315
Egymásba írt testek
2182/I.
2182/II.
II
2181. Az R sugarú körbe írható szabályos nyolcszög területe: Tnyolcszög = 8 = 2 2 R 2 . A gúla térfogata: Vgúla = R2 M
1 3
$ 2 2 $ R 2 $ M . A kúp térfogata: Vkúp =
1 3
R 2 $ sin 45 2
=
R 2 r $ M . A tér-
br - 2 2 l = 6 br - 2 2 l . 1,88 dm3 . 3 2182. 1. eset: a beleírható kúp. A gúla alaplapjának területe Heron-képlettel: Talap = s $ (s - a)( s - b)( s - c) = 240 cm2. A gúla alaplapjának területe a beírt kör sugarával Talap = 6 cm . A beleírható kúp térfogata: V1. kúp = és a háromszög oldalaival: Talap = rs & r = s 1 2 = r r $ M = 432r . 1357 cm3 . 3 2. eset: a köré írható kúp. A gúla alaplapjának területe a körülírt kör sugarával és a háromszög 1 abc abc &R= = 17 cm . A köré írható kúp térfogata: V2. kúp = R 2 r $ M . oldalaival: Talap = 3 4R 4Talap . 3468r . 10 895 cm3 .
fogatok különbsége: DV =
2183. 1. eset: a köré írható kúp. A szabályos tizenkétszög köré írható kör sugara: a . 23,18 cm . A gúla köré írható kúp térfogata: V1. 2 sin15 . 12 381,16 cm3 .
R=
kúp
=
1 3
R 2 r $ M . 3941r .
2. eset: a beleírható kúp. A szabályos tizenkétszög beírható körének sugara: r = 1
a . 2 tg 15
r 2 r $ M . 3677r . 11 551,78 cm3 . 3 2184. A gúla szabályos hatszög alaplapjának beírt köre a kúp alapköre. A szabályos hat1 a2 $ 3 a2 $ 3 $M= $ M . A kúp alapkörének suszög alapú gúla térfogata: Vgúla = $ 6 $ 3 4 2 . 22,39 cm . A gúlába írható kúp térfogata: V2. kúp =
gara a hatszög egy középponti háromszögének magassága: r =
a 3 2
.
316
Összetett térgeometriai alakzatok N2 a2 r O $ r $ M = $M. OO 4 P V hulladek = A hulladék térfogata: Vhulladék = Vgúla - Vkúp . V gula J 1 Ka 3 A kúp térfogata: Vkúp = 3 KK 2 L
2186.
II
=1 -
V kup V gula
=1-
r
=
6-r 3 6
2 3
. 0,093 .
2185. A gúla alapéle: a = R 2 . A gúla fedôéle: b = r 2 . Vcsonkagúla = =
2m 3
2 2N mJ K b 2 Rl + 2 R $ 2 r + b 2 r l O= K O 3 L P
(R 2 + Rr + r 2 ) .
2186. Az ábra szerinti jelölésekkel: a = 58 , c = 180 - 2 $ 58 = 64. r =
a
$ tg 29 és
2 b $ sin 64 2
= b $ cos 58 & r = b $ cos 58 tg 29 . A gúla alaplapjának területe: Talap = 2
la térfogata: Vgúla =
b $ M $ sin 64
A két térfogat aránya:
6 V kup V gula
=
. A kúp térfogata: Vkúp =
2 tg2 29 $ cos2 58 $ r sin 64
1 3
2
a 2
=
. A gú-
b2 tg2 29 $ cos2 58 $ r $ M .
. Az adatokat behelyettesítve: Vkúp á
. 405, 09 m 3 .
2187. A kúp alapköre a gúla alaplapjának körülírt köre & a négyzet oldala: a = R 2 . A tengelymetszet háromszögbôl M = R 3 . Vgúla =
lap háromszögbôl m = 4R 2 -
R
2
2
=R
7 2
1 3
2
b 2 Rl R 3 = 18 3 . 31,17 cm 3 . Az oldal-
2
. Agúla = b 2 Rl + 4 $
R 2 $R$
7 2
2
=
= 2R 2 b1 + 7 l . 65,62 cm2 .
2188. Tekintsük a 2186. ábrát! a = b, r = 7 cm, M = 6 cm. A kúp alapköre a gúla alap háromszögének beírt köre. A szabályos háromszög beírt körének sugara a magasság harmada. a 3 r= & a = 14 3 cm. FOD derékszögû háromszögben: m = 85 cm . t ABD= 7 $ 255 . 6 . 111, 78 cm2 .
2189.
2189. A feladat feltétele szerint: 2rr $ M = rra Pitagorasz-tételbôl: M2 + r2 = a2. r 3 . A kettôt összevetve: M = 3
& a = 2M.
317
Egymásba írt testek 3
2190. A feltétel szerint: 2rr $ M = 3r2r & M = tétel a KOP derékszögû háromszögre: R 2 = összevetve: r =
4 5
Vhenger = r2r $ M =
R és M = 16
R2 r $
6
6 5
2
M2
2190.
r . Pitagorasz+ r 2 . A kettôt
4
II
R adódik. A henger térfogata: 96
R3 r . 25 5 125 2191. Jelölje a henger sugarát r, a gömb sugarát R. A feltétel szerint a henger magassága 2r. r 2 = Ahenger = 2r2r + 2rr $ 2r = 6r 2 r. Agömb = 4R 2 r. & . R 5 R=
Vhenger = r2r $ 2r = 2r 3 r. Vgömb =
4R 3 r 3
.
V henger V gqmb
=
2r 3 r
=
3
4R r 3
2192. Tekintsük a 2190. ábrát. A feltétel szerint: 2rr $ M = tételbôl: R 2 = r 2 +
M
2
4
& két megoldás van:
. A kettôt összevetve: 1 =
M1 =
4 + 15 2
és M 2 =
1 16M
4 - 15 2
3
2
5
5
1 2
1
$ 12 $ r & r =
+
2
. 0,3795 .
M 4
4M
2
. Pitagorasz-
& 4M 4 - 16M 2 + 1 = 0 &
.
2193. Tekintsük a gömb és a beírt kúp tengelymetszetét: { = 56,7. A gömb térfogatából a gömb sugara: R = 3
& r . 2,57
3V 4r
. 3,08 cm. Az ABC egyenlô szárú háromszögben: 2r = 2R sin 56,7 &
cm. A CFB derékszögû háromszögben: tg 28,35 = 1
r M
& M . 4,77
cm. A kúp tér-
r 2 r $ M . 33,02 cm3 . 3 2194. M = 2R. Pitagorasz-tétel a CFB3-re: a2 = R 2 + 4R 2 & a = R $ 5 . Afélgömb = 2R2 $ r. fogata: V =
Tpalást = R $ r $ a = R $ r $ R $ 5 = R 2 $ r $ 5 .
2193.
Afelgqmb Tpalast
=
2R 2 r 2
R r 5
2194.
=
2 5 5
.
318
II
Összetett térgeometriai alakzatok
2195. Tekintsük a 2194. ábrát. M = 2R. A Thalész-tétel miatt ADB = 90 & DB az ABC egyenlô szárú háromszög szárhoz tartozó magassága. Az ABC3 szára az AFC derékszögû BD & BD = háromszögbôl: AC = R 2 + 4R 2 = R 5 . Az ABC3 területe: R $ 2R = R 5 $ 2 4R 5 16R 2 = . Pitagorasz-tétel az ABD derékszögû háromszögre: AD = 4R 2 = 5 5 =
2R 5 5
& CD = AC - AD = R $
geik egyállású szögek. m =
CD
r
5-
&
2 5 3 5
$R$ 5 = $R$ 5
3 5 r
$ R $ 5 . DEC3 + ABC3, mert szö-
& r=
3
$ R. 5 R$ 5 2196. Tekintsük a 2194. ábrát. M = 2R feltételt felhasználva az AFC3-re felírt PitagoraszCA
=
R
=
R
tételben: AC = 4R 2 + R 2 = R 5 . A Thalész-tétel miatt az ADB = 90. ABD3 + ACF3, 2R = mert A-nál levô szögük közös, és mindkettô derékszögû. & m1 = AB : AC = AD : AF & R 5 AD
& AD =
2R 5
& DC = AC - AD = R
5-
2R 5
3R 5
. A gömb által le5 5 R 5 vágott kúp C középpontra vonatkozóan hasonló az eredetihez. A hasonlóság aránya: 3R 5 3 t 9 m2 = DC : AC = : R 5 = . A két kúppalást területének aránya: = m22 = & 5 5 T 25 9 9 16 & t = T . A gömb belsejében levô palástrész területe: T - t = T - T = T . A kere25 25 25 sett arány: t : (T - t) = 9 : 16 . =
=
2197. Tekintsük a 2193. ábrát! { = 45. A gömb felszínébôl a sugara: R = ABC3-bôl 2r = 2R sin 45
& r á 6, 31 cm .
& M . 15,23 cm . A kúp térfogata: Vkúp =
1000 4r
. 8,92 cm .
BFC derékszögû háromszögbôl: tg 225 =
1
r M
&
r 2 r $ M . 634,96 cm2 . 3 2198. Tekintsük a kúp és a beírt gömb tengelymetszetét! Pitagorasz-tétel az AFC derékszögû háromszögre: a2 = 3,692 + 82 & a = 8,81 dm . Az ABC3 területe:
2198.
(a + r) $ u = r $ M & (8,81 + 3,69) u = 3,69 $ 8 & u . 2,36 dm . Agömb = 4 $ u2 $ r . 70,08 dm2 .
2199. Tekintsük a 2198. ábrát. A feladat feltétele: 2
rra = 4u 2 r & ra = 6u 2 (1). A kúp magassága a Pitago3 rasz-tételt felhasználva: M = a2 - r 2 . A tengelymetszet területe: r $ M = (a + r) $ u & r $ a2 - r 2 = (a + r) $ u & a = r (r 2 + u 2 ) = 2 . a-t (1)-be helyettesítve: r - u2
319
Egymásba írt testek
r$
r (r 2 + u 2 ) 2
2
r
& 6u4 - 5r 2 u2 + r 4 = 0 & u1 =
= 6u 2
,
2200.
r -u 2 r u2 = . Két megoldás van. Az egyik esetben a gömb suga3 r r , az alkotó 3r, a másikban a sugár ra és az alkotó 2r. 2 3
II
2200. A három test közös tengelymetszete alapján: r = 2 m, a = 54. ABC egyenlôszárú háromszögben: ACB = 72; CF 2r = 2R $ sin 72 & R . 2,1 m . CFB3-ben: tg a = & r r & CF . 2,75 m . cos a = & CB . 3,4 m . Az ABC3 teCB rülete: (CB + r) $ u = CF $ r & u . 1,02 m .
2201. Tekintsük a 2193. ábrát. R = 12 cm, a = 32 cm. CFB derékszögû háromszögbôl: sin { =
r a
=
3 8
& { = 22,02 & 2{ = 44,04. ABC egyenlô szárú háromszögbôl:
2r = 2R $ sin 44,04
& R = 17,26 cm .
4R 3 r
. 21 536,47 cm3 . 21,54 dm3 . 3 2202. A 2198. ábra jelöléseivel: A kúp egyenlô oldalú & ABC3 szabályos & M 4u 3 r 4 $ 43 $ r & u = = 4 cm . Vgömb = cm3 . 268,08 cm3 . = 3 3 3 2203. A 2193. ábra jelöléseit használjuk. Feltétel: r $ r $ a = 5 $ r 2 r & a = 5 $ r . OFB Vgömb =
derékszögû háromszögben Pitagorasz-tétel: R2 = (M - R)2 + r 2 & M2 - 2MR + r 2 = 0
(1). M . CFB derékszögû háromszögben Pitagorasz-tétel: a2 = M 2 + r 2 & 5r 2 = M2 + r 2 & r = 2 2 M 8 4 1 128 = 0 & M = R . r = R. Vkúp = $ r 2 r $ M = $ R3 r . r 2 " (1)-be: M 2 - 2MR + 4 5 5 3 375 2204. Vizsgáljuk a kúp tengelymetszetét (például a 2193. ábra CFB háromszögében a = 2r). Pitagorasz-tétel a CFB derékszögû háromszögre: M 2 = 4r 2 - r 2 & M = r $ 3 . Akup 1 3r 2 r 3 = 2 = . V kup = $ r 2 r $ r $ 3 = Akúp = r 2 r + r $ r $ 2r = 3r 2 r , Agömb = 4r 2 r & Agqmb 3 4 4r r 3 =
3 3
3
r r , V gqmb=
4 3
r r& 3
V kup V gqmb
=
3 4
r3 r = 3
3 4
.
r r 3 2205. Pitagorasz-tétel a 2193. ábra CFB háromszögére: M 2 = 4r 2 - r 2
& M=r
Akúp = r 2r + rr $ 2r = 3r 2r, Agömb = 4R2r. A feltétel szerint 3r 2 r = 4R 2 r & R =
3. 3 2
r.
320
Összetett térgeometriai alakzatok 1
Vkúp =
II
r2 r $ M =
3
3 V kup V gqmb
3 3
=
1
r2 r $ r 3 =
3
r3 r = 3
2
Vkúp =
M 3 1 3
=
r 3 3
3
r3 r .
Vgömb =
4R 3 r
=
3
4 $ 3 $ 3 $ r3 r
&
3$8
3
r2 r $ r 3 =
r 3 r . Vgömb =
3
&
a = 2r. A kúp egyenlô oldalú
Akúp = r 2 r + rr $ 2r = 3r 2 r;
.
Agömb = 4u2r = 4 =
4 3 27
r3 r .
r2 3
V kup1 V gqmb
& ABC3 Akup1
r. =
2
r 3 r.
4
u3 r =
3
4 3 27
V kup
r3 r .
V gqmb
=
Agqmb 9 4
szabályos
=
9 4
&u=
Vkúp =
.
1 3
M 3
=
r 3 3
r2 r $ r 3 =
&
ABC3 szabályos r
Agömb = 4u 2 r = 4
2
9 4
Akup
r.
3
2207. 1. eset: a gömb köré írt kúp. A 2198. ábra jelöléseit használjuk A kúp egyenlô oldalú
3
=
.
3
r r 2 2206. Tekintsük a 2198. ábrát
&u=
3
=
Agqmb
9 4
.
.
& a = 2r,
M=r 3 .
Akúp1 = r2r + rr $ 2r = 3r2r;
. 3 3
r3 r .
Vgömb =
4 3
u3 r =
.
2. eset: a gömbbe írt kúp. A 2193. ábra jelöléseit használjuk & a = 2r, M = r 3 . A kúp egyenlô oldalú & ABC3 szabályos & R =
2208/I.
2M 3
=
2r 3
Agömb = 4R 2 r = = Vkúp2 =
1 3
32 3
3 16 3
. Akúp2 = r 2r + rr $ 2r = 3r2r; r 2 r. &
r2 r $ r 3 = r3 r . &
V gqmb
3 3
Agqmb Akup2
=
r 3 r. Vgömb =
16 9 4 3
.
R3 r =
8r 3
4 3
$
32
. V kup2 9 9 9 16 Akúp1 = Agömb = $ A = 4Akúp 2 . & 4 4 9 kúp2 16 & Akúp1 : Agömb : Akúp2 = = 4 : : 1 = 36 : 16 : 9 . 9 9 9 32 Vkúp1 = Vgömb = $ V = 8Vkúp2 . & 4 4 9 kúp2 32 : 1 = 72 : 32 : 9 . & Vkúp1 : Vgömb : Vkúp2 = 8 : 9 =
27
=
r=
3 3
2208. A csonkakúp palástjának területe: Tpalást =
(2b + 2c) ar
= 2 = ar (b + c). Tekintsük a gömbök és a kúp tengelymetszetét. FE = FE1 = FE2, mert külsô pontból húzott érintôszakaszok. FE
321
Egymásba írt testek a = . Pitagorasz 2 2 2 2 tétele az O1TO2 derékszögû háromszögre: a + (r1 - r2) = (r1 + r2)2 & a & a2 = 4r1r2 . Tpalást = ar $ $ 2 = a2 r = 4r1 r2 r = 160r . 502,65 cm2 . 2 2209. Tekintsük a 2198. ábrát. OEC3 + BFC3, mert C-nél levô u M-u = szögük közös és mindkettô derékszögû & m = = r a 80 100 a- r = & M = cm és a = cm. Akúp = r 2 r + rra . 33,51 dm2 . 3 3 M 1 Vkúp = r 2 r $ M = . 11,17 dm3 . 3 2210. Tekintsük a 2198. ábrát. Az ABC3 területe: r $ M = = (a + r) $ u & 72r = (a + r) $ 12 & a = 5r . Pitagorasz-tétel az FBC dea trapéz középvonalának fele, ezért FE =
b+c
2208/II.
II
rékszögû háromszögre: a2 = r 2 + M 2 & 25r 2 = r 2 + 722 & r = 6 6 és a = 30 6 . Akúp = r 2r + + rra = 1296r á 4071,5 cm2 á 40,71 dm2 . Akup
r 2 r + rra
= k & r (r + a) = 4ku 2 (*). Az Agqmb 4u 2 r r+ a u . Pitagorasz-tétel az FBC derékszögû háromABC3 területe: rM = (r + a) u & M = r (r + a)2 2 u + r 2 & a2 r 2 = (r + a)2 u 2 + r 4 . A (*) egyenletbôl r $ a = szögre: a2 = M 2 + r 2 & a2 = r2 4k $ u 2 = 4k $ u 2 - r 2 , illetve r + a = összefüggéseket a Pitagorasz-tételbe helyettesítve: r 2 4 2 4 2 2 6 8ku $ r - 16k u $ r + 16k u = 0 „r”-ben negyedfokú egyenlethez jutunk. Ennek megoldásai:
2211. Tekintsük a 2198. ábrát.
=k&
r1 = u k + k (k - 2) vagy r2 = u k - k (k - 2) , ha k $ 2 . 1
2212. Tekintsük a 2198. ábrát.
területe: rM = (r + a) u & M = 2
&
4k $ u - r
2
V kup V gqmb
r+ a r
=k& 3
r2 r $ M 4 3
=k & M=
3
u r
u . M-et (*)-ba beírva: r 2 $
r+ a r
4k $ u 3 r2
(*). Az ABC3
$ u = 4k $ u 3
&
. Pitagorasz-tétel az FBC derékszögû háromszögre: a2 = r 2 + M 2 & r J 4k $ u 2 - r 2 N2 J 4k $ u 3 N2 2 K O O . Ennek egyszerûbb alakra hozásából a = r +K &K K r2 O O r L L P P 8ku 2 $ r 4 - 16k 2 u 4 $ r 2 + 16k 2 u6 = 0 „r”-ben negyedfokú egyenlethez jutunk. Ennek megoldásai: a=
r1 = u k + k (k - 2) vagy r2 = u k - k (k - 2) , ha k $ 2 .
322
Összetett térgeometriai alakzatok
2213. A 2194. ábra jelöléseit alkalmazzuk:
II
Akup
r 2 r + rra
r 2 r + rra
1
a
. Afelgqmb 3 3r r r + 2r r 3r r 1 a 18 r 5 { r 5 = & = . sin = = & { = 11, 72 . A feltétel szerint + 3 3r 5 a 49 2 a 49 Agqmb 4 4u 2 r 4 3 = & 2 = &u= r . CFB derékszögû 2214. Tekintsük a 2198. ábrát. Talap 3 3 3 r r { { . OB felezi az FBC-et & FBO = 45 . OFB derékháromszögben FBC = 90 2 4 J {N u 3 & { = 60 . szögû háromszögben tg KK 45 - OO = = 4 r 3 L P 2215. Tekintsük a 2198. ábrát. Akup = n $ Agqmb & r 2 r + rra = n $ 4u 2 r & r 2 + ra = 4nu 2 (*). =
2
2
=
2
=
+
Az ABC3 területe: r $ M = u(r + a) & mindkét oldal r-rel való szorzása után r 2M = u $ (r 2 + ra). 1 4 A (*) összefüggést felhasználva: r 2 M = u $ 4nu 2 = 4nu 3 & r 2 r $ M = u 3r $ n & V kup = V gqmb $ n . 3 3 2216. A kúpok közös része egy kettôs csonkakúp. A két kúp síkszimmetrikus a gömb középpontján átmenô, a kúpok közös tengelyére merôleges síkra. & A közös részt alkotó két csonkakúp közös alapköre ebben a síkban van, középpontja azonos a gömb középpontjával. ACB = 90 a Thalész-tétel miatt. BT2 = AT = k $ R a feltétel miatt & AT2 = TB = 2R - kR = = (2 - k)R. Magasságtétel az ACB derékszögû háromszög TC magasságára: r = k $ R $ (2 - k) $ R = R k (2 - k) . Alkalmazzuk a párhuzamos szelôszakaszok tételét a CAB r2, r1 és r szelôire: r1 r
=
AT1 AT
=
R kR
=
1 k
& r1 = R
r2 r
=
AT2 AT
2-k k
=
(2 - k) R kR
=
2-k k
& r2 = R (2 - k)
2-k k
.
.
(k - 1) $ R $ r 2 (r1 + r1 r2 + r22 ) = A két kúp közös részének térfogata: Vközös = 2Vcsonkakúp = 2 3 (k - 1) $ R $ r J 2 2 - k 2-k 2-kN KR O= =2 + R 2 (2 - k) + R 2 (2 - k)2 K 3 k k k O L P
2216/I.
2216/II.
323
Egymásba írt testek
=
2 (k - 1) (2 - k) R 3 r 3k
(7 - 5k + k 2 ). A közös rész és a gömb V kqzqs
2217.
(k - 1) (2 - k) (7 - 5k + k 2 )
. V gqmb 2k 2217. A gömbök térfogatának aránya a sugarak arányának köbe J r N3 1 & KK OO = & 2r = R . O2E2 középvonal az O1E1C3-ben: R 8 L P CO2 = O2O1 = r + 2r = 3r & M = FO1 + O1O2 + O2C = = 2r + 3r + 3r = 8r. CO2 E 23 + CFB3, mert mindkettô derékszögû r 3r & a = 3u . Pitagoraszés C-nél levô szögük közös. m = = u a tétel az FBC derékszögû háromszögre: 9u2 = u2 + (8r)2 & u = 2 2r & a = 6 2r . 1 2 64 3 u r$M= r r. Akúp = u2r + ura = 32r 2 r . Vkúp = 3 3 2218. A 2198. ábra jelölései szerint: rra = 3r 2r & a = 3r . Az ABC3 területe: r $ M = (a + r) $ u.
térfogatának hányadosa:
=
A feltételt felhasználva: M = 4u .
2219. A két darabot szétszedve és az egyiket a tengelye körül 180-kal elforgatva összeilleszthetôk úgy, hogy együtt egyenes hengert alkossanak. Ennek a hengernek a térfogata megegyezik a könyökcsô térfogatával. A henger alapkörének sugara r, magassága a + b. A keresett térfogat: V = r 2 r $ (a + b) .
2220. 1. fôkörmetszet: 2220/I. ábra. OO1 = OO2 = R - u;
2220/I.
O1O2 = 2u; O1OO2 = 45. a u R sin 22,5 &u= = . A sin sin 22,5 = 2 R-u 1 + sin 22,5
=
1 - cos a 2- 2
=
összefüggést felhasználva sin 22,5 =
2
2
& u=
2
1-
2 2
=
R 2- 2 . 2+ 2- 2
Az 1. fôkörmetszetre merôleges a 2. fôkörmetszet: 2220/II. ábra. KO = R - r; KO1 = r + u; OO1 = R - u. Pitagorasz-tétel az O1OK deR(R-u) rékszögû háromszögre: (u + r)2 = (R - u)2 + (R - r)2 & r = . R +u A korábban u-ra kapott összefüggést felhasználva: R - u = =
2R 2+ 2- 2
2R e1 + 2 - 2 o és R + u =
. 2+ 2- 2
2220/II.
II
324
Összetett térgeometriai alakzatok Ezeket felhasználva a megfelelô algebrai átalakítások után:
2221.
r = R e1 + 2 - 4 - 2 2 - 2 - 2 o . 0,57R .
II
& r=
2221. Bontsuk fel a tetraédert a beírt gömb középpontjából a csúcsokhoz vezetô szakaszokkal négy tetraéderre. Ezeknek a tetraédereknek egy-egy lapja közös az eredeti tetraéderrel, A$r & magasságuk pedig a beírt gömb sugara, r. & V = 3
3V
. Pitagorasz-tétel az ASB derékszögû háromszögre: x = a2 - b2 . Pitagorasz-tétel A az ASC derékszögû háromszögre: AC = y = x 2 = 2 (a2 - b2 ). ACB egyenlô szárú háromszögben BF magasság felezi az AC alapot. Pitagorasz-tétel a BFC y2 . y-t behelyettesítve és a megfelelô átalakításokat derékszögû háromszögre: a2 = m2 + 4 a2 + b 2 1 x2 1 b . A tetraéder térfogata: V = $ $ b = $ $ (a2 - b2 ). A tetraelvégezve: m = 2 3 2 3 2 xb
x2
y$ m
2 (a2 - b2 )
a2 - b 2
a2 + b 2
2 . + 2 2 2 2 2 A beírható gömb sugara a felszín és a térfogat összefüggés felhasználásával a megfelelô algebA=2$
éder felszíne:
rai átalakítások után: r =
+
3V A
+
= b a2 - b 2 +
b $ a2 - b 2
=
.
2b + a2 - b2 + a2 + b2
2222. A kocka köré írható gömb középpontja a testátlók metszéspontja, sugara a testátló fele: R = a
3 2
. A kocka élfelezéspontjain átmenô gömb középpontja a testátlók met2
széspontja, sugara a lapátló fele: r = a metszéspontja, sugara az él fele: u =
2223.
2
a 2
;
. A kocka beírt gömbjének középpontja a testátlók R : r : u=
2223. a $ b = OS =
1 2
a2 3 4
a 3 2
:
&b=
a 2 2 a 3 4
:
a 2
.
= 3 :
2 : 1.
A szimmetria miatt
b, ahol S az AlBlCl háromszög középpontja. AlBlCl
szabályos háromszögben
AlT =
a 3 2
;
AlS =
2 3
AlT =
a 3 2 a 3 . AlSO derékszögû háromszögben AlO = R; $ = 3 3 2 a 3 a 3 1 a 3 ; OS = $ . Pitagorasz-tétel az = AlS = 3 8 2 4 =
325
Egymásba írt testek N2 O 2 AlSO derékszögû háromszögben: OO = R & P 2 3a2 3a2 73 a 73 a & + = R2 & R2 = . A gqmb sugara R = = 64 9 192 8 3 J Ka 3 KK 8 L
=
219 a 24
N2 J O Ka 3 OO + KK 3 P L
2224/I.
.
2224. V = Vgömb - 6Vgömbsüveg ; A = Agömb - 6Pgömbsüveg + 6Tkör . Tekintsük az átlós metszetet! a 2 a a a 2224/II. R= ( 2 - 1). és r = és m = R - = 2 2 2 2 4R 3 r a3 r 2 = Vgömb = és 3 3 r 2 a3 r (4 2 - 5) m (3R - m) = . Vgömbsüveg = 3 24 3 3 3 a r (4 2 - 5) a r (15 - 8 2 ) a r 2 . Vdobokocka= -6 $ = 24 12 3 a2 r Agömb = 4R2r = 2a2r és Tkör = r2r = és 4 a2 r (2 - 2 ) . Pgömbsüveg = 2rRm = 2 2 a r (2 - 2 ) a2 r a2 r (6 2 - 5) Adobokocka= 2a2 r - 6 $ . +6$ = 4 2 2 3V ; az oldallap területe 2225. A V térfogatú A felszínû gúlába írt gömb sugara r = A J N2 K O a K O a a $ M2 + K a$ r O r KK 2 tg OO 2 2 tg n P 1 1 L n $ M = nMa T0 = , Vgúla = Ta $ M = n és 2 r 3 3 2 12 tg n 2 a a a$ M2 + J N a$ r K a + 4 tg2 r $ M 2 + a2 O r 2 na 4 tg 2 tg K O n n n +n$ P; = L Agúla = Ta + n $ T0 = n $ r 2 2 4 tg n 3V gula M$a = r= . Agula r 2 2 2 +a a + 4M tg n
II
326
Összetett térgeometriai alakzatok
2227/I.
2227/II.
II
a2 3
& a = 5 cm = R . & Agqmb . 314 cm2 és Vgqmb . 523, 6 cm3 . 4 2227. A középpontok egy 2r oldalú kocka csúcsai & AC = 2r 2 . Tekintsük az átlós síkmet1 szetet! ETO derékszögû háromszögben ET = r; OT = AC = r 2 ; OE = R - r . Pitago2 rasz-tétel az ETO derékszögû háromszögre: r 2 + (r 2 )2 = (R - r)2 & 2r 2 + 2Rr - R 2 = 0 & 2226. Aoktaéder = 8 $
& r1, 2 = r=
- 2R ! 2 3 R
3 -1 2
4
.
A másodfokú egyenlet pozitív megoldása a gömb sugara
R.
2228. Legyen a külsô kocka éle a, a belsô kocka éle b, a gömb sugara R. Tekintsük a négy él 2 J b N2 J b 2 N K O = R2 & felezôpontjára illeszkedô síkmetszetet és az átlós síkmetszetet: a = 2R; KK OO + K 2 K 2 OO L P L P 2 3 2 3 d &b= R . A feladat adatai szerint a - b = d & 2R R =d &R= J = N 3 3 3O K 2 K1 3 OO K L P 3 + 3 b l 3+ 3 3+ 3 2 3 3 +1 = d; a = d; b = $ d= d. 4 2 3 4 2
2228/I.
2228/II.
