Limity Množinu O( x0 ) = {x ∈ R : x − x0 < ε }, kde ε ∈ (0, ∞ ) , budeme nazývat okolím bodu (čísla) x0 .
Okolím bodu x0 je tedy otevřený interval ( x0 − ε , x0 + ε ) .
Bod x0 ∈ R je vnitřním bodem množiny M ⊂ R , jestliže existuje okolí O ( x0 ) tak, že platí O ( x0 ) ⊂ M .
Bod a ∈ R nazveme hromadným bodem množiny M ⊂ R , jestliže ∀O(a ) : (O(a ) ∩ M ) − {a} ≠ ∅ . - Tj. máme „více bodů množiny M těsně vedle sebe – vedle bodu a“. - Množinu všech hromadných bodů množiny M označíme M´. - Hromadný bod množiny M nemusí patřit do M (např. krajní body otevřeného intervalu). Bod b ∈ M a zároveň b ∉ M ′ se nazývá izolovaným bodem množiny M (např. M = {1,2,3}). Říkáme, že funkce f ( x ) má v hromadném bodě x0 ∈ D ′( f ) limitu a, jestliže
∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − a < ε
Píšeme lim f (x ) = a .
∀x ∈ D( f ) .
x → x0
Funkce f ( x ) má v bodě x0 nejvýše jednu limitu (tj. jednu nebo žádnou).
′ Nechť x0 ∈ (D( f ) ∩ D( g )) •
a
lim [ f ( x ) ± g ( x )] = a ± b
lim f ( x ) = a,
x → x0
x → x0
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = a ⋅ b
• • •
lim [c ⋅ f ( x )] = c ⋅ lim f ( x ) = c ⋅ a
x → x0
lim g ( x ) = b . Pak platí:
x → x0
x → x0
x → x0
lim
x → x0
f (x ) a = g (x ) b
pro b ≠ 0
Říkáme, že funkce f ( x ) má v bodě x0 ∈ D ′( f ) limitu zprava, píšeme lim+ f ( x ) = a , jestliže má funkce x → x0
f ( x ) na množině ( x0 , ∞ ) ∩ D( f ) limitu a. Říkáme, že funkce f ( x ) má v bodě x0 ∈ D ′( f ) limitu zleva, píšeme lim− f ( x ) = b , jestliže má funkce x → x0
f ( x ) na množině (− ∞, x0 ) ∩ D( f ) limitu b. lim f ( x ) = a ⇔ lim+ f ( x ) = a ∧ x → x0
Platí:
x → x0
Druhy limit: vlastní limita ve vlastním bodě:
lim f ( x ) = a
x → x0−
lim f (x ) = a
x → x0
lim f ( x ) = a ,
vlastní limita v nevlastním bodě:
lim f ( x ) = a
x→∞
x → −∞
x → x0
x → x0
x→∞
x→∞
lim f (x ) = ∞ ,
nevlastní limita ve vlastním bodě:
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = ∞ ,
nevlastní limita v nevlastním bodě:
lim f ( x ) = −∞ ,
Některé základní i odvozené vzorce pro výpočet limit: x sin kx sin x lim lim =1 lim =1 =k x →0 x → 0 sin x x →0 x x
lim f ( x ) = ∞ ,
x → −∞
sin k ( x − a ) =k x→a (x − a )
lim
tg k ( x − a ) =k x→a ( x − a )
lim
tg x =1 x →0 x
lim
x =1 x →0 tg x
lim
tg kx =k x →0 x
lim
a x −1 lim = ln a x →0 x
ex −1 lim =1 x →0 x
ln ( x + 1) lim =1 x →0 x
k lim 1 + x →∞ x+a
lim(1 + x ) x = e
lim(1 + kx ) x = e k
x
x
1 lim1 + = e x →∞ x
k lim1 + = e k x→∞ x
1
x →0
A) DOSAZENÍ Příklad:
(
)
lim 2 x 2 − 5 x + 1 = x→2
B) ZKRÁCENÍ Příklad:
4x 2 − 5x − 6 = x→2 x 4 − 16
lim
lim
x →číslo
polynom 0 = polynom 0
1
x →0
x+a
= ek
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
C) VYTÝKÁNÍ x n
lim
x →∞
polynom polynom
Příklady:
lim
x 2 + 3x − 1 = 4x 2 − x + 1
lim
3x + 1 = x2 +1
x →∞
x →∞
6 x6 ⋅ 2 − 3 2x − 6x x = lim lim = 5 4 x →∞ 3 x + 10 x x →∞ 10 6 3 x ⋅ + 2 x x 6
3
5 1 x4 ⋅ − 3 + 3 − 4 − 3x + 5 x − 1 x x lim = lim = 2 x →∞ x →∞ 1 2x + 1 4 2 x ⋅ 2 + 4 x x 4
lim
x →∞
3x x 2 +2
=
D) ROZŠIŘOVÁNÍ (pokud je v limitě rozdíl dvou členů, z nich alespoň jeden je odmocnina, typu ∞ − ∞ , popř.
Příklady: lim
x →∞
lim
x →6
(
)
x+2− x =
x−6 x+3 −3
=
0 ) 0
lim
x →1 3
x −1
0 0
=
x −1
= lim
x →1 3
x −1 x −1
⋅
x +1 x +1
⋅
3
x2 + 3 x +1
3
x + 3 x +1 2
= lim
x →1
(
(x − 1) ⋅ 3 x 2 (x − 1) ⋅ (
)=
+ 3 x +1
)
x +1
E) vzorce z posledního řádku Příklady: x
x +3 lim = x →∞ x + 2
x −1 = lim x ⋅ [ ln ( x − 1) − ln ( x + 1) ] = lim x ⋅ ln x →∞ x →∞ x +1
x
x
x −1 x −1 lim ln = ln lim = x →∞ x →∞ x + 1 x +1
x
x x x 1 1 1 5 x − 2 x x− x+2−2− 2 2x − 1 2 2 2 = = lim = lim = lim 1 − lim = lim x →∞ 2 x + 4 x →∞ x →∞ x + 2 x →∞ x →∞ 2( x + 2 ) x+2 x + 2
5 = lim 1 − 2 x →∞ x+ 2
1− x x
lim (1 − 4 x )
x →∞
=
x+2
5 1 − 2 x+ 2
−2
= e
−
5 2
⋅1 =
1 e5
(tj. vzorce z prvních dvou řádků)
F) vzorce pro f-ce sin a tg Příklady: lim
sin 3 x = 2x
lim
sin 2 x = tg 3 x
lim
3 x − sin x = x + 5 sin 2 x
x →0
x →0
x →0
2
x sin x 2 3− sin 2 2 3 x x x 2 − 3 x 2 − sin 2 2 2 = x x 2 lim = lim = lim 2 2 2 2 2 x →0 tg 2 x + x x →0 tg 2 x x →0 x tg 2 x + 2 +1 2 x x x
x3 + 8 lim = x → −2 sin ( x + 2 )
lim
x → −2
(x + 2)(x 2 − 2 x + 4) = sin ( x + 2 )
lim
x → −2
(x
2
1 3− 2 = 2 2 +1
)
− 2x + 4 = 12 sin ( x + 2 ) (x + 2) 2
G) jiné Příklad:
Dokažte, že lim
x →1
x+2 neexistuje. x −1
Spočítáme zvlášť limitu zleva a limitu zprava: lim
x+2 = x −1
lim
x+2 = x −1
x →1−
x →1+
Limita zleva se nerovná limitě zprava, proto lim
x →1
x+2 neexistuje. x −1
1 4 = 2 +1
3−
11 4 = 5
11 20
Spojitost funkce Funkce f ( x ) je spojitá v bodě x0 tehdy a jen tehdy, když lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0
Není-li funkce y = f ( x ) spojitá v bodě x = x0 , nazýváme bod x0 bodem nespojitosti funkce f ( x ) . Přitom může mít funkce f ( x ) v bodě x0 některou z těchto vlastností:
1. f ( x ) má v bodě x0 vlastní limitu a není v bodě x0 definována;
bod x0 pak nazýváme odstranitelný bod nespojitosti funkce f ( x ) .
2. buď f ( x ) má v bodě x0 vlastní limitu a je v něm definována, přičemž lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) , x → x0
nebo f ( x ) má v bodě x0 vlastní limitu zleva i zprava, přičemž lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) ; x → x0
x → x0
bod x0 pak nazýváme bodem nespojitosti I. druhu.
3. alespoň jedna jednostranná limita funkce f ( x ) v bodě x0 neexistuje nebo je nevlastní; bod x0 pak nazýváme bodem nespojitosti II. druhu.
Příklad 1:
Je dána f-ce f ( x ) s definičním oborem D( f ) = (− ∞,−5) ∪ (− 4,−3) ∪ (− 3,7 ) ∪ 9,∞ ) . Jaké limity budeme počítat v souvislosti s nespojitostí funkce?
Příklad 2:
Jsou dány funkce f ( x ) , g ( x ) , h( x ) . Vyšetřete jejich nespojitost.
x 2 − 2x − 3 f (x ) = x −3
g (x ) =
1 x 3 −1
1 1 − x h( x ) = x − 1
x ∈ (− ∞,0 ∪ (1, ∞ ) x ∈ (0,1
DERIVACE FUNKCE Nechť je f-ce f ( x ) definována v okolí bodu x0 . Existuje-li vlastní limita
lim f x0 ( x ) = lim
x → x0
x → x0
f (x ) − f (x0 ) = f ′( x0 ) , říkáme, že funkce f ( x ) má v bodě x0 derivaci f ′( x0 ) . x − x0
Funkci f ′( x ) definovanou pro všechna x ∈ M ⊂ D( f ) , v nichž derivace existuje, nazveme derivací funkce
f (x ) . Někdy zapisujeme derivaci ve tvaru
dy a čteme derivace funkce y podle proměnné x. dx
VZORCE pro derivování základních funkcí tam, kde mají smysl:
(c )′ = 0,
c∈R
(x )′ = n ⋅ x n
(e )′ = e x
x
⋅ ln a
1 cos 2 x
(cot gx )′ = −
1
1− x2 (arccos x )′ = − 1 2 1− x 1 (arctgx )′ = 1+ x2 (arc cot gx )′ = − 1 2 1+ x
(cos x )′ = − sin x
(tgx )′ =
x
(a )′ = a x
n −1
(arcsin x )′ =
(sin x )′ = cos x
1 sin 2 x
(ln x )′ = 1
x
(log a x )′ =
1 x ⋅ ln a
PRAVIDLA DERIVOVÁNÍ:
(c ⋅ u )′ = c ⋅ u ′ (u + v )′ = u ′ + v ′
(u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ (u ⋅ v ⋅ w)′ = u ′ ⋅ v ⋅ w + u ⋅ v′ ⋅ w + u ⋅ v ⋅ w′
′ u u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ = v2 v kde c je konstanta (číslo) a u,v,w jsou funkce ′
(u − v ) = u ′ − v ′
derivace složené funkce: logaritmická derivace funkce:
[ f (g ( x) )]′ = f ′(g ( x)) ⋅ g ′( x) Výraz f ( x) g ( x ) , kde f ( x) > 0 pro x ∈ D( f ) definujeme vztahem f ( x) g ( x ) = e g ( x )⋅ln f ( x ) . Potom
[ f ( x) ]′= [e g ( x)
ln f ( x ) g ( x )
]′= [e
g ( x )⋅ln f ( x )
]′ .
Příklady: A) derivace podle základních vzorců
π
•
y=
•
4 x 7 + 3x 5 − 2 x 4 + 7 x − 2 y= 3x 4
•
y= x ⋅ x ⋅ x
•
y = tg x − cot g x
x
3
+ ln 2
2
4
3
=
B) derivace součinu
(
)
•
y = x 3 + 3 x + 8 ( x − 1)
•
y = x ⋅ 10 x
•
y = x 3 ln x −
•
y = x ⋅ sin x ⋅ arctgx
x3 3
3
x ⋅ x ⋅ 2
4
3 x2
=
3
x ⋅ 2
11 x2
=
3
x
2
11 ⋅x4
=
3
19 x4
=
19 x 12
C) derivace podílu •
y=
3x 2 + x 2x − 1
•
y=
x −1 log 2 x
•
y=
sin x x + x sin x
•
y=
sin x − x ⋅ cos x cos x + x ⋅ sin x
y′ =
=
x ⋅ sin x ⋅ cos x + x 2 sin 2 x − x ⋅ sin x ⋅ cos x + x 2 cos 2 x
(cos x + x ⋅ sin x )2
D) derivace složené funkce •
4 y = 7x 2 − + 6 x
•
y=3
1 1+ x2
6
=
(
x 2 sin 2 x + cos 2 x
(cos x + x ⋅ sin x )2
)=
x2
(cos x + x ⋅ sin x )2
•
y = x3 + 7x
•
y=
•
y = 1 + ln 2 x
•
e x − e−x y = ln cos arctg 2
1 (arcsin x )2 arccos x 2
1
y′ =
cos arctg
e x − e−x 2
= −tg arctg
=−
=
=
(e
e x − e−x ⋅ − sin arctg 2
e x − e−x 2
⋅
1
⋅ 1+
−x
e2x
)(
)
− e x ⋅ e x + e−x = + 2e x e − x + e − 2 x
1 − e2x 1 + e2x
(e
−x
)(
− e x ⋅ e x + e−x
(e
x
+ e−x
)
2
e x − e −x 1 + 2 ⋅
e 2 x − 2e x e − x + e − 2 x 4
e x − e−x 4 e x + e−x ⋅ ⋅ = 2 2 4 + e 2 x − 2 + e −2 x
1
2
⋅
e x + e−x = 2
e x + e−x = 2
e−x − e x 4 e x + e−x ⋅ 2x ⋅ = 2 2 e + 2 + e −2 x
)=
e−x − e x = e−x + e x
1 − ex x e = 1 x +e ex
1 − e2x ex = 1 + e2x ex
•
y = log x 2
•
y = arc cot g
cos x 1 + sin x
y′ =
= 1+
=
−1 cos 2 x
⋅
− sin x − sin 2 x − cos 2 x
(1 + sin x )2
(1 + sin x )2
sin x + 1 1 + 2 sin x + sin x + cos x 2
x ln 2 x
•
y=
•
y = tg e x
•
y = ln
2 + 2 x −1
(3x + 2)7 (5 x + 3)4
2
=
=
(1 + sin x )2 sin x + sin 2 x + cos 2 x ⋅ = (1 + sin x )2 + cos 2 x (1 + sin x )2
sin x + 1 = 1 + 2 sin x + 1
sin x + 1 = 2(sin x + 1)
1 2
E) logaritmická derivace •
y=x x
•
y = x2 +1
•
y = xx
•
y = x ⋅ sin x ⋅ 1 − e x
(
y=e
)
arctgx
x
1 1 2 ln x ⋅ sin x ⋅ 1− e x 2
y′ = e
=e
1 1 ln x ⋅ sin x ⋅ 1−e x 2 2
1 1 ln x + ln sin x + ln 1−e x 2 2
⋅
=e
1 1 1− e x 2 ln x + ln sin x + ln 2
( )
=e
1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ cos x + ⋅ ⋅ − ex = x 2 x sin x 2 1− e
1 1 ex = x ⋅ sin x ⋅ 1 − e x ⋅ ⋅ + cot gx − x 2 x 2 ⋅ 1− e
(
)
1 1 ln x + ln sin x + ln 1−e x 2 2
geometrická interpretace derivace rovnice tečny a normály ke křivce f ( x ) v bodě [x 0 , y 0 ] : t : y − y 0 = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
Příklad 1:
n : y − y0 = −
1 ⋅ (x − x0 ) f ′( x0 )
Najděte rovnici tečny a normály ke křivce y = x 2 − x + 1 v bodě x0 = −2 .
Příklad 2: Najděte tečnu ke křivce y = 2 ⋅ e x −2 + 1
a) rovnoběžnou s přímkou 2 x − y − 2 = 0 , b) kolmou k přímce 2 x + y − 2 = 0 .
Vidíme, že f ′( x0 ) je směrnice tečny v daném bodě, proto můžeme napsat, že úhel, který svírá osa x
s tečnou ke křivce f ( x ) v bodě [x 0 , y 0 ] je tgα = f ′( x0 ) .
Jaký úhel svírá s osou x tečna ke křivce y =
Příklad 3:
2 5 1 3 x − x v bodě x0 = 1 . 3 9
Úhel, pod kterým se protínají grafy funkcí f ( x ), g ( x ) v bodě [x 0 , y 0 ] :
tgϕ =
f ′( x0 ) − g ′( x0 ) 1 + f ′( x0 ) ⋅ g ′( x0 )
Příklad 4: Najděte úhel, pod kterým se protínají grafy funkcí x 2 + y 2 = 5 , y 2 = 4 x . y2 = y2
průsečíky:
5 − x 2 = 4x
x 2 + 4x − 5 = 0
(x − 1) ⋅ (x + 5) = 0 x0 = 1
x 0 = −5
y 02 = 4
y 02 = −20
y 0 = ±2
nelze
P1 = [1,2] P2 = [1,−2]
fyzikální interpretace derivace Je-li zadána dráha s v závislosti na čase t, potom můžeme definovat: ds v= (tj. rychlost je derivace dráhy podle času) rychlost v čase t: dt d (2 ) s dv = zrychlení v čase t: a = (tj. zrychlení je derivace rychlosti podle času, což je druhá dt dt 2 derivace dráhy podle času) uvědomte si, že čas je proměnná (místo x máme t) a dráha, rychlost a zrychlení jsou funkce (místo f ( x ) máme s(t ), v(t ), a(t ) )
1 Příklad 5: Hmotný bod se pohybuje po dráze, která je dána funkcí s = t 3 − 2t 2 + 3t . Určete okamžitou 3 rychlost a zrychlení v čase t1 = 0 s a t 2 = 10 s .
derivace vyšších řádů Nechť n ∈ N . Definujme n-tou derivaci funkce f ( x ) v bodě x0 ∈ D( f ) ∩ D ′( f ) indukcí ′ f (n ) ( x 0 ) = f (n −1) ( x ) x = x0 , kde f (0 ) ( x0 ) = f ( x0 ) .
(
Příklad 6:
)
Derivujte funkci y = x 8 + 7 x 6 − 5 x + 4 . y ′ = 8 x 7 + 42 x 5 − 5
y IV = 1680 x 4 + 2520 x 2
y VII = 40320 x
y ′′ = 56 x 6 + 210 x 4
y V = 6720 x 3 + 5040 x
y VIII = 40320
y ′′′ = 336 x 5 + 840 x 3
y VI = 20160 x 2 + 5040
y IX = 0
Taylorův rozvoj umožňuje zapsat jakoukoliv funkci jako funkci ve tvaru polynomu s tím, že obě funkce mají v okolí zadaného bodu téměř stejné funkční hodnoty. Čím vyšší stupeň Taylorova rozvoje použijeme, tím blíž si ty funkční hodnoty budou. Taylorův polynom stupně n funkce f ( x ) v bodě x0 má tvar t n (x ) = f (x0 ) +
(n ) ′′( ) ( ) f ′( x0 ) ( x − x 0 ) + f x 0 ( x − x 0 )2 + ⋯ + f x 0 ( x − x 0 )n . 1! 2! n!
Speciálním případem Taylorova rozvoje je tzv. Maclaurinův rozvoj, který dostaneme pro x0 = 0 .
Příklad 7:
Sestavte pro funkci y = x Taylorův rozvoj 4. řádu v okolí bodu x0 = 1 .
y=
1 x2 1
y′ =
1 −2 1 ⋅x = 2 2 x 3
1 1 − −1 y ′′ = ⋅ − ⋅ x 2 = 2 2 4 x3 5
1 3 − 3 y ′′′ = − ⋅ − ⋅ x 2 = 4 2 8 x5 7
y
IV
3 5 − − 15 = ⋅− ⋅ x 2 = 8 2 16 x 7
diferenciál, přírůstek funkce diferenciál funkce y = f ( x ) v bodě x0 při daném přírůstku ∆x = x − x0 je přírůstek funkce y = f ( x ) v bodě x0 při daném přírůstku ∆x = x − x0 je
df ( x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ ∆x
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
Určete diferenciál funkce y = sin 3 x v bodě x0 =
Příklad 8:
Určete diferenciál funkce y =
Příklad 9:
Příklad 10:
2 x
π 6
při přírůstku ∆x =
π 360
v bodě x0 = 9 při přírůstku ∆x = −0,01 .
Určete přírůstek funkce a diferenciál funkce y = ln x 2 − 2 x v bodě x0 = 3 při přírůstku ∆x = −0,02 .
x + ∆x = 3 − 0,02 = 2,98 ∆y = ln 2,98 2 − 2 ⋅ 2,98 − ln 3 2 − 2 ⋅ 3 = ln 8,8804 − 5,96 − ln 9 − 6 =
= ln 2,9204 − ln 3 = ln
2,9204 =ɺ − 0,01344584773... 3
.
Derivace parametricky zadaných funkcí Mějme funkci y = f ( x ) , která není dána v tomto tvaru, ale je zadána parametricky ve tvaru x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , kde t ∈ R je parametr. yɺ dy dx Potom y ′ = , kde yɺ = , xɺ = . xɺ dt dt •
yɺ 1 y ′′ = ⋅ xɺ xɺ
tj. „ y ′′ =
derivace y ′ podle t derivace x podle t
“.
Obdobně derivace vyšších řádů.
t −1
Příklad 11:
Určete první a druhou derivaci funkce x = t 2 + 1 , y =
Příklad 12:
Určete rovnici tečny a normály v bodě t 0 = 2 funkce x = t 2 + 1 , y =
t2 +1
.
t −1 t2 +1
.
L´Hospitalovo pravidlo Používáme u limit, kde po dosazení dostaneme neurčitý výraz typu
0 ∞ nebo (bez ohledu na znaménka). 0 ∞
Postupujeme podle věty: Nechť x0 ∈ R ∗ a nechť lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 , resp. lim f ( x ) = ±∞ a lim g ( x ) = ±∞ . Nechť existuje x → x0
lim
x → x0
x → x0
x → x0
f ′( x ) f (x ) = a , a ∈ R ∗ , pak existuje lim a platí x → x0 g ( x ) g ′( x )
Tento postup lze opakovat, takže platí
lim
x → x0
lim
x → x0
f (x ) = a. g (x )
x → x0
f (x ) f ′( x ) f (n ) ( x ) = lim = lim (n ) = a , a ∈ R∗ . g ( x ) x → x0 g ′( x ) x → x0 g ( x )
L´Hospitalovo pravidlo můžeme použít i pro limity, kde nám po dosazení vyjdou neurčité výrazy typu 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 0 0 , 0 ∞ , ∞ 0 , 1∞ . 0 ∞ Podmínkou je upravit tyto výrazy do tvaru, kde po dosazení vyjde nebo . 0 ∞ U výrazu 0 ⋅ ∞ jeden činitel necháme v původním tvaru a druhý převedeme do jmenovatele jmenovatele f ( x ) ⋅ h( x ) = f ( x ) . 1 h( x ) U výrazu ∞ − ∞ bývá obvykle alespoň jeden prvek ve tvaru zlomku. Potom upravíme celý výraz na společného jmenovatele. U výrazů 0 0 , 0 ∞ , ∞ 0 , 1∞ postupujeme takto:
lim f ( x )h( x ) = lim e ln f ( x )
x → x0
Pokud je potřeba, upravíme ještě na
lim e h ( x )⋅ln f ( x ) = lim e
x → x0
Příklad 13:
lim
x →0
ln f ( x ) 1 h( x )
x → x0
Užitím L´Hospitalova pravidla vypočítejte:
π •
x → x0
x cot g
πx 2
=
.
h( x )
= lim e h( x )⋅ln f ( x ) . x → x0
•
1 1 lim − = + sin x x →0 2 x
•
x lim 2 − x→a a
•
lim
x →0+
tg
πx 2a
(cot g x )sin x
=
=
PRŮBĚH FUNKCE Abychom dokázali sami bez použití techniky sestrojit co nejpřesněji graf libovolné funkce, budeme se držet deseti kroků. Určíme: 1. definiční obor 2. sudost × lichost, periodičnost 3. průsečíky s osami 4. intervaly kladných a záporných hodnot 5. intervaly monotónnosti 6. lokální extrémy 7. intervaly konvexnosti a konkávnosti 8. inflexní body 9. asymptoty 10. graf Body 5-9 si nyní probereme podrobněji.
monotónnost funkce Nechť je funkce y = f ( x ) spojitá na intervalu I a nechť uvnitř tohoto intervalu existuje f ′( x ) . Platí-li pro každé x ∈ I : f ′( x ) > 0 , pak je funkce y = f ( x ) na intervalu I rostoucí. Platí-li pro každé x ∈ I : f ′( x ) < 0 , pak je funkce y = f ( x ) na intervalu I klesající. Platí-li pro každé x ∈ I : f ′( x ) ≥ 0 , pak je funkce y = f ( x ) na intervalu I neklesající. Platí-li pro každé x ∈ I : f ′( x ) ≤ 0 , pak je funkce y = f ( x ) na intervalu I nerostoucí. Platí-li pro každé x ∈ I : f ′( x ) ≥ 0 , přičemž rovnost platí jen pro konečný počet bodů tohoto intervalu, pak je funkce y = f ( x ) na intervalu I rostoucí. Platí-li pro každé x ∈ I : f ′( x ) ≤ 0 , přičemž rovnost platí jen pro konečný počet bodů tohoto intervalu, pak je funkce y = f ( x ) na intervalu I klesající.
extrémy funkce Funkce y = f ( x ) může nabýt extrémní hodnoty jen v bodech x k ∈ D( f ) , v nichž je f ′( x k ) = 0 (tzv. stacionární body funkce) nebo v nichž funkce nemá derivaci.
Lokální extrémy nastávají v těchto bodech tam, kde se funkce mění z rostoucí na klesající nebo naopak z klesající na rostoucí. Postačující podmínky pro extrém: I. Nechť je x0 stacionární bod funkce y = f ( x ) , případně bod, v němž derivace neexistuje. Pak y = f ( x ) nabývá v bodě x0 ostré lokální a) maximum, jeli ( x − x0 ) ⋅ f ′( x ) < 0 b) minimum, je-li ( x − x0 ) ⋅ f ′( x ) > 0
pro všechna x ≠ x0 ležící ve vhodném okolí x0 . II. Nechť má y = f ( x ) první i druhou derivaci v bodě x0 , přičemž f ′( x0 ) = 0 . Pak má y = f ( x ) v bodě x0 ostré lokální a) maximum, jeli f ′′( x0 ) < 0 b) minimum, je-li f ′′( x0 ) > 0 .
Je-li však f ′′( x0 ) = 0 , může, ale nemusí být v bodě x0 lokální extrém dané funkce.
III. Nechť má y = f ( x ) v okolí bodu x0 spojitou derivaci řádu m ≥ 3 , přičemž
f ′( x0 ) = ⋯ = f (m−1) ( x0 ) = 0 , f (m ) ( x0 ) ≠ 0 . Pak v bodě x0 1. nenastane extrém, je-li m liché číslo; 2. nastane extrém, je-li m sudé číslo, a to ostré lokální a) maximum, když f (m ) ( x0 ) < 0 b) minimum, když
f (m ) ( x 0 ) > 0 .
Absolutní extrémy spojité funkce y = f ( x ) na intervalu a, b hledáme tak, že najdeme hodnoty funkce v lokálních extrémech této funkce na intervalu a, b a v krajních bodech intervalu, z nichž pak vybereme největší (absolutní maximum) a nejmenší (absolutní minimum) hodnotu.
x . x −1
Příklad 1:
Určete lokální extrémy a intervaly monotónnosti f-ce y = x +
Příklad 2:
Určete lokální extrémy a intervaly monotónnosti f-ce y = ln x 2 + 2 x − 3 .
(
2
)
Příklad 3:
Určete absolutní extrémy f-ce y = x 2 − 6 x + 10 na intervalu
− 1,5 .
konvexnost a konkávnost Graf funkce y = f ( x ) se nazývá konvexní na intervalu (a, b ) , leží-li nad tečnou vedenou libovolným bodem tohoto intervalu. Graf funkce y = f ( x ) se nazývá konkávní na intervalu (a, b ) , leží-li pod tečnou vedenou libovolným bodem tohoto intervalu. Je-li f ′′(x ) > 0 pro všechna x ∈ (a, b ) , pak je funkce konvexní v tomto intervalu. Je-li f ′′( x ) < 0 pro všechna x ∈ (a, b ) , pak je funkce konkávní v tomto intervalu.
inflexní body Bod x0 ∈ D( f ) , ve kterém je f ′′( x0 ) = 0 nebo ve kterém f ′′( x0 ) neexistuje může být inflexním bodem funkce. Tento bod JE inflexním bodem, pokud se v něm mění funkce z konvexní na konkávní nebo naopak z konkávní na konvexní. Nechť f ′′( x0 ) = ⋯ = f (2 n ) ( x0 ) = 0 , inflexním bodem funkce f(x).
Příklad 4:
f (2 n +1) ( x0 ) ≠ 0 a f (2 n ) ( x0 ) existuje v O( x0 ) , pak je bod x0
Určete inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti f-ce y = 3 x − 1 .
Příklad 5:
Určete inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti f-ce y =
x . 1+ x2
asymptoty A) bez směrnice x = x0 : x0 jsou krajní body intervalů spojitosti D( f ) . Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim+ f ( x) = ∞ , lim+ f ( x) = −∞ , lim− f ( x) = ∞ , x → x0
x → x0
x → x0
′ lim f ( x) = −∞ , kde x0 ∈ (D( f ) ) , pak říkáme, že přímka x = x0 je asymptotou funkce f(x) v bodě x0 .
x → x0−
B) se směrnicí y = kx + q : f (x ) = k ∈ R a platí lim [ f ( x ) − kx ] = q ∈ R , pak je přímka y = kx + q asymptotou funkce x →∞ x x →∞ f(x) v nevlastním bodě ∞ . f (x ) = k ∈ R a platí lim [ f ( x ) − kx ] = q ∈ R , pak je přímka y = kx + q asymptotou Jestliže lim x → −∞ x x → −∞ funkce f(x) v nevlastním bodě − ∞ . Jestliže lim
Příklad 6:
Určete všechny asymptoty funkce y = 2 x −
cos x x
Příklad 7:
Vyšetřete průběh a sestrojte graf f-ce y =
(x + 3)3 ( x + 2 )2
y=
(x + 3)3 ( x + 2 )2 3 ⋅ ( x + 3)2 ( x + 2)2 − ( x + 3)3 2 ⋅ ( x + 2)
y′ =
( x + 2 )4
=
y ′′ =
(x + 3)2 (x + 2) ⋅ [ 3 ⋅ (x + 2) − 2 ⋅ (x + 3) ] = ( x + 2 )4
=
(x + 3)2 (x + 2) ⋅ [3 x + 6 − 2 x − 6] = (x + 3)2 (x + 2) ⋅ x = (x + 3)2 ⋅ x (x + 2)4 ( x + 2 )4 (x + 2)3
[ 2 ⋅ (x + 3) ⋅ x + (x + 3) ]⋅ (x + 2) 2
3
(x + 2)6
− ( x + 3)2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ ( x + 2)2
=
( x + 2)2 ⋅ { [ 2 ⋅ ( x + 3) ⋅ x + ( x + 3)2 ]⋅ ( x + 2) − ( x + 3)2 ⋅ x ⋅ 3} = = (x + 2)6 =
k = lim
x → ±∞
2
2
(x + 2)
4
⋅ 3x
=
=
(x + 3) ⋅ { [ 2 ⋅ x + (x + 3) ] ⋅ (x + 2 ) − (x + 3) ⋅ 3x} = (x + 3) ⋅ { [ 3x + 3 ] ⋅ (x + 2) − (x + 3) ⋅ 3x} = ( x + 2 )4 ( x + 2 )4
=
(x + 3) ⋅ { 3x 2 + 3x + 6 x + 6 − 3x 2 − 9 x} = (x + 3) ⋅ 6 ( x + 2 )4 ( x + 2 )4
(x + 3)3 ( x + 2 )2 x
[ 2 ⋅ (x + 3) ⋅ x + (x + 3) ]⋅ (x + 2) − (x + 3)
( x + 3) x → ±∞ x ⋅ ( x + 2 )2
= lim
( x + 3)3 = q = lim − x x → ±∞ ( x + 2 )2
3
9 27 27 x 3 ⋅ 1 + + 2 + 3 x + 9 x + 27 x + 27 x x x 1 = lim = lim = =1 3 2 x → ±∞ x → ±∞ 4 4 1 x + 4x + 4x 3 x ⋅ 1 + + 2 x x 3
2
(
)
x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27 − x 3 + 4 x 2 + 4 x lim = x → ±∞ x 2 + 4x + 4
23 27 x2 ⋅ 5 + + 5 x x2 = =5 = lim x → ±∞ 4 4 1 2 x ⋅ 1 + + 2 x x
5 x 2 + 23 x + 27 lim = x →±∞ x 2 + 4x + 4
