eppen A3. Az optimista d¨ ont´ eshoz´ o u´gy v´alaszt, hogy az
24
A1
A2
A3
A4
X1
0, 80
1
0, 72 0, 88
X2
0, 56
1
0, 74 0, 67
X3
0, 95 0, 86
1
0, 95
X4
0, 82 0, 64
1
0, 90
X5
0, 71 0, 43
1
0, 71
X6 1 0, 56 0, 78 0, 56 t´abl´azat minden oszlop´aban a legjobb ´ert´eket kiv´ alasztja, ´es ezekb˝ ol a legjobbhoz tartoz´o alternat´ıva a d¨ ont´ese : ez a maximax m´odszer, a max max xij = 1 j
i
´ert´ek(ek)hez tartoz´o d¨ont´es: az A1, A2, A3 alternat´ıv´ak, melyek egyen´ert´ek˝uek.
3. D¨ ont´ esek bizonytalans´ ag mellett (ld. Temesv´ari J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 31-46) 3.1 V´ allalkoz´ as b˝ ov´ıt´ ese El˝oz˝o fejezetben bizonytalan esem´enyek nem befoly´asolj´ak a d¨ont´est, ez a determinisztikus modell. A sztochasztikus modellben a d¨ont´est bizonytalan kimenetel˝u esem´enyek befoly´asolj´ak, melyek kimenetele a v´eletlent˝ol f¨ugg. V´allakoz´asunk b˝ov´ıt´es´ere 3 lehet˝os´eg van: A1 = u´j fi´ok¨uzlet, A2 = u´j szolg´altat´as, A3 = u´j term´ek. Befoly´asol´o t´enyez˝ok: a k¨ovetkez˝o ´ev keresleti viszonyai, melyekre a v´allalkoz´onak becsl´est kell megadni.
j¨ov˝o ´evi kereslet
becs¨ult szubj. val´osz´ın˝us´egek
S1 nagyon j´o
P (S1) = 0, 4
S2 j´o
P (S2) = 0, 3
S3 k¨ozepes
P (S3) = 0, 2
S4 gyenge
P (S4) = 0, 1 4 P
P (Si) = 1
i=1 1
2
Az egyes tev´ekenys´egek j¨ov˝o ´evi tiszta nyeres´ege a keresleti viszonyokt´ol f¨ugg. A tiszta nyeres´egek t´abl´azata milli´o Ft-ban: A1 A2 A3 S1
20 26 10
S2
12 10
8
S3
8
7
S4
4 −4 5
4
A m´atrix elemei vij = v(Si, Aj ). D¨ ont´ esi lehet˝ os´ egek. 1. A v´ allalkoz´ o f¨ uggetlen´ıti mag´ at a val´ osz´ın˝ us´ egekt˝ ol, ´es kiz´ar´olag az el˝obbi t´abl´azatban szerepl˝o nyeres´egek alapj´an d¨ont (azaz egyenl˝o es´elyt ad S1, S2, S3, S4-nek). (a) Pesszimista ´ es optimista d¨ ont´ es pesszimista max min vij = max{4, −4, 5} = 5, A3-at v´alasztjuk j
i
optimista max max vij = max{20, 26, 10} = 26, j
i
A2-at v´alasztjuk
Van nem sz´els˝os´eges forma is: Hurwicz f´ ele optimizmus egy¨utthat´o: Hj (α) = αMj + (1 − α)mj (α ∈ [0, 1])
3
ahol
mj = min vij , i
Mj = max vij . i
P´eld´aul α = 0, 8 mellett
H1 = 20 · 0, 8 + 4 · 0, 2 = 16, 8 H2 = 26 · 0, 8 + (−4) · 0, 2 = 20 H3 = 10 · 0, 8 + 5 · 0, 2 = 9
Mivel max{16, 8, 20, 9} = 20 igy a d¨ont´es A2. (b) Elmulasztott nyeres´ eg alapj´ an t¨ ort´ en˝ o d¨ ont´ es. Mi az elmulasztott nyeres´eg? Ha pl.S1 k¨ovetkezik be, de nem A2-t v´alasztottuk, hanem A1, vagy A3-at, akkor az elmulasztott nyeres´eg
A1 A2 A3 6
0 16
Minden sor maxim´alis elem´eb˝ol kivonjuk a sor minden elem´et:
4
A1 A2 A3 S1
6
0 16
S2
0
2
4
S3
0
4
1
S4
1
9
0
oszlopmaximum
6
9 16
Az oszlopmaximumok minimuma =6, a d¨ont´es A1. 2. A v´ allalkoz´ o figyelembeveszi a val´ osz´ın˝ us´ egeket. (a) Legnagyobb val´ osz´ın˝ us´ eg melletti maxim´ alis nyeres´ eg. (maximum likelihood m´odszer) P (S1) = 0, 4 a legnagyobb, ez´ert a d¨ont´es A2. (b) V´ arhat´ o nyeres´ eg alapj´ an t¨ ort´ en˝ o d¨ ont´ es. A nyeres´egek v´arhat´o ´ert´ekei: E(A1) = 20 · 0, 4 + 12 · 0, 3 + 8 · 0, 2 + 4 · 0, 1 = 13, 6 E(A2) =
= 13, 8
E(A3) =
= 8, 3
D¨ont´es¨unk: A2.
5
(c) V´ arhat´ o elmulasztott nyeres´ eg alapj´ an t¨ ort´ en˝ o d¨ ont´ es. Az elmulasztott nyeres´egek v´arhat´o ´ert´ekei: ˜ 1) = 6 · 0, 4 + 0 · 0, 3 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 1 = 2, 5 E(A ˜ 2) = E(A
= 2, 3
˜ 3) = E(A
= 7, 8
D¨ont´es¨unk ism´et A2.
6
3.2 Befektet´ esi d¨ ont´ es 14 milli´o Ft befektet´es´ere k´et lehet˝os´eg¨unk van: A1 = telekv´ as´ arl´ as, a telek ´ert´eke a k¨ovetkez˝o ´evben val´osz´ın˝uleg 1%-kal cs¨okken, ha viszont az ¨onkorm´anyzat a k¨ozelben bev´as´arl´ok¨ozpontot ´ep´ıt, akkor 10%-kal n˝ohet a telek ´ert´eke A2 = bankbet´ et, a kamatl´ab 5%, ha meg´ep¨ul a bev´as´arl´ok¨ozpont, akkor a kamatl´ab 5,5%-ra n˝ohet A bev´as´arl´ok¨ozpont meg´ep´ıt´es´enek val´osz´ın˝us´ege 0,75. S1 az az esem´eny, hogy meg´ep¨ul a bev´as´arl´ok¨ozpont, S2 az az esem´eny, hogy nem ´ep¨ul meg a bev´as´arl´ok¨ozpont, P (S1) = 0, 75, P (S2) = 1 − 0, 75 = 0, 25. A nyeres´ egek ´ ert´ ekei, ´ es t´ abl´ azatuk (1000 Ft-ban m´erve): v11 = v(S1, A1) = 14000 · 0, 1 = 1400 v12 = v(S1, A2) = 14000 · 0, 055 = 770 v21 = v(S2, A1) = −14000 · 0, 01 = −140 v22 = v(S2, A2) = 14000 · 0, 05 = 700
7
A1
A2 P = val´osz´ın˝us´eg
S1
1400 770
0, 75
S2
−140 700
0, 25
V´ arhat´ o nyeres´ eg alapj´ an t¨ ort´ en˝ o d¨ ont´ es. A nyeres´egek v´arhat´o ´ert´ekei: E(A1) = 1400 · 0, 75 − 140 · 0, 25 = 1015 E(A2) = 770 · 0, 75 + 700 · 0, 25
= 752, 5
D¨ont´es¨unk: A1. (a) T¨ ok´ eletes inform´ aci´ o v´ arhat´ o p´ enz´ ert´ eke. Van egy j´os (pl. o¨nkorm´anyzati k´epvisel˝o) aki biztos tippet ad. Mennyi lenne a v´arhat´o nyeres´eg, ´es mennyit ´erdemes a j´osnak fizetni? Fontos megjegyz´es: a meg´ep¨ul´es val´osz´ın˝us´ege tov´abbra is 0,75, de pl. 40 ´even a´t ism´etelve a befektet´est, mindig van biztos tipp¨unk.
esem´eny opt. altern. nyeres´eg val´osz´ın˝us´eg v´arhat´o Ft o¨sszeg S1
A1
1400
0, 75
1050
S2
A2
700
0, 25
175
8
A v´arhat´o nyeres´eg kisz´am´ıt´as´ahoz gondolatban 40 ´even ´at ism´etelj¨uk a befektet´est: 30-szor S1 10-szer S2 k¨ovetkezik be, az o¨sszprofit v´arhat´o ´ert´eke 30 · 1400 + 10 · 700 = 0, 75 · 1400 + 0, 25 · 700 = 1225 ezer Ft. 40 A j´os inform´aci´oj´anak ´ert´eke: maximum 1225 − 1015 = 210 ezer Ft. (a) Nem t¨ ok´ eletes inform´ aci´ on alapul´ o d¨ ont´ es. Egy el˝orejelz´essel foglalkoz´o c´eg 115 ezer Ft-´ert megmondja, hogy meg´ep¨ul-e a bev´as´arl´ok¨ozpont. Legyen Z1 esem´eny: a c´eg azt jelzi, hogy meg´ep¨ul , Z2 esem´eny: a c´eg azt jelzi, hogy nem ´ep¨ul meg (nyilv´an a kett˝o k¨oz¨ul csak az egyiket mondja a c´eg) Sz¨uks´eg¨unk van a felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg fogalm´ara. Ha A, B esem´enyek, akkor P (A|B) annak a val´osz´ın˝us´ege hogy A bek¨ovetkezik, felt´eve, hogy tudjuk azt, hogy B bek¨ovetkezett. Ismert, hogy P (B) 6= 0 eset´en P (A|B) =
P (AB) A ´es B egy¨uttes bek¨ovetkez´es´enek val´osz´ın˝us´ege = P (B) B val´osz´ın˝us´ege
amib˝ol P (AB) = P (A|B)P (B). Legyen S1, S2, . . . , Sn egy teljes esem´ enyrendszer, azaz S1 + S2 + · · · + Sn = I,
9
a biztos esem´eny, ´es Si Sj = O (i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n) a lehetetlen esem´eny. Akkor tetsz˝oleges Z esem´enyre Z = Z I = Z(S1 + S2 + · · · + Sn) = Z S1 + Z S2 + · · · + Z Sn P (Z) = P (Z S1) + P (Z S2) + · · · + P (Z Sn). Mivel P (Z Sk ) = P (Z|Sk ) P (Sk ), ez´ert P (Z) = P (Z|S1) P (S1) + P (Z|S2) P (S2) + · · · + P (Z|Sn) P (Sn) =
n P
P (Z|Sk ) P (Sk ).
k=1
Ez a teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele. Mivel P (Sk |Z)P (Z) = P (Sk Z) = P (Z Sk ) = P (Z|Sk ) P (Sk ) ez´ert P (Sk |Z) =
P (Z|Sk ) P (Sk ) P (Z|Sk ) P (Sk ) = P . n P (Z) P (Z|Sk ) P (Sk ) k=1
Ut´obbi ´all´ıt´as Bayes t´ etele. Visszat´erve p´eld´ankhoz P (S1|Z1) annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy fel´ep¨ul a bev´as´arl´ok¨ozpont, azon felt´etel mellett, hogy a c´eg is azt jelezte, hogy fel´ep¨ul, P (Z1|S1) annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a c´eg is azt jelezte, hogy fel´ep¨ul a bev´as´arl´ok¨ozpont, azon felt´etel mellett, hogy az val´oban fel´ep¨ul. Ez a bev´ al´ asi val´ osz´ın˝ us´ eg, mely azt mutatja, mennyire j´ o, megb´ızhat´ o a c´ eg.
10
Hossz´u ´evek tapasztalata alapj´an a c´egr˝ol tudjuk, hogy
P (Z1|S1) = 0, 8
P (Z2|S1) = 1 − 0, 8 = 0, 2
P (Z2|S2) = 0, 9
P (Z1|S2) = 1 − 0, 9 = 0, 1
Ez mutatja, hogy a c´eg j´o, 0,8 ´es 0,9 val´osz´ın˝us´eggel ad helyes el˝orejelz´est.
P (Si)
P (Z1|Si)
P (Z1 Si)
P (Si|Z1)
S1
0, 75
0, 8
0, 75 · 0, 8 = 0, 6
0,6 0,625
= 0, 96
S2
0, 25
0, 1
0, 25 · 0, 1 = 0, 025
0,25 0,625
= 0, 04
P (Si)
P (Z2|Si)
P (Z2 Si)
S1
0, 75
0, 2
0, 75 · 0, 2 = 0, 15
0,15 0,375
= 0, 4
S2
0, 25
0, 9
0, 25 · 0, 9 = 0, 225
0,225 0,375
= 0, 6
P (Si|Z2)
11
A t´abl´azat kit¨olt´es´en´el az al´abbi m´odon sz´amoltunk: P (S1) = adott, P (Z1|Si) = adott P (Z1) = P (Z1 S1) + P (Z1 S2), P (Z1 Si) = P (Z1|Si) P (Si),
P (Si|Z1) =
P (Z1|Si) P (Si) , P (Z1)
P (S2) = adott P (Z2|Si) = adott P (Z2) = P (Z2 S1) + P (Z2 S2) P (Z2 Si) = P (Z2|Si) P (Si)
P (Si|Z2) =
P (Z2|Si) P (Si) P (Z2)
V´arhat´o p´enz´ert´ekek: E(A1|Z1) = P (S1|Z1)v11 + P (S2|Z1)v21 = 0, 96 · 1400 + 0, 04 · (−140) = 1338, 4 E(A2|Z1) = P (S1|Z1)v12 + P (S2|Z1)v22 = 0, 96 · 770 + 0, 04 · 700 = 767, 2 Ha Z1 bek¨ovetkezett, azaz, ha az volt az el˝orejelz´es, hogy meg´ep¨ul a bev´as´arl´ok¨ozpont, akkor d¨ont´es¨unk A1. Hasonl´oan E(A1|Z2) = P (S1|Z2)v11 + P (S2|Z2)v21 = 0, 4 · 1400 + 0, 6 · (−140) = 476 E(A2|Z2) = P (S1|Z2)v12 + P (S2|Z2)v22 = 0, 4 · 770 + 0, 6 · 700 = 728
12
Ha Z2 bek¨ovetkezett, azaz, ha az volt az el˝orejelz´es, hogy nem ´ep¨ul meg a bev´as´arl´ok¨ozpont, akkor d¨ont´es¨unk A2. Mennyit ´er az el˝orejelz´es? el˝orejelz. opt.alt. opt.alt. nyeres´ege P (Zi) v´arhat´o Ft nyeres´eg Z1
A1
1338, 4
0, 625
836, 5
Z2
A2
728
0, 375
273
Teljes nyeres´eg: 836,5+273=1109,5, ez´ert maximum 1109,51015=94,5 ezer Ft fizethet˝ o az el˝ orejelz´ es´ ert, a c´eg a´ltal k´ert 115 ezer Ft t´ ul sok, nem ´erdemes az el˝orejelz´est ig´enybe venni!
13
3.3 D¨ ont´ esi f´ ak D¨ont´esi f´ak seg´ıts´eg´evel egy grafikus ki´ert´ekel´esi elj´ar´ast kaphatunk. Kiindul´ask´eppen tekints¨uk a k¨ovetkez˝o d¨ont´esi probl´em´at. Egy v´allalat k´etf´ele u´j term´ek kifejleszt´es´en gondolkodik. Az els˝ o alternat´ıva A1 egy f¨ust ´es t˝uz´erz´ekel˝o, melynek becs¨ult feljeszt´esi k¨olts´ege 100000Ft, siker eset´en a v´arhat´o bev´eteln¨oveked´es 1000000Ft ´es a siker val´osz´ın˝us´ege 0,5. A m´ asodik alternat´ıva A2 egy mozg´as´erz´ekel˝o, melynek becs¨ult fejleszt´esi k¨olts´ege 10000Ft, siker eset´en a v´arhat´o bev´eteln¨oveked´es 400000Ft ´es de most a siker val´osz´ın˝us´ege 0,8. Term´eszetesen a v´allalat d¨onthet u´gy, (harmadik alternat´ıva A3) hogy egyik term´eket sem fejleszti ki. A d¨ont´esi f´akban h´aromf´ele csom´opont van:
(1) d¨ont´esi csom´opont (jele n´egyzet) (2) es´ely csom´opont, melyhez val´osz´ın˝us´egek tartoznak (jele k¨or) (3) v´egpont (jele fekete pont vagy h´aromsz¨og)
A kiindul´asi csom´opontot szok´as gy¨ok´ernek is nevezni. Innen indulva, ´es jobbfel´e haladva el´agaz´asokat rajzolunk melyek egy k¨orbe vagy n´egyzetbe futnak be. A k¨or¨okb˝ol kiindul´o el´agaz´asokra r´a´ırjuk a megfelel˝o val´osz´ın˝us´egeket, sit. m´ıg el nem jutunk a v´egpontokhoz. Az el˝obbi probl´ema d¨ont´esi f´aj´at az al´abbi ´abra mutatja.
14
A decision analysis programba a k¨ovetkez˝o adatokat ´ırtuk be:
15
A megold´ as menete: el˝osz¨or k´ezzel megrajzoljuk a d¨ont´esi f´at, megsz´amozzuk a csom´opontokat, be´ırjuk a megfelel˝o val´osz´ın˝us´egeket ´es kifizet´esi adatokat. Ezut´an megnyitjuk a WinQSB Decision Analysis modulj´at, majd File/ New Problem /Decision Tree Analysis klikkel´es ut´an a megny´ıl´o ablakban be´ırjuk a probl´ema nev´et, ´es megadjuk a csom´opontok sz´am´at, majd OK. A megny´ıl´o t´abl´azatba a m´ar megrajzolt d¨ont´esi fa seg´ıts´eg´evel bevissz¨uk a csom´opontok neveit, el´agaz´asokat be´ırjuk hogy a csom´opont d¨ont´esi (decision) vagy es´ely (chance) csom´opont, ´es be´ırjuk a kifizet´esi adatokat. Ezut´an a Solve and Analyse, Draw Decision Tree ablakokra val´o klikkel´es ut´an megny´ılik egy ujabb ablak, ahol megadhatjuk a k´ep nagys´ag´at, a csom´opontok nagys´ag´at ´es a ki´ırand´o adatokat, majd OK-ra klikkelve a program megrajzolja a d¨ont´esi f´at (melyet m´eg csinos´ıthatunk a display adatok m´odos´ıt´as´aval). Az el˝oz˝o probl´ema m´odos´ıt´asa. Kider˝ult, hogy a f¨ust ´es t˝uz´erz´ekel˝ot csak egy min˝os´egvizsg´alat ut´an lehet forgalomba hozni. A min˝os´ıt´es k¨olts´ege 5000Ft. A min˝os´ıt´es sor´an a term´ek kaphat kereskedelmi vagy lakoss´agi min˝os´ıt´est, vagy nem felelt meg min˝os´ıt´est. A kereskedelmi min˝os´ıt´es val´osz´ın˝us´ege 0,3 ´es ilyen min˝os´ıt´es eset´en 1000000Ft bev´eteln¨oveked´esre sz´am´ıthat a v´allalat. A lakoss´agi min˝os´ıt´es val´osz´ın˝us´ege 0,6 ´es ilyen min˝os´ıt´es eset´en 800000Ft bev´eteln¨oveked´esre sz´am´ıthat a v´allalat, a sikertelen min˝os´ıt´es val´osz´ın˝us´ege 1-0,3-0,6=0,1. Az u´j feladat adatai ´es a d¨ont´esi fa:
16
Az u´j d¨ont´es a mozg´as´erz´ekel˝o kifejleszt´ese.
17
DA uujterm Node/Event Node Name or Number Description
DT Node Type (enter D or C)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d c d
gyökér füst és tűzj siker bukás minősítés nincs minősités kereskedelmi lakossági nem kap min. mozgásérzékelő siker bukás egyik sem
c
c
13 Immediate Following Node (numbers separated by ',') 2,10,13 3,4 5,6
Node Payoff Probability (if (+ profit, available) cost)
-100000
0.5 0.5
-100000 895000 695000 -105000
0.3 0.6 0.1
7,8,9
11,12 390000 -10000 0
0.8 0.2
18
A 3.1 ben t´argyalt befektet´es d¨ont´esi f´aja:
19
Node/Event Number
Node Name or Description
Node Type (enter D or C)
Immediate Following Node (numbers separated by ',')
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
gyökér új fióküzlet új szolgáltatás új termék nagyon jó jó közepes rossz nagyon jó jó közepes rossz nagyon jó jó közepes rossz
d c c c
2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 13,14,15,16
Node Payoff (+ profit, - cost)
Probability (if available)
20 12 8 4 26 10 4 -4 10 8 7 5
.4 .3 .2 .1 .4 .3 .2 .1 .4 .3 .2 .1
20
4. Fogyaszt´ oi preferenci´ ak elm´ elete (ld. Temesv´ari J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 47-63) 4.1 Preferencia rel´ aci´ ok Mit jelent a fogyaszt´o v´alaszt´asa? Legyen X egy olyan halmaz amelynek az elemei azok a lehet˝os´egek (javak, szolg´altat´asok, stb.) amelyekb˝ol a fogyaszt´o v´alaszthat. Ha az egyed v´alasztani akar, akkor rendelkeznie kell valamif´ele olyan v´elem´ennyel az X halmaz elemeir˝ol, amelynek alapj´an eld¨ontheti azt, hogy k´et x, y ∈ X elem k¨oz¨ul melyiket ´ert´ekeli t¨obbre, magasabbra. Ha pl. x a jobb y-n´al, akkor ezt megfelel˝o sorrendbe ´ır´assal adhatjuk meg (x, y), x, y ∈ X (azaz x legal´abb u´gy ´ert´ekelt mint y, vagy x is preferred to y). Ennek matematikai megk¨ozel´ıt´ese a rel´aci´okhoz vezet el. Az A ´es B halmazok Descartes -f´ele A × B szorzathalmaz´an az (a, b), a ∈ A, b ∈ B rendezett p´arok halmaz´at ´ertj¨uk. (a rendez´es azt jelenti, hogy az elemek sorrendje l´enyeges, els˝o az A-beli elem). Az A×B szorzathalmaz egy R ⊂ A × B r´eszhalmaz´at (bin´er) rel´aci´ o nak nevezz¨uk, jel¨ol´ese (a, b) ∈ R vagy aRb, esetleg R helyett valamilyen szimb´olumot haszn´alunk, pl. a º jelet, ami eml´ekeztet a nagyobb vagy egyenl˝o jelre, ´ıgy szuggeszt´ıv. Egy R ⊂ A × B rel´aci´o ´ertelmez´esi tartom´any´an ´es ´ert´ekk´eszlet´en az al´abbi halmazokat ´ertj¨uk: DR : = { a ∈ A : van olyan b ∈ B melyre (a, b) ∈ R } RR : = { b ∈ B : van olyan a ∈ A melyre (a, b) ∈ R } Ha A = B = X, ´es R ⊂ X × X akkor azt mondjuk, hogy R egy rel´aci´o X-en. A n´alunk fell´ep˝o rel´aci´okn´al 1
2
6 y azt jelenti, hogy x nincs DR = DR = X is teljes¨ul. x R R rel´aci´oban y-nal. Rel´ aci´ ok tulajdons´ agai. ´ k. Legyen R egy rel´aci´o X-en. Azt mondDefin´ıcio juk, hogy R • reflex´ıv, ha b´armely x ∈ X eset´en xRx, • szimmetrikus, ha b´armely x, y ∈ X, xRy eset´en yRx, • tranzit´ıv, ha b´armely x, y, z ∈ X, xRy ´es yRz eset´en xRz, • teljes, ha b´armely x, y ∈ X, eset´en xRy vagy yRx, • irreflex´ıv, ha b´armely x ∈ X eset´en x R 6 x, • aszimmetrikus, ha b´armely x, y ∈ X, xRy eset´en yR 6 x, • antiszimmetrikus, ha b´armely x, y ∈ X, xRy ´es yRx eset´en x = y. Rel´ aci´ ok oszt´ alyai. ´ k. Legyen R egy rel´aci´o X-en. A R rel´aci´ot Defin´ıcio • f´elig rendez´esnek nevezz¨uk, ha reflex´ıv, antiszimmetrikus ´es tranzit´ıv, • (line´aris) rendez´esnek nevezz¨uk, ha f´elig rendez´es ´es teljes, • gyenge rendez´esnek (preferenci´anak) nevezz¨uk, ha reflex´ıv, tranzit´ıv, ´es teljes, • ekvivalencia rel´aci´o nak nevezz¨uk, ha reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv.
3
Ha R egy ekvivalencia rel´aci´o X-en, akkor R az X halmaz egy oszt´alyoz´as´at (vagyis X felbont´as´at p´aronk´ent idegen halmazok egyes´ıt´es´ere) adja meg oz m´odon, hogy az egym´assal rel´aci´oban ´all´o elemek egy oszt´alyba ker¨ulnek. Ez ford´ıtva is igaz, minden oszt´alyoz´as egy ekvivalencia rel´aci´ot hat´aroz meg (´ugy, hogy az egy oszt´alyban lev˝o elemek ´allnak rel´aci´oban egym´assal). A R rel´aci´o ´altal meghat´arozott oszt´alyok halmaz´at X/R-vel szok´as jel¨olni. X/R teh´at X olyan, p´aronk´ent idegen r´eszhalmazainak ¨osszess´eg´et jel¨oli, melyek egyes´ıt´ese ´eppen az X halmaz. Induljunk ki egy tetsz˝oleges º rel´aci´ob´ol X-en. Ennek seg´ıts´eg´evel n´egy egym´ ast kiz´ar´o eset fogalmazhat´o meg: • x ≈ y ⇔ (x º y ´es y º x), ekkor x es y-t ekvivalenseknek (indifferenseknek, k¨oz¨omb¨oseknek) nevezz¨uk, m´asik jel¨ol´es xIy, • x?y ⇔ (x 6º y ´es y 6º x), ekkor x es y-t nem ¨osszehasonl´ıthat´ oknak nevezz¨uk, m´asik jel¨ol´es xJy, • x  y ⇔ (x º y ´es y 6º x), ekkor x szigor´ uan (er˝osen) prefer´alt y-hoz k´epest, m´asik jel¨ol´es xSy. • y  x ⇔ (y º x ´es x 6º y), ekkor y szigor´ uan (er˝osen) prefer´alt x-hez k´epest, ez ugyanaz az eset mint az el˝oz˝o, m´asik jel¨ol´essel ySx. Megjegyezz¨uk, hogy az I rel´aci´ot szok´as º szimmetrikus r´esz´enek is nevezni, S-t pedig º aszimmetrikus r´esz´enek. ´Igy, I ´es S mindig egy kiindul´o º rel´aci´ot´ol f¨ugg, annak f¨uggv´enye (az esetek t¨obbs´eg´eben ez a f¨ugg´es nem okoz f´elre´ert´est). A most bevezetett rel´aci´okra a tulajdons´agok defin´ıci´oi alapj´an igazolhat´o, hogy
4
• I (vagy ≈) reflex´ıv ´es szimmetrikus, • J (vagy ?) irreflex´ıv ´es szimmetrikus, • S (vagy Â) irreflex´ıv ´es aszimmetrikus. ´ enyes a k¨ovetkez˝o Erv´ T´ etel. Ha º gyenge preferencia (rendez´es) X-en, akkor • I (vagy ≈) ekvivalencia rel´aci´o X-en, • nincs indifferencia, azaz a J (vagy ?) rel´aci´o ´ertelmez´esi tartom´anya u ¨res halmaz • az S (vagy Â) szigor´ u (er˝os) preferencia irreflex´ıv, aszimmetrikus, ´es tranzit´ıv. Racion´alis viselked´est (d¨ont´est) gyenge preferencia hat´arozza meg. Ennek h´arom axi´om´aja k¨oz¨ul a reflexivit´as term´eszetes (´es k¨ul¨onben is k¨ovetkezik a m´asik kett˝ob˝ol), ez´ert a tranzitivit´as ´es teljess´eg az melyekkel empirikus szempontb´ol foglalkozni kell. Hozhat´o ´erv mindk´et felt´etelez´es mellett ´es ellen¨uk is. 1. A teljess´eg azzal kritiz´alhat´o, hogy t´ul er˝os feltev´es: nem biztos, hogy a fogyaszt´o b´armely k´et fogyaszt´asi kosarat ¨ossze tud hasonl´ıtani. 2. Marshak (1950) szerint a preferencia tulajdons´agait olyan axi´om´aknak foghatjuk fel, mint a sz´amol´as axi´om´ait. Okfejt´ese szerint t¨obb-kevesebb ember v´et a sz´amol´asi szab´alyok ellen, de ez nem jelenti azt, hogy az emberek nem fogadj´ak el azokat. Ha figyelmeztetik ˝oket az elk¨ovetett hib´ara, akkor igyekeznek kijav´ıtani azt. Ugyanez a helyzet a d¨ont´eshozatalban is: el˝ofordulhat, hogy a d¨ont´eshoz´ok nem tranzit´ıv d¨ont´est hoznak. Ha figyelmeztetik ˝oket a
5
tranzitivit´as – azaz k¨ovetkezetess´eg¨uk – hi´any´ara, akkor t¨orekednek a d¨ont´es megv´altoztat´as´ara. Ellenvet´es: ha az egyedek egy r´esze a tapasztala szerint nem tranzit´ıvan d¨ont, akkor ezt t´enyk´ent kell elfogadni, ´es ennek megfelel˝oen kell a kereslet¨ukre sz´am´ıtani. 3. Az emberi viselked´est a tanults´ag er˝osen befoly´asolja. Ha valaki megtanulja a mikro¨okon´omia alapelveit, akkor ¨ontudatlanul is k¨ovetni igyekszik azokat, hiszen azok racionalit´as´ar´ol magyar´azatot kapott. 4. A tranzitivit´as ellen a legf˝obb ´erv Arrow nevezetes lehetetlens´egi t´etele – r¨oviden sz´olva –azt mondja ki, hogy tranzit´ıv egyedi d¨ont´esek –´esszer˝u felt´etelek kik¨ot´ese mellett – nem aggreg´alhat´ok tranzit´ıv kollekt´ıv d¨ont´ess´e. Az egyedi fogyaszt´o, akivel a mikro¨okon´omia sz´amol, val´oj´aban nem egy egyed, hanem az egyedek aggreg´aci´oj´anak k´epzelt absztrakt t´arsadalmi fogyaszt´o. Arrow t´etele szerint hi´aba racion´alisak az egyedek, a t´arsadalom, ill. annak kollekt´ıv egys´egei – csal´ad, r´etegek, csoportok stb. – nem racion´alisak. 5. Az emberi ´erz´ekel´es tulajdons´agai is ´erveket adhatnak a tranzitivit´as ellen. P´eld´aul k´epzelj¨uk el, hogy valaki nem tud k¨ul¨onbs´eget tenni (k¨oz¨omb¨os) lak´asa f˝ut´es´en´el a 19 ´es 20 fok ´es a 20 ´es 21 fok k¨oz¨ott, de jobbnak tal´alja a 21 fokot a 19-n´el. Ez azt jelenti, hogy 21≈20, 20≈19, de 21Â19, ami ellentmond a tranzitivit´asnak. Ezt a jelens´eget k¨usz¨ob effektusnak (threshold effect) szok´as nevezni. 6. Egy ´erdekes eset melyet Pearce ´ır le. K´epzelj¨uk el, hgy X u´r vend´egs´egben vacsor´azik, ´es a v´eg´en, a gy¨um¨olcs fog´asn´al az els˝o l´ep´esben egy kis ´es egy nagy alma k¨oz¨ul a kisebbiket v´alasztja (mert ´ehes ugyan, de j´olnevelt). A
6
m´asodik k´ın´al´asn´al egy nagy k¨orte ´es egy kis alma k¨oz¨ul a k¨ort´et v´alasztja (mert ´ehes). A harmadik k´ın´al´asn´al egy nagy alma ´es nagy k¨orte k¨oz¨ul az alm´at v´alasztja (mert azt jobban szereti). Matematikailag: kis almaÂnagy alma, nagy k¨orteÂkis alma, nagy alma Ânagy k¨orte amib˝ol, tranzitivit´ast felt´etelezve kis almaÂnagy almaÂnagy k¨orteÂkis alma ad´odna ami ellentmond´as. Itt, k¨ul¨onb¨oz˝o k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott a d¨ont´es k¨ul¨onb¨oz˝o mot´ıv´aci´oja er˝os¨odik meg. ´ ekel˝ 4.2 Ert´ o f¨ uggv´ enyek ´ . Legyen º egy gyenge preferencia (renDefin´ıcio dez´es) X-en ´es R legyen a val´os sz´amok halmaza. Az u : X → R f¨uggv´enyt a º rel´aci´o ´ert´ekel˝o f¨uggv´eny´enek (a k¨ozgazdas´agtanban a hasznoss´agi f¨uggv´eny elnevez´es hszn´alatos) nevezz¨uk, ha a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok valamelyike teljes¨ul: x º y ⇔ u(x) ≥ u(y), (1)
xÂy x≈y
⇔ ⇔
u(x) > u(y), u(x) = u(y).
(2)
Bel´atjuk, hogy (1) ´es (2) ekvivalensek. (1) ⇒ (2). A k¨ovetkez˝o ekvivalenci´ak alapj´an ad´odik (2) els˝o fele: x  y ⇔ (x º y ´es y 6º x) ⇔ (u(x) ≥ u(y) ´es u(y) 6≥ u(x)) ⇔ u(x) ≥ u(y).
7
(2) m´asodik fele hasonl´oan j¨on: x ≈ y ⇔ (x º y ´es y º x) ⇔ (u(x) ≥ u(y) ´es u(y) 6≥ u(x)) ⇔ u(x) = u(y). (2) ⇒ (1). A k¨ovetkez˝o ekvivalenciasorozat adja az (1) ´all´ıt´ast: x º y ⇔ (x  y ´es x ≈ y) ⇔ (u(x) > u(y) ´es u(x) = u(y)) ⇔ u(x) ≥ u(y). Nyilv´anval´oan igaz a k¨ovetkez˝o T´ etel. (´ert´ekel˝o f¨uggv´enyek monoton transzform´aci´oi) Legyen º egy gyenge preferencia (rendez´es) X-en, u : X → R legyen º egy ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye ´es φ : R → R egy szigor´ uan monoton n¨oveked˝o f¨ uggv´eny. Akkor v(x) := φ(u(x)) (x ∈ X) is egy ´ert´ekel˝o f¨ uggv´eny. Ez a t´etel lehet˝os´eget ad az ´ert´ekel˝o f¨uggv´eny kalibr´al´as´ara, arra hogy olyan ´ert´ekel˝o f¨uggv´enyt adjunk meg melynek ´ert´ekei egy adott intervallumba pl. a [0, 1]-be esnek. 4.3 Egzisztencia t´ etelek ´ ert´ ekel˝ o f¨ uggv´ enyekre P´ elda gyenge preferenci´ ara melynek nincs ´ ert´ ekel˝ o f¨ uggv´ enye. Vegy¨ uk az X = R2 s´ıkon az al´abbi rel´aci´ot (x1, y1) º (x2, y2) ⇔ (x1 > x2 vagy x1 = x2 es y1 ≥ y2).
8
Ez az un. lexikogr´afikus rendez´es gyenge preferencia, melynek nincs ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye. Bizony´ıt´as. Egyszer˝uen bel´athat´o, hogy º gyenge preferencia. Indirekt u´ton igazoljuk, hogy nincs ´ert´ekel˝o f¨uggv´eny. Tegy¨uk fel, hogy van egy u : R2 → R ´ert´ekel˝o f¨uggv´eny, ´es vegy¨unk k´et s´ıkbeli (x, 2), (x, 1) elemet. Ekkor (x, 2) Â (x, 1), mert (x, 2) º (x, 1) (x, 1) 6º (x, 2), ´ıgy u(x, 2) > u(x, 1). Rendelj¨uk hozz´a minden val´os x sz´amhoz az [u(x, 1), u(x, 2)] z´art intervallumot, azaz legyen f (x) = [u(x, 1), u(x, 2)] (x ∈ R). Ha x1 > x2 akkor u(x1, 1) > u(x2, 2), ´ıgy u(x2, 1) < u(x2, 2) < u(x1, 1) < u(x1, 2) miatt, az f (x1) es f (x2) intervallumok idegenek. Ez´ert f egy k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u lek´epez´ese a val´os sz´amok halmaz´anak diszjunkt, val´osi z´art intervallumok egy rendszer´ere. Mivel az ilyen intervallumok halmaza megsz´aml´alhat´oan v´egtelen, a val´os sz´amok halmaza pedig kontinuum sz´amoss´ag´u, ´ıgy ellentmond´ast kaptunk, ami bizony´ıtja ´all´ıt´asunkat. T´ etel. (´ert´ekel˝o f¨uggv´eny l´etez´ese) Legyen º egy gyenge preferencia (rendez´es) X-en, ´es tegy¨ uk fel, hogy az X/ ≈ indifferencia oszt´alyok halmaza megsz´aml´alhat´o. Akkor van º-nek ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye. T´ etel. (´ert´ekel˝o f¨uggv´eny l´etez´ese) Legyen º egy folytonos gyenge preferencia (rendez´es) az X topol´ogikus
9
t´eren (mely eleget tesz a m´asodik megsz´aml´alhat´os´agi axi´om´anak: van megsz´aml´alhat´o b´azisa a t´ernek), akkor º-nek l´etezik ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye. Megjegyz´es. Az º rel´aci´ot folytonosnak nevezz¨uk az X topol´ogikus t´eren, ha b´armely x ∈ X eset´en a { y ∈ X : x º y },
{y∈X : yºx}
halmazok z´artak. T´ etel. (´ert´ekel˝o f¨uggv´eny l´etez´ese) Legyen º egy folytonos gyenge preferencia (rendez´es) az X ¨osszef¨ ugg˝o ´es szepar´abilis topol´ogikus t´eren, akkor º-nek l´etezik ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye. Megjegyz´es. Az X topol´ogikus teret ¨osszef¨ ugg˝onek nevezz¨uk ha X nem bonthat´o fel k´et diszjunkt, ny´ılt, nem¨ures halmaz uni´oj´ara. Az X topol´ogikus teret szepar´abilisnek nevezz¨uk ha van megsz´aml´alht´o minden¨utt s˝ur˝u r´eszhalmaza. P´ elda ´ ert´ ekel˝ o f¨ uggv´ enyre. Az X = R2 s´ıkon legyen (x1, y1) º (x2, y2) ⇔ 0, 4x1 + 0, 6y1 ≥ 0, 4x2 + 0, 6y2. Ez egy gyenge preferencia, melyn´el a k¨oz¨omb¨oss´egi oszt´alyok { (x1, y1) ∈ R2 : 0, 4x1 + 0, 6y1 = x } (x ∈ R) alak´uak ahol x ∈ R tetsz˝oleges val´os sz´am. Ezek halmaza most kontinuum, de van ´ert´ekel˝o f¨uggv´eny, mert mindk´et
10
el˝oz˝o t´etel felt´etelei teljes¨ulnek. Egy ´ert´ekel˝o f¨uggv´eny a ´ k¨ovetkez˝oE u(x1, y1) = 0, 4x1 + 0, 6y1. J´oval nehezebb igazolni folytonos ´ert´ekel˝o f¨ uggv´eny l´etez´es´et. Erre vonatkoz´oan hasonl´o eredm´eny igaz. T´ etel. (Debreu t´etele) M´asodik megsz´aml´alhat´os´agi axi´om´anak elegettev˝o topol´ogikus t´eren tetsz˝oleges folytonos preferenci´anak van folytonos ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye. Megjegyz´es. Egy u : X → R f¨uggv´enyt folytonosnak nevez¨unk az X topol´ogikus t´eren, ha b´armely R-beli G ny´ılt halmaz u−1(G) := { x ∈ X : u(x) ∈ G } inverz k´epe ny´ılt. ¨ T´ etel. (Eilenberg-Debreu t´etele) Osszef¨ ugg˝o, szepar´abilis topol´ogikus t´eren tetsz˝oleges folytonos preferenci´ anak van folytonos ´ert´ekel˝o f¨ uggv´enye.
5. Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld. Temesv´ari J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 120-128) (Rapcs´ak T.: T¨obbszempont´u d¨ont´esi probl´em´ak I. ld. http://www.oplab.sztaki.hu/tanszek/download/ I.Tobbsz-dont-modsz.pdf) 5.1 Bevezet´ es Az AHP-t Thomas Saaty fejlesztette ki 1980-ban. Az erre ´ep¨ul˝o szoftver az Expert Choice, melynek jelenleg az EC 11.5-¨os v´altozata a legfrissebb. A szoftver let¨olthet˝o a http://updates.expertchoice.com/products/grouptrialreg.html honlapr´ol a 15 napig m˝uk¨od˝o demo v´altozathoz is ott lehet k´odot k´erni. Az AHP t¨obbszempont´u d¨ont´esi probl´em´ak megold´as´ara alkalmas elj´ar´as, ami lehet˝ov´e teszi a d¨ont´esi feladatok logikus rendszerbe foglal´as´at. A d¨ont´esi feladatok megold´as´anak els˝o l´ep´ese a d¨ont´esi feladat fel´ep´ıt´ese, ami a c´el megfogalmaz´as´ab´ol, az alternat´ıv´ak kiv´alaszt´as´ab´ol ´es a szempontok meghat´aroz´as´ab´ol a´ll. Az AHP-ben a d¨ont´esi probl´ema az a´ttekinthet˝os´eg ´erdek´eben egy t¨obbszint˝u fastrukt´urak´ent van a´br´azolva, amelynek legfels˝o szintj´en a c´el, az alatta lev˝o szinteken a szempontok, az alszempontok stb., a legals´o szinten pedig az alternat´ıv´ak helyezkednek el. A legalacsonyabb szinten lev˝o szempontokat lev´elszempontoknak nevezz¨uk. Az AHP d¨ont´esi modellek szerkezet´et mutatja az al´abbi ´abra.
1
2
L´athat´o, hogy az EC modellekben a grafikus a´br´azol´as´aban az alternat´ıv´ak nincsenek megk¨ul¨onb¨oztetve a szempontokt´ol. Az egyed¨uli k¨ul¨onbs´eg az, hogy az alternat´ıv´ak helyezkednek el a szempontfa legals´o szintj´en. Az EC ´altal kezelt f´ak legfeljebb 5 szint m´elys´eg˝uek, ´es egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet, ´ıgy - mivel az utols´o szinten az alternat´ıv´ak vannak - elvileg 7380 = (9 + 92 + 93 + 94) szempont kezelhet˝o; ezekb˝ol 94 = 6561 lev´elszempont. Az ARP d¨ont´esi modellekben a c´el mindig az adott alternat´ıv´ak rangsor´anak a meghat´aroz´asa. Mivel az ´ert´ekel´esi szempontok fastruk´ur´aba vannak rendezve, ez´ert a szempontok k¨oz¨otti ¨osszef¨ugg´eseket is figyelembe lehet venni. Az alternat´ıv´ak szempontok szerinti ´ert´ekel´ese alapulhat • n´evleges, • rangsor, • intervallum • ´es ar´anyoss´agi (h´anyados) sk´al´an megadott ´ert´ekeken.
3
A d¨ont´esi feladat megold´asa a k¨ul¨onb¨oz˝o AHP modellekben a k¨ovetkez˝o l´ep´esekb˝ol a´ll: 1. a szempontok s´ulyainak a meghat´aroz´asa; 2. az alternat´ıv´ak ki´ert´ekel´ese a megadott szempontok szerint; 3. a s´ulyoz´as ´es az ´ert´ekel´esek o¨sszegz´ese. 5.2 P´ aros ¨ osszehasonl´ıt´ as Az AHP d¨ont´esi probl´em´ak megold´as´anak az egyik alapeszk¨oze a p´aros (p´aronk´enti) ¨ osszehasonl´ıt´ as, amit a szempontok s´ulyoz´as´ara ´es az alternat´ıv´ak egyes szempontok szerinti ´ert´ekel´es´ere egyar´ant alkalmaznak. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrix a´ltal´anos esetben a k¨ovetkez˝o, ahol a pi (i = 1, . . . , n) s´ulyok tetsz˝oleges, pozit´ıv val´os sz´amok. Itt a p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrix´at az A1, A2, . . . , An alternat´ıv´akra ´ırjuk fel. A1 A2 · · · An A1 p1/p1 p1/p2 · · · p1/pn A2 p2/p1 p2/p2 · · · p2/pn ... ... ... ... ... An pn/p1 pn/p2 · · · pn/pn Itt az aij = pi/pj h´anyados azt mutatja, hogy az Ai alternat´ıva h´anyszor jobb, el˝ony¨osebb az Aj alternat´ıv´an´al. Azt is mondhatjuk, hogy a pi > 0 sz´am az Ai alternat´ıva s´ulya. Ha
p1/p1 p1/p2 · · · p1/pn p1 p2/p1 p2/p2 · · · p2/pn p2 n×n ∈ Rn A = .. ∈R , p= . . . . . . . . . . . . . pn/p1 pn/p2 · · · pn/pn pn
4
az ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixa ´es a s´ulyok vektora, akkor l´athat´o, hogy Ap = np vagyis n az A m´atrix saj´at´ert´eke ´es a hozz´a tartoz´o saj´atvektor ´eppen a s´ulyvektor. Az A m´atrix rangja 1, ennek seg´ıts´eg´evel igazolhat´o, hogy A-nak csak egy nemz´erus saj´at´ert´eke van. Igazolhat´o, hogy minden p´aros ¨osszehasonl´ıt´asi m´atrixnak k´et saj´at´ert´eke van, n, melynek multiplicit´asa 1 ´es a hozz´a tartoz´o saj´atvektor a p s´ulyvektor, a m´asik saj´at´ert´ek 0, melynek multiplicit´asa n−1 ´es a hozz´a tartoz´o line´arisan f¨uggetlen saj´atvektorok (p1, 0, 0, . . . , 0), (0, p2, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , pn−1, 0). A p´aros o¨sszehasonl´ıt´asi m´atrixok aij elemeire teljes¨ul az, hogy 1 pi 1 aij = mivel = pj aji pj p i
aij = aik akj
mivel
pi p i pk = pj p k pj
´ . Az A = (aij ) ∈ Rn×n pozit´ıv elem˝u aij > 0 Definicio m´atrixot reciprok m´atrixnak nevezz¨uk, ha 1 aij = (i, j = 1, . . . , n). (1) aji ´ . Az A = (aij ) ∈ Rn×n m´atrixot konzisztens Definicio m´atrixnak nevezz¨uk, ha aij = aik akj (i, k, j = 1, . . . , n).
(2)
A (2) egyenlet azt jelenti, hogy b´armely r¨ogz´ıtett i, k indexekre egy konzisztens A m´atrix i-edik sor´anak elemei a k-adik sor elemeinek konstansszorosai (a konstans aik f¨ugg az i, k indexekt˝ol). Vil´ agos, hogy minden p´ aros o ¨sszehasonl´ıt´ asi m´ atrix
5
pozit´ıv (elem˝ u) ´ es konzisztens, ´ es ford´ıtva, minden pozit´ıv (elem˝ u) konzisztens m´ atrix p´ aros o ¨sszehasonl´ıt´ asi m´ atrix. A megford´ıt´as igazol´as´ahoz legyen A = (aij ) pozit´ıv (elem˝u) konzisztens, akkor (2)-b˝ol j = k = i-vel k¨ovetkezik, hogy aii = aiiaii, azaz aii(1 − aii) = 0 azaz aii = 1 vagy [aii = 0]. (3) Tov´abb´a j = i-vel 1 = aii = aik aki, azaz aik =
1 aki
(4)
azaz pozit´ıv konzisztens m´atrix reciprok. ´ olve A els˝o oszlop´anak elemeit 1, P2, P3, . . . , Pn-nel (4) Atjel¨ miatt az els˝o sor elemei rendre 1, 1/P2, 1/P3, . . . , 1/Pn amib˝ol a (3) tulajdons´ag miatt az els˝o, m´asodik, harmadik, stb. n-edik sor elemei u´gy kaphat´ok, hogy az els˝o sor minden elem´et rendre megszorozzuk az 1, P2, P3, . . . , Pn sz´amokkal ´ıgy az A m´atrix 1 1/P2 1/P3 · · · 1/Pn P2 1 P2/P3 · · · P2/Pn P3 P3/P2 1 · · · P /P 3 n . ... ... ... ... .. Pn Pn/P2 Pn/P3 · · · 1 v´eg¨ul Pi = pi/p1 (i = 1, . . . , n)-nel kapjuk hogy A elemei aij = pi/pj alak´uak, amint azt ´all´ıtottuk. L´attuk, hogy ha egy pozit´ıv m´ atrix konzisztens, akkor b´ armely sora egy tetsz˝ oleges m´ asik sor´ anak pozit´ıv konstansszorosa. Egyuttal az is ad´ odik, hogy konzisztens m´ atrix rangja 1.
6
De abb´ol, hogy egy m´atrix rangja 1 k¨ovetkezik az, hogy a m´atrix konzisztens. Ellenp´elda a 1 2 2 4 melynek rangja 1, de nem konzisztens mivel a22 = 4 6= 1. Igazolhat´ok a k¨ovetkez˝o t´etelek. T´ etel. Egy pozit´ıv reciprok m´ atrix akkor ´es csak akkor konzisztens, ha λmax = n. T´ etel. Ha egy pozit´ıv m´ atrix konzisztens, akkor b´ armely sora egy tetsz˝oleges m´asik sor´ anak pozit´ıv konstansszorosa. 5.3 P´ elda a p´ aros o ¨sszehasonl´ıt´ asra A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixb´ol az egyes alternat´ıv´ak ”fontoss´ag´at” u´gy kapjuk, hogy meghat´arozzuk a saj´atvektort. Ha m´ert ´ert´ekek vannak, akkor a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrix ´es a legnagyobb saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´atvektor term´eszetesen ad´odik. Ennek illusztr´al´as´ara tegy¨uk fel, hogy 5 ez¨ust t¨omb u¨nk van, amib˝ol • az els˝o, A1 s´ulya p1 = 5kg, • a m´asodik, A2 s´ulya p2 = 1kg, • a harmadik, A3 s´ulya p3 = 10kg, • a negyedik, A4 s´ulya p4 = 2kg, ´es • az o¨t¨odik, A5 s´ulya p5 = 15kg. Az ¨osszs´uly 33 kg, ami az egyes darabok k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝ok´eppen oszlik el: A1: 5/33 = 0.15; A2: 1/33 = 0.03; A3: 10/33 = 0.30; A4: 2/33 = 0.06; A5: 15/33 = 0.46. A vizsg´alt p´eld´aban a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrix a k¨ovetkez˝o: Ez¨ust t¨omb¨ok p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixa
7
A1 A2 A3 A4 A5 A1 5/5 5/1 5/10 5/2 5/15 A2 1/5 1/1 1/10 1/2 1/15 A3 10/5 10/1 10/10 10/2 10/15 A4 2/5 2/1 2/10 2/2 2/15 A5 15/5 15/1 15/10 15/2 15/15 A saj´at´ert´ekegyenlet 5 − 5λ 5 5 5 5 1 1 − λ 1 1 1 1 =0 10 10 10 − 10λ 10 10 |A−λE| = 1500 2 2 2 2 − 2λ 2 15 15 15 15 15 − 15λ Az utols´o oszlopot az o¨sszes el˝oz˝ob˝ol kivonva, kiemelve a sorokb´ol 5 · 10 · 2 · 15-¨ot kapjuk, hogy −5λ 0 0 0 5 0 −λ 0 0 1 1 0 0 −10λ 0 10 |A − λE| = 1500 0 0 0 −2λ 2 15λ 15λ 15λ 15λ 15 − 15λ −λ 0 0 0 1 0 −λ 0 0 1 1 . = 0 0 −λ 0 0 0 0 −λ 1 λ λ λ λ 1−λ
8
Az els˝o, m´asodik, harmadik, negyedik sort az utols´ohoz hozz´aadva kapjuk, hogy egyenlet¨unk −λ 0 0 0 1 0 −λ 0 0 1 0 0 −λ 0 1 = 0. 0 0 0 −λ 1 0 0 0 0 5−λ A determin´anst kifejtve kapjuk, hogy λ4(5 − λ) = 0 amib˝ol λ = 0 vagy λ = 5 a k´et saj´at´ert´ek (λ = 0 multiplicit´asa 4, λ = 5 multiplicit´asa 1). A λ = 5 saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´atvektorok egyenlete (A − 5E)x = 0, Ax = 5x (x ∈ R5) vagy r´eszletesen, az egyenleteket az egy¨utthat´ok legkisebb k¨oz¨os t¨obbsz¨or¨os´evel, 30-cal megszorozva 30x1 +150x2 +15x3 +75x4 +10x5 = 150x1 6x1 +30x2 +3x3 +15x4 +2x5 = 150x2 60x1 +300x2 +30x3 +150x4 +20x5 = 150x3 12x1 +60x2 +6x3 +30x4 +4x5 = 150x4 90x1 +450x2 +45x3 +300x4 +30x5 = 150x5 Mivel a baloldalak mindegyike a m´asodik egyenlet baloldal´anak t¨obbsz¨or¨osei (az ar´anyoss´agi t´enyez˝ok, 5, 10, 2, 15 ´ıgy a jobboldali kifejez´esek is ar´anyosak, innen x1 = 5x2,
x3 = 10x2,
x4 = 2x2,
x5 = 15x2
9
azaz a saj´atvektorok x1 x2 x= x3 x4 x5
5x2 x2 = 10x2 2x2 15x2
5 1 = x2 10 2 15
Ha x2 = 1 akkor a saj´atvektor koordin´at´ai ´eppen a s´ulyokat adj´ak, m´as x2 6= 0 mellett a saj´atvektor koordin´at´ai a s´ulyar´anyokat adj´ak. 5.4 Az AHP m´ odszer A d¨ont´eshozatal sor´an a d¨ont´eshoz´o a d¨ont´esi feladat szempont s´ulyainak meghat´aroz´as´ara ´es az alternat´ıv´ak minden egyes lev´elszempont szerinti ki´ert´ekel´es´ere megadja a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixokat. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as intervallum-sk´al´aja az AHP m´odszertanban a k¨ovetkez˝o: • 1. • 3. • 5. • 7. • 9.
egyform´an fontos / el˝ony¨os; m´ers´ekelten fontosabb / el˝ony¨osebb; sokkal fontosabb / el˝ony¨osebb; nagyon sokkal fontosabb / el˝ony¨osebb; rendk´ıv¨uli m´ert´ekben fontosabb / el˝ony¨osebb.
A p´aros ¨osszehasonl´ıt´asn´al felhaszn´alhatjuk a 2, 4, 6, 8 k¨ozbens˝o ´ert´ekeket is. A d¨ont´esi feladatok megold´asa sor´an keletkez˝o tapasztalati p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok sok esetben nem konzisztensek, ez´ert erre a m´atrix oszt´alyra is ki kell terjeszteni a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´odszert. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok elemei pozit´ıvak, ´ıgy ez a m´atrixoszt´aly r´eszoszt´alya a pozit´ıv elem˝u m´atrixoknak. Perron 1907-ben az al´abbi alapvet˝o a´ll´ıt´ast bizony´ıtotta.
10
Perron t´ etel. Minden pozit´ıv elem˝ u m´ atrixnak van olyan egyszeres pozit´ıv saj´at´ert´eke, amely nagyobb b´ armely m´ asik saj´at´ert´ek abszol´ ut ´ert´ek´en´el, a hozz´ atartoz´ o saj´ atvektor koordin´at´ai pozit´ıv sz´amok ´es egy konstanssal val´ o szorz´ as erej´eig egy´ertelm˝ uen meg vannak hat´ arozva. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixokb´ol a szempontok fontoss´ag´at, illetve az alternat´ıv´ak egyes lev´elszempontokra vonatkoztatott pont´ert´ek´et u´gy kapjuk, hogy meghat´arozzuk a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok legnagyobb saj´at´ert´ekeihez tartoz´o saj´atvektorokat, ´es az ´ıgy kapott saj´atvektorok komponensei adj´ak a priorit´asokat (a pi ´ert´ekeket). A m´odszer hasznoss´aga azon alapul, hogy a gyakorlatban ´eppen a pi ´ert´ekek ismeretlenek, ´es a pi/pj h´anyadosokr´ol rendelkez¨unk inform´aci´oval a p´aros ¨osszehasonl´ıt´asok elv´egz´ese ut´an. A d¨ ont´eshoz´ o ugyanis azt m´erlegeli, hogy b´ armely k´et szempont vagy alternat´ıva eset´en az egyik h´anyszor fontosabb vagy kev´esb´e fontos, mint a m´asik, pl. Ai sokkal el˝ony¨osebb Aj -n´el, teh´at a sk´ala szerint pi/pj = 5. A d¨ont´eshoz´o egy pozit´ıv reciprok m´atrixot ad meg, ez a tapasztalati p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixa. A d¨ont´esi feladatok megold´asakor keletkez˝o tapasztalati p´ aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixok sok esetben nem konzisztensek, ennek okai az al´abbiak lehetnek: • t´eved´es az adatbeviteln´el, • inform´aci´ohi´any, • az egy´en koncentr´al´as´anak hi´anya az o¨sszehasonl´ıt´asn´al, • a val´o vil´ag sokszor inkonzisztens (pl. sport) • a modell strukt´ura nem j´o (az egyes t´enyez˝ok ¨osszehasonl´ıt´asa kiv¨ul esik a megadott hat´arokon) A tapasztalati p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok inkonzisztenci´aj´anak m´er´es´ere bevezetj¨uk a CI k¨ ovetkezetlens´egi indexet, ami
11
az AHP m´odszertanban az al´abbi formula alapj´an sz´am´ıthat´o: λmax − n , CI = n−1 ahol λmax a tapasztalati p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrix legnagyobb saj´at´ert´eke ´es n a p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrix sorainak a sz´ama. A k¨ovetkezetlens´egi indexek ´ atlagos ´ert´ekeit v´eletlenszer˝uen gener´alt p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixok seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg minden n eset´ere, ´es ezeket RI-vel jel¨olj¨uk. Az RI ´ert´ekeit Saaty nyom´an az al´abbi t´abl´azatban adhatjuk meg: n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 14 RI 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,51 1,54 1,56 1,57 A CR k¨ovetkezetlens´egi h´ anyadost, a CI ´es RI indexek h´anyadosak´ent kapjuk meg, azaz CI CR = . RI Bizony´ıthat´o, hogy pozit´ıv reciprok m´atrixokra λmax ≥ n, ez´ert a k¨ovetkezetlens´egi h´anyados ´ert´eke nemnegat´ıv sz´am. A k¨ovetkezetlens´egi h´anyados ´ert´ekeit az EC szoftver k´esz´ıt˝oi akkor tartj´ak j´onak, ha az ´ert´eke kisebb, mint 0,1. Az alacsony inkonzisztencia azonban nem c´ elja a d¨ ont´ esnek. L´ enyeges, de nem elegend˝ o a j´ o d¨ ont´ eshez. A konzisztenci´ an´ al fontosabb a pontoss´ ag. A p´aronk´enti ¨osszehasonl´ıt´ason alapul´o m´odszerekben h´ atr´ anyt jelent, hogy csak bizonyos, az ¨osszehasonl´ıtand´o objektumok sz´am´ara vonatkoz´o m´eretkorl´at alatt alkalmazhat´ok, ´es az alternat´ıv´akra csak rangsort (relat´ıv ´ert´ekeket) adnak ; el˝ony viszont, hogy szubjekt´ıv szempontok ´ert´ekel´es´en´el j´ol haszn´alhat´oak.
12
N´eh´any hasznos a´ll´ıt´as T. Saaty, The analytic hierarchy process, University of Pittsburgh, Pittsburgh, (1990) k¨onyv´eb˝ol: T´ etel. Pozit´ıv m´atrixok eset´eben a.) a maxim´alis saj´at´ert´ek λmax fels˝ o korl´ atja a maxim´ alis sor¨osszeg; b.) a maxim´alis saj´at´ert´ek λmax als´ o korl´ atja a minim´ alis sor¨osszeg. T´ etel. (Wielandt) Pozit´ıv m´ atrixok eset´eben a λmax ´ert´eke n˝o, ha a m´atrix b´armely komponens´enek az ´ert´eke n˝ o. Az AHP l´ep´esei teh´at: • A d¨ont´esi t´enyez˝ok hierarchi´aj´anak o¨ssze´all´ıt´asa. • Az egyes elemekre vonatkoz´o p´aros ¨osszehasonl´ıt´asokat tartalmaz´o m´atrixok el˝o´all´ıt´asa a d¨ont´eshoz´o kik´erdez´ese alapj´an. • Minden szinten minden elemre (az utols´o szint kiv´etel´evel) a s´ulyok meghat´aroz´as´ara szolg´al´o saj´at´ert´ek feladat megold´asa. • Az egyes szintek aggreg´al´as´aval megkapjuk a d¨ont´esi alternat´ıv´akra vonatkoz´o ´ert´ekeket, amelyekb˝ol azok sorrendje megkonstru´alhat´o.
5.5 P´ elda az AHP alkalmaz´ as´ ara K¨ozgazd´asz v´egzetts´eg˝u ismer˝os¨unk a´ll´ast keres, ´es h´arom lehet˝os´eg k¨oz¨ul v´alaszthat: bel´ep egy nagy k¨onyvel˝oc´egbe partnerk´ent A1, saj´at tan´acsad´o c´eget alap´ıt A2, vagy elfogadja az egyetem aj´anlat´at A3.
13
A feladat hierarchikus strukt´ur´aj´at az al´abbi a´bra mutatja: 1.szint
El´egedetts´eg
2.szint Kereset
3.szint
Biztons´ag
Nagy v´ all.
El˝omenetel
Saj´at c´eg
Munkak¨ or¨ ulm.
Egyetem
P´eld´ankban a hierarchia els˝o szintje az (´altal´aban elvont) v´egc´elt jel¨oli: el´ egedetts´ eg a kiv´alasztott lehet˝os´eggel (amit u´gy is megfogalmazhatunk, hogy a legjobb ´all´as kiv´alaszt´asa). A legals´o szinten a lehet˝os´egek, vagy alternat´ıv´ak sorakoznak. A v´egc´el alatt t¨obb szint˝u hierarchia is lehets´eges, eset¨unkben a legegyszer˝ubb esetet v´alasztjuk: n´egy t´enyez˝o alkotja ezt a szintet. A t´enyez˝ok: a kereseti lehet˝os´eg K, a biztons´ag B, az el˝omeneteli lehet˝os´eg E ´es a munkak¨or¨ulm´enyek M . Tegy¨uk fel, hogy k¨ozgazd´asz bar´atunk az a´ll´assal val´o el´egedetts´eg (legfels˝o szint) szempontj´ab´ol a k¨oz´eps˝o szint t´enyez˝oire vonatkoz´oan 6 p´aros o¨sszehasonl´ıt´ast v´egzett el, s azok eredm´enye: (K : B) = (7 : 1),
(K : E) = (1 : 1),
(K : M ) = (7 : 1),
(B : E) = (1 : 3), (B : M ) = (2 : 1), (E : M ) = (5 : 1). Az o¨sszes p´aros ¨osszehasonl´ıt´ast tartalmaz´o m´atrix: 1 7 1 7 1/7 1 1/3 2 1 3 1 5 1/7 1/2 1/5 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o (alkalmasan norm´alt) saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [4.085025041, 1., [.4832143657, .100654793, .354461847, 0.061668993]]
14
Itt az els˝o sz´am a saj´at´ert´ek, m´asodik a multiplicit´as, az ut´ana k¨ovetkez˝o sz¨ogletes z´ar´ojelben a´ll´o sz´amok a norm´alt) saj´atvektor koordin´at´ai (norm´al´as: a koordin´at´ak o¨sszege 1 kell, hogy legyen). Bar´atunk most az alternat´ıv´akat az egyes t´enyez˝ok szerint is ´ert´ekeli ugyanezen a sk´al´an, ugyanezen a m´odon. A kereseti lehet˝ os´ egre vonatkoz´oan az alternat´ıv´ak p´aros o¨sszehasonl´ıt´asi m´atrixa: 1 1/3 2 3 1 5 1/2 1/5 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.003694598, 1., [0.2296507940, 0.6483290138, 0.1220201922]] A biztons´ agra vonatkoz´o m´atrix: 1 3 1/5 1/3 1 1/7 5 7 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.064887580, 1., [0.1883940966, 0.08096123211, 0.7306446710]] Az el˝ omeneteli lehet˝os´egekre vonatkoz´o rn´atrix: 1 1/5 2 5 1 7 1/2 1/7 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.014151883, 1., [.1665932550, .7395940927, 0.09381265226]]
15
A munkak¨ or¨ ulm´ enyekre 1 3 5
vonatkoz´o ´ert´ekel´es: 1/3 1/5 1 1/3 3 1
A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.038511090, 1., [.1047294331, .2582849950, .6369855719]] (Vegy¨uk ´eszre, hogy az alternat´ıv´aknak az egyes t´enyez˝okre vonatkoz´o ´ert´ekel´eseit is p´aros ¨osszehasonl´ıt´asok seg´ıts´eg´evel kaptuk. Ez nem k¨otelez˝o: a keresetn´el pl. dolgozhattunk volna a val´odi keresetar´anyokkal, amennyiben ezek az ar´anyok j´ol kifejezik szubjekt´ıv ´ert´ekel´es¨unket.) Az eredm´enyeket o¨sszefoglalva (az adatokat kerek´ıtve): El´egedetts´eg(1,00) K(0, 48) B(0, 10) E(0, 36) M (0, 06)
A1(0, 23) A1(0, 19) A1(0, 17) A1(0, 10) A2(0, 65) A2(0, 08) A2(0, 74) A2(0, 26) A3(0, 12) A3(0, 73) A3(0, 09) A3(0, 64) V´eg¨ul a ki´ert´ekel´es un. disztribut´ıv m´ odban (az alternat´ıv´ak ´ert´ekeit s´ulyozzuk) S(A1) = 0, 48 · 0, 23 + 0, 10 · 0, 19 + 0, 36 · 0, 17 + 0, 06 · 0, 10 = 0, 1966 S(A2) = 0, 6020 S(A3) = 0, 2014 Ennek alapj´an az alternat´ıv´ak sorrendje: A2, A3, A1.
16
6. T´ avols´ agminimaliz´ al´ o m´ odszerek 6.1 Szempontok s´ ulyainak meghat´ aroz´ asa A d¨ont´esi feladatok megold´as´anak els˝o l´ep´ese a szempontok s´ulyainak meghat´aroz´asa. Az AHP modellekben a szempontok s´uly´at vagy k¨ozvetlen¨ul adjuk meg, vagy a saj´atvektor m´odszerrel hat´arozzuk meg. Ez ut´obbi esetben fel´ep´ıtj¨uk az azonos szinteken l´ev˝o szempontok egym´ashoz viszony´ıtott fontoss´ag´at tartalmaz´o p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixokat (melyek reciprok m´atrixok, nem felt´etlen¨ul konzisztensek) ´es ezek legnagyobb saj´at´ert´ekeihez tartoz´o saj´atvektorai szolg´altatj´ak az azonos szinteken lev˝o szempontok s´ulyait, amelyek ¨osszege minden szinten 1. A saj´atvektor m´odszer mellett t´avols´agminimaliz´al´o m´odszereket is alkalmazhatunk a priorit´asi ´ert´ekek meghat´aroz´as´ara. Ezek a legkisebb n´egyzetek m´odszere (LSM), ´es a s´ulyozott egkisebb n´egyzetek m´odszere (WLSM) melyet Chu ´es szerz˝ot´arsai vezettek be 1979-ben, a logaritmikus legkisebb n´egyzetek m´odszere (LLSM) amit De Jong 1985 valamint Crawford ´es Williams 1985 javasoltak, ´es Jensen χ-n´egyzetek m´odszere (1984). L´athat´o, hogy pozit´ıv konzisztens m´atrixokra (melyek p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok) amikor aij = ppji egy ¨osszeg˝ure norm´alt pi s´ulyokkal, a wi = pi mindig megold´as. Mivel a becsl´esn´el reciprok, de nem felt´etlen¨ul konzisztens A = (aij ) m´atrixokkal dolgozunk a kapott eredm´enyt a tekintj¨uk ide´alis s´ulyoknak.
17
M´odszer Minimaliz´aland´o f¨uggv´eny 2 n P n P wi LSM aij − wj
Felt´etelek n P wi = 1, w ∈ Rn+
WLSM
i=1 j=1 n P n P
LLSM
i=1 j=1 n P n P
i=1 n Q
i=1 j=1
i=1
CSM
i=1 n P
(aij wj − wi)2
wi = 1, w ∈ Rn+
(ln aij − ln wi + ln wj )2 wi = 1, w ∈ Rn+ i=1 j=1 i=1 n n n 2 PP P wi wi aij − wj wj wi = 1, w ∈ Rn+ 6.2 Az alternat´ıv´ ak ´ ert´ ekel´ esi m´ odjai
Tekints¨unk n alternat´ıv´at A1, A2, . . . , An ´es m szempontot/krit´eriumot C1, C2, . . . , Cm. T´etelezz¨uk fel, hogy az alternat´ıv´ak ´ert´ekel´ese az egyes szempontok szerint ismert, ´es a szempontok fontoss´aguk szerint s´ulyozva vannak. Jel¨olje aij > 0 (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) a j-edik alternat´ıva i-edik szempont szerinti ´ert´ek´et, wi > 0 (i = 1, . . . , m) az i-edik szempont s´uly´at. Felt´etelezz¨uk, hogy n X
aij = 1, (i = 1, . . . , n) ´es
j=1
m X
wi = 1
j=1
azaz az adatok norm´alva vannak. Ezeket az adatokat t´abl´azatos form´aban a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: w1 C1 w2 C2 ... ... wm Cm
A1 a11 a21 ... am1
A2 a12 a22 ... am2
... ... ... ... ...
An a1n a2n ... amn
18
A d¨ont´esi probl´ema az alternat´ıv´ak sorbarendez´ese. Legyenek S(Aj ), (j = 1, . . . , n) az alternativ´ak s´ulyai melyek seg´ıts´eg´evel adjuk meg a keresett v´egs˝o rangsort. H´aromf´ele ki´ert´ekel´esi m´odot ismertet¨unk. ´d 1. Disztribut´ıv mo Ekkor m X S(Aj )D = wiaij , (j = 1, . . . , n) i=1
teh´at itt az 1 ´ert´eket osztottuk sz´et a lev´elszempontok ´es az alternat´ıv´ak k¨oz¨ott a fontoss´aguknak megfelel˝oen. Megjegyezz¨uk, hogy a disztribut´ıv AHP modell az alternat´ıv´ak rangsor´anak a meg´allap´ıt´as´ara, er˝oforr´as sz´etoszt´asra ´es a legt¨obb szempont szerint n´evleges ´ert´ekkel b´ır´o alternat´ıv´ak k¨oz¨ul val´o v´alaszt´askor javasolt. ´ lis mo ´d 2. Idea Ez esetben S(Aj )I =
m X i=1
wi
aij , max aik
(j = 1, . . . , n)
k
Ez a m´odszer legink´abb akkor hasznos, ha a c´ el a legjobb alternat´ıva kiv´ alaszt´ asa, ´es a sejthet˝oen legjobb alternat´ıv´ak pontsz´ama t¨obb szempont szerint k¨ozel azonos. A tapasztalatok szerint a disztribut´ıv ´es az ide´alis AHP modellek az esetek nagy sz´azal´ek´aban ugyanazt a rangsort adj´ak az alternat´ıv´akra. ˝ s´ıto ˝ mo ´d 3. Mino A min˝os´ıt˝o AHP modellek eset´eben a szempontok s´ulyoz´asa ugyan´ugy t¨ort´enik, mint a disztribut´ıv ´es az ide´alis AHP modellekn´el. A l´enyeges k¨ul¨onbs´eg az alternat´ıv´ak egyes szempontok
19
szerinti ´ert´ekel´es´eben van, ugyanis a min˝os´ıt˝o modell eset´eben minden alternat´ıv´at k¨ul¨on-k¨ul¨on min˝os´ıt¨unk a szempontokhoz megadott min˝os´ıt´eslist´ak alapj´an. Ennek a modellnek h´atr´anya, hogy az egyes szempontok szerinti ´ert´ekel´eskor nem adhatunk meg tetsz˝oleges ´ert´eket, hanem egy, legfeljebb 9 elem˝u, list´ar´ol kell v´alasztani. A min˝os´ıt˝o AHP modellben az aggreg´al´asra haszn´alt k´eplet a k¨ovetkez˝o: m X aij wi ∗ , (j = 1, . . . , n) S(Aj )R = ai i=1 ahol a∗i az i-edik szempont szerint adhat´o pontsz´amok k¨oz¨ul a maxim´alis. A k´eplet hasonl´o az ide´alis modellben alkalmazotthoz, de az a∗i , (i = 1, . . . , m) ´ert´ekek a feladatt´ol (a konkr´et alternat´ıv´akt´ol) f¨uggetlenek, ´es az ´ert´ekel´eskor el˝ore megadott sk´al´ahoz tartoznak. Az EC szoftverben a min˝os´ıt˝o AHP modell eset´en a lev´elszempontok al´a egy-egy min˝os´ıt´eslista elemeit (pl. j´o, k¨ozepes, rossz) kell besz´urnunk, majd az egyes listaelemek ´ert´ekeit kell meghat´aroznunk a k¨ozvetlen pontoz´ashoz hasonl´o m´odon, konkr´et sz´amok megad´as´aval vagy p´aronk´enti o¨sszehasonl´ıt´assal. Ezut´an a program automatikusan 1-re norm´al, ´es a t´abl´azatban ´ert´ekelhetj¨uk az egyes alternat´ıv´akat a lev´elszempontok alapj´an, a megfelel˝o list´ar´ol kiv´alasztva a j´onak gondolt min˝os´ıt´est.
