BAB II TEORI DASAR
Pada bab ini akan dibahas mengenai teori dasar penjalaran gelombang seismik dimana penjalarannya dibatasi oleh medium yang di lewatinya. Penjelasan mengenai teori akan dimulai dengan hukum Hooke kemudian dilanjutkan dengan persamaan gerakan yang merupakan persamaan fundamental dalam metoda seismik.
II.1 Hukum Hooke’s
Pada dasarnya penjalaran gelombang diakibatkan dari pergerakan partikel medium yang dipicu oleh energi yang di lepaskan oleh sumber. Pergerakan partikel tersebut saling berhubungan dengan partikel di sekitarnya sehingga mengakibatkan adanya suatu penjalaran. Pada kondisi ini berlaku suatu hubungan antara tekanan (stress) dan regangan (strain) yang dialami medium tesebut. Penjalaran gelombang seismik mengasumsikan bahwa material bumi bersifat elastis pada tingkat tertentu. Oleh karena itu tingkat keelastisan suatu material menentukan bagaimana perilaku pergerakan gelombang tesebut. Ketika suatu material dikenai suatu stress atau tekanan maka suatu medium tersebut meresponnya berupa strain atau regangan (perubahan dalam bentuk volume atau bentuk). Bila mediumnya berupa medium elastik maka setelah stress tersebut dihilangkan volum dan bentuk medium tersebut kembali lagi ke kondisi awal.
Hubungan antara stress dan strain tadi diformulasikan dalam hukum Hooke. Hukum Hooke bekerja dengan asumsi deformasi yang terjadi sangat kecil dengan medium linier anisotropik elastik. Persamaan tersebut adalah sbb :
σ ij = C ijkl ε kl
i,j,kl = 1,2,3
(2.1)
dimana σ ij adalah komponen tensor stress ε kl adalah komponen tensor strain. Cijkl dinamakan tensor stiffness, tensor elastik, atau konstanta penghubung antara stress dan strain. Tensor Cijkl mengandung konstanta elastik dan menjelaskan sifat material dari suatu medium.
5
II.2 Hubungan Empirik antara Strain dan Displacement Hubungan antara strain ( ε ) dan displacement (u) adalah sbb :
1⎛ ∂
∂
⎞
uk + ul ⎟ ε kl = ⎜⎜ ∂χ k ⎟⎠ 2 ⎝ ∂χ1
(2.2)
Tensor Cijkl pada dasarnya memiliki tensor orde empat dan memiliki 81 komponen. Karena stress dan strain memiliki tensor yang simetrik ( σ ij = σ ji maka Cijk = Cjikl dan
ε kl = ε lk , maka Cijkl= Cijlk) dan berkaitan dengan tinjauan termodinamik, jumlah komponen tensor elastik yang bebas berkurang menjadi 21. Material yang memiliki tensor elastik seperti ini dinamakan triklinik. Material elastik isotropik merupakan jenis material yang hanya memiliki 2 parameter bebas saja. Komponen tensor elastik ditunjukkan oleh parameter elastik yaitu λ dan
μ (yang dikenal dengan parameter lame). Parameter μ (mu) bila seara fisik dapat kita artikan sebagai kemampuan suatu material untuk menahan gaya secara lateral atau dari arah samping, semakin kecil nilai μ tersebut berarti semakin lemah kemampuan menahan gaya tersebut. Sepeti untuk kasus air nilainya = 0, sedangkan λ tidak memiliki arti secara fisik tetapi merupakan konstanta dalam persamaan antara modulus bulk (K) dan μ . Stiffness Tensor Cijkl untuk medium elastik isotropik adalah : C ijkl = λδ ij δ kl + μ (δ ik δ jl + δ il δ jk )
(2.3)
ε ij adalah tensor strain, σ ji adalah tensor stress, ε ll adalah volumetrik strain (dijumlahkan berkali-kali) dan δ ij adalah simbol Kronecker yang bernilai 0 bila i ≠ j dan bernilai 1 bila i = j, Hukum Hooke untuk material isotropik, liniear elastik adalah :
σ ij = λδ ij ε ll + 2 με ij
(2.4)
6
II.3 Persamaan Gerakan Persamaan matematis yang digunakan untuk menggambarkan pergerakan partikel ini berasal dari persamaan elastodinamik yaitu sbb :
ρ
∂ 2 u x ∂σ xx ∂σ xz = + + fx ∂x ∂z ∂ 2t 2
ρ
∂ 2 u z ∂σ xz ∂σ zz = + + fx ∂x ∂z ∂ 2t 2
σ xx = (λ + 2μ )
∂u x ∂u +λ z ∂x ∂z
σ zz = (λ + 2μ )
∂u z ∂u +λ z ∂z ∂x
(2.5)
⎛ ∂u x ∂u z ⎞ + ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z
σ xz = μ ⎜
Pada persamaan ini
(u x , u z )
merupakan vektor perpindahan dan (σ xx , σ zz , σ xz )
merupakan tensor stress, ρ ( x, z ) merupakan densitas, dan λ (x, z ) dan μ ( x, z ) merpakan konstanta lame. Sistem tersebut di transformasikan kedalam system hiperbolik orde pertama : ∂v x σ ⎞ ⎛σ = b⎜ xx + xz ⎟ ∂t ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂v z ∂σ zz ⎞ ⎛ ∂σ = b⎜ xz + ⎟ ∂t ∂z ⎠ ⎝ ∂x
∂σ xx ∂v ∂v = (λ + 2μ ) x + λ z ∂t ∂x ∂z ∂σ zz ∂u ∂u = (λ + 2μ ) z + λ z ∂t ∂z ∂x
(2.6)
∂σ xz ∂v ⎞ ⎛ ∂v = μ⎜ x + z ⎟ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂z Pada persamaan ini
(v x , v z )
merupakan vektor kecepatan. b(x, z ) merupakan
buoyancy atau kebalikan dari densitas.
7
II.4 Percobaan Awal Model Dua Lapis Pada sub bab ini akan dilakukan uji coba tehadap perangkat lunak yang digunakan yaitu “Aku2D” dan “Ela2D” dengan menggunakan model lapisan yang sederhana yaitu contoh 2 lapis. Aku2d sendiri dirilis oleh Dr. Joachim Falk pada bulan September tahun 1996, sedangkan Ela2d dirilis oleh pada bulan November tahun 1997. Aku2d pada dasarnya menghitung perambatan gelombang dengan memecahkan persamaan gelombang menggunakan teknik beda hingga (finite difference). Aku2d memerlukan input berupa model kecepatan yaitu gelombang P, dimensi media, jenis sumber dan wavelet, letak sumber dan receiver. Sedangkan hasil keluarannya berupa rekaman seismiknya atau seismogram dan snapshot perambatan gelombang per waktu rambatan tertentu. Perbedaan antara perangkat lunak “Aku2D” dan “ELa2D” adalah pada asumsi kondisi medium yang digunakan. Untuk “Aku2D” kondisi medianya adalah akustik sehingga input model kecepatan yang digunakan adalah gelombang P saja. “Ela2D” mengambil asumsi bahwa medianya bersifat elastik sehingga dibutuhkan juga input kecepatan gelombang S dan model densitasnya. Hasil yang didapatkan dari pemodelan akustik dan elastik adalah sintetik seismogram dan snapshot penjalaran gelombang. Pemodelan yang dilakukan pada program “Ela2d” mebutuhkan file input berupa model kecepatan lapisan dan densitas. Kecepatan lapisan tersebut terdiri dari kecepatan gelombang P dan gelombang S dimana hubungan keduanya memakai asumsi medium kondisi “poisson’s solid”. Hubungan kecepatan gelombang P dan S pada kondisi tersebut diformulasikan dalam persamaan 2.8 berikut ini : Vs =
1 3
Vp
(2.8)
Ketika kita akan melakukan pemodelan gelombang ada beberapa syarat-syarat yang harus diperhatikan yaitu : •
Stabilitas dan kriteria dispersi
Ketika melakukan
simulasi dengan solusi numerik
dari persamaan gelombang
elastik, maka stabilitas dan kriteria dispersi numerik haruslah dipenuhi untuk mendapatkan hasil model yang baik. Kriteria stabilitas dibutuhkan agar simulasi yang dilakukan stabil. Artinya bila ada pertambahan nilai input awal pada program sedikit
8
saja maka hasil akhirnya berbeda sedikit juga. Kriteria berkaitan dengan diskritisasi waktu atau sampling rate yang berlaku sbb (Falk,1996) : G dtmax = vmax
⎛ 2.462 2.462 ⎞ *⎜ + ⎟ 2 dz 2 ⎠ ⎝ dx
−0.5
(2.9)
v max adalah kecepatan maksimum, dan G = 2.0 untuk time stepping orde 2 G = 3.46 untuk time stepping orde 4 dx = jarak antar grid di dalam sumbu x dy = jarak antar grid di dalam sumbu y
•
Kriteria Dispersi Numerik
Dispersi numerik adalah kriteria selanjutnya yang harus ditentukan sebelum menjalankan suatu program simulasi. Dispersi menyebabkan komponen frekuensi yang berbeda menjalar pada kecepatan yang berbeda melalui grid. Hal ini berhubungan dengan berapa batas frekuensi (fmaks) yang digunakan dalam simulasi penjalaran gelombang elastik. Jika kriteria dispersi tidak dipenuhi, dispersi numerik dapat muncul. Secara empiris dispersi dapat dibatasi dengan mengkontrol nilai frekuensi maksimal dimana hubungannya secara empiris adalah sbb (Levander,1988):
f maks ≤
v min , g.d x
(2.10)
dimana vmin adalah nilai kecepatan minimum (gelombang S) dalam model, dx adalah jarak spasi antar grid, g adalah konstanta yang menunjukkan jumlah titik dalam wavelength yang akan dikomputasikan. Nilai konstanta g yang digunakan pada perangkat lunak “Ela2D” dan ”Aku2D” sebesar 5. •
Penentuan Sumber
Sesaat sebelum sumber gelombang seismic diaktifkan (pada t=0), nilai pergerakan dan kecepatan dari partikel-partikel dalam medium bernilai nol, pada saat sumber seismik di aktifkan sumber tersebut melepaskan stress ke semua arah sehingga mengakibatkan partikel-partikel medium bergerak dan menimbulkan gelombang. Sumber dapat kita tulis sebagai momen tensor densitas mik yang merupakan tensor yang simetrik dan memiliki satuan N/m2. Pada kasus suatu sesar dengan arah slip vi dan sesar normal nk, densitas momen tensornya adalah mik = μ (ni v k + nk vi ),
(2.11)
9
Dimana μ merupakan modulus shear. Bila momemt tensor dikalikan dengan sumber dengan area A dan sejumlah slip D , maka didapat: M ik = μA D(ni v k + n k vi )
(2.12)
Momen seismik dapat didefinisikan sebagai M O = μA D,
(2.13)
Maka momen tensor dapat ditulis sebagai M ik = M O (ni v k + n k vi ),
(2.14)
Tipe sumber yang di pakai dalam pemodelan gelombang ini adalah tipe sumber eksplosif dimana sumber tipe ini hanya menghasilkan satu jenis sumber yaitu gelombang kompresi (P), tanpa adanya gelombang shear (S). Momen tensor densitas dari sumber tipe ini secara matrik dapat di tuliskan sebagai berikut ⎛ σ (t ) 0 ⎞ ⎟⎟ mik = ⎜⎜ ⎝ 0 σ (t )⎠
(2.15)
Karakteristik sumber secara visual dapat dilihat pada Gambar 2.1 Sumber yang digunakan adalah tipe eksplosif. Sumber tipe eksplosif hanya menghasilkan gelombang P saja. Selain itu, sumber tipe ini memiliki dua buah sumber stress utama yaitu arah horizontal dan vertikal. Dari Gambar 2.1 terdapat perbedaan hasil snapshot untuk medium elastik dan akustik. Snapshot pada gelombang elastik memiliki dua jenis snapshot yaitu snapshot pada arah horizontal (X) dan arah vertikal (Z). Arah ini menunjukkan pergerakan partikel di dalam medium. Jadi diibaratkan setiap titik pada medium tersebut terdapat ”geophone” yang dapat mendeteksi arah pergerakan partikel secara vertikal (Z) dan horizontal (X). Pada snapshot vertikal (Z) nilai pergerakan partikel tersebut akan maksimum pada azimuth 0º dan 180° sesuai yang ditunjukkan pada hodogram gelombang P. Pada snapshot horizontal (X) nilai arah pergerakan partikel akan maksumum pada azimuth 90º dan 270 ° sesuai dengan hodogram gelombang P nya. Pada pemodelan akustik tampilan snapshot penjalaran gelombang
ditunjukkan dalam arah radial dimana arah tersebut merupakan
transformasi koordinat dari komponen X dan Z. Hubungan arah komponen radial (R) dengan komponen X dan Z ditunjukkan lewat persamaan 2.16 R = x sin θ + y cos θ
(2.16)
θ menunjukkan sudut yang dibentuk antara garis yang menghubungkan titik geophone dan titik sumber pengamatan, dengan sumbu horizontal (X) 10
Tipe Sumber Sumber eksplosif
Simbol Stress
Snapshot pada medium elastik isotropik ( Vp=3000 m/s,
Snapshot pada medium akustik
Vs=1700 m/s rho=2700 kg/m3 )
isotropik ( Vp = 3000 m/s )
τxx + τzz
Snapshot
Snapshot
Snapshot
Komponen Horizontal (X)
Komponen Vertikal (Z)
Komponen Radial (R)
Hodogram
Hodogram
Hodogram
Hodogram
Hodogram
Hodogram
Gel P
Gel S
Gel P
Gel S
Gel P
Gel S
Gambar 2.1: Diagram yang menunjukkan karakter sumber eksplosif beserta snapshot penjalaran gelombang pada medium akustik dan elastik
11
II.4.1 Persiapan Pembuatan Model Dua Lapis Akustik dan Elastik Isotropik
Pada dasarnya untuk membuat suatu simulasi gelombang maka dibutuhkan tiga jenis file input, baik itu untuk program ”Ela2d” maupun ”Aku2D”. Input yang pertama yang dibutuhkan untuk melakukan pemodelan gelombang ini adalah model kecepatan lapisan. Model kecepatan lapisan tersebut haruslah berupa file biner hasil eksekusi suatu program. Pada dasarnya file biner tersebut berisi dikrtitisasi suatu medium. Medium tersebut dibagi-bagi kedalam jumlah grid tertentu sehingga medium tersebut terdiri dari suatu bagian-bagian kecil. Dalam bagian kecil tersebut terdiri dari nilai – nilai parameter kecepatan lapisan. Pada program ”Ela2D” parameter lapisan yang dibutuhkan berupa kecepatan gelombang P, gelombang S, dan densitas. Pada program ”Aku2D” parameter yang dibutuhkan adalah gelombang P saja. Untuk membuat matriks model kecepatan tersebut bisa dilakukan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan bahasa pemograman misalnya Fortran ataupun dengan bantuan program lain semisal program ”Seismic Unix”. Visualisasi model kecepatan lapisan dapat di lihat dengan menginputkan file biner lapisan kecepatan model tersebut menggunakan program ”suximage” didalam Seismic Unix seperti pada Gambar 2.2 dan 2.3.
Gambar 2.2: Model dua lapis pada medium akustik istropik
Gambar 2.3: Model dua lapis pada medium elastik isotropik 12
File
input
lain
yang
dibutuhkan
untuk
menjalankan
program
”Ela2d”
maupun ”Aku2D” adalah file bernama ”grid.param”. File tersebut berisi informasi mengenai jumlah grid baik untuk sumbu X dan sumbu Z. Selain jumlah grid terdapat juga informasi mengenai lebar antar grid. File ini terdapat satu paket dengan program ”Ela2d” dan ”Aku2d”. File yang terakhir adalah file yang berisikan informasi mengenai parameter simulasi gelombang. Pada program ”Ela2d” file ini bernama ”ela2d.in”
sedangkan pada ”Aku2d” bernama ”aku2d.in”. File tersebut
berisi nilai sampling waktu, frekuensi yang digunakan, tipe wavelet, tipe sumber, dan lokasi titik sumber dan geophone. Hal penting yang harus diperhatikan didalam file input tersebut adalah menentukan nilai dt atau sampling waktu dan frekuensi. Nilai time step haruslah memenuhi persamaan 2.9 di atas. Sedangkan untuk menentukan frekuensi haruslah sesuai dengan persamaan 2.10 di atas. Parameter simulasi penjalaran gelombang pada model dua lapisan ini menggunakan nilai sampling waktu 0.001 s dan frekuensi 25 Hz. Nilai kecepatan lapisan dapat dilihat pada Gambar 2.2 dan 2.3.
II.4.2 Hasil Keluaran Percobaan Awal Model Dua Lapis
Setelah program “Aku2d” atau “Ela2d” dijalankan maka dihasilkan tiga jenis file output. File tersebut berisi snapshot simulasi penjalaran gelombang, sintetik seismogram, dan wavelet yang digunakan. Snapshot tersebut merupakan solusi dari persamaan elastodinamik yang tidak konstan dari waku ke waktu. Sedangkan sintetik seismogram merupakan produk samping (by product) dari solusi persamaan elastodinamik tersebut. Dari snaphshot tersebut maka kita dapat melihat penjalaran gelombang dalam model yang kita buat serta even–even gelombang yang muncul.
Gambar 2.4: Tipe wavelet pada model dua lapis medium akustik dan elastik isotropik
13
Gambar 2.5: Spektrum sumber model dua lapis
Tipe wavelet yang digunakan dalam simulasi penjalaran gelombang adalah wavelet Ricker karena cukup jelas memberikan even-even gelombang baik pada snapshot maupun sintetik seismogram. Salah satu hasil output dari program ”Ela2d” dan”Aku2d” adalah ”wavelet.H”. File tersebut merupakan jenis file biner yang berisi informasi wavelet. Untuk melihat gambar wavelet yang digunakan dalam simulasi penjalaran gelombang maupun sintetik seismogram, maka kita dapat menginputkan file tersebut kedalam program ”suxwigb” dalam Seimic Unix. Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 2.4. Gambar 2.5 merupakan spektrum sumber yang digunakan pada simulasi gelombang model dua lapisan. Spektrum sumber tersebut merupakan hasil transformasi Fourier dari wavelet. Transformasi Fourier dilakukan untuk melihat spektrum sumber apakah sesuai dengan input frekuensi sumber yang dimasukkan. Dari hasil spektrum sumber dapat diketahui bahwa frekuensi tengah atau dominan yang dipakai pada percobaan kali ini berada pada kisaran 25 Hz. Hal ini sesuai dengan syarat batas pada persamaan 2.10 dan sesuai dengan nilai yang dimasukkan pada parameter akusisi. Nilai sampling interval adalah 0.001 s sesuai dengan syarat batas yang ditentukan pada pers 2.9.
Posisi sumber yang digunakan pada simulasi gelombang model dua lapisan ini berada pada koordinat X=1000 m dan Z= 200 m sedangkan geophone yang digunakan dalam simulasi penjalaran gelombang ini berjumlah 100 buah dengan jarak antar geophone berkisar sekitar 50 m. Posisi sumber geophone berada pada kedalaman 50 m dengan posisi geophone yang terdekat berada pada jarak 20 m pada sumbu X. Dari simulasi penjalaran gelombang model dua lapis medium akustik isotropik didapat snapshot gelombang komponen radialnya seperti terlihat pada Gambar 2.6 a dan 2.6 b. 14
Sedangkan untuk medium elastik terdapat snapshot komponen vertikal (Z) seperti pa da Gambar 2.6 c dan 2.6 d. Selain itu juga terdapat snapshot komponen horizontal (X) seperti pada Gambar 2.6 e dan 2.6 f. •
a.
•
c
•
e
Snapshot Akustik Model Dua Lapis
b.
Snapshot Elastik Model Dua Lapis arah Z
d
Snapshot Elastik Model Dua Lapis arah X
f
Gambar 2.6: Snapshot penjalaran gelombang model dua lapis medium akustik dan elastik isotropik (a) medium akustik t=0.25, (b) medium akustik t=0.5 s, (c) medium elastik Z t=0.25 s, (d) medium elastik Z t=0.5 s, (e) medium elastik X t=0.25 s, (f) medium elastik X t=0.5 s
Dari snapshot penjalaran gelombang medium akustik pada t = 0.25 s (Gambar 2.6 a) terjadi gelombang refleksi P (ditunjukkan dengan huruf B) yang diakibatkan adanya batas lapisan 1 dan 2 selain itu juga terdapat gelombang transmisi P (ditunjukkan oleh C) yang di teruskan ke lapisan 2. Perbedaan antara snapshot gelombang pada medium akustik dengan elastik dapat dilihat pada snapshot elastik Z pada t = 0.25 s (Gambar 2.6 c) dimana selain terdapat gelombang refleksi P (ditunjukkan oleh B) juga terdapat gelombang konversi refleksi S (ditunjukkan oleh J). Begitu juga dengan gelombang transmisi, dapat dilihat terdapat gelombang transmisi konversi S (ditunjukkan oleh K) 15
walaupun kurang terlihat karena pada snapshot elastik Z karena hanya menekankan pada pergerakan partikel arah vertikal saja. Pada snapshot medium elastik X (Gambar 2.6 e)
dapat dilihat bahwa gelombang refleksi konversi S maupun gelombang
transmisi konversi S dapat terlihat secara jelas. Selain dari even gelombanggelombang yang di sebut di atas, terdapat juga gelombang lain yaitu gelombang refleksi dari permukaan (ditunjukkan oleh D) baik pada snapshot akustik maupun elastik. Hal ini diakibatkan dari peletakan sumber pada kedalaman 200 m sehingga mengakibatkan pantulan dari permukaan. Even gelombang artefak juga muncul pada snapshot penjalatan gelombang. Even gelombang artefak adalah even yang tidak diharapkan muncul karena tidak berhubungan dengan model geologi yang dibuat misalnya saja gelombang pantulan dari batas samping model. Pada snapshot akustik (Gambar 2.6 b) ditunjukkan dengan huruf G dan H. Sedangkan pada snapshot elastik ditunjukkan dengan huruf R.
(a)
(b)
(c) Gambar 2.7: Sintetik seismogram (a) model akustik (b) model elastik arah Z (c) model elastik arah X
16
Dari hasil sintetik seismogram dapat kita lihat bahwa pada sintetik seismogram model akustik (Gambar 2.7 a) tidak terdapat gelombang refleksi konversi S sedangkan pada sintetik seismogram model elastik Z (Gambar 2.7 b) dapat di lihat adanya gelombang refleksi konversi S secara jelas. Begitu juga pada model elastik X gelombang P dan refleksi konversi S dapat terlihat secara jelas. Selain dari even even gelombang di atas terdapat juga even gelombang artefak yang merupakan pantulan dari batas model. Gelombang artefak tersebut merupakan gelombang yang tidak diharapkan dalam simulasi penjalaran gelombang. Pada sintetik seismogram Gambar 2.7 a dan 2.7 b dapat dilihat adanya even gelombang artefak dari batas samping model.
17
