Ekonomicko-matematické metody II – Rozhodování a rozhodovací modely
Vybrané aplikace - Řízení na všech jeho úrovních - Zemědělství - Hazardní hry - Běžná každodenní rozhodnutí Problém k zamyšlení - Lze systematicky bohatnout - hraním na hracích automatech? - sázením na sportovní události? - hraním rulety? - hraním pokeru? - sázením v číselných loteriích? Rozhodovací proces - Proces řešení rozhodovacích problémů - proces volby – výběru rozhodnutí - Má dvě stránky - věcnou: co řešíme; - procedurální: jak postupujeme. - Postupy mohou být - normativní: snaha najít nejlepší řešení; - deskriptivní: snaha popsat systém a analyzovat jeho ukazatele.
Teorie rozhodování - Cíl: volba nejlepšího rozhodnutí - Rozhodnutí - činí inteligentní rozhodovatel; - činěno nyní. - Výsledek rozhodnutí - ovlivněn působením neovladatelného faktoru; - znám v budoucnu. Komponenty modelu - Alternativy rozhodnutí - Stavy okolností - Rozhodovací kritérium - Vektor rizika (je-li znám) Jistota, riziko a nejistota - Rozhodování za jistoty - pravděpodobnost realizace jistého stavu okolností je rovna 1 a pravděpodobnosti ostatních stavů okolností jsou rovny nule. - Rozhodování za rizika - pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou odhadovány či známy. - Rozhodování za úplné nejistoty - pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou neznámé nebo je za neznámé považujeme.
Rozhodovací tabulka Fáze rozhodovacího procesu - Intelligence - zkoumání reality, identifikace a definice problému, definice systému - Design - konstrukce modelu, shromáždění dat, návrhy řešení - Choice - výběr řešení modelu - Implementation: řešení reálného problému Modely konfliktních situací - Teorie her - konflikt inteligentních hráčů; - oběma stranám záleží na výsledku. - Teorie rozhodování - hra proti neinteligentnímu hráči; - protihráči nezáleží na výsledku; - hry proti přírodě.
-1-
Rozhodovací strom
Příklad Počet návštěvníků víkendové kulturní akce záleží na tom, jaké bude počasí. Stánkař ví, že si u něj v průměru koupí každý návštěvník 1 párek. Zisk z každého prodaného párku je 10 Kč. Pokud mu ale nějaké párky zbudou, ztráta z každého neprodaného párku je 5 Kč. Kolik párků si má stánkař nakoupit před víkendovou akcí, aby maximalizoval zisk?
Dominance alternativ - Dominance podle výplat - nejsilnější typ dominance - min(vaj) ≥ max(vbj) → A dominuje B podle výplat - Dominance podle stavů okolností - vaj ≥ vbj pro všechna j → A dominuje B podle stavů okolností - Dominance podle pravděpodobností - profil rizika
Profil rizika Problém stánkaře - Doplnění: podle předpovědi počasí byly stanoveny pravděpodobnosti nastání jednotlivých stavů okolností takto:
Výběr alternativ - Rozhodování za jistoty - Rozhodování za nejistoty - maximaxové pravidlo - Waldovo - maximinové pravidlo - Hurwitzovo pravidlo - Savageovo pravidlo minimální ztráty - Laplaceovo pravidlo nedostatečné evidence - Rozhodování za rizika - pravidlo EMV - očekávané hodnoty výplaty - pravidlo EOL - očekávané možné ztráty - pravděpodobnost dosažení aspirační úrovně
-2-
Normální tvar hry
Modely teorie her
Rozvinutý tvar hry
Výplatní matice Vybrané aplikace - Manažerské rozhodování - Strategie podnikání - Sportovní utkání - Malé hry Konfliktní situace - Teorie her - konflikt inteligentních hráčů; - oběma stranám záleží na výsledku. - Teorie rozhodování - hra proti neinteligentnímu hráči; - protihráči nezáleží na výsledku; - hry proti přírodě.
Příklad Dvě televizní stanice se rozhodují, jaký typ programu nasadit do hlavního vysílacího času v určitý den, kdy se na televizi dívá 5 mil. diváků. V tabulce jsou výsledky průzkumu – počet diváků z těch 5 mil., kteří by se dívali na televizní stanici A v případě kombinací jednotlivých pořadů:
Teorie her - Cíl: volba nejlepšího chování v rámci konfliktu - Hra probíhá v čase - hra – partie – strategie – tah; - opakuje se x neopakuje se; - dva nebo více hráčů; - vytvářejí x nevytvářejí koalice; - s konečným x nekonečným počtem strategií; - s konstantním (nulovým) x nekonstantním součtem.
Řešitelnost hry - Základní věta teorie maticových her
Komponenty modelu - Dva hráči - Množina strategií každého hráče - Kritérium hry - výplaty pro každou dvojici strategií; - výplatní matice; - nulový, konstantní, nekonstantní součet.
„Každá maticová hra je řešitelná - existují optimální strategie hráčů a cena hry.“ -
Strategie zaručující nejlepší možný výsledek hráčů, když neudělají chybu
-
Čistá strategie - jednoznačně určená strategie hráče … ☺ Smíšená strategie - pouze relativní četnost použití strategie při opakování hry … Čistá strategie je speciální případ smíšené strategie, vektor s = (0, …, 0, 1, 0, …., 0)
Postup řešení her - Stanovení strategií hráčů a sestavení výplatní matice - Pokus o řešení hry v oboru čistých strategií - Pokud hra nemá sedlový bod, řešení hry v oboru smíšených strategií
-3-
Řešení v oboru čistých strategií
Konstrukce modelu LP – příklad Pro takto upravené zadání a hráče 1 (televizi A):
Postup - Nalezení dolní ceny hry - Nalezení horní ceny hry - Pokud se ceny rovnají, existuje alespoň jeden sedlový bod, tj. hra má řešení v oboru čistých strategií
1,3x1 + 1,8x2 + 1,7x3 ≥ 1 2x1 + 4x2 + 1x3 ≥ 1 1,5x1 + 0,5x2 + 3x3 ≥ 1 z = x1 + x2 + x3 … MIN x1, x2, x3 ≥ 0
Řešení v oboru smíšených strategií - Neexistence sedlového bodu - V případě opakování konfliktu je nutné strategie střídat - Cíl: nalézt optimální relativní četnosti používání jednotlivých strategií - Prostředek: pomocný model lineárního programování - vzpomínáte si, z čeho se skládá model LP? Konstrukce modelu LP – principy - Vždy konstruujeme z hlediska jednoho hráče - Nutná podmínka: kladné hodnoty ve výplatní matici - pokud nejsou, přičteme k celé matici vhodnou konstantu - Pro hráče 1 (má strategie v řádku): - proměnné: relativní četnosti volby strategií ri; - podmínky: každá strategie má přinést výhru alespoň w; - účelová funkce: w → MAX - podmínky nezápornosti. - Úprava do tvaru vhodného pro výpočet (viz tabule) - Výsledky - hráč 1: hodnoty bázických rozhodovacích proměnných; - hráč 2: duální ceny nebázických doplňkových proměnných; - nezapomenout na zpětnou transformaci.
-4-
-
Vícekriteriální rozhodování Vybrané aplikace - Výběr a nákup užitných předmětů nebo služeb - Výběr pracovníků na pracovní místo - Výběrová řízení na veřejné zakázky - Hodnocení efektivnosti - Stanovení pořadí závodníků ve vícebojích
-
Váhy kritérií - Vyjadřují relativní důležitost kritéria - Zapisují se číselně ve formě normalizovaného váhového vektoru - Normalizace:
Typy modelů - Vícekriteriální optimalizační model - přípustná řešení jsou vymezena pouze implicitně (omezujícími podmínkami); - optimalizace podle dvou a více účelových funkcí; - příklad: optimalizace portfolia. - Model vícekriteriální analýzy variant - všechny přípustné varianty lze explicitně vypsat; - vybíráme podle dvou a více kritérií; - příklady: podle stanoveného cíle (viz dále).
-
Cíl řešení modelů VAV - Nalezení jediné kompromisní varianty, kompromisního řešení - Nalezení určitého počtu kompromisních variant - Rozdělení množiny řešení na efektivní a neefektivní - Uspořádání všech řešení od nejlepšího k nejhoršímu Komponenty modelu - varianty ai, i = 1, 2, … m; - kritéria fj, j = 1, 2, … n; - kriteriální matice Y = (yij); - váhy kritérií vj, j = 1, 2, …, n.
Podle směru preference - maximalizační kritérium; - minimalizační kritérium. Podle vyjádření preference - měřitelná (objektivní); - neměřitelná (subjektivní).
bj je kvantitativně vyjádřená informace od uživatele, viz dále Výsledek: desetinná čísla z intervalu od 0 do 1, součet je roven jedné Interpretace: jaký díl ze 100 % připadá na dané kritérium NEJSOU DŮLEŽITÉ ROZDÍLY MEZI VAHAMI KRITÉRIÍ, ALE POMĚRY VAH
Grafické zobrazení - Hvězdicové (polygonální) zobrazení - Každé kritérium má svoji osu - špatné hodnoty – u středu; - dobré hodnoty – ke kraji. - Spojením pozic varianty na osách kritérií vzniká její polygon - Lze využít pro posouzení dominovanosti variant
Maticový zápis modelu
Varianty – speciální případy Kompromisní varianta - termín „optimální řešení“ obvykle nemá smysl; - přijatelné rozhodnutí, relativně výhodný kompromis. Dominovaná varianta - jedna varianta dominuje druhou, pokud je podle všech kritérií hodnocena alespoň tak dobře jako varianta dominovaná a alespoň v jednom kritériu je ostře lepší; - ar dominuje as ⇔ (yr1, yr2 ,…, yrn) ≥ (ys1, ys2,…, ysn) ∧ ∃ j: yrj >ysj. Ideální a bazální varianta - ideální varianta H = (h1, …, hn) je varianta složená z nejlepších hodnot všech kritérií současně; - bazální varianta D = (d1, …, dn) je varianta složená z nejhorších hodnot všech kritérií současně. Kritéria – klasifikace
Informace o preferenci objektů - Inter a intra kriteriální preference - preference jednotlivých kritérií; - hodnocení variant podle každého kritéria. - Základní typy informací o preferenci objektů - žádná informace; - nominální informace – aspirační úrovně; - ordinální informace – kvalitativní – uspořádání; - kardinální informace – kvantitativní.
-5-
Žádná informace - Možné pouze pro váhy kritérií - Princip: kritérium je tím důležitější, čím více přispívá k rozlišení variant - Nevýhoda: nutno znát kriteriální matici v okamžiku stanovení vah kritérií - Entropická metoda Nominální informace - Pracujeme s aspiračními hodnotami kritérií - Aspirační úroveň: nejhorší přípustná hodnota kritéria, aby varianta byla akceptovatelná - Vhodné pro redukci rozsáhlých souborů variant (předvýběr) - Princip práce: experimentování s hodnotami, aby zůstal požadovaný počet variant - Metody práce s aspiračními úrovněmi - konjunktivní metoda; - disjunktivní metoda. Ordinální informace - Metoda pořadí - objekty ohodnotíme pořadovými čísly podle preferencí; - stejná preference objektů – průměrná pořadová čísla; - pořadová čísla převedeme na bodové hodnocení; - bodové hodnocení normalizujeme. - Metoda kvalitativního párového porovnání - objekty porovnáváme párově - každý s každým; - preference se vyjadřuje pouze stupni „lepší“ x „horší“; - ekvivalence se vyjadřuje stupněm „stejné“. - Zápis preference - tabulka párového porovnání (hodnoty 1 – 0,5 – 0); - Fullerův trojúhelník (zvýraznění preferovaného objektu). - Odvození vah - podklad: počet „vítězných porovnání“; - váhy: normalizace.
Kardinální informace - Bodovací metoda - objekty ohodnotíme bodově na stanovené škále; - stejná preference objektů – stejné bodové hodnocení; - bodové hodnocení normalizujeme. - Saatyho metoda - založena na párovém porovnání důležitosti objektů; - provádí se v Saatyho matici. - Stupnice - 1…rovnocennost; - 3…slabá preference; - 5…silná preference; - 7…velmi silná preference; - 9…absolutní preference. - Saatyho matice – čtvercová, reciproční - Váhy – normalizovaný geometrický průměr řádků Saatyho matice
Vícekriteriální analýza variant – výběr kompromisní varianty Konfigurace modelu VAV Chybný postup (viz různé BP) - „Začnu definicí kritérií. Zvolím si jich aspoň 10, nezapomenu vymezit kritérium „Ostatní faktory“. Stanovím jim důležitost podle vlastního uvážení alespoň ve třech různých sadách vah. Vezmu software a model propočítám podle všech metod, které tam najdu (aspoň 5). Použiju všechny sady vah. Všechny výsledky sečtu dohromady a mám nejobjektivnější dosažitelný výsledek, který doporučím k realizaci.“ - Takhle v žádném případě ne!!! Konfigurace modelu VAV – Intelligence - Správný postup: nutno respektovat fáze rozhodovacího procesu - Intelligence - charakteristika zkoumaného objektu; - popis nedostatků současného stavu; - identifikace problému a cíle jeho řešení. - Výstupy pro VAV - cíl rozhodování; - profil rozhodovatele.
-6-
Konfigurace modelu VAV – Design - Stanovení kritérií rozhodování - musí vycházet z cíle řešení problému. - Na soubor kritérií klademe tyto požadavky - úplnost: nesmí být zanedbán žádný důležitý aspekt rozhodování; - operacionalita: každé kritérium musí mít jasně stanovený obsah a míru; - vyloučení duplicit: každý důležitý aspekt rozhodování je reprezentován právě jedním kritériem; - minimální rozsah: vyloučit kritéria s vahou blížící se nule, ale ne na úkor úplnosti souboru kritérií. - Stanovení vah kritérií - musí vycházet z cíle řešení problému; - musí vycházet z profilu rozhodovatele; - stačí jedna sada, pokud je to přípustné, lze ve fázi Choice doplnit analýzou citlivosti. - Nejlépe Saatyho metodou nebo aspoň metodou bodovací, metodu pořadí používat pouze v nouzi - Stanovení metody výběru kompromisní varianty - Volba závisí na - informaci o preferenci mezi variantami a kritérii; - rozsahu souboru variant a kritérií; - míře snahy eliminovat lidský faktor při provedení výběru. - Konfigurace metody výběru - vyžaduje-li volbu parametrů; - hodnoty parametrů musí vycházet z profilu rozhodovatele. -
-
Stanovení množiny variant - pro každou variantu musí být uvedena stručná charakteristika; - varianta musí být ohodnocena z hlediska všech kritérií. Výstup fáze design pro VAV - model VAV připravený k aplikaci vybrané metody.
Konfigurace modelu VAV – Choice - Propočet modelu pomocí zvolené metody - Pokud je to přípustné lze dále - provést analýzu citlivosti vzhledem ke změnám vah; - v případě nejednoznačného výsledku ověřit doporučení pomocí jiného přístupu (nutno opakovat fázi Design). - Výstup fáze Choice pro VAV - varianta doporučená k realizaci.
Přehled metod - Metoda aspiračních úrovní - nominální informace; - iterační, práce s nastavením aspiračních úrovní; - vhodná pro předvýběr v případě rozsáhlé úlohy. - Metoda pořadí - ordinální informace; - konstrukce matice pořadových čísel; - vhodná pro orientační určení okruhu dobrých variant. - Metoda bodovací - kardinální informace; - konstrukce matice bodových hodnocení; - nutné dodržet stejné bodové stupnice pro všechna kritéria; - vhodná pro stanovení kompromisní varianty v případě, že není možnost použití objektivnější metody. Pokročilé metody VAV - Funkce užitku - Metoda váženého součtu - Metoda bazické varianty - Minimalizace vzdálenosti od ideální varianty - Metoda TOPSIS - Analýza preferenčních vztahů - Metoda PROMETHEE - Metoda AHP - Mezní míra substituce - Metoda postupných substitucí Užitek, funkce užitku - Každé ohodnocení varianty je možno vyjádřit ve formě užitku, který tato varianta přináší - Dílčí hodnoty užitku lze sloučit do celkového užitku varianty a podle toho varianty vybírat - Metody jsou poměrně objektivní, pracují s předloženými daty bez zásahu uživatele
Dílčí funkce užitku - Dílčí funkce užitku převádí ohodnocení řešení do intervalu 〈0, 1〉 - Může mít různý průběh
-7-
Metoda váženého součtu -
Založená na lineární funkci užitku Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici dílčích užitků R = (rij), jejíž prvky získáme pomocí vzorce
rij = -
Příklad
Pokročilé metody VAV - Funkce užitku - Metoda váženého součtu - Metoda bazické varianty - Minimalizace vzdálenosti od ideální varianty - Metoda TOPSIS - Analýza preferenčních vztahů - v hierarchii - metoda AHP - podle preferenčních funkcí - metoda PROMETHEE - Mezní míra substituce - Metoda postupných substitucí
y ij − d j hj − dj
Pro jednotlivé varianty vypočteme celkový užitek k
u(a i ) = ∑ v jrij j =1
Příklad Vyberte nejlepší automobil podle ceny, objemu zavazadlového prostoru a spotřeby.
Příklad
Metoda bazické varianty -
Normalizujeme kriteriální hodnoty vzhledem k vybrané (bazické) hodnotě yB
-
Maximalizační kritérium
rij = -
Metoda TOPSIS - Snaha najít řešení, které je - co nejdále od bazální varianty; - co nejblíže ideální variantě. - Normalizace kriteriální matice
yij y Bj
Minimalizační kritérium
rij = -
Pokročilé koncepty výběru kompromisní varianty
rij =
y Bj
yij m
∑y
yij
i =1
Pro jednotlivé varianty vypočteme celkový užitek k
-
Nikdy nepřevádět povahu kritérií min --> max Zohlednění vah kritérií v normalizované matici
wij = rij ⋅ v j
u (ai ) = ∑ v j rij j =1
2
ij
-
Stanovení ideální a bazální varianty H a D Výpočet vzdáleností všech variant od ideální varianty +
di =
-8-
k
∑ (w j =1
ij
− h j )2
-
Výpočet vzdáleností všech variant od bazální varianty k
∑ (w
−
di = -
j =1
ij
Metoda AHP – příklad Kvantifikace 3. úrovně – Saatyho metoda
− d j )2
Stanovení relativní vzdálenosti variant od bazální varianty
ci =
di− di+ + di−
Metoda TOPSIS - příklad Metoda PROMETHEE - Založena na vyhodnocování vztahů mezi všemi dvojicemi variant z hlediska všech kritérií - Pro každé kritérium je zvolena preferenční funkce a její parametry
Analytický hierarchický proces (Metoda AHP) - Základem je hierarchická struktura úlohy Cíl analýzy
-
-
-
Úroveň 1
Kritérium 1
Kritérium 2
…
Kritérium n
Úroveň 2
Varianta 1
Varianta 2
…
Varianta m
Úroveň 3
Lze přidat další úrovně (např. subkritéria, experty) Metoda založená na postupném rozvrhu vah - vychází ze stanovené hierarchické struktury problému; - prvky na vyšší úrovni hierarchie předávají svoji váhu k rozdělení prvkům na nižší úrovni hierarchie. Velice dobře umožňuje pracovat s neměřitelnými kritérii Pracná pro rozsáhlejší úlohy
Metoda AHP – příklad: Hierarchie úlohy
-9-
Pro každou dvojici variant a všechna kritéria určíme intenzitu preferencí Pro j-té kritérium - Pj(ar, as) = Q(dj), pokud je hodnocení varianty ar lepší než hodnocení varianty as; - Pj(ar, as) = 0, pokud nikoliv. Globální preferenční index (GPI): P(ar, as) = Σvj.Pj(ar, as) Stanovení uspořádání variant: čistý tok - kladný tok – průměr hodnot řádků matice GPI; - záporný tok – průměr hodnot sloupců matice GPI; - čistý tok – rozdíl mezi kladným a záporným tokem.
Vybrané přístupy k hodnocení efektivnosti. Metoda DEA.
Metoda PROMETHEE – příklad Volba preferenčních funkcí - cena: č. 5, p = 50, q = 25; - kufr: č. 3, p = 30; - spotřeba: č. 3, p = 0,6.
Metoda postupných substitucí - Princip: vyplatí se dát více/méně peněz za lepší/horší užitné vlastnosti produktů a služeb? - Indiferenční křivka: spojnice bodů variant se stejnou hladinou preference - Porovnáváme varianty vždy podle dvou kritérií - řídící kritérium – vyřazujeme z hodnocení; - ekvivalizované kritérium – sloučení informací z obou kritérií, používáme pro další hodnocení. - Pro n kritérií potřebujeme n-1 kroků - Volba dvojice kritérií - Stanovení základní indiferenční křivky - Ekvivalizace hodnot řídícího kritéria - Vyloučení řídícího kritéria z rozhodování - Ekvivalizované kritérium vstupuje do dalšího hodnocení - Ukončení: zůstalo pouze 1 kritérium
Praktické aplikace - Řízení lidských zdrojů - Měření výkonnosti organizace nebo její části - Výkon státní správy - Mezinárodní srovnávání Pojem efektivnosti - Musíme vždy vědět, jakou efektivnost zkoumáme - Základem je koncept „3E“ - Economy – dělat věci hospodárně; - Efficiency – dělat věci účinně; - Effectiveness – dělat věci účelně. - Dál se budeme zabývat zejména měřením účinnosti - hospodárnost – přidělení zdrojů a jejich šetření; - účelnost – dána strategickou úrovní řízení. Metoda DEA - Data Envelopment Analysis - Hodnotí poměr vstupy/výstupy - Měří efektivnost objektů (tzv. produkčních jednotek) v rámci daného souboru - rozděluje jednotky na efektivní a neefektivní; - porovnává jednotky vzhledem k nejlepším jednotkám; - udává, v čem a jak zlepšit neefektivní jednotky, aby se staly efektivními. Metoda DEA – komponenty - Produkční jednotky (DMU1 - DMUp) – jednotlivé hodnocené objekty – varianty - Vstupy (X1 – Xm) – minimalizační kritéria - Výstupy (Y1 – Yn) – maximalizační kritéria - Spotřeba vstupů (x11 – xpm) a produkce výstupů (y11 – ypn) – kriteriální matice - Technická efektivnost DMU (φ1 - φp) – agregované kritérium účinnosti transformace Metoda DEA - vstupní údaje
- 10 -
Metoda DEA – pojetí efektivnosti - Relativní míra efektivnosti
efektivnost = -
Virtuální jednotka a peer jednotky - Vždy se určují vzhledem k vybrané produkční jednotce - Virtuální jednotka – hypotetická (někdy reálná) efektivní jednotka, která vyjadřuje efektivní spotřebu vstupů a produkci výstupů pro neefektivní jednotku - Peer jednotky – reálné efektivní jednotky, jejichž vážený součet určuje danou virtuální jednotku
vážená suma výstupů vážená suma vstupů
Jednotka je efektivní, jestliže spotřebovává relativně malé množství vstupů k produkci relativně velkého množství výstupů Pro všechny produkční jednotky počítáme relativní technickou efektivnost
Vstupově orientovaný model CCR
n
Φk =
∑u j =1 m
∑v i =1
-
jk
y jk , k = 1, 2,... p x
ik ik
jako poměr vážené sumy vstupů a vážené sumy výstupů Váhy nastavujeme tak, aby φk bylo maximální Efektivnost jednotek dále ovlivňuje zvolený typ výnosů z rozsahu Výnosy z rozsahu mohou být - konstantní; - rostoucí; - klesající; - nerostoucí; - neklesající; - proměnlivé.
Příklad Šest obchodních zástupců uzavřelo za sledované období kontrakty ve stejné výši 5 mil. Kč. Jejich mzdy a celková najetá vzdálenost za sledované období jsou v tabulce:
Řešení příkladu tis. Km 7
Dolejšová
6
Anděl
5
Eliášová
4
Cink
Burda
3
Fulínová 2 1 0 0
Základní typy modelů DEA - S konstantním výnosem z rozsahu - CCR – autoři Charnes, Cooper, Rhodes; - lineární výnos z rozsahu; - vstupově nebo výstupově orientovaný. - S proměnlivým výnosem z rozsahu - BCC – autoři Banker, Charnes, Cooper; - po částech lineární výnos z rozsahu; - opět vstupově nebo výstupově orientovaný. - Dále se budeme zabývat pouze modely CCR
Zjistěte, kteří obchodní zástupci hospodařili se svými zdroji efektivně. U neefektivních navrhněte krácení zdrojů.
- 11 -
10
20
30
40
tis. Kč
Vstupově orientovaný model CCR - Hledá efektivní množství vstupů odpovídající daným výstupům - Pro každou jednotku stanoví individuální váhy vstupů a výstupů - jednotka maximalizuje svůj koeficient technické efektivnosti ΦH; - váhy nemohou být záporné; - při použití tohoto souboru vah pro všechny jednotky nesmí být žádný koeficient technické efektivnosti větší než jedna.
Příklad V dalším období pracovali obchodní zástupci s následujícími parametry: ¨
Model LP – pan Anděl
Φ1 = 4u11 → MAX 20v11 + 5v21 = 1 −20v11 − 5v21 + 4u11 ≤ 0 −28v11 − 3v21 + 5u11 ≤ 0 −20v11 − 3v21 + 5u11 ≤ 0
Matematický zápis modelu -
Každá produkční jednotka má svůj vlastní model Pro H-tou produkční jednotku:
-
n
ΦH =
∑u j =1 m
jH
∑v i =1
iH
j =1 m
jH
∑v i =1
iH
Po úpravě – model lineárního programování Stále pro H-tou produkční jednotku:
y jH → MAX xiH
y jk ≤ 1 pro k = 1,2,..., p
u jH ,viH ≥ 0
−32v11 − 5v21 + 8u11 ≤ 0 −40v11 − 2v21 + 5u11 ≤ 0 u11 , v11 , v21 ≥ 0
ΦH = ∑ u jH y jH → MAX
Model LP – pan Anděl – Linkosa
Výsledek – pan Anděl – Linkosa
j =1
m
∑v
iH
i =1
xik
−17v11 − 6v21 + 5, 5u11 ≤ 0
n
n
∑u
-
Zhodnoťte efektivnost vynaložených nákladů na činnost těchto zástupců.
xiH = 1
m
n
i =1
j =1
− ∑ viH xik + ∑ u jH y jk ≤ 0 u jH ,viH ≥ 0
Výsledek modelu - Efektivnost zkoumané jednotky - ΦH = 1, potom je jednotka efektivní; - ΦH < 1, potom je jednotka neefektivní. - Váhy vstupů – hodnoty proměnných vi - Váhy výstupů – hodnoty proměnných uj - Peer jednotky – viz nebázické doplňkové proměnné - Virtuální jednotka - lineární kombinace peer jednotek; - koeficienty – jejich duální ceny.
pro k = 1,2,..., p Interpretace pro pana Anděla Efektivnost = 70% Peer jednotky: Cink, Dolejšová Virtuální jednotka: - mzda: 13 970 Kč - najeto: 3 510 Km
Kompletní výsledky
- 12 -
Výstupově orientovaný model CCR - Někdy nám až tak nezáleží na zdrojích, ale chceme odpovídající výkon - Hledá se tedy efektivní množství výstupů odpovídající daným vstupům - Pro každou jednotku se stanoví individuální váhy vstupů a výstupů - jednotka minimalizuje svůj koeficient technické efektivnosti ΦH; - váhy nemohou být záporné; - při použití tohoto souboru vah pro všechny jednotky nesmí být žádný koeficient technické efektivnosti menší než jedna.
Příklad Uznejte obchodním zástupcům jejich vstupy ve II. období, ale prověřte jejich efektivnost z hlediska uzavřených kontraktů
Každá produkční jednotka má opět svůj vlastní model Pro H-tou produkční jednotku:
-
ΦH =
i =1 n
∑ u jH y jH
→ MIN
j =1
i =1 n
∑u j =1
iH
jH
xik
≥ 1 pro k = 1, 2,..., p
y jk
u jH , viH ≥ 0
−20v11 − 5v21 + 4u11 ≤ 0 −20v11 − 3v21 + 5u11 ≤ 0 −17v11 − 6v21 + 5,5u11 ≤ 0
-
Po úpravě – model lineárního programování Stále pro H-tou produkční jednotku:
ΦH = ∑ viH xiH → MIN
Neefektivním obchodním zástupcům určete výkon odpovídající efektivnímu vynaložení zdrojů
−32v11 − 5v21 + 8u11 ≤ 0 −40v11 − 2v21 + 5u11 ≤ 0 u11 , v11 , v21 ≥ 0
Model LP – pan Anděl – Linkosa
Výsledek – pan Anděl – Linkosa
i =1
n
∑u j =1
m
∑v
4u11 = 1
m
m
∑ viH xiH
Φ1 = 20v11 + 5v21 → MIN
−28v11 − 3v21 + 5u11 ≤ 0
Matematický zápis modelu -
Model LP – pan Anděl
jH
y jH = 1
m
n
i =1
j =1
−∑ viH xik + ∑ u jH y jk ≤ 0 pro k = 1, 2,..., p
Interpretace pro pana Anděla Efektivnost = 143% (měl by zvýšit výstup o 43%) Peer jednotky: Cink, Dolejšová Virtuální jednotka: - kontrakty: 5,74 mil. Kč
u jH , viH ≥ 0
Výsledek modelu - Koeficient efektivnosti zkoumané jednotky - ΦH = 1, potom je jednotka efektivní; - ΦH > 1, potom je jednotka neefektivní. - Váhy vstupů – hodnoty proměnných vi - Váhy výstupů – hodnoty proměnných uj - Peer jednotky – viz nebázické doplňkové proměnné - Virtuální jednotka - lineární kombinace peer jednotek; - koeficienty – jejich duální ceny.
Kompletní výsledky
- 13 -
Metoda DEA - výhody a nevýhody Výhody - individuální model pro každou jednotku; - dobře interpretovatelné výsledky; - nevyžaduje agregovatelnost vstupů a výstupů; - dobře si poradí s měkkými faktory (sociální, environmentální, apod.) jako vstupy a výstupy. Nevýhody - platnost výsledků je omezena na danou skupinu objektů; - nezkoumá se efektivnost teoretická, ale praktická; - náročné na ruční zpracování výpočtu (odpadá při použití vhodného softwaru).
Vícekriteriální optimalizace
Model – problém investora x1 … akcie (mil. Kč) x2 … podílové fondy (mil. Kč) x1 + x2 ≤ 10 (mil. Kč) x1 ≥ 1 (mil. Kč) x2 ≥ 2 (mil. Kč) z1 = 6x1 + 4x2 … MAX (10 tis. Kč) z2 = 2x1 + x2 … MIN (mil. b.) x1, x2 ≥ 0
Vybrané aplikace Prakticky vše je možné hodnotit vícekriteriálně zemědělství – produkční x mimoprodukční funkce; investice – výnos x rizikovost; projektové řízení – čas x náklady; dopravní problémy – čas x spotřeba paliva; apod. … Vícekriteriální rozhodování - Vícekriteriální optimalizační model - množina přípustných řešení je nekonečná. - Model vícekriteriální analýzy variant - množina přípustných řešení je konečná.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Parciální optimalizace - Dílčí optimální řešení - optimalizace podle jednotlivých kriteriálních funkcí (bez ohledu na funkce ostatní); - výsledky zapisujeme do kriteriální tabulky. - Ideální hodnoty kritérií -> ideální varianta - Bazální hodnoty kritérií-> bazální varianta
Vícekriteriální optimalizace - Cíl: nalézt řešení, které bude co nejlepší z hlediska více kritérií - Kritéria mohou být protichůdná – řešení není optimální, pouze kompromisní - Technicky se jedná o model vícekriteriálního lineárního programování Zápis modelu
12
Parciální optimalizace – investor
z1 (x) = c1T x → MAX z2 (x) = cT2 x → MAX
Ideální varianta H = (56; 4) Bazální varianta D = (14; 18)
... zk (x) = ckT x → MAX Ax ≤ b x≥0
Hledání kompromisu - Parciální optimalizace – nalezení dílčích optimálních řešení - Stanovení ideální a bazální varianty - Různé přístupy k hledání kompromisního řešení - agregace kriteriálních funkcí; - převod kriteriálních funkcí na omezující podmínky; - cílové programování. Příklad – problém investora Investor se rozhoduje o rozložení investice o výši maximálně 10 mil. Kč mezi akcie a podílové fondy (PF). Požaduje nakoupit akcie za minimálně 1 mil. Kč a minimálně 2 mil. Kč uložit do PF. Investor předpokládá výnos z investice 1 Kč do akcií ve výši 6 hal., z investice 1 Kč do PF ve výši 4 hal. Investor si dále ohodnotil rizikovost 1 Kč investované do akcií dvěma body (do PF jedním bodem). Jak má investor rozložit investici, aby za daných podmínek maximalizoval výnos a zároveň minimalizoval rizikovost svého portfolia?
- 14 -
Agregace kriteriálních funkcí - Součtová agregace – nutno ošetřit 3 aspekty - Různé jednotky kriteriálních funkcí - normalizace cenových koeficientů proměnných. - Váhy kriteriálních funkcí - není nutný normalizovaný vektor vah; - násobíme jimi normalizované cenové koeficienty. - Povaha kriteriální funkce - maximalizační funkce – přičítáme; - minimalizační funkce – odčítáme; - výsledná funkce je maximalizační. Agregace kriteriálních funkcí – investor Varianta 1 – váhy 1:1 Normalizace (6; 4) → 10 → (0,6; 0,4) (2; 1) → 3 → (2/3; 1/3) Váhy 1.(0,6; 0,4) = (0,6; 0,4) 1. (2/3; 1/3) = (2/3; 1/3) Povaha a agregace zA1:1 = +(0,6; 0,4) - (2/3; 1/3) zA1:1 = -0,067x1 + 0,067x2 … MAX
Převod kriteriálních funkcí na omezující podmínky - Převod všech kriteriálních funkcí na omezení kromě jedné - Levá strana omezující podmínky - dána předpisem kriteriální funkce. - Stanovení hodnoty pravé strany - v intervalu daném ideální a bazální hodnotou daného kritéria. - Stanovení typu omezení - maximalizační funkce – požadavková OP; - minimalizační funkce – kapacitní OP. - Kompromisní řešení – optimalizace podle kriteriální funkce nepřevedené na omezení Převod kritéria na omezení – investor Investor je ochoten přijmout riziko do výše 12 mil. bodů. Nová omezující podmínka 2x1 + x2 ≤ 12 (mil. bodů) Optimalizujeme výnos z1 = 6x1 + 4x2 … MAX (10 tis. Kč)
Agregace kriteriálních funkcí – investor Varianta 2 – váhy 1:3 Normalizace (6; 4) → 10 → (0,6; 0,4) (2; 1) → 3 → (2/3; 1/3) Váhy 1.(0,6; 0,4) = (0,6; 0,4) 3. (2/3; 1/3) = (2; 1) Povaha a agregace zA1:3 = +(0,6; 0,4) - (2; 1) zA1:3 = -1,4x1 - 0,6x2 … MAX zA1:3 = 1,4x1 + 0,6x2 … MIN
- 15 -
Cílové programování - Stanovení cíle pro všechny kriteriální funkce - z intervalu daného ideální a bazální hodnotou daného kritéria. - Minimalizace odchylek od zvolených cílů - nedosažení: odchylkové proměnné n; - překročení: odchylkové proměnné p. - Cílové omezující podmínky - levá strana: předpis kriteriální funkce a odchylkové proměnné; - pravá strana: cíl; - typ podmínky: určení (právě rovno). - Nové kritérium: minimalizace odchylek od cílů - oboustranné: z = n + p → min; - jednostranné: penalizujeme pouze horší než cílové hodnoty, ale překročení cílů nám nevadí; - s váhami: váhy použijeme jako cenové koeficienty odchylkových proměnných.
Cílové programování - investor Stanovené cíle 1 z1 = 40 (10 tis. Kč) z2 = 12 (mil. bodů)
Stanovené cíle 2 z1 = 48 (10 tis. Kč) z2 = 10 (mil. bodů)
Nová kriteriální funkce z = n1+ n2+ p1+ p2 … MIN x1, x2, n1, n2, p1, p2 ≥ 0
Nová kriteriální funkce z = n1+ n2+ p1+ p2 … MIN x1, x2, n1, n2, p1, p2 ≥ 0 12 11 10
Přímky cílů se neprotínají v množině přípustných řešení
9 8
Cílové programování – investor
7 6
Stanovené cíle z1 = 40 (10 tis. Kč) z2 = 12 (mil. bodů)
Cílové omezující podmínky 6x1 + 4x2 + n1 - p1 = 40 (10 tis. Kč) 2x1 + x2 + n2 - p2 = 12 (mil. b.)
5 4 3 2
Nová kriteriální funkce (oboustranná penalizace odchylek) z = n1+ n2+ p1+ p2 … MIN
0 0
Nová kriteriální funkce (jednostranná penalizace odchylek) z = n1+ p2 … MIN
Cíl výnos
Cíl riziko
1
Lze takto vyřešit graficky
Nová kriteriální funkce (oboustranná penalizace odchylek s váhami 1:3) z = n1+ 3n2+ p1+ 3p2 … MIN Nová kriteriální funkce (jednostranná penalizace odchylek s váhami 5:2) z = 5n1+ 2p2 … MIN x1, x2, n1, n2, p1, p2 ≥ 0
- 16 -
1
2
3
4
5
6
7
Graficky obtížné, nutno simplexem
8
9
10
Strukturní analýza Význam strukturních modelů - Bilance vztahů mezi jednotlivými hospodářskými soubory (odvětvími) - analýza minulého stavu systému - Plánování činnosti systému, využití výrobních zařízení apod. - Možnost sledovat vliv změn v systému při zachování výchozích relací. - Vyčíslení vlivu hodnotových změn - propočty cenových úprav - Určení podmínek hospodářské stability a rovnováhy systému, nikoliv nalezení optimálního stavu. Klasifikace strukturních modelů Třídící znak
Typ modelu
Oblast použití
Vazba na okolí
otevřený
problematika návaznosti zkoumaného systému na jiné systémy
uzavřený
problematika vnitřní struktury systému
statický
statistická bilance
Faktor času Rozsah informací
dynamický
perspektivní plán
národohospodářská bilance
statistický rozbor a plánování
dílčí bilance analýza vztahů mezi (odvětvová, podniková) výrobními procesy Měrné jednotky
naturální
analýza materiálových toků
hodnotové
tvorba cen
Strukturní analýza – princip Každé odvětví určitého systému je zároveň - spotřebitelem - produktů od jiných odvětví; - části své vlastní produkce; - primárních činitelů (vstupy z okolí). - dodavatelem vlastní produkce - pro ostatní odvětví; - pro sebe; - pro prodej finální produkce. Příklad – zadání Podnik se zabývá rostlinnou a živočišnou výrobou a rovněž provozuje vlastní pekárnu. Kromě toho, že část své produkce spotřebuje ve výrobě, ještě sleduje externí vstupy: mzdy a materiálové náklady a zisk před odpisy a daněmi.
Strukturní analýza – model Input-output tabulka
Kvadranty modelu strukturní analýzy I. kvadrant výrobní spotřeby matice meziodvětvových (endogenních) toků. II. kvadrant konečné spotřeby exogenní (vnější) toky produkce rozdělení finální produkce (čtyři sektory: spotřeba obyvatelstva, celospolečenská spotřeba, investiční výstavba a zahraniční obchod III. kvadrant primárních činitelů spotřeba živé práce, nakoupených materiálů, energie, surovin apod. (např. odpisy, mzdy, zisky včetně daní). IV. kvadrant údaje o tocích primárních zdrojů ve finální spotřebě. Otevřený strukturní model
x = (x1, x2, ..., xn)T vektor celkové produkce X = (xij), i = 1, ..., n, j = 1, ..., n matice výrobní spotřeby meziproduktu y = (y1, y2, ..., yn)T vektor finální produkce z = (z1, z2, ..., zr)T vektor celkové spotřeby primárních činitelů Z = (zkj), k =1,..., r, j = 1,..., n matice spotřeby primárních činitelů v jednotlivých odvětvích n
∑x Rozdělovací rovnice
j =1
ij
+ yi = xi , i = 1,..., n
kj
= zk , k = 1,..., r
n
∑z j =1
Technicko-ekonomické koeficienty
A = ( aij ) =
Normy spotřeby primárních činitelů
M = ( mkj ) =
- 17 -
xij xj zkj xj
neboli xij = aij x j neboli zkj = mkj x j
Příklad – řešení - Vliv požadavku navýšení finální produkce rostlinné výroby o 20% na ostatní parametry systému - nová finální produkce: y = (12; 70; 70)T - nová celková produkce: x = (92,31; 80,14; 100,01)T
Rozdělovací rovnice
x = Ax + y z = Mx x - Ax = y
nová matice X
y = (E - A)x
10,26 5,13 0,00
Jaká bude finální produkce?
Leontiefova matice (E-A) určuje vyprodukovanou finální produkci z jednotky celkové produkce
nová matice Z 30,05 5,01 5,01
40,00 0,00 25,00
46,16 30,77
25,04 15,03
15,00 20,00
Smíšená úloha Jde o úlohu, kdy jen u některých odvětví známe plánovanou celkovou produkci a u zbývajících plánovanou finální produkci.
x = (E - A)-1y Jaká bude celková produkce? Inverzní Leontiefova matice (E-A)-1 určuje požadovanou celkovou produkci potřebnou pro jednotku finální produkce, obsahuje potřebu spotřeby.
x x= k xe
Příklad Určete následující údaje: - finální produkci jednotlivých odvětví; - vliv snížení celkové produkce pekáren o 10% na ostatní parametry systému; - vliv požadavku navýšení finální produkce rostlinné výroby o 20% na ostatní parametry systému.
yk , y = ye
známe xk a ye
A A = kk Aek
Ake Aee
- rozdělená matice A
Výchozí model Matice (E-A)-1
(E-A) 0,888889 -0,05556 0
-0,375 0,9375 -0,0625
-0,4 0 0,75
M
1,156482 0,503712 0,61679 0,068532 1,096516 0,036551 0,005711 0,091376 1,336379
0,5 0,333333
0,3125 0,1875
0,15 0,2
xk Akk = xe Aek
Příklad
Určete zbývající hodnoty celkové a finální produkce a ostatní parametry v systému
nová matice Z 30 5 5
36 0 22,5
45 30
Pro výše uvedený podnik stanoven následující plán: celková produkce rostlinné výroby … 100 celková produkce živočišné výroby … 120 finální produkce pekáren … 60
Vliv snížení celkové produkce pekáren o 10% na ostatní parametry systému nová celková produkce: x = (90; 80; 90)T nová finální produkce: y = (14; 70; 62,5)T
10 5 0
x y . k + k xe ye
Vede na řešení soustavy n rovnic o n neznámých
Finální produkce jednotlivých odvětví y = (10; 70; 70)T
nová matice X
Ake Aek
25 15
13,5 18
- 18 -
Příklad – řešení
Cenové indexy
Soustava lineárních rovnic 100 = 0,111*100 + 0,375*120 + 0,4*x3 + y1 120 = 0,056*100 + 0,063*120 + 0x3 + y2 x3 = 0*100 + 0,063*120 + 0,25x3 + 60
I aj =
z aj
z ′aj = z aj .I aj
Příklad: Amortizace v prvním odvětví stoupne o 10%, v ostatních odvětvích zůstane nezměněná. Jak se znění vektor amortizace?
Řešení x3 = 90 y1 = 7,889 y2 = 106,944 nová matice X 11,11 5,56 0,00
z ′aj
1,1 1 z ′a = (5 100 20 50 ). = (5,5 100 20 50) 1 1
nová matice Z 45,00 7,50 7,50
36,00 0,00 22,50
50,00 33,33
37,50 22,50
13,50 18,00
Uzavřený strukturní model - Vnitřní rovnováha systému - produkce každého vyrobeného produktu se právě rovná požadovanému množství
Příklad Jak se změní ceny produkce jednotlivých odvětví, jestliže zisk před odpisy a daněmi v prvním odvětví vzroste o 10%, ve druhém o 2% a ve třetím o 5%? Mzdové a materiálové náklady se nemění.
Ax = x tedy (E - A)x = 0 Výsledky -
Náklady na výrobu j-tého výrobku nesmí být větší než jeho cena (podmínka rentability) pT A ≤ pT neboli pT (E - A) ≤ 0
(p vektor cen výrobků jednotlivých odvětví)
Propočty cenových změn – podmínky: - Známe meziodvětvovou bilanci v peněžním vyjádření - Platí předpoklad, že typický rozsah produkce se v důsledku změn cen, mezd, zisků nemění Základní model v maticovém zápisu
XˆI p = XˆA I p + Rˆ I a + Mˆ I m + ZˆI z T
+ když tam budou další primární činitelé, pokračuje se stejným způsobem dále
(
−1 ˆ + MI ˆ + ZI ˆ I p = ( E − AT ) Xˆ −1 RI aj mj zj
)
X̂ … Diagonální matice celkové produkce Ip … Index cen produkce odvětví Ia … Index amortizace Im … Index mezd Iz … Index zisku AT … Transponovaná matice technických koeficientů R ̂ … Diagonální matice amortizace M ̂ … Diagonální matice mezd Z ̂ … Diagonální matice zisku
- 19 -
Nedostatky strukturních modelů - Nelze dobře zobrazit záměnu surovin, technologií nebo kapacit. - Nerespektují při propočtu kapacitní, surovinová a jiná omezení. - Nejsou to modely optimalizační. - Nelze zjistit, je-li rovnovážný stav, o který usilujeme, výhodný
Nejdůležitější parametry
Stochastické procesy I. Základní pojmy, Bernoulliho posloupnost, Markovské řetězce
E { X ( t )} , x ( t )
Střední hodnota=střední hodnotě odpovídajícího průseku Vybrané aplikace • Obecně: všude, kde působí faktor náhody • Odhad pravděpodobnosti poruchy nebo pojistné události • Obnova a zálohování poruchových částí strojů • Výpočty v pojišťovnictví • Prognózy volebních výsledků, účinnosti marketingových kampaní
{
Pulsace=centrovaný stochastický proces
{
0 -1 0
5
10
15
Korelační funkce
{
o
20
25
20
25
Členění stochastických procesů
-3 -4 -6 -7 teplota pondělí 2 1
F ( t , e0 ) = x ( t )
5
10
15
-2 -3 -4 -5 -6 -7
Příklady stochastických procesů
4
Průsek stochastického procesu Průsek stochastického procesu je náhodná veličina. Má střední hodnotu a rozptyl.
2 0 0 -2
8
16
24
teplota pondělí teplota úterý teplota středa
-4
t = t0
o
}
}
Normovaná korelační funkce=korelační koeficient r ( t1 , t2 ) =
-2
0 -1 0
o
X = X (t ) − x (t )
= E X ( t1 ) X ( t2 )
-5
e = e0
2
k ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) − x ( t1 ) X ( t2 ) − x ( t2 ) =
Definice stochastického procesu Stochastický proces je funkce dvou proměnných, jedna z nich je náhodná a druhá nenáhodná. X(t) = F(t,e) teplota pondělí e… náhodný jev 2 t… nenáhodná veličina (obvykle čas) 1 Realizace stochastického procesu Realizace náhodného procesu je nenáhodná funkce. (nahoře ve spojitém čase, dole v diskrétním čase)
}
o
2
Rozptyl =rozptylu odpovídajícího průseku D { X ( t )} = E ( X ( t ) − x ( t ) ) = E X ( t )
-6 -8
F ( t0 , e ) = X ( t ) - 20 -
k ( t1 , t 2 ) σ ( t1 ) σ ( t2 )
Definice pravděpodobnosti • Rozvoj: od 17 stol. (hazardní hry) • Míra očekávatelnosti výskytu náhodného jevu • Klasická (Laplaceova) definice: o konečný počet různých výsledků; o všechny výsledky jsou stejně možné; o žádné dva výsledky nemohou nastat současně. • Statistická definice: o N – náhodných pokusů; o výskyt jevu A v K případech. • Další definice: o geometrická definice, o Kolmogorova definice, …
P( A) =
P( A) ≅
Výpočty • Pay-off odds o Porovnáme odds PROTI a poměr výplaty a investice o Pokud odds PROTI > V0/W, investici zamítneme • Implied pay-off odds (spekulativní) o Pokud odds PROTI > V0/W, investici zatím nezamítneme o Vypočteme nutnou celkovou výplatu V > odds PROTI * W o Dodatečná výplata V1 = V – V0 o Pokud usoudíme, že jsme schopni ji získat, investici přijmeme • Reverse implied pay-off odds (spekulativní) o Pokud odds PROTI < V0/W, investici zatím nepřijmeme Zvážíme dodatečná rizika a možnosti ztrát Obvykle vede na nový model
m n
K N
Příklady • Tržní cena ojetého automobilu ve funkčním stavu je 35 tis. Kč. Porouchal se motor, oprava bude stát 15 tis. Kč, ale pravděpodobnost úspěchu opravy je pouze p = 2/3. Vyplatí se nechat si auto opravit? • Dvě politické strany (A, B) se ucházejí o přízeň stejné skupiny voličů. Současný stav je 60/40 pro A. Strana B uvažuje o zveřejnění kompromitující informace na leadera A (pravdivost informace p = 0,6). V případě neprokázání pravdivosti informace riskuje znechucení 20% bodů svých voličů, kteří by určitě přešli k A. V případě pravdivosti 10% bodů voličů A určitě přejde k B a další voliči spíše přejdou k B. Je výhodné informaci zveřejnit? • Investor má 10 000 EUR. Může investovat ihned s čistým výnosem 1,4% p.a. při inflaci Eurozóny 1,3%, nebo může spekulovat na vydání nové emise státních dluhopisů ČR (p = 0,9) a investovat s čistým výnosem 2% p.a. při inflaci 1,4%. Vyplatí se investorovi počkat?
Vyjádření pravděpodobnosti • Relativní četnost o desetinným číslem p ∈ <0; 1>; o v procentech. • Šance (odds) o poměr pravděpodobností nastání a nenastání jevu; o 1:1, 2:5, atd., obecně x:y. • Vztah mezi relativní četností a šancí
p= •
x x+ y
Úzké spojení s teorií rozhodování o princip EMV bude fungovat vždy; o pro orientační propočty je někdy šance vhodnější.
Pravděpodobnost a rozhodování • Šance na zisk výplaty (Pay-off odds, lze spočítat) o Získání benefitu (výplaty) V0 je závislé na náhodném jevu A, který nastane s pravděpodobností p(A), a podmíněno investicí W • Šance s dodatečnou výplatou (Implied pay-off odds, spekulativní) o Získání benefitu (výplaty) V0 je závislé na náhodném jevu A, který nastane s pravděpodobností p(A), a podmíněno investicí W. V případě nastání jevu A lze kalkulovat s dodatečnou výplatou ve výši V1, tj. celkem poté realizujeme výplatu V = V0 + V1 • Šance s dodatečnou ztrátou (Reverse implied pay-off odds, spekulativní) o Získání benefitu (výplaty) V0 je závislé na náhodném jevu A, který nastane s pravděpodobností p(A), a podmíněno investicí W. V případě nastání jevu A však musíme kalkulovat s dodatečnými náklady ve výši V1, tj. celkem poté realizujeme výplatu V = V0 - V1
Řešení příkladů • Oprava automobilu o Odds proti: 1:2 = 0,5 < pay-off odds 35/15 = 1,3 nechat opravit • Volby o Odds proti: 4:6 = 0,67 > pay-off odds 10/20 = 0,5 nezveřejňovat, ale: o Otázka: Kolik dalších voličů bychom museli získat, aby se to vyplatilo? Je to reálné? o n/20 > 0,67 n > 13,33 Pokud reálně dokážeme získat další 3,33% bodu voličů, informaci se vyplatí zveřejnit. • Investor počkat, ale: o Odds proti: 1:9 = 0,11 > pay-off odds 0,6/0,1 = 6 o Nehrozí devalvace/zvýšení inflace CZK? o Těžko spočítat s rozumnou spolehlivostí.
- 21 -
Bernoulliho posloupnost n…počet nezávislých pokusů celkem k…počet pokusů při nichž nastane jev A p… pravděpodobnost, že nastane jev A q=1-p…pravděpodobnost, že jev A nenastane Pravděpodobnost, že se jev A uskuteční právě k-krát je:
n pk { A} = p k q n − k k
n pk { A} = p k q n − k ; q = 1 − p k
Příklad 1 – Hod mincí Vypočítejte pravděpodobnost, že při 10 hodech minci padne právě 5x orel. p…pravděpodobnost, že padne orel při jednotlivém hodu 10 5 q…pravděpodobnost, že nepadne orel
n pk { A} = p k q n − k ; q = 1 − p k
p5 {orel} = 0,5 .0,55 = 5 10.9.8.7.6 = 0, 03125.0, 03125 = 0, 246 1.2.3.4.5
Bernoulliho posloupnost - příklad 1 Pravděpodobnosti, že orel padne 0-10x 0,25
1
2
3 1 5 1 25 p1 { padne 6} = = 3. . = 0,3472 1 6 6 6 36 2
1
3
0
3 1 5 1 5 p2 { padne 6} = = 3. . = 0, 0694 36 6 2 6 6 3 1 5 1 p3 { padne 6} = = 1. .1 = 0, 0046 3 6 6 216 p1 + p2 + p3 = 0, 4212 Příklad - Klíčivost semen Uvažujme klíčivost kukuřice 96%. Jaká je pravděpodobnost, že z 10 zasetých semen jich vyklíčí 9? n=10; k=9; p=0,96; q=0,04 Řešení: = 0,277
0,2
Z 10 zasetých semen vyklíčí 9 s pravděpodobností 27,7%. pp., že vyklíčí právě 10 semen, je 0,66. pp., že vyklíčí alespoň 9 semen, je 0,94.
0,15
Markovské řetězce • Markovská vlastnost Stav v okamžiku n+1 závisí pouze na stavu v okamžiku n. • Podmíněná pravděpodobnost přechodu pij Pravděpodobnost přechodu ze stavu i v okamžiku n do stavu j v okamžiku n+1
0,1
0,05
0 0
2
4
6
8
10
Matice přechodu Markovského řetězce • Vždy čtvercová • Součet řádků se rovná 1
Příklad 2: Hod kostkou Vypočítejte pravděpodobnost, že při 3 hodech kostkou padne alespoň jedna šestka. p…pravděpodobnost, že padne šestka při jednotlivém hodu q…pravděpodobnost, že nepadne šestka Budeme sčítat pravděpodobnosti, že padne 1, 2 nebo 3 šestky.
- 22 -
p11 p P = 21 M pn1
p12 K p22 K M M pn 2 K
p1n p2 n M pnn
Vektor absolutních pravděpodobností • Vektor pravděpodobností jednotlivých stavů v určitém okamžiku • V okamžiku 0: vektor počátečních pravděpodobností
p ( m ) = ( p1 ( m ) , p2 ( m ) ,..., pn ( m ) ) , m = 0,1, 2,...
Výpočty absolutních pravděpodobností vektor absolutních pravděpodobností (řádkový) násobíme maticí přechodu:
p (1) = p ( 0 ) P
p (2) = p (1) P M p (n) = p ( n − 1) P
Příklad 1: Oprava stroje Stroj může být buď v provozu (stav P), nebo v opravě (stav O). Pravděpodobnost, že se stroj během dne porouchá je 0,2. Pravděpodobnost, že stroj bude během dne opraven je 0,7. Na začátku sledování je stroj v provozu.
Výpočet limitních pravděpodobností
Možné stavy Markovských řetězců • Absorpční stav • Ergodický stav pokud se do něj Markovský řetězec jednou stav, který je trvalý, není nulový a není dostal, nemůže se dostat do jiného stavu periodický • Trvalý stav • Nepodstatný stav systém se do něj vrací s pravděpodobností 1 přechod ze stavu si do stavu sj je možný přechod opačným směrem není možný • Přechodný stav Podstatný stav pravděpodobnost návratu do tohoto stavu je • menší než 1 stav, který není nepodstatný vzájemně dosažitelné stavy jsou sousledné • Trvalý nulový stav Uzavřená třída trvalý stav se nazývá nulový, jestliže počet kroků • pro návrat má nekonečně velkou střední hodnotu skupina vzájemně dosažitelných stavů (nazývá se také rekurentní nulový) • Regulární řetězec • Trvalý nenulový stav všechny stavy jsou ergodické a tvoří jednu trvalý stav, pro než má počet kroků pro návrat uzavřenou třídu konečnou střední hodnotu takový řetězec je nerozložitelný pokud návrat může nastat kdykoliv, jedná se o • Rozložitelný řetězec ergodický stav změnou pořadí stavů lze vytvořit jednotkovou pokud návrat může nastat po určitém počtu submatici nebo submatice kroků, jedná se o periodický stav Regulární řetězec konverguje – limitní pravděpodobnosti existují Určete, jaké povahy jsou následující stavy:
Některé řetězce se po určitém počtu kroků dostanou do stavu, kdy se v dalších okamžicích nemění = konvergují. Jejich stav je potom na čase nezávislý. Limitní pravděpodobnosti - příklad
p1n +1 = p11 p1n + p21 p2n p2n +1 = p12 p1n + p22 p2n p1∞ = p11 p1∞ + p21 p2∞ p2∞ = p12 p1∞ + p22 p2∞ 0 = 0,8 p1 + 0,7 p2 0 = 0,2 p1 + 0,3 p2 − 0,2 p1 + 0,7 p2 = 0 0,2 p1 − 0,7 p2 = 0 0,2 p1 − 0,7 p2 = 0 p1 + p2 = 1
- 23 -
7 2 p1 = ; p2 = 9 9
Výsledek – limitní pravděpodobnosti Ergodické pravděpodobnosti: p=(0,8108;0,0901;0,0901;0,0090) Oba stroje ve stavu porucha odpovídá stavu s4 a jeho dlouhodobá pravděpodobnost je 0,9%.
Příklad 2 - Výpočet limitních pravděpodobností: Je daná matice přechodu
Soustava rovnic Jednu z rovnic (1),(2),(3) můžeme vynechat z důvodu lineární závislosti – např. (1) a řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých
Aplikace Markovských retězců:Modely prosté obnovy Stále stejný počet jednotek v souboru Porouchaná jednotka se neopravuje – nahrazuje se novou Během jednoho časového kroku jednotka buď: Zestárne Selže a je nahrazena novou
p1 = 0,9 p1 + 0,5 p2 + 0,1 p3 p2 = 0, 05 p1 + 0, 4 p2 + 0,5 p3 p3 = 0, 05 p1 + 0,1 p2 + 0, 4 p3 1 = p1 + p2 + p3
Příklad 3 - Dva identické stroje Pro zlepšení spolehlivosti stroje byl instalován ještě jeden identický stroj, který se ale v případě fungování prvního stroje nepoužívá. Na konci každého pracovního dne se provozovaný stroj kontroluje. Pravděpodobnost poruchy během dne je 0,1 a nezávisí na době, po jakou byl nepřetržitě v provozu. Oprava trvá vždy přesně dva dny. Porouchaný stroj se nahrazuje záložním pokud tento není také porouchaný. Spočítejte pravděpodobnost, že budou oba stroje ve stavu porucha. Postup: 1. Přesná definice možných stavů systému: 2. Sestavení matice přechodu 3. Výpočet absolutních pravděpodobností pro n dní 4. Zhodnocení, zda řetězec konverguje, vektor limitních pravděpodobností. s1…oba stroje v provozu s2…jeden stroj 1. den v opravě, druhý stroj v provozu s3…jeden stroj 2. den v opravě, druhý stroj v provozu s4…jeden stroj 1. den v opravě, druhý stroj 2. den v opravě
ai ≥ 0, i = 1, 2,..., T
r0 = 1
ai = 1, i = T + 1, T + 2,...
rT = 0
T
∑a i =1
i
=1
a0 = 0
rT −1 = aT ri = ai +1 + ai + 2 + ... + aT , i = 0,1,..., T − 1 ri −1 − ri = ai , i = 0,1,..., T − 1
T
V = ∑ iai i =1
Matice přechodu
T −1
V = ∑ ri i =0
stav
0
1
2
3
K T −1
0
a1 a2 r1
r1
0 r2 r1
0
K
0
0
K
0
1
0
2
a3 r2
0
0
r3 r2
K
0
M
M
M
M
M
M
M
T −2
aT −1 rT − 2
0
0
0
K
rT −1 rT − 2
T −1
1
0
0
0
K
0
Matice podmíněných pravděpodobností přechodu
r 1 r q = , 1 ,..., T −1 V V V Průměrná věková struktura N Nr Nr N = , 1 ,..., T −1 V V V
- 24 -
Model obnovy: příklad V call-centru pracuje 50 osob. Zaměstnanci se často mění a nikdo tam nevydrží víc než 4 roky. Nábor nových zaměstnanců se provádí průběžně a náklady se odhadují na 20000,- Kč na získání a zaučení nového zaměstnance. Jaké jsou průměrné náklady na nábor za jeden rok
Roční počet odcházejících Matice přechodu:
Výpočty pravděpodobností Pravděpodobnost, že v čase t nastane právě k událostí 0! …=1 (cokoli)0=1 Pravděpodobnost, že v čase t nenastane žádná událost
P {N (t ) = k} = e
− λt
( λt ) k!
k
,t ≥ 0
P { N ( t ) = 0} = e − λt , t ≥ 0
( P { N ( t ) f 0} = 1 − e − λt L pravděp.,že alespon jedna nastane
Průměrná životnost:
j Výpočty pravděpodobností k −1 ( λt ) , t ≥ 0 Pravděpodobnost, že v čase t nastane nejvýše k-1 událostí P {S k > t} = ∑ e − λt j! j =0
1+0,2+0,1+0,05=1,35 Počet přijatých každý rok: 1/1,35=0,74 0,74*50=37 Náklady: 37*20 000= 740 000 Kč
Stochastické procesy II Poissonův proces, Systémy hromadné obsluhy
Poissonův proces Čítací (diskrétní) proces, který zkoumá počet určitých jevů v daném intervalu. Pravděpodobnost, že nastane alespoň jedna událost v čase x. Distribuční funkce pro intervaly po sobě jdoucích událostí je exponenciální. Xn…čas, který uplyne mezi (n-1) výskytem a n-tým výskytem e… základ přirozeného logaritmu λ...intenzita Poissonova procesu
( λt )
j =0
j!
j
,t ≥ 0
Příklad – autobus Autobus č. 147 jezdí průměrně 6x za hodinu. Autobus č. 107 jezdí průměrně 10x za hodinu. a) Jaká je pravděpodobnost, že během 6 minut pojede alespoň 1x autobus č. 147? b) Jaká je pravděpodobnost, že během 6 minut pojede alespoň 1x autobus č. 107 ? c) Jaká je pravděpodobnost, že pojedou oba ? d) Jaká je pravděpodobnost, že nepojede žádný? Výpočet
Vybrané aplikace Zjišťování počtu zákazníků, strávníků Vytížení obsluhy, potřeba pracovníků Potřeba lékařů na pohotovosti Optimalizace počtu pokladen v provozu Návrhy kapacity a návaznosti výrobních linek
k −1
Pravděpodobnost, že v čase t nastane alespoň k událostí P {Sk ≤ t} = 1 − ∑ e − λt
a) 0,4511 b) 0,6321 c) pp, že pojedou oba: 0,4511.0,632=0,2852 d) pp, že nepojede žádný: (1-0,4511)(1-0,6321) = = 0,2018 Jaká je pp., že pojede aspoň jeden ?
P{X n p x} = 1 − e − λx , x ≥ 0
- 25 -
Charakteristiky systému HO Zdroj požadavků Četnost Struktura Konečný Nekonečný Vstup požadavků do systému Jednotlivě V dávkách Ve stejných intervalech V náhodných intervalech (intenzita vstupu)
Spojování a rozdělování Poissonovských procesů
Spojený poissonovský proces má intenzitu λ1+ λ2 Příklad: taxi Skupinová taxi čekají na zákazníky u nádraží. Příchod potenciálních pasažérů je poissonovský s intenzitou 30 zákazníků za hodinu. Taxi odjíždí, jakmile o nastoupili 4 zákazníci o nebo od nastoupení prvního uplynulo 10 minut. Předpokládejte, že jste nastoupili společně s jiným cestujícím. Jaká je pravděpodobnost, že budete do odjezdu taxi čekat 10 minut? t = 1 minuta Výpočet 10 minut budu čekat, jestliže během 10 min nastoupí nejvýše jeden pasažér (nikdo nebo jeden). Pravděpodobnost, že taxi nebude čekat na 4. pasažéra a odjede po 10 minutách ne zcela zaplněné je přibližně 4 procenta.
λ = 30 hod = 0,5 min 1
P {S2 > 10} = ∑ e−0,5.10
( 0,5.10 )
j =0
= e −0,5.10
( 0,5.10 )
0
j
j!
( 0,5.10 )
Druh a uspořádání obslužných míst Homogenní Nehomogenní Sériově uspořádané Paralelně uspořádané Výstup Okamžik ukončení obsluhy Intenzita obsluhy Závislost vstupu a výstupu
Kendalova klasifikace SHO A/B/X/Y/Z A - typ pravděpodobnostního rozdělení popisující intervaly mezi příchody požadavků do systému, např: o M - exponenciální rozdělení; o D - konstantní intervaly mezi příchody; o N - normální rozdělení; o G - nespecifikované rozdělení. B - typ pravděpodobnostního rozdělení popisující dobu trvání obsluhy. Používají se stejné symboly jako u A. X - počet paralelně uspořádaných kanálů Y - číslo udávající kapacitu systému hromadné obsluhy Z - řád fronty (FIFO, LIFO, SIRO, PRI)
1
+ e −0,5.10
0! 1! = 0,006738+0,006738.5=0,04
Modely hromadné obsluhy
=
Fronta Konečná Nekonečná Režim: FIFO, LIFO, SIRO, PRI Trpělivost Neomezená Žádná S určitou mírou netrpělivosti Chování ve frontě
=
Základní proměnné
Základní pojmy
Model M/M/1
- 26 -
Intenzita provozu
Příklad 1 V obchodě je jedna prodavačka, která obslouží jednoho zákazníka průměrně za 5 minut. Do obchodu obvykle přichází 9 zákazníků za hodinu. Spočítejte hlavní charakteristiky tohoto systému.
Příklad 2 Lékařskou pohotovostní službu zabezpečuje během víkendu vždy jeden lékař. V sobotu v době od 8:00 do 20:00přicházejí pacienti do čekárny průměrně každých 8 minut. Průměrná doba ošetření je 6 minut. Celkový sledovaný čas: 12 hodin λ = 7,5 Celkem přijde pacientů: (12.60)/8 = 90 Intenzita vstupu (za jednu hodinu): 90/12 = 7,5 µ = 10 Intenzita obsluhy (za jednu hodinu):60/6 = 10 ρ = 0,75 Intenzita provozu: 7,5/10 = 0,75
λ =9 µ = 12 ρ=
9 = 0,75 12
Nákladový problém
N = N1 L + N 2 m
b) Jaká by musela být intenzita obsluhy, aby pravděpodobnost, že jednotka při vstupu nebude muset čekat byla 0,5? Řešení: Zadané p0 dosadíme do vzorce pro výpočet pravděpodobnosti, že jednotka bude čekat nulovou dobu: λ p0 = 1 − ρ = 1 − µ p0 = 0,5 ⇒ 0,5 = 1 −
9
µ
9 µ= = 18 0,5
c) Jaká by musela být intenzita vstupu, aby průměrná doba strávená v systému byla 10 minut? Řešení: Zadané T=10 minut (=1/6 hodiny) dosadíme do vzorce pro výpočet průměrné doby strávené v systému a počítáme intenzitu vstupu.
1/ 6 =
1 ⇒ λ =6 12 − λ
1 = 0,4hod = 24 min 10 − 7,5 1 1 TQ = T − = 0,4 − 0,3hod = 18 min 10 µ ρ 0,75 L= = = 3 pacienti 1 − ρ 0,25 T=
Prodavačka by musela obsloužit 18 zákazníků za hodinu tj. jednoho za 3 1/3 minuty.
T = 1 (µ − λ )
Časové charakteristiky a charakteristiky počtu požadavků vypočteme podle uvedených vztahů:
1
µ −λ
=
0,75.0,75 ρ2 LQ = = = 2,25 pacienta 1− ρ 0,25
Průměrná intenzita vstupu by musela být 6 zákazníků za hodinu.
- 27 -
Předpokládejme, náklady na provoz ordinace jsou N1 = 1000 Kč/hod. Náklady na čekání jednoho pacienta jsou 200 Kč/hod (přímé náklady na čekárnu + zameškaná pracovní doba). Budou vyšší náklady na ordinaci nebo náklady na čekání? Náklady na čekání
N1 = 200 Kč / hod
L = 3 osob L N1 = 3.200 = 600 Kč / hod Náklady na čekání pacientů jsou nižší než náklady na ordinaci. Otevírat druhou ordinace se nevyplatí.
