Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky. duhový hologram

Za´padoˇceska´ univerzita v Plzni Fakulta aplikovanyćh vˇed Katedra informatiky a vy´poˇcetn´ı techniky

Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace Poˇ c´ıtaˇ cem generovan´ y duhov´ y hologram

Plzeˇ n 2012

Martin Hrach

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem bakaláˇrskou práci vypracoval samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. V Plzni dne 29. ˇcervence 2012 Martin Hrach

Abstract This work deals with computer generated rainbow holograms calculated using Yoshikawa’s algorithm. This algorithm is implemented and example of implementation is described in this work. Correctness of the algorithm is demonstrated using both computational simulation and physical experiment.

Podˇ ekov´ an´ı Rád bych podˇekoval panu Petru Lobazovi, vedouc´ımu mé bakaláˇrské práce, za jeho pomoc pˇri realizaci této práce.

Obsah ´ 1 Uvod

1

2 Holografie a hologram 2.1 Záznam obrazu reality . . . . 2.2 Svˇetlo . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Interference a difrakce 2.2.2 Difrakˇcn´ı mˇr´ıˇzka . . . 2.3 Vytvoˇren´ı hologramu . . . . . 2.4 Rekonstrukce hologramu . . . 2.5 Vyuˇzit´ı holografie . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

3 . 3 . 4 . 5 . 7 . 10 . 12 . 13

3 Duhov´ e (Bentonovy) hologramy 15 3.1 Postup pˇri vytváˇren´ı duhov´ ych hologram˚ u . . . . . . . . . . . 15 3.2 Vlastnosti duhov´ ych hologram˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Generov´ an´ı duhov´ eho hologramu 4.1 Algoritmus v´ ypoˇctu . . . . . . . 4.2 V´ ypoˇcet sub-linky . . . . . . . . 4.3 V´ ypoˇcet referenˇcn´ı vlny . . . . 4.4 V´ ypoˇcet holo-linky . . . . . . . 5 Implementace 5.1 Komplexn´ı ˇc´ısla . . . . . . 5.2 Implementace algoritmu . 5.2.1 Definice hologramu 5.2.2 Celkov´ y v´ ypoˇcet . 5.2.3 V´ ypoˇcet holo-linky 5.2.4 V´ ypoˇcet sub-linky 5.2.5 Uloˇzen´ı hologramu 6 Ovˇ eˇ ren´ı spr´ avnosti metody

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

podle . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Yoshikawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

20 20 23 23 24

. . . . . . .

26 26 27 27 28 28 29 31 32

OBSAH

OBSAH

7 Srovn´ an´ı rychlosti s angular sampling metodou

36

8 Z´ avˇ er

38

A Uˇ zivatelsk´ y manu´ al k vytvoˇ ren´ e aplikaci

40

5

´ 1 Uvod Tato bakaláˇrská práce je zamˇeˇrena na vytvoˇren´ı hologram˚ u. Pˇresnˇeji se jedná o poˇc´ıtaˇcem generované duhové hologramy algoritmem navrˇzen´ ym Yoshikawou. Tento algoritmus byl prozkoumán ze zdroj˚ u zab´ yvaj´ıc´ıch se touto problematikou: [3] a [2]. Po prostudován´ı byl algoritmus implementován. Hologramy, podobnˇe jako fotografie, slouˇz´ı k uchován´ı obraz˚ u, ovˇsem hologramy oproti fotografii vyvolávaj´ı vjem prostorovosti. Existuje nˇekolik druh˚ u hologram˚ u. Základn´ı typy hologram˚ u jsou reflexn´ı (tlusté) a transmisn´ı (tenké). Poˇc´ıtaˇcem generované hologramy jsou v dneˇsn´ı dobˇe témˇeˇr v´ yhradnˇe transmisn´ı (tenké) hologramy. Transmisn´ı hologram v základn´ı podobˇe je vhodn´ y hlavnˇe pro laboratorn´ı prostˇred´ı, jelikoˇz jak záznam, tak i prohl´ıˇzen´ı je nutné provádˇet pomoc´ı laseru. Pˇri pozorován´ı tohoto hologramu je nutné pouˇz´ıt stejn´ y laser, jako pˇri vytváˇren´ı, a tud´ıˇz se pˇr´ıliˇs nehod´ı pro bˇeˇzné pozorován´ı. Pˇri uˇzit´ı zdroje svˇetla, docház´ı k nedokonalostem v obrazu - obraz se deformuje a rozostˇruje. Nav´ıc je nutné nam´ıˇrit laser pod stejn´ ym u ´hlem, jako pˇri vytváˇren´ı, jinak dojde k dalˇs´ım deformac´ım obrazu. Je moˇzné vytvoˇrit takov´ yto hologram i poˇc´ıtaˇcovˇe. Pˇri vytváˇren´ı je tedy nutné volit parametry v´ ypoˇctu podobné jako pro laser, kter´ y bude uˇzit k osv´ıcen´ı (hlavnˇe vlnovou délku). Algoritmus v´ ypoˇctu je ˇcasovˇe nároˇcn´ y, jelikoˇz je nutné pro kaˇzd´ y bodov´ y zdroj objektu vypoˇc´ıtat komplexn´ı amplitudu objektové vlny pro kaˇzd´ y pixel hologramu. Polynomiáln´ı sloˇzitost algoritmu je N 4 , kde velikost hologramu je N × N , coˇz pro velké hologramy velmi v´ yraznˇe prodluˇzuje dobu v´ ypoˇctu. Já jsem se zab´ yval speciáln´ım typem transmisn´ıch hologram˚ u - duhov´ ymi hologramy. Jejich v´ yroba pomoc´ı laseru se m´ırnˇe odliˇsuje od transmisn´ıch hologram˚ u. Je nutné vytvoˇrit nejdˇr´ıve jeden hologram (H1), kter´ y bude zakryt ˇstˇerbinou a poté udˇelat hologram tohoto hologramu (podrobnosti viz kapitola 3). Po vytvoˇren´ı je moˇzné tento hologram prohl´ıˇzet b´ıl´ ym svˇetlem, coˇz je v´ yhoda oproti základn´ım transmisn´ım hologram˚ um. D´ıky tomu se tyto hologramy dosti rozˇs´ıˇrily. Duhové hologramy maj´ı i jednu nev´ yhodu. Obraz lze pozorovat pouze pod u ´zkou ˇstˇerbinou (pod stejnou, která zakr´ yvala hologram H1). T´ımto omezen´ım ztrácej´ı jednu prostorovou osu a perspektiva se mˇen´ı pouze ve 1

´ Uvod smˇeru ˇstˇerbiny (v horizontáln´ım smˇeru). Toto omezen´ı zároveˇ n pˇrináˇs´ı i jednu v´ yhodu. Veˇskeré svˇetlo je smˇerováno právˇe do této ˇstˇerbiny a tud´ıˇz nen´ı nutné k dostateˇcnˇe silnému obrazu pouˇz´ıt pˇr´ıliˇs siln´ y zdroj svˇetla. Tyto hologramy lze téˇz generovat poˇc´ıtaˇcem (touto problematikou jsem se zab´ yval). Jak jiˇz bylo uvedeno, algoritmus, kter´ y jsem zkoumal, byl navrˇzen Yoshikawou. V´ ystupem tohoto algoritmu jsou hologramy, které se sv´ ymi vlastnostmi velice podobaj´ı duhov´ ym hologram˚ um, vytvoˇren´ ym v laboratoˇri. Takˇze i tyto hologramy vytvoˇrené poˇc´ıtaˇcem lze pozorovat bˇeˇzn´ ym b´ıl´ ym svˇetlem. Tento algoritmus má i dalˇs´ı v´ yhodu oproti algoritmu pro v´ ypoˇcet obyˇcejn´ ych hologram˚ u. Má totiˇz menˇs´ı v´ ypoˇcetn´ı sloˇzitost a tud´ıˇz lze hologramy generovat mnohem rychleji (nebo o vˇetˇs´ıch rozmˇerech). Dalˇs´ı podrobnosti o duhov´ ych hologramech, zp˚ usobu jejich v´ ypoˇctu a v´ ysledky dosaˇzené t´ımto algoritmem jsou nápln´ı dalˇs´ıch kapitol této práce.

2

2 Holografie a hologram 2.1

Z´ aznam obrazu reality

Pokud chceme zaznamenat nˇejak´ y trojrozmˇern´ y objekt (nebo celou scénu), m˚ uˇzeme vytvoˇrit napˇr´ıklad fotografii. Ovˇsem fotografie se zdá plochá a ztrác´ı se na n´ı prostorov´ y vjem. Pokud chceme prostorovost zanechat, fotografie nám nestaˇc´ı a je nutné hledat jiná ˇreˇsen´ı. Holografie nab´ız´ı pouˇzit´ı hologram˚ u, u nichˇz se prostorovost neztrác´ı. Proto je nutné d˚ ukladnˇeji prostudovat holografii, jak funguj´ı hologramy a jak je vytvoˇrit. Základem prostorového vn´ımán´ı je vidˇen´ı dvˇema oˇcima. Pˇredpokládejme scénu se dvˇema body (X a Y), podobnˇe jako je naznaˇceno na obrázku 2.1. Na obrázku jsou naznaˇceny obˇe oˇci pozorovatele - vid´ıme zde jejich ˇcoˇcky i s´ıtnice. Pro urˇcen´ı vzdálenosti je nutné d´ıvat se obˇema oˇcima a d´ıky u ´hlu, pod kter´ ym pozorujeme bod, urˇcit vzdálenost. Je tedy nutné znát smˇery paprsk˚ u, které bod vydává. Hologramy právˇe pˇrináˇsej´ı moˇznost tyto informace zaznamenat a pozdˇeji reprodukovat. Pˇredstavme si, ˇze dokáˇzeme zaznamenat nejenom intenzitu svˇetla (podobnˇe jako fotografie), ale také smˇer svˇeteln´ ych paprsk˚ u (to obyˇcejná fotografie neum´ı). Dokonal´ y obrázek by tedy v kaˇzdém svém bodu sv´ıtil r˚ uznˇe do r˚ uzn´ ych smˇer˚ u. Takov´ y dokonal´ y obrázek je naznaˇcen svislou ˇcarou v obrázku 2.2; souˇcasnˇe je ˇcerven´ ymi a modr´ ymi ˇsipkami naznaˇceno, jak kter´ y jeho bod záˇri v r˚ uzn´ ych smˇerech. Jelikoˇz tento dokonal´ y obrázek pˇresnˇe reprodukuje

Obrázek 2.1: Prostorové vidˇen´ı. 3

Holografie a hologram

Svˇetlo

Obrázek 2.2: Obraz od hologramu. smˇery paprsk˚ u z bod˚ u X a Y, nedokáˇze oko rozpoznat, zda paprsky zaˇc´ınaj´ı na ploˇse dokonalého obrázku, nebo v bodech X a Y. Vzniká tedy dokonalá iluze. ˇ sen´ı nab´ız´ı holoProblém je, jak takov´ y dokonal´ y obrázek vytvoˇrit. Reˇ grafie, která smˇer paprsk˚ u“ zaznamenává vyuˇzit´ım poznatku, ˇze svˇetlo se ” chová jako vlnˇen´ı. V následuj´ıc´ı kapitole si objasn´ıme technické detaily; ted’ ale uˇz v´ıme, ˇceho chceme dosáhnout.

2.2

Svˇ etlo

Svˇetlo lze chápat jako elektromagnetické vlnˇen´ı. Toto vlnˇen´ı se ˇs´ıˇr´ı od zdroje ve vlnoplochách a periodicky se opakuje [1, s. 15]. Vlnoplochy lze chápat jako plochy, do kter´ ych se svˇetlo rozˇs´ıˇr´ı za urˇcit´ y ˇcas a lze je pˇripodobnit k vlnám na vodn´ı hladinˇe po vhozen´ı kamene. V homogenn´ım prostˇred´ı maj´ı svˇetelné vlnoplochy kulov´ y tvar se stˇredem v m´ıstˇe zdroje a polomˇerem rovn´ ym vzdálenosti od m´ısta zdroje. V holografii ˇcasto uˇz´ıváme pro zjednoduˇsen´ı rovinné vlnoplochy. Kulové vlnoplochy s velk´ ym polomˇerem lze lokálnˇe povaˇzovat za rovinné. V naˇsich pˇredchoz´ıch u ´vahách jsme pouˇz´ıvali paprsky a je tedy nutné zm´ınit, jak´ y maj´ı vztah k vlnoplochám. Paprsky lze zjednoduˇsenˇe definovat jako kolmice k vlnoplochám. Toto ovˇsem plat´ı pouze pro jednoduchá vlnˇen´ı, kde lze kolmici pˇresnˇe definovat. Protoˇze pˇredstava paprsk˚ u nemus´ı b´ yt vˇzdy pˇresnˇe urˇcená, budeme mluvit o vlnách od zdroj˚ u (tyto vlny mohou spolu

4


Svˇetlo

reagovat - interferovat - jak bude ukázáno pozdˇeji, a poté uˇz nelze snadno definovat paprsky). Svˇetlo má nˇekolik vlastnost´ı. Pro u ´ˇcely holografie jsou nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı amplituda A, fáze ϕ a vlnová délka λ. Amplituda udává rozkmit vlnˇen´ı a jej´ı kvadrát je roven intenzitˇe (na kterou reaguje napˇr´ıklad oko ˇci svˇetlocitliv´ y materiál). Fáze udává posun v periodˇe vlnˇen´ı a opakuje se za vlnovou délku svˇetla. Vlnová délka urˇcuje délku, po jaké se vlnˇen´ı dostane opˇet do stejné fáze. Vlnová délka téˇz urˇcuje barvu svˇetla. Svˇetlo vydává urˇcitou energii. Intenzitu elektrického pole v urˇcité vzdálenosti od zdroje lze matematicky vyjádˇrit jako 2πλ E0 · sin(ωt − ), E(r, t) = r r kde E je v´ ysledná intenzita elektrického pole, E0 je maximáln´ı intenzita elektrického pole, r je vzdálenost, ve které mˇeˇr´ıme intenzitu elektrického pole, t je ˇcas, ω je u ´hlová frekvence a vztah k periodˇe je ω = (2π)/T a λ je vlnová délka svˇetla. V naˇsich u ´vahách povaˇzujeme svˇetlo za dokonale koherentn´ı, ovˇsem reálné svˇetlo takové nen´ı. Svˇetlo od v´ıce zdroj˚ u nen´ı koherentn´ı a tak pouˇz´ıváme svˇetlo z jednoho zdroje a rozdˇelujeme ho pomoc´ı polopropustn´ ych zrcátek. Reálné svˇetlo ovˇsem po urˇcité vzdálenosti koherenci ztrác´ı a je tedy nutné uvaˇzovat délku koherence (po kterou z˚ ustávaj´ı zachovány vlastnosti svˇetla). B´ılé svˇetlo má malou délku koherence, tud´ıˇz se pro holografii vyuˇz´ıvaj´ı lasery, které maj´ı koherenci i nˇekolik metr˚ u.

2.2.1

Interference a difrakce

Pokud se prostorem ˇs´ıˇr´ı v´ıce vlnˇen´ı, mohou na sebe tato vlnˇen´ı p˚ usobit. Pokud se tato vlnˇen´ı vzájemˇe vyruˇsuj´ı nebo naopak sˇc´ıtaj´ı ˇr´ıkáme, ˇze vlnˇen´ı mezi sebou interferuj´ı. Celému tomuto jevu ˇr´ıkáme interference [1, s. 33]. Pokud k interferenci docház´ı mezi vlnˇen´ımi od v´ıce zdroj˚ u, ˇr´ıkáme, ˇze tyto zdroje jsou koherentn´ı. V následuj´ıc´ıch u ´vahách budeme uvaˇzovat, ˇze vlnˇen´ı jsou koherentn´ı. Jelikoˇz v praxi je sloˇzité vytvoˇrit koherentn´ı zdroje, pouˇz´ıvá se vlnˇen´ı z jednoho zdroje. Zdrojem m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad laser. Jelikoˇz pˇri vytváˇren´ı hologram˚ u potˇrebujeme v´ıce vlnˇen´ı, je nutné vlnˇen´ı od jediného zdroje rozdˇelit, napˇr´ıklad pomoc´ı polopropustn´ ych zrcátek. 5


Svˇetlo

Stínítko

Paprsky

Zdroje světla Obrázek 2.3: Jednoduch´ y model interference. Svˇetlo lze povaˇzovat za vlnˇen´ı a tedy docház´ı i u svˇetla k interferenci. Jelikoˇz svˇetlo (stejnˇe jako jiná vlnˇen´ı) periodicky mˇen´ı svoji fázi, v´ ysledek interference závis´ı, zda se vlnˇen´ı potkaj´ı se stejnou nebo opaˇcnou fáz´ı (posunutou o π). Nyn´ı si pˇredstavme jednoduch´ y model interference mezi dvˇema zdroji, podobnˇe jako je vidˇet na obrázku 2.3. Jsou zde naznaˇceny dva zdroje svˇetla, z nichˇz vycház´ı paprsky (pro zjednoduˇsen´ı jen nˇejaké). U tˇechto paprsk˚ u je naznaˇcena zmˇena fáze v pr˚ ubˇehu jejich cesty“ v podobˇe zmˇeny vybarven´ı ” (mezi svˇetlou a tmavou). Tyto paprsky dopadaj´ı na st´ın´ıtko a i z obrázku je vidˇet, ˇze nˇekteré páry paprsk˚ u od zdroj˚ u doraz´ı na st´ın´ıtko ve stejné fázi a jiné v opaˇcné fázi. Pokud svˇetlo doraz´ı na st´ın´ıtko od obou zdroj˚ u ve stejné fázi, dojde ke konstruktivn´ımu sloˇzen´ı (v´ ysledná intenzita bude vyˇsˇs´ı neˇz u jednotliv´ ych vlnˇen´ı). Naopak pokud do bodu doraz´ı svˇetlo z obou zdroj˚ uv opaˇcné fázi, dojde k destruktivn´ımu sloˇzen´ı (v´ ysledná intenzita bude niˇzˇs´ı neˇz u jednotliv´ ych vlnˇen´ı). V´ ysledná amplituda svˇetla po interferenci, která se prom´ıtne na st´ın´ıtko od 2 bodov´ ych zdroj˚ u, m˚ uˇze vypadat jako na grafu 2.4. Je zde zobrazena absolutn´ı hodnota sloˇzen´ ych vln od zdroj˚ u. Z grafu je vidˇet, ˇze zde vznikaj´ı interferenˇcn´ı minima a maxima, ˇcehoˇz se bude dále vyuˇz´ıvat pro hologramy. K difrakci (ohybu) svˇetla docház´ı, pokud vlna projde ˇstˇerbinou. Tato ˇstˇer6


Svˇetlo

Obrázek 2.4: V´ ysledek interference. ˇ ım menˇs´ı je ˇstˇerbina (vzhledem bina se poté stává nov´ ym zdrojem svˇetla. C´ k vlnové délce), t´ım v´ıce se zdá, ˇze se svˇetlo ohne (rozpt´ yl´ı se do stran). Pokud bude ˇstˇerbin v´ıce, v kaˇzdé vznikne nov´ y zdroj svˇetla. Od vˇsech nov´ ych zdroj˚ u se ˇs´ıˇr´ı svˇetlo a jelikoˇz je zde v´ıce zdroj˚ u, docház´ı k interferenci mezi zdroji. Takto poté vznikaj´ı difrakˇcn´ı obrazce (podobnˇe jako u interference mezi dvˇema zdroji se vytváˇrej´ı minima a maxima). ˇ erTakováto mˇr´ıˇzka m˚ uˇze b´ yt vytvoˇrena z nepr˚ uhledného materiálu. Stˇ biny v tomto materiálu lze vytvoˇrit napˇr´ıklad proleptán´ım. T´ımto zp˚ usobem lze vytvoˇrit difrakˇcn´ı mˇr´ıˇzku. Mˇr´ıˇzka m˚ uˇze b´ yt pravidelná, nebo m˚ uˇze b´ yt vytvoˇrena podle pˇredlohy poˇc´ıtaˇcem vypoˇcteného hologramu.

2.2.2

Difrakˇ cn´ı mˇ r´ıˇ zka

Difrakˇcn´ı mˇr´ıˇzka je nepr˚ uhledná destiˇcka, která obsahuje pr˚ uhledné u ´zké ˇstˇerbiny (srovnatelné s vlnovou délkou svˇetla). Pro zjednoduˇsen´ı budeme uvaˇzovat mˇr´ıˇzku se 2 ˇstˇerbinami podobnˇe jako na obrázku 2.5. Tyto ˇstˇerbiny se stávaj´ı nov´ ymi zdroji svˇetla. Budeme uvaˇzovat, ˇze z obou zdroj˚ u vycház´ı svˇetlo a pro zjednoduˇsen´ı vybereme 2 smˇery - smˇer kolm´ y k mˇr´ıˇzce (paprsky A) a druh´ y smˇer pod urˇcit´ ym u ´hlem (paprsky B). Pokud se zamˇeˇr´ıme na smˇer kolm´ y k mˇr´ıˇzce, paprsky z obou ˇstˇerbin se stˇretnou“ v nekoneˇcnu a ” protoˇze jsou oba stejnˇe dlouhé, nedojde k fázovému posunu a v tomto smˇeru bude interferenˇcn´ı maximum. Pokud nyn´ı budeme uvaˇzovat paprsky B pod jin´ ym neˇz kolm´ ym smˇerem (pod u ´hlem α), dojde k fázovému posunu. Tento posun je naznaˇcen na 7


Svˇetlo

Obrázek 2.5: V´ ypoˇcet interference. obrázku 2.5 v troj´ uheln´ıku, kde paprsek je pod u ´hlem α a pro druh´ yu ´hel ◦ vyznaˇcen´ y v troj´ uheln´ıku plat´ı β = 90 − α. V´ ypoˇcet velikosti posunu x provedeme z naznaˇceného pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku na obrázku a pro velikost plat´ı xd = sin(β), takˇze x = d · sin β. Pokud budeme hledat interferenˇcn´ı minimum, v´ıme, ˇze fáze mus´ı b´ yt opaˇcné, takˇze fázov´ y posun mus´ı b´ yt roven x = λ/2 a nebo posunut o celoˇc´ıseln´ y poˇcet vlnov´ ych délek. Po dopoˇcten´ı z v´ yˇse uvedeného vzorce vyjde, , kde m je ˇc´ıslo interˇze pro minimum mus´ı pro u ´hel platit sin β = (2m−1)/2·λ d ferenˇcn´ıho minima. Stejnˇe tak i pro u ´hel maxima plat´ı sin β = mλ d Nyn´ı prozkoumáme situaci, kdy 2 vlny budou dopadat na st´ın´ıtko. Jedna vlna (referenˇcn´ı) kolmá na st´ın´ıtko a druhá vlna (objektová) pod u ´hlem α, jako je naznaˇceno na obrázku 2.6. Budou interferovat a maxima budou ve vzdálenosti d = sinλ α , coˇz zjist´ıme stejn´ ymi u ´vahami jako v pˇredeˇslém odtavci. Pokud tedy m´ısto st´ın´ıtka postav´ıme vlnen´ı do cesty fotografick´ y záznamov´ y materiál, interferenˇcn´ı vzor se v nˇem zaznamená, ˇcili vznikne difrakˇcn´ı mˇr´ıˇzka s rozteˇc´ı pr˚ uhledn´ ych ˇcást´ı rovnou d. Poté takovou mˇr´ıˇzku nasv´ıt´ıme stejnou vlnou jako byla referenˇcn´ı vlna, jako je naznaˇceno na obrázku 2.7. Prozkoumáme, pod jak´ ym u ´hlem δ bude λ v´ ystupn´ı vlna. Mus´ı platit sin δ = m · d . Poloˇz´ıme m = 1, coˇz znaˇc´ı prvn´ı interferenˇcn´ı maximum. Dále vyuˇzijeme znalost d = sinλ α . Dosad´ıme a z´ıskáme 8


Svˇetlo

Obrázek 2.6: Záznam 2 vln.

Obrázek 2.7: Rekonstrukce 2 vln. 9


Vytvoˇren´ı hologramu

yvá sin δ = sin α. Tud´ıˇz u ´hel rovnici sin δ = 1 · λλ z n´ıˇz po vykrácen´ı vypl´ sin α v´ ystupn´ı vlny je shodn´ ysu ´hlem objektové vlny. Nyn´ı jsme tedy vytvoˇrili mˇr´ıˇzku, která pˇri osv´ıcen´ı rekonstrukˇcn´ı vlnou, shodnou s referenˇcn´ı vlnou uˇzitou pˇri záznamu, vytvoˇr´ı vlnu, která je shodná s p˚ uvodn´ı objektovou vlnou. Na stejn´ ych principech funguj´ı hologramy.

2.3

Vytvoˇ ren´ı hologramu

Hologram si lze pˇredstavit jako difrakˇcn´ı mˇr´ıˇzku, která ovˇsem nen´ı pravidelná. Je tvoˇrena svˇelt´ ymi (svˇetlo propouˇstˇej´ıc´ımi) a tmav´ ymi (nepropustn´ ymi) body, které jsou urˇceny interferenc´ı od referenˇcn´ı a objektové vlny. Záznam je proveden na svˇetlocitliv´ y materiál, ovˇsem s mnohem vˇetˇs´ım rozliˇsen´ım neˇz má fotografick´ y film. Na tomto materiálu budou vytvoˇreny interferenˇcn´ı vzory v podobˇe svˇetl´ ych a tmav´ ych m´ıst. Po opˇetovném nasv´ıcen´ı stejnou referenˇcn´ı vlnou se d´ıky difrakci a interferenci vytvoˇr´ı objektová vlna, jako která interferovala s referenˇcn´ı vlnou pˇri záznamu. Nyn´ı se pod´ıváme na rozloˇzen´ı pro záznam na hologram. Pˇredmˇet mus´ıme nasv´ıtit koherentn´ım svˇetlem a svˇetlo od tohoto objektu odraˇzené tvoˇr´ı objektovou vlnu. Jelikoˇz bˇeˇzné zdroje svˇetla (napˇr´ıklad ˇza´rovka) se vnitˇrnˇe skládaj´ı z mnoha nekoherentn´ıch bodov´ ych zdroj˚ u svˇetla, jsou tyto zdroje pro interferenˇcn´ı experimenty nevhodné. Z tohoto d˚ uvodu se vyuˇz´ıvaj´ı speciáln´ı zdroje svˇetla, jako je laser, kter´ y se chová jako mnoho koherentn´ıch zdroj˚ u svˇetla. Toto svˇetlo mus´ıme rozdˇelit na objektovou vlnu, která bude sv´ıtit na zaznamenávan´ y objekt, a referenˇcn´ı vlnu. K tomuto u ´ˇcelu se vyuˇz´ıvá napˇr´ıklad polopropustné zrcátko, ˇc´ımˇz se vlna rozdˇel´ı a poté druh´ ym zrcátkem odraz´ıme referenˇcn´ı vlnu na hologram. Odrazové zrcátko a zaznamenávan´ y objekt je vhodné um´ıstit na elipsu, jej´ıˇz ohniska jsou stˇredy hologramu a dˇel´ıc´ıho zrcátka. T´ım se doc´ıl´ı, ˇze dráhy obou vln budou pˇribliˇznˇe stejné, coˇz je d˚ uleˇzité proto, ˇze koherence laseru nen´ı zcela dokonalá. V´ ysledné schéma m˚ uˇze vypadat jako na obrázku 2.8.

10


Vytvoˇren´ı hologramu

Zdrojový laser

Zrcátko

Referenční vlna

ra

H

og ol

m

Polopropustné zrcátko Objektová vlna

Obrázek 2.8: Rozestaven´ı pro záznam hologramu.

Hologram Referenční vlna

θobj1 Bodový zdroj

θobj2

Obrázek 2.9: Hologram jednoho zdroje.

11


Rekonstrukce hologramu

Hologram Osvětlující vlna

θout1,m=+1 θout1,m=-1 Virtuální obraz

θout2,m=+1 θout2,m=-1 Reálný obraz

Obrázek 2.10: Virtuáln´ı a reáln´ y obraz od hologramu.

2.4

Rekonstrukce hologramu

Pro zjednoduˇsen´ı budeme uvaˇzovat hologram jednoho bodového zdroje, jako je naznaˇceno na obrázku 2.9. Pro vztah mezi zaznamenan´ ymi paprsky a rekonstruovan´ ymi paprsky plat´ı sinová rovnice [1, s. 76]: sin(θout ) = m

λ2 (sin(θobj ) − sin(θref )) + sin(θill ) , λ1

kde θobj je u ´hel objektové vlny, θref u ´hel referenˇcn´ı vlny, θout u ´hel rekonstruované vlny, θill u ´hel osvˇetluj´ıc´ı vlny, λ1 je vlnová délka svˇetla uˇzité referenˇcn´ı vlny, λ2 je vlnová délka svˇetla uˇzité osvˇetluj´ıc´ı vlny a m je difrakˇcn´ı ˇra´d. Pokud pˇri rekonstrukci pouˇzijeme stejné svˇetlo (o stejné vlnové délce), rovnice pro v´ ystupn´ı u ´hel bude m´ıt tvar: sin(θout ) = m(sin(θobj ) − sin(θref )) + sin(θill ) Pokud nyn´ı zvol´ıme pro difrakˇcn´ı ˇra´d m = +1 z´ıskáme rovnici. sin(θout ) = 1(sin(θobj ) − sin(θref )) + sin(θill ) a jelikoˇz u ´hly osvˇetluj´ıc´ı i referenˇcn´ı vlny jsou shodné, po u ´pravách rovnice z´ıskáme sin(θout ) = sin(θobj ) 12


Vyuˇzit´ı holografie

Z toho vypl´ yvá, ˇze u ´hly pro rekonstruovanou vlnu jsou stejné jako pro objektovou vlnu pˇri záznamu. Pro m = +1 tedy z´ıskáváme virtuáln´ı obraz zaznamenaného bodu naznaˇcen´ y na obrázku 2.10. Obdobnˇe pokud zvol´ıme pro difrakˇcn´ı ˇrád m = −1 z´ıskáme rovnici. sin(θout ) = −1(sin(θobj ) − sin(θref )) + sin(θill ) T´ımto jsme z´ıskali rovnici pro u ´hly pro reáln´ y obraz. V naˇsem pˇr´ıpadˇe, kdy je referenˇcn´ı vlna i osvˇetluj´ıc´ı vlna pod u ´hlem 0 jsou u ´hly pro tento pˇr´ıpad opaˇcné, jako je naznaˇceno na obrázku 2.10. Pˇri osv´ıcen´ı hologramu osvˇetluj´ıc´ı vlnou hologram vytváˇr´ı jak reáln´ y, tak virtuáln´ı obraz. Pˇri pozorován´ı má reáln´ y obraz pˇrevrácenou hloubku, virtua´ln´ı obraz má hloubku správnou. Pˇri volbˇe referenˇcn´ı vlny pod jin´ ym u ´hlem, je moˇzné doc´ılit toho, ˇze hologram bude vytváˇret pouze jeden obraz. Druh´ y obraz nebude vytvoˇren, jelikoˇz sinus nab´ yvá pouze hodnot v intervalu −1 aˇz 1. Ze sinové rovnice je téˇz vidˇet, ˇze pokud se zmˇen´ı parametry vlnové délky nebo u ´hel osvˇetluj´ıc´ı vlny, rekonstruovan´ y obraz nebude odpov´ıdat zaznamenanému. Z toho vypl´ yvá, ˇze pokud chceme, aby v´ ysledn´ y obraz byl shodn´ y se zaznamenan´ ym, je nutné pouˇz´ıt stejné svˇetlo, jako pˇri záznamu.

2.5

Vyuˇ zit´ı holografie

Holografie má mnoho vyuˇzit´ı. Nˇekteré z nich jsou: 1. Mikroskopie - Na hologram se zaznamená pozorovan´ y vzorek a ten lze pozdˇeji prozkoumat, m˚ uˇze se hodit v pˇr´ıpadˇe, ˇze vzorek je nˇejak´ ym zp˚ usobem nestabiln´ı. 2. Nedestruktivn´ı testován´ı - Udˇelá se hologram zkoumaného objektu, poté se objekt zat´ıˇz´ı a vytvoˇr´ı se nov´ y hologram. Oba hologramy se poté seˇctou. V m´ıstech, kde doˇslo k mikroposun˚ um, vzniknou interferenˇcn´ı prouˇzky. 3. Prezentace - Hologramy lze také vyuˇz´ıt k prezentaci 3D obraz˚ u. 4. Holografické (difraktivn´ı) optické ˇcleny - hologram m˚ uˇze b´ yt vytvoˇren tak, aby se choval jako ˇcoˇcka, nebo jako celá optická soustava. 13


Vyuˇzit´ı holografie

5. Vzdálené testován´ı - vytvoˇr´ı se jeden hologram souˇca´stky v laboratoˇri, poté se vytvoˇr´ı druh´ y hologram souˇca´stky ohˇraté na provozn´ı teplotu. Tyto dva hologramy se digitálnˇe seˇctou, z ˇcehoˇz je moˇzné poznat, jak se objekt zmˇenil. 6. Vibrometrie - vytvoˇr´ı se hologram vibruj´ıc´ıho pˇredmˇetu. Tam, kde pˇredmˇet kmitá, se hologram nevytvoˇr´ı, takˇze na hologramu budou pouze ˇcásti, které jsou v klidu. 7. Holografické pamˇeti - d´ıky objemovému charakteru maj´ı hologramy velkou kapacitu, která m˚ uˇze slouˇzit pro záznam dat.

14

3 Duhové (Bentonovy) hologramy Duhové hologramy jsou zaloˇzené na principech bˇeˇzn´ ych hologram˚ u s nˇekolika u ´pravami [1, s. 145]. Jejich v´ yhodou je, ˇze jsou pozorovatelné bˇeˇzn´ ym b´ıl´ ym svˇetlem. Za to ale je lze pozorovat pouze v jednom smˇeru. Pˇri pohybu vlevo-vpravo je objekt viditeln´ y a mˇen´ı se i perspektiva. Pˇri pohybu nahoru-dol˚ u vˇsak se jiˇz perspektiva nemˇen´ı m´ısto toho se zmˇen´ı barva objektu (d´ıky tomuto jevu si tyto hologramy vyslouˇzily název duhové). Nyn´ı k v´ yrobˇe takov´ ychto hologram˚ u.

3.1

Postup pˇ ri vytv´ aˇ ren´ı duhov´ ych hologram˚ u

Vytváˇren´ı duhov´ ych hologram˚ u je rozdˇeleno do 2 krok˚ u. V prvn´ım kroku je vytvoˇren hologram H1. Postup vytvoˇren´ı je stejn´ y jako vytvoˇren´ı neduhového hologramu, jedin´ y rozd´ıl je, ˇze hologram je pˇrekryt a je viditeln´ y pouze ˇstˇerbinou (nebo je uˇzit u ´zk´ y hologram, takˇze má tvar velmi u ´zkého obdéln´ıku). Na hologram je zaznamenána interference mezi objektovou vlnou a referenˇcn´ı vlnou, která je nasmˇerována na hologram pod u ´hlem α. Pˇr´ıklad záznamu hologramu H1 je naznaˇcen na obrázku 3.1. Hologram a objekt by mˇely b´ yt v takové pozici, aby byl objekt pˇribliˇznˇe um´ıstˇen doprostˇred hologramu. Poté následuje vytvoˇren´ı H2 hologramu. Hologram H1 je nasv´ıcen rekonstrukˇcn´ı vlnou, která je opaˇcná proti referenˇcn´ı vlnˇe pouˇzité pˇri záznamu. Volbou této opaˇcné vlny zajist´ıme, ˇze reáln´ y obraz vytvoˇren´ y od hologramu bude na m´ıstˇe p˚ uvodn´ıho objektu (coˇz vypl´ yvá ze sinové rovnice prob´ırané v kapitole 2.4). Do m´ısta p˚ uvodn´ıho objektu um´ıst´ıme hologram H2 a je na nˇej zaznamenán reáln´ y obraz vytvoˇren´ y hologramem H1 s uˇzit´ım nové referenˇcn´ı vlny pro hologram H2. Nyn´ı je tedy na hologramu H2 zaznamenán obraz p˚ uvodn´ıho objektu, ale jelikoˇz objektová vlna od hologramu H1 je omezen ˇstˇerbinou, bude i obraz od hologramu H2 pozorovateln´ y jen v této ˇstˇerbinˇe, jak je naznaˇceno na obrázku 3.3. Dále u tohoto hologramu m˚ uˇzeme sn´ıˇzit vliv nedokonalost´ı zp˚ usoben´ y uˇzit´ım jiného svˇetla, nebo svˇetla pod jin´ ym u ´hlem. Ze sinové rovnice vypl´ yvá, ˇze pˇri uˇzit´ı jiného svˇetla, se zmˇen´ı v´ ystupn´ı u ´hly ale, na bl´ızké body to bude m´ıt menˇs´ı vliv, neˇz na body vzdálené od hologramu. Zp˚ usob vytváˇren´ı hologramu H2 dovoluje, ˇze objekt je od hologramu co nejménˇe vzdálen a t´ım 15

Duhové hologramy

Postup pˇri vytváˇren´ı duhových hologram˚ u

Referenční vlna

Objekt

Objektová vlna Hologram H1 se štěrbinou Obrázek 3.1: Vytvoˇren´ı hologramu H1.

Hologram H2

Objektová vlna Hologram H1 se štěrbinou

Referenční vlna

Obrázek 3.2: Vytvoˇren´ı hologramu H2. 16

Duhové hologramy

Referenční vlna

Vlastnosti duhových hologram˚ u

Hologram H2

Štěrbina Pozorovatel Objektová vlna

Obrázek 3.3: Pozorován´ı v´ ysledného hologramu. tedy pˇri rekonstrukci nedojde k velk´ ym deformac´ım. Jeˇstˇe m˚ uˇze b´ yt zaj´ımavá otázka, jak zvolit velikost ˇstˇerbiny. Velikost se odv´ıj´ı od zaznamenaného objektu tak, aby byl cel´ y skrz tuto ˇstˇerbinu viditeln´ y. Velikost ˇstˇerbiny se vˇetˇsinou pohybuje od 0,5 mm do 25 mm. Menˇs´ı ˇstˇerbiny pˇrináˇsej´ı vˇetˇs´ı ostrost objektu, ale také do hologramu vnáˇsej´ı ˇsum ˇ typu speckle. Sum typu speckle se vytvoˇr´ı napˇr´ıklad tehdy, kdyˇz laserov´ y paprsek interferuje sám se sebou napˇr´ıklad pˇri ohybu (difrakci) na ˇstˇerbinˇe. Tento ˇsum je v´ıce znateln´ y pˇri menˇs´ıch ˇstˇerbinách. Pˇr´ıklad speckle je na obrázku 3.4. Pˇresnou velikost ˇstˇerbiny lze urˇcit jedinˇe experimentálnˇe a jedná se o kompromis mezi ostrost´ı a ˇsumem.

3.2

Vlastnosti duhov´ ych hologram˚ u

Základn´ı vlastnost´ı duhov´ ych hologram˚ u je, ˇze jsou pozorovatelné bˇeˇzn´ ym b´ıl´ ym svˇetlem. To je zp˚ usobeno uˇzit´ım u ´zké ˇstˇerbiny u hologramu H1. Pokud budeme v´ ysledn´ y hologram pozorovat pod monochromatick´ ym svˇetlem, bude zaznamenan´ y objekt pozorovateln´ y pouze jednou ˇstˇerbinou. Pokud ale 17

Duhové hologramy


Obrázek 3.4: Pˇr´ıklad ˇsumu speckle. uˇzijeme k osv´ıcen´ı b´ılé svˇetlo (které se zkládá z mnoha svˇetel o r˚ uzn´ ych vlnov´ ych délkách) bude se kaˇzdá vlnová délka oh´ ybat pod jin´ ym u ´hlem a tak vznikne hned nˇekolik ˇstˇerbin. Do kaˇzdé ˇstˇerbiny se oh´ ybá svˇetlo o jiné vlnové délce, a pokud se budeme d´ıvat pouze jednou ˇstˇerbinou, bude m´ıt objekt jednu barvu. Pokud vybereme jinou ˇstˇerbinu, zmˇen´ı se i barva objektu. Od tohoto chován´ı název duhové hologramy. Ovˇsem z uˇzit´ı ˇstˇerbiny plyne i nev´ yhoda - ˇstˇerbina omezuje v´ yhled, jak je naznaˇceno na obrázku 3.5. Pˇri pohybu nahoru nebo dol˚ u mineme ˇstˇerbinu (pokud pozorujeme hologram pod monochromatick´ ym svˇetlem) a nebo se pˇresuneme na jinou ˇstˇerbinu a zmˇen´ı se barva. Pˇri tomto pohybu se tedy nezmˇen´ı perspektiva objektu. Perspektiva se mˇen´ı pouze ve smˇeru vlevo nebo vpravo. Duhové hologramy maj´ı tedy své v´ yhody (jsou pozorovatelné bˇeˇzn´ ym svˇetlem, obraz se deformuje ménˇe neˇz u jin´ ych hologram˚ u) ale i nev´ yhody (nutno vytvoˇrit 2 hologramy, ztráta jedné prostorové osy). I pˇres jisté nev´ yhody duhov´ ych hologram˚ u se duhové hologramy pomˇernˇe rozˇs´ıˇrily. Mnoho lid´ı, kteˇr´ı se s hologramy setkali mimo laboratoˇr, nejˇcastˇeji vidˇeli právˇe duhové hologramy.

18

Duhové hologramy


Referenční vlna Hologram Štěrbina Objektová vlna

Omezený výhled štěrbinou

Obrázek 3.5: Uˇzit´ı ˇstˇerbiny u duhov´ ych hologram˚ u.

19

4 Generován´ı duhového hologramu podle Yoshikawy Tento algoritmus byl nastudován z ˇclánk˚ u [3], [2, s. 235]. Yoshikawa navrhl algoritmus pro efektivnˇejˇs´ı v´ ypoˇcet poˇc´ıtaˇcem generovan´ ych duhov´ ych hologram˚ u. V´ ysledn´ y hologram napodobuje chován´ı duhov´ ych hologram˚ u a tedy i omezen´ı na pouhou jednu prostorovou osu (horizontáln´ı), zat´ımco druhá (vertikáln´ı) je eliminována. C´ılem je tedy z poˇc´ıtaˇcového objektu vypoˇc´ıtat hologram, jenˇz bude m´ıt podobné vlastnosti jako duhov´ y hologram, kter´ y bude pozorovateln´ y bod b´ıl´ ym svˇetlem, ovˇsem jen u ´zkou ˇstˇerbinou. V´ ysledkem celého snaˇzen´ı m˚ uˇze b´ yt hologram podobn´ y jako na obrázku 4.1. Na tomto obrázku je vidˇet, ˇze se hologram skládá z jednotliv´ ych horizontáln´ıch pruh˚ u - holo-linek. Kaˇzdá holo-linka vymez´ı ˇcást prostoru, jak je naznaˇceno na obrázku 4.2. Daná holo-linka m˚ uˇze b´ yt ovlivnˇena pouze body nacházej´ıc´ımi se pouze v tomto prostoru. T´ım se tedy vymez´ı ˇca´st objektu, která pˇr´ısluˇs´ı dané holo-lince, jako je naznaˇcené na obrázku 4.3. Tato ˇca´st objektu je aproximována bodov´ ymi zdroji. Poté je ze vˇsech tˇechto zdroj˚ u vypoˇctena jedna linka (sub-linka) objektové vlny. Tato sub-linka je poté s pˇriˇcten´ım referenˇcn´ı vlny rozkop´ırována po celé holo-lince. Nyn´ı jiˇz k samotnému algoritmu.

4.1

Algoritmus v´ ypoˇ ctu

Algoritmus se zakládá na dvou pˇredpokladech pro v´ ypoˇcet duhov´ ych hologram˚ u: 1. Referenˇcn´ı vlna je konstantn´ı v horizontáln´ım smˇeru. Znaˇc´ı se R(y). 2. Objektová vlna je po ˇcástech konstantn´ı ve vertikáln´ım smˇeru. Znaˇc´ı se O(x).

20

Yoshikawova metoda

Algoritmus výpoˇctu

Obrázek 4.1: Ukázka hologramu vygenerovaného metodou Yoshikawy.

Objekt

Hologram

Prostor vymezený holo-linkou

Část objektu vymezená prostorem holo-linky

Holo-linka

Obrázek 4.2: Rozdˇelen´ı objektu prostorem holo-linky.

21

Yoshikawova metoda

Algoritmus výpoˇctu

Objektová vlna od 1 zdroje

Sub-linka

Prostor vymezený holo-linkou

Část objektu vymezená prostorem holo-liny

Holo-linka

Obrázek 4.3: Rozdˇelen´ y objekt pro jednu holo-linku. Prvn´ı pˇredpoklad nen´ı pˇr´ıliˇs omezuj´ıc´ı, staˇc´ı pouze pouˇz´ıt rovinnou referenˇcn´ı vlnu osvˇetluj´ıc´ı hologram pod dan´ ym u ´hlem. Druh´ y pˇredpoklad jiˇz je sloˇzitˇejˇs´ı. Je nutné rozdˇelit objekt na ˇcásti tak, aby kaˇzdá ˇca´st pˇr´ısluˇsela do jedné holo-linky. Pro tento u ´ˇcel je nutné rozdˇelit objekt do prostoru vymezeného holo-linkou, podobnˇe jako je naznaˇceno na obrázku 4.2. Vymezuj´ıc´ı prostory holo-linek rozdˇel´ı objekt a kaˇzdá ˇcást objektu ovlivn ˇuje jednu holo-linku. Dále pˇredpokládáme, ˇze holo-linky jsou u ´zké, takˇze objektová vlna je ve svislém smˇeru témˇeˇr konstantn´ı. Tato ˇca´st objektu vytváˇr´ı objektovou vlnu v jedné lince hologramu (jako na obrázku 4.3), které budeme ˇr´ıkat sub-linka. Sub-linku m˚ uˇzeme pˇripodobnit k jednorozmˇernému poli komplexn´ıch amplitud vypoˇcten´ ych od bodov´ ych zdroj˚ u v pˇr´ısluˇsném vymezuj´ıcim prostoru. Poté vypoˇctenou sub-linku rozkop´ırujeme po celé holo-lince a pˇridáme k n´ı referenˇcn´ı vlnu. Tato referenˇcn´ı vlna je volena tak, aby se objekt ostˇril do ˇstˇerbiny, pod kterou bude objekt pozorovateln´ y. Referenˇcn´ı vlna je tedy jiná pro kaˇzdou ˇra´dku holo-linky. V´ ysledná intenzita poté tvoˇr´ı ˇca´st hologramu (tu ˇca´st, která odpov´ıdá holo-lince). Nyn´ı jiˇz se pod´ıváme podrobnˇeji na v´ ypoˇcet jednotliv´ ych krok˚ u.

22

Yoshikawova metoda

4.2

Výpoˇcet sub-linky

V´ ypoˇ cet sub-linky

Sub-linka je jedna ˇrádka objektové vlny. Tato ˇrádka pˇr´ısluˇs´ı k jednomu prostoru holo-liky (jak je naznaˇceno na obrázku 4.2), kde se nacház´ı body, od kter´ ych obsahuje sub-linka komplexn´ı amplitudy. Je tedy nutné vypoˇc´ıtat komplexn´ı amplitudy od tˇechto bod˚ u. Pozice kaˇzdého bodu je specifikována jeho souˇradnicemi (xi , yi , zi ). Nav´ıc mohou m´ıt tyto body specifikovanou amplitudu ai (jeˇz urˇcuje jasnost bodu) a relativn´ı fázi ϕi . Nyn´ı je tedy nutné vypoˇc´ıst objektovou vlnu (sub-linku). Jak je naznaˇceno na obrázku 4.3, sub-linka je ovlivnˇena pouze od pˇr´ısluˇsn´ ych bod˚ u. Zde je um´ıstˇen hologram v rovinˇe XY , a je um´ıstˇen ve vzdálenosti z = 0. Objektovou vlnu O(x) poté vypoˇcteme podle vzorce: O(x) =

N X

Ai · exp(j · (k · ri (x) + φi )) , i=0 ri (x)

kde N je poˇcet bod˚ u v pˇr´ısluˇsné skupinˇe pro sub-linku (pˇr´ısluˇs´ıc´ı vymezuj´ıc´ımu prostoru), k je vlnové ˇc´ıslo a je rovno k = 2π/λ, λ je vlnová délka pouˇzitého svˇetla, j je imaginárn´ı jednotka, ri (x) je vzdálenost bodu od bodu sub-linky. Vzdálenost bodu ri (x) lze vypoˇc´ıtat: ri (x) =

q

(x − xi )2 + zi2

T´ımto zp˚ usobem se vypoˇcte kaˇzd´ y bod sub-linky. Ze sub-linky se poté vypoˇcte holo-linka s pˇridán´ım referenˇcn´ı vlny, jak je popsáno v následuj´ıc´ıch kapitolách.

4.3

V´ ypoˇ cet referenˇ cn´ı vlny

Nyn´ı je nutné urˇcit referenˇcn´ı vlnu, která bude pˇridána k sublince tak, aby se objekt zaostˇril do ˇstˇerbiny. Pro naˇse u ´ˇcely je ˇstˇerbina um´ıstˇena uprostˇred hologramu a je v dané vzdálenosti d od hologramu. Referenˇcn´ı vlna R(y) je reprezentována jako: R(y) = Aref · exp(j · ϕref (y)) , kde Aref je amplituda referenˇcn´ı vlny, ϕref je relativn´ı fáze referenˇcn´ı vlny a j je imaginárn´ı jednotka. 23

Yoshikawova metoda

Výpoˇcet holo-linky

Osvětlující vlna Rekonstruovaná vlna

Hologram

θout

θill Štěrbina

y

d

Obrázek 4.4: Zobrazen´ı u ´hl˚ u pro v´ ypoˇcet referenˇcn´ı vlny. Relativn´ı fázi lze vypoˇc´ıtat ze vztahu mezi u ´hly: sin(θobj ) − sin(θref ) = µ(sin(θout ) − sin(θill )) , kde θobj je u ´hel objektové vlny, θref u ´hel referenˇcn´ı vlny, θout u ´hel rekonstruované vlny, θill u ´hel osvˇetluj´ıc´ı vlny, µ je pomˇer vlnov´ ych délek záznamové ku rekonstrukˇcn´ı. Pˇr´ıklad u ´hl˚ u je naznaˇcen na obrázku 4.4. Pomˇer vlnov´ ych délek je volen jedna a u ´hel objektové vlny je volen nulov´ y. Za tˇechto podm´ınek lze relativn´ı fázi vyjádˇrit jako: y θout = tan−1 ( ) , d kde d je vzdálenost mezi hologramem a ˇstˇerbinou.

4.4

V´ ypoˇ cet holo-linky

Pokud máme vypoˇctenou sub-linku pˇr´ısluˇs´ıc´ı jedné holo-lince, lze vypoˇc´ıtat holo-linku pˇridán´ım referenˇcn´ı vlny. Holo-linka je jiˇz ˇca´st´ı hologramu, tud´ıˇz

24

Yoshikawova metoda

Výpoˇcet holo-linky

je na ni zaznamenána interference mezi objektovou vlnou (sub-linka) a referenˇcn´ı vlnou. Nyn´ı je nutné vypoˇc´ıtat intenzitu vzniklé interference mezi vlnami. Intenzita na holo-lince je poté urˇcena : I(x, y) = |O(x)|2 + |R(y)|2 + 2 · <{O(x) · R(y)} , kde O(x) je objektová vlna a R(y) je referenˇcn´ı vlna. Jelikoˇz prvn´ı dva ˇcleny intenzity nepˇrisp´ıvaj´ı ke kvalitˇe hologramu, lze je vypustit. Poté zb´ yvá pouze tˇret´ı ˇclen a tud´ıˇz v´ ypoˇcet intenzity bude vypadat následovnˇe: H(x, y) = 2 · <{O(x) · R(y)} = 2 · <{O(x)} · <{R(y)} + 2 · ={O(x)} · ={R(y)} Hodnota H(x, y) m˚ uˇze b´ yt kladná i záporná a pˇred uloˇzen´ım hologramu je nutné ji normalizovat na hodnoty mezi 0 a 1.

25

5 Implementace Pro implementaci algoritmu pro v´ ypoˇcet duhov´ ych hologram˚ u jsem zvolil programovac´ı jazyk ANSI C. Tento jazyk jsem zvolil hlavnˇe kv˚ uli u ´ˇcinnosti tohoto jazyka, jelikoˇz v´ ypoˇcet hologram˚ u je zaloˇzen hlavnˇe na matematice a nen´ı nutné vyuˇz´ıt sloˇzit´ ych programov´ ych struktur, které nab´ız´ı sloˇzitˇejˇs´ı programovac´ı jazyky. Jelikoˇz je d˚ uleˇzitá hlavnˇe efektivita, v´ ystupem mé práce je konzolová aplikace, která naˇc´ıtá zdrojové body ze souboru a poté ukládá v´ ysledn´ y hologram do v´ ystupn´ıho souboru. Jedin´ ymi vstupy programu jsou tedy soubor s body a parametry z pˇr´ıkazové ˇra´dky. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v pˇredchoz´ım textu práce, m´ ym c´ılem bylo implementovat metodu navrˇzenou Yoshikawou. Jelikoˇz pˇri v´ ypoˇctu se pracuje s komplexn´ımi ˇc´ısly, je nutné definovat pomocné struktury a metody pro komplexn´ı ˇc´ısla

5.1

Komplexn´ı ˇ c´ısla

Je nutné implementovat strukturu pro uchován´ı komplexn´ıho ˇc´ısla a téˇz nˇekteré základn´ı metody pro práci s komplexn´ımi ˇc´ısly. Struktura pro uchován´ı komplexn´ıho ˇc´ısla m˚ uˇze b´ yt definována napˇr´ıklad takto: typedef struct komplexni{ double real; double imag; } Komplexni;

Mezi základn´ı operace uˇzité pˇri v´ ypoˇctu hologram˚ u patˇr´ı sˇc´ıtán´ı (odˇc´ıtán´ı) a násoben´ı. Sˇc´ıtán´ı lze implementovat jednoduˇse jako seˇcten´ı kaˇzdé sloˇzky: Komplexni a,b,c; a.real = b.real + c.real; a.imag = b.imag + c.imag;

Pˇri násoben´ı je nutné dodrˇzet pravidla pro násoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel, a lze implementovat násoben´ı a = b × c = (b1 + b2 i) × (c1 + c2 i) = (b1 × c1 − b2 × c2 ) + (b1 × c2 + b2 × c1 )i jako: 26

Implementace

Implementace algoritmu

Komplexni a,b,c; a.real = b.real * c.real - b.imag * c.imag; a.imag = b.real * c.imag + b.imag * c.real;

Pˇri v´ ypoˇctu bude nutné jeˇstˇe vyuˇz´ıt komplexn´ı exponenciálu a lze ji implementovat jako: Komplexni komplexni_exp(Komplexni vstup){ double real = exp(vstup.real); Komplexni vysledek; vysledek.imag = real * sin(vstup.imag); vysledek.real = real * cos(vstup.imag); return vysledek; }

5.2


Pˇred v´ ypoˇctem je jeˇstˇe nutné definovat parametry v´ ypoˇctu, které budou uˇzity. Mezi nˇe patˇr´ı λ (vlnová délka svˇetla), u ´hel referenˇcn´ı vlny, vzdálenost pixel˚ u, vzdálenost ˇstˇerbiny, poˇcet sublinek a velikost hologramu.

5.2.1

Definice hologramu

Samotn´ y hologram je implementován jako pole ˇc´ısel o velikosti ˇs´ıˇrka×v´ yˇska. Toto pole bude globáln´ı promˇenná double * hologram;. Kaˇzdá pozice v poli pˇredstavuje intenzitu na m´ıstˇe odpov´ıdaj´ıc´ı m´ıstu hologramu. Souˇradnice hologramu vypoˇcteme následnˇe: x = i × s − sˇ × s/2, kde i je pozice v poli, x je X-ová souˇradnice, s je vzdálenost pixel˚ u a sˇ ˇs´ıˇrka hologramu. Stejnˇe tak i pro Y-ovou souˇradnici plat´ı y = j × s − v × s/2, kde j je pozice v poli, v je v´ yˇska hologramu. T´ımto zp˚ usobem bude hologram um´ıstˇen uprostˇred souˇradnicov´ ych os XY . V naˇsich v´ ypoˇctech pˇredpokládáme, ˇze hologram je um´ıstˇen v z = 0.

27

Implementace

5.2.2


Celkov´ y v´ ypoˇ cet

Po definici nutn´ ych parametr˚ u pro v´ ypoˇcet a definice struktury hologramu jiˇz je nutné vypoˇc´ıtat samotn´ y hologram. Jak jiˇz bylo probráno v pˇredchoz´ı kapitole, hologram se skládá z holo-linek. Pro v´ ypoˇcet holo-linky byla navrˇzena metoda void vypocet_hololine(int min, int max, double * hololine), kde parametry min a max udávaj´ı rozsah Y-ov´ ych souˇradnic dané holo-linky a parametr hololine je pole, do kterého bude holo-linka uloˇzena. Tato metoda je postupnˇe volána pro jednotlivé holo-linky a poté je tato holo-linka pˇrekop´ırována do hologramu na urˇcen´ ych pozic´ıch: int main() { //Pole pro uložení holo-linky double * hololine; for (i = 0; i < res_y / pocet_sublines; ++i) { //Vypoˇ cte jednu holo-linku na zadaných //Y-ových souˇ radnicích vypocet_hololine(i * pocet_sublines, (i+1) * pocet_sublines - 1, hololine); //Pˇ rekopíruje holo-linku do hologramu na zadaných //Y-ových souˇ radnicích prekopiruj_hololine(hololine); } //Uloží výsledný hologram ulozeni(); }

Po v´ ypoˇctu a pˇrekop´ırován´ı vˇsech holo-linek jiˇz je v poli hologramu vypoˇctena intenzita a jiˇz zb´ yvá pouze uloˇzit vypoˇctená data.

5.2.3

V´ ypoˇ cet holo-linky

Pˇri v´ ypoˇctu holo-linky je nutné m´ıt objektovou vlnu (sub-linku) od bodov´ ych zdroj˚ u, které maj´ı Y-ovou souˇradnici odpov´ıdaj´ıc´ı právˇe poˇc´ıtané holo-lince. Pro z´ıskán´ı objektové vlny je navrˇzena metoda void pricti_subline(Komplexni * radka, int l), kde do pole radka bude pˇriˇctena objektová vlna od bod˚ u v Y-ové ˇrádce pˇredané v parametru l. Poté jiˇz staˇc´ı pˇridat referenˇcn´ı vlnu k z´ıskané objektové vlnˇe. Referenˇcn´ı 28

Implementace


vlna je volena tak, aby zaostˇrila objekt do ˇstˇerbiny. Mus´ı tedy odpov´ıdat vzorci: Ref = exp(j · k · y · (sin(uhelref ) − sin(uhelsmeru ))) P´ısmenem j je oznaˇcena imaginárn´ı jednotka. Implementace metody muˇze b´ yt tedy následuj´ıc´ı: void vypocet_hololine(int min, int max, double * hololine){ double y;//Y-ová souˇ radnice double uhel_smeru;//Úhel smˇ eru ke štˇ erbinˇ e double uhel_ref;//Úhel referenˇ cní vlny (volen pˇ red //zahájením výpoˇ ctu) Komplexni ref;//Komplexní amplituda referenˇ cní vlny ˇádku Komplexni radka[res_x];//Pole objektových vln pro r ˇádky //Vypoˇ ctení objektové vlny pro pˇ ríslušné r for (i = min; i <= max; ++i) { bodu += pricti_subline(radka, i); } //Výpoˇ cet holo-linky pˇ ridáním referenˇ cní vlny k objektové for (i = min; i <= max; ++i) { //Vypoˇ ctení Y-ové souˇ radnice odpovídající indexu pole y = i * sampling + corner_y; //Vypoˇ ctení úhlu ke štˇ erbinˇ e uhel_smeru = atan(y / dira_vzdal); //Vypoˇ ctení referenˇ cní komplexní amplitudy ref.real = 0; ref.imag = k * y * (sin(uhel_ref) - sin(uhel_smeru)); ref = komplexni_exp(ref); for (j = 0; j < res_x; ++j) { hololine[i - min][j] = 2 * radka[j].real * ref.real + 2 * radka[j].imag * ref.imag; } } }

5.2.4

V´ ypoˇ cet sub-linky

Pro v´ ypoˇcet objektové vlny je nutné m´ıt pole bod˚ u ovlivˇ nuj´ıc´ı sub-linku na dané Y-ové souˇradnici. Pro z´ıskán´ı tohoto pole bod˚ u slouˇz´ı metoda pole_bod * vyber_zdroje(int y_poz), kter´ e je parametrem y_poz pˇredán index ˇrádky hologramu, do které maj´ı body patˇrit. 29

Implementace


Z tˇechto bod˚ u je poté vypoˇctena objektová vlna podle vzorce: O(x) =

N X

Ai · exp(j · (k · ri (x) + φi )) , i=0 ri (x)

kde vzdálenost bodu ri od poˇc´ıtaného bodu sub-linky vypoˇcteme podle vzorce: ri (x) =

q

(x − xi )2 + zi2

Implementace této metody m˚ uˇze b´ yt následuj´ıc´ı: void pricti_subline(Komplexni * radka, int l){ double x,z;//Souˇ radnice poˇ cítaného bodu double r;//Polomˇ er poˇ cítaného bodu od bodu na sublince Komplexni komp_ampl;//Pomocná promˇ enná pro výpoˇ cet //komplexní amplitudy ˇádku pole_bod * body = vyber_zdroje(l);//Body pro r BodZdroj bod;//Pomocná promˇ enná pro aktuální bod //Výbˇ er jednotlivých bodu for (j = 0; j < body->velikost; ++j) { bod = body->pole[j]; //Výpoˇ cet vlivu aktuálního bodu po sublince for (i = 0; i < res_x; ++i) { //Výpoˇ cet souˇ radnic pro výpoˇ cet polomˇ eru x = i * sampling + corner_x - bod.x; z = bod.z; //Výpoˇ cet polomˇ eru r = x*x + z*z; r = sqrt(r); //Výpoˇ cet komplexní amplitudy komp_ampl.real=0; komp_ampl.imag=k*r + 2*m_pi; komp_ampl=komplexni_exp(komp_ampl); ˇádce //Pˇ riˇ ctení komplexní amplitudy k r radka[i].imag += komp_ampl.imag/r; radka[i].real += komp_ampl.real/r; } } }

30

Implementace

5.2.5


Uloˇ zen´ı hologramu

Po v´ ypoˇctu celkového hologramu je jeˇstˇe nutné uloˇzit vypoˇctená data. Jelikoˇz s daty je nutné pozdˇeji pracovat jako s obrázkem (at’ jiˇz má b´ yt hologram vytiˇstˇen ˇci prom´ıtnut na holografick´ y display), je nutné pˇrevést data z pole hologramu (bipolárn´ı intenzita) na jiná data, která pak poslouˇz´ı pˇri pˇrevodu na obrázek (napˇr´ıklad PNG obrázek). Pro pˇreveden´ı je nutné naj´ıt minimum a maximum z intenzit hologramu a poté kaˇzd´ y prvek pole znormalizovat a vynásobit na velikost byte (256). V´ ysledná data lze uloˇzit do souboru a poté zavolat pˇrevodn´ı program, kter´ y daná data pˇrevede na PNG obrázek. Pokud je to vyˇzadováno, je moˇzné i obrázek uloˇzit pouze jako ˇcernou a b´ılou barvu, nikoli jako stupnˇe ˇsedˇe. void ulozeni(){ double min, max;//Nalezené minimum a maximum image * img = image_create(res_x, res_y);//Obrázek min = nalezni_min(hologram);//Nalezení minima max = nalezni_max(hologram);//Nalezení maxima ˇerná) //Pˇ revod intenzity na barvu (bílá až c for (i = 0; i < res_x; ++i) { for (j = 0; j < res_y; ++j) { img[i][j] = (hologram[i][j]-min)/(max-min)*255; } } //Uložení obrázku image_save(img, soubor_hologramu); }

31

6 Ovˇeˇren´ı správnosti metody Správnost metody byla ovˇeˇrena experimentálnˇe. Nejprve byl vypoˇcten hologram z poˇc´ıtaˇcového modelu dvou bod˚ u. Jeden z bod˚ u byl zvolen uprostˇred hologramu a druh´ y byl posunut smˇerem k levému doln´ımu kraji. Poté byla programovˇe provedena propagace svˇetla ˇs´ıˇr´ıc´ıho od hologramu. V´ ysledek je vidˇet na obrázku 6.1. Na tomto obrázku jsou dvˇe svislé ˇcárky, jedna uprostˇred a druhá posunutá smˇerem k levému doln´ımu kraji. Tyto ˇcárky vznikly po rekonstrukci a d˚ uvod, proˇc to nejsou body je, ˇze duhové hologramy jsou horizontal-paralaxonly. To znamená, ˇze ve vodorovném smˇeru se body ostˇr´ı (ˇcárky jsou u ´zké ve vodorovném smˇeru), ale ve svislém smˇeru (kv˚ uli pouˇzit´ı pouze jedné linky objektové vlny) k zaostˇren´ı nedoˇslo. Proto jsou ve svislém smˇeru body rozmazané a vytváˇrej´ı obraz ˇcárky. Z v´ ysledné propagace se ukázalo, ˇze metoda zˇrejmˇe funguje. Po poˇc´ıtaˇcové simulaci ˇs´ıˇren´ı svˇetla se pˇreˇslo na testován´ı na holografickém displeji. Tento displej je stejn´ y, jako LCD obrazovka, jedin´ y rozd´ıl je, ˇze je mal´ y (asi jeden cm) a rozteˇc pixel˚ u je 8 µm. Na takto mal´ ych rozmˇerech jiˇz docház´ı k difrakci svˇetla a tud´ıˇz je moˇzné na tomto displeji testovat hologramy. Ale rozteˇc 8 µm je nedostateˇcná pro ohyb velk´ ych u ´hlu, tud´ıˇz objekt na hologramu musel splnit nˇekterá omezen´ı. Aby se nepˇresáhly maximáln´ı u ´hly pˇri difrakci, musel b´ yt objekt vzdálen 0,4 m od hologramu. Byl tedy vypoˇcten hologram splˇ nuj´ıc´ı daná omezen´ı displejem. Rozmˇery

Obrázek 6.1: Programová propagace svˇetla. 32

Ovˇeˇren´ı správnosti metody

Obrázek 6.2: Zobrazen´ı pˇredlohového objektu pro hologram. displeje jsou 1024x768 a i hologramy mˇely tuto velikost. V´ ysledn´ y hologram tedy byl necel´ y centimetr velk´ y a v´ ypoˇcet tohoto hologramu (kde poˇcet bod˚ u byl maximálnˇe v ˇra´dech stovek) trval pˇribliˇznˇe 1 aˇz 3 s. Hologram byl prom´ıtnut na displej a poté osv´ıcen laserem a na st´ın´ıtku byl pozorován rekonstruovan´ y reáln´ y obraz. Takto bylo vypoˇcteno nˇekolik hologram˚ u a poté osv´ıceno. Nejdˇr´ıve jednoduché (s jedn´ım bodem) a poté sloˇzitˇejˇs´ı (se vzorem ˇctverce). Rekonstruované body pˇripom´ınaly rozloˇzen´ı bod˚ u pˇredlohy a tedy byla i na tomto displeji ovˇeˇrena správnost metody. Na tomto displeji bylo také zjiˇstˇeno, jak se projevuje poˇcet zvolen´ ych sub-linek na holo-linku pˇri v´ ypoˇctu algoritmu. Bylo zjiˇstˇeno, ˇze vˇetˇs´ı poˇcet sub-linek zvyˇsuje ostrost u bod˚ u, ale v´ ysledn´ y objekt je v´ıce hranat´ y“, coˇz ” je zp˚ usobeno t´ım, ˇze pro jednu holo-linku je vybrána vˇetˇs´ı oblast, ale je vypoˇctena jen jedna ˇra´dka objektové vlny. Posledn´ım krokem bylo vypoˇcten´ı sloˇzitˇejˇs´ıho hologramu (sloˇzeného z mnoha bod˚ u) a mnohem vˇetˇs´ıho (5120x5120 px), kter´ y bude poté skuteˇcnˇe vytvoˇren. Tento hologram byl poˇc´ıtán pro rozteˇc pixel˚ u 2 µm, takˇze v´ ysledn´ y hologram byl pˇribliˇznˇe 1 cm velk´ y. V´ ysledn´ ym hologramem byl tedy binárn´ı amplitudov´ y hologram. Binárn´ı znamená, ˇze hologram byl tvoˇren pouze zcela pr˚ usvitn´ ymi pixely nebo zcela nepr˚ usvitn´ ymi pixely, nebylo tedy moˇzné, aby pixel byl jen ˇca´steˇcnˇe pr˚ uhledn´ y. Zaznamenan´ y objekt byl nahrazen pˇribliˇznˇe 20 000 bod˚ u a pˇribliˇzn´ y tvar objektu je vidˇet na obrázku 6.2. Body byly v Zové souˇradnici vzdáleny pˇribliˇznˇe 0,2 m. Vzhledem k poˇctu bod˚ u a rozmˇer˚ um hologramu trval v´ ypoˇcet pˇribliˇznˇe 30 s. Takov´ ychto hologram˚ u bylo vypoˇcteno nˇekolik, kde pˇredlohou byl stále

33


Obrázek 6.3: Reáln´ y obraz od hologramu. stejn´ y objekt, ale mˇenily se parametry u ´hlu referenˇcn´ı vlny a poˇctu sub-linek na holo-linku. Jelikoˇz ale nebylo moˇzné ze vˇsech udˇelat skuteˇcné hologramy, byly vybrány pouze nˇekteré. Byly vybrány 4 hologramy. Ty s poˇctem sublinek 32 (jde o kompromis mezi ostrost´ı a hranatost´ı objektu) a s referenˇcn´ımi vlnami pod u ´hly 0◦ , 0, 5◦ , 1◦ , 2◦ . Tyto hologramy byly poté vytvoˇreny laserovou litografi´ı do fotorezistu. Poté byly hologramy pomoc´ı laseru osvˇetleny. Na st´ın´ıtko byl poté prom´ıtnut reáln´ y obraz, kter´ y byl vyfotografován (obrázek 6.3). Obraz vytvoˇren´ y hologramy se zdál b´ yt shodn´ y s poˇc´ıtaˇcov´ ym modelem (zobrazen´ ym na obrázku 6.2) uˇzit´ ym k vytvoˇren´ı hologramu, ˇc´ımˇz se prokázala správnost metody. Na tomto obrázku jsou vidˇet 4 hologramy a i 4 obrazy. Tyto obrazy jsou posunuty, coˇz je zp˚ usobeno volbou jin´ ych referenˇcn´ıch vln. Pro osvˇetlen´ı vytvoˇreného hologramu byla vyuˇzita laboratorn´ı laserová sestava zobrazená na obrázku 6.4. Je zde um´ıstˇen laser, clonka, ˇcoˇcka a hologram. Laser generuje laserové záˇren´ı, které osvˇetluje clonku. Clonka zp˚ usob´ı, ˇze se svˇetlo bude oh´ ybat a zp˚ usob´ı, jakoby byl ve ˇstˇerbinˇe zdroj svˇetla. T´ımto ˇ cka je poté nastavena tak, aby zp˚ usobem dostaneme bodov´ y zdroj svˇetla. Coˇ mˇela ohnisko právˇe v bodovém zdroji svˇetla. T´ımto zp˚ usobem je doc´ıleno,

34


Obrázek 6.4: Sestava pro osvˇetlen´ı hologramu. ˇze za ˇcoˇckou se bude svˇetlo ˇs´ıˇrit v rovinn´ ych vlnolochách, které osvˇetl´ı hologram (rovinné vlnoplochy jsou vyˇzadovány, protoˇze pˇri v´ ypoˇctu hologramu bylo poˇc´ıtáno s rovinnou vlnou). Poté jiˇz je hologram osvˇetlen a vytváˇr´ı rea´ln´ y obraz objektu pouˇzitého jako pˇredloha pˇri v´ ypoˇctu. Na obrázku 6.3 je vyfotografován pouze reáln´ y obraz objektu na st´ın´ıtku. Virtuáln´ı obraz bylo moˇzné pozorovat oˇcima po nasv´ıcen´ı hologramu laserov´ ym ukazovátkem, coˇz jsme také uˇcinili. Pod bˇeˇzn´ ym b´ıl´ ym svˇetlem byl hologram také pozorovateln´ y (jen se projevilo chován´ı duhov´ ych hologram˚ u a obraz byl z r˚ uzn´ ych barev v závislosti v jaké v´ yˇsce byl pozorován). Experimentálnˇe bylo tedy ukázáno, ˇze metoda navrˇzená Yoshikawou se zdá funkˇcn´ı a lze ji uˇz´ıt k vytváˇren´ı poˇc´ıtaˇcem generovan´ ych duhov´ ych hologram˚ u, které lze pozorovat bˇeˇzn´ ym b´ıl´ ym svˇetlem.

35

7 Srovnán´ı rychlosti s angular sampling metodou Pro srovnán´ı rychlosti v´ ypoˇctu byl vypoˇc´ıtán duhov´ y hologram (pomoc´ı mého programu) a poté bˇeˇzn´ y hologram pomoc´ı programu z Holography Toolkit (programem HoloFullSynthGPU.exe). Obˇema programy byl poˇ ˇc´ıtán stejn´ y hologram o stejném rozliˇsen´ı a byly mˇeˇreny ˇcasy v´ ypoˇctu. Casy v´ ypoˇctu jsou uvedeny v následuj´ıc´ı tabulce (ˇcasy jsou uvedeny v ms). ˇ Rozliˇsen´ı holo- Cas v´ ypoˇctu dugramu [px] hového hologramu [ms] 128x128 431 256x256 1 121 384x384 1 878 512x512 2 969 640x640 4 331

ˇ Cas v´ ypoˇctu bˇeˇzného hologramu [ms] 161 2 061 6 864 13 838 19 791

Aˇckoli se programy znaˇcnˇe liˇs´ı (napˇr´ıklad program z Holography Toolkit poˇc´ıtá s viditelnost´ı, kdeˇzto m˚ uj program ne), lze experimenty alespoˇ n pˇribliˇznˇe srovnat. Z uveden´ ych ˇcas˚ u a pˇriloˇzeného grafu (obrázek 7.1) je vidˇet, ˇze ˇcas v´ ypoˇctu neduhového hologramu se se zvyˇsuj´ıc´ım rozliˇsen´ım prodluˇzuje v´ıce neˇz u v´ ypoˇctu bˇeˇzného hologramu. Polynomiáln´ı sloˇzitost v´ ypoˇctu u bˇeˇzného hologramu by mˇela b´ yt pˇribliˇznˇe rovna N 4 , kde rozliˇsen´ı hologramu je N × N . V´ ypoˇcet duhového hologramu je závisl´ y na v´ yˇsce, ˇs´ıˇrce a poˇctu bod˚ u. Budeme-li pˇredpokládat, ˇze v´ yˇska i ˇs´ıˇrka jsou pˇribliˇznˇe rovny N a poˇcet bod˚ u je pˇribliˇznˇe roven N 2 m˚ uˇzeme sloˇzitost odhadnout následovnˇe: Z algoritmu v´ ypoˇctu vypl´ yvá, ˇze hologram je rozdˇelen na holo-linky. Holo-linek je v hologramu M a tedy jedna holo-linka má velikost N/M . Body jsou rozdˇeleny pro jednotlivé holo-linky, takˇze na jednu holo-linku pˇripadá N 2 /M bod˚ u. Pro kaˇzdou holo-linku je vypoˇctena jedna ˇra´dka objektové vlny (o velikosti N ) od pˇr´ısluˇsn´ ych bod˚ u, takˇze sloˇzitost je N 2 /M × N . To je nutné vypoˇc´ıtat pro kaˇzdou holo-linku v hologramu, kter´ ych je M , takˇze sloˇzitost je N 2 /M × N × M . V´ yslednou sloˇzitost tedy lze odhadnout na N 3 . Z odhadu sloˇzitosti, namˇeˇren´ ych ˇcas˚ u a grafu je vidˇet, ˇze sloˇzitost v´ ypoˇctu 36

Srovnán´ı rychlosti s angular sampling metodou

Srovnání rychlostí 30000 25000

Čas [ms]

20000

Duhový hologram Běžný hologram Složitost N^3 Složitost N^4

15000 10000 5000 0 128

256

384

512

640

Rozlišení [px]

Obrázek 7.1: Graf srovnán´ı rychlost´ı. duhov´ ych hologram˚ u je o jeden ˇrád menˇs´ı neˇz sloˇzitost v´ ypoˇctu neduhov´ ych hologram˚ u. Na pˇriloˇzeném grafu se namˇeˇrené ˇcasy pˇr´ıliˇs nepˇribliˇzuj´ı k pˇredpokládan´ ym hodnotám (coˇz m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobeno chybou mˇeˇren´ı, nebo t´ım, ˇze poˇcet bod˚ u pˇri v´ ypoˇctu lze pouze pˇribliˇznˇe srovnávat s rozliˇsen´ım).

37

8 Závˇer C´ılem této práce bylo implementovat algoritmus navrˇzen´ y Yoshikawou a ovˇeˇrit, zda tento algoritmus vytváˇr´ı duhové hologramy. Algoritmus byl u ´spˇeˇsnˇe implementován a poté bylo experimentálnˇe ovˇeˇreno, ˇze v´ ystupem jsou duhové hologramy, které vytváˇr´ı obraz vzorového objektu a jsou pozorovatelné b´ıl´ ym svˇetlem. Pˇri prvotn´ım vytváˇren´ı programu jsem implementoval algoritmus chybnˇe, jelikoˇz studované ˇclánky jsou napsané dosti nesrozumitelnˇe a chybnˇe jsem si je interpretoval. Ovˇsem poté bylo odhaleno, ˇze algoritmus má fungovat jinak. ˇ anky jsme s vedouc´ım práce znovu prostudovali a zjistili jsme, jak má algoCl´ ritmus správnˇe fungovat. Poté jsem program u ´spˇeˇsnˇe pˇrepracoval do správné podoby. Tento (druh´ y) program byl poté otestován, zda správnˇe generuje duhové hologramy. Po nˇekolika poˇc´ıtaˇcov´ ych experimentech s propagac´ı svˇetla a experimentech na holografickém displeji se zdálo, ˇze program generuje duhové hologramy. Proto byl poté vytvoˇren skuteˇcn´ y hologram, na nˇemˇz se ukázalo, ˇze metoda se zdá funkˇcn´ı (v´ıce podrobnost´ı v kapitole 6). Tento hologram mˇel velikost 1x1 cm, ale digitáln´ı hologram (kter´ y byl poˇc´ıtán) mˇel velikost 5120x5120 px. Rozteˇc pixel˚ u u tohoto hologramu je 2 µm, coˇz jeˇstˇe nen´ı zcela dostateˇcné pro uˇzit´ı v holografii. D´ıky tomu byla omezena difrakce u ´hl˚ u na asi 10◦ a objekt musel b´ yt um´ıstˇen 0,2 m od hologramu. Pokud bychom chtˇeli zv´ yˇsit velikosti u ´hl˚ u, potˇrebovali bychom menˇs´ı rozteˇc pixel˚ u. Aˇckoli v´ ypoˇcetn´ı sloˇzitost pro v´ ypoˇcet duhov´ ych hologram˚ u je menˇs´ı neˇz v´ ypoˇcet neduhov´ ych hologram˚ u, i v´ ypoˇcet tohoto malého hologramu trval 30 s. Pokud bychom poˇc´ıtali hologram pro niˇzˇs´ı rozteˇc pixel˚ u (abychom mohli zobrazit vˇetˇs´ı u ´hly) musel by hologram o stejné velikosti m´ıt vˇetˇs´ı rozliˇsen´ı, coˇz by vedlo k delˇs´ı dobˇe v´ ypoˇctu. C´ılem mé práce bylo ovˇeˇrit správnost metody navrˇzené Yoshikawou a implementovat ji, coˇz bylo splnˇeno. Implementace je popsána v kapitole 5 a jej´ı ovˇeˇren´ı je popsáno v kapitole 6. Dalˇs´ı v´ yvoj v´ ypoˇctu hologram˚ u bude ale potˇrebovat dalˇs´ı ˇcas a práci.

38

Literatura [1] Benton, S.; Bove, V.: Holographic Imaging. John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780470068069. [2] Poon, T.: Digital Holography and Three-Dimensional Display: Principles and Applications. Springer, 2010, ISBN 9781441940643, 235–255 s. [3] YOSHIKAWA, H.; TANIGUCHI, H.: Computer Generated Rainbow Holograms. 1999.

39

A Uˇzivatelský manuál k vytvoˇrené aplikaci K bakaláˇrské práci je pˇriloˇzen vytvoˇren´ y program implementuj´ıc´ı metodu v´ ypoˇctu duhov´ ych hologram˚ u podle Yoshikawova algoritmu. Pˇriloˇzeny jsou zdrojové kódy v jazyce C a pˇreloˇzen´ y spustiteln´ y program pro systém Windows. Dále je pˇriloˇzen spustiteln´ y soubor holodata2png.exe, kter´ y je nutn´ y pro pˇrevod vytvoˇren´ ych dat na PNG obrázek (pokud je tento program ve stejném adresáˇri, jako hlavn´ı program, je automaticky spuˇstˇen po dokonˇcen´ı v´ ypoˇctu a obrázek je vytvoˇren). Je moˇzné spustit pˇriloˇzen´ y spustiteln´ y soubor rovnou s poˇzadovan´ ymi parametry (viz n´ıˇze), nebo je moˇzné vytvoˇrit spustiteln´ y soubor ze zdrojov´ ych soubor˚ u. K tomu je zapotˇreb´ı m´ıt pˇrekladaˇc (doporuˇcen gcc) pro ANSI C. Pro pˇreklad je vytvoˇren makefile, kter´ y je pˇrekladaˇci zadán. Pˇreklad je spuˇstˇen zadán´ım pˇr´ıkazu make. Poté je ze zdrojov´ ych soubor˚ u pˇreloˇzen spustiteln´ y soubor. Pokud je program pˇreloˇzen pro jin´ y systém neˇz Windows, nen´ı moˇzné spustit program pro pˇrevod dat (holodata2png.exe). V tomto pˇr´ıpadˇe je nutné otevˇr´ıt soubor pomoc´ı programu, kter´ y dokáˇze naˇc´ıst data jako RAW obrázek, kde kaˇzd´ y pixel je zakódován v 1 bytu. Velikost obrázku je stejná jako velikost hologramu. Pˇriloˇzen´ y program konzolová aplikace a vstupn´ı parametry je nutné vloˇzit jako argumenty programu. Argumenty je nutné zadat v následuj´ıc´ım poˇrad´ı: 1. Lambda - vlnová délka uˇzitého svˇetla (zadána v nm). ´ 2. Uhel referenˇcn´ı vlny (zadán ve stupn´ıch). 3. X-ová velikost hologramu (zadáno v pixelech). 4. Y-ová velikost hologramu (zadáno v pixelech). 5. Vzorkovac´ı rozteˇc - vzdálenost mezi jednotliv´ ymi pixely (zadáno v um). 6. Vzdálenost ˇstˇerbiny - Z-ová vzdálenost ˇstˇerbiny od hologramu (zadáno v m). 7. Poˇcet sublinek jedné holo-lince (poznámka: Y-ová velikost hologramu mus´ı b´ yt t´ımto poˇctem dˇelitelná). 40

Uˇzivatelský manuál

8. Vstupn´ı soubor s body. Tento textov´ y soubor má na kaˇzdé ˇra´dce 3 ˇc´ısla pˇredstavuj´ıc´ı souˇradnice x,y,z. Pokud ˇrádka neobsahuje pˇresnˇe 3 ˇc´ısla, je tato ˇrádka ignorována. Poznámka: Algoritmus vyˇzaduje, aby Y-ové souˇradnice byly v rozmez´ı velikosti hologramu (um´ıstˇeného uprostˇred souˇradnicov´ ych os). Tud´ıˇz Y-ové souˇradnice mus´ı b´ yt z rozsahu -Y-ová velikost hologramu/2 a +Y-ová velikost hologramu/2. Body nesplˇ nuj´ıc´ı tuto podm´ınku budou ignorovány. 9. V´ ystupn´ı soubor. Tento soubor je udán bez pˇr´ıpony a je vytvoˇren soubor název_souboru.holodata, kam budou uloˇzena binárn´ı data. Tento soubor obsahuje pole pixel˚ u o velikosti v´ yˇska×ˇs´ıˇrka a obsahem jsou jednotlivé byty, kde 0 pˇredstavuje ˇcernou barvu a 255 b´ılou. Pokud je nalezen program pro pˇrevod tˇechto dat, je mu tento soubor pˇredán a je z nˇej vytvoˇren PNG obrázek. V´ ysledkem je tedy název_souboru.png. Po spuˇstˇen´ı programu bude prob´ıhat urˇcitou dobu v´ ypoˇcet (v závislosti na poˇctu bod˚ u a rozmˇerech hologramu). Po dokonˇcen´ı budou z´ıskaná data uloˇzena a pˇrevedena do obrázku, kter´ y je moˇzné dále vyuˇz´ıt.

41

Obsah CD Na pˇriloˇzeném CD jsou nahrány soubory s textem této bakaláˇrské práce, zdrojov´ y soubor pro TeX, implementovan´ y program a zdrojové kódy programu. Sloˇzka tisk obsahuje pdf verzi této práce. Sloˇzka tisk/src obsahuje zdrojové soubory pro TeX a vˇsechny nutné souˇca´sti (pˇriloˇzené obrázky, literatura). Hlavn´ı zdrojov´ y soubor je bakalarka.tex. Sloˇzka program obsahuje pˇreloˇzené spustitelné soubory rainbow_hologram_generator.exe a holodata2png.exe. Program rainbow_hologram_generator.exe je program pro v´ ypoˇcet duhov´ ych hologram˚ u pomoc´ı Yoshikawovy metody. Program holodata2png.exe je pouze pomocn´ y pro pˇrevod dat vytvoˇren´ ych prvn´ım programem do podoby obrázku. Sloˇzka program/src obsahuje zdrojové soubory ANSI C pro pˇreklad vytvoˇreného programu vˇcetnˇe makefile pro snadnˇejˇs´ı pˇreklad.

42

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky. duhový hologram

Recommend Documents