Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky

Západoˇceská univerzita v Plzni Fakulta aplikovanyćh vˇed Katedra informatiky a vy´poˇcetn´ı techniky

Diplomov´ a pr´ ace Binomick´ y model oceˇ nov´ an´ı opc´ı

Plzeˇ n 2013

ˇ Jakub Staif

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou práci vypracoval samostatnˇe a výhradnˇe s pouˇzit´ım citovaných pramen˚ u. V Plzni dne 13. kvˇetna 2013 ............................... ˇ Jakub Staif

Podˇ ekov´ an´ı Rád bych podˇekoval vedouc´ımu bakaláˇrské práce panu Ing. Patrice Markovi, PhD. za odborné veden´ı této práce, cenné rady, hodnotné podnˇety a pˇripom´ınky bˇehem jej´ıho zpracováván´ı. Dále bych rád podˇekoval svým rodiˇc˚ um za jejich podporu a trpˇelivost bˇehem mého studia.

ˇ Jakub Staif

Abstrakt C´ılem této práce je popis a tvorba binomického modelu oceˇ nován´ı opc´ı. V prvn´ı ˇcásti jsou popsány pˇredpoklady modelu, jeho odvozen´ı a vlastnosti. Podrobnˇe je rozebráno stanoven´ı bezrizikové u ´rokové m´ıry. Druhá ˇcást se vˇenuje prezentaci a zhodnocen´ı výstup˚ u binomického modelu oceˇ nován´ı opc´ı vytvoˇreného v prostˇred´ı Microsoft Excel 2010 a jejich srovnán´ı s trˇzn´ımi cenami opc´ı. Kl´ıˇ cov´ a slova: binomický strom, call opce, put opce, americká opce, evropsk´ a opce, vnitˇrn´ı hodnota, ˇcasová hodnota, bezriziková u ´roková m´ıra, volatilita akcie, implikovaná volatilita

Abstract Purpose of this thesis is to present and construct binomial option pricing model. The first part describes model assumptions, its derivation and characteristics. Estimation of risk-free interest rate is examined in detail. The second part deals with presenting and evaluating results obtained from binomial option pricing model constructed in Microsoft Excel 2010 and their comparison with market option prices. Keywords: binomial tree, call option, put option, american option, european option, intrinsic value, time value, risk-free interest rate, stock volatility, implied volatility

Obsah ´ 1 Uvod

1

2 Opce 2.1 Finanˇcn´ı deriváty . . . . . . . . . . 2.2 Historie opc´ı . . . . . . . . . . . . . 2.3 Opˇcn´ı kontrakty . . . . . . . . . . . 2.3.1 Evropské a americké opce . 2.3.2 Call opce a Put opce . . . . 2.4 Obchodován´ı s opcemi . . . . . . . 2.4.1 Zp˚ usob obchodován´ı . . . . 2.4.2 Pozice investora . . . . . . . 2.4.3 Opˇcn´ı kontrakt . . . . . . . 2.5 Základn´ı pozice v opˇcn´ım obchodˇe . 2.5.1 Long Call . . . . . . . . . . 2.5.2 Short Call . . . . . . . . . . 2.5.3 Long Put . . . . . . . . . . 2.5.4 Short Put . . . . . . . . . . 2.5.5 Srovnán´ı Call a Put opc´ı . . 2.5.6 Zajiˇstˇen´ı rizika . . . . . . . 3 Modely oceˇ nov´ an´ı opc´ı 3.1 Cena opce . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Vnitˇrn´ı hodnota . . . . . . ˇ 3.1.2 Casov´ a hodnota . . . . . . 3.2 Meze call a put opce v okamˇziku t 3.2.1 Horn´ı meze . . . . . . . . 3.2.2 Doln´ı mez call opce . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 10 10 11

. . . . . .

12 12 12 13 13 14 14

3.3 3.4

3.2.3 Doln´ı mez put opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Put-call parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Americké opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Binomick´ y model oceˇ nov´ an´ı opc´ı 4.1 Binomický model pro jedno obdob´ı . . . . . 4.2 Binomický model pro dvˇe obdob´ı . . . . . . 4.3 Binomický model pro n obdob´ı . . . . . . . 4.4 Binomický model s výplatou dividend . . . . 4.4.1 Binomický strom s výplatou dividend 5 Bezrizikov´ au ´ rokov´ a m´ıra 5.1 Dluhopisy . . . . . . . . . 5.2 Treasury Bills . . . . . . . 5.3 Treasury Bonds . . . . . . 5.4 Odhad bezrizikové u ´rokové

. . . . . . . . . m´ıry

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

6 Realizace modelu v prostˇ red´ı Microsoft Excel 6.1 Vstupn´ı parametry . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Nastaven´ı modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Poˇcet obdob´ı . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Typ opce . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Dividendy . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Metoda výpoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Pouˇ zit´ a data 7.1 Ceny akci´ı . . . . 7.1.1 Microsoft 7.1.2 Facebook 7.1.3 Apache . . 7.2 Ceny opc´ı . . . . 7.3 Volatilita . . . . . 7.4 Odchylka modelu

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

18 19 21 22 24 24

. . . .

26 26 26 27 27

. . . . . . . . .

30 30 31 32 33 33 34 34 35 36

. . . . . . .

37 37 37 38 38 40 40 41

8 Zhodnocen´ı v´ ysledk˚ u 8.1 Microsoft Corporation (MSFT) . . . . 8.1.1 Opce s expirac´ı v lednu 2013 . . 8.1.2 Opce s expirac´ı v ˇcervenci 2013 8.1.3 Opce s expirac´ı v lednu 2014 . . 8.1.4 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . 8.2 Facebook, Inc. (FB) . . . . . . . . . . 8.2.1 Opce s expirac´ı v lednu 2013 . . 8.2.2 Opce s expirac´ı v ˇcervnu 2013 . 8.2.3 Opce s expirac´ı v lednu 2014 . . 8.2.4 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . 8.3 Apache Corp. (APA) . . . . . . . . . . 8.3.1 Opce s expirac´ı v ˇr´ıjnu 2013 . . 8.3.2 Opce s expirac´ı v lednu 2014 . . 8.3.3 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . 9 Citlivostn´ı anal´ yza 9.1 Bezriziková u ´roková m´ıra 9.2 Volatilita akcie . . . . . 9.3 Implikovaná volatilita . . 9.4 Poˇcet obdob´ı . . . . . . 9.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . 10 Z´ avˇ er

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

42 42 43 45 45 48 48 49 49 51 53 53 54 55 56

. . . . .

58 58 59 60 62 63 65

A Pˇ riloˇ zen´ e soubory 66 A.1 Hlavn´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A.2 Informace o opc´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B Zdrojov´ e k´ ody 69 B.1 Makro pro ocenˇen´ı opce pˇres Excel . . . . . . . . . . . . . . . 69 B.2 Makro pro ocenˇen´ı opce pˇres Matlab . . . . . . . . . . . . . . 76

´ 1 Uvod Hlavn´ı nápln´ı této práce je vysvˇetlen´ı, vytvoˇren´ı a prezentace výsledk˚ u binomického modelu oceˇ nován´ı opc´ı. Pro pochopen´ı konstrukce modelu a jeho u ´ˇcelu je potˇreba seznámit se s opcemi. T´ım se zabývá kapitola 2. Je popsána struˇcná historie opc´ı, jejich základn´ı rozdˇelen´ı, charakteristiky a zp˚ usob obchodován´ı. V kapitole 3 následuje podrobnˇejˇs´ı popis jednotlivých model˚ u oceˇ nován´ı opc´ı, vˇcetnˇe binomického, který bude následnˇe vytvoˇren a pouˇzit k ocenˇen´ı opc´ı. Kapitola 4 se podrobnˇe vˇenuje binomickému modelu oceˇ nován´ı opc´ı. Detailnˇe je popsáno odvozen´ı modelu a jeho vlastnosti. Jsou popsány základn´ı parametry modelu a jejich vliv na výsledné ocenˇen´ı opce. Kapitola se také vˇenuje modifikaci modelu pro akcie vyplácej´ıc´ı dividendu. Problematikou stanoven´ı bezrizikové u ´rokové m´ıry, kterou je potˇreba spolehlivˇe odhadnout, aby model správnˇe fungoval, se zabývá kapitola 5. Podrobný popis modelu vytvoˇreného v programu Excel lze nalézt v kapitole 6. Jsou popsány základn´ı vlastnosti a funkˇcnost vytvoˇreného modelu. V kapitole 7 se pak zabýváme shrnut´ım a kritikou dat pouˇzitých pˇri oceˇ nován´ı opc´ı. Následnˇe je model na tato data aplikován a jeho výsledky jsou porovnány se skuteˇcnost´ı a prezentovány v kapitole 8. V závˇeru práce (kapitoly 9 a 10) se vˇenujeme citlivostn´ı analýze modelu a shrnut´ı z´ıskaných výsledk˚ u a práce jako celku. V pˇr´ılohách pak nalezneme pˇrehled pˇriloˇzených soubor˚ u (pˇr´ıloha A) a zdrojové kódy maker z programu Excel (pˇr´ıloha B), která slouˇz´ı k ocenˇen´ı opc´ı.

1

2 Opce V této kapitole se seznám´ıme s opcemi. Pop´ıˇseme si jejich struˇcnou historii a základn´ı charakteristiky. Podrobnˇe se budeme vˇenovat zp˚ usobu dˇelen´ı opc´ı a obchodován´ı s nimi.

2.1

Finanˇ cn´ı deriv´ aty

Finanˇcn´ı derivát je instrument, jehoˇz hodnota je odvozena od hodnoty jiné (podkladové) promˇenné. Za podkladovou promˇenou lze zvolit témˇeˇr cokoliv. V souˇcasnosti se nejˇcastˇeji jedná o akcie, ale existuj´ı i opce na mˇenové kurzy nebo u ´rokové sazby. Deriváty mohou slouˇzit ke spekulac´ım na trhu nebo k zajiˇstˇen´ı rizika. Z toho d˚ uvodu jsou v posledn´ıch letech, kdy je riziko na trz´ıch vysoké, stále rozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı. Derivát vzniká transakc´ı (obchodem) mezi dvˇema subjekty (prodávaj´ıc´ım a kupuj´ıc´ım). Deriváty se rozdˇeluj´ı na nepodm´ınˇené term´ınované kontrakty, které se dále dˇel´ı na forwardy a futures, opˇcn´ı kontrakty, neboli opce, a swapové kontrakty. Nadále se v této práci budeme zabývat pouze opcemi, pˇriˇcemˇz za podkladové aktivum budeme vˇzdy povaˇzovat akcie. Podrobnˇejˇs´ı popis forward˚ u, futures a swapových kontrakt˚ u lze nalézt napˇr. v [12, str. 125].

2.2

Historie opc´ı

Nejstarˇs´ı zm´ınky o zp˚ usobu obchodován´ı podobného opc´ım pocházej´ı jiˇz ze ˇ starovˇekého Recka. Filozof Aristoteles popisuje ve své knize Politika pˇr´ıbˇeh filozofa Tháleta z Milétu, který pˇredpovˇedˇel vysokou u ´rodu oliv v následuj´ıc´ım roce. V zimˇe proto levnˇe zakoupil práva na vyuˇzit´ı olivových lis˚ u bˇehem léta. Kdyˇz v létˇe skuteˇcnˇe nastala vysoká sklizeˇ n, vzrostla poptávka po olivových lisech a Thálet svá práva prodal pˇestitel˚ um oliv za vyˇsˇs´ı cenu, neˇz

2

Opce

Historie opc´ı

za kolik je p˚ uvodnˇe zakoupil. Jednalo se o jednoduchou transakci podobnou dneˇsn´ımu obchodován´ı s opcemi. Rozvoj opc´ı nastal ve stˇredovˇeku, kdy doˇslo ke zlepˇsen´ı zabezpeˇcen´ı transakc´ı a nástupu spekulant˚ u. Obchodován´ı nejprve prob´ıhalo na stˇredovˇekých trˇziˇst´ıch, pozdˇeji se pˇresunulo do mˇest a na burzy. Prvn´ı burza, kde prob´ıhalo obchodován´ı s opcemi, byla zaloˇzena v Antwerpách, v dneˇsn´ım Nizozemsku, ve druhé polovinˇe 16. stolet´ı. Obchodovalo se pˇredevˇs´ım s komoditami, v d˚ usledku rozvoje námoˇrn´ıho obchodu. Na poˇcátku 17. stolet´ı se obchodován´ı pˇresunulo na burzu v Amsterdamu, která v mnohém pˇripom´ınala modern´ı trh s deriváty. Pozdˇeji se opce rozˇs´ıˇrily i na dalˇs´ı evropské burzy, napˇr. do Londýna nebo Paˇr´ıˇze. Nejˇcastˇejˇs´ım u ´ˇcelem obchodován´ı s opcemi v této dobˇe byly spekulace, coˇz pozdˇeji vedlo k nˇekolika spekulativn´ım bublinám1 v jejichˇz d˚ usledku se opce staly na nˇejakou dobu nepopulárn´ı. Pozdˇeji se zaˇc´ıná objevovat snaha o regulaci a pˇr´ısnˇejˇs´ı kontrolu tohoto druhu obchodován´ı, zejména ve Velké Británii (1733 - Barnard˚ uv zákon). Poˇcátky obchodován´ı s opcemi v Americe lze vystopovat do konce 18. stolet´ı. Jiˇz v té dobˇe se projevovaly odliˇsnosti ve zp˚ usobu obchodován´ı. Zat´ımco v Evropˇe bylo zvykem uplatˇ novat kontrakty pouze v pˇredem daných dnech (napˇr. ˇctvrtletnˇe), v Americe bylo moˇzno uplatnit kontrakt kdykoliv pˇred jeho vyprˇsen´ım. Z tˇechto odliˇsnost´ı vznikly dneˇsn´ı tzv. americké a evropské opce (viz kapitola 2.3.1). Oceˇ nován´ı opc´ı se v té dobˇe ˇr´ıdilo pˇredevˇs´ım nab´ıdkou a poptávkou, aˇz v 19. a 20. stolet´ı lze s rozvojem obchodován´ı pozorovat rozvoj pokroˇcilejˇs´ıch metod oceˇ nován´ı. Za poˇcátek modern´ıho obchodu s opcemi je povaˇzován rok 1973 a vznik Chicago Board of Options Exchange (CBOE). Ta jako prvn´ı zaˇcala nab´ızet standardizované opˇcn´ı kontrakty. Následnˇe zaˇcaly vznikat dalˇs´ı opˇcn´ı burzy po celém svˇetˇe a dnes je jiˇz nalezneme v témˇeˇr kaˇzdém významnˇejˇs´ım finanˇcn´ım centru. Podrobnˇejˇs´ı informace o historii opc´ı a obchodován´ı s nimi lze nalézt v [13]. 1

Za prvn´ı spekulativn´ı bublinu na svˇetˇe je povaˇzována nizozemská tulipom´ anie pˇribliˇznˇe z roku 1637, kdy se cena tulipánov´ ych cibul´ı vyˇsplhala na desetinásobek. V´ yraz tulipom´ anie se v souˇcasnosti pouˇz´ıv´ a jako synonymum pro velké spekulativn´ı bubliny, pˇri nichˇz cena aktiva v´ yraznˇe pˇrevyˇsuje jeho vnitˇrn´ı hodnotu.

3

Opce

2.3

Opˇcn´ı kontrakty

Opˇ cn´ı kontrakty

Opce dává svému drˇziteli právo (nikoliv povinnost) prodat nebo koupit podkladové aktivum za pˇredem stanovenou cenu (realizaˇcn´ı cena). T´ım se opce odliˇsuj´ı od forward˚ u a futures, pˇri kterých má drˇzitel povinnost uskuteˇcnit pˇredem domluvenou transakci. Opce jsou z tohoto hlediska pro svého drˇzitele výhodnˇejˇs´ı. Naopak subjekt, který opci prodává je v nevýhodˇe. Ta je kompenzována t´ım, ˇze pˇri uzavˇren´ı opce mus´ı kupuj´ıc´ı zaplatit prodávaj´ıc´ımu poplatek, tzv. opˇcn´ı prémii. Existuj´ı mnohá dˇelen´ı opc´ı podle r˚ uzných hledisek. Nyn´ı si pop´ıˇseme nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı z nich.

2.3.1

Evropsk´ e a americk´ e opce

V závislosti na moˇznosti jejich uplatnˇen´ı existuje nˇekolik r˚ uzných druh˚ u opc´ı. Nejˇcastˇeji se jedná o opce americké nebo evropské. Opce jsou platné pouze v obdob´ı od svého vzniku aˇz do data expirace (pˇredem stanovené datum, kdy práva a povinnosti vyplývaj´ıc´ı pro oba subjekty vyprˇs´ı). Evropskou opci lze uplatnit pouze v dobˇe expirace, ne dˇr´ıve. Naproti tomu americkou opci lze uplatnit kdykoliv v obdob´ı od uzavˇren´ı kontraktu aˇz do doby expirace. Z tohoto pohledu m˚ uˇze být americká opce výhodnˇejˇs´ı, a proto jej´ı cena m˚ uˇze být vyˇsˇs´ı. Americká opce m˚ uˇze být draˇzˇs´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy je pro investora výhodné uplatnit opci dˇr´ıve, neˇz v dobˇe expirace. Protoˇze americká opce, na rozd´ıl od evropské, pˇredˇcasné uplatnˇen´ı umoˇzn ˇuje, mus´ı za toto právo investor zaplatit a proto m˚ uˇze být cena americké opce vyˇsˇs´ı. Pokud pro investora pˇredˇcasné uplatnˇen´ı nen´ı výhodné, opce je ve vˇsech ohledech stejná, jako evropská opce a jej´ı cena bude také stejná. Mezi dalˇs´ı typy opc´ı patˇr´ı tzv. exotické opce, napˇr. bermudské nebo asijské.

4

Opce

2.3.2

Obchodován´ı s opcemi

Call opce a Put opce

Podle charakteru opce rozliˇsujeme opce kupn´ı (Call ) a prodejn´ı (Put). Call opce umoˇzn ˇuje svému majiteli koupit podkladové aktivum za pˇredem domluvenou cenu. Subjekt, který opci prodal (a obdrˇzel opˇcn´ı prémii) je na poˇzádán´ı povinen podkladové aktivum za dohodnutou cenu prodat, bez ohledu na jeho aktuáln´ı cenu. T´ımto zp˚ usobem se lze zajistit proti r˚ ustu ceny aktiva. Put opce je protikladem call opce. Svému majiteli umoˇzn ˇuje prodat podkladové aktivum za pˇredem dohodnutou cenu. Prodejce opce je na poˇzádán´ı povinen podkladové aktivum koupit, bez ohledu na jeho aktuáln´ı cenu. Put opci lze vyuˇz´ıt k zajiˇstˇen´ı proti poklesu ceny aktiva.

2.4

Obchodov´ an´ı s opcemi

V této ˇcásti se zamˇeˇr´ıme na zp˚ usoby obchodován´ı s opcemi. Zároveˇ n si pop´ıˇseme základn´ı náleˇzitosti, které takové obchodován´ı obnáˇs´ı a vysvˇetl´ıme d˚ uleˇzité pojmy.

2.4.1

Zp˚ usob obchodov´ an´ı

Opce lze rozliˇsovat podle zp˚ usobu obchodován´ı. Nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı jsou tzv. OTC opce a burzovn´ı opce. OTC (over-the-counter ) jsou neburzovn´ı opce obchodované pˇr´ımo mezi jednotlivými u ´ˇcastn´ıky. Tyto opce nejsou nijak standardizovány a jsou nejˇcastˇeji pouˇz´ıvány bankovn´ımi institucemi. Jejich výhodou je moˇznost u ´pravy kontraktu pro potˇreby konkrétn´ıho klienta. Podkladovým aktivem pro OTC opce je obvykle u ´roková m´ıra nebo mˇenový kurs. Burzovn´ı opce jsou standardizované opce prodávané na burze, která také garantuje splnˇen´ı jejich podm´ınek. Jednotlivé subjekty spolu neobchoduj´ı 5

Opce

Obchodován´ı s opcemi

pˇr´ımo, ale prostˇrednictv´ım burzy. Výhodou burzovn´ıch opc´ı je jejich vˇetˇs´ı likvidita a transparentnost. Podkladovým aktivem je obvykle akcie. Prvn´ı burzou, která zaˇcala nab´ızet standardizované opce byla v roce 1973 Chicago Board of Options Exchange (viz kapitola 2.2), kterou pozdˇeji následovaly dalˇs´ı burzy po celém svˇetˇe.

2.4.2

Pozice investora

Investoˇri, kteˇr´ı obchoduj´ı s opcemi, mohou v obchodu zauj´ımat jednu ze dvou pozic. Investor v pozici long koupil za prémii opci a z´ıskal z n´ı vyplývaj´ıc´ı práva. Má moˇznost rozhodnout se, zda opci uplatn´ı, ˇci nikoliv. Na druhé stranˇe je investor v pozici short, který opci prodal (téˇz vypsal) a obdrˇzel opˇcn´ı prémii. Zároveˇ n se vzdal urˇcitých práv. Na poˇzádán´ı kupuj´ıc´ıho má v dohodnutém ˇcase povinnost splnit podm´ınky obchodu, tedy prodat nebo koupit podkladové aktivum za smluvenou cenu.

2.4.3

Opˇ cn´ı kontrakt

Opˇcn´ı kontrakt je p´ısemný dokument (smlouva), který stanovuje podm´ınky opˇcn´ıho obchodu a práva a povinnosti jednotlivých u ´ˇcastn´ık˚ u. Tyto dokumenty mohou být velmi obsáhlé, ale mus´ı obsahovat alespoˇ n tyto náleˇzitosti: • specifikace typu opce – Call nebo Put, • informace o druhu a mnoˇzstv´ı podkladového aktiva, • realizaˇcn´ı cena – cena, za kterou dojde k pˇr´ıpadnému obchodu v dobˇe expirace, • doba expirace – nejzazˇs´ı datum, kdy m˚ uˇze být opce uplatnˇena, • cena opce – opˇcn´ı prémie.

6

Opce

2.5

Základn´ı pozice v opˇcn´ım obchodˇe

Z´ akladn´ı pozice v opˇ cn´ım obchodˇ e

Nyn´ı si pop´ıˇseme základn´ı pozice investor˚ u v opˇcn´ıch obchodech a zamˇeˇr´ıme se na jejich pˇr´ıpadné zisky nebo ztráty. Ve vˇsech pˇr´ıpadech se bude jednat o opce na akcie. Provedeme srovnán´ı zisku nebo ztráty v dobˇe expirace pro variantu koupˇe akcie nebo koupˇe opce. V uvedených pˇr´ıpadech je realizaˇcn´ı cena stanovena jako aktuáln´ı cena akcie v dobˇe uzavˇren´ı opce a zisk nebo ztrátu z nákupu nebo prodeje opce budeme srovnávat se ziskem nebo ztrátou z nákupu nebo prodeje akcie samotné.

2.5.1

Long Call

Jedná se o dlouhou pozici (long) v kupn´ı opci. Investor tedy zakoupil kupn´ı opci a následnˇe se rozhoduje, zda za smluvenou cenu nakoup´ı akcie, ˇci nikoliv. Jeho zisk ˇci ztráta v závislosti na cenˇe akcie v dobˇe expirace je na obrázku 2.1.

Obrázek 2.1: Hodnota Long Call opce v dobˇe expirace

Lze pozorovat, ˇze oproti nákupu samotné akcie poskytuje opce zajiˇstˇen´ı proti poklesu ceny pod stanovenou hodnotu. Maximáln´ı ztráta vlastn´ıka akcie se pak rovná zaplacené prémii a ostatn´ı ztráty jsou pˇreneseny na investora, který opci prodal. Tato výhoda je kompenzována t´ım, ˇze v pˇr´ıpadˇe r˚ ustu ceny akcie

7

Opce


je zisk investora sn´ıˇzen právˇe o zaplacenou opˇcn´ı prémii. Maximáln´ı zisk je ale i tak neomezený.

2.5.2

Short Call

Jedná se o protistranu k Long Call. Investor v této pozici prodal opci a obdrˇzel opˇcn´ı prémii. Je povinen na ˇzádost kupuj´ıc´ıho prodat akcie za stanovenou cenu. Jeho zisk nebo ztráta jsou potom pˇresnˇe opaˇcné, neˇz tomu bylo v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Investor v této pozici vydˇelává na poklesu ceny akcie a prodˇelává na jej´ım r˚ ustu, jak je vidˇet z obrázku 2.2. Jeho maximáln´ı zisk je shora omezen výˇs´ı opˇcn´ı prémie a jeho maximáln´ı ztráta je neomezená.

Obrázek 2.2: Hodnota Short Call opce v dobˇe expirace

Spoj´ıme-li oba pˇredchoz´ı pˇr´ıpady do jediného grafu (viz obrázek 2.3), lze si vˇsimnout, ˇze ztráta investora v pozici long je ziskem investora v pozici short a naopak, coˇz je d˚ usledek toho, ˇze opˇcn´ı obchod je transakce dvou stran zaloˇzená na jejich rozd´ılném oˇcekáván´ı.

2.5.3

Long Put

V tomto pˇr´ıpadˇe se jedná o krátkou pozici v prodejn´ı opci. Investor za prémii zakoupil opci a následnˇe se rozhoduje, zda prodá akcie za smluvenou cenu. 8

Opce


Obrázek 2.3: Hodnoty Call opc´ı v dobˇe expirace

Na obrázku 2.4 lze vidˇet, ˇze investor dosáhne v dobˇe expirace zisku v pˇr´ıpadˇe, kdy cena akcie klesne pod domluvenou cenu. V takovém pˇr´ıpadˇe m˚ uˇze prodat akcie vypisovateli opce za draˇzˇs´ı cenu, neˇz za kolik by je prodal na trhu. Pokud by cena akcie stoupla, opce nebude uplatnˇena a investor utrp´ı ztrátu – opˇcn´ı prémii, kterou zaplatil.

Obrázek 2.4: Hodnota Long Put opce v dobˇe expirace

9

Opce

2.5.4


Short Put

Opˇet se jedná o zrcadlovou pozici k Long Put. Investor prodal prodejn´ı opci a inkasoval opˇcn´ı prémii. V pˇr´ıpadˇe, kdy cena akcie v daném ˇcase pˇrevyˇsuje domluvenou cenu, opce nebude uplatnˇena a investor dosáhne zisku – inkasované opˇcn´ı prémie. Pokud by cena akci´ı klesla, je na ˇzádost kupuj´ıc´ıho povinen odkoupit je za cenu niˇzˇs´ı, neˇz trˇzn´ı, ˇc´ımˇz utrp´ı ztrátu. Je tedy zˇrejmý efekt zajiˇstˇen´ı proti r˚ ustu ceny akci´ı.

Obrázek 2.5: Hodnota Short Put opce v dobˇe expirace

Na kombinaci obou pozic prodejn´ı opce m˚ uˇzeme na obrázku 2.6 opˇet pozorovat, ˇze oba subjekty se vzájemnˇe doplˇ nuj´ı. Ztráta jednoho je ziskem druhého a naopak.

2.5.5

Srovn´ an´ı Call a Put opc´ı

Obecnˇe pro Call opce plat´ı, ˇze jejich vlastn´ık dosáhne v dobˇe expirace zisku, pokud cena akcie stoupne nad realizaˇcn´ı cenu. Jeho zisk (pˇr´ıpadnˇe ztráta vypisovatele) je tedy shora neomezený, stejnˇe jako je potenciálnˇe shora neomezená cena akcie v dobˇe expirace opce.

10

Opce


Obrázek 2.6: Hodnoty Put opc´ı v dobˇe expirace

Naproti tomu pro Put opce plat´ı, ˇze vlastn´ık vydˇelává na poklesu ceny akcie pod realizaˇcn´ı cenu. Jeho zisk (a ztráta vypisovatele) je ovˇsem omezený, jelikoˇz cena akcie nem˚ uˇze klesnout n´ıˇze, neˇz na nulu.

2.5.6

Zajiˇ stˇ en´ı rizika

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, opce mohou slouˇzit k zajiˇstˇen´ı proti riziku na trhu. Toho lze do jisté m´ıry dosáhnout jednoduchými opcemi, ale také kombinacemi nˇekolika typ˚ u opc´ı a akci´ı. Takových kombinac´ı existuje celá ˇrada. Podle svého typu se nazývaj´ı napˇr. Spread, Straddle, Strangle a dalˇs´ı. R˚ uzné kombinace poskytuj´ı odliˇsná zajiˇstˇen´ı proti riziku a je tak moˇzno zajistit konkrétn´ı poˇzadavky investora pˇresnˇeji, neˇz pouze s vyuˇzit´ım jedné opce. V´ıce o r˚ uzných typech kombinovaného zajiˇstˇen´ı se lze doˇc´ıst napˇr. v [9, str. 219] nebo [11, str. 59].

11

3 Modely oceˇnován´ı opc´ı V pˇredchoz´ı kapitole jsme se struˇcnˇe seznámili s opcemi, jejich vlastnostmi, rozdˇelen´ım a základn´ımi zp˚ usoby obchodován´ı. Dalˇs´ım d˚ uleˇzitým faktorem pro obchodován´ı s opcemi je urˇcen´ı jejich ceny. Jelikoˇz kaˇzdá opce je ned´ılnˇe spojena s podkladovým aktivem, bude na nˇem záviset i jej´ı cena. Pˇredevˇs´ım na jeho cenˇe a volatilitˇe. Dalˇs´ımi faktory, které ovlivˇ nuj´ı cenu opce jsou doba do expirace, realizaˇcn´ı cena, bezriziková u ´roková m´ıra a pˇr´ıpadné dividendy, které akcie vyplác´ı. Nyn´ı se na stanoven´ı ceny opce zamˇeˇr´ıme podrobnˇeji a seznám´ıme se se základn´ımi postupy a modely oceˇ nován´ı akciových opc´ı.

3.1

Cena opce

Cenou opce se rozum´ı opˇcn´ı prémie, tedy ˇcástka, kterou za opci plat´ı kupuj´ıc´ı prodávaj´ıc´ımu. Lze ji rozdˇelit na dvˇe ˇcásti – vnitˇrn´ı hodnotu a ˇcasovou hodnotu.

3.1.1

Vnitˇ rn´ı hodnota

Vnitˇrn´ı hodnota opce (intrinsic value) je rozd´ıl mezi cenou podkladového aktiva a realizaˇcn´ı cenou. Pokud je tento rozd´ıl kladný, opce je tzv. v penˇez´ıch“ ” a vlastn´ık opce jej´ım uplatnˇen´ım dosáhne zisku. Pokud je cena podkladového aktiva stejná, jako realizaˇcn´ı cena, opce je tzv. na penˇez´ıch.“ V tomto pˇr´ı” padˇe nezáleˇz´ı na tom, zda vlastn´ık opci uplatn´ı, ˇci nikoliv. V pˇr´ıpadˇe, kdy rozd´ıl mezi cenou podkladového aktiva a realizaˇcn´ı cenou je záporný, opce je tzv. mimo pen´ıze“ a vlastn´ık by uplatnˇen´ım opce utrpˇel ztrátu. Opci tedy ” neuplatn´ı a jeho ztráta bude pouze opˇcn´ı prémie, kterou za opci zaplatil. Vnitˇrn´ı hodnota opce je tedy nulová. Nejvýraznˇejˇs´ı vliv na vnitˇrn´ı hodnotu opce má cena podkladového aktiva. Jej´ı zmˇena m˚ uˇze rozhodnout o uplatnˇen´ı ˇci neuplatnˇen´ı opce a od toho je odvozena i jej´ı cena. Také realizaˇcn´ı cena m˚ uˇze ovlivnit vnitˇrn´ı hodnotu opce. 12

Modely oceˇ nován´ı opc´ı

Meze call a put opce v okamˇziku t

Pˇredevˇs´ım záleˇz´ı na jej´ı volbˇe vzhledem k aktuáln´ı cenˇe podkladového aktiva. Nen´ı vhodné volit tyto dvˇe hodnoty pˇr´ıliˇs vzdálené od sebe. V takovém pˇr´ıpadˇe bude opce bud’ velice drahá, nebo bezcenná.

3.1.2

ˇ Casov´ a hodnota

Cena opce je vˇzdy vyˇsˇs´ı, neˇz jej´ı vnitˇrn´ı hodnota. Rozd´ıl v cenˇe je zp˚ usoben dodateˇcným rizikem, které prodávaj´ıc´ı podstupuje. Tento rozd´ıl se nazývá ˇcasová hodnota opce (time value). Je to ˇcástka, kterou kupuj´ıc´ı plat´ı nav´ıc k vnitˇrn´ı hodnotˇe opce. Tato hodnota je ovlivnˇena mnoha faktory. Mezi základn´ı z nich patˇr´ı: • doba do expirace, • volatilita podkladového aktiva, • bezriziková u ´roková m´ıra, • dividendy. ˇ ım delˇs´ı je doba do expirace, t´ım vˇetˇs´ı je ˇsance, ˇze se cena podkladového C´ aktiva zmˇen´ı natolik, ˇze nevýhodná opce, která by uplatnˇena nebyla, se stane výhodnou nebo naopak. Opce, které vyprˇs´ı za dlouhou dobu jsou tedy draˇzˇs´ı. Obdobný vztah plat´ı pro volatilitu podkladového aktiva. Také výplata dividend navyˇsuje cenu opce, jelikoˇz dividenda vyplacená v pr˚ ubˇehu platnosti opce pˇrináˇs´ı vlastn´ıkovi dodateˇcný zisk. V dobˇe expirace je ˇcasová hodnota opce nulová a cena opce závis´ı jen na vnitˇrn´ı hodnotˇe.

3.2

Meze call a put opce v okamˇ ziku t

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, cena opce v dobˇe expirace je pouze jej´ı vnitˇrn´ı hodnota, jelikoˇz ˇcasová hodnota je nulová. Vnitˇrn´ı hodnota opce je rozd´ıl mezi realizaˇcn´ı cenou a cenou akcie, pokud opce bude uplatnˇena (je v penˇez´ıch“), ” 13



nebo nula, pokud opce uplatnˇena nebude (je mimo pen´ıze“). Pˇredpoklá” dáme, ˇze akcie nevyplác´ı dividendy a jedná se o evropskou opci. Struˇcnˇe lze cenu Call (Ct ) a Put (Pt ) opce v dobˇe expirace zapsat jako Ct = max (0, St − RC),

(3.1)

Pt = max (0, RC − St ).

(3.2)

Hodnoty opc´ı pˇred vyprˇsen´ım jiˇz výˇse uvedené rovnice splˇ novat nemus´ı. Pokus´ıme se moˇzné ceny opc´ı alespoˇ n omezit na urˇcitou oblast.

3.2.1

Horn´ı meze

Pro call opci plat´ı, ˇze m˚ uˇze slouˇzit k poˇr´ızen´ı podkladového aktiva. Jej´ı cena proto nem˚ uˇze být vyˇsˇs´ı, neˇz jeho aktuáln´ı cena, jinak by existovala arbitráˇz1 , tedy C t ≤ St . (3.3) Put opce m˚ uˇze v dobˇe expirace slouˇzit k prodeji akcie za realizaˇcn´ı cenu. V dobˇe pˇred expirac´ı nesm´ı proto být vyˇsˇs´ı, neˇz souˇcasná hodnota realizaˇcn´ı ceny, neboli Pt ≤ RC · e−rT (3.4)

3.2.2

Doln´ı mez call opce

Pro urˇcen´ı doln´ı meze call opce v ˇcase t vyjdeme z následuj´ıc´ıch dvou investiˇcn´ıch strategi´ı: Strategie A: V ˇcase t vlastn´ıme evropskou call opci a finanˇcn´ı hotovost ve výˇsi RC · e−rT . Strategie B: V ˇcase t vlastn´ıme jednu akcii. 1

Arbitráˇz znamen´ a vyuˇzit´ı cenov´ ych rozd´ıl˚ u k dosaˇzen´ı bezrizikového zisku.

14



Nyn´ı srovnáme hodnoty obou strategi´ı v dobˇe expirace opce, T . Pˇri strategii A uloˇz´ıme finanˇcn´ı hotovost za bezrizikovou u ´rokovou m´ıru r a v ˇcase T z´ıskáme hotovost ve výˇsi RC. Pokud plat´ı, ˇze ST > RC, pak opci uplatn´ıme a za RC zakoup´ıme akcie v hodnotˇe ST . Jestliˇze ST < RC, pak opce vyprˇs´ı neuplatnˇena a z˚ ustala nám finanˇcn´ı hotovost ve výˇsi RC. Hodnota portfolia pˇri strategii A v ˇcase T je potom max (ST , RC). Pˇri strategii B jsme v ˇcase T drˇziteli akcie. Hodnota portfolia je tedy pouze jej´ı aktuáln´ı cena, tedy ST . Lze pozorovat, ˇze hodnota portfolia A v ˇcase T je vˇzdy nejménˇe taková, jako hodnota portfolia B. Pˇri absenci arbitráˇze mus´ı totéˇz platit i v dˇr´ıvˇejˇs´ım ˇcase t, proto Ct ≥ St − RC · e−rT . (3.5) Zároveˇ n je zˇrejmé, ˇze cena opce nem˚ uˇze být záporná, tedy Ct > 0.

3.2.3

Doln´ı mez put opce

Pˇri urˇcen´ı doln´ı meze put opce opˇet zváˇz´ıme dvˇe r˚ uzné strategie investován´ı: Strategie C: V ˇcase t vlastn´ıme evropskou put opci a jednu akcii. Strategie D: V ˇcase t vlastn´ıme finanˇcn´ı hotovost ve výˇsi RC · e−rT . Pokud v ˇcase T plat´ı, ˇze ST < RC, pak opci uplatn´ıme a akcii prodáme za RC. Pokud plat´ı, ˇze ST > RC, opce vyprˇs´ı neuplatnˇena a hodnota portfolia pˇri strategii C je hodnota vlastnˇené akcie, tedy ST . Portfolio má pak v ˇcase T hodnotu max (ST , RC). Pˇri strategii D uloˇz´ıme finanˇcn´ı prostˇredky za bezrizikovou u ´rokovou m´ıru r a v ˇcase T máme finanˇcn´ı hotovost ve výˇsi RC, coˇz je hodnota portfolia pˇri strategii D. 15


Put-call parita

Opˇet plat´ı, ˇze hodnota portfolia C v ˇcase T je alespoˇ n taková jako hodnota portfolia D. Pˇri absenci arbitráˇze pak mus´ı totéˇz platit i v dˇr´ıvˇejˇs´ım ˇcase t, neboli Pt ≥ RC · e−rT − St . (3.6) Ani v pˇr´ıpadˇe put opce nesm´ı jej´ı cena být záporná, tedy Pt > 0.

3.3

Put-call parita

S vyuˇzit´ım pˇredchoz´ıch poznatk˚ u nyn´ı odvod´ıme vztah mezi cenou evropské put a call opce. Zváˇz´ıme dvˇe r˚ uzné výˇse uvedené investiˇcn´ı strategie: Strategie A: V ˇcase t vlastn´ıme evropskou call opci a finanˇcn´ı hotovost ve výˇsi RC · e−rT . Strategie C: V ˇcase t vlastn´ıme evropskou put opci a jednu akcii. Jak bylo ukázáno výˇse, hodnota obou portfoli´ı v ˇcase T je shodnˇe max(ST , RC). Jelikoˇz se jedná o evropskou opci, jejich hodnota v ˇcase t mus´ı být také stejná, plat´ı tedy Ct + RC · e−rT = Pt + St . (3.7) Tento vztah se nazývá put-call parita. Podle nˇej lze za pˇredpokladu shodné realizaˇcn´ı ceny a doby expirace z ceny evropské put opce odvodit cenu evropské call opce a naopak.

3.4

Americk´ e opce

Doposud jsme se zabývali oceˇ nován´ım evropských opc´ı. Pˇri ocenˇen´ı amerických opc´ı je potˇreba zanést do výpoˇctu a ocenit moˇznost pˇredˇcasného uplatnˇen´ı opce.

16


Americké opce

Call opce Pˇredˇcasné uplatnˇen´ı call opce pˇrinese investorovi zisk ve výˇsi St − RC. Z rovnice 3.5 ovˇsem vyplývá, ˇze mus´ı platit Ct ≥ St − RC. Hodnota opce je vyˇsˇs´ı, neˇz pˇr´ıpadný zisk z jej´ıho uplatnˇen´ı. Je proto výhodnˇejˇs´ı ji prodat a neuplatnit. Pˇredˇcasné uplatnˇen´ı opce je tedy zbyteˇcné a proto plat´ı, ˇze CtA = CtE , tedy ˇze ocenˇen´ı evropské a americké call opce je shodné.

Put opce Pˇri pˇredˇcasném uplatnˇen´ı put opce a uloˇzen´ı z´ıskaných prostˇredk˚ u lze za urˇcitých okolnost´ı dosáhnout vyˇsˇs´ıho zisku, neˇz ˇcekán´ım do doby expirace opce. Proto mus´ı cena americké put opce být vyˇsˇs´ı, neˇz cena evropské put opce, neboli PtA ≥ PtE . Ostatn´ı horn´ı a doln´ı omezen´ı z˚ ustávaj´ı platná.

17

4 Binomický model oceˇnován´ı opc´ı V pˇredchoz´ı kapitole jsme urˇcili horn´ı a doln´ı meze pro ocenˇen´ı opc´ı. Také jsme ukázali, jak pˇri znalosti ceny evropské call opce urˇcit cenu evropské put opce a naopak. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na urˇcen´ı ceny opce v závislosti na charakteristikách podkladového aktiva, pˇredevˇs´ım jeho cenˇe. Pˇr´ıklady a postupy pˇri konstrukci stromu jsou volnˇe pˇrevzaty z knihy Derivatives Markets [12] a diplomové práce p. Kˇresiny [10]. Jedn´ım z nejjednoduˇsˇs´ıch model˚ u pouˇz´ıvaných pro oceˇ nován´ı opc´ı je binomický model (nˇekdy také nazývaný Cox-Ross-Rubinstein˚ uv model podle 1 svých objevitel˚ u ). Jednoduchost modelu je závislá na mnoˇzstv´ı pˇredpoklad˚ u o chován´ı trh˚ u a akci´ı, které jsou oproti realitˇe velmi zjednoduˇsené. I tak ale model poskytuje pomˇernˇe pˇresné výsledky s vyuˇzit´ım jednoduˇsˇs´ıch postup˚ u, neˇz komplikovanˇejˇs´ı (a pˇresnˇejˇs´ı) modely. Pˇredpoklady binomického modelu tedy jsou: • neuvaˇzujeme transakˇcn´ı náklady, danˇe a poplatky, • nákup a prodej cenných pap´ır˚ u nen´ı nijak omezován, • existuje jednotná bezriziková u ´roková m´ıra, • akcie nevyplác´ı dividendu, • neexistuje moˇznost arbitráˇze, • akcie je neomezenˇe dˇelitelná, • neprob´ıhaj´ı platby za právo k odbˇeru akci´ı, • je povolen prodej nakrátko, • ceny akcie se vyv´ıjej´ı diskrétnˇe. 1

John C. Cox, Stephen A. Ross a Mark Rubinstein publikovali v roce 1979 ˇclánek Option Pricing: A Simplified Approach [8] v ˇcasopise Journal of Financial Economics 7, ve kterém binomick´ y model oceˇ nován´ı opc´ı poprvé pˇredstavili.

18

Binomický model oceˇ nován´ı opc´ı

Binomický model pro jedno obdob´ı

Binomický model pˇredpokládá, ˇze v daném obdob´ı m˚ uˇze cena akcie pouze vzr˚ ust nebo poklesnout o urˇcité procento, neboli, ˇze se ˇr´ıd´ı binomickým rozdˇelen´ım (odtud pojmenován´ı modelu). Odvozen´ı ceny opce v závislosti na parametrech podkladové akcie si nejprve ukáˇzeme na jednoduchém modelu pro jedno obdob´ı (také nazývaný jednoperiodický).

4.1

Binomick´ y model pro jedno obdob´ı

Pˇredpokládáme, ˇze vlastn´ıme evropskou call opci a do expirace zbývá pouze jedno obdob´ı (jsme tedy v obdob´ı T − 1). Cena akcie v ˇcase T − 1 je S. Podle pˇredpokladu modelu plat´ı, ˇze akcie m˚ uˇze v ˇcase T pouze vzr˚ ust nebo klesnout. Jej´ı hodnota v ˇcase T bude tedy uS (v pˇr´ıpadˇe r˚ ustu) nebo dS (v pˇr´ıpadˇe poklesu). Hodnota u − 1 urˇcuje m´ıru r˚ ustu a promˇenná 1 − d m´ıru poklesu. Dále pˇredpokládejme, ˇze akcie vzroste s pravdˇepodobnost´ı q a klesne s pravdˇepodobnost´ı 1 − q, jelikoˇz jiná alternativa, neˇz r˚ ust nebo pokles, nen´ı pˇr´ıpustná. q

uS

q

Cu

1−q

Cd

C

S 1−q

dS

Obrázek 4.1: Binomický strom pro jedno obdob´ı pro cenu akcie (S) a cenu opce (C) V ˇcase T platnost opce vyprˇs´ı a jej´ı cenu lze tedy jednoznaˇcnˇe urˇcit. Pro ceny call opc´ı v dobˇe expirace plat´ı, ˇze Cu = max (0, uS − RC),

(4.1)

Cd = max (0, dS − RC).

(4.2)

Zbývá pouze urˇcit cenu opce v obdob´ı T −1. Abychom tuto cenu mohli urˇcit, pokus´ıme se napodobit call opci vyuˇzit´ım jiných prostˇredk˚ u – akci´ı a investic. C´ılem je naj´ıt takové portfolio sloˇzené z akci´ı a investic, jehoˇz výnos kop´ıruje výnos call opce. 19


Binomický model pro jedno obdob´ı

ˇ ast Pˇredpokládejme, ˇze v ˇcase T − 1 zakoup´ıme h akci´ı (jejichˇz cena je S). C´ potˇrebných prostˇredk˚ u B si vyp˚ ujˇc´ıme (za bezrizikovou u ´rokovou m´ıru r) a zbytek dodáme z vlastn´ıho. Pokus´ıme se urˇcit neznámé promˇenné h a B tak, aby hodnota portfolia v ˇcase T odpov´ıdala hodnotˇe call opce v ˇcase T , neboli z´ıskáme soustavu rovnic uS · h + B(1 + r) = Cu ,

(4.3)

dS · h + B(1 + r) = Cd .

(4.4)

ˇ sen´ım soustavy z´ıskáme hodnoty promˇenných, které jsou Reˇ h= B=

Cu − Cd , uS − dS

Cd uS − Cu dS . (uS − dS)(1 + r)

(4.5) (4.6)

Takto sloˇzené portfolio pˇrináˇs´ı v ˇcase T stejný výnos, jako call opce. Jejich cena v ˇcase T − 1 mus´ı být proto také shodná. Plat´ı tedy C = hS + B.

(4.7)

Po dosazen´ı a u ´pravˇe z´ıskáme cenu opce ve tvaru C = p1

Cd Cu + p2 , 1+r 1+r

(4.8)

pˇriˇcemˇz plat´ı, ˇze u − (1 + r) = 1 − p, u−d (1 + r) − d = p. p2 = u−d

p1 =

Lze pozorovat, ˇze hodnoty p1 a p2 jsou obˇe nezáporné a jejich souˇcet je roven jedné. Splˇ nuj´ı tedy podm´ınky pravdˇepodobnosti a rovnici 4.8 lze proto chápat jako pravdˇepodobnostn´ı a psát ji ve tvaru C=

pCd + (1 − p)Cu . 1+r 20

(4.9)


Binomický model pro dvˇe obdob´ı

Promˇennou p nazveme rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnost r˚ ustu ceny akcie. Nen´ı tedy shodná s dˇr´ıve zmiˇ novanou pravdˇepodobnost´ı r˚ ustu q. Jelikoˇz uvaˇzujeme spojité u ´roˇcen´ı, budeme nadále pouˇz´ıvat pro hodnotu p rovnici T

er n − d p= . u−d

4.2

(4.10)

Binomick´ y model pro dvˇ e obdob´ı

Nyn´ı do modelu z pˇredchoz´ı ˇcásti pˇridáme dalˇs´ı obdob´ı. Nacház´ıme se tedy v ˇcase T − 2, ve kterém chceme urˇcit cenu opce, pokud je cena akcie S. Platnost opce vyprˇs´ı v ˇcase T a bˇehem této doby dojde právˇe ke dvˇema pohyb˚ um ceny akcie. Celkem tedy máme 3 moˇzné koncové stavy, jak ukazuje obrázek 4.2. uuS uS udS

S dS

ddS Obrázek 4.2: Binomický strom pro 2 obdob´ı pro cenu akcie (S) Pro jednoduchost pˇredpokládáme, ˇze plat´ı ud = 1, aby se jednotlivé uzly stromu setkávaly. Pravdˇepodobnosti r˚ ustu a poklesu ceny akcie z˚ ustávaj´ı stejné, tedy q a 1 − q. V pˇredchoz´ı ˇcásti jsme ukázali, jak spoˇc´ıtat cenu opce pro jedno obdob´ı pˇri znalosti dvou moˇzných budouc´ıch stav˚ u (rovnice 4.9). Stejnˇe budeme postupovat i v pˇr´ıpadˇe dvou obdob´ı. Nejprve spoˇcteme ceny opce v ˇcase T − 1. Z´ıskáme tak ceny Cu a Cd , které jsou

21


Binomický model pro n obdob´ı

p1 Cuu + (1 − p1 )Cud , (4.11) 1+r p1 Cud + (1 − p1 )Cdd . (4.12) Cd = 1+r Poté opˇet aplikujeme rovnici 4.9 a spoˇcteme cenu akcie v ˇcase T , pro kterou plat´ı Cu =

C=

p2 Cuu + 2p1 (1 − p1 )Cud + (1 − p1 )2 Cdd p1 Cu + (1 − p1 )Cd = 1 . (4.13) 1+r (1 + r 2 )

4.3

Binomick´ y model pro n obdob´ı

Obdobnˇe lze postupovat i pˇri výpoˇctu pro v´ıce obdob´ı. Nejvˇetˇs´ım nedostatkem modelu pro jedno ˇci dvˇe obdob´ı je omezený poˇcet moˇzných cen akcie v dobˇe expirace (dvˇe, resp. tˇri). Tento nedostatek lze odstranit rozˇs´ıˇren´ım poˇctu obdob´ı, nebot’ plat´ı, ˇze pro n obdob´ı existuje v dobˇe expirace n + 1 moˇzných cen akci´ı. Rovnice 4.13 pak pro n obdob´ı nabývá tvaru ) ( n X n (4.14) pj (1 − p)n−j Cuj dn−j · (1 + r)−n , C= j j=0 kde Cuj dn−j oznaˇcuje cenu opce v dobˇe expirace pro j vzestup˚ u a n−j pokles˚ u. Dosazen´ım lze ovˇeˇrit, ˇze uvedená rovnice odpov´ıdá rovnic´ım pro jedno a dvˇe obdob´ı. Oznaˇc´ıme-li l minimáln´ı poˇcet vzestup˚ u, kdy opce jeˇstˇe bude v penˇez´ıch (tedy uplatnˇena), pak plat´ı, ˇze pro vˇsechna j < l bude Cuj dn−j = 0 a pro j ≥ l uˇzeme upravit do tvaru plat´ı Cuj dn−j = uj dn−j S − RC. Rovnici 4.14 poté m˚ ) ) ( n ( n X n X n pj (1 − p)n−j · (1 + r)−n , pˆj (1 − pˆ)n−j − RC C=S j j j=l j=l

(4.15)

pˇriˇcemˇz pˆ =

u · p. 1+r 22

(4.16)


Binomický model pro n obdob´ı

Za promˇenné u a d dosad´ıme z podm´ınky konvergence k Black-Scholesovu modelu [11, str. 160] hodnoty podle vzorce √T u = eσ n , 1 , u kde T znaˇc´ı dobu do expirace v roc´ıch a σ pˇredstavuje volatilitu aktiva. d=

Put opce V pˇredchoz´ı ˇcásti jsme urˇcili vzorec pro výpoˇcet ceny evropské call opce v závislosti na cenˇe akcie. Pˇri odvozen´ı ceny evropské put opce lze postupovat totoˇzným zp˚ usobem, pouze uprav´ıme rovnice 4.1 a 4.2 pro put opci do tvaru Pu = max (0, RC − uS),

(4.17)

Pd = max (0, RC − dS).

(4.18)

Výsledná obecná rovnice pro n obdob´ı pak nabývá tvaru ) ( n X n pj (1 − p)n−j Puj dn−j · (1 + r)−n . P = j j=0

(4.19)

Americk´ e opce Prozat´ım jsme se zabývali ocenˇen´ım pouze evropských opc´ı. Pˇri oceˇ nován´ı amerických opc´ı lze postupovat obdobným zp˚ usobem, pouze v urˇcitých pˇr´ıpadech jsou nutné drobné u ´pravy výpoˇctu. Pro americkou call opci podle put-call parity (viz kapitola 3.3) plat´ı, ˇze jej´ı cena je stejná, jako cena evropské call opce. Stejný výpoˇcet, jako byl výˇse uveden pro evropskou call opci, m˚ uˇze proto být pouˇzit i pro americkou call opci. Cena americké put opce m˚ uˇze v urˇcitých pˇr´ıpadech být vyˇsˇs´ı, neˇz cena evropské put opce. Cenu evropské put opce v kaˇzdém uzlu stromu jsme urˇcili 23


Binomický model s výplatou dividend

výˇse. Jelikoˇz americkou put opci je moˇzno pˇredˇcasnˇe uplatnit, je potˇreba porovnávat spoˇctené hodnoty evropských put opc´ı s vnitˇrn´ı hodnotou americké put opce, která je RC − St . Oznaˇc´ıme-li vzorec 4.19 jako PE , pak pro cenu americké put opce v kaˇzdém uzlu plat´ı vzorec PA = max (RC − St , PE ).

4.4

Binomick´ y model s v´ yplatou dividend

Seznámili jsme se s jednoduchým binomickým modelem pro oceˇ nován´ı opc´ı i jeho modifikacemi pro americké opce. Jedn´ım z pˇredpoklad˚ u modelu bylo, ˇze akcie nevyplác´ı dividendu. D˚ uvodem tohoto pˇredpokladu je zjednoduˇsen´ı modelu, který je v pˇr´ıpade akci´ı s výplatou dividend sloˇzitˇejˇs´ı. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na rozˇs´ıˇren´ı modelu o výplatu dividend a ukáˇzeme si, jak oceˇ novat opce, pokud jejich podkladová akcie vyplác´ı dividendu. Výplatu dividend lze realizovat tˇremi zp˚ usoby. M˚ uˇze se jednat o spojitou dividendu, procentuáln´ı dividendu v pˇresnˇe daný ˇcas nebo pevnˇe danou dividendu v pevnˇe daný ˇcas. V této práci se zamˇeˇr´ıme právˇe na posledn´ı pˇr´ıpad, který je u vˇetˇsiny akci´ı nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı.

4.4.1

Binomick´ y strom s v´ yplatou dividend

Nejprve sestroj´ıme binomický strom cen akci´ı, z nˇejˇz následnˇe urˇcujeme cenu opce. Pˇredpokládejme, ˇze mezi obdob´ımi t a t + 1 dojde u akcie k výplatˇe dividendy ve výˇsi D, coˇz ovlivn´ı cenu akcie, která v obdob´ı t + 1 klesne o D. Pokus´ıme-li se sestrojit binomický strom stejnˇe jako pro akcie bez výplaty, nastane problém, jelikoˇz jednotlivé uzly stromu se jiˇz nebudou setkávat. To je zp˚ usobeno t´ım, ˇze v pˇr´ıpadˇe dvou obdob´ı obecnˇe neplat´ı, ˇze (uS − D) · d = (dS − D) · u (viz obrázek 4.3). Zat´ımco u pˇredchoz´ıho stromu byl poˇcet uzl˚ u v kaˇzdém obdob´ı o 1 vyˇsˇs´ı, neˇz v obdob´ı pˇredcházej´ıc´ım, u tohoto stromu se poˇcet uzl˚ u s kaˇzdým obdob´ım zdvojnásobuje, coˇz i pˇri malém poˇctu uzl˚ u vytváˇr´ı obrovské stromy u nichˇz ˇ sen´ı tohoto problému, nelze v rozumném ˇcase provádˇet potˇrebné výpoˇcty. Reˇ 24


Binomický model s výplatou dividend

(uS − D) · u uS − D (uS − D) · d S (dS − D) · u dS − D (dS − D) · d Obrázek 4.3: Binomický strom pro 2 obdob´ı pro cenu akcie s výplatou dividendy pˇred prvn´ım obdob´ım které si nyn´ı pop´ıˇseme, navrhl v roce 1988 Mark Schroder v ˇclánku v ˇcasopise Financial Analysts Journal [14]. Pˇredpokládejme, ˇze výˇse a data výplat jednotlivých dividend vyplácených v pr˚ ubˇehu ˇzivotnosti opce jsou pˇredem známy. D´ıky tomu m˚ uˇzeme cenu akcie rozdˇelit na dvˇe sloˇzky. Jedna sloˇzka bude souˇcasná hodnota vˇsech dividend, jejichˇz výˇse je známa. Volatilita této sloˇzky je tedy nulová a vˇsechna se soustˇred´ı na druhou sloˇzku – souˇcasnou hodnotu ceny akcie po výplatˇe vˇsech dividend. Pro tuto ˇcást ceny akcie sestroj´ıme binomický strom jako v pˇr´ıpadˇe modelu bez dividend. Hodnoty promˇenných u, d a p lze ponechat stejné. Takto vytvoˇrený strom se chová stejnˇe, jako strom v modelu bez dividend, pˇredevˇs´ım se opˇet uzly potkávaj´ı a nár˚ ust jejich poˇctu je pouze lineárn´ı, nikoliv exponenciáln´ı. Následnˇe v kaˇzdém obdob´ı pˇriˇcteme k aktuáln´ı cenˇe rizikové ˇcásti ceny akcie souˇcasnou hodnotu vˇsech dividend, které jeˇstˇe nebyly vyplaceny. T´ım z´ıskáme upravený strom ceny akcie. Z takto modifikovaného stromu jiˇz m˚ uˇzeme postupem pouˇzitým v modelu bez dividend urˇcit ceny opce. Nesm´ıme vˇsak zapomenout nahradit p˚ uvodn´ı ceny akci´ı novými, vygenerovanými upraveným stromem.

25

5 Bezriziková u´ roková m´ıra Pˇri sestavován´ı vzorce pro ocenˇen´ı opce pouˇzit´ım binomického modelu jsme narazili na promˇennou r, která reprezentuje bezrizikovou u ´rokovou m´ıru. V této kapitole se na ni bl´ıˇze zamˇeˇr´ıme a seznám´ıme se s nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı metodou jej´ıho odhadu. Bezriziková u ´roková m´ıra pˇredstavuje u ´rok z drˇzen´ı bezrizikového aktiva. Jedná se o formu jistého výnosu, který investor oˇcekává návratem za investici do aktiva bez rizika. Jde pouze o teoretickou hodnotu, jelikoˇz prakticky vˇsechna aktiva na trhu jsou v´ıce ˇci ménˇe riziková. Lze ji také interpretovat jako urˇcitou minimáln´ı hodnotu u ´rokové m´ıry, jelikoˇz s rostouc´ım rizikem se oˇcekává, ˇze poroste i výnos, tedy u ´roková m´ıra. Veˇskeré metody zjiˇst’ován´ı bezrizikové u ´rokové m´ıry jsou pouze odhadem jej´ı skuteˇcné (neznámé) hodnoty.

5.1

Dluhopisy

V souˇcasnosti se nejˇcastˇeji pro odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry vyuˇz´ıvaj´ı státn´ı dluhopisy, které donedávna byly povaˇzovány za prakticky bezrizikové. V souˇcasnosti se ovˇsem ukazuje, ˇze ani státn´ı dluhopisy nemus´ı vˇzdy být u ´plnˇe bez rizika (napˇr´ıklad nˇekteré evropské zemˇe). Jelikoˇz se ale stále jedná o jednu z nejpˇresnˇejˇs´ıch metod odhadu, pouˇz´ıvá se i nadále. Je potˇreba vhodnˇe zvolit zemi, která dluhopisy vydává a pouˇz´ıvat pouze domác´ı dluhopisy. V pˇr´ıpadˇe zahraniˇcn´ıch dluhopis˚ u vzniká dodateˇcné riziko zp˚ usobené mˇenovými kurzy. V této práci se zamˇeˇr´ıme na trh s dluhopisy v USA.

5.2

Treasury Bills

Treasury Bills (T-Bills) jsou americké dluhopisy vydávané americkým ministerstvem financ´ı (U.S. Department of the Treasury). Jejich doba expirace je 26

Bezriziková u ´roková m´ıra

Treasury Bonds

nejvýˇse 1 rok a jsou vydávány na obdob´ı 4, 13, 26 nebo 52 týdn˚ u. Dluhopisy jsou draˇzeny kaˇzdý týden prostˇrednictv´ım aukce. Minimáln´ı ˇcástka, kterou je nutno zaplatit je $100 s pˇr´ır˚ ustky po $100 aˇz do maximáln´ı výˇse $5 milion˚ u, pokud je pouze jediný zájemce. T-Bills jsou prodávány za cenu niˇzˇs´ı, neˇz je jejich nomináln´ı hodnota. Výsledný zisk (´ urok) je poté urˇcen rozd´ılem mezi nomináln´ı cenou a prodejn´ı cenou. Tyto dluhopisy nevyplác´ı ˇzádné kupóny, jsou bezkupónové (zerocoupon).

5.3

Treasury Bonds

Treasury Bonds se od T-Bills odliˇsuj´ı dobou expirace, která je standardnˇe 2, 3, 5, 10 nebo 30 let. Tyto dluhopisy vyplác´ı u ´rok prostˇrednictv´ım kupón˚ u. Výplata prob´ıhá kaˇzdého p˚ ul roku. Na rozd´ıl od T-Bills je tedy u ´roková m´ıra pˇredem jasnˇe dána. Pˇri znalosti výnosu jednotlivých dluhopis˚ u lze sestavit tzv. výnosovou kˇrivku, která udává závislost výnosu z dluhopisu na jeho dobˇe splatnosti. Na obrázku 5.1 je zobrazena výnosová kˇrivka amerických dluhopis˚ u k datu 18. prosince 2012. Zdrojem informac´ı je americké ministerstvo financ´ı (U.S. Department of the Treasury) [7].

5.4

Odhad bezrizikov´ eu ´ rokov´ e m´ıry

K odhadu pro náˇs model pouˇzijeme výnosy T-Bills [6], které pˇrepoˇcteme na pˇr´ısluˇsný poˇcet obdob´ı u kaˇzdé opce. V tabulce 5.1 je k dispozici pˇrehled výnos˚ u jednotlivých T-Bills pro vybraná data, ke kterým budeme oceˇ novat opce. Aby bezriziková u ´roková m´ıra odhadnutá z výnosu dluhopis˚ u byla skuteˇcnˇe bezriziková, je potˇreba zajistit dluhopis proti riziku. V tomto ohledu jsou pro dluhopis hlavn´ımi riziko cenové a reinvestiˇcn´ı. 27


Odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry

Obrázek 5.1: Výnosová kˇrivka amerických dluhopis˚ u

Datum 18. 12. 2012 18. 1. 2013 11. 4. 2013 18. 12. 2012

4 t´ ydny 0.04 % 0.04 % 0.06 % 0.05 %

13 t´ ydn˚ u 26 t´ ydn˚ u 52 t´ ydn˚ u 0.06 % 0.12 % 0.16 % 0.08 % 0.10 % 0.14 % 0.07 % 0.10 % 0.12 % 0.06 % 0.09 % 0.12 %

Tabulka 5.1: Výnosy T-Bills podle doby do splatnosti pro vybraná data

Cenové riziko je rizikem poklesu hodnoty dluhopisu pˇred dobou jeho splatnosti. Máme-li dluhopis s dobou splatnosti delˇs´ı, neˇz doba, na kterou zjiˇst’ujeme bezrizikovou u ´rokovou m´ıru, hodnota dluhopisu v dobˇe konce investice (expirace opce) nemus´ı odpov´ıdat jeho hodnotˇe v dobˇe splatnosti kv˚ uli pohyb˚ um ceny na trhu. Toto riziko lze eliminovat pouˇzit´ım dluhopisu s dobou splatnosti co nejbliˇzˇs´ı konci investice. Pokud dluhopis vyplác´ı u ´rok prostˇrednictv´ım kupón˚ u, pro urˇcen´ı bezrizikové u ´rokové m´ıry je potˇreba tyto kupóny okamˇzitˇe reinvestovat za stejnou u ´rokovou m´ıru, jako v dobˇe poˇr´ızen´ı dluhopisu. Reinvestiˇcn´ı riziko je rizikem, ˇze taková u ´roková m´ıra nebude v dobˇe výplaty kupóny na trhu k dispozici.

28


Odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry

Pro odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry je tedy potˇreba pouˇz´ıvat bezkupónové dluhopisy a t´ım toto riziko eliminovat.

29

6 Realizace modelu v prostˇred´ı Microsoft Excel Doposud jsme se zabývali vlastnostmi opc´ı a popsali jsme konstrukci binomického modelu jejich oceˇ nován´ı. V následuj´ıc´ı ˇcásti se budeme vˇenovat popisu modelu vytvoˇreného v programu Microsoft Excel 2010, který vyuˇz´ıvá binomický model k ocenˇen´ı akciových opc´ı. Seznám´ıme se s ovládán´ım modelu a strukturou jeho výsledk˚ u. Obrazovku programu Microsoft Excel rozdˇel´ıme na tˇri ˇcásti – zadán´ı vstupn´ıch parametr˚ u, volbu nastaven´ı modelu a výsledky ocenˇen´ı. Popisovaný model se nacház´ı v pˇriloˇzeném Excel souboru (pˇr´ıloha A.1) na Listu Model.

6.1

Vstupn´ı parametry

Na obrázku 6.1 si m˚ uˇzeme prohlédnout tabulku, která obsahuje základn´ı paˇ rametry modelu. Sedˇe podbarvené poloˇzky je potˇreba manuálnˇe zadat (pˇr´ıpadnˇe odhadnout nebo vypoˇc´ıtat z podkladové akcie). Ostatn´ı parametry se následnˇe automaticky dopoˇc´ıtaj´ı. Pˇri volbˇe výpoˇctu pomoc´ı Excelu jsou vˇsechny parametry ve výsledném výpoˇctu uloˇzeny jako odkazy ve vzorc´ıch. Jakákoliv zmˇena parametr˚ u se tedy ihned projev´ı ve výsledném ocenˇen´ı opce. Pouze pˇri zmˇenˇe poˇctu obdob´ı je potˇreba provést výpoˇcet znovu, jelikoˇz se zmˇen´ı rozmˇery stromu.

Obrázek 6.1: Zadán´ı vstupn´ıch parametr˚ u modelu

30

Realizace modelu v prostˇred´ı Microsoft Excel

Nastaven´ı modelu

Pro u ´plnost si jednotlivé parametry struˇcnˇe pop´ıˇseme. • S: Aktuáln´ı cena akcie na trhu v den výpoˇctu. • RC: Realizaˇcn´ı cena sjednaná pˇri uzavˇren´ı opce. • σ: Historická volatilita akcie. Pro odhad je pouˇzita smˇerodatná odchylka roˇcn´ıch logaritmických výnos˚ u. • T : Doba do expirace opce v roc´ıch. Pro poˇcet dn´ı v roce je pouˇzita hodnota 360 dn´ı. • n: Poˇcet obdob´ı. Na základˇe volby uˇzivatele je nastaven bud’ jako poˇcet dn´ı do expirace, nebo dvojnásobek poˇctu dn´ı do expirace. • u: M´ıra r˚ ustu ceny akcie v binomickém stromu cen akci´ı. Tato hodnota je urˇcena z podm´ınky konvergence k Black-Scholesovu modelu [11, str. 160] podle vzorce √T eσ n . • d: M´ıra poklesu ceny akcie v binomickém stromu cen akci´ı. Tato hodnota je analogicky, jako m´ıra r˚ ustu, urˇcena podle vzorce 1 . u • r: Bezriziková u ´roková m´ıra (viz kapitola 5). • p: Rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnost r˚ ustu ceny akcie. Podle vzorce 4.10 ve tvaru T er n − d p= . u−d

• 1 − p: Rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnost poklesu ceny akcie.

6.2

Nastaven´ı modelu

Obrázek 6.2 zobrazuje pokroˇcilé moˇznosti nastaven´ı modelu. Nyn´ı si jednotlivé ovládac´ı prvky pop´ıˇseme. Seznám´ıme se s jejich ovládán´ım a jejich vlivem na výsledky modelu. 31


Nastaven´ı modelu

Obrázek 6.2: Pokroˇcilé volby nastaven´ı modelu

6.2.1

Poˇ cet obdob´ı

Jedn´ım z hlavn´ıch parametr˚ u binomického modelu je poˇcet obdob´ı (viz kapitola 4). S rostouc´ım poˇctem obdob´ı roste poˇcet koncových uzl˚ u stromu a t´ım také poˇcet moˇzných cen akcie v dobˇe expirace. T´ım je zajiˇstˇeno pˇresnˇejˇs´ı ocenˇen´ı opce. Poˇcet obdob´ı je odvozen od data expirace opce a data, ke kterému chceme ocenˇen´ı provést (datum výpoˇctu). Po zadán´ı obou tˇechto dat Excel automaticky dopoˇcte pˇr´ısluˇsný poˇcet obdob´ı (promˇenná n) a také dobu do expirace v roc´ıch (promˇenná T ). Uˇzivatel má moˇznost zvolit, zda chce poˇcet obdob´ı stejný, jako poˇcet dn´ı do expirace, nebo dvojnásobný. Vˇetˇs´ı poˇcet obdob´ı m˚ uˇze pˇrinést pˇresnˇejˇs´ı výsledky ocenˇen´ı, ale výpoˇcet bude pˇri pouˇzit´ı 32


Nastaven´ı modelu

Excelu trvat delˇs´ı dobu. V pˇr´ıpadˇe velkého poˇctu obdob´ı i nˇekolik minut. Pro poˇcet obdob´ı vyˇsˇs´ı neˇz sto, je doporuˇceno pouˇz´ıvat k výpoˇctu Matlab, který je rychlejˇs´ı a pro americké opce pˇrináˇs´ı stejné výsledky.

6.2.2

Typ opce

Následuje moˇznost volby typu oceˇ nované opce. Model um´ı ocenit evropské i americké put a call opce (viz kapitoly 2.3.1 a 2.3.2). Jednotlivé typy opce jsou ovládány formou pˇrep´ınaˇce, jelikoˇz dané volby se vzájemnˇe vyluˇcuj´ı. Lze tedy vˇzdy zvolit pouze jednu nab´ızenou variantu (put nebo call opci, americkou nebo evropskou opci). Pouˇzit´ım vzorc˚ u a podm´ınkové funkce docház´ı pˇri výpoˇctu prostˇrednictv´ım Excelu k okamˇzité reakci ocenˇen´ı na zmˇeny typu opce. Pˇri výpoˇctu pˇres Matlab lze ocenit pouze americké opce. Evropské opce je vˇzdy nutno oceˇ novat Excelem.

6.2.3

Dividendy

Dalˇs´ı ˇcást nastaven´ı se týká dividend. Uˇzivatel má moˇznost urˇcit, zda akcie vyplác´ı dividendu, ˇci nikoliv. Pokud akcie dividendu vyplác´ı, uˇzivatel mus´ı nastavit datum jej´ı výplaty a jej´ı výˇsi. Dále m˚ uˇze nastavit výˇsi danˇe z dividendy. Maximáln´ı poˇcet moˇzných dividend je pˇet. Poté je nutno potvrdit zadán´ı dividend, ˇc´ımˇz se automaticky vypoˇc´ıtaj´ı u ´daje o dividendách pro potˇreby modelu. Tˇemi jsou pˇrepoˇcet dat na obdob´ı jejich výplaty, výˇse dividend po zdanˇen´ı a souˇcasná hodnota budouc´ıch dividend v kaˇzdém obdob´ı. Pokud nastane situace, ˇze v jednom dni uvaˇzujeme v´ıce obdob´ı modelu, pˇriˇrad´ıme dividendu k prvn´ımu obdob´ı dne po výplatˇe dividendy. Vˇsechny hodnoty jsou opˇet uloˇzeny ve vzorc´ıch jako odkazy a model proto automaticky reaguje na jejich zmˇeny. Pro výpoˇcet bude pouˇzit postup popsaný v kapitole 4.4.1.

33


6.3

Metoda výpoˇctu

Metoda v´ ypoˇ ctu

Posledn´ı volbou je pouˇzitý software pro ocenˇen´ı opc´ı. Lze zvolit Excel nebo Matlab. Postupy pˇri výpoˇctech s vyuˇzit´ım obou zp˚ usob˚ u si nyn´ı podrobnˇe pop´ıˇseme.

6.3.1

Excel

Výpoˇcet prostˇrednictv´ım Excelu vytvoˇr´ı binomický strom s vyuˇzit´ım pˇripraveného Makra1 pojmenovaného Binom, jehoˇz kód lze nalézt v pˇr´ıloze B.1. Nyn´ı se seznám´ıme s konstrukc´ı a postupem výpoˇctu tohoto Makra. Nejprve vypneme nˇekteré funkce, které výpoˇcet zpomaluj´ı, jako jsou aktualizace obrazovky a automatické výpoˇcty (ˇrádek 5 a 6). Následuje definice a pˇriˇrazen´ı jednotlivých promˇenných (napˇr. vstupn´ı parametry) a vyˇciˇstˇen´ı oblasti, kam se ukládá výsledný binomický strom, po pˇredchoz´ım výpoˇctu (ˇrádky 11 aˇz 67). Dalˇs´ım krokem je zpracován´ı dividend. Ty jsou nejprve naˇcteny a uloˇzeny do novˇe definovaných pol´ı (ˇrádky 73 aˇz 88). Následnˇe pro kaˇzdé obdob´ı spoˇcteme souˇcasnou hodnotu dosud nevyplacených dividend a ve formˇe vzorce ji uloˇz´ıme do pomocných bunˇek (ˇrádky 97 aˇz 114). Pˇri jejich znalosti urˇc´ıme a uloˇz´ıme souˇcasnou hodnotu vˇsech budouc´ıch dividend na poˇcátku (0. obdob´ı). Tu odeˇcteme od poˇcáteˇcn´ı ceny akcie, ˇc´ımˇz z´ıskáme upravenou cenu akcie, kterou vyuˇzijeme pro vytvoˇren´ı stromu v modelu s dividendou (ˇrádky 116 aˇz 130). T´ım jsme zpracovali veˇskerá vstupn´ı data a makro pokraˇcuje dále vytváˇren´ım stromu. Zaˇc´ınáme od konce stromu, kam prostˇrednictv´ım vzorc˚ u vkládáme výpoˇcet ceny opce v dobˇe expirace. Vzorec je jednoznaˇcnˇe vytváˇren v závislosti na vlastnostech opce (výplata dividendy, jej´ı typ) a formulován pomoc´ı podm´ınek tak, aby zahrnul vˇsechny moˇzné alternativy a umoˇznil okamˇzitý pˇrepoˇcet ceny v pˇr´ıpadˇe zmˇeny vlastnost´ı prostˇrednictv´ım menu. Pokud opce vyplác´ı dividendu, je do vzorce vloˇzen odkaz na upravenou cenu akcie, ze 1

Makro je z´ apis posloupnosti operac´ı Excelu. V podstatˇe se jedná o program v jazyce Visual Basic (VBA).

34


Metoda výpoˇctu

které se vytváˇr´ı strom. Pokud akcie dividendu nevyplác´ı, ve vzorci je odkaz na trˇzn´ı cenu akcie na poˇcátku. Závislost na typu opce se projev´ı formou vzorce výsledného ocenˇen´ı (vzorce 4.1 a 4.2, resp. 4.17 a 4.18). Tyto jednotlivé vnitˇrn´ı“ vzorce (ˇrádky 151 aˇz 160), upravené v závislosti na výplatˇe ” dividendy, jsou postupnˇe vkládány do podm´ınek rozhoduj´ıc´ıch o zadaném typu opce (ˇrádky 161 aˇz 168). Po vloˇzen´ı vzorc˚ u do vˇsech koncových uzl˚ u stromu pokraˇcuje výpoˇcet posunem vˇzdy o jedno obdob´ı bl´ıˇze k poˇcátku. V ostatn´ıch, nekoncových, uzlech stromu je pouˇzitá stejná metoda, pouze mus´ıme nav´ıc uvaˇzovat rozliˇsen´ı amerických a evropských opc´ı (v dobˇe expirace jsou výpoˇcty pro oba typy totoˇzné). Nejprve je vytvoˇren vzorec (podle modelového vzorce 4.9) pro kaˇzdou jednotlivou variantu opce (ˇrádky 189 aˇz 206). Tyto vzorce jsou následnˇe vloˇzeny do podm´ınkových funkc´ı, které je pˇriˇrazuj´ı správným nastaven´ım modelu podle volby v menu (ˇrádky 207 aˇz 215). V závˇeru makra prob´ıhá formátován´ı bunˇek (ˇrádek 219), vloˇzen´ı ˇc´ısel obdob´ı nad strom (ˇrádky 222 aˇz 226), vloˇzen´ı výsledné ceny do pol´ıˇcka v menu (ˇrádek 237) a zapnut´ı funkc´ı Excelu, které byly na poˇcátku vypnuty (ˇrádky 240 a 241). Takto sestrojený strom (prostˇrednictv´ım vzorc˚ u a ne pevnˇe daných hodnot, jako v pˇr´ıpadˇe Matlabu) dokáˇze automaticky reagovat na zmˇeny nastaven´ı typu opce v menu. Pouze pˇri zmˇenˇe poˇctu obdob´ı je potˇreba provést výpoˇcty znovu, jelikoˇz se zmˇen´ı rozmˇery stromu.

6.3.2

Matlab

Jako doplnˇek byla do modelu pˇridána moˇznost provést výpoˇcet v Matlabu a zobrazit jeho výsledek. Pro jeho správnou funkci je ale potˇreba vz´ıt na vˇedom´ı nˇekolik omezen´ı. Pˇredevˇs´ım je nutno m´ıt nainstalovaný a aktivovaný doplnˇek Spreadsheet Link EX 2 . Dále je nutno m´ıt ve vlastnostech Excelu nastaven desetinný oddˇelovaˇc jako teˇcku, nikoliv ˇcárku. To lze nastavit pˇres Soubor - Moˇznosti - Upˇresnit - Oddˇelovaˇc desetinných m´ıst. Matlab je také 2

Tento doplnˇek, kter´ y je souˇca´st´ı instalace Matlabu, je potˇreba zavést do Excelu poˇ dobnˇe, jako napˇr´ıklad Reˇsitele. Podrobn´ y n´ avod na instalaci (v angliˇctinˇe) vˇcetnˇe obr´ azk˚ u, lze nalézt na http://www.mathworks.com/help/exlink/add-in-setup.html.

35


Výsledky

moˇzné pouˇz´ıt pouze pro ocenˇen´ı amerických opc´ı. Vytvoˇrené makro bylo pojmenováno Matlab a jeho kód je k dispozici v pˇr´ıloze B.2. Na poˇcátku makra opˇet definujeme a naˇcteme potˇrebné promˇenné (ˇrádky 12 aˇz 29) a naˇcteme vˇsechny zadané dividendy (ˇrádky 32 aˇz 42), které ihned uloˇz´ıme jako promˇenné v Matlabu vyuˇzit´ım funkce MLPutVar (ˇrádky 45 aˇz 57). Následnˇe opˇet vyˇcist´ıme plochu, kam budeme ukládat data, od pˇredchoz´ıch výpoˇct˚ u (ˇrádky 61 aˇz 65). Matlabu odeˇsleme i ostatn´ı potˇrebné promˇenné (ˇrádky 69 aˇz 76). Poté v závislosti na poˇctu zadaných dividend formulujeme pˇr´ıkaz v Matlabu pro binomický model ocenˇen´ı opc´ı (binprice), který pˇres funkci MLEvalString vyhodnot´ıme (ˇrádky 79 aˇz 103). Výsledné ceny opc´ı pˇr´ıkazem MLGetVar pˇreneseme z matlabu do Excelu a vyp´ıˇseme je (ˇrádky 106 aˇz 110). V závˇeru opˇet dopln´ıme oznaˇcen´ı obdob´ı (ˇrádky 113 aˇz 117) a uloˇz´ıme výslednou hodnotu v menu (ˇrádek 120).

6.4

V´ ysledky

Výsledky ocenˇen´ı jsou zobrazeny v pravé ˇcásti obrazovky. V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı Excelu maj´ı výsledky tvar vˇetveného stromu cen opc´ı v jednotlivých obdob´ıch (podle obrázku 4.2). V pˇr´ıpadˇe výpoˇctu pˇres Matlab pak formu ˇctvercové tabulky. Výsledná cena opce v 0. obdob´ı (vrchol stromu), je pak pro pˇrehlednost zobrazena v ovládac´ım menu.

36

7 Pouˇzitá data Výˇse popsaný model vyuˇzijeme k ocenˇen´ı skuteˇcných akciových opc´ı a následnˇe zjiˇstˇené ceny porovnáme se skuteˇcnost´ı. Spoleˇcnosti Microsoft a Apache vyplác´ı dividendy, jejichˇz pˇresné výˇse a data výplat máme k dispozici. Budouc´ı dividendy, u nichˇz zat´ım nebylo zveˇrejnˇeno datum výplaty, odhadneme. Spoleˇcnost Facebook dividendu nevyplác´ı. Zdrojem vˇsech dat je portál Yahoo! Finance 1 , který pˇreb´ırá oficiáln´ı burzovn´ı data newyorské burzy NASDAQ a NYSE .

7.1

Ceny akci´ı

Máme k dispozici informace o historických cenách akci´ı spoleˇcnost´ı Microsoft, Facebook a Apache, které jsou souˇcást´ı pˇriloˇzeného Excel souboru (pˇr´ıloha A.1) a lze je nalézt v Listech APA, FB a MSFT. Nyn´ı si z´ıskaná data podrobnˇeji pop´ıˇseme a pod´ıváme se na vývoj cen jednotlivých akci´ı ve sledovaných obdob´ıch. Vˇsechny grafy pro pˇrehlednost obsahuj´ı spojnici jednotlivých bod˚ u. Tato spojnice slouˇz´ı pouze ke zvýraznˇen´ı návaznost´ı v grafu a nepˇredstavuje tedy spojité mˇeˇren´ı cen!

7.1.1

Microsoft

Pro akcie Microsoft Corporation máme k dispozici upravené zav´ırac´ı ceny (tzv. adjusted close)2 od 3. ledna 1995 do 18. ledna 2013 [4]. Ceny opc´ı budeme sledovat v obdob´ı od 18. prosince 2012 do 18. ledna 2013. Vývoj cen akci´ı v tomto obdob´ı si m˚ uˇzeme prohlédnout na obrázku 7.1. Na poˇcátku sledovaného obdob´ı (18. 12. 2012) byla cena akcie Microsoft $26.33, na jeho 1

Port´ al je dostupn´ y ze stránek http://finance.yahoo.com/. Upravené ceny poskytuj´ı pˇrepoˇctené zav´ırac´ı ceny s uváˇzen´ım vˇsech vyplacen´ ych dividend nebo dˇelen´ı akci´ı. Pˇresn´ y postup pˇrepoˇctu cen lze v angliˇctinˇe nalézt na stránk´ ach http://help.yahoo.com/l/us/yahoo/finance/quotes/quote-12.html. 2

37

Pouˇzitá data

Ceny akci´ı

konci (18. 1. 2013) pak $27.03. Maximáln´ı cena bˇehem tohoto obdob´ı byla $27.45 a minimáln´ı $26.24.

Obrázek 7.1: Vývoj cen akci´ı Microsoft

7.1.2

Facebook

Také pro akcie Facebook, Inc. máme k dispozici upravené zav´ırac´ı ceny pro obdob´ı od 18. kvˇetna 2012 do 18. ledna 2013 [3]. Ceny opc´ı budeme sledovat ve stejném obdob´ı, jako v pˇr´ıpadˇe Microsoftu, tedy od 18. prosince 2012 do 18. ledna 2013. Vývoj cen akci´ı v tomto obdob´ı si m˚ uˇzeme prohlédnout na obrázku 7.2. Ceny akci´ı Facebooku pro toto obdob´ı kol´ısaj´ı v rozmez´ı $25.91 aˇz $31.72.

7.1.3

Apache

I pro akcie Apache Corporation máme k dispozici zav´ırac´ı ceny v obdob´ı od 2. ledna 1990 do 24. dubna 2013 [1]. Do modelu vˇzdy dosazujeme aktuáln´ı zav´ırac´ı cenu, platnou v den výpoˇctu, jelikoˇz vliv dividend (který pˇrepoˇctené ceny eliminuj´ı) model sám zpracovává. Charakteristiky (napˇr. volatilitu) ovˇsem urˇcujeme z upravených cen. Ceny opc´ı sledujeme v obdob´ı 38

Pouˇzitá data

Ceny akci´ı

Obrázek 7.2: Vývoj cen akci´ı Facebook

od 11. dubna 2013 do 24. dubna 2013. Vývoj cen akci´ı v tomto obdob´ı si m˚ uˇzeme prohlédnout na obrázku 7.3. Je na nˇem patrný pokles ceny z 18. na 19. dubna, kdy doˇslo k výplatˇe dividendy (viz dále). Minimáln´ı cena akcie v tomto obdob´ı ˇcinila $68.84, maximáln´ı potom $76.52.

Obrázek 7.3: Vývoj cen akci´ı Apache

39

Pouˇzitá data

7.2

Ceny opc´ı

Ceny opc´ı

Z´ıskali jsme také data o cenách opc´ı zvolených firem pro zvolená obdob´ı (viz dále). Jelikoˇz nejsou k dispozici historické ceny (jako v pˇr´ıpadˇe akci´ı), bylo nutno jednotlivá data manuálnˇe stahovat kaˇzdý den sledovaného obdob´ı. Z toho d˚ uvodu nen´ı moˇzné tato obdob´ı nijak mˇenit, jelikoˇz by nebyla k dispozici data pro jiná obdob´ı. Informace o staˇzených opˇcn´ıch datech a jejich popis provedeme v kapitole 8, kde srovnáme ceny opc´ı na trhu a ceny z´ıskané z binomického modelu oceˇ nován´ı.

7.3

Volatilita

Na základˇe historických cen akci´ı je potˇreba odhadnout volatilitu akcie, která je parametrem binomického modelu. Tu odhadneme jako smˇerodatnou odchylku roˇcn´ıch logaritmických výnos˚ u, jelikoˇz uvaˇzujeme spojité u ´roˇcen´ı. Smˇerodatnou odchylku poˇc´ıtáme pro vˇsechny dostupné výnosnosti k datu výpoˇctu. T´ım z´ıskáme tzv. historickou volatilitu. Alternativn´ım zp˚ usobem lze pouˇz´ıvat odchylku z výnosnost´ı za jiná obdob´ı. Lze pouˇz´ıt obdob´ı napˇr´ıklad 1 rok, nebo jeˇstˇe kratˇs´ı. Výsledná volatilita se pak m˚ uˇze pro r˚ uzná obdob´ı výraznˇe liˇsit a t´ım zp˚ usobit i odliˇsné výsledky modelu. Problém s odhadem volatility nastane u akci´ı Facebook, které se na burze obchoduj´ı od kvˇetna 2012, tedy ménˇe, neˇz rok. Nemáme tedy k dispozici dostatek dat, abychom urˇcili alespoˇ n roˇcn´ı logaritmické výnosy. Budeme-li pˇredpokládat, ˇze výnosnosti jsou v ˇcase navzájem nekorelované, spoˇc´ıtáme podle [12, str. 354] mˇes´ıˇcn´ı logaritmické výnosy a z nich mˇes´ıˇcn´ı volatilitu. √ Tu následnˇe pˇrepoˇcteme na roˇcn´ı vynásoben´ım hodnotou 12. T´ım z´ıskáme pˇribliˇzný odhad roˇcn´ı volatility. Pro odhad 90denn´ı volatility vynásob´ıme √ mˇes´ıˇcn´ı volatilitu hodnotou 3. Pro ovˇeˇren´ı jsme obdobným postupem odhadli roˇcn´ı volatilitu u akci´ı Microsoft, kterou jsme následnˇe porovnali s roˇcn´ı volatilitou vypoˇctenou pˇres roˇcn´ı logaritmické výnosy. Bˇehem celého sledovaného obdob´ı (18. 12. 2012 – 18. 1. 2013) byla namˇeˇrena stabiln´ı odchylka ve

40

Pouˇzitá data

Odchylka modelu

výˇsi pˇribliˇznˇe 0.01083. Pouze v poˇcátc´ıch sledovaných dat (zhruba rok 1995) je odchylka z d˚ uvodu nedostupnosti dat (výnosnost´ı) výraznˇejˇs´ı. Volatilitu Facebooku, odhadnutou t´ımto postupem, budeme povaˇzovat za pouˇzitelnou. V tabulce 7.1 si ukáˇzeme porovnán´ı volatilit spoˇctených pro r˚ uzná obdob´ı u jednotlivých akci´ı. Výpoˇcty byly provedeny v pˇriloˇzeném souboru na Listech APA, MSFT a FB. Akcie Microsoft Apache Facebook

Historick´ a 5let´ a Roˇ cn´ı 90denn´ı 0.31 0.25 0.08 0.05 0.27 0.33 0.12 0.06 0.70 0.35

Tabulka 7.1: Srovnán´ı volatility za r˚ uzná obdob´ı k 18. lednu 2013

7.4

Odchylka modelu

Pro srovnán´ı modelu se skuteˇcnost´ı pouˇzijeme následuj´ıc´ı ukazatel |Cenamodel − Cenatrh | . Cenatrh T´ım z´ıskáme procentuáln´ı ukazatel, kolik procent z trˇzn´ı ceny tvoˇr´ı odchylka. ˇ ım pˇresnˇeji bude opce ocenˇena, t´ım niˇzˇs´ı hodnoty bude tento ukazatel nabýC´ vat. V dalˇs´ım textu budeme tento ukazatel nazývat jiˇz jen relativn´ı odchylka. Pouˇzijeme také absolutn´ı odchylku ve tvaru |Cenamodel − Cenatrh |. Obzvláˇst’ pro ceny opc´ı bl´ızké nule je tento zp˚ usob mˇeˇren´ı odchylky vhodnˇejˇs´ı. Tento ukazatel budeme nazývat absolutn´ı odchylka.

3

Konkrétn´ı v´ ysledky srovnán´ı pro historii cen akci´ı Microsoft lze nalézt v pˇriloˇzeném souboru na Listu MSFT.

41

8 Zhodnocen´ı výsledk˚ u S vyuˇzit´ım teoretických znalost´ı binomického modelu a výpoˇcetn´ıho modelu, pˇripraveného v Excelu, nyn´ı t´ımto modelem ocen´ıme zvolené opce a toto ocenˇen´ı poté srovnáme se z´ıskanými cenami opc´ı na trhu ve sledovaném obdob´ı. Pro kaˇzdou spoleˇcnost jsme volili opce a jejich realizaˇcn´ı ceny tak, aby jeden typ opce byl pokud moˇzno v penˇez´ıch a druhý mimo pen´ıze. V grafech bude opˇet pro zvýraznˇen´ı návaznosti pouˇzita spojnice jednotlivých bod˚ u, která nepˇredstavuje spojitost mˇeˇren´ı cen!

8.1

Microsoft Corporation (MSFT)

Pro spoleˇcnost Microsoft máme k dispozici historická data o vývoji cen akci´ı a ceny vybraných opc´ı za sledované obdob´ı (viz kapitola 7). Na základˇe historických cen akci´ı odhadneme historickou volatilitu, která je jedn´ım z parametr˚ u binomického modelu. Tu spoˇcteme pro kaˇzdý den jako výbˇerovou smˇerodatnou odchylku roˇcn´ıch logaritmických výnos˚ u. Z´ıskáme tak odhad volatility Microsoftu, která je pˇribliˇznˇe 0.31. Alternativn´ı metodou bychom mohli poˇc´ıtat roˇcn´ı volatilitu nebo 90denn´ı volatilitu, jejichˇz hodnoty a zp˚ usoby výpoˇctu lze nalézt v kapitole 7.3. Veˇskeré výpoˇcty jsou k dispozici také v pˇriloˇzeném souboru (pˇr´ıloha A.1) na Listu MSFT. Ceny opc´ı sledujeme v obdob´ı od 18. prosince 2012 do 18. ledna 2013. Máme k dispozici ceny v uvedeném obdob´ı pro opce s expirac´ı v lednu 2013 (18. ledna 2013), ˇcervenci 2013 (19. ˇcervence 2013) a lednu 2014 (17. ledna 2014), dostupné v pˇr´ıloze A.2. Veˇskeré výsledky ocenˇen´ı opc´ı, jejich srovnán´ı se skuteˇcnost´ı a výpoˇcet odchylek jsou dostupné v pˇriloˇzeném souboru na Listech MSFT Jan 13, MSFT Jul 13 a MSFT Jan 14. Jelikoˇz akcie Microsoft vyplác´ı ˇctvrtletn´ı dividendu, je potˇreba znát data a výˇsi vyplácených dividend od souˇcasnosti aˇz do data expirace. K tomu vyuˇzijeme informace pˇr´ımo z internetových stránek spoleˇcnosti Microsoft [5]. Dividendy, jejichˇz výˇse a datum výplaty nebylo zat´ım zveˇrejnˇeno, odhadneme 42

Zhodnocen´ı výsledk˚ u


na základˇe minulých dividend. Odhad zaloˇz´ıme na historii tak, aby dividenda pˇripadla na stejný den v týdnu a pˇribliˇznˇe stejné datum. Výˇsi odhadovaných dividend ponecháme stejnou, jako posledn´ı známá dividenda. V tabulce 8.1 je k dispozici pˇrehled výˇse dividend a data jejich výplaty (tzv. ex-dividend date). Kurz´ıvou oznaˇcené poloˇzky jsou odhadnuté na základˇe pˇredchoz´ıch dividend. Obdob´ı FY2013 Q2 FY2013 Q3 FY2013 Q4 FY2014 Q1

Datum 19. 2. 2013 14. 5. 2013 13. 8. 2013 19. 11. 2013

Dividenda $0.23 $0.23 $0.23 $0.23

Tabulka 8.1: Dividendy spoleˇcnosti Microsoft

8.1.1

Opce s expirac´ı v lednu 2013

Máme k dispozici u ´daje o opc´ıch s datem expirace 18. ledna 2013 (pˇr´ıloha A.2), coˇz je za mˇes´ıc od poˇcátku sledovaného obdob´ı. Poˇcet obdob´ı, pouˇz´ıváme-li jako obdob´ı jeden den, binomického modelu se tedy pohybuje od 31 do 1. V posledn´ı den obdob´ı (18. ledna 2013) opci jiˇz neoceˇ nujeme, nebot’ v ten den vyprˇs´ı. Pro odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry vyuˇzijeme výnos 4týdenn´ıch T-Bills, který se ve sledovaném obdob´ı pohybuje od 0 do 0.07 %, a pro kaˇzdý den ho pˇrepoˇcteme na pˇresný poˇcet dn´ı zbývaj´ıc´ıch do expirace, ˇc´ımˇz z´ıskáme hodnoty od 0 do 0.04 %. Pˇrepoˇcty u ´rokové m´ıry pro ´ jednotlivé dny obdob´ı jsou dostupné v pˇriloˇzeném souboru na Listu Urokov´ a m´ıra. Zvolili jsme realizaˇcn´ı ceny $25 a $30 tak, aby vzhledem k cenˇe akcie ve sledovaném obdob´ı (viz kapitola 7.1), byla jedna z opc´ı v penˇez´ıch a druhá mimo pen´ıze. Bˇehem doby do expirace nedojde v tomto pˇr´ıpadˇe k výplatˇe dividendy. Akcie se pro toto obdob´ı chová jako bezdividendová. Výsledky ocenˇen´ı modelu a jeho srovnán´ı se skuteˇcnost´ı formou odchylek jsou k dispozici v tabulce 8.2 a graficky na obrázku 8.1.

43

Zhodnocen´ı výsledk˚ u Opce $25 Call $25 Put $30 Call $30 Put

Microsoft Corporation (MSFT) Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 0.19 9% 0.08 145 % 0.03 105 % 0.22 7%

Tabulka 8.2: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Microsoft s expirac´ı v lednu 2013

Obrázek 8.1: Opce Microsoft s expirac´ı v lednu 2013

44


8.1.2


Opce s expirac´ı v ˇ cervenci 2013

Tyto opce maj´ı datum expirace 19. ˇcervence 2013 (pˇr´ıloha A.2), coˇz je pˇribliˇznˇe p˚ ul roku od sledovaného obdob´ı. Poˇcet obdob´ı binomického modelu (dn´ı) je tak 213 aˇz 182. K odhadu bezrizikové u ´rokové m´ıry tedy tentokrát pouˇzijeme výnos 26týdenn´ıch T-Bills, který je 0.10 aˇz 0.13 %. Pˇrepoˇcteno na pˇr´ısluˇsný poˇcet mˇes´ıc˚ u pak z´ıskáme hodnoty 0.10 aˇz 0.15 %. Bˇehem doby do expirace dojde k výplatˇe dvou dividend (viz tabulka 8.1) v term´ınech 19. u ńora 2013 a 14. kvˇetna 2013. V obou pˇr´ıpadech je vyplacena dividenda ve výˇsi $0.23. Pod´ıváme se opˇet na opce se stejnými realizaˇcn´ımi cenami, jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Pr˚ umˇerné odchylky nalezneme v tabulce 8.3 a graf srovnán´ı cen na obrázku 8.2. Opce $25 Call $25 Put $30 Call $30 Put

Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 0.39 14 % 0.65 61 % 0.61 110 % 0.85 22 %

Tabulka 8.3: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Microsoft s expirac´ı v ˇcervenci 2013

8.1.3


Jako posledn´ı jsme sledovali vývoj cen opce s expirac´ı 17. ledna 2014, coˇz je pˇribliˇznˇe rok od sledovaného obdob´ı. Pro poˇcet obdob´ı proto pouˇzijeme hodnoty v rozmez´ı (podle konkrétn´ıho dne) 364 aˇz 395. Bezrizikovou u ´rokovou m´ıru jsme odhadli z výnos˚ u 52týdenn´ıch T-Bills, které bˇehem sledovaného obdob´ı byly od 0.14 % do 0.16 %, a pˇrepoˇcetli jsme ji na pˇresný poˇcet mˇes´ıc˚ u, ˇc´ımˇz jsme z´ıskali hodnoty 0.13 % aˇz 0.18 %. Od minulého pˇr´ıpadu (expirace opce v ˇcervenci 2013) vyplat´ı Microsoft nav´ıc dalˇs´ı dvˇe dividendy a to v srpnu a listopadu 2013. Pˇresná data a výˇse dividend zat´ım nebyly zve45



Obrázek 8.2: Opce Microsoft s expirac´ı v ˇcervenci 2013 ˇrejnˇeny, odhadneme je proto na základˇe minulých dividend na 13. srpna 2013 a 19. listopadu 2013 ve výˇsi $0.23. Celkem tedy pro tuto opci budou vyplaceny 4 dividendy. Budeme opˇet sledovat vývoje cen pro realizaˇcn´ı ceny $25 a $30. Grafické porovnán´ı trˇzn´ıch a modelových cen lze nalézt na obrázku 8.3. Tabulku pr˚ umˇerných odchylek potom v tabulce 8.4.

46


Microsoft Corporation (MSFT) Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 0.51 16 % 0.80 41 % 0.78 70 % 1.05 21 %

Tabulka 8.4: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Microsoft s expirac´ı v lednu 2014

Obrázek 8.3: Opce Microsoft s expirac´ı v lednu 2014

47


8.1.4

Facebook, Inc. (FB)

Shrnut´ı

Z pozorovaných výsledk˚ u u vˇsech typ˚ u opc´ı s r˚ uznou dobou do expirace a r˚ uznou realizaˇcn´ı cenou lze usuzovat, ˇze model pˇresnˇeji oceˇ nuje opce v penˇez´ıch (mˇeˇreno relativn´ı odchylkou) a ménˇe pˇresnˇe opce mimo pen´ıze. Oba tyto závˇery plat´ı, pokud pˇredpokládáme, ˇze trh oceˇ nuje opce správnˇe. Pokud tomu tak nen´ı, lze nepˇresného trˇzn´ıho ocenˇen´ı vyuˇz´ıt k dosaˇzen´ı zisku. Dále lze pozorovat, ˇze opce s kratˇs´ı dobou do expirace (napˇr. expirace v lednu 2013) jsou ocenˇeny pˇresnˇeji, neˇz opce s delˇs´ı dobou do expirace. To lze povaˇzovat za d˚ usledek vyˇsˇs´ı ˇcasové hodnoty u opc´ı s dlouhou dobou do expirace. U opc´ı, které brzy vyprˇs´ı, je ˇcasová hodnota niˇzˇs´ı a vˇetˇs´ı pod´ıl na cenˇe má vnitˇrn´ı hodnota, která je pˇresnˇe stanovená. U vˇsech modelových cen je patrný shodný charakter pr˚ ubˇehu s cenou trˇzn´ı, i kdyˇz výsledná hodnota je vyˇsˇs´ı ˇci niˇzˇs´ı, neˇz skuteˇcnost. D˚ uvodem odchylky cen m˚ uˇze být pouˇzitý odhad volatility, urˇcený z historických cen akcie. Jeho vliv na výsledné ocenˇen´ı si pop´ıˇseme pozdˇeji v ˇcásti vˇenované citlivostn´ı analýze.

8.2

Facebook, Inc. (FB)

Stejnˇe jako u spoleˇcnosti Microsoft, také pro Facebook máme k dispozici historická data o vývoji cen akci´ı a opc´ı [3]. Ceny opc´ı sledujeme ve stejném obdob´ı, jako v pˇr´ıpadˇe spoleˇcnosti Microsoft. Pro odhad volatility vyuˇzijeme pˇrepoˇcet mˇes´ıˇcn´ı volatility na roˇcn´ı (viz kapitola 7.3) a z´ıskáme tak hodnoty v rozmez´ı 0.69 aˇz 0.73 (v závislosti na konkrétn´ım dni obdob´ı). K dispozici máme u ´daje pro opce s expirac´ı v lednu 2013 (18. ledna 2013), ˇcervnu 2013 (21. ˇcervna 2013) a lednu 2014 (17. ledna 2014), které jsou opˇet dostupné v pˇriloˇzených souborech (pˇr´ıloha A.2). Akcie Facebook dividendu nevyplác´ı, takˇze ˇzádná dalˇs´ı data nejsou pro pouˇzit´ı modelu potˇreba. Zde prezentované výpoˇcty a grafy lze nalézt také v pˇriloˇzeném souboru (pˇr´ıloha A.1) na Listech FB Jan 13, FB Jun 13 a FB Jan 14.

48


8.2.1

Facebook, Inc. (FB)


Zvolená opce má datum expirace 18. ledna 2013, tedy pˇribliˇznˇe mˇes´ıc od poˇcátku sledovaného obdob´ı. Jako poˇcet obdob´ı proto opˇet vol´ıme hodnoty v rozmez´ı 1 aˇz 31, v závislosti na konkrétn´ım dni. K urˇcen´ı bezrizikové u ´rokové m´ıry i nyn´ı pouˇzijeme výnos 4týdenn´ıch T-Bills. Jelikoˇz sledujeme ceny ve stejném obdob´ı a pouˇz´ıváme stejné T-Bills, budou z´ıskané odhady stejné, jako v pˇr´ıpadˇe Microsoftu. Ceny opc´ı sledujeme pro realizaˇcn´ı cenu $25 a $35, aby jeden typ opce byl v penˇez´ıch a druhý mimo pen´ıze. V tabulce 8.5 je k dispozici pˇrehled pr˚ umˇerných odchylek modelu od skuteˇcnosti a na obrázku 8.4 pak grafické znázornˇen´ı vývoje modelových a trˇzn´ıch cen. Opce $25 Call $25 Put $35 Call $35 Put

Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 0.34 10 % 0.18 90 % 0.13 258 % 0.32 5%

Tabulka 8.5: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Facebook s expirac´ı v lednu 2013

8.2.2

Opce s expirac´ı v ˇ cervnu 2013

Tato opce vyprˇs´ı pˇribliˇznˇe za p˚ ul roku od poˇcátku sledovaného obdob´ı, pˇresnˇeji 21. ˇcervna 2013. Poˇcet obdob´ı modelu se tak pohybuje v rozmez´ı 154 aˇz 185. Pro odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry vyuˇzijeme výnos 26týdenn´ıch T-Bills, stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe opc´ı Microsoft s expirac´ı v ˇcervenci 2013. Pˇrepoˇctený odhad bezrizikové u ´rokové m´ıry se pohybuje v rozmez´ı 0.08 % aˇz 0.13 %. Ceny opˇet sledujeme pro realizaˇcn´ı ceny $25 a $35. Výsledky mˇeˇren´ı pr˚ umˇerných odchylek e nacház´ı v tabulce 8.6 a vývoj cen na obrázku 8.5.

49


Facebook, Inc. (FB)

Obrázek 8.4: Opce Facebook s expirac´ı v lednu 2013 Opce $25 Call $25 Put $35 Call $35 Put

Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 1.47 27 % 1.51 77 % 1.83 118 % 1.86 24 %

Tabulka 8.6: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Facebook s expirac´ı v ˇcervnu 2013

50


Facebook, Inc. (FB)

Obrázek 8.5: Opce Facebook s expirac´ı v ˇcervnu 2013

8.2.3


Také u Facebooku jsme zvolili opci s expirac´ı za rok od sledovaného obdob´ı, tedy 17. ledna 2014. Poˇcet obdob´ı modelu i výsledky odhadu bezrizikové u ´rokové m´ıry proto budou shodné, jako u opce Microsoft s expirac´ı v lednu 2014 (kapitola 8.1.3). Sledované realizaˇcn´ı ceny z˚ ustávaj´ı shodné. Srovnán´ı pr˚ umˇerných absolutn´ıch a relativn´ıch odchylek je v tabulce 8.7 a grafický vývoj trˇzn´ıch a modelových cen na obrázku 8.6.

51


Facebook, Inc. (FB) Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 2.49 36 % 2.55 75 % 3.13 105 % 3.21 35 %

Tabulka 8.7: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Facebook s expirac´ı v lednu 2014

Obrázek 8.6: Opce Facebook s expirac´ı v lednu 2014

52


8.2.4

Apache Corp. (APA)

Shrnut´ı

U opc´ı Facebook lze pozorovat obdobné výsledky, jako v pˇr´ıpadˇe Microsoft. Pˇresnˇeji jsou oceˇ novány opce v penˇez´ıch a ménˇe pˇresnˇe opce mimo pen´ıze. Také plat´ı, ˇze opce s kratˇs´ı dobou do expirace jsou ocenˇeny pˇresnˇeji (napˇr. opce s expirac´ı v lednu 2013, která má dobu do expirace zhruba mˇes´ıc). I pˇres odliˇsnou hladinu modelových cen z˚ ustává charakter jejich pr˚ ubˇehu shodný se skuteˇcnými trˇzn´ımi cenami. Také v pˇr´ıpadˇe opc´ı Facebook m˚ uˇze nepˇresnosti ve výsledc´ıch zp˚ usobovat volba volatility, které se budeme podrobnˇeji vˇenovat v citlivostn´ı analýze.

8.3

Apache Corp. (APA)

Historická data o vývoji cen akci´ı Apache Corp. máme k dispozici [1]. Historickou volatilitu odhadneme stejným postupem, jako u pˇredchoz´ıch spoleˇcnost´ı, a z´ıskáme tak hodnotu pˇribliˇznˇe 0.266. Alternativn´ı hodnoty odhadu volatility, pˇri pouˇzit´ı jiného obdob´ı, byly uvedeny v tabulce 7.1. Výpoˇcty týkaj´ıc´ı se volatility Apache se nacházej´ı v pˇriloˇzeném souboru (pˇr´ıloha A.1) na Listu APA. Sledované obdob´ı pro ocenˇen´ı opc´ı jsme tentokrát zvolili od 11. 4. 2013 do 24. 4. 2013 (staˇzená data se nacház´ı v pˇr´ıloze A.2). Toto obdob´ı bylo zvoleno tak, aby dividenda, kterou tato spoleˇcnost vyplác´ı, probˇehla uprostˇred obdob´ı (konkrétnˇe 18. 4. 2013). Máme tak moˇznost sledovat, jak ovlivn´ı ocenˇen´ı modelu dividenda vyplacená v pr˚ ubˇehu sledovaného obdob´ı. K dispozici máme opce s expirac´ı v ˇr´ıjnu 2013 (18. ˇr´ıjna 2013) a lednu 2014 (17. ledna 2014). Protoˇze Apache vyplác´ı dividendu, potˇrebujeme také informace o dividendách, vyplacených aˇz doby expirace, které z´ıskáme ze stránek spoleˇcnosti [2] a jsou uvedeny v tabulce 8.8. Budouc´ı dividendy, pro které zat´ım nebyla zveˇrejnˇena jejich výˇse a datum výplaty opˇet odhadneme, aby pˇripadly na stejná data, jako v minulosti, a výˇsi ponecháme stejnou, jako u posledn´ı vyplacené dividendy. Odhadnuté dividendy jsou v tabulce vyznaˇceny kurz´ıvou. 53


Apache Corp. (APA)

Výsledky ocenˇen´ı a jejich srovnán´ı se skuteˇcnost´ı se nacház´ı v pˇriloˇzeném souboru na Listech APA Oct 13 a APA Jan 14. Datum 18. 4. 2013 18. 7. 2013 17. 10. 2013 16. 1. 2014

Dividenda $0.2 $0.2 $0.2 $0.2

Tabulka 8.8: Dividendy spoleˇcnosti Apache

8.3.1

Opce s expirac´ı v ˇ r´ıjnu 2013

Expirace této opce probˇehne pˇribliˇznˇe za p˚ ul roku od sledovaného obdob´ı, konkrétnˇe 18. ˇr´ıjna 2013. Pro poˇcet obdob´ı binomického modelu proto pouˇzijeme hodnoty v rozmez´ı 177 aˇz 190. K odhadu bezrizikové u ´rokové m´ıry jsme pouˇzili výnos 26týdenn´ıch T-Bills, který v uvedeném obdob´ı ˇcinil 0.10 % aˇz 0.13 %. Kv˚ uli velmi podobné dobˇe do expirace opce a dluhopisu pouˇzijeme tyto hodnoty bez pˇrepoˇctu. Ceny opc´ı jsme sledovali pro realizaˇcn´ı ceny $65 a $80 opˇet tak, aby jedna z opc´ı byla v penˇez´ıch a druhá mimo pen´ıze, vzhledem k cenám akcie ve sledovaném obdob´ı (viz kapitola 7.1). Bˇehem doby do expirace dojde k výplatˇe tˇr´ı dividend (viz tabulka 8.8), pˇriˇcemˇz jedna z nich bude vyplacena uprostˇred sledovaného obdob´ı. Po jej´ı výplatˇe tedy jiˇz zbývaj´ı pouze dvˇe dividendy. Grafické srovnán´ı výsledk˚ u ocenˇen´ı a trˇzn´ıch cen lze nalézt na obrázku 8.7, namˇeˇrené pr˚ umˇerné odchylky pak v tabulce 8.9. Opce $65 Call $65 Put $80 Call $80 Put

Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 0.26 3% 0.13 5% 0.36 17 % 0.51 5%

Tabulka 8.9: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Apache s expirac´ı v ˇr´ıjnu 2013

54


Apache Corp. (APA)

Obrázek 8.7: Opce Apache s expirac´ı v ˇr´ıjnu 2013

8.3.2


Expirace tˇechto opc´ı probˇehne pˇribliˇznˇe za necelý rok, poˇcet binomického obdob´ı proto uvaˇzujeme 268 aˇz 281. K odhadu bezrizikové u ´rokové m´ıry jsme pouˇzili výnos 52týdenn´ıch T-Bills, který je v uvaˇzovaných dnech 0.14 % aˇz 0.16 %. Pˇrepoˇcteme-li jej na pˇr´ısluˇsný poˇcet mˇes´ıc˚ u do expirace, z´ıskáme hodnoty 0.10 % aˇz 0.12 %. Ceny opc´ı jsme opˇet sledovali pro realizaˇcn´ı ceny $65 a $80. Oproti pˇredchoz´ı opci dojde k výplatˇe dodateˇcné dividendy 16. ledna 2014. Opˇet plat´ı, ˇze jedna z dividend bude vyplacena uprostˇred sledovaného

55


Apache Corp. (APA)

obdob´ı. Výsledky ocenˇen´ı jsou k dispozici graficky (obrázek 8.8) a také jako pr˚ umˇerné namˇeˇrené odchylky v tabulce 8.10. Opce $65 Call $65 Put $80 Call $80 Put

Absolutn´ı odchylka Relativn´ı odchylka 0.42 4% 0.3 8% 0.34 11 % 0.48 4%

Tabulka 8.10: Pr˚ umˇerné odchylky ocenˇen´ı opc´ı Apache s expirac´ı v lednu 2014

8.3.3

Shrnut´ı

Na rozd´ıl od opc´ı Microsoft a Facebook, nyn´ı pozorujeme velmi pˇresné ocenˇen´ı vˇsech typ˚ u opc´ı. To m˚ uˇze být zp˚ usobeno vhodným odhadem volatility, který je bl´ızký implikované (trˇzn´ı) volatilitˇe (viz kapitola 9.3). To m˚ uˇzeme jednoduˇse ovˇeˇrit. Pˇri ocenˇen´ı opce prostˇrednictv´ım Excelu jsou vˇsechny výˇ sitele sledky provázané se vstupn´ımi hodnotami pomoc´ı vzorc˚ u. Vyuˇzit´ım Reˇ tedy snadno zjist´ıme, jakou hodnotu volatility je tˇreba pouˇz´ıt, aby se výsledné ocenˇen´ı shodovalo s trˇzn´ı cenou. Pro call opci s realizaˇcn´ı cenou $65 a expirac´ı v lednu 2014 je trˇzn´ı cena ke dni 24. 4. 2013 $10. Modelová cena, spoˇctená s vyuˇzit´ım standardn´ıch parametr˚ u, je $9.68. Historická volatilita Apache pro tento den má hodnotu 0.266. Spoˇcteme-li jakou volatilitu je tˇreba uvaˇzovat, abychom modelem dosáhli stejné ceny, jako na trhu, dojdeme k výsledku 0.28. Z toho je patrné, ˇze pouˇzitý odhad volatility a implikovaná volatilita jsou si velmi bl´ızké, coˇz vysvˇetluje shodu ocenˇen´ı modelu s trhem. Nav´ıc m˚ uˇzeme oproti pˇredchoz´ım spoleˇcnostem sledovat vliv dividendy, vyplacené uprostˇred obdob´ı, na ocenˇen´ı. Pokles ceny opce vlivem dividendy je patrnˇejˇs´ı u opc´ı v penˇez´ıch. Pro call opci s realizaˇcn´ı cenou $65 a expirac´ı v lednu 2014 doˇslo z 18. 4. 2013 na 19. 4. 2013 k poklesu trˇzn´ı ceny z $9.98 na $8.55. Modelová cena klesla z $9.39 na $8.08, pˇriˇcemˇz relativn´ı odchylka cen v obou dnech tvoˇr´ı 6 %. Lze tedy konstatovat, ˇze model správnˇe ocenil výplatu dividendy uprostˇred obdob´ı, jelikoˇz jej´ım vlivem nedoˇslo k odchylce ve 56


Apache Corp. (APA)

Obrázek 8.8: Opce Apache s expirac´ı v lednu 2014 výsledku. K podobnému závˇeru dojdeme u ostatn´ıch opc´ı Apache v penˇez´ıch (s jinými realizaˇcn´ımi cenami nebo expirac´ı).

57

9 Citlivostn´ı analýza V následuj´ıc´ı kapitole se budeme vˇenovat citlivostn´ı analýze. Zamˇeˇr´ıme se na základn´ı parametry binomického modelu, které jsme odhadovali a budeme sledovat závislost výsledného ocenˇen´ı na zmˇenách tˇechto parametr˚ u. Zvol´ıme jednu konkrétn´ı opci, vˇsechny parametry zafixujeme na stejné hodnotˇe, jako v bˇeˇzném pouˇzit´ı modelu a pouze sledovaný parametr budeme mˇenit a pozorovat jeho vliv na výsledné ocenˇen´ı. Pouˇzijeme opci Microsoft s expirac´ı v lednu 2013 a realizaˇcn´ı cenou $25. Budeme sledovat cenu call opce ke dni 27. 12. 2012. Cena akcie je k tomuto dni $27.12. Trˇzn´ı cena v tento den byla $1.93 a modelem (se standardn´ımi hodnotami parametr˚ u) vypoˇctená cena je $1.94.

9.1

Bezrizikov´ au ´ rokov´ a m´ıra

Nejprve se pod´ıváme, jak se mˇen´ı výsledné ocenˇen´ı opce v závislosti na zmˇenˇe bezrizikové u ´rokové m´ıry. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, bezrizikovou u ´rokovou m´ıru odhadneme z výnosu T-Bills na patˇriˇcnou dobu vzhledem k datu expirace opce, která je 22 dn´ı. Pro datum 27. 12. 2012 jsme odhadli jej´ı hodnotu na 0.0073 %. Bˇehem citlivostn´ı analýzy jsme sledovali zmˇenu ocenˇen´ı opce modelem pˇri zmˇenách bezrizikové u ´rokové m´ıry v rozmez´ı 0 % aˇz 4 %. Výsledky si ukáˇzeme na obrázku 9.1. Z obrázku je patrné, ˇze pˇri hodnotách bl´ızkých odhadnuté bezrizikové u ´rokové m´ıˇre je citlivost témˇeˇr nulová. Aˇz pˇri velice výrazných zmˇenách dosáhneme sledovatelné zmˇeny ceny akcie. Pro pˇr´ıklad, aby se vlivem bezrizikové u ´rokové m´ıry zmˇenila cena akcie o 2 %, musela by bezriziková u ´roková m´ıra vzr˚ ust pˇribliˇznˇe 500krát. Lze tedy konstatovat, ˇze citlivost ceny akcie na bezrizikovou u ´rokovou m´ıru je v okol´ı souˇcasných hodnot prakticky nulová.

58

Citlivostn´ı analýza

Volatilita akcie

Obrázek 9.1: Závislost ceny opce na pˇrepoˇctené 22denn´ı bezrizikové u ´rokové m´ıˇre

9.2

Volatilita akcie

Dalˇs´ım z d˚ uleˇzitých parametr˚ u binomického modelu je volatilita podkladového aktiva, tedy akcie. Tu odhadujeme z historických cen akcie, ˇc´ımˇz z´ıskáme tzv. historickou volatilitu. Pro akcie Microsoft jsme k 21. 12. 2012 zjistili hodnotu pˇribliˇznˇe 0.3. Pˇri citlivostn´ı analýze budeme sledovat zmˇenu ceny pˇri zmˇenˇe volatility v rozmez´ı hodnot 0.05 - 1. Výsledky lze nalézt na obrázku 9.2. V porovnán´ı s citlivost´ı na bezrizikovou u ´rokovou m´ıru je pro tento pˇr´ıpad citlivost výraznˇejˇs´ı. Lze pozorovat, ˇze cena opce je nepatrnˇe citlivˇejˇs´ı na r˚ ust volatility. Zmˇena ocenˇen´ı opce je zhruba tˇretinová, neˇz zmˇena volatility. Pod´ıváme se také na kompletn´ı ocenˇen´ı pro r˚ uzné odhady volatility. K tomu pouˇzijeme opce Microsoft s realizaˇcn´ı cenou $25 a expirac´ı v lednu 2014. Budeme porovnávat trˇzn´ı ceny s modelovými cenami pro r˚ uzné volatility, konkrétnˇe historickou, 5letou a roˇcn´ı (viz tabulka 7.1). Výsledky jsou k dispozici na obrázku 9.3.

59


Implikovaná volatilita

Obrázek 9.2: Závislost ceny opce na volatilitˇe aktiva

Lze pozorovat, ˇze pro Microsoft je optimáln´ı“ odhadnout 5letou volatilitu, ” jej´ımˇz pouˇzit´ım jsou opce ocenˇeny nejpˇresnˇeji z uvaˇzovaných moˇznost´ı. To je zp˚ usobeno t´ım, ˇze tento odhad volatility se bl´ıˇz´ı implikované volatilitˇe zvolených opc´ı. Pˇr´ıliˇs vysoké obdob´ı odhadu nadhodnocuje výsledné ocenˇen´ı a pˇr´ıliˇs n´ızké obdob´ı ocenˇen´ı zase podhodnocuje. Pˇri neznalosti budouc´ıch cen opce je ovˇsem velmi problematické zvolit vhodné obdob´ı tak, aby ocenˇen´ı v budoucnu bylo pˇresné.

9.3

Implikovan´ a volatilita

V pˇredchoz´ı ˇcásti jsme sledovali citlivost ceny opce na odhadnutou volatilitu akcie. Tu jsme odhadovali pomoc´ı historických cen akcie. Lze ovˇsem postupovat také opaˇcným zp˚ usobem. Pˇri znalosti ceny opce na trhu hledáme takovou hodnotu volatility, pro kterou výsledné ocenˇen´ı modelu pˇresnˇe odpov´ıdá ocenˇen´ı opce na trhu. Takto zjiˇstˇenou volatilitu nazýváme implikovaná volatilita. Jedná se vlastnˇe pˇr´ımo o volatilitu konkrétn´ı opce, neˇz o volatilitu akcie, kterou jsme k ocenˇen´ı bˇeˇznˇe pouˇz´ıvali. Pr˚ ubˇeh implikované volatility pro r˚ uzné realizaˇcn´ı ceny konkrétn´ı zvolené opce vid´ıme na obrázku 9.4.

60


Implikovaná volatilita

Obrázek 9.3: Srovnán´ı r˚ uzných odhad˚ u volatilit s trˇzn´ı cenou opce Je patrné, ˇze implikovaná volatilita je nejniˇzˇs´ı pro opci na penˇez´ıch, tedy ˇ ım v´ıce je pokud se realizaˇcn´ı cena shoduje s cenou akcie v daném dni. C´ opce v nebo mimo pen´ıze, t´ım je implikovaná volatilita niˇzˇs´ı. Proloˇz´ımeli z´ıskanými hodnotami polynomiáln´ı trend, z´ıskáme parabolickou kˇrivku. Tato vlastnost implikované volatility se nazývá volatility smile, podle tvaru u ´smˇevu, kterému se kˇrivka podobá. T´ımto efektem lze ˇcásteˇcnˇe vysvˇetlit rozd´ılnou pˇresnost oceˇ nován´ı opc´ı v penˇez´ıch a mimo pen´ıze. Pˇri bˇeˇzném pouˇzit´ı modelu je historická volatilita pro daný den odhadnuta jednoznaˇcnˇe, bez závislosti na realizaˇcn´ı cenˇe zvolené opce. Implikovaná volatilita ovˇsem ukazuje, ˇze volatilita urˇcená podle trˇzn´ı ceny se s realizaˇcn´ı cenou mˇen´ı. Jak jsme si 61


Poˇcet obdob´ı

Obrázek 9.4: Implikovaná volatilita

ukázali v pˇredeˇslé ˇcásti, závislost výsledného ocenˇen´ı na pouˇzité volatilitˇe nen´ı zanedbatelná, proto s rostouc´ım rozd´ılem mezi historickou a implikovanou volatilitou m˚ uˇze nar˚ ustat rozd´ıl v ocenˇen´ı opc´ı.

9.4

Poˇ cet obdob´ı

Binomický model konstruujeme pro zadaný poˇcet obdob´ı mezi dnem výpoˇctu a dnem expirace opce. S rostouc´ım poˇctem obdob´ı roste poˇcet výsledných moˇzných cen akcie a t´ım by mˇela r˚ ust pˇresnost ocenˇen´ı opce. V následuj´ıc´ı ˇcásti se pod´ıváme, zda skuteˇcnˇe vyˇsˇs´ı poˇcet obdob´ı pˇrináˇs´ı pˇresnˇejˇs´ı výsledky, nebo od urˇcité hodnoty nedocház´ı k výrazné zmˇenˇe výsledk˚ u pˇri nár˚ ustu poˇctu obdob´ı. Vyˇsˇs´ı poˇcet obdob´ı zp˚ usobuje vˇetˇs´ı výpoˇcetn´ı sloˇzitost a prodluˇzuje dobu výpoˇctu. Závislost ceny opce na zvoleném poˇctu obdob´ı m˚ uˇzeme pozorovat na obrázku 9.5. Je zˇrejmé, ˇze pro n´ızký poˇcet obdob´ı cena opce kol´ısá výraznˇeji, neˇz pro vysoký poˇcet obdob´ı. V pˇr´ıpadˇe konkrétn´ı zvolené opce zbývá do expirace 22 dn´ı. Pouˇzijeme-li tedy kaˇzdý den, jako 1 obdob´ı, dosáhneme jiˇz pomˇernˇe pˇresného výsledku. Zpˇresˇ nován´ı výsledku pˇri dalˇs´ım r˚ ustu poˇctu obdob´ı je jiˇz 62


Shrnut´ı

Obrázek 9.5: Závislost ceny opce na poˇctu obdob´ı

pouze nepatrné. Model nab´ız´ı pro u ´plnost jeˇstˇe volbu dvojnásobného poˇctu obdob´ı, neˇz je poˇcet dn´ı do expirace (viz kapitola 6.2.1).

9.5

Shrnut´ı

Z provedené citlivostn´ı analýzy je patrné, ˇze nejvˇetˇs´ı pozornost je nutno vˇenovat stanoven´ı volatility a volbˇe poˇctu obdob´ı modelu. Závislost ocenˇen´ı na bezrizikové u ´rokové m´ıˇre je velmi n´ızká, prakticky nulová. Citlivost výsledného ocenˇen´ı modelu na volatilitu nen´ı zanedbatelná. Jelikoˇz výsledná volatilita závis´ı na volbˇe obdob´ı, pro které ji poˇc´ıtáme, m˚ uˇze model pˇri nevhodném odhadu poskytovat nepˇresné výsledky. Dalˇs´ım problémem je jednoznaˇcné stanoven´ı volatility pro kaˇzdý den na základˇe historických cen akcie. Jak bylo ukázáno na pˇr´ıkladu implikované volatility, trˇzn´ı volatilita se v závislosti na realizaˇcn´ı cenˇe dané opce mˇen´ı. Pro poˇcet obdob´ı modelu nen´ı vhodné volit n´ızké hodnoty, kdy výsledky modelu velmi kol´ısaj´ı, jak bylo ukázáno. Naopak, pˇr´ıliˇs vysoká hodnota zbyteˇcnˇe

63


Shrnut´ı

prodluˇzuje výpoˇcet a nepˇrináˇs´ı výraznˇejˇs´ı zpˇresnˇen´ı výpoˇctu. V modelu zvolený poˇcet obdob´ı, jako poˇcet dn´ı do expirace, lze povaˇzovat za dostateˇcný.

64

10 Závˇer V této práci jsme se seznámili s opcemi a základn´ımi modely jejich oceˇ nován´ı. Podrobnˇe jsme se vˇenovali popisu binomického modelu oceˇ nován´ı opc´ı, který byl následnˇe prakticky vytvoˇren v prostˇred´ı Microsoft Excel. S vyuˇzit´ım pˇripravených maker lze jeho prostˇrednictv´ım oceˇ novat akciové opce. Na reálných datech o akci´ıch a opc´ıch spoleˇcnost´ı Microsoft, Facebook a Apache jsme následnˇe model vyuˇzili k ocenˇen´ı jejich opc´ı a porovnali jsme výsledky se skuteˇcnost´ı. V závislosti na odhadu volatility a typu opce jsme pozorovali r˚ uzné výsledky. Obecnˇe jsme dospˇeli k závˇeru, ˇze model pˇresnˇeji oceˇ nuje opce v penˇez´ıch. Hodnota opc´ı mimo pen´ıze je ˇcasto velmi n´ızká, témˇeˇr nulová a odhady jsou proto ménˇe pˇresné. Lze ovˇsem pozorovat velmi podobný charakter pr˚ ubˇehu ocenˇen´ı modelových cen a trˇzn´ıch cen. Liˇs´ı se pouze konkrétn´ı výˇse ceny, coˇz je z velké ˇcásti zp˚ usobeno volbou volatility, jak jsme následnˇe ukázali v ˇcásti vˇenované citlivostn´ı analýze, konkrétnˇe srovnán´ı historické a implikované volatility. Souˇcást´ı vytvoˇreného modelu je i volba výpoˇctu prostˇrednictv´ım programu Matlab. Ten lze vˇsak vyuˇz´ıt pouze pro ocenˇen´ı amerických opc´ı. Výsledky z´ıskané Matlabem a Excelem se pˇresnˇe shoduj´ı. Vytvoˇrený model je tedy identický, jako Matlab, a nav´ıc poskytuje vˇetˇs´ı moˇznosti nastaven´ı (napˇr. evropské opce) a variabilitu pˇri zmˇenˇe parametr˚ u (automatické pˇrepoˇcty pˇri zmˇenˇe typ˚ u opce, nebo parametr˚ u). Microsoft Excel je pro vˇetˇsinu uˇzivatel˚ u také dostupnˇejˇs´ı, neˇz Matlab. Nevýhodou Excelu oproti Matlabu je delˇs´ı doba výpoˇctu pro velký poˇcet obdob´ı a nemoˇznost zadán´ı v´ıce, neˇz pˇeti dividend, coˇz pˇri výˇse uvedených výhodách nejsou nijak závaˇzné nedostatky. I pˇres mnohé zjednoduˇsuj´ıc´ı pˇredpoklady modelu se nám za urˇcitých podm´ınek podaˇrilo pomˇernˇe pˇresnˇe ocenit zvolené opce. Lze proto konstatovat, ˇze i kdyˇz je model velice jednoduchý a velmi omezuj´ıc´ı, m˚ uˇze poskytovat pˇresné výsledky.

65

A Pˇriloˇzené soubory Souˇcást´ı této práce je nˇekolik pˇriloˇzených soubor˚ u. Nyn´ı si krátce pop´ıˇseme jejich obsah.

A.1

Hlavn´ı model

Hlavn´ı soubor Microsoft Excel diplom.xlsm obsahuj´ıc´ı vytvoˇrený model, jeho výsledky a vˇsechny s n´ım souvisej´ıc´ı výpoˇcty. Nyn´ı si struˇcnˇe pop´ıˇseme obsah jednotlivých list˚ u seˇsitu. • Model: Základn´ı okno modelu obsahuj´ıc´ı zadán´ı parametr˚ u, pokroˇcilejˇs´ı volby nastaven´ı a výsledný binomický strom. Jeho podrobnˇejˇs´ı popis se nacház´ı v kapitole 6. • Volatilita: Ocenˇen´ı opc´ı pro r˚ uzné obdob´ı odhadu volatility a jejich srovnán´ı s trˇzn´ımi cenami. ´ • Urokov´ a m´ıra: Obsahuje informace o výnosech jednotlivých T-Bills, pˇrevzaté ze stránek amerického ministerstva financ´ı, a jejich pˇrepoˇcty pro jednotlivá data sledovaných obdob´ı. Souˇcást´ı tohoto listu je i výnosová kˇrivka amerických dluhopis˚ u. • Citlivostn´ı anal´ yza: Souˇcást´ı tohoto listu jsou výpoˇcty spojené s analýzou citlivosti ocenˇen´ı na zmˇeny jednotlivých vstupn´ıch parametr˚ u. Výsledky jsou prezentovány v kapitole 9. • APA: Historické ceny akci´ı Apache a výpoˇcty volatility pro r˚ uzná obdob´ı. • MSFT: Historické ceny akci´ı Microsoft a výpoˇcty volatility pro r˚ uzná obdob´ı. • FB: Historické ceny akci´ı Facebook a výpoˇcty volatility pro r˚ uzná obdob´ı. 66

Pˇriloˇzené soubory

Informace o opc´ıch

• APA Oct 13: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Apache s expirac´ı v ˇr´ıjnu 2013. • APA Jan 14: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Apache s expirac´ı v lednu 2014. • MSFT Jan 13: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Microsoft s expirac´ı v lednu 2013. • MSFT Jul 13: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Microsoft s expirac´ı v ˇcervenci 2013. • MSFT Jan 14: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Microsoft s expirac´ı v lednu 2014. • FB Jan 13: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Facebook s expirac´ı v lednu 2013. • FB Jun 13: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Facebook s expirac´ı v ˇcervnu 2013. • FB Jan 14: Výsledky ocenˇen´ı opc´ı Facebook s expirac´ı v lednu 2014.

A.2


Z d˚ uvodu nedostupnosti historických cen opc´ı bylo nutno ve sledovaném obdob´ı kaˇzdý den stahovat aktuáln´ı burzovn´ı data o opc´ıch. Ta byla uloˇzena v Excel souborech odkud byla pouˇzita ve vytvoˇreném modelu. Následuje pˇrehled tˇechto soubor˚ u. V jednotlivých listech jsou staˇzené ceny opc´ı pro jednotlivé dny sledovaného obdob´ı. • MSFTJanuary13.xlsx • MSFTJuly13.xlsx • MSFTJanuary14.xlsx • FBJanuary13.xlsx • FBJune13.xlsx • FBJanuary14.xlsx 67

Pˇriloˇzené soubory


• APAOctober13.xlsx • APAJanuary14.xlsx

68

B Zdrojové kódy B.1 1 2

Makro pro ocenˇ en´ı opce pˇ res Excel

’Makro pro ocenˇ en´ ı opce prostˇ rednictv´ ım Excelu Sub Binom()

3 4 5 6

’Vypnut´ ı nˇ ekter´ ych funkc´ ı pro urychlen´ ı v´ ypoˇ ctu Application.ScreenUpdating = False Application.Calculation = xlCalculationManual

7 8

Sheets("Model").Select

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

’Definice a pˇ riˇ razen´ ı promˇ enn´ ych Dim pocet As Integer Dim zacatek As Integer Dim test As Integer Dim skok As Integer Dim aktiv As Double Dim hodnota1 As Double Dim hodnota2 As Double Dim S As String Dim RC As String Dim sigma As String Dim T As String Dim n As String Dim u As String Dim d As String Dim r As String Dim p As String Dim q As String Dim cena As Double Dim rust As Double 69

Zdrojové kódy

30 31 32 33 34 35 36 37

Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim

Makro pro ocenˇen´ı opce pˇres Excel

pokles As Double T2 As Double n2 As Double r2 As Double nahoru As Double dolu As Double real As Double S_dividenda As String

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

S_dividenda = "R2C15" real = Range("C3").Value nahoru = Range("J3").Value dolu = Range("K3").Value T2 = Range("E3").Value n2 = Range("F3").Value r2 = Range("I3").Value S = "R3C2" RC = "R3C3" sigma = "R3C4" T = "R3C5" n = "R3C6" u = "R3C7" d = "R3C8" r = "R3C9" p = "R3C10" q = "R3C11" pocet = Range("F3").Value + 1 rust = Range("G3").Value pokles = Range("H3").Value cena = Range("B3").Value skok = 2 zacatek = 2 * pocet Range("I5").Select

63 64

’Vycisteni pracovni plochy s vysledky

70

Zdrojové kódy

65 66 67


Dim rng As Range Set rng = Range(Selection, Selection.Offset(1000, 1000)) rng.Delete

68 69

zacatek = 2 * pocet

70 71 72 73 74

’V´ ypoˇ cet a uloˇ zen´ ı do vzorce souˇ casn´ e hodnoty budouc´ ıch dividend v kaˇ zd´ em obdob´ ı modelu Dim pocet_dividend As Integer pocet_dividend = 4

75 76 77

Dim dividendy() As Double ReDim dividendy(0 To pocet_dividend)

78 79 80 81

For v = 0 To pocet_dividend dividendy(v) = Range("F45").Offset(v, 0).Value Next v

82 83 84

Dim obdobi() As Double ReDim obdobi(0 To pocet_dividend)

85 86 87 88

For v = 0 To pocet_dividend obdobi(v) = Range("D45").Offset(v, 0).Value Next v

89 90 91

Dim div_hodnoty() As Double ReDim div_hodnoty(0 To pocet_dividend, 0 To n2)

92 93 94 95

Dim Vypocet As String Dim vypocet_nov As String Dim help As String

96 97 98 99

For i = 0 To n2 For j = 0 To pocet_dividend div_hodnoty(j, i) = dividendy(j) * Exp(-r2 *

71

Zdrojové kódy

100


(obdobi(j) - i * (T2 / n2)))

101 102 103 104

If div_hodnoty(j, i) > dividendy(j) Then div_hodnoty(j, i) = 0 End If

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114

vypocet_nov = "+R" & 45 + j & "C6 * EXP(-R3C9*(R" & 45 + j & "C4-(" & T & "/" & n & ")*" & i & "))" Vypocet = Vypocet + "+IF((" & vypocet_nov & ")>R" & 45 + j & "C6,0," & vypocet_nov & ")" Next j Range("J5").Offset(0, i).FormulaR1C1 = "=" & Vypocet Range("J5").Offset(0, i).Font.Color = vbWhite Vypocet = "" Next i

115 116 117 118 119 120 121 122

Dim div_soucty() As Double ReDim div_soucty(0 To n2) For m = 0 To n2 For k = 0 To pocet_dividend div_soucty(m) = div_soucty(m) + div_hodnoty(k, m) Next k Next m

123 124 125 126 127 128 129 130

’Upraven´ a cena akcie po odeˇ cten´ ı souˇ casn´ e hodnoty vˇ sech budouc´ ıch dividend, z t´ eto ceny se n´ aslednˇ e generuje strom cen akci´ ı Dim S_div As Double S_div = cena - div_soucty(0) Range("O2").Select ActiveCell.Formula = "=R3C2-R5C10"

131 132 133 134

’Pr˚ uchod jednotliv´ ymi prvky stromu a ukl´ ad´ an´ ı vzorc˚ u do jeho bunˇ ek For x = pocet To 1 Step -1

72

Zdrojové kódy

135


y = 1

136 137

Do While y <= x

138 139 140

’Rozliˇ sen´ ı posledn´ ıho obdob´ ı, kam se vkl´ adaj´ ı jin´ e vzorce If x = pocet Then

141 142 143 144 145 146 147

Dim Dim Dim Dim Dim Dim

cislo1 As String cislo2 As String cislo_div1 As String cislo_div2 As String div_no1 As String div_yes1 As String

148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

’Vzorce pro cenu opce v dobˇ e expirace v z´ avislosti na nastaven´ ych parametrech cislo1 = "MAX(0," & u & "^" & (y - 1) & "*" & d & "^" & (n2 - y + 1) & "*" & S & "-" & RC & ")" cislo2 = "MAX(0," & RC & "-" & u & "^" & (y - 1) & "*" & d & "^" & (n2 - y + 1) & "*" & S & ")" cislo_div1 = "MAX(0," & u & "^" & (y - 1) & "*" & d & "^" & (n2 - y + 1) & "*" & S_dividenda & "+R5C" & "-" & RC & ")" cislo_div2 = "MAX(0," & RC & "-" & u & "^" & (y - 1) & "*" & d & "^" & (n2 - y + 1) & "*" & S_dividenda & "-R5C" & ")" div_no1 = "IF(R1C16=1," & cislo1 & "," & cislo2 & ")" div_yes1 = "IF(R1C16=1," & cislo_div1 & "," & cislo_div2 & ")" Range("J6").Offset(zacatek + (1 - y) * skok, x - 1) .Select ActiveCell.FormulaR1C1 = "=IF(R1C17=0," & div_no1 & "," & div_yes1 & ")"

169

73

Zdrojové kódy

170 171


’Vˇ sechna ostatn´ ı obdob´ ı, kromˇ e posledn´ ıho Else

172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184

Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim Dim

cislo3 As String cislo4 As String cislo4a As String cislo4b As String cislo4c As String cislo5 As String cislo4a_div As String cislo4c_div As String cislo4_div As String cislo5_div As String div_no As String div_yes As String

185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204

’Vytvoˇ ren´ ı vzorc˚ u v z´ avislosti na nastaven´ ych parametrech opce a jejich uloˇ zen´ ı do aktu´ aln´ ı buˇ nky stromu cislo3 = "(" & p & "*R[-1]C[1] + " & q & "*R[1]C[1]) / (EXP(" & r & "*" & T & "/" & n & "))" cislo4a = RC & "-" & S & "*" & d & "^" & (x - y) & "*" & u & "^" & (y - 1) cislo4a_div = RC & "-R5C-" & S_dividenda & "*" & d & "^" & (x - y) & "*" & u & "^" & (y - 1) cislo4b = p & "*R[-1]C[1] + " & q & "*R[1]C[1]) / (EXP(" & r & "*" & T & "/" & n cislo4c = S & "*" & d & "^" & (x - y) & "*" & u & "^" & (y - 1) & "-" & RC cislo4c_div = "R5C+" & S_dividenda & "*" & d & "^" & (x - y) & "*" & u & "^" & (y - 1) & "-" & RC cislo4 = "MAX(" & cislo4a & ",(" & cislo4b & ")))" cislo5 = "MAX(" & cislo4c & ",(" & cislo4b & ")))" cislo4_div = "MAX(" & cislo4a_div & ",(" & cislo4b & ")))"

74

Zdrojové kódy


cislo5_div = "MAX(" & cislo4c_div & ",(" & cislo4b & ")))" div_no = "IF(R1C15=0," & cislo3 & ",IF(R1C16=0," & cislo4 & "," & cislo5 & "))" div_yes = "IF(R1C15=0," & cislo3 & ",IF(R1C16=0," & cislo4_div & "," & cislo5_div & "))"

205 206 207 208 209 210 211

Range("J6").Offset(zacatek + (1 - y) * skok, x - 1) .Select ActiveCell.Formula = "=IF(R1C17=0," & div_no & "," & div_yes & ")"

212 213 214 215 216

End If

217 218

ActiveCell.NumberFormat = "0.0000"

219 220

’Oznaˇ cen´ ı ˇ cı ´sla obdob´ ı nad stromem If y = x Then Range("J6").Offset(0, x - 1).Select ActiveCell.Formula = y - 1 ActiveCell.NumberFormat = "0" End If

221 222 223 224 225 226 227

y = y + 1

228 229

Loop

230 231 232

zacatek = zacatek - 1 Next x

233 234 235 236 237

’Uloˇ zen´ ı v´ ysledn´ e ceny opce do ovl´ adac´ ıho menu Dim pom5 As Integer pom5 = 2 * pocet - (pocet - 1) + 6 Range("E38").FormulaR1C1 = "=R" & pom5 & "C10"

238 239

’Opˇ etovn´ e zapnut´ ı vypnut´ ych funkc´ ı

75

Zdrojové kódy

240 241

Makro pro ocenˇen´ı opce pˇres Matlab

Application.Calculation = xlCalculationAutomatic Application.ScreenUpdating = True

242 243

End Sub

B.2 1 2

Makro pro ocenˇ en´ı opce pˇ res Matlab

’Makro pro ocenˇ en´ ı opce prostˇ rednictv´ ım Matlabu Sub Matlab()

3 4

Application.ScreenUpdating = False

5 6 7

’Inicializace Matlabu matlabinit

8 9

Sheets("Model").Select

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

’Definice a pˇ riˇ razen´ ı promˇ enn´ ych Dim pocet_div As Double Dim S As Double Dim RC As Double Dim sigma As Double Dim T As Double Dim n As Double Dim r As Double Dim i As Double Dim pc As Integer

21 22 23 24 25 26 27

pocet_div = Range("C51").Value S = Range("B3").Value RC = Range("C3").Value sigma = Range("D3").Value T = Range("E3").Value n = Range("F3").Value 76

Zdrojové kódy

28 29


r = Range("I3").Value pc = Range("P1").Value

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

’Naˇ cten´ ı pˇ rı ´padn´ ych dividend If pocet_div > 0 Then Dim divi() As Double ReDim divi(0 To pocet_div - 1) Dim exdivi() As Double ReDim exdivi(0 To pocet_div - 1) Dim a As Double a = 0 Dim help As String Dim help2 As String Dim help3 As Double Dim help4 As Double

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

’Pˇ red´ an´ ı dividend do Matlabu For l = 1 To 5 If Range("F45").Offset(l - 1, 0) > 0 Then divi(a) = Range("F45").Offset(l - 1, 0).Value exdivi(a) = Range("G45").Offset(l - 1, 0).Value help3 = divi(a) help4 = exdivi(a) a = a + 1 help = "div" & a help2 = "exdiv" & a MLPutVar help, help3 MLPutVar help2, help4 End If Next l End If

59 60 61 62

’Vymaz´ an´ ı pracovn´ ı plochy s daty Range("I5").Select Dim rng As Range

77

Zdrojové kódy

63 64 65


Set rng = Range(Selection, Selection.Offset(1000, 1000)) rng.Delete

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

’Pˇ red´ an´ ı promˇ enn´ ych do Matlabu i = T / n MLPutVar "S",S MLPutVar "RC", RC MLPutVar "sigma", sigma MLPutVar "T", T MLPutVar "n", n MLPutVar "r", r MLPutVar "pc", pc MLPutVar "i", i

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

’Proveden´ ı pˇ rı ´kazu v Matlabu v z´ avislosti na poˇ ctu dividend Dim prikaz As String Select Case pocet_div Case 0 MLEvalString ("[AssetPrice, OptionValue] = binprice(S, RC, r, T, i, sigma, pc)") Case 1 MLEvalString ("[AssetPrice, OptionValue] = binprice(S, RC, r, T, i, sigma, pc,0,[div1],[exdiv1])") Case 2 MLEvalString ("[AssetPrice, OptionValue] = binprice(S, RC, r, T, i, sigma, pc,0,[div1 div2], [exdiv1 exdiv2])") Case 3 MLEvalString ("[AssetPrice, OptionValue] = binprice(S, RC, r, T, i, sigma, pc,0,[div1 div2 div3], [exdiv1 exdiv2 exdiv3])") Case 4 MLEvalString ("[AssetPrice, OptionValue] = binprice(S, RC, r, T, i, sigma, pc,0,[div1 div2 div3 div4],

78

Zdrojové kódy

98 99 100 101 102 103


[exdiv1 exdiv2 exdiv3 exdiv4])") Case 5 MLEvalString ("[AssetPrice, OptionValue] = binprice(S, RC, r, T, i, sigma, pc,0,[div1 div2 div3 div4 div5],[exdiv1 exdiv2 exdiv3 exdiv4 exdiv5])") End Select

104 105 106 107 108 109 110

’Pˇ renesen´ ı v´ ysledk˚ u z Matlabu do Excelu Dim rng2 As Range Range("J8").Select Set rng2 = Range(Selection, Selection.Offset(n, n)) MLGetVar "OptionValue", rng2 MatlabRequest

111 112 113 114 115 116 117

’V´ ypis oznaˇ cen´ ı obdob´ ı nad tabulkou For x = 0 To n Range("J6").Offset(0, x).Select ActiveCell.Formula = x ActiveCell.NumberFormat = "0" Next x

118 119 120

’Pˇ rekop´ ırov´ an´ ı v´ ysledku ocenˇ en´ ı do poloˇ zky v menu Range("E38").FormulaR1C1 = "=R8C10"

121 122

End Sub

79

Literatura [1] Apache Corporation - Yahoo! Finance, http://finance.yahoo.com/q? s=APA/. [2] Apache Corporation: Dividends, http://investor.apachecorp.com/ dividends.cfm/. [3] Facebook, Inc. - Yahoo! Finance, http://finance.yahoo.com/q?s= FB&ql=0/. [4] Microsoft Corporation - Yahoo! Finance, http://finance.yahoo.com/ q?s=msft&ql=1/. [5] Microsoft Investor Relations - Dividends and Stock History, http:// www.microsoft.com/investor/Stock/StockSplit/default.aspx/. [6] U.S. Department of the Treasury: Daily Treasury Bill Rates Data, http://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/ interest-rates/Pages/TextView.aspx?data=billrates/. [7] U.S. Department of the Treasury: Daily Treasury Yield Curve Rates, http://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/ interest-rates/Pages/TextView.aspx?data=yield/. [8] John C. Cox, Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein, Options Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics (1979). [9] John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 7th ed., Pearson Education, Inc., 2009.

80

LITERATURA

LITERATURA

[10] Jakub Kˇresina, Modely oceˇ nován´ı akciových opc´ı, Diplomová práce, Západoˇceská univerzita, 2010. [11] Robert Kolb, Understanding Options, John Wiley & Sons, Inc., 1995. [12] Robert L. McDonald, Derivatives Markets, 2nd ed., Addison Wesley, 2006. [13] Geoffrey Poitras, The Early History of Option Contracts, 2008. [14] Mark Schroder, Adapting the Binomial Model to Value Options on Assets with Fixed-Cash Payouts, Financial Analysts Journal (1988).

81

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky

Recommend Documents