STROJNÍ CKY ČASOPIS XII, C. 3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -139 -
Výpoč et neline ární charak teristi ky pružin y pro danou závislo st doby kmitu na amplitudě
DOC. INŽ. RUDO LF BREPT A Katedra strojní mechaniky Vysoké školy dopravní, Praha
Nejobvyklejší úlohou z teorie nelineárních kmitů soustav s jedním stupně m volnosti je hledání vztahu mezi dobou kmitu a amplitu dou. Pro známou charakteristiku pružiny najdeme funkci T(Q) udávající závislost doby kmitu T na amplitudě Q. Někdy se však může vyskytn out úloha opačná, když ke známé funkciT (Q) máme najít příslušnou charakteristiku. Chceme např. konstru ovat kmitajíc í soustavu, která má vyhovovat speciálním požadavkům, anebo se může stát, že dovedeme měřením zjistit závislost doby kmitu na amplitu dě (přesné měřicí přístroje, hodiny) , při tom však se tuhost nelineární pružiny nedá dostatečně přesně zjistit. Metodu , kterou dále popíšeme, předvedeme na středově souměrných charakt eristikách, vytvořených polynom em s lichými mocnin ami výchylk y. Řešení začneme pohybo vou rovnicí pro jednotk ovou hmotu kmitajícícho tělesa, předpokládáme při tom, že soustav a sil je konserv ativní, zanedbáváme tlumení. Pohybo vá rovnice má tvar q= -w(q), když q je obecno u souřadnicí soustavy (výchylka, úhlové natočení ) a w(q) je síla vyvozená pružinou. Protože jde o konservativní soustavu, existuje potenciál U(q), takže platí w(q) ==
Pohybo vou rovnici
přepíšeme
na tvar dv2 2dq =
po první
kvadratuře
dU
crq' dU
-crq;
dostane me
~
V2
=
U(Q) - U(q),
STROJNÍCKY 140 ---------------------~.
dq
Pro dobu kmitu soustavy se další integrací výraz
,- /
=
V
CASOPIS XII, Co 3
.y2-y U(Q) - U(q)
souměrnou
o
charakteristikou pružiny dostaneme
Q
T(Q) - 2 .
/2f
-y
dq .JU(Q) - U(q)
(1)
o
Podle rovnice (1) můžeme náš problém stručně formulovat: Známe funkci T(Q), hledáme potenciálovou funkci U(q), o které zatím nic nevíme. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že U(O) = O. Při řešení budeme předpokládat, že pro velmi malé amplitudy Q je charakteristika pružiny přímková a tudíž že potenciálovou funkci můžeme rozvést v Taylorovu řadu kolem bodu q = O a že tato řada bude začínat členem s «'. Pro velmi malé amplitudy bude tedy čas Tnezávislý na amplitudě Q, a proto bude příslušná Taylorova řada začínat konstantou. Krátce řečeno, užijeme při řešení řad
T(Q) = U(q) =
+ TzQz + T 4Q4 + czqz + C4q4 + .. *)
}
To
o
(2)
Řešení problému bude nalezeno v okamžiku, kdy se podaří neznámé součinitele Cz,
vyjádřit
C4' o"
danými
součiniteli To, Tz, ...
Poznámka Řešení úlohy, kterou se zabýváme, uvádí H. Kauderer [1] na str. 250. Pro řešení zavádí inversní funkci k potenciálu q = q;(U) a rovnici (1) transformuje na Abelovu integrální rovníci. Ukážeme dále, že tyto obraty nejsou při řešení nutné a že lze jednoduše postupovat přímo z rovnice (1).
* * * Při řešení
veličinu ~,
zavedeme do integrálu v rovnici (1) novou vázanou vztahem
proměnnou, bezrozměrnou
q = ~Q,
když
zřejmě
musí být O <
~
< 1. Dostaneme 1
T(Q) - 2 /2Q -y
ll'
d~
(3)
~.J U( Q) - U(~Q) o
*) Tento rozvoj ovšem existuje za potřebné
derivace.
předpokladu,
že charakteristika má v
bodě
q = O
141 STROJN1CKY CASOPIS X_I~I,_C_._3~~~~~~~~~ _ _~~~~~~~~~_
Integrand v rovnici (3) vyjádříme Podle rovnice (2) bude:
řadou,
nejprve rozvedeme výraz pod odmocninou.
U(Q) - U(,Q) = C2Q2 + C4Q4 + ... -C2eQ2 - c4e Q4 U(Q) - U(,Q) = c 2(l -
Dále rozvádíme v
řadu
o •• ,
e) Q2 + c4(1 _
,4) Q4
+
(4)
o. o
výraz 1
a-I =- + a o + a l Q + a 2Q2 + ... Q
JU(Q) - U(W)
(5)
Tvar řady na pravé straně rovnice jsme zvolili s ohledem na skutečnost, že řada pro T(Q) obsahuje konstantu To, a s ohledem na to, že jsme na pravé straně rovnice (3) vytknuli Q. Hledáme součinitele a_I, ao, a l, a 2, . Rovnici (5) povýšíme na druhou, dostaneme: o.
1
~~~~~-
U(Q) - U(W)
a~ I + 2a - I a o + (a2 + 2a_ l ) + ( 2a_la2 + 2a al ) Q + = ~o O Ia Q2
Q
+ (ai + 2a_la 3 + 2a Oa 2) Q2 + (2a_ la 4 + 2a Oa3 + 2a l a2) Q3 + + (a~ + 2a_ la 5 + 2a Oa4 + 2ala3) Q4 + + (2a_ Ia 6 + 2a Oa 5 + 2a la4 + 2a 2a3) Q5 + + (a; + 2a_ Ia? + 2a Oa6 + 2a la 5 + 2a 2a4) Q6 + Rovnici vynásobíme výrazem U(Q) - U(,Q) a
přitom
za
něj
dosadíme
řadu
(4).
Řadu uspořádáme podle mocnin Q a máme:
e) + 2a_ la oc2(l - e). Q + + [(a~ + 2a_lal) c2(l - e) + a~lc4(l _ ,4)]. Q2 + + [(2a- la2 + 2a l) c 2(l - e) + 2a_ l aoc 4(l - ,4)]. Q3 + + [(ai +2a_ la3 + 2a czCl - e) + (a~ + 2a_Ia l) cil _ ,4) + 1 = a~lc2(l Oa
Oa2 )
+ 2aoa3 + 2a la 2) c2(l - e) + + (2a_Ia 2 + 2a Oa l) c4(1 - ,4) + 2a-Iaoc6 (l _ ,6)]. Q5 + + [(a~ + 2a_Ia5 + 2aoa4 + 2a la3) c2 (l - e) + (ai + 2a_Ia3 + 2a Oa 2) x x cil - ,4) + (a~ + 2a- l al)c6(l _ ,6) + a~lc8(l _ ,8)]. Q6 +
+
a:' lc6 (l - ,6)]. Q4
+
[(2a_la 4
"0
Porovnáme součinitele u stejných mocnin Q na obou stranách rovnice a tak dostaneme rovnice pro výpočet součinitelů a-I' ao, a l ' .. o
a:' lc2 (l 2a_ l aoc 2(l
e) = 1, - e) = 0,
142
STROJNicKY CASOPIS XlI, Co 3
+ 2a_ Ia l) C2(1 - e) + a: lc4(1 - ~4) = 0, (2a_Ia2 + 2aoal) c2(1 - e) + 2a_ Iaoc4(1 - ~4) = 0, (a; + 2a_Ia3 + 2aOa2) c2(1 - e) + (a~ + 2a_ Ia_ l) C4(1 _ ~4) + + a:1 c6(1 - ~6) = 0, (2a_1a4 + 2aOa3 + 2a1a2) c2(1 - e) + (2a_1a2 + 2a oal) cil _ ~4) + + 2a_ 1aOc6(1 - ~6) = 0, + 2a_ 1aS + 2aOa4 + 2a1a3) c2(1 - ~2) + (a; + 2a_ 1a3 + 2aOa2) C4(1 _ ~4) + + (a~ + 2a_Ia1) cil - ~6) + a: 1cs(1 - ~s) =0000 (a~
(a~
Tuto soustavu rovnic řešíme postupně, všimneme si totiž, že následující rovnice obsahuje vždy kombinace neznámých z předchozích rovnic. Z první rovnice dostaneme (6) Z druhé rovnice
vypočítáme
aO = 0,
_ a1 -
1
-2
(7)
c4(1 ~ ~4) C~/2(1 _ e)3/2 '
(8)
a2 = 0, 3 a3 =
"8
c~(1
- ~4)2
(9)
c6(1 _ ~6)
1
d/2(1 _ ~2Y/2
-"2
(10)
c~/2(1 _ eY/2 '
(11)
a4 = 0,
_
~ csCl _ ~s) 2 c~/2(1 - e)3/2
o
(12)
Protože součinitelé a_I' a 1, 000 jsou podle výrazů (6)+ (12) závislí jednak na dosud neznámých koeficientech c2 , c4 , 000' ale také na proměnné ~, budeme psát a-lG), al(~) atd. Podle předpokladu vyjádřeného řadou (5), můžeme rovnici (3) přepsati do tvaru
T(Q)
=
2
J2 Q [ i
f
f
1
a -1
1
(~) d~ + Q a 1(~) . de; + o
o
o
o
čili 1
T(Q)
= 2
1
J2[f a_1(~) od~ + Q2 f a1m od~ + oooJ o
o
(13)
STRO JNIC KY CAS OPIS XII, C. 8
143 1 1 Pod le rovnice (13) tedy mus íme nají t inte grál y fa -1 (~) • dl;, f a1 (l;) . dl;, ... Při lO o pod robn é proh lídc e vzta hu (6)+ (12 ) zjistlme, že se muže vyskytno ut jen jedi ný typ integrálu, z něhož můžeme všec hny výra zy složit. Je to typ
p a q jsou celá čísla, u nás je speciálně q převést
na integrál
=
1. Ten to typ se dá substitucí
Poslední integrál se dá vyjádřit pod le teor ie r-fu nkc í, v str. 20), takž e po zavedení původn í proměnné l; bud e
uzavřeném
e=
"
tvar u (viz [2J,
1
r
~P •
dl;
J (1 _ ~2)1/2 o
(14)
Vzhledem k tom u, že
napí šem e vzorec (14) takt o: 1
{'
l;p. de;
J (1 -
eY/2
= ~ '1i
rr--1-,-
2 ..;
o
1 2'
p
(14a)
.
2'
Při vyčíslování vzorce (l4a ) upo třebíme vzo rce
(n kde n je klad né celé nici (13); plat í *) Viz [2], str. ll.
' = r: + O5 , ) ...; 1f.
číslo. *)
1. 3.5 ..... (2n 2n + 1
Pom oci uve den ých
+ 1) '
vzorců vyčíslíme
inte grál y v rov-
STROJNÍCKY CASOPIS. XII, C. 3 144 --------------------------
1
f
1
a- 1m.d~
=
; V Cz
o
f.J d~ z -
1
. =
1
-2
o
f
1
o
V
Cz 2
1
V) d ( a1 ~ . ~ f
f
~,
;
1- ~
o C4
c~/Z
(1 - ~4). d~
JI'
(1-
3
-8
=
e)31Z
3
~
.
~
=2 8
C~
c~/Z
tt ,
o
1
a( ) d
C4
c~/Z
1
(1_~4? dV-~~f(1-~6).d~
(1 _
c~/Z
2
C;
e)51Z
o
57 c~ 128 c~/Z
(1
_e)3 IZ
o
15 C6 32 c~/Z
(15)
=---n-~-~n
1
f
3 5 a (J:) dč = - - ~ 5 <" • ~ 16 ci l Z
o
1 !'
j
.
1
+ 4 c~/Z
v4)3 ~ (1 - er (1
1z
o
3 C4C6f(1-~4)(1-~6)d"
(1 -
e)51 Z
.;; -
'
ď
~+
1
1 C8 f(1-~8).d~ 2" c~/Z (1 _ ~Z)3IZ
o
=
o
315 c~ 147 C = - - - - -l Zn +-- -4C6 -n 512
128 c~/Z
ci
35 C8 64 c~/Z
----J[.
Když nyní porovnáme řadu v rovnici (13) a v první rovnici (2), dostaneme metodou 1 "Srovnání koeficientů vztahy: 2.J2Ja-l(~).d~ = 'o' o
1
2 .j2Jal(,) . d~ = o
'z ,
1
2
a3m .d~
.J2J o
= '4,
1
2.J2Ja5(~)' d~ = '6, o
Když za integrály dosadíme ze
vzorců
(15), máme rovnice
,/h
1
.Jcz
j
~='o,
J2
(CCz4)· =,zvcz, 1-
3 -n --
4
57.J2 n (~)Z 64
Cz
_
15 .J2(~) 16 Cz
n = '4.J Cz ,
} (16)
j
STROJNI CKY CASOPIS XII, C. 3
_31_5---,-.../_'2
t:
y
(_C4
C~
256
+
145
147 ~2 n
~~
•.•••.•••• •.
X_
(_C4 C6) __35_v_'2 n (_cs) = '6 ~C2' 1
•.•••••..
~~ ~~ ••..•
~~
..••...•.• •
••••••• • •
Postupn ým řešením rovnic (16) určíme již součinitele C2, C2
=
2n
'o
c;-= --'
'o
4
'2
-3~'
76
C;--4 5"
~:
Dostan eme
12
n
-
C4' ...
J
-2--~C2 =~,
C4
C6
2
~~
= -
( ' 2 )2
~
(17)
16
'4
-15' ~'
~~~~ ( ::
y 112 X::)- ~~ (::). 68 5 ( ::
+
Druhou rovnici (2) upravíme na tvar U( q ) =
C2
(
q2
+ -'CC4
q4
2
+ -CC6
q6
2
+... ) ;
pro charakteristiku pružiny platí W () q
čili
=
dU = -dq
C2
( 2q
+ 4 -C4
po zavedení nových koeficientu wl ' W3,
Přitom
platí
C2
...
q3
+ 6 -C6- q 5 +... ) , C 2
bude (18)
Po dosazení ze vztahu (17) dostává me
(19)
STROJNÍ CKY CASOPIS XII, C. 3
146
známé souKoeficienty (19) jsou tedy řešením probíra né úlohy. Stačí dosadit (18), která řadu pro ... , w , w t 3 1 činitele 'to, 'tZ' 't4, ... do vzorců (19) a vypočíta vyjádřuje charakt eristiku pružiny.
* * * z teorie nelineárních Řešením jsme mimoděk nalezli také řešení základn í úlohy
periody kdy pro danou charakt eristiku pružiny hledáme závislost T(Q) C4, ... Cz, ele že pro dané součinit kmitů na amplitudě. Ze vztahů (16) je zřejmé, me vyjádří , .. konstan ty Cz, C4, můžeme počítat koeficienty 'to, 'tz, ... řady (2). Když pomocí činitelů w 1 , W3' ... , dostaneme kmitů,
35n
64.JWl
Jinak lze tyto vzorce
přepsat
do tvaru
(20)
Použitím
vztahů
(20) lze dobu kmitu
T ( Q). =
'to
(
1
vyjádřit
vzorcem
't4 Q4 +... ) ; QZ + -. + -'tz 'to 'to
(21)
kde
'to
u. znamen á dobu kmitu pro pružinu s linearisovanou charakt eristiko
147
STROJNÍCKY CASOPIS XII, C. 3
--------------~------
Správnost vztahů (19) a (21) ovenrne na matematické kyvadlo se doba kmitu (2 kyvy)
případech vyjádří
řešením.
se známým vztahem
Pro
T=4J~K, kde K je úplný eliptický integrál prvního typu s modulem k = sin Q/2; Q je amplítuda kyvadla. Pro K platí rozvoj n (1
2
K =
1. 2 Q sin 2
9
+4
.
Q
4
+ 64 sm 2 +
25 6 Q 256 sm 2 o
)
+ ... .
Když vyjádříme funkci sin Q/2 řadou sin Sl. = 2 a tuto
řadu
(Sl.) _~3! (Sl.)3 + _1 (Sl.) s 51 2 2 2
dosadíme do rozvoje pro K, máme K =
n (
2
1
1
2
+ 16 f/> +
11 4. 173 6 3072 f/> -r 737280 f/>
)
+ o.. •
Pro dobu kmitu tedy bude platit vztah T = 2n
g + 16 JT(
porovnáním s první
1
1
řadou
2
f/>
+
(2) najdeme
Tyto součinitele dosadíme do dostaneme
vzorců
11 4' 173 3072 f/> + 737 280 součinitele To, T 2, ... ;
(l9) a
1 g 120 T'
g
Wl
=T'
Ws
vypočítáme
=
platí, že
koeficienty o
W7
= -
a po dosazení do řady (18) máme pro charakteristiku "pružiny" úhlovou výchylku kyvadla): Hi
Tato
čili W
řada
.(
1
3
1
s
1
7
)
= u! q - 6' q + 120 q - 5040 q +....
se dá napsat takto:
= slt sin q, což se
přesně
shoduje se
skutečným
kyvadlem.
w1 , W3'
... ;
1 g 5040 T' řadu
(q zde
značí
148
STROJNÍCKY ČASOPIS XII, C. 3
Při druhém příkladě užijeme kubickou charakteristikou
Zde platí, že Ws = w7 = s podíly W S/w1, W7/W1,
členy
T =
'o[ 1 -
opačných vzorců
(20).
úplně
pružinu s jednoduchou
W= WIQ + W3Q3. = O, a proto ve vzorcích (20) odpadnou všechny
, takže dostaneme 57 (W3)2 4 3 (W 3) 2 8 ~ Q + 256 ~ Q -
Tento výsledek se integrálu. *)
Mějme
shoduje s
315 2048
"přesným" řešením
3)3 6 (W ] ~ Q +...
.
pomocí rozvoje eliptického
LITERATURA
[ll Kauderer H., Nichtlineare Mechanik. Springer, Berlin 1958. - [2] J ahnke-Emde, Tafeln hčherer
Funktionen. Teubner, Leipzig 1952.
Lektor: inž, Igor Ballo
Rukopis dodaný 3. X. 1960
BhlQI1CJIEHI1E HEJII1HEflHOfl XAPAKTEPI1CTI1KI1 IIPY)J(MHbI AJI.SI AAHHOfl 3ABI1CI1MOCTI1 IIEPI10AA KOJIEEAHI1.SI OT AMIIJII1TYAhl AOII. BHlK. PY,lJ;OJIb«p Bpe rrr a ABTOp B crarse 3aHHMaeTCJI Bbl'iHCJleHHeM HeJlHHeHHOH xapaxrepacraxa rrpYlKHHbI eCJlH nana 3aBHcHMoCTb nepnona KOJle6aHHJI.oT aMIIJlHTY,lJ;bI. Pemaerca TaK aaasreaesraa 06paTHaJl npo6JleMa B 06meH CHCTeMe C O,lJ;HOH creneasro CBo60,lJ;bI, H H3YQaeTClI xapaxrepacraxa BOCCTaHaBJlHBalOmeH CHJlbI w(q) eCJlH HaM 3HaKOMa 3aBHCHMOCTb nepaona KOJle6aHHJI T OT aMITJIHTY,lJ;bl o606meHHOH KOOp,lJ;HHaTbI q. IIpOIIecc peurenaa npocroa H ero pe3YJIbTaT zrau B BH,lJ;e «PoPMYJI. \
BERECHNUNG DER NICHTLINEAREN FEDERKENNLINIE EINER FEDER FUR EINE GEGEBENE ABHÁNGIGKEIT DER SCHWINGUNGSDAUER VON DER AMPLITUDE Doc. Ing. Rudolf Brepta Der Verfasser gibt im Artikel die Berechnung der nichtlinearen Federkennlinie einer Feder an im Falle daB die Abhángigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude gegeben wird. Es wird
[ll, str. 224.
