XIII. Mechanick´ e kmit´ an´ı Pˇ r´ıklad 1. Tˇeleso kmit´a harmonicky s periodou 0,80 s, jeho amplituda je 5,0 cm a poˇc´ateˇcn´ı f´ aze nulov´ a. Napiˇste rovnici kmitav´eho pohybu. /y = 0,05 sin(2, 5πt) m/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Plat´ı
2π = 2,5π rad . s−1 . T = 5,0 cm = 0,05 m, m´ame T = 0,8 s =⇒ ω =
Potom, jestliˇze amplituda ym
y = {ym } sin(ω{t}) m = 0, 05 sin(2, 5π{t}) m. (Pokud do vztahu dosazujeme t v sekund´ach.) Pˇ r´ıklad 2. Tˇeleso kmit´a podle rovnice y = 0,02 sin(12t) cm. Urˇcete jeho periodu a frekvenci. /0,52 s, 1,9 Hz/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Protoˇze v z´avorce sinu je v´ yraz ωt, dost´ av´ ame, ˇze ω = 12 rad . s−1 . Odtud m´ ame, ˇze ω=
2π 2π . 2π =⇒ T = = s = 0,52 s T ω 12 f=
1 ω . = = 1,9 Hz. T 2π
Pˇ r´ıklad 3. Kter´ a z rovnic popisuje harmonick´ y kmitav´ y pohyb? a) y = r sin t2 , b) y = ω 2 sin t, c) 2 y = ω sin(ωt), d) y = rω sin(ωt). /ˇz´adn´ a spr´ avn´ a moˇznost/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: a) Ne, protoˇze by v rovnici muselo b´ yt t, nikoliv t2 . b) Pokud ω znaˇc´ı u ´ hlovou frekvenci, pak je rovnice ˇspatn´ a. (Poznamenejme vˇsak: pokud by ale ω 2 znaˇcilo druhou mocninu amplitudy a skuteˇcn´a u ´ hlov´ a frekvence by byla rovna jedn´e, pak je rovnice spr´ avn´ a.) at ani pˇreznaˇcen´ı nepom˚ uˇze, protoˇze amplituda c) Ne, m´ısto prvn´ıho ω m´a b´ yt ym (amplituda). (Tentokr´ au ´ hlov´ a frekvence nemaj´ı stejn´e jednotky.) d) jde o rovnici zrychlen´ı (je-li r amplituda), nikoliv v´ ychylky. Pˇ r´ıklad 4. Tˇeleso kmit´a harmonicky s periodou 0,25 s, amplitudou 4,0 cm a poˇc´ateˇcn´ı f´ az´ı π3 . Urˇcete prvn´ı tˇri ˇcasy, kdy je okamˇzit´a v´ ychylka +3,0 cm. /0,050s; 0,242 s; 0,300 s/ ´ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Uhlov´ a frekvence kmit˚ u je ω=
2π = 8π rad . s−1 . T
Rovnice pro okamˇzitou v´ ychylku m´ a tvar y = ym sin(ωt + ϕ0 ) π cm y = 4, 0 sin 8π{t} + 3 pokud do posledn´ıho vztahu dosazujeme t v sekund´ach. Poloˇzme x = 8π{t} + Pak ˇreˇs´ıme rovnici 3, 0 = 4, 0 sin x
π 3
3 4 coˇz d´ av´ a ˇreˇsen´ı (mus´ıme poˇc´ıtat v radi´ anech!) na intervalu [0, 2π] sin x =
. x1 = 0, 85 rad, . x2 = π − x1 = 2, 29 rad. a pˇripoˇcten´ı 2π ke kaˇzd´emu ˇreˇsen´ı (sinus je 2π periodick´ y) dostaneme dalˇs´ı dvˇe: . x3 = 2π + x1 = 7, 13 rad, . x4 = 3π − x1 = 8, 57 rad. 1
a dosad’me y = 3,0 cm.
F´ aze x odpov´ıd´ a ˇcasu x = 8πt + odtud t= Po dosazen´ı x1 aˇz x4 dostaneme
π 3
x − π/3 8π
. t1 = −0, 007 s . t2 = 0,050 s . t3 = 0,242 s . t4 = 0,300 s
Protoˇze prvn´ı ˇcas je z´aporn´ y, a tud´ıˇz n´ as nezaj´ım´a, urˇcuj´ı prvn´ı tˇri ˇcasy n´asleduj´ıc´ı vztahy. Pˇ r´ıklad 5. Jak´a je frekvence netlumen´eho harmonick´eho pohybu hmotn´eho bodu o hmotnosti 2,0 g, je-li amplituda kmit˚ u 10 cm a celkov´ a energie 1,0 J ? /50 Hz/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Celkov´a energie v rovnov´ aˇzn´e poloze je rovna kinetick´e energii hmotn´eho bodu, plat´ı tedy 1 1 1 2 2 2 mv 2 = mω 2 ym = m(2πf )2 ym = 2mπ 2 f 2 ym 2 2 2
E = Ek = odkud m˚ uˇzeme vyj´adˇrit
f=
E . . = 50,32 s−1 = 50 Hz. 2 2mπ 2 ym
Pˇ r´ıklad 6. Vypoˇctˇete, s jakou frekvenc´ı by kmitalo na pruˇzinˇe tˇeleso o hmotnosti 90 g, jestliˇze tuhost pruˇziny je 4,0 N m−1 . /1,06 Hz/ ˇ (Spatn´ y v´ ysledek ve skenech.) Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Pro frekvenci (vlastn´ıch) kmit˚ u tˇelesa na pruˇzinˇe plat´ı vztah k . 1 = 1,06 Hz. f= 2π m Pˇ r´ıklad 7. Tˇeleso o hmotnosti 150 g kmit´ a harmonicky s amplitudou 4,0 cm a periodou 0,50 s. Urˇcete jeho maxim´aln´ı zrychlen´ı a ve kter´e f´ azi pohybu to je. Jak´ a je jeho maxim´ aln´ı rychlost a ve kter´e f´ azi pohybu to je? Jak´ a je maxim´aln´ı potenci´ aln´ı energie oscil´atoru? ˇ (Spatn´ e v´ ysledky) Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Jeho maxim´aln´ı zrychlen´ı m´a velikost 2 2π 4π 2 . a = ω 2 ym = ym = 2 ym = 6,32 m/s2 T T a tˇeleso ho m´a v obou krajn´ıch poloh´ ach. Jeho maxim´aln´ı rychlost je v = ωym =
2π . ym = 0,5 m/s T
a tˇeleso ji m´a pˇri pr˚ uchodu rovnov´ aˇznou polohou. Maxim´ aln´ı potenci´ aln´ı energie je rovna maxim´aln´ı kinetick´e energii 1 1 4π 2 2 2mπ 2 2 . = y = 0,019 J. Ep,max = Ek,max = mv 2 = m 2 ym 2 2 T T2 m Pˇ r´ıklad 8. Nezat´ıˇzen´a pruˇzina se nach´az´ı v rovnov´ aˇzn´e poloze. Rozkmit´ame-li na ni urˇcit´e tˇeleso, kmit´ a s frekvenc´ı 1,8 Hz. O kolik bude pruˇzina prodlouˇzena proti rovnov´ aˇzn´e poloze aˇz se kmity utlum´ı? /7,7 cm/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Tˇeleso p˚ usob´ı na pruˇzinu t´ıhovou silou FG . Prodlouˇzen´ı pruˇziny Δl, oznaˇc´ıme-li jej´ı tuhost k, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jako mg FG = . Δl = k k Pˇritom v´ıme, ˇze k = ω2 m 2
a tak´e, ˇze
ω 2 = 4π 2 f 2 .
Z toho vypl´ yv´ a, ˇze Δl = g
g g m . . = 2 = = 0,0766 m = 7,7 cm. k ω 4π 2 f 2
Pˇ r´ıklad 9. Vypoˇctˇete d´elku z´ avˇesu matematick´eho kyvadla, kter´e m´a dobu kmitu 1,0 s, je-li g = 9,81 m s−2 . /0,25 m/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Plat´ı, ˇze
T = 2π
odkud vyj´ adˇr´ıme, ˇze l=g
l g
T2 . = 0,25 m. 4π 2
Pˇ r´ıklad 10. Matematick´e kyvadlo o d´elce 1,2 m m´a na Marsu dobu kyvu 1,8 s. Vypoˇctˇete t´ıhov´e zrychlen´ı na Marsu. /3,66 m s−2 / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Plat´ı, ˇze
T = 2π
l g
kde g znaˇc´ı t´ıhov´e zrychlen´ı na Marsu. Vyj´ adˇr´ıme, ˇze g=
4π 2 . l = 3,66 m/s2 . T2
Pˇ r´ıklad 11. Na stavebn´ım jeˇra´bu se n´ arazem vˇetru rozk´ yval zavˇeˇsen´ y pˇredmˇet na z´avˇesu o d´elce 28 m. Urˇcete dobu kmitu, jestliˇze hmotnost pˇredmˇetu je podstatnˇe vˇetˇs´ı neˇz hmotnost z´avˇesu. /10,6 s/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: V takov´em pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme tˇeleso se z´avˇesem povaˇzovat za matematick´e kyvadlo, pro jehoˇz dobu kmitu plat´ı l . = 10,61 s. T = 2π g Pˇ r´ıklad 12. Matematick´e kyvadlo s vl´aknem d´elky 1,0 m a kuliˇckou o hmotnosti 1,0 kg vyklon´ıme o u ´ hel 30◦ . Vypoˇctˇete pˇr´ır˚ ustek potenci´ aln´ı energie kuliˇcky, rychlost v rovnov´aˇzn´e poloze a maxim´aln´ı zrychlen´ı kyvadla. /1,31 J; 0,52 m s−1 ; 4,9 m s−2 / ˇ (Spatn´ a rychlost.) Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Kuliˇcka se zvedla o v´ yˇsku h, pro kterou plat´ı (nakreslete si obr´ azek, z krajn´ı polohy ved’te kolmici do svisl´e polohy) h = l − l cos α = l(1 − cos α) Pˇr´ır˚ ustek potenci´ aln´ı energie je . Ep = mgh = mgl(1 − cos α) = 1,31 J. Rychlost v rovnov´ aˇzn´e poloze urˇc´ıme podle z´ akona zachov´ an´ı mechanick´e energie Ep = Ek 1 mgh = mv 2 2 v = 2gh . v = 2gl(1 − cos α) = 1,62 m/s. Maxim´aln´ı zrychlen´ı kyvadla (v teˇcn´em smˇeru k trajektorii) nast´ av´ a v lev´e krajn´ı poloze a je rovno . amax = g sin α = 4,9 m/s2 . (Je urˇceno teˇcnou sloˇzkou t´ıhov´e s´ıly k trajektorii.)
3
Pˇ r´ıklad 13. Jestliˇze se v´ ytah pohybuje st´ alou rychlost´ı 3,0 m s−1 smˇerem vzh˚ uru, kmit´ a v nˇem zavˇeˇsen´e kyvadlo o d´elce 80 cm s dobou kmitu T0 . Jak je potˇreba upravit d´elku z´ avˇesu, aby pˇri zrychlen´ı v´ ytahu uru byla doba kmitu opˇet T0 ? T´ıhov´e zrychlen´ı je 9,8 m s−2 . /prodlouˇzit o 4,0 0,50 m . s−2 smˇerem vzh˚ cm/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: V pˇr´ıpadˇe st´al´e rychlosti v´ ytahu p˚ usob´ı na kyvadlo pouze t´ıhov´ a s´ıla a pro dobu kmitu plat´ı l1 T0 = 2π g V pˇr´ıpadˇe zrychlov´ an´ı v´ ytahu p˚ usob´ı na kyvadlo kromˇe t´ıhov´e jeˇstˇe setrvaˇcn´a s´ıla a pro dobu kmitu plat´ı l2 T0 = 2π g+a Mus´ı b´ yt tedy
l2 l1 = g g+a
pˇren´ asoben´ım jmenovateli dostaneme l1 (g + a) = l2 g l1 g + l1 a = l2 g a l2 = l1 + l1 g po dosazen´ı
. l2 = 84,0 cm
Kyvadlo je potˇreba o 4,0 cm prodlouˇzit. Pˇ r´ıklad 14. Kyvadlov´e hodiny jdou pˇresnˇe v nulov´e nadmoˇrsk´e v´ yˇsce. Jak se zmˇen´ı jejich chod za dobu 24 h, pˇreneseme-li je do v´ yˇsky 400 m nad moˇrem? Polomˇer Zemˇe je 6378 km, κ = 6,67 . 10−11 N m2 kg−2 . /5,4 s/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Budeme pˇredpokl´ adat, ˇze na kyvadlov´e hodiny p˚ usob´ı pouze gravitaˇcn´ı s´ıla Zemˇe. Pro jejich periodu na zemsk´em povrchu potom plat´ı l T1 = 2π ag kde ag je gravitaˇcn´ı zrychlen´ı na povrchu Zemˇe, ag = κ Pro periodu ve v´ yˇsce h = 400 m plat´ı
MZ 2 RZ
T2 = 2π
l ag
kde ag je gravitaˇcn´ı zrychlen´ı ve v´ yˇsce h = 400 m, ag = κ
MZ (RZ + h)2
Zat´ımco na povrchu kyvadlo hodin vykon´ a za t = 24 h = 86 400 s poˇcet kmit˚ u n1 = u a namˇeˇr´ı tak ˇcas vykon´ a pouze n2 = Tt2 kmit˚ T1 t= t = n 2 T 1 = T2 Rozd´ıl je
t T1 ,
ve v´ yˇsce h
ag RZ . t = 86394,6 s. t= ag RZ + h
. t − t = 5,4 s.
Pˇ r´ıklad 15. Dva izochronn´ı harmonick´e kmity t´ehoˇz smˇeru maj´ı frekvenci 4,0 Hz, stejnou amplitudu v´ ychylky 2,0 cm a rozd´ıl f´ az´ı π/2. Napiˇste rovnici sloˇzen´ ych kmit˚ u. /y = 2,8 . sin(8πt + π4 ) cm/ 4
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Plat´ı, ˇze
y1 = ym sin(2πf t) π y2 = ym sin 2πf t + 2
Pro rovnici sloˇzen´ ych kmit˚ u m´ ame y = y1 + y2 A protoˇze plat´ı, ˇze sin α + sin β = 2 sin dost´av´ ame, ˇze
Po dosazen´ı ym
α−β α+β cos 2 2
π + sin(2πf t) y = ym sin 2πf t + 2 π 2πf t + π2 − 2πf t 2πf t + 2 + 2πf t cos y = 2ym sin 2 2 π π cos y = 2ym sin 2πf t + 4 4 √ π y = 2ym sin 2πf t + . 4 = 2,0 cm, f = 4,0 Hz m´ame π y = 2, 8 sin 8π{t} + cm. 4
Pˇ r´ıklad 16. Na dvou pruˇzin´ach jsou zavˇeˇsena tˇelesa o hmotnostech m1 a m2 , pˇriˇcemˇz m1 > m2 . Po zavˇeˇsen´ı tˇeles se obˇe pruˇziny prodlouˇzily o stejnou d´elku. Kter´e tˇeleso bude po vych´ ylen´ı z rovnov´ aˇzn´e polohy kmitat s vˇetˇs´ı periodou? Kter´e tˇeleso bude m´ıt pˇri kmitav´em pohybu se stejnou amplitudou v´ ychylky vˇetˇs´ı energii? Hmotnost pruˇziny m˚ uˇzeme zanedbat. /perioda stejn´a, energie prvn´ıho je vˇetˇs´ı/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: 1. Protoˇze se pruˇziny vych´ ylily o stejnou d´elku Δl, znamen´a to, ˇze Δl = a tedy
odmocnˇen´ım a pˇren´ asoben´ım 2π m´ame
m2 g m1 g = , k1 k2
m2 m1 = k1 k2
m1 = k1
m2 k2 m1 m2 2π = 2π k1 k2
pˇriˇcemˇz nalevo a napravo je nyn´ı doba kmitu prvn´ı a druh´e pruˇziny, tedy T1 = T2 . Perioda kmitu bude stejn´ a. 2. Energii vypoˇcteme podle vztahu 1 2 ky , 2 m kde k je tuhost pruˇziny. Energie je tedy pˇr´ımo u ´ mˇern´a velikosti tuhosti pruˇziny. Jestliˇze E=
m1 m2 = k1 k2 a m1 > m2 , potom tak´e k1 > k2 , a tedy energie prvn´ıho tˇelesa bude vˇetˇs´ı. Pˇ r´ıklad 17. Tˇeleso o hmotnosti 0,1 kg je zavˇeˇseno na nitce a ta zase na pruˇzinˇe o tuhosti 160 N m−1 . Jak´a sm´ı b´ yt amplituda v´ ychylky tˇelesa, aby jeho kmit´ an´ı bylo harmonick´e? /ym < 0, 6 cm/
5
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Nitka mus´ı b´ yt v kaˇzd´em okamˇziku napjat´ a, takˇze zrychlen´ı kmitav´eho pohybu a nesm´ı pˇrekroˇcit t´ıhov´e zrychlen´ı g. Mus´ı tedy b´ yt a
mω 2 y = Sgy
a tedy ω2 = Pro periodu kmit˚ u T m´ame
abg Sg = m m
4π 2 abg Sg = = T2 m m
odkud T =
4mπ 2 . abg
Zb´ yv´ a vyj´ adˇrit hmotnost hranolu: m = h V = h abc, odkud po dosazen´ı vyjde (c = 10 cm = 0,1 m) 4h cπ 2 . = 0,6 s. T = g
6
