ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENYFELADATOK

1993 – 2012

KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK

100. ÉVFORDULÓJA

ALKALMÁBÓL

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA:

GOMBOCZ ERNŐ

SZERKESZTETTE: KISS SZILVIA DLUSZTUS PÉTER SZABÓ PÉTER

Pécs 2012 2


ELŐSZÓ Köszöntöm a Kedves Olvasót, aki kezébe vette kiadványunkat, mellyel segíteni próbáljuk a versenyzők felkészülését a Zipernowsky Matematika Kupára. A versenyt 1976-ban hívta életre Németh József tanár úr, azzal a céllal, hogy a megye matematika iránt érdeklődő kilencedikes és tizedikes (akkor még elsős és másodikos) diákjai versenyen mérhessék össze tudásukat, ezzel fokozva motiváltságukat a tantárgy iránt. A feladatgyűjteményünk 1993-tól 2012-ig tartalmazza a feladatsorokat, mivel a Baranya Megyei Pedagógiai Intézet támogatásával, Gombocz Ernő tanár úr szerkesztésében 1992-ben megjelent könyvben megtalálhatók a feladatsorok 1976-tól 1992-ig. A feladatsorokat Gombocz Ernő tanár úr állította össze, akinek kitartó, és a versenyek iránti alázatos munkáját ezúttal is szeretném megköszönni. Szintén köszönetet szeretnék mondani Kiss Szilvia és Szabó Péter kollégáimnak, valamint a 11. C osztály tanulóinak, akik segítséget nyújtottak a kiadvány elkészüléséhez. A kiadványt szeretném a 2010-ben fiatalon elhunyt kiváló kolléganőm Balás Marianna tanárnő emlékének ajánlani, aki hosszú évekig volt szervezője a Zipernowsky Matematika Kupának. A következő versenyekhez a tanulóknak jó felkészülést, míg tanár kollégáimnak jó felkészítést kívánok! Pécsett, 2012. május 5. Dlusztus Péter munkaközösség-vezető ZKMSZ

3


BALÁS MARIANNA KOLLÉGANŐNK EMLÉKÉRE

„Csupa-csupa fura hang sóhajt még, mégis szól a csend. Csupa-csupa csoda kép pattan szét, mégis érints meg. Ami lehetetlen, nem szállhat el, mint egy álomkép, ami hihetetlen, nem múlhat el, mint az ébrenlét.” (Presser Gábor – A Padlás)

4


Tartalomjegyzék Balás Marianna kolléganőnk emlékére.................................................................................................4 9. évfolyam...........................................................................................................................................6 1993.............................................................................................................................................................6 1994.............................................................................................................................................................7 1995.............................................................................................................................................................8 1996.............................................................................................................................................................9 1997...........................................................................................................................................................10 1998...........................................................................................................................................................11 1999...........................................................................................................................................................12 2000...........................................................................................................................................................14 2001...........................................................................................................................................................15 2002...........................................................................................................................................................16 2003...........................................................................................................................................................17 2004...........................................................................................................................................................18 2005...........................................................................................................................................................19 2006...........................................................................................................................................................20 2007...........................................................................................................................................................21 2008...........................................................................................................................................................22 2009...........................................................................................................................................................23 2010...........................................................................................................................................................24 2011...........................................................................................................................................................25 2012...........................................................................................................................................................26

10. évfolyam.......................................................................................................................................28 1993...........................................................................................................................................................28 1994...........................................................................................................................................................29 1995...........................................................................................................................................................30 1996...........................................................................................................................................................31 1997...........................................................................................................................................................32 1998...........................................................................................................................................................33 1999...........................................................................................................................................................34 2000...........................................................................................................................................................35 2001...........................................................................................................................................................36 2002...........................................................................................................................................................37 2003...........................................................................................................................................................38 2004...........................................................................................................................................................39 2005...........................................................................................................................................................40 2006...........................................................................................................................................................41 2007...........................................................................................................................................................42 2008...........................................................................................................................................................43 2009...........................................................................................................................................................44 2010...........................................................................................................................................................45 2011...........................................................................................................................................................46 2012...........................................................................................................................................................47

5


9. ÉVFOLYAM 1993. GYAKORLATOK 1. 2. 3. 4.

Számítsuk ki az 5abc−{ 2a 2 b−[3abc−4ab2 a 2 b]} kifejezés értékét, ha a = 0,25; b = 0,5; c = 0,75! Hozzuk legegyszerűbb alakra a következő kifejezést: a bc 2 −ab−c 2 a −bc 2 −a−b−c 2 ! 3

6. 7. 8. 9. 10.

2

3

pont

Alakítsuk szorzattá a p 6p q12pq 8q kifejezést! Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékeinél: b 2 a b a −  2 : −2 ! 2 a b a ab ab b ab

pont

Két szomszédos páratlan szám négyzetének különbsége 64. Melyik ez a két szám? 5n 2 8n12 Milyen n pozitív egész számra lesz az törtkifejezés értéke is pozitív egész szám? n Oldjuk meg x-re a racionális számok halmazán a p 2 x 2 = p x2 egyenletet! (A p paraméter racionális szám.) Oldjuk meg a racionális számok halmazán az ∣3−2∣x∣∣ = ∣2−x∣−3 egyenletet! 31−4a ≥ −9 egyenlőtlenséget! Oldjuk meg a valós számok halmazán a 2a1 1 4  Melyek azok az egész számok, amelyekre teljesül, hogy ? x−15 9

pont



5.

2

pont





∣

∣

pont

pont pont pont pont pont

FELADATOK I. II.

III.

IV. V.

2x−3984 ? x−1993 Milyen egész értékeket vehet fel az „a”, ha tudjuk, hogy az alábbi egyenletrendszer megoldásaként adódó számok pozitívak? x 3y = 12 21x62y = a Három iskola tanulói egy horgászversenyen 113 halat fogtak összesen. Az „A” iskola tagjai átlagosan 13, a „B” tanulói átlagosan 5, míg a „C” iskola tanuló átlagosan 4 halat fogtak. Hány fő indult iskolánkét, ha összesen 16 tanuló vett részt a horgászversenyen? Egy háromszög belsejében lévő P pontból az oldalakra bocsájtott merőlegesek az oldalakat rend2 2 2 2 2 2 re a1; a2; b1; b2; c1; c2 szakaszokra bontják. Bizonyítsd be, hogy a 1 b1 c 1 = a 2 b 2 c 2 ! Mely egész x-re egész szám a következő kifejezés: A =

Egy n n∈ N  élhosszúságú kockát pirosra festettünk, majd szétvágtuk a lapjaival párhuzamos síkokkal egységnyi élű kis kockákra. Ezután kiderült, hogy azon kis kockákból, amelyeknek pontosan 1 lapja piros, hétszer annyi van, mint azokból, amelyeknek pontosan 2 piros lapja van. Hány olyan kis kocka van, amelyeknek egyetlen lapja sem piros?

6

pont

pont

pont pont

pont


1994. GYAKORLATOK 10−2x függvényt! ∣x−5∣

1.

Ábrázold az f : x 

2.

Számítsd ki az a =  72  6− 7−2  6 kifejezés pontos számértékét!

2 pont

3.

Két egymást követő természetes szám négyzetének a különbsége 33. Melyik ez a két szám?

2 pont

Mekkora szöget zár be a háromszög két belső szögfelezője, ha a harmadik belső szöge 85°?

2 pont

5.

Igazold, hogy ha a > b > c > 0, akkor a 2b2c 2  abacbc !

3 pont

6.

Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és 12 egység hosszú. Számítsd ki a háromszögbe írható kör sugarát!

3 pont

Mi az 1994. számjegye annak a számnak, amit úgy kapunk, hogy 1-től 1994-ig leírjuk egymás mellé a pozitív egész számokat?

3 pont

4.

7. 8.

2 pont

Ha összeszoroznád 1-től 1994-ig a pozitív egész számokat, akkor hány nullára végződne a szorzat? (Állításodat indokold) 3 pont FELADATOK a b 1 1  2≥  ! 2 a b b a

I.

Bizonyítsd be, ha a + b > 0, valamint a≠0 és b≠0 , akkor

II.

Az egymástól 24 km-re lévő A és B városokból egyszerre indul egymással szembe két gépkocsi. Találkozásuk után 16 perc múlva az A városból indult gépkocsi a B városba, a másik gépkocsi pedig a találkozásuk után 4 perc múlva az A városba érkezik. Mekkora a két gépkocsi sebessége, ha a gépkocsik egyenletes sebességgel haladtak? 10 pont

6 pont

III. Az ABC hegyesszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög kétszerese a B csúcsnál lévő szögnek. A C csúcsból a BC oldalra állított a merőleges az AB oldalegyenest Dben metszi. Bizonyítsd be, hogy BD = 2AC! 10 pont IV. Egy farmon több ló van, mint kacsa. A tehenek száma harmada a lovak és a kacsák együttes számának. A kacskák és a lovak fejei és lábai számának összege 100. Hány ló, kacsa és tehén van a farmon? 14 pont

7


1995. GYAKORLATOK 1.

Két szomszédos páratlan szám négyzetének különbsége 32. Melyik ez a két szám? 3

2 pont

2

a −a −a1 ! a 4 −2a 21

2.

Egyszerűsítsd a következő törtet:

3.

Oldd meg az alábbi egyenletrendszert, ha x; y és z az ismeretlenek! x y = 3a x z = 4a yz = 5a

2 pont

4.

Oldd meg az egyenletet: ∣x−1∣∣x2∣ = 5 !

2 pont

5.

Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. A trapéz BD átlója és AD oldala egyenlő hosszú. BCD szög 110°-os és a CBD szög 30°-os. Mekkora az ADB szög?

3 pont

Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és 12 egység hosszú. Számítsd ki a háromszögbe írható kör sugarát!

3 pont

6.

2 pont

2

7. 8.

Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az

5n 8n12 kifejezés értéke pozitív en

gész szám?

3 pont

Ha összeszoroznád 1-től 1994-ig a pozitív egész számokat, akkor hány nullára végződne a szorzat? (Állításodat indokold!)

3 pont

FELADATOK ab bc ac   ≥6 ! c a b

I.

Bizonyítsuk be, hogy ha a; b és c pozitív számok, akkor

6 pont

II.

Ha egy háromjegyű szám jegyeit fordított sorrendben írjuk, és az eredetiből kivonjuk, a különbség 500 és 600 között lesz. A középső jegy 3-mal kisebb a másik kettő összegénél. A százasok helyén álló jegy négyzete 4-gyel nagyobb a második jegy 9-szeresénél. Melyik ez a szám? 10 pont

III. Az ABC hegyesszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög kétszerese a B csúcsnál lévő szögnek. A C csúcsból a BC oldalra állított merőleges az AB oldalegyenest D-ben metszi. Bizonyítsd be, hogy BD = 2AC! 10 pont IV. Egy osztály tanulói körmérkőzéses asztalitenisz-bajnokságot rendeztek. Már elkészült a sorsolás, amikor újabb jelentkezők nevezését fogadták el. Így a mérkőzések száma 13-mal több, az eredeti nevezések szerinti mérkőzésszámok majdnem kétszerese lesz. Hányan neveztek először, és hányan később? 14 pont

8


1996. GYAKORLATOK 1−x∣x−1∣ függvényt! 2

1.

Ábrázold az f : x 

2.

Egy háromszög két oldala 6 és 16 egység hosszúak. A 16 egység hosszú oldalhoz tartozó súlyvonal 10 egység. Mekkora a háromszög területe?

2 pont

3.

Oldd meg a valós számok halmazán az ∣1−2x∣  11 egyenlőtlenséget!

2 pont

4.

Egy rombusz átlói 14 és 48 egység hosszúak. Mekkora a rombusz magassága?

2 pont

5.

Két szám összege 1995,5; arányuk

6.

Hozd a legegyszerűbb alakra, és add meg a kifejezés értelmezési tartományát: 3 2 x 6x 11x6 ! 2 x 4x3

7. 8.

2 pont

2 1 : . Melyik ez a két szám? 3 5

2 pont

Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az x 2− y 2 = 1996 egyenletet! 2

2

4

4

2

Egy háromszög a; b és c oldalaira igaz, hogy a b c = b a c a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú!

2

3 pont 3 pont

. Igazold, hogy 4 pont

FELADATOK I. II.

Három természetes szám szorzata 793800. Az első számot 5-tel, a másodikat 7-tel, a harmadikat 9-cel szorozva ugyanazt a számot kapjuk. Melyik ez a három szám?

7 pont

Egy egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága 20, a szárhoz tartozó magasság 24. Mekkora a háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugara?

9 pont

III. Egy lóversenyen három lóra lehet fogadni: ha az első ló nyeri a versenyt, akkor a rátett összeg kétszeresét, ha a második nyer, akkor az erre tett összeg négyszeresét, ha a harmadik ló fut be elsőnek, akkor az erre tett összeg nyolcszorosát kapják a fogadók. Mekkora összeget kell tenni egy-egy lóra, hogy bármelyik is fut be elsőnek, 1000 Ft nyeresége legyen a fogadónak? 11 pont IV. Bizonyítsd be, hogy bármely derékszögű háromszögben a beírt kör átfogón lévő érintési pontja két olyan részre osztja az átfogót, amelyek szorzata egyenlő a háromszög területével! 13 pont

9


1997. GYAKORLATOK 1. 2.

2353⋅2332 32 Számítsa ki a kifejezés pontos értékét: ! 3⋅233−232 Egy szabályos háromszög területe 998001⋅ 3 Mekkora a beírható kör sugarának pontos értéke?



x1997 függvény értelmezési tartományát! 2x−1997

1 pont 2 pont

3.

Határozza meg az f : x 

4.

Mely egész x-re egész a kifejezés:

5.

Melyek azok a pozitív egész számok, melyeket 16-tal osztva 4 a maradék, 20-szal osztva pedig 5 a maradék?

3 pont

6.

Oldd meg az egész számok halmazán az x y xy = 1996 egyenletet!

3 pont

7.

Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek az összege 30 egység. Ha a téglatest hosszát 2 egységgel csökkentjük, a szélességét ugyanennyivel növeljük, és a magasságát megkétszerezzük, kockát kapunk. Mekkora a kocka éle? 3 pont

8.

Három pozitív prímszám szorzata összegük ötszörösével egyenlő. Melyik ez a három prímszám?

2x−1995 ? x1

2 pont 2 pont

4 pont

FELADATOK I.

Legyenek a; b és c pozitív számok. Igazoljuk, hogy ab1 ac1bc1 ≥ 8abc ! 8 pont

II.

Egy háromszög oldalaira igaz, hogy

2

2

2

2

c −a b −c  = b−a . Igazoljuk, hogy a háb a romszög egyenlő szárú vagy derékszögű! 10 pont

III. Mely valós x; y számpárokra igaz az 5x 2 y 2 1 y 2 = 2xy 2 y  egyenlőség?

10 pont

IV. Egy kör két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztja egymást. Mekkora a kör sugara, ha a 2b2c 2d 2 = 20 ? 10 pont

10


1998. GYAKORLATOK 1. 2. 3.

Három egymás után következő pozitív páros szám összege 1998. Melyek ezek a számok?

1 pont

Összeszoroztunk 1998 darab egész számot. A szorzat páros vagy páratlan? Válaszodat indokold!

2 pont

Határozd meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelyben a számjegyek összege 1998!

2 pont

1 függvény értelmezési tartományát! ∣x−1998∣

4.

Határozd meg az f : x 

5.

Ha x

6.

Egy 10 egység sugarú körhöz egy külső pontból 24 egység hosszú érintőszakaszok húzhatók. Mekkora az érintési pontokat összekötő húr hossza?

3 pont

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 30 egység, a hozzá tartozó magasság 20 egység. Mekkora a beírható kör sugara?

4 pont

Igazold, hogy az a 23a 12−1 kifejezés osztható 24-gyel!

4 pont

7. 8.

1 1998 1 = 2 akkor mennyi az értéke az x  1998 összegnek? x x

2 pont 2 pont

FELADATOK I.

Egy üzemben egy termék előállításával 16 munkás foglalkozik: heti termelésük 1680 db. A heti termelést 20%-kal növelni akarják, ennek érdekében újítások bevezetésével egy termék előállítása idejét 24 percről 17,5 percre csökkentik. A munkások száma azonban 16 főről 14 főre csökken. Teljesíthető-e a megemelt terv változatlan munkaidő alatt, feltételezve, hogy minden munkás azonos teljesítménnyel dolgozik?

7 pont

Határozd meg az x és y prímszámokat, ha x x 2x 3 y  y 2 y 3 = 2393 !

9 pont

III. András, Béla és Csaba társasjátékot játszanak. A játék előtt zsetonjaik számának aránya 7:6:5. A játék végén az arány 6:5:4 lesz. Hány zsetonjuk volt külön-külön a játék előtt, illetve utána, ha egyikük 12 zsetont nyert?

11 pont

IV. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyben a három magasság összege a beírt kör sugarának a kilencszerese?

13 pont

II.

11



Az ”a” paraméter mely értékénél nincs gyöke a következő egyenletrendszernek?

2 pont

ax−5y = 9 2x−3y = 15

2.

Határozzuk meg ”a” értékét úgy, hogy a következő egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen:

2 pont

2x− y = 5 x 3y = 4 x y = a 4x7

3.

Oldd meg a következő egyenlőtlenséget 3x−2  0 !

4.

Az AB szakasz hossza 5,6 m. Határozzuk meg AB-t 3 : 15 arányban osztópont és AB felezőpontja távolságát!

2 pont

5.

Bizonyítsuk be, hogy a mellékelt háromszögben M a magasságpont.

3 pont

6.

Két párhuzamost egy harmadik egyenes metsz. A belső szögek közül az egyik derék-

3 pont

2 4

3

szög 1 5 -öd része. Mekkora szögben metszi ennek a szögnek a szögfelezője a másik párhuzamos egyenest? 2 pont 7.

8.

Egy lineáris függvény grafikonját látod az ábrán. (A két tengelyen az egységek nem egyenlők!)

Írd le értelmezési tartományát, értékkészletét és hozzárendezési szabályát!

3 pont

Ábrázold a következő függvényt: x ∣x −1∣−∣x2∣ !

2 pont

12

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA FELADATOK I.

II.

Miklós a fiával és Péter a fiával kimentek horgászni. Miklós ugyanannyi halat fogott, mint a fia, Péter háromszor annyit, mint a fia. Összesen 35 halat fogtak. Miklós elmondta, hogy fiát Gergelynek hívják. Hogy hívják Péter fiát?(Állításod indokold!)

7 pont

Egy egyenlő oldalú háromszög belsejében vegyél fel egy tetszőleges pontot. Bizonyítsd be, hogy a pontból az oldalakra állított merőleges szakaszok összege nem függ a pont megválasztásától!

9 pont

III. Az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezője a BC oldalt A’-ban metszi. Legyen ABC, ABA’, ACA’ háromszög köré írt körének középpontja rendre O; O1; O2. Bizonyítsd be, hogy OO1O2 háromszög egyenlő szárú! Mi a feltétele annak, hogy ez a háromszög egyenlő oldalú legyen? 11 pont IV. Négy házaspár együtt 44 üveg sört fogyasztott egy nyári napon. A férjek közül csak Balog ivott ugyanannyit, mint felesége. Kovács kétszer annyit, mint Kovácsné, Nagy háromszor annyit, mint Nagyné és Kis négyszer annyit, mint Kisné. Anna 2 üveggel, Boriska 3 üveggel, Cili 4 üveggel és Dóra 5 üveggel fogyasztott a sörből. Kinek ki a felesége? 13 pont

13



Határozd meg azt a legkisebb természetes számot, amelyben a számjegyek összege 2000. Határozd meg az f  x  = számok halmazán!

3.



2000 függvény értelmezési tartományát a valós ∣2000 x∣ 2 pont

Egy kocka éleit négy egységgel növelve a felszíne 480 egységgel növekszik. Mekkora az eredeti kocka éle?

4.

Oldd meg az egész számok halmazán a

5.

Mely n pozitív egész számra lesz a

6.

7. 8.

2 pont

2000  0 egyenlőtlenséget!  x−1999 x−2000

2 pont 2 pont

2001n 22000n1999 tört értéke is pozitív n

egész?

3 pont

Egy 2000 egység élű kocka mindegyik csúcsát levágjuk egy-egy olyan síkkal, amely az éleket a csúcstól 2 egység távolságra metszi. Hány lapja, csúcsa és éle lesz a maradéktestnek?

3 pont

Melyik az a négyjegyű pozitív egész szám, amellyel a 64043-at osztva a maradék 43, a 86032-t osztva a maradék 32?

3 pont

Egy háromszög oldalaira igaz, hogy a 3a 2 cb3bc 2 = a 2 bab2b2 cac 2 c 3 . Igazold, hogy a háromszög derékszögű!

3 pont

FELADATOK I.

Mi lesz az utolsó számjegye a 32000 72000 összegnek?

II.

Határozzuk meg az a:b:c arányt, ha 5a4b−6c : 4a−5b7c:6a5b−4c = 1: 27 :18 !

III. Egy természetes szám hatodik hatványának számjegyei nagyság szerint rendezve a következők: 0; 2; 3; 4; 4; 7; 8; 8; 9. Melyik ez a szám?

7 pont 10 pont 11 pont

IV. Legyenek a; b és c valamely háromszög oldalai, T pedig ugyanennek a háromszögnek a területe. Bizonyítsd be, hogy a 2b2c 2 ≥ 4  3T ! 12 pont

14



Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! x3 ∣x−4∣ 1 x5 − = − 4 9 2 36

3 pont

2.

Egy szabályos háromszög magassága 2001  3 . Mekkora a beírt és a köré írt körök sugarainak az aránya?

3.

Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 3x 2x12x52x−1−50x−25 = 0

4.

Három egymás után következő pozitív egész szám szorzata 21-szer akkora, mint az összegük. Melyek ezek a számok?

5.

Határozd meg az f  x  = számok halmazán!

1 pont 2 pont

1 függvény értelmezési tartományát a valós −x 2001x

2 pont

2

2 pont

6.

Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az xy(x + y) + 1 = 2002 egyenletet!

7.

Számítsd ki a kifejezés pontos értékét:

8.

Melyek azok az „a” egész paraméterek, amelyekre a 4x – y = 0 és az ax + y = 1 egyenletekből álló egyenletrendszer gyökeinek összege: x + y > 5? 4 pont

 72  6− 7−2  6

!

3 pont 3 pont

FELADATOK I. II.

Igazold, hogy a b2 c 2−a 2 2  4b 2 c 2 egyenlőtlenség igaz, ha a; b és c egy háromszög oldalai!

9 pont

Egy háromszög oldalainak hossza 13; 14 és 15 egység. Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek középpontja a 14 egység hosszú oldalon van, és a kör érinti a háromszög másik két oldalát?

9 pont

III. Az x és y nemnegatív számokra igaz, hogy 5x + 6y = 150. Állapítsd meg az x + y és az xy legkisebb és legnagyobb értékét!

11 pont

IV. Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkora a másik két éle, ha a téglatest felszínének és térfogatának a mérőszáma egyenlő?

12 pont

15


2002. GYAKORLATOK

∣2002x−2002∣ függvény értékkészletét! x−1

1.

Határozd meg az f  x  =

2.

Oldd meg az

3.

Egy háromszög két oldala 2001 és 2002 egység. Milyen határok között mozoghat a harmadik oldal?

3 pont

Egy húrtrapéz területe 3 területegység, magassága 1 egység, szárainak hossza egység. Számítsd ki az alapok hosszát!

3 pont

4.

2 pont

x 2−16 x 2−5x4 egyenletet az egész számok halmazán! = x4 x−1

2 pont

2

a 2 b 2 c2 kifejezés értéke, ha abc = 0 és a⋅b⋅c ≠ 0 ?   bc ac ab

5.

Mennyi az

6.

Egy rombusz egyik szöge fele a másiknak. Mekkora a területének pontos értéke, ha a magassága 2002  3 egység?

3 pont 3 pont

2

7.

Igazold, hogy az

x x −1 kifejezés nem egyszerűsíthető 2-vel, ha x pozitív egész 2 x −x 1

szám! 8.

3 pont

Egy derékszögű háromszög befogói a és b, az átfogóhoz tartozó magassága m. Iga1 1 1 zold, hogy 2  2 = 2 ! a b m

4 pont

FELADATOK I. II.

Egy négyszög oldalai rendre: a; b; c és d egység hosszúak. igazold, ha a négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor a 2c 2 = b 2d 2 ! Milyen értékeket vehet fel az

a 2b 2 kifejezés, ha a 2−4ab3 b2 = 0 ? ab

8 pont 10 pont

III. Két kör sugara 50 és 20 egység. Közös külső érintőszakaszuk másfélszer akkora, mint a közös belső érintőszakaszuk. Számítsd ki a körök középpontjának távolságát! 11 pont IV. Oldd meg a valós számok halmazán az abc = 2 és 2ab = c 24 egyenletekből álló egyenletrendszert! 11 pont

16


2003. GYAKORLATOK 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x 26x9 Oldd meg a valós számok halmazán az = x3 egyenletet! x 3 Határozd meg az f  x  =  x 2−100 függvény értelmezési tartományát a valós számok halmazán! 3

3

2pont

Egy konvex sokszög belső szögeit egy kivételével összeadjuk és 2003º-ot kapunk. Hány fokos a kimaradt szög?

2pont

Alakítsd elsőfokú tényezők szorzatává a következő polinomot: 3 2 A = x 6x 11x6

2pont

Egy háromszög két oldala 5 és 10 egység, a 10 egységnyi oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 5 egység. Számítsd ki a háromszög területét! Legyenek x és y pozitív számok, határozzuk meg az

3pont

2

x 1 y 1 kifejezés érték x y

készletét! 8.

2pont

2

Oldd meg a pozitív valós számok halmazán az  x2 − x−2 = 12⋅ x − x −8 egyenletet!

2

7.

2pont

3pont

A p valós paraméter mely értékeire van a

2 = 4− p egyenletek negatív gyöke? x−1

4pont

FELADATOK I.

Oldd meg a valós számok halmazán a 3x 2−6x16 =  x 2−2x22 egyenletet!

II.

Az ABCD téglalapban AB=2,4BC. A téglalapot az A csúcsból, mint középpontból úgy nagyítjuk, hogy az új téglalap területe az eredetinek 2,25-szorosa legyen. A nagyítás következtében a téglalap átlója 13 egységgel lesz nagyobb. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 10pont

8pont

III. Az ax 2 bxc = 0  a≠0 egyenlet együtthatói egész számok. Igazolt, hogy az egyenlet diszkriminánsa nem lehet sem 2003, sem 2002, viszont a 2001 lehet, és adj rá egy megoldási lehetőséget is!

10pont

IV. Az n, k, p pozitív egész számok közül a p prímszám a legkisebb. E három szám ösz3 szege 105. tudjuk még, hogy a 2n ; k ; p−1 számok számtani közepe 49. Melyek 4 ezek a számok?

12pont

17


2004. GYAKORLATOK 2004x függvény értelmezési tartományát! x −2004x

1.


2.

Mennyi az a + b + c + d összeg ha a⋅b⋅c⋅d 2 = 2004 , és minden betű egy-egy prímszámot jelöl?

2 pont

Add meg 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és 8 számjegyeket tartalmazza!

2 pont

Egy háromszög oldalai egész számok: az egyik oldala 5 egység, a másik oldala 6 egység. Mekkora lehet a harmadik oldala, ha tudjuk, hogy prímszám?

2 pont

3. 4.

2

2 pont

5.

Egy háromszög oldalai 9  2 ; 12  2 és 15  2 egység hosszúak. Számítsd ki a háromszögbe írható kör sugarának pontos értékét! 2 pont

6.

Az a; b; c és d számok növekedő sorrendben következő szomszédos természetes számok. Igazold, hogy ab 2c3 osztható d2-tel!

3 pont

7.

Egy diáknak egy tanévben matematikából összesen 10 osztályzata volt, melyek közül az alábbi nyolc volt beírva az ellenőrzőjébe: 1; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 5. Milyen jegyeket nem írt be az ellenőrzőjébe, ha a tíz osztályzat átlaga 3,2-volt? 3 pont

8.

Szerencsés Dániel az 5-ös LOTTÓ növekvő sorrendbe bemondott nyerőszámait hallgatja a hírekben. Az első nyerőszámot nem hallotta, mert éppen akkor kapcsolta be a rádiót, így a 17-es 47-es és a 81-es számokat hallja. Az ötödik számot áramkimaradás miatt nem tudta meg, de így kiáltott fel: „5 TALÁLATOM VAN!”. Legkevesebb hány szelvénnyel játszott Dani ezen a héten?

4 pont

FELADATOK I.

Az alábbi számpiramis négyzeteibe (a legalsó sort kivéve) a négyzet alatt lévő két négyzetben szereplő számok összegét írjuk be. Határozd meg a legalsó sorban szereplő számok összegét!

8 pont

Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkorák az ismeretlen élek, ha felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő?

9 pont

III. Az ABCD derékszögű trapéz párhuzamos oldalai AB = a és CD = b, a B csúcsból induló belső szögfelező a merőleges AD szárat felezi. Számítsd ki a trapéz területét!

11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az a2b3c = 2  a−1 2b−1 3c−1 egyenletet!

12 pont

II.

18



Andrásnak háromszor annyi pénze van, mint Csaba pénze felének a kétharmada. Melyiknek van több pénze? 2

2pont

2.

Határozd meg az f  x  = x 6x7 függvény értékkészletét!

2pont

3.

Oldd meg az egész számok halmazán ∣x−2002∣−3 = 0 egyenletet!

2pont

4.

Hány olyan háromszög létezik, amelynek egyik oldala 1 egység, másik oldala 2005 egység, ha az oldalai egész számok? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőnek.)

2pont

Egy tanulónak a 9. osztály első félévében 10 osztályzata volt matematikából, melyekből a következőkre emlékezett: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Mi lehetett a hiányzó három osztályzata, ha tudta, hogy a tíz osztályzat átlaga 3,2?

2pont

Melyik az a legkisebb háromjegyű pozitív egész szám, amelyet a 2005-höz hozzáadva 11-gyel osztható számot kapunk?

3pont

Egy ötemeletes házat hányféleképpen tudunk kifesteni, ha minden szintet vagy kékre, vagy sárgára festünk, de két kék szint nem kerülhet egymás fölé?

3pont

5.

6. 7. 8.

Egy háromszög a,b,c oldalaira igaz, hogy

ab c 3 ac b 3 . Igazold, hogy a há =  x ab b ac

romszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

4pont

FELADATOK I. II.

Egy háromjegyű szám a tízes számrendszerben xxx alakú. Milyen alapú számrendszerben lesznek ennek a számnak a számjegyei 4x, 2x, és x alakúak?

8pont

Egy könyv oldalait megszámoztuk 1-gyel kezdve és 2005-tel bezárólag. Hányszor fordul elő a számozásban az 1-es számjegy?

9pont

III. Egy háromszög két oldala 29 cm és 27 cm, a harmadikhoz tartozó súlyvonal 26 cm hosszú. Számítsd ki a háromszög területét!

11pont

IV. Egy derékszögű háromszög oldalai egész számok. Egyik befogója ab kétjegyű szám, átfogója pedig a számjegyek felcserélésével kapott kétjegyű szám. Mekkora a háromszögbe írható kör sugara? 12pont

19



Mi lesz az utolsó számjegye a 2006 20061 kifejezésnek? Röviden indokolj!

2pont

2.

Milyen számjegy írható az x helyébe, hogy a 137 és a 34x háromjegyű számok összege osztható legyen 9-cel?

2pont

Hagyj el egy számot az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok közül úgy, hogy a megmaradt számok átlaga 5 legyen! Melyik számot kell elhagynod?

2pont

3. 4. 5. 6.

7. 8.

Egy 36 fős társaságból elment a lányok fele, így a társaság

5 részére csökkent. 6

Hány fiú van a társaságban?

2pont

Egy háromszög belső szöge 28°. A másik két belső szög különbsége 20° Mekkora a háromszög legkisebb külső szöge?

2pont

Egy családban minden fiúnak ugyanannyi fiútestvére van, mint leánytestvére és minden lánynak kétszer annyi fiútestvére van, mint leánytestvére. Hány gyerek van a családban?

3pont

Egy pénzérmét háromszor feldobunk, mekkora annak a valószínűsége, hogy két fejet és egy írást dobunk?

3pont

Hozd a legegyszerűbb alakba az

a 2−a−2 kifejezést! Szabj feltételt! a 2−5a6

4pont

FELADATOK I.

II.

Egy háromjegyű számból levonjuk a ”fordítottját”, azaz számjegyei fordított sorrendben való felírásával kapott számot, és eredményül 297-et kapunk. A háromjegyű számok hányad részére teljesül a feltétel?

8pont

Egy konvex sokszög oldalainak a számát megdupláztuk, így átlóinak a száma 600%kal növekedett. Hány oldalú az eredeti sokszög? Mennyi az új sokszög belső szögeinek összege?

9pont

III. Egy 12000 Ft-os rádiót valahány %-kal leértékeltek, majd egy hét múlva ismét leértékelték néhány %-kal, a rádió ára a második leértékelés után 10602 Ft lett. Hány %-kal értékelték le az árút, ha a leértékelés százalékos mértéke mindkét esetben pozitív egész egyjegyű szám volt? 11pont IV. Egy körvonal két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztja egymást. Mekkora a kör sugara, ha a 2b2c 2d 2 = 900 ?

20

12pont



Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyben a számjegyek összege 2007?

2 pont

2.

Egy pozitív egész szám 25%-a kisebb 25-nél, a 20%-a pedig nagyobb 15-nél. Hány ilyen szám létezik?

2 pont

Egy szimmetrikus trapéz alapjai 10 és 16 egység hosszúak, kerülete 36 egység. Számítsd ki a területét!

2 pont

3.

2007 függvény értelmezési tartományát!  x 2−121

4.


5.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 egység, a köré írható kör területe 676  egység. Számítsd ki a kerületét!

6.

Adj meg három olyan valós számot – pontos értékkel – amelyek bak, de

7.

8.

2 pont 3 pont

1 -nél nagyob7

1 -nál kisebbek! 6

3 pont

Egy tanulónak a tanévben matematikából összesen 10 osztályzata volt, kiszámolta, hogy az átlaga pontosan 3,2. A következő osztályzatokra emlékezett: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5. Mi lehetett a hiányzó három jegye?

3 pont

A 3,4,5,6 számjegyekből négyjegyű számokat írunk fel úgy, hogy egy számjegy többször is szerepelhet. Hány különböző néggyel osztható számot képezhetünk? Indokolj!

3 pont

FELADATOK I. II.

Melyek azok a – tízes számrendszerbeli – kétjegyű természetes számok, amelyekre igaz, hogy a szám 17-tel nagyobb, mint számjegyeinek szorzata? Egy téglatest élei: 100cm, 70cm és 60cm hosszúak. A leghosszabb éllel párhuzamosan, egy négyzetes oszlop alakú furatot kiveszünk belőle. A maradék test térfogata 17 része az eredeti test térfogatának. Mekkora a maradék test felszíne? 42

III. Egy baráti társaság rendszeresen játszik az 5-ös lottón. Egy alkalommal 4-es találatuk volt. Az első játékos kapott 20000 Ft-ot, és a maradék tized részét. A második játékos kapott 40000 Ft-ot, és a maradék tized részét, és így tovább… Az osztozkodás után kitűnt, hogy a játékosok mindegyike egyenlő összeget kapott. Mekkora volt a nyeremény, és hány tagú a társaság? IV. Igazold, ha a, b, c, x, y, és z nullától különböző valós számok, és igaz, hogy a 2b2c 2 = axbycz valamint, x 2 y 2z 2 = ax bycz akkor az a b c   érték állandó! x y z

21

10 pont

10 pont

10 pont

10 pont



Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 7-tel osztva 6, 8-cal osztva 7, valamint 9-cel osztva 8 maradékot ad?

2 pont

2.

Egy négyzet átlója 2008  2 egység. Számítsd ki a kerületét!

2 pont

3.

Mi az utolsó számjegye az A = 2 2008 hatványnak?

2 pont

4.

Hányféle háromszínű zászlót készíthető 5 színből, ha minden szín csak egyszer fordulhat elő minden zászlón?

2 pont

Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 89 cm, a befogók különbsége 23 cm. Mekkora a köré irható kör kerületének pontos értéke?

3 pont

5. 6.


 x−2008 függvény értelmezési tartományának legkisebb

x−2009 elemét az egész számok halmazán!

3 pont 2008  0 egyenlőtlenséget! 6x−x 2

7.

Oldd meg az egész számok halmazán a

3 pont

8.

Egy 30 fős osztályban témazárót írtak matematikából: 3 jeles, 10 közepes, 5 elégséges dolgozatot írtak. Az osztályátlag 2,9 és 2,95 közé esik. Hányan írtak négyes dolgozatot? 3 pont FELADATOK

I. II.

Ha két természetes szám szorzatához hozzáadjuk az összegüket 2008-at kapunk. Melyik lehet ez a két szám?

8 pont

Melyek azok az ötjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszámok is egyben? Indokolj!

9 pont

III. Egy háromszög alakú telek oldalainak aránya 25:52:63. A telek területe 2520 m2. a) Számítsd ki a telek kerületét! b) A tulajdonos olyan kör alakú házat szeretne építeni rá, amelynek középpontja egyenlő távolságra van a telek oldalaitól. Mekkora ez a távolság? IV. Egy konvex sokszög belső szögeinek összege p⋅180 ° , ahol p olyan 2008-nál kisebb prímszám, mely számjegyeinek a szorzata 243, és a két utolsó számjegye különböző. Hány oldalú a sokszög?

22

10 pont

13 pont



Melyik az a legkisebb természetes szám, amely osztható 72-vel, és csak a 0 és az 1 számjegyeket tartalmazza? Válaszodat indokold!

2 pont

Egy háromszög külső szögeinek az aránya 2:3:4. Mekkora a háromszög legnagyobb belső szöge?

2 pont

3.

Oldd meg a valós számok halmazán az x⋅ x 8 = 0 egyenletet!

2 pont

4.

Az ABC háromszög beírt körének a középpontja K, az AKB szög 100°-os. Mekkora a háromszög ACB szöge?

2 pont

Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott számokat. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az így kapott kétjegyű szám néggyel osztható?

2 pont

Egy körbe írt egyenlőszárú háromszög szára 3⋅ 2 cm. Mekkora a kör kerülete? Pontos értékkel számolj!

3 pont

Fessük be a pozitív egész számokat sárgára vagy kékre úgy, hogy teljesüljön az alábbi két feltétel: sárga + kék = kék és sárga · kék = sárga! Milyen színű a sárga · sárga?

3 pont

Ha összeszoroznád 1-től 2009-ig a pozitív egész számokat, hány nullára végződne a szorzat? Indokolj!

3 pont

2.

5.

6. 7. 8.

FELADATOK 4

I. II.

4

x y Határozd meg az 2 2 pontos értékét, ha x y = 1 és x 3 y 3 = 2 ! x y Szerencsés Szabolcs rendszeresen játszik az ötös lottón, de mindig a következő módon választja ki a 90 számból a megjátszandó számokat: a legkisebb két szám megválasztása után a harmadik szám egyenlő az első két szám összegével, a negyedik szám az első három szám összegével, az ötödik pedig az első négy szám összegével. Ha a lehető legnagyobbra választja a legkisebb számot, akkor mely 5 számot játssza meg a lottón?

10 pont

10 pont

III. Egy derékszögű háromszög befogói: a = 5 cm és b = 12 cm. az átfogóhoz tartozó magasság két háromszögre bontja az eredeti háromszöget. Mekkora a két kisebb derékszögű háromszögre írható kör sugara? (Pontos értékekkel számolj!) 10 pont IV. Fejezd ki az x⋅y⋅z szorzatot az a, b, c segítségével, ha x 2 y 2z 2 = b 2 , x 3 y 3 z 3 = c3 !

23

x y z = a , 10 pont



450 lónak és néhány kacsának összesen 2010 lába van. Hány fejük van összesen?

2.

Mi az utolsó számjegye a 2010

3.

Számítsd ki az A = b=

2010

2010

0

összegnek? Indokolj?

2 pont 2 pont

ab2−a−b2 kifejezés pontos értékét, ha a = 2010 és ab

1 ! 2010

2 pont

15 = 1 egyenletet! x −2010

4.

Oldd meg a

5.


6.

Ha a és a - 2010 átlaga x, és a és a + 2010 átlaga y, akkor mennyi az x és y átlaga?

3 pont

7.

Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás mellé a dobott számokat. Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy az így kapott kétjegyű számok prímszámok?

3 pont

Igazold, hogy a háromszög derékszögű vagy egyenlőszárú, ha oldalaira igaz, hogy a 2 b2 c 4 = b4 a 2 b2 !

3 pont

8.

3 pont

2

2010   x függvény értelmezési tartományát!  1− x

2 pont

FELADATOK I.

Négy szám összege 4500, ha az első számhoz 2-t adunk, a másodikból 2-t elveszünk, a harmadikat megfelezzük, a negyediket pedig megkétszerezzük, ugyanazt a számot kapjuk. Melyek ezek a számok? 5

II.

Bizonyítsd be, hogy

8 pont

3

x x x egész szám, ha x is egész! −  120 24 30

10 pont

III. Igazold, hogy bármely háromszögben ma mbm c ≥ 9r , ha ma; mb és mc a háromszög magasságai, r pedig a beírható kör sugara! 10 pont IV. Oldd meg az

abc abc 6 abc 3 =2 ; = = és egyenletekből álló egyenletab bc 5 ac 2

rendszert!

12 pont

24



3.

a 3−b3 Igaz-e minden pozitív számra az = a 2abb 2 egyenlőség? a−b Nyolc falu között javítják az úthálózatot. Legalább hány utat kell rendbe hozni ahhoz a falvak között, hogy bármely faluból bármelyik faluba javított úton tudjanak eljutni? (Röviden indokolj!) Hozd a legegyszerűbb alakra az A =

5. 6. 7.

2 pont

 x −12−2x12x−13x 2 törtet, ha x −1

x≠1 !

4.

2 pont

2pont

Az f  x  = x 2 függvény grafikonjának valamely P pontjából az x tengelyre állított merőleges szakasz hossza 36 egység. Milyen távol van e pont az y tengelytől?

2 pont

Egy háromszög egyik belső szöge 52º. A másik két belső szög közül az egyik 20º-kal nagyobb a másiknál. Hány fokos a háromszög legkisebb külső szöge?

3 pont

Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 11-gyel osztva 10, 13-mal osztva 12 maradékot ad? (Röviden indokolj!)

3 pont

Ha egy szám felét összeszorozzuk az ötödével, a szám 2011-szeresét kapjuk. Melyik ez a szám?

3 pont

2

8.

Hány olyan x egész szám van, amelyre az

x 2 is egész? x3

3 pont

FELADATOK I. II.

Egy szimmetrikus trapéz középvonala 2011 egység, az átlói merőlegesek egymásra. Számítsd ki a trapéz területét!

8 pont

Két pozitív egész szám szorzatából kivontam a számokat, eredményül 2011-et kaptam. Melyik ez a két szám, ha a számok sorrendje nem számít?

10 pont

III. A „ZIPI KUPA” matematikaversenyen egyik alkalommal András, Bea és Cili is harmadik díjat kapott, de a pontszámuk kicsit különböző volt. A zsűri úgy döntött, hogy 1 3 2 differenciálja a díjakat: ha András díját -ával, Beáét -ával, Ciliét -ével 3 8 5 csökkentenék, akkor egyenlő összegű utalványokat kaptak volna. Mennyit kaptak külön-külön, ha összesen 7150 Ft volt a jutalmuk?

10 pont

IV. Egy háromszög oldalai egész számok, és c = p, amely prímszám. A háromszög a és b oldalaihoz tartozó magasságok összege egyenlő a c oldalhoz tartozó magassággal. Mekkorák a háromszög oldalai?

12 pont

25



3. 4. 5. 6.

Két szám közül az egyik 1912, és tudjuk, hogy a két szám számtani közepe 1962. Melyik a másik szám?

2 pont

Egy termék árát először 20%-kal felemelték, majd 20%-kal csökkentették, és végül ismét megemelték 25%-kal. Számítsd ki, hogy a legutolsó ár hány százaléka az eredetinek?

2 pont

Két természetes szám legnagyobb közös osztója 4, a legkisebb közös többszörösük 961736. Mennyi a két szám szorzata?

2 pont

Egy kör sugara 75 egység. Hány egység hosszúságú érintő húzható a körhöz a középpontjától 125 egység távolságra levő pontból? (Indoklás és számolás menete!)

2 pont

Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva a szám tízszeresét kapjuk?

3 pont

Egy dobozban húsz golyó van, melyek 45 százaléka kék, a többi sárga. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ha egy golyót kihúzunk, akkor az sárga lesz?

3 pont

2

7.

Mely pozitív egész számokra lesz a

2012x 1912x100 tört értéke is pozitív x

egész? 8.

Legyen

3 pont 2

  1 x x

= 100 és x pozitív szám. Mennyi az



x3 

1 x3



-nek az értéke?

3 pont

FELADATOK I. II.

Melyik az a abcd négyjegyű szám, amelyre abcd = 95 és cdab−abcd = 5841 ?

9 pont

Egy 130cm sugarú körbe olyan trapézt rajzolunk, amelynek alapjai 100 cm és 240 cm hosszúak. Számítsd ki a trapéz területét?

9 pont

III. Egy háromszög oldalaira a következő összefüggések igazak: abbc = 128 ; bcac = 135 és abac = 119 . Hány egység hosszúak a háromszög oldalai? 2

11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az abc = 2 és c 4 = 2ab egyenletekből álló egyenletrendszert! 11 pont

26


27


10. ÉVFOLYAM 1993. GYAKORLATOK

 a ⋅  a ⋅ a 3

4

1.

Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a

2.

Alakítsuk szorzattá az x 36x 211x6 polinomot!

2

3

kifejezést!

pont pont

2

x −x 16 36 x x6  3 =− 2 1−x x  x1 x −1

3.

Oldjuk meg az egyenletet:

4.

Egyszerűsítsük az algebrai törtet:

5.

Oldjuk meg az  x 2−5x72 −  x−2 x−3 = 1 egyenletet a valós számok halmazán!

pont

2

a −9a14 2a 2−2a−4

x 2−4x3 ≥ 0 egyenlőtlenséget! x 2−6x8

pont

pont

6.

Oldjuk meg az

7.

Létezik-e olyan racionális p paraméter, hogy a  p 2−5p3 x 2  3p−1 x  2 = 0 másodfokú egyenlet egyik gyöke fele a másiknak?

pont

Oldjuk meg a valós számok halmazán az  x5 x−2  3  x  x 3 = 0 egyenletet!

pont

8. 9.

Oldjuk meg a valós számok halmazán a egyenletet!

 x3−4  x−1   x8−6  x −1 = 1

10. Milyen p ∈R értékeknél teljesül minden valós x-re a px 2 12x−50 egyenlőtlenség?

pont

pont pont

FELADATOK I. II. III.

IV.

V.

a b 1 1  ≥  . b2 a2 a b Mi a mértani helye az adott „a” alapú „ma” magasságú háromszögek súlypontjainak? Egy bizottság 40-szer ülésezett. Mindegyik ülésen 10 fő volt jelen. A bizottság bármely két tagja legfeljebb egy ülésen vett együtt részt. Bizonyítsuk be, hogy a bizottság legalább 60 tagból áll?

Igazoljuk, hogy ha a, b pozitív valós szám, akkor

6 pont 9 pont

10 pont

Tegyük fel, hogy a takarékpénztárak annyi kamatot adnak egy évre (nettóban), amenynyi az infláció mértéke. Az állam a kamat 20 %-át adó fejében elvonja. Hány %-kal csökken az állam kamatadó bevétele reálértékben, ha az infláció mértéke 25%-ról 16 %-ra csökken, a betétállomány reálértéke pedig változatlan? 12 pont Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, ha p valós szám:  x 23px p 2− y 23 py p 2 = x− y 2 13 pont xy = p

28



Van-e racionális gyöke a következő egyenletnek:

2.

2 A p paraméter mely értékeire teljesül az x −



x1 − x−1



x−1 3 ? = x1 2

2 pont

15 x p 3 = 0 egyenlet gyökeire, hogy 4

2 x1 = x2 ?

2 pont

3.

Oldd meg a következő egyenletrendszert: x 3− y 3 = 7 x− y = 1

2 pont

4.

Melyik nagyobb: 3500 vagy 7300?

2 pont

5.

Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 5:6, az átfogó 122 cm hosszú. határozd meg az átfogónak a rábocsátott magasságvonal által levágott szeleteinek hosszát! 2 pont

6.

Mutassuk meg, hogy a

7.

2 Van-e pozitív egész megoldása a következő egyenletnek: x  x 16 =

8.

3 72 irracionális szám!

3 pont 40 ?  x 216

Az 1; 2; 3;….; 9 számok valamilyen sorrendjét az a 1 ; a 2 ; ... a 9 ; jelöli. Lehet-e az a 1−1⋅ a 2−2⋅... ⋅a 9−9 szorzat páratlan?

3 pont

4 pont

FELADATOK I.

II.

Egy paralelogramma oldalai 3 és 5 egység hosszúak, egyik szöge 60°.Mekkorák a magasságai és átlói? (Megjegyzés: Az adatokat szögfüggvények használata nélkül számítsd ki!) Oldd meg a következő egyenletet:

III. Határozd meg az f : x 

1 1 1 1    =0 . x−8 x−6 x6 x8

7 pont 8 pont

1 függvény legkisebb, illetve legnagyobb értéx −9x14 2

két a [3;5]intervallumban!

12 pont

IV. Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AB átfogója fölé félkört rajzolunk (ezen rajta van a C csúcs). A háromszög A csúcsából kiinduló súlyvonal metssze a félkört a D pontban. Bizonyítsd be, hogy AD=3BD!

29

13 pont



x 2−25 Egyszerűsítsük a következő törtet: 2 . x 7x10 Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szögfelezője olyan pontban metszi a körülírt kört, amely egyenlő távol van a háromszög másik két csúcspontjától!

 9−4  5 = 2− 5

2 pont 2 pont

3.

Igaz-e az alábbi állítást:

4.

Mely valós x-ekre értelmezhető a

5.

Ábrázold az x   x 2 2x1  x 2−2x−1 függvényt?

3 pont

6.

Egy egyenlőszárú háromszög alapja 10 cm, szára 16 cm hosszú. Az alappal párhuzamosan olyan egyenest húzunk, amely felezi a háromszög területét. Mekkorák a keletkezett trapéz oldalai?

3 pont

7.

Mennyi az x 2−24x8=0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege?

1 pont

8.

Oldd meg az



? Miért?

3 pont

x kifejezés? x3

3 pont

5 ≥ 2 egyenlőtlenséget! 2 3x−x

3 pont

FELADATOK I. II.

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi kifejezés írható egyetlen kifejezés négyzeteként: K = 2ab2c−d  2 − 3a2b3c−2d 2 − 4a3b4c−3d2  5a4b5c−4d 2

6 pont

Egy r sugarú kör AB és CD húrja merőlegesen metszi egymást a P pontban. Bizonyítsuk be, hogy PA2PB 2 PC 2PD 2 = 4r 2 .

10 pont

III. Egy természetes számot az 1-gyel nagyobb számmal megszorozva a sorozat ABCD alakú, ahol A, B, C, D különböző számjegyek. A hárommal kisebb számból kiindulva a szorzat CABD alakú, s 30-cal kisebb számból kiindulva BCAD alakú. Melyek ezek a számok?

11 pont

IV. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 2 2 x − xy y = 2 3 3 x −y = 4

13 pont

30



x 2−4x3  0 egyenlőtlenséget! Oldd meg a valós számok halmazán az 2 x −3x8

2 pont

Egy szabályos háromszög köré írható kör sugara 4 egységgel nagyobb a beírt kör sugaránál. Mekkora a háromszög oldalának pontos értéke?

2 pont

Határozd meg az „m” értékét úgy, hogy az x 2−3mxm2 = 0 egyenlet gyökeire az x 12 x 22 = 27888112 teljesüljön!

2 pont

Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög szára b. Mekkora a beírt kör sugarának pontos értéke?

2 pont

5.

Oldd meg a valós számok halmazán:

3 pont

6.

Add meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol a kifejezés értelmezhető: x 2 −1 ! 4x−x 2

3. 4.

 x−25 x1996 x25 = 0 !



7. 8.

3 pont

Igazold, ha egy derékszögű trapéz átlói merőlegesek egymásra, akkor a merőleges szár mértani közepe a párhuzamos oldalaknak!

3 pont

Határozd meg egy r sugarú kört érintő szabályos háromszög és a körbe írható szabályos hatszög területének az arányát!

3 pont

FELADATOK I.

Oldd meg a természetes számok halmazán a 6x 2−xy − y 2 = 1996 egyenletet!

II.

Legyenek a; b; x és y pozitív valós számok. Igazold, hogy ekkor az 2 2 x x a b  a b ≥ 2 ab2 egyenlőtlenség igaz! y y



 



7 pont

9 pont

III. Bizonyítsd be, ha a; b és c egy háromszög oldalai, akkor a b 2 x 2 b 2c2 −a 2  xc 2 = 0 egyenletnek nincsenek valós gyökei!

11 pont

IV. Egy trapéz párhuzamos oldalai a és c (a>c). Mekkora annak a szakasznak a hossza, amely párhuzamos az alapokkal, és felezi a trapéz területét?

13 pont

31



Egy egyenlő oldalú háromszög köré írt körén jelöljünk ki egy pontot. Mekkora szögben látszanak ebből a pontból a háromszög oldalai?

2 pont

Egy háromszög oldalainak hossza: a = 7 cm, b = 6 cm, c = 5,5 cm. Határozzuk meg, hogy az fc szögfelező mekkora részekre osztja a c oldalt!

2 pont

3.

Egy 30°-os derékszögű háromszög hosszabbik befogója 6 cm. Mekkora a kerület pontos értéke?

3 pont

4.

Oldjuk meg a valós számok halmazán: ∣x −2x∣  x .

3 pont

5.

Oldjuk meg a valós számok halmazán:

 x−5 5−x = 1 .

2 pont

6.

Oldjuk meg a valós számok halmazán:

x 2−25 0 . x−4

3 pont

7.

Az olyan derékszögű háromszögek közül, amelyek befogóinak összege 12 cm, melyiknek legnagyobb a területe?

2 pont

Határozzuk meg m-et úgy, hogy a 2x 2−11xm = 0 egyenlet gyökei között a következő összefüggés álljon fenn: 2x 1−x 2 = 2 !

3 pont

2.

8.

2

FELADATOK 1019951 10 19961 vagy ? 10 19961 1019971

I.

Melyik nagyobb:

II.

Határozza meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy a p  x  = 5−k  x 2−21−k  x2−2k polinom bármely x számhoz tartozó helyettesítési értéke negatív legyen!

6 pont

9 pont

III. Egy háromszögben két szomszédos csúcs, az átlók metszéspontja és a köré írt kör középpontja egy körre esik. Bizonyítsa be, hogy a négyszög trapéz!

11 pont

IV. Melyek azok az x, y, z pozitív egész számok, amelyekre egyidejűleg teljesül a következő két egyenlőség: x y z = 12 xy yzzx = 41

14 pont

32



Oldjuk meg: ∣x 2−2x−8∣ = 7 !

3 pont

2.

Növeljük az „a” oldalú négyzet minden oldalát 10 %-kal. Hány %-kal nő a területe?

2 pont

3.

Határozzuk meg k értékét úgy, hogy az x 2−kx−2 függvény minimuma -6 legyen!

2 pont

4.

A p paraméter mely valós értékeire van az 1− p x 2 −4px41− p = 0 egyenletnek legfeljebb 1 valós gyöke?

3 pont

5.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget a következő adatokból: b – a, c.

3 pont

6.

Szerkesszünk adott háromszögbe olyan téglalapot, melynek oldalainak aránya 1:2.

2 pont

7.

Mennyi a pontos értéke a következő kifejezésnek:

8.

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: x y = 11 3 3 x  y = 341

 3−2  2

?

2 pont

3 pont

FELADATOK I.

II.

Két kör metszéspontjánál húzzunk egy-egy szelőt. A szelők a köröket még további egy-egy pontban metszik. Milyen négyszöget határoznak meg Az utóbbi metszéspontok?

8 pont

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert: 3 3 x y = 1 4 4 x y = 1

9 pont

III. Az ABC hegyesszögű háromszög körülírt körének A-val átellenes pontját jelöljük Á-val. Tükrözzük az Á-t a BC oldal felezőpontjára! Igazoljuk, hogy a tükörkép a háromszög magasságpontja!

10 pont

IV. Oldjuk meg a valós számok halmazán x-re a következő egyenlőtlenséget, ahol p valós paramétert jelöl:  p−x  px p . 13 pont

33



x 4−1 Mely valós számokra igaz, hogy 2 0 ? x −1

2.

Számítsd ki a pontos értékét:

3.

Hozd a legegyszerűbb alakra:

1999

4. 5.

2

1997

2 pont 1996

3⋅2 2 3⋅21997 −21996

!

 1999  1998 − ! 1999− 1998 1999 1998 Oldd meg a valós számok halmazán:  3x1−  x−1 = 2 Egy szabályos háromszög köré írható körének sugara 1999 egységgel nagyobb a beírt kör sugaránál. Mekkora a háromszög oldalának pontos értéke?

 x 3− x 2−2x

6.

Határozd meg a

kifejezés értelmezési tartományát!

7.

Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az x 2 yxy 2 1 = 2000

8.

Mely valós számokra igaz, hogy

∣x1999∣x ≥1 ? x2000

2 pont 2 pont 2 pont 2 pont 3 pont 3 pont 4 pont

FELADATOK I.

Egy konvex négyszög átlóinak hossza 2 és 1999 egység. A négyszög szemközti oldalfelező pontjait összekötő szakaszok hossza egyenlő. Bizonyítsd be, hogy a négyszög átlói merőlegesek egymásra! Számítsd ki a négyszög területét is!

II.

2

Mely egész x számokra igaz, hogy 2x − x−36 kifejezés egy pozitív prímszám négyzetével egyenlő?

8 pont 10 pont

III. Az a; b és c valós számokra igaz, hogy a + b = c – 1és ab = c 2−7c10 . Az a; b és c mely értékeinél lesz maximális az a 2b2 összeg?

10 pont

IV. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB = a és CD = c (a > c). Az EF szakasz párhuzamos az alapokkal, és a trapézt úgy vágja ketté, hogy az ABEF trapéz területe az ABCD trapéz területének harmada. Milyen hosszú az EF szakasz?

12 pont

34



Egy szabályos háromszög magassága 10  3 . Mennyi a területe? 2000

2 pont

2.

Melyik nagyobb: 3

?

2 pont

3.

A következő egyenlet egyik gyöke 2. Mennyi „a” értéke: x 2ax8 = 0 ?

2 pont

4.

Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 5:12, átfogója 26 cm. Mennyi az átfogóhoz tartozó magasság?

2 pont

5.

vagy 4

1600

Milyen x értékre veszi fel a következő függvény a legkisebb értékét és mennyi az 1 2 f  x  = 2x −7x ? 8



2x−7 ? 6−x

6.

Mely valós számokra értelmezhető:

7.

Legyen „n” pozitív egész szám. Az „n” milyen értékére lesz egész szám a

8.

Old meg a következő egyenletet: x 2 x3  x 2 x2 = 8 !

2 pont 3 pont

2n1 tört? 3 pont n−3 4 pont

FELADATOK I. II.

Bizonyítsd be, hogy ha egy négyszöget átlói egyenlő területű háromszögekre osztanak, akkor a négyszög paralelogramma.

7 pont

Egy téglalap oldalai „a” és „b”. A csúcsokból kiindulva azonos irányban egyenlő szakaszokat mérünk fel mindegyik oldalra. A felmért szakaszok végpontját összekötjük. Mekkorának válasszuk a kérdéses szakaszt, hogy a keletkezett négyszög területe minimális legyen?

9 pont

III. Old meg a következő egyenletrendszert. melyre xy≥0 ! 2 4 2 2 x  y −x y = 13 2 2 x − y 2xy = 1

11 pont

IV. Az x 2 pxq = 0 egyenlet két gyöke x1 és x2 . Írd fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: y 1 = x12 x 22 ; y 2 = x 13x 23 .

13 pont

35



Oldd meg az egész számok halmazán a 100x120y = 2001 egyenlőséget!

1 pont

2.

Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek összesen 35 átlója van?

2 pont

3.

Határozd meg az f  x  = valós számok halmazán!

1 függvény értelmezési tartományát a  x −2002x2 2001x 3

1

 4x−20  x−5−  9x−45 = 4 egyenletet! 3

4.

Oldd meg a

5.


6.

Oldd meg a valós számok halmazán az

7.

Egy derékszögű háromszög átfogója 8 egység, az átfogóhoz tartozó magassága 2  3 egység. Mekkorák a befogói?

8.

 20052  8004 −  2005−2  8004

2 pont 2 pont

!

x 2−x 2000  0 egyenlőtlenséget! x 2− x2001

3 pont 3 pont 3 pont

2

Legyenek x1 és x2 az x − x p = 0 egyenlet gyökei. Határozd meg a „p” értékét úgy, hogy az  x 13x 23 2 = 4p1 feltétel teljesüljön!

4 pont

FELADATOK I. II.

Egy derékszögű trapéz érintőnégyszög is. Alapjai a és c egység hosszúak. Számítsd ki a beírt kör sugarát!

8 pont

Legyenek a és b olyan valós számok, amelyekre igaz, hogy a > b és ab = 1. Bizonyítsd a 2b 2 be, hogy 9 pont ≥ 2 2 ! a−b

III. Igazold, ha a < b < c valós számok, akkor az  x−a x−b x−b x−c x−a x−c = 0 másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van! 11 pont IV. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai: AD=2000 és BC=1125, a BC oldal meghosszabbításán van egy olyan M pont, amelyre CM=400. Milyen arányban osztja a trapéz területét az AM egyenes? 12 pont

36


2002. GYAKORLATOK



x−2002 függvény értelmezési tartományát! 2002−x

1.


2.

Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az

3.

Egy háromszög egyik oldala 10 egység. Az oldal végpontjaiból kiinduló súlyvonalak 9 és 12 egység hosszúak. Számítsd ki a háromszög területét!

2 pont

2

x −2x  0 egyenlőtlenséget! 2 x 5x13

4

4

 2816 3− 28−16 3

4.


5.

Az a; b és c valós számokra igaz, hogy a 2b2c 2 = abacbc . Bizonyítsd be, hogy a = b = c!

6. 7.

2a 2−4a3 Mennyi a tört legkisebb értéke, ha „a” egész szám? a 2 −2a6 Melyek azok az n pozitív egész számok, amelyekre igaz, hogy a 2n 2−n−36 kifejezés egy prímszám négyzetével egyenlő? 2

8.

!

a b 4 nak hossza. Határozd meg a szögeit! Egy háromszög területe egyenlő

2 pont 3 pont 3 pont 3 pont 3 pont

4 pont

2

-gyel, ahol a és b a háromszög két oldalá4 pont

FELADATOK I.

Határozd meg azokat az (x;y) számpárokat, amelyekre igaz, hogy: 2x 2− xy10 = 0 2 2 x  y ≤ 100 x egész szám!

8 pont

Egy téglalap oldalainak mérőszámai páros természetes számok. A kerület és a terület mérőszámainak összege 2000. Mekkorák a téglalap oldalai?

8 pont

III. Oldd meg a valós számok halmazán az x2y3z = 2  x −1 2y−1 3z−1 egyenletet!

12 pont

IV. Egy háromszög két szöge β = 50° és γ = 100°. A velük szemközti oldalak b és c, a háromszög harmadik oldala: a. Bizonyítsd be, hogy ab = c 2−b2 !

12 pont

II.

37


2003. GYAKORLATOK

−x 28x−16

1.

Mely valós x értékekre értelmezhető az f  x  =

2.

Oldd meg a való számok halmazán az ∣x1∣∣x−4∣ = 2003 egyenletet!

3.

Számítsd ki az x

4.

Oldd meg a valós számok halmazán az x 2 ≤ ∣x∣ egyenlőtlenséget!

2 pont

5.

Egy háromszög egyik oldala 10 egység, a másik két oldalhoz tartozó súlyvonal 9 és 12 egység. Mekkora a háromszög területe?

2 pont

A k mely értéke esetén lehet a 2x 2 xk kifejezést szorzattá alakítani úgy, hogy egyik tényezője x + 3 legyen?

3 pont

6. 7.

függvény?

1 2 1 értékét, ha x  2 = 79 ! x x

Az r sugarú körbe írt hegyesszögű háromszög területe hogy sin 2 sin 2 sin 2  = 1 !

8.

x−4



2 pont 2 pont

r2 , szögei  ;  és  . Igazold, 2 3 pont

Legyen a; b; x és y pozitív számok. Igazold, hogy ekkor 2 2 x y a b  a b ≥ 2 ab2 mindig teljesül! b x



2 pont



4 pont

FELADATOK I.

Az ABCD téglalap AB oldala 20, BC oldala 15 egység. A C csúcsból a BD átlóra állított merőleges talppontja legyen E. Számítsd ki az EBC-be írható kör sugarát!

8 pont

Egy gépkocsi utasa a kilométerkövön egy kétjegyű számot olvas le. Útját ugyanolyan átlagsebességgel folytatva egy órával később olyan kilométerkő mellett halad el, amelyen ugyanazokat a jegyeket fordított sorrendben olvassa le. Ezután egy órával később olyan kilométerkőhöz érkezik, amelyen ugyanazon két jegyet látja, amit az elsőn, de közöttük egy nullával. Milyen számokat olvasott le?

10 pont

III. Egy könyv oldalait megszámoztuk 1-gyel kezdve és 2003-mal bezárólag. Hányszor fordul elő számozásban az 1-es számjegy?

10 pont

II.

IV. Az „EGYIPTOMI TÖRT” kifejezés olyan törtet jelent, amelynek a számlálója 1, a nevezője pozitív egész szám. Hogyan lehetne felírni két „egyiptomi tört” összege7 ként a -et? 27

38

12 pont



Milyen számjegyet írhatunk x helyébe, hogy a 2004 és 354x számok összege osztható legyen 9-cel?

2 pont

Egy rombusz egyik szöge 120°-os, rövidebb átlója 2004 egység. Számítsuk ki a rombusz kerületét!

2 pont

2004x értelmezési tartományát!  2004x− x 2

3.


4.

Legyen 1 < n <10 pozitív egész szám, de nem prímszám. A 10 és az n legnagyobb közös osztója 1. Mivel egyenlő a 10 és az n legkisebb közös többszöröse? x 2− x2003  0 egyenlőtlenséget! x 2−x 2004

2 pont 2 pont

5.

Oldd meg a valós számok halmazán az

6.

Oldd meg az alábbi egyenletrendszert! a⋅b⋅c = 0 abc = 0 a−b = 2004

3 pont

Az első 2003 pozitív egész szám közül találomra kiválasztunk valamennyit és ezeket összeadjuk. A megmaradt számokat szintén összeadjuk. Előfordulhat-e, hogy a két összeg egyenlő? Indokold!

3 pont

7.

8.

Az A =

n2 −4n16 tört értéke milyen n természetes szám esetén lesz egész szám? n−2

2 pont

4 pont

FELADATOK

3 72− x−3 16− x = 2 egyenletet!

I.

Oldd meg a valós számok halmazán a

II.

Egy kétjegyű számhoz hozzáadtuk a fordítottját, így 2-vel többet kaptunk, mintha a kétjegyű számból levontuk volna a fordítottját, és a különbséget 3-mal megszoroztuk volna. Mi lehetett az eredeti kétjegyű szám?

III. Oldd meg a valós számok halmazán az x

9 pont

9 pont

1 1 = y és az xy−2 x  y4 = 0 x y

egyenletekből álló egyenletrendszert!

9 pont

IV. Az ABCD paralelogramma C hegyesszögű csúcsából állítsunk merőlegest az AD, illetve az AB oldalegyenesekre. A merőlegesek talppontjai Q és P. Bizonyítsd be, hogy 2 12 pont AD⋅AQ AB⋅AP = AC !

39



Mely prímszámok tartoznak az f  x  = tartományába?

2.

1 függvény értelmezési −x 20x−36 2

2 pont

Ha egy négyjegyű számból levonjuk számjegyeinek az összegét, lehet-e a különbség 2005?

2 pont

Egy háromszög két oldala 5, 6 egység, illetve 28,4 egység. A harmadik oldala hány egység, ha az prímszám?

2 pont

Egy dobozba külön cédulára írva betettem az 1,2,3,4 és 5 számkártyákat, majd – visszatevés nélkül – kihúzunk egymás után 2 cédulát és leírjuk egymás mellé a cédulán szereplő számjegyeket. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kapott szám prímszám?

2 pont

5.

Hány pozitív egész számpár megoldása van az x 2− y 2 = 2005 egyenletnek?

3 pont

6.

Egy 36 fős társaságból elment a lányok fele, így a baráti kör az

3. 4.

7. 8.

5 részére csökkent. 6

Hány fiú van a társaságban?

3 pont

Hány jegyű lesz az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy 1-től 2005-ig leírjuk egymás mellé az egész számokat?

3 pont

Egy téglatest testátlója 41 egység, a felszíne 344 területegység. Mekkora az egy csúcsból induló élek összege? 3 pont FELADATOK

I.

Egy háromszögbe írható kör sugara 4 egység, a kör érintési pontja a háromszög egyik oldalát 6 és 8 egység hosszú szakaszokra bontja. Számítsd ki a másik két oldal hosszát! 8 pont

II.

Egy háromjegyű prímszám számjegyei különbözőek, és számjegyeinek összege egy másik prímszámmal egyenlő. A két prímszám negyedik hatványainak összege 6-ra végződik. Mivel egyenlő a két prímszám szorzata?

9 pont

III. Egy háromszög két szöge: β = 50° és γ = 100°, a velük szemközti oldalak b illetve c, a harmadik oldala a. Bizonyítsd be, hogy ab = c 2−b2 !

11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az x652

40



x6 1440 − = 0 egyenletet! x−36 x−36

12 pont



Egy négyzet területe 144 cm2. Mekkora a köré írható kör sugarának pontos értéke?

2 pont

2.

Egy osztályban 15 tanuló ír angol dolgozatot, közülük egy tanuló 75 pontot szerzett, a többi dolgozat pontszámának átlaga 60 pont. Mennyi a dolgozatok pontjainak átlaga?

2 pont

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 48 cm, a háromszög köré írható kör területe 676π cm2. Számítsd ki a háromszög kerületét!

2 pont

Apa és a fia életkorának összege 51 év. 21 év múlva az apa kétszer annyi idős lesz, mint a fia. Hány éves volt az apa, a fia születésekor?

2 pont

Hány olyan ötjegyű szám van, amelynek minden számjegye páros? (A számjegyek ismétlődhetnek!)

3 pont

Egy négyzet kerülete 576 cm. Hogyan aránylik egymáshoz a négyzet, és a négyzettel azonos kerületű szabályos háromszög területe? (Pontos értékkel számolj!)

3 pont

Az f  x  = ax 2bxc függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ha b = – 8, akkor c-t hogyan kell megválasztanunk ahhoz, hogy a függvénynek ne legyen zérus helye?

3 pont

Egy pénzérmét négyszer egymás után feldobunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobások közül legalább egy írás?

3 pont

3. 4. 5. 6. 7.

8.

FELADATOK I.

II.

Egy háromszög oldalainak az aránya 27:36:45, területe 12350 m2. Mekkora a háromszög kerülete? A háromszög mely pontja van egyenlő távolságra a háromszög oldalaitól, és mekkora ez a távolság?

8 pont

Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel játszik egy mérkőzést. Ha a résztvevők számát felére csökkentenénk, 145-tel kevesebb lenne a mérkőzések száma. Menynyivel csökkenne a mérkőzések száma, ha a résztvevők száma a negyedére csökkenne?

9 pont

1 1 = y és az xy−2 x y4 = 0 egyenletekből álló x y egyenletrendszert a valós számpárok halmazán!

11 pont

IV. Egy négyzetes oszlop élei cm-ben mérve 2-nél nagyobb egész számok. A hasábot kékre festettük, majd lapsíkjaival párhuzamos síkokkal 1 cm élű kis kockákra vágtuk szét, ekkor kiderült, hogy azon kis kockák száma, melyeknek pontosan egy lapjuk kék 78. Számítsd ki, hogy hány olyan kiskocka van, amelynek pontosan két lapja kék!

12 pont

III. Oldd meg az x

41



Oldd meg a valós számok halmazán az  x2  x−1 = 0 egyenletet!

2 pont

2.

Egy szabályos háromszög oldala ”a” egység. Számítsd ki a köré írható kör sugarának pontos értékét!

2 pont

Egy kocka minden élét ugyanannyi egységgel megnöveltük, így a felszíne megnégyszereződött. Hányszorosára növekedett a kocka térfogata?

2 pont

Az f  x  = ax 2bxc függvényben b 2−4ac=0 és a < 0. Add meg a függvény legbővebb értékkészletét!

2 pont

3. 4. 5.

Igazold, hogy ha a, b, c pozitív szám, akkor az abc 





1 1 1   ≥ 9 egyena b c

lőtlenség mindig igaz!

3 pont

Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott számokat. Mekkora annak a valószínűsége (esélye), hogy az így kapott kétjegyű szám négyzetszám!

3 pont

7.

Igazold, hogy az n 323n osztható 24-gyel, ha n páratlan pozitív egész szám!

3 pont

8.

A 0, 1, 2, 3 számjegyekkel hány különböző négyjegyű páros számot tudunk felírni? Indokolj!

3 pont

6.

FELADATOK I. II.

Melyek azok az ötjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszámok is egyben?

10 pont

Oldd meg a valós számok halmazán az x 210y 41 = 0 , az y 2−2z−23 = 0 és a z 2 −6x17 = 0 egyenletekből álló egyenletrendszert!

10 pont

III. Az ABCD négyszög AB illetve CD oldalainak felezőpontjai E és F. Az AC illetve BD átlók felezőpontjai G és H. Igazold, ha AD = BC, akkor EF merőleges GH-ra!

10 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!  3x 26x7 5x 210x14 = 4−2x− x 2

10 pont

42



Egy kocka testátlója 2008  3 egység. Számítsd ki a felszínét!

2 pont

2.

Egy háromszög kerülete 36 cm, egy hozzá hasonló háromszögé 54cm. Mekkora a területük aránya?

2 pont

3.


2008 függvény értelmezési tartományát a valós x  x 2−6x 3

számok halmazán!

2 pont

Egy téglalap területe 120 cm2, két oldalának számtani közepe 11 cm. Mekkorák az oldalai?

2 pont

5.

Hány olyan 4-re végződő ötjegyű szám van, amely osztható 4-gyel? Indokolj!

3 pont

6.

4 4 Mennyi az A = x  y 

4.

2 kifejezés legkisebb értéke, ha a kifejezés értelx −y2 2

mezett? 7. 8.

3 pont 2

2

Melyik az a legkisebb p valós szám, amelyre az x −4px2p 3p−1 = 0 egyenletnek egyetlen valós gyöke van?

3 pont

Az x és y nem negatív valós számokra igaz, hogy 5x6y = 150 . Mennyi ekkor az xy legnagyobb értéke?

3 pont

FELADATOK I. II.

Hány olyan egész (x; y) számpár van, amelyre igaz, hogy x 3 y 3−3x2 6y 23x12y7 = 0 ?

9 pont

Oldd meg a valós számok halmazán a 2  x−2  x2 = 3⋅4 x 2−4 egyenletet!

9 pont

III. Az ABC háromszög AB; BC és AC oldalán vegyük fel a D; E és F pontokat úgy, hogy DE legyen párhuzamos AC-vel, EF pedig AB-vel! Az ECF háromszög területe t1, az EBD háromszögé t2. Fejezd ki az ADEF paralelogramma területét t1-gyel és t2-vel! Indokolj!

10 pont

IV. Melyek azok a x természetes számok; amelyekre az x 5 x 41 kifejezés értéke prímszám?

12 pont

43



Felírható-e a 2009 két prímszám összegeként? Válaszodat indokold! 2

2 pont

2

Oldd meg az x  y = 2x2y−2 egyenletet a valós számok halmazán! Indokolj röviden! 2x−5  2 egyenlőtlenséget! x−3

2 pont

3.

Oldd meg a pozitív egész számok halmazán a

4.

Hány számjegyből áll a 2516⋅238 szorzat eredménye? Indokolj!

2 pont

5.

Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott számokat. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az így kapott kétjegyű szám osztható nyolccal?

2 pont

Két pozitív egész szám mértani közepe 12-vel nagyobb, a kisebb számnál, számtani közepük 24-gyel kisebb, a nagyobb számnál. Melyik ez a két szám?

3 pont

Egy szimmetrikus trapéz átlói merőlegesek egymásra, a magassága 2009 cm. Számítsd ki a területét!

3 pont

Határozd meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy az x 23p−5 x−7p6 = 0 egyenletben a gyökök négyzetösszege a legkisebb legyen.

4 pont

6. 7. 8.

2 pont

FELADATOK

∣

∣

x 2 y 2 = 4 egyenletet az egész számok halmazán! x y

I.

Oldd meg az

II.

Egy konvex négyszög oldalai rendre x – 3; x + 3; x + 7; x + 3 egység hosszúak. Határozd meg az x paraméter értékét úgy, hogy a négyszög átlói merőlegesek legyenek egymásra! Mekkorák a négyszög oldalai?

10 pont

10 pont

III. Oldd meg a 2x 2  2x 2−3x5 = 13x egyenletet a valós számok halmazán!

10 pont

IV. Egy derékszögű érintőtrapéz egyik szárának végpontjai a beírt kör középpontjaitól 15 cm és 20 cm távolságra vannak. Számítsd ki a trapéz oldalainak hosszát!

10 pont

44


2010. GYAKORLATOK

  4 7  4−  7 

2

1.

Számítsd ki a

2.

Melyek azok az x természetes számok, melyekre a is és a+5 is prímszám? (Röviden indokolj!)

3. 4. 5.

kifejezés pontos értékét!

Igazold, ha egy háromszög oldalaira igaz, hogy kor a háromszög derékszögű!

 2 ab =  ac  a−c

2 pont 2 pont , ak2 pont

Egy kocka minden élét ugyanannyival megnöveltük, így felszíne 25-ször akkora lett. Hányszorosára növekedett a kocka térfogata?

2 pont

Határozd meg az f  x  =  2010− x x−2010 függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!

3 pont

6.

A „ZIPI-KUPA” középiskolai egyéni teniszbajnokság döntőjébe hatan jutottak be: Andi, Bea, Cili, Dóri, Edit és Flóra. A versenykiírás szerint bármely két lánynak pontosan egyszer kell játszania egymással. Eddig Andi már játszott Beával, Dórival és Flórával, Bea már játszott Edittel is. Cili csak Edittel játszott, Dóri pedig Andin kívül csak Flórával, Edit és Flóra egyaránt két mérkőzésen van túl. Hány mérkőzés van még hátra? 3 pont

7.

Egy 15 fős csoport matematikadolgozatainak az átlaga 35 pont. Hány pontos lett a 16-dik tanulónak a dolgozata, akinek pontszámával az átlag 36 pontra módosult?

8.

Igazold, ha x egész szám, akkor a

3 pont

7x−1 5x3 és az nem lehet egyszerre egész 4 12

szám!

3 pont FELADATOK

I.

II.

A középiskolás sakkbajnokságon minden résztvevő pontosan egyszer játszik mindenkivel. Ha a résztvevők száma a felére csökkenne, akkor 145-tel kevesebb lenne a mérkőzések száma. Mennyivel csökkenne a meccsek száma, ha az eredeti indulók számát nem a felére, hanem a negyedére csökkentenénk?

8 pont

Oldd meg a következő egyenletet: x 2 x x 2 x7 = 5

9 pont

III. Bizonyítsd be, ha a; b és c egy háromszög oldalai, akkor a b 2 x 2 b 2c2 −a 2  xc 2 = 0 egyenletnek nincsenek valós gyökei!

10 pont

IV. Egy ABCD derékszögű trapéz A és D csúcsánál vannak a derékszögek. A trapéz alapjai 6m és 4m hosszúak. A nem merőleges BC szár F felezőpontjából induló merőleges (f) a trapéz A csúcsán halad át. Pontos értékkel számolj! c) Milyen hosszú az AF szakasz? d) Számítsd ki a trapéz területét!

13 pont

45


2011. GYAKORLATOK

  12 23 12−  23 

2

1.


2.

Mennyi az x 3−2x 2 = x −2 egyenlet valós gyökeinek a szorzata?

2 pont

3.

Igazold, ha egy kétjegyű természetes számot megszorzok 2-vel, és ezt a két vagy háromjegyű számot a kétjegyű szám után írom, akkor a kapott négy vagy ötjegyű szám mindig osztható 6-tal!

2 pont

Oldd meg a mazán!

2 pont

4. 5.

!

 x−2011 x 2011  2011x = 0 egyenletet a valós számok hal-

Egy 25 fős osztályban a matek dolgozatok átlaga 2,96 lett. A dolgozatok közül 4 elégtelen, 3 elégséges és 2 jeles lett. Hány közepes és jó eredmény volt?

2 pont

3 pont

2

2x −4x3 kifejezés legkisebb értékét! x 2−2x6

6.

Határozd meg az A =

7.

Hány olyan pozitív egész szám van, melyek nem elemei az f  x  =  x3 −x 2−2x függvény értelmezési tartományának?

3 pont

Ha egy szabályos sokszög oldalainak a számát megkétszerezzük, akkor minden belső szöge 15º-kal nagyobb lesz. Hány oldalú a szabályos sokszög?

3 pont

8.

3 pont

FELADATOK I.

Egy háromszögben az a; b és c oldalakkal szemben rendre α; β és γ szögek vannak. Igazold, ha α = 30º és γ = 100º, akkor ab = c 2−b2 !

8 pont

Igazold, ha a < b < c valós számok, akkor az  x−a x−b x−b x−c x−a x−c = 0 másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van!

10 pont

III. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 15º-os. Bizonyítsd be, hogy ekkor a háromszög területe T = 2m 2 , ahol m az átfogóhoz tartozó magasság!

10 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az x  x−2y  x 2−2xy5 = 1 és az x−4y = −3 egyenletekből álló egyenletrendszert!

12 pont

II.

46


2012. GYAKORLATOK

 x 2−200x10000 = 100− x

1.

Mely valós számokra igaz, hogy

. Röviden indokolj!

2 pont

2.

Két egész szám közül az egyik 100-zal nagyobb a másiknál, szorzatuk 3846944. Melyek ezek a számok?

2 pont

3.

Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1; 2; 3; 4 és 5 számjegyekből, amelyekben csupa különböző számjegyek szerepelnek? 2 pont

4.

Melyek azok a hatjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszámok is?

2 pont

2

x −6x8 ≤ 0 egyenlőtlenség? 2 x −6x9

5.

Mely egész számokra igaz az

6.

Egy négyzet és egy rombusz egyik oldala közös, a hossza 100 egység. A négyzet és a rombusz területének aránya 2:1. Mekkora a rombusz magassága?

3 pont 3 pont

   1

1 x

1

1 ≥9 ! y

7.

Legyen x > 0; y > 0 és x + y = 1. Igazold, hogy

8.

Oldd meg az egész számpárok halmazán az x 3 y 3−3x2 6y 23x12y6 = 0 egyenletet!

3 pont 3 pont

FELADATOK I.

Oldd meg a racionális számok halmazán az  x 26x 2 =  x3263 egyenletet!

II.

Hozd a legegyszerűbb alakra az A =

9 pont

1 1 1   a a−b a−c bb−ab−c c c−ac−b

kifejezést!

9 pont

III. Egy derékszögű trapéz érintőnégyszög is, párhuzamos oldalai a és c. Számítsd ki a beírható kör sugarát!

11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert! 2 2 9x −12xy4y −18x12y9 = 0 2 2 x −3xy2y −4x5y3 = 0

11 pont

47

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

Recommend Documents