Mathematics. - Primitief~symmetrische projectieve invarianten. 111. By P. G. MOLENAAR. (Communicated by Prof. J. A. SCHOUTEN.) (Communicated at the meeting of March 30, 1946.)
§ 9. vorm F
Thans willen we het voorgaande toepassen op de binaire gemengde
=a: a~ =(ao x~ + 3 al xi + 3 a2 x
+ a3 x~) (ao ~~ + 3 al ~î ~2 + + 3a2 ~I ~i + a3 ~~) = Aoo x~ ~::+ 3A ol x~ ~î ~2 + ... + 9 All xî X2 Eî ~2 + ... X2
=
1
xi
De isomeren van
L = (ab)2 (cá)2 (aá) (be) ..
· (1)
zijn volgens § -4 ( 11) hneair uit te drukken in [(I)
LI3I .
L(2) L(3) 1
· (2)
2
Die van
A
= (afJ)2 (yd)2 (ad) (fJy) .
·
(3)
zijn lineair uit te drukken in A(l) A(2) A(3)
1
Am 2
· (4)
•
Door contractie van de invarianten (2) en (-4) ontstaan 16 invarianten van de vier gemengde vormen
FI
= ai a~
F 2 = bi fJ~
F3
= c:
y:
F .. =
d: d~.
Elk dezer 16 invarianten geeft aanleiding tot een productvoorstelling TI X Tt. Deze moeten volledig ·g ereduceerd worden. In de theorie der substitutiegroepen wordt hiervoor afgeleid 9)
TI XI'I=T1
r l X r 2 =r2 r, xr3 =r1
r 2 x r 2 =rl r 2 xr3 =r1
r, X r,= r, +r,+r,
î.
(5)
Alleen [L(3l A(3)] is dus niet primitief~symmetr.jsch. Door ~ontractie vindt I
k
men dus onmiddellijk de symmetrische invarianten
· Zie B. L. V. D. WA,ERDEN, Moderne Algebra 11, pag. 196, of B. L. V. D. WAERDEN, Die Gruppentheoretische Methode in der mechanik, pag. 57, J. Springer, Berlin (1932) .
(6)
11)
Quanten~
471
de
anti~symmetrische
invarianten
= 13
[L(I) .,1(2)]
en de
cyclisch~symmetrische
[[(2) .,1(1)]
=h
. . . . .
(7)
•
invarianten
[[(I) .,1(3)]
= Is
[L~3) .,1(1)]
= 16
[L(I) .,1(3)]
=
[L(3) .,1(1)]
= la
I
2
17
2
= [L(3) .,1(2)] = /
[L(1)A(3)] =/9
[[(3) .,1(2)]
1
•
•
•
•
(8)
[L(3) .,1(3)]
•
•
•
(9)
IlO
I
[L(2) .,1(3)] = lil 2
12
2
De niet primitief~symmetrische invarianten 2
4~dimensionale
geven volgens § 8 (6) aanleiding tot een
r 3 xr 3
1 000
E'=
o
1 0 0
001 0
1 -1
A'=
1
1
productvoorstelling
o -1
0
o0 o0
0
o0 o0
0
1 1
-1 -1
000 1
2
.... F'=
-1 -1
o -1
-1 1
0
1 1
1
en deze wordt door transformatie met de matrix
t t ""3"I o t-t o M= -t t t t t t t-t voll~dig
.
(10)
gereduceerd tot 100 0
E"=
.
o
:1 0
0
'0 1
1 0 0
A"
001 0
= I00-10 -10
. .. . F"=
I
o0
000 1
0
0
0
o -1
0
0
0
0
0
0
0
0
o -1
-1
Dit is volgens § '4 (9) de gereduceerde voorstelling
r 1 + r2 + r3• Met behulp van de coëfficiënten uit de matrix (10) vindt men volgens
§ 8 (10) de symmetrische invariant
113 = P(I) = t (2 I
de
anti~symmetrische
[L(3) .,1(3)] 1
I
+ [[(3) A(3)] + [L(3) .,1(3)] + 2 [L(3) .,1(3)]); I
2
2
I
2
2
(11)
invariant
/ 11
=
P(2) 1
=t
([L(3) .,1(3)] 1
2
[L(3) .,1(3)]) 2
1
•
•
•
•
•
(12)
472
en twee cyclisch-symmetrische invarianten
lIs
116
= P(3) = t (-[L(3) Au)] + [L(3) Au)] + [L(3) A(3)] + 2 [Le3) A(3)])! . = P(3) = t (2 [L(3) A(3)] + [Le3) A(3)] + [L(3) A(3)] - [Le3) A(l)]) 1
1
2
1
1
II
2
2
12
1
2
21
2
(13)
22
Verder is
o -1 -t -t
M-I=
0
1 1
-1
o o -1
= 113 - lIs [Le3) A(3)] = -t 113 + 1 + lIS + 1 [Le3) A(3)] = -t 113 - 1 + lIS + II6j' [L(3) A(3)] = 113 - 1 2 2 [Le3) A(3)] I I 2
2
I
(14)
·
(15)
I
zodat volgens § 8 (12)
I
·
11
16
11
16
Tenslotte willen we deze primitief-symmetrische invarianten Jl' afleiden , door de invarianten
[L(3) Am] I
........ . ,
.
1
.
J16 (9)
te splitsen in primitief-symmetrische delen. Stelt men L(3) A(3) h, en noemt men overeenkomstig § 4 (10)
= t (h + IA + IB + Ic + 10 + IF) = Is l t (h + IA + I B - Ic - 10 - [P).- Ia (
I
I
-!r(h
~Io+[P)=Icl\
-IB
t(h-IA
·
(16)
·
(17)
+Io-IF)=Ic2 )
dan is volgens § 4 (11)
h = Is
+ Ia + ICI + IC2
een splitsing van h in primitief-symmetrische delen. Verder is volgens § 8 (13) en § 4 (9)
L(3) 1
E
=
L(3)
L(3) = - L(3) 1 A
1
= Le3) = IC D3)
[(3) 2
J
L(3) 2
L(3) = - L(3) - L(3) I 0
Le3)
1 F
I
=
Le3) 1
L(3)
2E
D3)
IB
= L(3) = L(3) = 2 B Le3) = Le3)
1
2
2 A
2 C
L(3)
=
L(3)
=-
20
2
F
2
L(3) I
L(3) - L(3) I
2
Le3) 1
L(3) 2
Le3) - L(3) I
2
473 dus
[Ll3} A(3}] I
I
5
= t ([Ll3) A(3}] E + [L(3} A(3}] A + ... + [Ll3} A(3}]F ) = = t ([L(3) A(3)] + [(- L(3) - D3)) (-A(3)-A(3))] + ... + [L(3) A(3)]) = = t (2 [L(3) A(3}] + [D3) A(3)] + [L(3} A(3}] + 2 [L(3) A(3}]). I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
2
I
I
2
2
2
2
I '
I
2
I
2
Aldus voortgaande vindt' men voor de 4 X 4 primitief-symmetrische delen van de invarianten (9) :
= [L(3) .11(3)]5 = = t (2 [L(3) .11(3)] + [L(3} A(3}] + [Lel) .11(3)] + 2 [L(3) .11(3)]) = 113 [D3) A(3)]a = [L(3) A(3)]a = 0; (L(3) A(3)]a = - [L(3) A(3)]a = = t ([D31 A(3)]-[L(3) .11(3)]) = Iu [L(3) .11(3)]5 I
I
=.
2 [L(3) .11(3)]5 I
2
•
I
I
2
=I
2 [D3) .11(3)]5 2
I
I
2
I
I
2
2
2
2
2
2
I
I
I
= 0;
2
= [L(3) A(3)]c2 = - [L(3) A(3}]c2 = = t (2 [D3) A( + [D3) .11(3)] + [L(3) .11(3)] -
[L(3) A(3)]c2 I
2
2
1
I
3)] 1
2
1
2
2
2
I
I
I
(D3) A(3)]c2
2
.
2
2
1
[D3} .11(3)]) = 116 , 2
2
Substitueert men deze uitkomsten in (17), dan vindt men de betrekkingen (15).
§ 10.
Thans willen we de symmetrische invarianten 11 , 12 en 113 nader beschouwen. 11 is ontstaan door contractie van L(I) en A(l). Volgens § 5 (3a) . kan men DI) uit de discriminant
R = 12ao al a2 a3-8aO a~-2a~ a;-8a: a3 + 6a~ a~ . . . (1) van
a!
verkrijgen door middel van DI)
~ = 241 p,k,t,m ~
ö
ö
ö4 R ö ö
ap ak at am
Dan is
waarin R* de discriminant van a~ voorstelt. Stelt men
ap b k
Ct
dm .
474 dan wordt
Uit Cpk I In
=
Ckpl
m
= ...
en
C"zJ.p.
=
Cx:.;'p.
= ...
volgt opnieuw. dat 11 symmetrisch is in de ~oëfficiëntenrijen A. B. C. D. Uit (1) berekent men de van nul verschillende coëfficiënten COt23
= 12.
C0222
=-
i8.
C0033
=-
f6.
Cttt3
= -i8,
Nummert men de 5 index groepen als volgt
(0123)
= 1.
(0222)
= 2.
(0033)
dan wordt
=
Cl 12 C2 = -48 terwijl (2) dan overgaat in
C3
s
lt
= (T~)2i=tI
= 3.
(1113)
= i.
Ctt22
= 2i.
=5 = 2i
(1122)
= -16
C5
s
Z Ci
C)
.
[A B CD];.} .
(3)
}=t
Stelt i de index groep (p klm) en j de indexgroep (:n x l,u) voor. dan is
[A B CD];.} waarin
I
=
Z
Z A pn Bkx CIA Dm!'
(pk I m) (nxl!,)
.
.
.
(i)
de sommatie over de variaties der index groep (p klm)
(pk I m)
aanduidt. Zo is b.v.
= Z I Aoo B 20 C D 23 een veelterm bestaande uit i X 6 = 2i verschillende termen. [A B C Dh, 3
23
(0222) (0033)
De eerste sommatie loopt over de vier variaties
(0222) (2022) (2202) (2220) en de tweede over de zes variaties (3300) (0033) (0303) (3003) (3030) (0330) Beschouwt men Ap", B p", Cpn, D pn als aequivalente coëfficiëntenrijen, en vervangt men Bp", Cpn,Dpndoor A p". dan worden verschillende termen in (i) aan elkaar gelijk. Zo gaat b.v. [A B C Dh,3 over in
[A A A Ak3
= 12 Aoo A
2
20
A 23
+ 12 A03 A23 A 20 . •
2
De invariant 12 kan men gemakkelijk uitdrukken in de coëfficiënten der grondvormen. Immers
f30 f3t f32 f33 ] = i'o i't i'2 i'3 ()o
b t b2 b)
t [D 6].
475 Door contractie vindt men 4
1-
I"
2-
T,i,.
=-!-
p,k,I,m
0 D ,i,. aap ob k oei odm :f,x,À,,..,.
L L
<5
4
6
oa" O{3. arA OÓ,...
ABC D p" kx /l mI'
=
sign(pklm)sign(;roc:À,u)Ap"BtxCIADmll
p,k,l,m ;r,x,J.,fJ.
waarin sign (p klm) het teken van de permutatie
(~!~~!)
is. Nu is
ApO B pl C p2 D p3 Z sign (3f"l,u) A pn Bb CIA Dm,... =
n, x~l,f'
Ako Bkl C k2 Dk3 AIO Bil C/2 Dl3
= det (ABCD)pklm
Amo Bmi C m2 Dm3 dus 12
= {p,k,l,m I sign (pklm) det (ABCD)pklm .
waarbij gesommeerd wordt over de 24 permutaties
. (5)
(~! ~!)-
Zijn de grondvormen aequivalent, zodat B p"', Cp", Dpn d,o or Ap" ver~ vangen mag worden, dan vindt men
Aoo
1;=6
AOI
A 02 A03
AIO All AI2
Au
A 20
A 21
A 22 A23
A 30
A31
A32 A33
(6)
Dit is een vierdegraads invariant van de enkele grondvorm F
=
a~ a~.
De invariant
behoeft niet in de moduulbasis te worden opgenomen. Ze is uit te drukken in /2 en in de symmetrische invariant
JA BC D
= ,t(JA BJCD + JBCJAD + Jc AJBD)
.
. (7)
waarin
/AB=}BA=(ab)3(af3)3= AooB33'-3AloB13+3AloBI3 -A30Bo3 +
-3A ol B32 +9A II B 22 -9A 21 B I2 +3A 31 B 02 + +3Ao2B31-9AI2B21 +9A22BIl- 3A n B ol + - A03B30+3AI3B20-3A23Blo+ A33 B oo een symmetrische invariant van de tweede graad is.
. (8)
476 Men vindt nu met behulp van § 5 (7) (8)
t I(ac)3 (db)3_(ab)3 (Cd)311 (ay)3 (~PP-(a/J)3 (y(W 1= = t UA C lDB-(acp(db)3(ap)3(r~P-(ab)5(cd)3 (ay)3 (bPP+1A BlCD 1 [L(3) A(3)] = t I (ae)3 (db)3 (a~)3 (Py)3-1AC lDB-(abp (cd)l (aW (hP + I 2
2 [L(3) A(3)] = I
I
+ (ab)3 (cd)3 (ayp [L(3) A(3)] 2
I
(~P)31
= t 1(ad)3 (bep (ar)3 (bP)3_(ad)3 (be)3 (aP)3 (rW-lA ClDB + + (ac)3 (db)3 (aP)3 (y(W I
2 [L(3) A(3)] = 2
2
t
UA DlB C-(ad)3(bc)3(ar)3(bp)3_(aC)3(db)3(ab)3(py)3
+lAC lDB!
dus
113=-l'f 16 IA B C D-(ab)3(cd)3(ay)3(~p)3-(abp(cd)3(a~)3(py)3_(ac)3(db)3(aW(py)3+ -(ac)3 (db)' (ap)3(y~)3_(adp (bc)3 (aP)3(yb)3_(ad)3 (bC)3 (ay)3 (~P)31 en volgens § 5 (5)
113 = -';..,.16 lABco - (36 [L(2) A(2)] - lABlco- lBc !AD-lCA lBD)! = yl..,.16 lABcD-(36/2-3 /ABCO)! = .,lr 19 lABCD-36 121
=
dus
I13=tlABco-t/2' . . . . . . . (9) Zijn de grondvormen aequivalent. dan gaat lAB over in 11
= 2 (Aoo A 33 -3A lo A 23 + 3A 2o A 13 -A 3o A03- 3Aol A 32 + + 9A A 22 -9A 21 A I2 + 3A 31 A o2 ). II
Uit
(10)
1ABCDontstaat dan
l=n
zodat 113 overgaat in
§ 11.
Onder de i dt overschuiving van twee binaire gemengde vormen
F
= axP a~>
en
G
= bxr P~•
zal men verstaan
(F. G)(I)
= (ab)i (aP)i af-I b~-I al-I pr l
.
.
.
.
. (1)
i is ten hoogste gelijk aan de kleinste der exponenten p, q, r, s. Deze over~ schuivingen zijn blijkbaar covarianten. De eerste overschuiving hangt samen met de determinanten va'i partieel~ afgeleiden. Men vindt
à2 F à2 F àXI à~1 àXI M2
à2 G
à2 G
àX2 à~1 ~X2 à~2
i77 en evenzo
aG
aG
2
2
aXI a~1 ax; M 2
dus
a2 F a2 F aXI a~1 aXI a~2
a2G
a2G
a2G
aXl MI aXI a~2 a2F a2 F
+
- --
aX2 a~1 aX2 M2
aX2 a~t aX2 a~2 = pqrs (ab) (af3)
a~- I b~-I
a2G
art
f3~-1
=pqrs (F, G){I)
. (2)
Naar men weet, is de discriminant R van de enkelvoudige binaire cubische vorm a! te beschouwen als de tweede overschuiving van 6~ met zichzelf, waarbij 6; weer de tweede overschuiving van a~ met zichzelf is. Naar analogie hiermede kan men de volgende tweede overschuivingen van de vier gemengde cubische vormen
FI = a! a~
F 2 = b! f3~
F3
=
e! y~
F~
=
d; <5~.
.
(3)
berekenen.
as f3s = P; ll~ = P (F3, F 4 )(2) = (ed)2 (yW ex d x n <5; = s; a~ = S. (FI' F 2)(2) = (ab)2 (af3)2 ax bx
Hierin is
pik, Im
= t (ab)2 (af3F (ai bk + ak bi) (al f3m + a m 13 /).
De tweede overschuiving van P en S wordt
H E=(P,S)(2)=(ps)2 (lla)2 = (ab)2 (af3)2 (as) (bs) (aa) (130) =
= t(ab)2(af3)2(ed)2(y<5)2 I(ac) (bd)(ay)(f3<5) +(ac)(bd) (a<5)(f3y) + + (ad) (be) (ay) (13<5) + (ad) (be) (a<5) (f3y) I= =t (LE + L D) (A E + AD) . .
(4)
Deze invariant is niet symmetrisch in de coëfficiëntenrijen der vier grond~ vormen (3) . Nu kan men deze laatsten op drie manieren twee aan twee combineren, en vindt dan
= ((FI , F 2)(2), (F3, F~)(2))(2) = t (LE + LD) (A + AD) HA = ((F2, F )(2), (FI' F~)(2))(2) = t (LA + Le) (AA + Ae) H B = ((F3, F t )(2), (F2, F 4)(2))(2) = t (LB + L F ) (AB + AF) HE
E
3
Blijkbaar is
+
+
H= -Ir(HE HA HB) = = -h - I(LE+LD)(AE+AD)+(LA+Lc)(AA+Ae)+(LB tLF)(AB+A F)! (5) 31
478 een symmetrische invariant. Deze willen we uitdrukken in de primitiefsymmetrische invarianten 11 , . . . .... I 1G • Volgens § 4 (11) vindt men
LA
+ +
LB
+
LE
LD
= 2 L(I)
Lc
=
2 Lu)
Lp=
+L(3) 2
+
2 [(I) -
L(3) 1 [(3) -
L(3)
I
2
en dus volgens § 9 (6) (7) (8)
(2
L(I)
+
(2 [(1) -
L(3)) 2
L(3) 1
(2 ..1(1) + ..1(3)) 2
[(3)) 2
(2
..10) -
= 4 1 + 2 17 + 2 18 + 1
..1(3) -
I
= 41 + +
2 Is - 2 17 - 2 h - 2 Ia
1-
.11(3))
2
L(3) ..1(3) I I
[(3) ..1(3) 2 2
L(3) .11(3) 1 2
+
[(3) .11(3) 2 I
+
+
L(3) .11(3). 2 2
dus volgens § 9 (11)
H
= -(2 (12 1 + 3 1 = 1 + t I 1
13 )
1
J3 •
.
.
. (6)
Op dezelfde wijze kan men de symmetrische invariant
in de primitief-symmetrische invarianten 11 . dan volgens § 4 (11)
.. .....
116 uitdrukken en vindt
U = t(6 LolA(1) + 6 L(2) A(2) + 4 L(3) A(3) + 4 L(3) A(3) + 2 L(3) A(3) + 2 L(3) A(3)) 1 1 2 2 1 2 2 1 en volgens § 9 (6) (11)
