Masarykova univerzita Brno Pedagogická fakulta
Závěrečná práce
2012
Pavlína Dubnová
Masarykova univerzita Brno Pedagogická fakulta Katedra matematiky
Historické úlohy v současných učebnicích Závěrečná práce
Autor: Studijní program: Vedoucí práce:
Brno
Mgr. Pavlína Dubnová M C-CV ZSSMA RNDr. Karel Lepka, Dr.
2012
Anotace DUBNOVÁ, Pavlína. Historické úlohy v současných učebnicích. Brno: Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity Brno, 2012. 41 s. Závěrečná práce. Tato práce si klade za cíl ukázat, zda se v dnešních učebnicích a sbírkách matematiky pro základní a střední školy vyskytují úlohy označené jako historické, popř. z historických učebnic.
Klíčová slova: historické úlohy, učebnice matematiky, sbírka příkladů z matematiky
Annotation DUBNOVÁ, Pavlína. Historical exercises in contemporary school-books. Brno:
Pedagogical Faculty, Masaryk University, 2012. 41 pp. Final Thesis.
This thesis shows, if we can find historical exercises in elementary and secondary math school-books, which we use today in the education.
Keywords:
Historical exercises, school-books, collection of exercises
Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto závěrečnou práci vypracovala pod vedením vedoucí závěrečné práce samostatně a uvedla jsem všechny použité prameny a literaturu.
V Brně dne 23.8. 2012
........................................................ podpis
Obsah 1. Úvod ................................................................................................ 7 2. Historické úlohy ve výuce matematiky ............................................ 8 3. Racionální čísla ............................................................................... 9 4. Poměr, přímá a nepřímá úměrnost ................................................. 11 5. Procenta ......................................................................................... 15 6. Mocniny ........................................................................................ 17 7. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy ............................................. 19 8. Posloupnosti a řady........................................................................ 29 9. Planimetrie .................................................................................... 32 10.
Stereometrie ................................................................................ 36
11.
Závěr ........................................................................................... 39
12.
Seznam literatury ........................................................................ 40
6
1. Úvod Tato práce má za úkol osvětlit otázku, jaké úlohy, které by se daly označit jako historické, se vyskytují v dnešních učebnicích či sbírkách matematiky pro základní a střední školy. To znamená, že jsem se pokusila shromáždit jednak známé úlohy, které byly řešeny už od dob starověku, ale zařadila jsem i úlohy převzaté ze sbírek vydaných začátkem minulého století, protože ty opravdu „historické“ nalezneme v učebnicích jenom zřídka. V současné době mají školy na výběr mnoho titulů učebnic, ať už celkem nových či takových, podle kterých se děti učí už mnoho let. Vybrala jsem známé a často na školách používané tituly, ale také i ty méně známé nebo už méně používané, a pokusila jsem se v nich najít úlohy označené jako historické, známé historické problémy či úlohy ze starých učebnic a sbírek matematiky. Bohužel v učebnicích pro střední školy a gymnázia je takových příkladů velmi málo, častější jsou pouze historické poznámky k jednotlivým tématům, proto je tato práce zaměřená i na učebnice ze škol základních a nižších gymnázií. V těch je historických úloh nesrovnatelně více. Jsou zde zařazeny tematické celky, které se ovšem na středních školách probírají v prvním ročníku. Tato práce neobsahuje všechny tematické celky středoškolské matematiky, jen ty, ke kterým jsem nějaké úlohy nalezla.
7
2. Historické úlohy ve výuce matematiky Na úlohy historické jsem se zaměřila proto, jelikož si myslím, že je důležité ji přiblížit i žákům na školách. Můžou se seznámit s početními problémy, které se kdysi řešili a porovnat s matematickými úlohami, se kterými se setkávají v dnešní době. Často to jsou úlohy tzv. kupecké, kde se počítá cena za určité zboží. Zde můžou například porovnat, jak se změnily ceny některých věcí, nebo se naučit něco nového, třeba archaické váhové jednotky. Určitě není zbytečné si na takové úlohy udělat během vyučování čas a pohovořit s žáky i o známých osobnostech matematiky nebo jakou roli mělo v historii matematiky například číslo nula. V matematických seminářích nebo kroužcích je také zajímavé s žáky vyzkoušet, jak se takové úlohy řešili například ve středověké Indii, kde neznali například algebraickou symboliku, kterou používáme dnes.
8
3. Racionální čísla S racionálními čísly se samozřejmě setkáváme v takřka všech kapitolách matematiky na základní a střední škole. Pár úloh převzatých ze starších sbírek či učebnic můžeme nalézt ovšem přímo v kapitolách o racionálních číslech, třeba v učebnici Matematika od nakladatelství Prometheus jich najdeme hned několik, první dvě úlohy pojednávají o dělení dědictví: 1) „Arab odkázal svým třem synům sedmnáct velbloudů a poručil, aby se podělili takto: Nejstarší syn dostane polovinu všech velbloudů, prostřední třetinu a nejmladší devítinu. Když byli synové nešťastni z úkolu, který dostali, neboť nechtěli žádné zvíře zabít, poradil jim mudrc: „Vypůjčete si jednoho velblouda, a pak se teprve rozdělte.“Jak je možné, že jim pak dělení vyšlo, a dokonce každý dostal víc, než mu otec odkázal v závěti?“[4] Řešení: Po zapůjčení velblouda měli synové celkem 18 velbloudů a dělení je pak snadné. První dostal druhý měl třetí zdědil
, tedy 9 velbloudů, , tedy 6 velbloudů, , tedy 2 velbloudů. Protože 9 + 6 + 2 = 17, mohli vypůjčeného
velblouda zase vrátit jeho majiteli. Otec synům odkázal jen část stáda, protože protože stádo si rozdělili celé
Synové dostali více, ,
.
2) „Pan Hanák ustanovil v poslední vůli, že po úhradě všech výloh připadnou jmění synovi, polovina zbytku chudým města a druhá polovina zbytku školám. Po jeho smrti školy dostaly 2500 K. Jaké jmění pan Hanák po úhradě výloh zanechal a kolik korun zdědil jeho syn?“[4]
Řešení: Jelikož syn pana Hanáka obdrží dle poslední vůle
9
jmění, pro chudé a
školy zůstává vlastně
jmění, které si rozdělí na polovinu. Školy obdržely 2500 K, což byla celého dědictví. To muselo být tedy celkem 25 000 K.
Protože
, dědictví syna bude právě 20 000 K.
3) „Čtyři skupiny dělníků zatloukají piloty (vodní kůly) na stavby jezu. a) První skupina zarazila do dna řeky kůlu 80 cm hluboko,
kůlu se pak octla
ve vodě. Kolik metrů byl kůl dlouhý? Kolik centimetrů pak čněl nad vodou? b) Druhá skupina zarazila kůlu do břehu, nad zem pak vyčnívalo ještě 120 cm. Jak dlouhý byl tento kůl? c) Třetí parta zarazila
kůlu do dna, kůlu pak byla pod vodou, takže v zemi a
ve vodě bylo 1,40 m kůlu. Jak dlouhý byl tento kůl a jak vysoko čněl nad vodní hladinou? d) Čtvrtá skupina zarazila
kůlu do dna, pak byla ve vodě. Nad vodu vyčníval
kůl jen 20 cm vysoko. Jak dlouhý byl celý kůl? Jak hluboká byla voda?“[4] Řešení: a) Jelikož z prvního kůlu je 80 cm, kůlu, tedy celý kůl, je pak 200 cm = 2 m. Pod vodou byla
ze 200 cm, což je 50 cm. A zbývá dopočítat, kolik zůstalo
nad vodou: 200 – 80 – 50 = 70 cm. b) U druhého kůlu víme, že nad zemí jsou
kůlu, což je 120 cm. Celý kůl musí
být 180 cm dlouhý. V zemi a pod vodou je zaraženo
c)
kůlu, celkem 140 cm. Tento
kůl je potom dlouhý 240 cm a nad vodou ční 240 – 140 = 100 cm, tedy 1 metr. d)
z posledního kůlu je v zemi nebo pod vodou, nad zemí zůstává kůlu, 20 cm. Čtvrtá skupina měla 3 metry dlouhý kůl a voda byla stejně hluboká, jako byla délka ponořené části. A ze 3 metrů je 1 metr.
10
4. Poměr, přímá a nepřímá úměrnost Čtyři úlohy ze starší učebnice matematiky nazvané Pracovní kniha počtů pro žáky měšťanských škol zařadili do své učebnice Matematika pro 7. ročník, druhý díl, autoři Odvárko, Kadleček. Další tři jsou převzaty z učebnice Matematika od autorů Herman a spol. Všechny tyto úlohy jsou na výpočet velmi jednoduché. 1) „Dva bratři se měli rozděliti podle závěti o pozemky na výměře 1 ha 86 a 30 v poměru 5 : 4. Kolik bude míti každý?“[14] Řešení: 1 ha 86 a 30
, a ty si mají rozdělit v poměru 5 : 4.
je 18 630
Nejprve zjistíme, kolik bude jeden díl: První bratr dostane druhý bratr bude mít 2) „50 kg mouky je za 115 K. Na jedno pečení chleba potřebuje hospodyně 13 kg mouky. Kolik K stojí tato mouka?“[14] Řešení: Jedná se o přímou úměrnost, šipky budou stejným směrem 50 kg mouky……115 K 13 kg mouky ……x
K
. Mouka bude stát přesně 29,9 K. 3) „Na chodník 3 m široký a 8 m dlouhý se spotřebovalo 2 Mistr dlaždičský měl vydlážditi chodník
mosaikového kamene.
široký a 65 m dlouhý. Kolik
kamene spotřebuje“[14] Řešení: I zde se budeme procvičovat přímou úměrnost. Chodník 3 m široký a 8 m dlouhý zabírá plochu
, chodník
široký a 65 m dlouhý plochu
11
24
chodníku…..…….2
kamene
chodníku…..…x
kamene
162,5
. Mistr dlaždičský bude potřebovat 13,5
kamene.
4) „Hospodář věděl podle zkušenosti z minulých let, že posekání louky trvalo 4 sekáčům 3 dni. Kolik sekáčů by musil najmout, aby posekali louku za 2 dny?“[14] Řešení: Úloha procvičuje řešení nepřímé úměrnosti, šipky v zápise jdou opačným směrem 3 dny ……4 sekáči 2 dny …... x sekáčů Potom tedy bude
a
a po úpravě
Hospodář by musel najmout 6 sekáčů.
5) „Hospodyně naložila 4 kopy vajec. Vystačí s nimi pro 3 osoby 4 měsíce. Jak dlouho by vystačila s tou zásobou, kdyby bylo v rodině 5 osob?“[6] Pozn. Kopa označuje počet šedesát Řešení: V tomto příkladu jde opět o úměrnost nepřímou. 3 osoby …… 4 měsíce 5 osob ……. x měsíců
a
. Hospodyně by s vejci vystačila asi 2 a půl měsíce.
6) „Z městského vánočního příspěvku má dostati 200 žáků po 75 korunách. Kolik korun dostane průměrně jeden žák, chtějí-li ředitelé škol z téhož příspěvku poděliti 250 žáků?“[6]
12
Řešení: Opět se jedná o jednoduchou nepřímou úměrnost. 200 žáků …….75 korun 250 žáků …….x korun
. Každý žák dostane 60 korun. 7) „Obchodník s potravinami zaznamenává si ceny jednotlivých potravin v různých dobách ročních. Během roku 1908 zaznamenal si tyto ceny másla: 1. ledna – K 3,20
1. května
– K 2,80
1. září
– K 2,40
2. února – K 3,00
1. června
– K 2,60
1. října
– K 2,60
2. března – K 2,80
1. července – K 2,50
1. listopadu – K 2,80
2. dubna – K 3,00
1. srpna
– K 2,40
1. prosince – K 3,10
Protože není možno jediným pohledem přehlédnout průběh změny ceny, nahraďte napsanou tabulku grafem. Na ose souřadnic x vyznačte jednotlivá data a na ose y pak obnosy v korunách a sestrojte dvanáct hledaných bodů grafu. Vždy dva sousední spojte přímou čarou a obdržíte tak lomenou čáru, která znázorňuje změnu ceny během roku.“[6] Řešení:
Cena másla v roce 1908
1. prosince
1. listopadu
1. října
1. září
1. srpna
1. července
1. června
1. května
1. dubna
1. března
1. února
1. ledna
3,50 Kč 3,00 Kč 2,50 Kč 2,00 Kč 1,50 Kč 1,00 Kč 0,50 Kč 0,00 Kč
Poznámka: Porovnejte vývoj ceny másla během roku v roce 1908. Kdy je máslo nejlevnější a kdy naopak nejdražší? Zkuste říci, proč tomu tak je? A jak je to s cenami másla dnes? 13
8) Starořímská úloha (2.stol.) „Jeden umírající člověk řekl:„ Jestliže se mé ženě narodí syn, ať mu patří dvě třetiny jmění a zbytek ženě. Jestliže se narodí dcera, ať jí patří třetina a ženě dvě třetiny.“ Narodila se dvojčata – syn a dcera. Jak se rozdělit jmění, aby se splnila závěť nebožtíka?“ [11] Řešení: Syn, matka a dcera se musí rozdělit v poměru 4 : 2 : 1.
14
5. Procenta Autoři Odvárko, Kadleček zařadili do učebnice Matematika pro 7. ročník z již zmiňované knihy počtů také příklady na procvičení tematického celku procenta. 1) „Vypočtěte, kolik kg vážil vůl, byla-li jeho mrtvá váha 327,70 kg, což bylo 56,5% jeho živé váhy? Zač koupil řezník vola, platil-li za 1 kg jeho živé váhy 4, 75 korun.“[14] Řešení: V první části úlohy zjišťujeme základ, známe procentuální část a počet procent. Nejprve provedeme zápis úlohy 56,5 % …………327, 70 kg 100 % ………..
x
kg
Úlohy na procvičení procent jsou vždy přímou úměrností a úlohu vyřešíme trojčlenkou
a váha vola je tedy x = 580 kg. Cenu vyřešíme jednoduchým výpočtem
Řezník zaplatil za vola
2 755 korun. 2) „Za kožišinový plášť bylo zaplaceno i s 12% přepychovou daní 3 528 korun. Zač byl plášť bez daně?“[14] Řešení: V příkladu opět musíme zjistit základ (100%). Konečná cena díky dani narostla oproti základu o 12 %, proto bude zápis úlohy 112 % ………… 3 528 korun 100 % …………. x
korun
Potom vyřešíme x = 3150. Plášť by stál bez daně 3 150 korun.
15
3) „Truhlář prodal nábytek ze skladu se ztrátou 13% za 5 046 K. Jaká byla původní cena nábytku?“[4] Řešení: Původní cena nábytku je vlastně opět 100 %, tedy základ. Jestliže ztráta tvořila 13 %, pak nová cena byla 100 % – 13 % = 87 %. Bude tedy 87 % ……… 5 046 K 100 % …….. x
K
. Výsledek
korun je původní cena nábytku.
4) „Při železničním neštěstí vyvázlo 185 účastníků bez pohromy. O život nepřišel nikdo. Kolik procent účastníků bylo zraněno, jestliže ve vlaku bylo 284 pasažérů a 6 členů posádky?“[4] Řešení: Poslední úloha procvičuje řešení počtu procent. Víme, že celkový počet lidí ve vlaku je 290 lidí, cože je základ a 185 pasažérů bylo nezraněných. Nás ovšem zajímá, kolik pasažérů bylo zraněno, tedy 290 – 185 = 105 lidí tvoří procentuální část. 290 lidí ………. 100 % 105 lidí ………. y
%.
Po vlakovém neštěstí přišlo celkem 36, 2 % pasažérů k nějakému úrazu.
16
6. Mocniny Na procvičení mocnin můžeme použít známou historickou úlohu o šachovnici, která pochází asi z roku 1000 př. n. l. a objevuje se v literatuře v několika obměnách, například v učebnici matematika pro SOŠ a SOU v kapitole mocniny. Tento příklad můžeme ovšem využít i při tématu geometrické posloupnosti. 1) O vynálezu šachů se traduje zajímavá legenda. Před mnoha lety získal jeden vládce od mudrce hru, desku rozdělenou na čtverce, celkem jich bylo 64, kterou mudrc nazýval šachy. Vládci se hra natolik zalíbila, že slíbil mudrci jakoukoli odměnu, kterou si vyžádá. Mudrc se zamyslel a řekl: „Chtěl bych dostat zrnka pšenice. Na první políčko šachovnice jedno zrno, na druhé dvě, na třetí čtyři zrnka, a tak dále, na každé následující políčko dvojnásobek toho, co je na předcházejícím. Vládce souhlasil v domnění, že mudrc je skromný a spokojí se s pytlíčkem pšenice. Jaké bylo jeho překvapení, když zjistil, že mudrcovo přání nikdy vyplnit nemůže. a) „Porovnejte součet všech zrnek na prvních deseti políčkách s počtem zrn na políčku jedenáctém b) Určete kolik zrn je na posledním, tedy na 64. políčku šachovnice c) Určete, kolikrát více zrn je na 62. políčku než na políčku padesátém d) Vyjádřete počet zrn na 21. a 61. políčku jako mocninu počtu zrn na jedenáctém políčku.“[2] Řešení: Počet zrn na k-tém políčku si označíme jako
, bude tedy a tak dále. Porovnejme
nejprve index u písmene p s exponentem u příslušné mocniny čísla 2. Můžeme si všimnout, že exponent mocniny je vždy o jednu menší než index, takže například atd. a) Nejprve vyjádříme součet všech zrn na prvních deseti polích pomocí mocnin
Počet zrn na políčku jedenáctém bude více, než na deseti předcházejících políčkách dohromady.
17
což je o jedno
Můžeme použít i znalosti o součtu geometrické řady, kde Potom je b) Počet zrn na 64. políčku je
To je 9 223 372 036 854 775 808
zrnek. Na 62. políčku je 4 096krát více zrnek než
c) na padesátém poli.
d) Počet zrn na 11. poli už jsme si vyjádřili, tj.
. Potom bude
. Počet zrn na tomto poli je druhá mocnina počtu na poli jedenáctém. . Počet zrn na 61. políčku je šestá mocnina počtu zrna na poli jedenáctém. Pozn. Součet všech zrn ze všech polí je součet geometrické řady .
18
7. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Historickým úlohám vedoucím na rovnice je hodně prostoru věnováno v učebnici od Odvárka a Kadlečka: Matematika pro 8. ročník, druhý díl. Na straně 26 je uvedena úloha pocházející od indického učence Bháskary II. (12.století), který patří mezi významné matematiky a astronomy středověké Indie, a úloha pochází původně z jeho čtyřdílného spisu Koruna vědy. Tento příklad dnes najdeme také v Knížce pro učitele ke ŠVP na druhém stupni ZŠ, Matematika a její aplikace, taktéž od Odvárka a Kadlečka. Nalezneme ji v kapitole Rozvíjení estetického cítění, jako možnou ukázku stylu zadání, protože připomíná spíš básnické dílo než matematickou úlohu: 1) „Z roje včel usedne
1 1 na květech kadambových, na květech silindhy. 3 5
Trojnásobný rozdíl obou těchto čísel letěl za květy kutaje. Jedna včela poletovala ve vzduchu, přitahována líbeznou vůní pandamu a jasmínu. Pověz mi počet včel.“[16] Řešení: Zadání vede na jednu lineární rovnici
1 1 1 1 x x 3 x x 1 x , 3 5 5 3 kde počet včel x = 15. V této učebnici pro 8. ročník, opět na straně 26, najdeme úlohu ještě starší, až ze starověkého Egypta: 2) Z Ahmesova papyru (asi 2000 let př. n . l.) „Čtyřem lidem rozděl 700 chlebů. Prvnímu nechť se dostane
2 množství, druhému 3
1 1 1 množství, třetímu a čtvrtému množství. Kolik chlebů dostane každý 2 3 4
z nich?“[16] Řešení: U zadání je i nápověda, že množství znamená neznámou x, potom už snadno sestavíme rovnici 2 1 1 1 x x x x 700, 3 2 3 4
19
a po úpravě vychází, že x 400, a tedy první dostane 266 23 , druhý 400, třetí 133 13 a poslední 100 chlebů. Poslední úloha z této učebnice se nachází na straně 39 a oproti dvěma předchozím je relativně z nedávné doby: 3) Z historické sbírky úloh algebry z r. 1902 „Nejvyšší bod v Praze jest vrchol rozhledny na Petříně. Výšku jeho nad mořem lze vypočítat z udání, že
a
této výšky činí dohromady číslo přesahující celou
výšku o 19 m. Které jest tato výška?“[16] Řešení: I zde není těžké sestavit rovnici
a tedy x = 380. Vrchol Petřínské rozhledny je tedy dle úlohy 380 metrů nad mořem. V učebnici Matematika pro 8. třídu od nakladatelství Kvarta najdou žáci celý odstavec věnovaný historii slovních úloh, které vedou na lineární rovnice. Jsou zmíněny záznamy na hliněných destičkách v Babylóně nebo výpočty na papyrech v Egyptě a Číně. Dále se zde hovoří o slovním zápisu u alexandrijského matematika Diofanta a zavedení algebraické symboliky francouzským matematikem Francois Vietem v 16. století. Kapitola je doplněna o tři historické úlohy. První pochází od Hérona z Alexandrie z 1. stol. 4) „Do studny objemu 12 (objemových jednotek) přitéká voda dvěma rourami. Jednou rourou nateče za hodinu jedna jednotka, druhou rourou čtyři jednotky. Jak brzy se studna naplní, bude-li voda přitékat oběma rourami najednou?“[10] Řešení:
x x 1, 12 3 5 x 12, 5 x 2 52 . Studna se tedy naplní za 2 hodiny a 24 minut.
20
Další úloha pochází z Evropy v době Karla Velikého, tedy kolem roku 800 n. l. Autorství je přisuzováno mnichovi jménem Alcuin, který byl také filozof a rádce Karla Velikého. 5) „Poutník se sešel se žáky a ptal se jich: Kolik je vás ve škole? Jeden ze žáků odpověděl: Zdvojnásob náš počet, násob třemi a součin děl čtyřmi. Připočítáš-li mně k tomu, obdržíš 100.“[10] Řešení: Za neznámou x zvolme počet žáků. Z úlohy lze opět sestavit lineární rovnice
2x 3 1 100, 4 x 66. Ve třídě tedy je 66 žáků. Tato úloha pochází od Ondřeje Klatovského, který žil v 16. století a zasloužil se o vydání nejstarší české početnice nazvanou Nové knížky vo počtech na cifry a liny. Mimo tuto publikaci ji najdeme v již zmiňované učebnici od Odvárka a Kadlečka pro 8. ročník na str. 29. 6) „Jeden posel šel každý den 7 mil. Když ušel 64 mil, potom jeho pán za ním poslal jiného posla, který šel každý den 9 mil. Za kolik dní dohonil druhý posel prvního posla?“[16] Řešení: Neznámá x zde označuje počet dní, potom
9 x 64 7 x a druhý posel dohoní prvního celkem za 32 dní. V učebnici Matematika pro 8. třídu Kvarta, v učebnici Molnár, J. a kol., Matematika 9 (jako rozšiřující učivo v kapitole Diofantské rovnice) a v učebnici Matematika pro gymnázia (díl Rovnice a nerovnice) se objevuje v různých obměnách úloha, která měla být vyryta jako epitaf na Diofantově náhrobku 1:
1
Tento epitaf však pravděpodobně napsal až v 6. st. matematik Metrodoros, Diofantos žil ve 3. st.
21
8)
„Postůj, poutníče, při hrobu učence Diofanta. Zamysli
se
a
vypočítej,
kolik
roků
žil.
Jako dítě prožil šestinu svého života, dvanáctinu jako chlapec. Sedminu života hledal ženu, která mu pět let po svatbě porodila syna. Avšak syn žil pouze polovinu života svého otce. Po synově smrti žil otec ještě čtyři roky. A teď, poutníče, vypočítej, kolik let Diofantos žil.“[8] Řešení: Délku Diofantova života si označíme jako neznámou x. Diofantos byl dítětem
1 x této délky, tedy , chlapcem 6 6
x x let a za dalších roků se oženil. 12 7
Potom uběhlo dalších 5 let, než se mu narodil syn, který žil ovšem jen
x let. 2
Diofantos potom žil ještě 4 roky po smrti syna. Tato úloha tedy vede na lineární rovnici o jedné neznámé x x x x 5 4 x 6 12 7 2
a její řešení bude x = 84 let. To je tedy věk Diofanta. Jedna úloha, která je označená jako historická, se objevuje i ve Sbírce úloh z matematiky pro bystré hlavy od Miroslava Frýzka, i když zde není uvedeno, od koho pochází ani v jakém období vznikla: 9) „Kůň sežere vůz sena za měsíc, koza sežere stejný vůz sena za 2 měsíce a ovce za 3 měsíce. Za jak dlouho sežere kůň, koza a ovce dohromady stejný vůz sena?“[1] Řešení: Za neznámou, tedy dobu, zvolíme x, přičemž bereme měsíc jako 30 dní. Potom kůň sežere seno za rovnici
x 30
dní, koza za
x 60
dní a ovce za
x x x 1, 30 60 90
180 , 11 x 16 114 . x
22
x 90
dní. Tedy sestavíme
Tedy zhruba za 16 dní. Bohatou sbírku historických úloh vedoucích na rovnice můžeme nalézt v publikaci Slovní úlohy řešené rovnicemi z nakladatelství HAV. Jedna úloha se týká známého učence Pythagora: 10) „Když se řeckého matematika Pythagora zeptali, kolik žáků chodí do jeho školy, odpověděl: „Polovina žáků studuje matematiku, čtvrtina hudbu, sedmina mlčí a kromě toho jsou tam ještě tři dívky.“Kolik žáků je v jeho škole?“[7] Řešení: Za neznámou x volíme počet žáků, potom
kde x = 28. U Pythagora tedy studovalo 28 žáků. V této sbírce se ovšem nachází celá kapitola, nazvaná úlohy vybrané z učebnic matematiky počátku minulého století, kde najdeme přes 30 úloh vedoucích na lineární rovnice, na soustavy rovnic i rovnice s neznámou ve jmenovateli. Zde je několik vybraných na ukázku: 11) „Alexandr pravil ke svým generálům: „Jsem o dva roky mladší než Hephastion.“ Klytus odvětil: „Jsem o čtyři roky starší než vy oba dohromady.“ Posléze řekl Kallisthenes: „Můj otec, který má 96 let, jest tak stár jako vy tři dohromady.“Jak stár byl Alexandr?“[7] Řešení: Za neznámou x volíme věk Alexandra, potom
a x = 22. Alexandrovi bylo tedy 22 let. 12) „Lidumil chce peníze, které má při sobě, rozděliti chudým. Kdyby dal každému po 3 dvacetihaléřích, nedostávaly by se mu 2 dvacetihaléře; kdyby však dal každému po 2 dvacetihaléřích, zbylo by mu 6 dvacetihaléřů. Kolik je chudých a kolik dvacetihaléřů má při sobě?“[7] Řešení: Dostáváme lineární rovnici o jedné neznámé 23
kde x označuje počet chudých. Těch je tedy po vyřešení rovnice celkem 8. Poté můžeme již dopočítat počet mincí, tedy
Lidumil měl tedy celkem 4,40,- K., což bylo 22 dvacetníků. 13) „Rybník naplněn býti může dvěma rourami; jedna naplní jej za dvacet hodin, obě dohromady za dvanáct hodin. Za kterou dobu naplnila by druhá roura prázdný rybník?“[7] Řešení: Druhou rourou se tedy naplní za x hodin, protože je to úloha na společnou práci, rovnice bude mít tvar
kde x = 30. Druhou rourou se naplní rybník celkem za 30 hodin. 14) „V zemích rakouských dobývá se ročně o 200 000 centů soli méně, než jest dvojnásobné množství soli v zemích uherských ročně dobyté. v Rakousku dobyté rovná se
soli ročně
soli v Uhersku dobyté. Kolik centů soli dobývá se
Rakousku a kolik v Uhersku.“[7] Pozn. Cent je historicky používanou jednotkou hmotnosti, jeden cent odpovídá 61,724 kilogramům. Řešení: Neznámá x bude označovat počet centů soli Uherska. Potom
x = 1 600 000. V Uhrách se za rok vytěžilo celkem 1 600 000 centů soli, v Rakousku 3 000 000 centů.
15) „Pět dlaždičů mělo vydlážditi
náměstí. Jeden z nich onemocněl.
Zbývající zjistili, že pakliže každý denní výkon svůj zvýší o 6
24
budou hotovi za
tutéž dobu, jak se původně uvažovalo. Jaký byl nový denní výkon každého z nich a kolik dní práce trvala?“[7] Řešení: Za neznámou x zde zvolíme počet dní, za který má být práce vykonána. Původně byl tedy výkon dlaždičů
za den. A tedy musí platit
Zbývá dopočítat denní výkon: Práce trvala celkem 12 dní a dlaždici denně vydláždili 30
.
16) „Chodec a povozník jsou od sebe vzdáleni 57,2 km a vydají se současně vstříc. Když se sejdou, shledají, že povoz ujel o 4,4 km více, což je způsobeno tím, že ujede za hodinu o 0,8 km více, než ujde chodec. Po které době se setkali a jakou mají rychlost?“[7] Řešení: Rychlost chodce bude x km/h, rychlost povozu bude tedy (x + 0,8) km/h. Dráha chodce
km a dráha povozu (
) km musí celkem dát celkovou dráhu
s, tedy
Čas chodce i povozu je stejný, použijeme vzorec pro čas
kde
km/h. Chodec jde rychlostí
a potom
km/h a povoz jede
km/h. Oba se
setkají po 5,5 hodinách. 17) „Stavitel vyplatil osmi zedníkům a třem nádeníkům za 9 pracovních dní 297,- K. Jedenácti zedníkům a čtyřem nádeníkům pak vyplatil za 5 dní 226,- K. Která byla denní mzda kterého?“[7]
25
Řešení: Označme si mzdu zedníka jako x K za den a mzdu nádeníka jako y K za den. Dostáváme tak soustavu lineárních rovnic
z níž získáváme x = 3,60 K a y = 1,40 K. Zedník tedy dostával 3,60 K za den, kdežto nádeník jen 1,40 K za den. Několik úloh na soustavy lineárních rovnic najdeme v učebnici a v pracovním sešitě Odvárka, Kadlečka: Matematika pro 9. ročník, ovšem všechny pocházejí opět z učebnic z 19. či 20. století. Na ukázku si jeden uvedeme: 18) „Dva povozy vyjely současně ze dvou míst 3km vzdálených. Kdyby jely proti sobě, setkali by se za 15 minut. Kdyby však jely za sebou, dohonil by jeden druhého za 60 minut. Kolik metrů ujede každý z nich za minutu?“ [18] Řešení: Počet metrů za minutu prvního povozu bude značit neznámá x, počet metrů druhého povozu neznámá y. V učebnici byla připojena nápověda v podobě obrázku a také, že příklad vede na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
15 x 15 y ? 60 x 3000 ?
Obr. 1 Počtář tedy musí doplnit chybějící údaje. Bude tedy
15 x 15 y 3000 60 x 3000 60 y, kde dostáváme, že první povoz jede 125 m za minutu a druhý povoz 75 m za minutu.
26
Úloha,
která
je
připisována
středověkému
italskému
matematikovi
Leonardovi Pisánskému (1180-1240), známému spíše pod jménem Fibonacci, vede také na soustavu rovnic. Je zařazena mezi úlohy v učebnici Matematika pro gymnázia, nakladatelství Prometheus. 19) „Kdosi koupil 30 ptáků za 30 penízů. Za tři vrabce platil jeden peníz, za dvě hrdličky též jeden peníz, za jednoho holuba dva peníze. Kolik ptáků každého druhu koupil?“[8] Řešení: Úlohu můžeme zapsat jako soustavu diofantických rovnic, kde neznámou x označíme počet koupených vrabců, y počet hrdliček a z počet holubů.
Po vyloučení neznámé z, dostaneme
čemuž odpovídají v kladných celých číslech pouze čísla x = 9, y = 10. Poslední neznámá bude potom z = 11. Pro úplnost ještě několik úloh vedoucích na kvadratické rovnice, se kterými se na střední škole studenti také setkávají. Tyto úlohy najdeme v díle Významné matematické úlohy od matematika Konforoviče, která se sice jako sbírka úloh na středních školách většinou nepoužívá, ovšem dle slov autora je určena především studentům a mladým lidem s cílem probudit v nich zájem o starobylé matematické knihy a nestárnoucí matematické pravdy obsažené v těchto knihách. První úloha pochází od již zmiňovaného indického učence Bháskary II. V originále je tato úloha ve verších: 20) „Stádo opic bavících se v háji se rozdělilo na dvě části. Čtverec osminy jejich počtu se bavil skákáním ve větvích. Dvanáct opic vítalo radostným křikem tichý rozbřesk dne. A teď řekni jinochu, kolik opic bylo v háji?“[11] Řešení: Označíme-li si počet opic jako neznámou x, lze úlohu převézt na kvadratickou rovnici
27
1 2 x 12 x, 64
což je po úpravě x 32 16, odkud můžeme vypočítat kořeny x1 16, x2 48 a podmínky zadání splňují oba dva. 21) „Víme, že čtvrtina stáda velbloudů se pase v křoví, 15 je jich na břehu řeky a zbytek, tj. dvojnásobek druhé odmocniny z celkového počtu velbloudů je na úpatí pahorku. Kolik velbloudů je ve stádu?“[11] Řešení: Tuto úlohu od Mahavíry (9.stol.), taktéž z Indie, můžeme zapsat pomocí rovnice kvadratické ovšem vzhledem k nějakému algebraickému výrazu. Hledanou veličinu dostaneme z rovnice kvadratické vzhledem k
x , kde neznámá x značí
počet velbloudů ve stádě, a úloha potom vede na rovnici tvaru 1 x 2 x 15 x , 4
kterou po úpravě převedeme na rovnici kvadratickou
9 x 2 424 x 3600 0. Zkouškou pak můžeme ověřit, že z výsledků
x1 36, x2 11,1
podmínkám úlohy pouze celočíselné řešení, tedy 36 velbloudů.
28
vyhovuje
8. Posloupnosti a řady Další velmi známý příklad pochází opět od Fibonacciho z jeho knihy Liber abaci (z roku 1202) a objevuje se v ní posloupnost čísel, později nazývána podle autora posloupnost Fibonacciho a čísla, která v ní vystupují, se nazývají Fibonacciho čísla. Dnes můžeme tuto úlohu najít například v Matematice pro gymnázia, díl Posloupnosti a řady, nebo ve Sbírce řešených úloh od Emila Caldy. 1) „Kdosi umístil pár králíků na určitém místě ze všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se narodí v průběhu jednoho roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. S případy uhynutí se nepočítá. a) Zkuste sami vypočítat počty králíků na konci prvního až čtvrtého měsíce. Předpokládáme ovšem, že oba králíci z prvního páru jsou při umístění do ohrady staří jeden měsíc. b) Určete, kolik párů králíků bude v ohradě po uplynutí prvního roku, tedy za 12 měsíců.“[3] Řešení: a) -
na konci prvního měsíce: 2 páry
-
na konci druhého měsíce: 3 páry
-
na konci třetího měsíce: 5 párů – jeden pár je od páru, který se narodil na konci 1. měsíce
-
na konci čtvrtého měsíce: 8 párů – 1 pár získáme od původní dvojice, 1 pár od dvojice narozené na konci 1. měsíce a 1 pár od páru narozeného na konci 2. měsíce
b) Zde už využijeme posloupnosti. Počet párů na konci ( n + 1) - ho měsíce si označme
,
. Na konci ( n + 2) - ho měsíce bude v ohradě jednak
starých párů králíků, a kromě toho se narodí tolik dvojic, kolik jich bylo na konci n-tého měsíce, tedy a jelikož známe už
a
. Podle rekurentního vztahu platí
, dopočítáme i
29
Pak stačí dopočítat
až
. Po dvanácti měsících tedy bude v ohradě 377 králíků. Vědomosti o posloupnostech měli již učenci ve starém Egyptě a Babyloně. Na Ahmesově papyru, který je asi z r. 2000 let př. n. l., najdeme tuto úlohu: 2) „Sto měr zrní je třeba rozdělit pěti dělníkům tak, aby druhý dělník dostal o tolik měr více než první, o kolik třetí dostal více než druhý, čtvrtý než třetí a pátý než čtvrtý. Kromě toho mají první dva dělníci dohromady dostat sedmkrát méně měr zrní než ostatní tři.“[20] Řešení: Přírůstky měr obilí jsou konstantní, pomocí neznámé n si označíme počet měr zrní, které má dostat prostřední z dělníků. Druhý tedy dostane n – d, první n – 2d, čtvrtý n + d a nakonec pátý n +2d. Dohromady to bude
a
Třetí dělník dostane 20 měr obilí. Potom víme, že první dva dělníci mají
dostat sedmkrát méně měr než ostatní tři, takže
a po
dosazení ze n zjistíme, že přírůstek
měr,
druhý
měr, čtvrtý
První dělník dostal měr a poslednímu bylo vyplaceno
měr. Slavný astronom, fyzik a matematik Galileo Galilei objevil v roce 1615 zajímavou vlastnost u posloupností lichých čísel: 3) „Prověřte, zda jsou skutečně všechny čtyři zlomky sobě rovny. Hledejte další zlomky „téhož typu“, které se rovnají uvedeným zlomkům.“[20] Řešení: Snadným výpočtem ověříme, že se zlomky opravdu rovnají 30
Další zlomky by potom vypadaly například:
31
9. Planimetrie Z historické učebnice z roku 1894 1) „Ke stromu na pastvě je přivázána kráva provazem 3,5 m dlouhým; jak velká plocha pastvy jest jí vykázána?“[17] Řešení: Kráva se může na pastvě pohybovat pouze dokola, nejdále 3,5m od stromu. Oblast její pastvy je tak vlastně kruh o poloměru r = 3,5 m a my máme za úkol spočítat její obsah. Vzorec pro obsah kruhu je
, takže bude
Kráva má tedy k dispozici pastvu o ploše přibližně 38, 5
2) „Čitatel i jmenovatel zlomku místo čísla
jsou zapsány stejnou dvojicí cifer. Tento zlomek
využíval při výpočtu délky kružnice v 1. stol n. l. Číňan Čang Heng (a o
500 let později Ind Bráhmagupta). Porovnejte tento zlomek s číslem .“[5]
Řešení: Zlomek převedeme na desetinné číslo
, které je větší než
v řádu setin.
3) „Čínský učenec Cu Čung Li (429-500 n. l.) určil pro hodnotu čísla
zlomek
Na kolik desetinných míst je to správně?“[5]
Řešení: Zlomek
je roven číslu
. Prvních šest desetinných míst je
tedy správně. 4) „Indický matematik Bháskara v r. 1150 předpokládal, že číslo Pro praktické výpočty doporučoval hodnotu dopustil a jakou chybu připustil.“[5]
32
je rovno zlomku
. Zjistěte, jaké chyby se
Řešení:
Zde je tedy chyba přibližně 0, 000 007. Ovšem když
vypočítáme
, chyba bude už asi 0,02, což je číslo větší než 0,
000 007. 5)“ Nad stranami pravoúhlého trojúhelníku ABC jsou sestrojeny půlkružnice jako na obrázku. Dokažte, že součet obsahů obou vybarvených srpků, je roven obsahu trojúhelníku ABC.“[5]
obr. 2 Hippokratovy měsíčky Řešení:
Tyto „srpky“ se nazývají Hippokratovy měsíčky popř. Hippokratovy
menisky, podle antického matematika Hippokrata z Chiu (5. století př. n. l.). V řešení příkladu využijeme vzorec pro obsah pravoúhlého trojúhelníku vzorec pro obsah půlkruhu
a Pythagorovu větu
,
, která platí
v pravoúhlém trojúhelníku. Obsah měsíčků vypočítáme: 1. Nejprve spočteme obsah půlkruhu K sestrojených stranou AC a obsah půlkruhu L sestrojených stranou BC sečteme je.
. .
33
(1)
2. Potom vypočítáme obsah půlkruhu M sestrojeného nad stranou AB a odečteme od něj obsah trojúhelníku ABC
(2)
Nakonec od sebe odečteme (1) a (2) 3. a použijeme Pythagorovu větu v trojúhelníku ABC, a tím dostaneme součet obsahů Hippokratových měsíčků:
Výsledek
ale obsah trojúhelníku ABC, takže součet obsahů Hippokratových
měsíčků sestrojených nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku ABC je opravdu roven obsahu tohoto trojúhelníku. Poslední úloha je konstrukční a nazývá se Apolloniova, podle řeckého matematika Apollonia z Pergy (262 – 200 př. n. l.), který se zabýval podobnými úlohami a řešil je v díle O dotycích. V těchto úlohách Apollonius požaduje, aby kružnice procházela daným bodem (B), dotýkala se dané přímky (p) nebo kružnice (k) v různých kombinacích po třech. Celkem je takových úloh deset ( BBB, pBB, ppB, ppp, kBB, kkB, Bpk, ppk, pkk, kkk), ale podle Apolloniovi podmínky, že úlohu můžeme řešit jen za pomoci kružítka a pravítka, jsou řešitelné jen některé úlohy. Používané jsou i jiné metody, např. užitím kuželoseček, cyklografie nebo deskriptivní geometrií. 6) „Jsou dány dvě soustředné kružnice
a přímka p, která
je sečnou obou kružnic. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky p i obou kružnic, přitom kružnice
uvnitř a
vně.“[21]
34
Řešení: Středy všech kružnic, které se mají dotýkat kružnice na třetí kružnici
uvnitř a
vně, leží
se středem O a poloměrem 3 cm. Jejich poloměr pak bude 1 cm
(Obr. 3). Mají-li také současně dotýkat přímky p, musí jejich střed ležet také na rovnoběžkách
,
, které jsou rovnoběžné s přímkou p ve vzdálenosti 1 cm. Pro
neznámé středy S bude platit . Potom má tato úloha 4 řešení (na Obr. 4).
Obr. 3
Obr. 4
35
10.
Stereometrie
1) Úloha z roku 1894 „Šířka studnice tvaru válce i se zdivem má býti 1,8 m; kolik se zaplatí za vykopání studnice 16 m hluboké, platí-li se od
průměrně 80 ha?“[17]
Řešení: V tomto příkladu musíme vypočítat objem válce, vzorec pro výpočet je Studna má průměr
Protože za
a výšku
, bude tedy
se tehdy platilo 80 halířů, za
bychom v roce 1894 zaplatili
korun. Na tzv. moskevském papyru, který pochází z Egypta z asi 18 století př. n. l., je uvedena následující úloha. Máme v ní vypočítat objem pyramidy, v tomto případě se jedná o kolmý komolý jehlan, a u úlohy se nachází i schéma výpočtu a je uvedeni slovní způsob řešení, takový jaký by použili k řešení matematikové ve starém Egyptě. Tak například pro operaci umocnění na druhou je v papyru použit hieroglyf „jít mimo“. Je připojen i náčrt, kde je komolý jehlan vyobrazen jako nevelký lichoběžník. 2) „Způsob výpočtu pyramidy nemající vrchol. Máš-li dánu pyramidu bez vrcholu vysokou 6 (loktů), s dolní hranou 4 (lokte) a horní 2 (lokte); umocni 4 na druhou, dostaneš 16; zdvojnásob 4, dostaneš 8; umocni 2 na druhou, dostaneš 4; 1. přičti těchto 16 2. k těmto 8 a 4 3. dostaneš 28; vypočti 4.
ze 6, obdržíš 2; počítej
5. s 28 dvakrát, dostáváš 56; 6. viz: je to skutečně 56. Nalezl jsi správně.“[22]
36
K tomuto řešení můžeme připojit i způsob výpočtu, jaký bychom použili při hledání výsledku my za použití algebraické symboliky: Řešení: Jedná se tedy o kolmý komolý jehlan, kde známe výšku délky obou podstav
), a
. Vzorec pro objem komolého
jehlanu je ,
kde
obě
podstavy
jsou
čtvercové.
Obr. 5 Bude tedy
a
,
. Když porovnáme postup a výsledek, zjistíme, že egyptský způsob je podobný našemu a výsledek je stejný. Oba postupy jsou tedy správně a objem pyramidy je 56 krychlových jednotek. 3) „Podle pověstí si řecký učenec Archimédes dal na náhrobek vytesat tři tělesa. Do válce je vepsána koule, té je opsán kužel, jako je tomu na obrázku (Obr. 7). Válec, kužel a koule mají stejný poloměr a navíc platí pro výšku v válce i kužele vztah . Vypočítejte postupný poměr objemů kužele, koule a válce.“[19]
37
Obr. 7 Řešení: Pro výpočet objemu kužele platí objem koule můžeme vyjádřit jako a vzorec pro objem válce je Takže objemy
budou v poměru
:
38
a po úpravě
11.
Závěr Cílem této práce bylo najít v současných učebnicích matematiky a
sbírkách příkladů pro základní a střední školy všechny příklady, které se dají označit jako historické, či z historických pramenů, tedy učebnic, sbírek, svitků aj. Z těchto příkladů je sestavena tato práce formou sbírky, kde je ke každé úloze připojeno také její řešení, popř. komentář, od koho úloha pochází, či v jaké učebnici a v jakém tematickém okruhu ji můžeme najít. Na některá témata, jako například úlohy vedoucí na rovnice, můžeme v i dnešních učebnicích najít mnoho zajímavých historických úloh či dokonce celé kapitoly, u některých okruhů zase prakticky žádné. V mnoha učebnicích jsou pouze připojeny historické poznámky, například, kteří matematikové se danou oblastí zabývali, kdy vznikala současná symbolika nebo na jaké úlohy se v jednotlivých obdobích zaměřovala pozornost učenců.
39
12.
Seznam literatury
[1] FRÝZEK, M.; MÜLLEROVÁ, J. Sbírka úloh z matematiky pro bystré hlavy, Praha: Fortuna, 1992, 151s. [2] CALDA, E. a kol. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 1. část. Dotisk 6. vyd. Praha: Prometheus 2004, 184 s. ISBN 80-7196-041-1 [3] CALDA, E. Sbírka řešených úloh. 1. vyd. Praha: Prometheus 2006, 132 s. ISBN 80-7196-319-4 [4] HERMAN, J. a kol. Matematika pro nižší třídy víceletých gymnázií. Racionální čísla. Procenta. 1. vyd. Praha: Prometheus 1994, 166 s. ISBN 80-85849-49-6 [5] HERMAN, J. a kol. Matematika pro nižší třídy víceletých gymnázií. Kruhy a válce. 1. vyd. Praha: Prometheus 1996, 112 s. ISBN 80-7196-023-3 [6] HERMAN, J. a kol. Matematika pro nižší třídy víceletých gymnázií. Úměrnosti. 1. vyd. Praha: Prometheus 1997, 104 s. ISBN 80-7196-056-X [7] HOZA, K. Slovní úlohy řešené rovnicemi. 3. vyd. Praha: HAV 2008, 154 s. ISBN 80-903625-0-8 [8] CHARVÁT, J.; ZHOUF, J. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus 1999, 224 s. ISBN 80-7196-154-X [9] MOLNÁR, J. Matematika pro střední odborné školy. Planimetrie. 1. vyd. Praha: Prometheus 2011, 116 s. ISBN 978-80-7196-415-5 [10]
MÜLLEROVÁ, J. Matematika pro 8. ročník základní školy: algebra. 1. vyd. Praha: Kvarta, 2002, 198 s., ISBN 80-7196-167-1
[11]
KONFOROVIČ, A. G. Významné matematické úlohy. 1. vyd. Praha: SNP,
1989, 208 s. ISBN 80-04-21848-2 [12]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Knížka pro učitele k ŠVP na 2. stupni ZŠ:
Matematika a její aplikace. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2006, 111 s. ISBN 807196-333-X [13]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 7. ročník ZŠ, 1. díl. 2. vyd.
Praha: Prometheus, 2004, 88 s. ISBN 80-7196-284-8
40
[14]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 7. ročník ZŠ, 2. díl. 2. vyd.
Praha: Prometheus, 2004, 85 s. ISBN 80-7196-285-6 [15]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 8. ročník ZŠ, 1. díl. Dotisk
1. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 96 s. ISBN 80-7196-148-5 [16]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 8. ročník ZŠ, 2. díl. 1. vyd.
Praha: Prometheus, 1999, 71 s. ISBN 80-7196-167-1 [17]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 8. ročník ZŠ, 3. díl. Dotisk
1. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 80 s. ISBN 80-7196-183-3 [18]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 9. ročník ZŠ, 1. díl 1. vyd.
Praha: Prometheus, 2000, 88 s. ISBN 80-7196-194-9 [19]
ODVÁRKO, O.; KADLEČEK J., Matematika pro 9. ročník ZŠ, 3. díl. 2. vyd.
Praha: Prometheus, 2004, 80 s. ISBN 80-7196-283-X [20]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 2. vyd.
Praha: Prometheus 2002, 126 s. ISBN 80-7196-195-7 [21]
POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia: Planimetrie. Dotisk 3. vyd.
Praha: Prometheus 1999, 208 s. ISBN 80-7196-045-4 [22]
POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia: Stereometrie. 3. vyd. Praha:
Prometheus 2000, 224 s. ISBN 80-7196-178-7 [23]
ROSECKÁ, Z.; MÍČEK, A. Geometrie pro 8. ročník. 1. vyd. Brno: Nová
škola 1999, 110 s. ISBN 80-85607-93-X
41
