www.g4m4.atw.hu 1. Egy vasbeton szerkezet tervezése során a beton nemlineáris tervezési diagramját alkalmazzuk. Kísérlettel megállapítottuk, hogy a beton nyomószilárdságának várható értéke fcm = 48 N/mm2, a legnagyobb feszültséghez (a szilárdsághoz) tartozó fajlagos alakváltozás εc1 = 2,00 ‰, a törési összenyomódás εcu1 = 4,00 ‰, a beton húrmodulusa Ecm = 38000 N/mm2. Vázolja a beton σ- ε diagramját három további, εc = 1,00 ‰, εc = 1,50 ‰, εc = 3,00 ‰, fajlagos alakváltozásoknál meghatározott feszültség értékek figyelembe vételével! (2. Előadás / 37) 0,4 𝑓𝑐𝑚 = 0,4 ∙ 48 = 19,20 𝑘 = 1,05 ∙ 𝐸𝑐𝑚 ∙
𝑁 𝑚𝑚2
𝜀𝑐 0,002 = 1,05 ∙ 38000 ∙ = 1,6625 𝑓𝑐𝑚 48
𝜀𝑐 1 = = 0,50 𝜀𝑐1 2 𝜀𝑐 1,5 𝜂(1,5) = = = 0,75 𝜀𝑐1 2 𝜀𝑐 3 𝜂(3) = = = 1,50 𝜀𝑐1 2 𝑘 ∙ 𝜂 − 𝜂2 1,6625 ∙ 0,50 − 0,502 𝑁 𝜎𝑐(1) = 𝑓𝑐𝑚 ∙ = 48 ∙ = 33,56 1 + (𝑘 − 2) ∙ 𝜂 1 + (1,6625 − 2) ∙ 0,50 𝑚𝑚2 𝑘 ∙ 𝜂 − 𝜂2 1,6625 ∙ 0,75 − 0,752 𝑁 𝜎𝑐(1,5) = 𝑓𝑐𝑚 ∙ = 48 ∙ = 43,98 1 + (𝑘 − 2) ∙ 𝜂 1 + (1,6625 − 2) ∙ 0,75 𝑚𝑚2 𝑘 ∙ 𝜂 − 𝜂2 1,6625 ∙ 1,50 − 1,502 𝑁 𝜎𝑐(3) = 𝑓𝑐𝑚 ∙ = 48 ∙ = 23,70 1 + (𝑘 − 2) ∙ 𝜂 1 + (1,6625 − 2) ∙ 1,50 𝑚𝑚2 𝜂(1) =
2. Milyen beton tervezési diagramot alkalmazhatunk tartós és ideiglenes tervezési helyzetben egy olyan C25/30 szilárdsági osztályú betonból épülő vasbeton szerkezet esetén, melyben a legnagyobb normálfeszültségre merőlegesen a nyomószilárdság karakterisztikus értékének 7 %-át elérő nyomófeszültség ébred? (2. Előadás / 46) Többtengelyű feszültségállapotról lévén szó parabola-négyzet alakú diagram alapján: 𝑁 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑚𝑚2 𝑁 𝜎2 = 0,07 ∙ 𝑓𝑐𝑘 = 0,07 ∙ 25 = 1,75 𝑚𝑚2 𝜎2 𝜎2 = 1,75 > 0,05 ∙ 𝑓𝑐𝑘 = 0,05 ∙ 25 = 1,25 → 𝑓𝑐𝑘,𝑐 = 𝑓𝑐𝑘 ∙ (1,125 + 2,5 ∙ ) 𝑓𝑐𝑘 𝜎2 1,75 𝑁 𝑓𝑐𝑘,𝑐 = 𝑓𝑐𝑘 ∙ (1,125 + 2,5 ∙ ) = 25 ∙ (1,125 + 2,5 ∙ ) = 32,5 𝑓𝑐𝑘 25 𝑚𝑚2 𝑓𝑐𝑘,𝑐 2 32,5 2 𝜀𝑐2,𝑐 = 𝜀𝑐2 ∙ ( ) = 2,00‰ ∙ ( ) = 3,38 ‰ 𝑓𝑐𝑘 25 𝜎2 1,75 𝜀𝑐𝑢2,𝑐 = 𝜀𝑐𝑢2 + 0,2 ∙ ( ) = 3,50‰ + 0,2 ∙ ∙ 1000 = 17,5 ‰ 𝑓𝑐𝑘 25 3. Egy d = 212 mm dolgozó magassággal rendelkező vasbeton lemezt C20/25 szilárdsági osztályú betonból terveztek meg. A hajlított vasbeton lemez teherbírásának tartós és ideiglenes tervezési helyzetben történő kimutatása során a beton négyszög alakú tervezési diagramját alkalmaztuk. A beton nyomott öve a törés pillanatában xu = 18 mm-re adódott. (8. Előadás / 65) 3.a Mekkora εs fajlagos alakváltozás alakul ki a B500A osztályú húzott acélbetétekben? 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐𝑢3 ∙ 𝑓𝑦𝑑 𝐸𝑠
=
𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑠
𝐸𝑠
𝑑 − 1,25 ∙ 𝑥𝑢 212 − 1,25 ∙ 18 = 3,50‰ ∙ = 29,48 ‰ 1,25 ∙ 𝑥𝑢 1,25 ∙ 18
=
500 1,15
200000
∙ 1000 = 2,175 ‰ < 𝜀𝑠 = 29,48 ‰ > 𝜀𝑠𝑢 = 25 ‰ → Acélbetétek elszakadnak!
3.b Mekkora a húzott acélbetétekben ébredő erő? 𝑁𝑠 = 𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣 ∙ 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑐𝑘 20 𝑁 𝑓𝑐𝑑 = = = 13,33 𝛾𝐶 1,5 𝑚𝑚2 𝑥𝑓 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑 18 ∙ 1000 ∙ 13,33 𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣 ∙ 𝑓𝑦𝑑 𝑚𝑚2 𝑁𝑠 = 𝑁𝑐 → 𝑥𝑓 = → 𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 551,59 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 435 𝑚 551,59 ∙ 435 𝑘𝑁 𝑁𝑠 = 𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣 ∙ 𝑓𝑦𝑑 = = 239,94 1000 𝑚 3.c Mekkora a keresztmetszet nyomatéki ellenállásának tervezési értéke a vizsgált tervezési helyzetben? 𝑀𝑅𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑥𝑢 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (𝑑 −
18 1000 ∙ 18 ∙ 13,33 ∙ (212 − ) 𝑥𝑢 2 = 48,71 𝑘𝑁𝑚 )= 2 1000000 𝑚
www.g4m4.atw.hu 4. Egy vasbeton keresztmetszet tervezése során a beton kúszási tényezőjének végértékét kívánjuk meghatározni az alábbi függvények felhasználásával. A kitéti osztálynak megfelelően felvett beton szilárdsági osztály C30/37, mely betonban lassú cementet írunk ki. A teherfelvitelre a beton 14 napos korában kerül sor. A vizsgált keresztmetszet átmérője: 400 mm. Határozza meg a kúszási tényező végértékét! (2. Előadás / 26)
Megoldás: C30/37; S osztály; t0 = 14 nap 𝑑 400 𝑟= = = 200 𝑚𝑚 2 2 2 ∙ 𝐴𝑐 2 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝜋 ℎ0 = = = 𝑟 = 200 𝑚𝑚 𝑢 2∙𝑟∙𝜋 Leolvasva a grafikonról ϕ értéket megvan a megoldás → 𝜑(∞; 𝑡0 ) = 2,2 5. Egy 180 mm vastagságú hajlított beton lemez szélső szálában 9 kNm/m nagyságú fajlagos hajlítónyomaték elérésekor érjük el a beton húzószilárdságának tervezési értékét. Mekkora görbület alakul ki a tönkremenetel pillanatában, ha a beton rugalmassági modulusának tervezési értéke 8000 N/mm2? 𝑏 ∙ ℎ3 1000 ∙ 1803 = = 4,86 ∙ 108 𝑚𝑚4 12 12 𝑀 9 ∙ 106 180 𝑁 𝜎ℎ = ∙ 𝑧𝑠 = ∙ = 1,667 = 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝐼𝑦 4,86 ∙ 108 2 𝑚𝑚2 2 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 2 ∙ 1,667 1 𝜅= = = 2,315 ∙ 10−6 ℎ ∙ 𝐸𝑐𝑑 180 ∙ 8000 𝑚𝑚 𝐼𝑦 =
6. Egy hajlított vasbeton keresztmetszet rendkívüli tervezési helyzetben történő tervezése során a betonacél lineárisan rugalmas-tökéletesen képlékeny tervezési diagramját alkalmazzuk. A B500B minőségű acélbetétek törési állapotban meghatározott fajlagos alakváltozása 30 ‰ lett. Mekkora a hajlítási ellenállás-növekmény, ha a beton nyomott öv magasságának megváltozásától, illetve a húzott acélbetétek fajlagos alakváltozásának megváltozásától – a biztonság javára történő közelítés érdekében – eltekintve a teherbírást ugyanebben a tervezési helyzetben az acélbetétek bilineáris tervezési modelljével akarjuk igazolni! (3. Előadás / 32)
Rendkívüli tervezési helyzet → γs = 1,00 B500B → εuk = 50 ‰ k = 1,1 550 − 500 ∙ (30 − 2,5) + 500 = 528,95 𝑀𝑃𝑎 50 − 2,5
www.g4m4.atw.hu 7.a Tervezze meg a vasbeton „I” keresztmetszet húzott vasalását tartós és ideiglenes tervezési helyzetben, ha a (pozitív) nyomaték tervezési értéke MEd = 780 kNm! (Példatár 17, 68, 106.o) 7.b Készítse el törési állapotban a keresztmetszet fajlagos alakváltozásainak ábráját, illetve vázolja a keresztmetszet belső erőinek egyensúlyát! Beton: C40/50; Cnom = 25 mm; dg = 16 mm Betonacél: B500B; φs = 6 mm (kengyel)
γc γs fck fyk fcd fyd ξ0 d x
Tervezés 1,50 1,15 40 500 26,66 435 0,49 810,00 30,68
N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 mm mm IGAZ mm2 mm 6 mm2 mm mm IGAZ
x
Δφmin Ellenőrzés d 858 mm xu 31,00 mm xu < v IGAZ ξ 0,036 ξ < ξ0 IGAZ MRd 832,59 kNm MEd < MRd IGAZ εs 74,00 ‰ fyd/Es < εs < εsu HAMIS εc 2,36 ‰ Eredményvázlat Nc 991,75 kN Ns 991,80 kN d-xu/2 842,50 mm
Nyomott öv a fejlemezbe esik!
Elfér egy sorban!
Nyomott öv magassága törési állapotban kisebb, mint a fejlemez vastagsága! Húzott acélbetétek képlékeny állapotban vannak! A tönkremenetel a húzott acélbetétek elszakadásával következik be! A tönkremenetel a húzott acélbetétek elszakadásával következik be!
www.g4m4.atw.hu 8.a Határozza meg a vasbeton konzollemez szerkezeti vastagságát és nyomatéki vasalását szeizmikus tervezési helyzetben, ha a legjobban igénybe vett keresztmetszet nyomatékának tervezési értéke m Ed = 74 kNm/m, továbbá a szerkezet repedéskorlátozási és alakváltozási megfelelésére való tekintettel a nyomott öv relatív magassága 0,12! (Példatár 20, 109.o) 8.b Készítse el a törési állapotban a keresztmetszet fajlagos alakváltozásainak ábráját, illetve vázolja a keresztmetszet belső erőinek egyensúlyát! Beton: C20/25; Cnom = 20 mm; dg = 24 mm Betonacél: B500B Tervezés 1,20 1,00 20 500 16,66 500 0,466 198 24,00 800 14 193 811 225 Ellenőrzés d 198 xu 24,33 ξ 0,123 ξ < ξ0 mRd 75,33 mEd < mRd εs 19,29 fyd/Es < εs < εsu Eredményvázlat ε 0,70 Nc 405,34 Ns 405,26 d-xu/2 185,84
γc γs fck fyk fcd fyd ξ0 d x as,requ φ s as,prov h
N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 mm mm mm2/m mm 190 mm2/m mm mm mm IGAZ kNm/m IGAZ ‰ IGAZ ‰ kN kN mm
Húzott acélbetétek képlékeny állapotban vannak! A keresztmetszet teherbírása megfelelő! Húzott acélbetétek képlékeny állapotban vannak!
www.g4m4.atw.hu 9.a Határozza meg az alábbi vasbeton lemez teherbírását jellemző M – κ görbe azon pontját (nyomatéki érték, görbületi érték), mely a II. feszültségi állapot és az intermedier állapot közös pontja. (Példatár 12, 100.o) 9.b Ebben a pontban határozza meg a beton nyomott szélső szálában valamint a húzott acélbetétekben ébredő húzófeszültséget! 9.c Készítse el ebben az állapotban a keresztmetszet fajlagos alakváltozásának ábráját, illetve vázolja a keresztmetszet belső erőinek egyensúlyát! Beton: fcd = 13,33 N/mm2; fctd = 1,00 N/mm2; Ecd = 8200 N/mm2; Cnom = 20 mm; dg = 16 mm Betonacél: B500A; As,prov = φ10/120; Es = 200000 N/mm2
d α as,prov xII III mII mII κII Nc Ns
Megoldás 195 24,39 654 65 3,611E+08 74,06 49,54 1,673E-05 Eredményvázlat 866,45 284,49
mm mm2/m mm mm4/m 49,54 kNm/m 1/mm kN kN
10.a Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet hajlítási ellenállásának tervezési értékét a teherbírási határállapot tartós és ideiglenes tervezési helyzetében! 10.b Készítse el törési állapotban a keresztmetszet fajlagos alakváltozásának ábráját, illetve vázolja a keresztmetszet belső erőinek egyensúlyát! Beton: C25/30; Cnom = 25 mm Betonacél: B500A; As,prov = 4φ22; A’s,prov = 2φ22; φs = 8 mm (kengyel) Megoldás fcd 16,66 fyd 435 ξ0 0,49 ξ'0 2,11 As,prov 1521 mm2 A's,prov 760 mm2 d 556 mm d' 44 mm x 66,23 mm ξ 0,119 ξ < ξ0 IGAZ ξ' 1,505 ξ '< ξ'0 IGAZ 4998 -129635 -18726400 x 75,54 mm ξ' 1,717 ξ '< ξ'0 IGAZ σ's 374 N/mm2 σ's < fyd IGAZ MRd 341,19 kNm Eredményvázlat N's 284,10 kN Nc 377,55 kN Ns 661,64 kN
Képlékeny Rugalmas
Rugalmas
