Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni
Fakulta aplikovan´ ych vˇed
´ ´I PRACE ´ ˇ ˇ SEMESTRALN Z PREDM ETU ´ MODELOVAN ´ ´I MATEMATICKE Ivana Kozlov´a
Modely anal´ yzy obalu dat
Plzeˇ n 2010
Obsah 1 Efektivnost a jej´ı hodnocen´ı
2
2 Z´ akladn´ı principy modelu anal´ yzy obalu dat
2
3 Jednoduch´ e DEA modely 3.1 Model jednoho vstupu a jednoho v´ ystupu 3.1.1 Konstantn´ı v´ ynos z rozsahu CRS . 3.1.2 Variabiln´ı v´ ynos z rozsahu VRS . . 3.2 Model dvou vstup˚ u a jednoho v´ ystupu . . 3.3 Model jednoho vstupu a dvou v´ ystup˚ u . .
. . . . .
3 3 3 5 5 6
4 CCR model 4.1 z´ akladn´ı ilustrace DEA model˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 9
1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1
Efektivnost a jej´ı hodnocen´ı
Mˇeˇren´ı efektivnosti produkˇcn´ıch jednotek je d˚ uleˇzit´ y pˇredpoklad pro zlepˇsen´ı chov´ an´ı tˇechto jednotek v konkurenˇcn´ım prostˇred´ı. Pod pojmem produkˇcn´ı jednotka rozum´ıme jednotku, kter´a vytv´aˇr´ı nˇejak´e v´ ystupy, na jejichˇz produkci spotˇrebov´ av´ a nˇejak´e vstupy. Mohou to b´ yt tedy firmy, kter´e produkuj´ı nˇejak´e v´ yrobky. Tak´e bankovn´ı poboˇcky, nemocnice, stˇredn´ı ˇskoly, finanˇcn´ı u ´ˇrady neboli jednotky vytv´ aˇrej´ıc´ı stejnou nebo podobnou aktivitu. V praxi pouˇz´ıvan´ y n´astroj pro anal´ yzu efektivnosti jsou pomˇerov´e ukazatele vych´azej´ıc´ı z finanˇcn´ıch v´ ykaz˚ u firem. Tyto v´ ykazy popisuj´ı pouze dva nebo nˇekolik m´alo faktor˚ u, kter´e maj´ı vliv na celkovou efektivnost jednotky. Pomˇerov´e ukazatele jsou uˇziteˇcn´e pro z´ akladn´ı orientaci fungov´ an´ı jednotky a pro porovn´an´ı s ostatn´ımi jednotkami. Pro podrobnˇejˇs´ı anal´ yzu efektivnosti je tˇreba pouˇz´ıt n´astroje zaloˇzen´e na principu matematick´eho modelov´ an´ı. ˇ Castou aplikaˇcn´ı oblast´ı je hodnocen´ı efektivnosti bankovn´ıch poboˇcek v r´amci banky. Banky m´ıvaj´ı vlastn´ı statistiky ˇcasto zaloˇzen´e na pomˇerov´ ych ukazatel´ıch, kter´e nejsou moc vypov´ıdaj´ıc´ı. Modely kter´e umoˇzn ˇuj´ı sledovat v´ıce vstup˚ u a v´ıce v´ ystup˚ u pˇrin´ aˇs´ı zcela nov´ y pohled.
2
Z´ akladn´ı principy modelu anal´ yzy obalu dat
Modely anal´ yzy obalu dat byly navrˇzeny jako speci´aln´ı modelov´ y n´astroj pro hodnocen´ı efektivnosti homogenn´ıch produkˇcn´ıch jednotek. Pod pojmem homogenn´ı produkˇcn´ıch jednotky rozum´ıme soubor jednotek, kter´e je zab´ yvaj´ı produkc´ı identick´ ych nebo ekvivalentn´ıch efekt˚ u, kter´e budeme znaˇcit v´ ystupy t´eto jednotky. Je ˇz´ adouc´ı, aby v´ yˇsˇs´ı hodnota efekt˚ u vedla k vyˇsˇs´ı efektivnosti dan´e jednotky. Pro vytvoˇren´ı efekt˚ u spotˇrebov´av´a jednotka vstupy. Tyto vstupy chceme naopak minimalizovat. tedy niˇzˇs´ı hodnota vstup˚ u vede k vyˇsˇs´ı hodnotˇe v´ ystup˚ u sledovan´e jednotky. Pˇri hodnocen´ı efektivnosti budeme nejdˇr´ıv uvaˇzovat jeden vstup(M) a jeden v´ ystup(N). Pomˇerov´a funkce tedy bude vypadat N . M Dost´ av´ ame ukazatele jako je zisk na pracovn´ıka firmy nebo poˇcet pacient˚ u na jednoho l´ekaˇre. Pro hodnocen´ı efektivnosti je tˇreba vz´ıt vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı vstup˚ u a v´ ystup˚ u. Pro sledov´ an´ı efektivnosti souboru homogenn´ıch jednotek U1 , U2 , . . . , Un uvaˇzujeme r vstup˚ u a m v´ ystup˚ u. Oznaˇcme X = {xij , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n} matici vstup˚ u a obdobnˇe Y = {yij , i = 1, 2, . . . , r, j = 1, 2, . . . , n} matici v´ ystup˚ u. M´ıra efektivnosti jednotky Uq m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako P uy P i i iq , v j j xjq P kde i ui yiq je v´ aˇzen´ y souˇcP et v´ ystup˚ u a vj , j = 1, 2, . . . , m jsou v´ahy pˇriˇrazen´e j-t´emu vstupu. Jmenovatel j vj xjq je v´aˇzen´ y souˇcet vstup˚ u a ui , i = 1, 2, . . . , r jsou v´ ahy pˇriˇrazen´e i-t´emu v´ ystupu.
2
3
Jednoduch´ e DEA modely
DEA modely vych´ az´ı z toho, ˇze pro dan´ y model existuje mnoˇ zina pˇ r´ıpustn´ ych moˇ znost´ı, tvoˇren´ a vˇsemi moˇzn´ ymi kombinacemi vstup˚ u a v´ ystup˚ u. Mnoˇzina pˇr´ıpustn´ ych moˇznost´ı je tvoˇrena efektivn´ı hranic´ı. Produkˇcn´ı jednotky, jejichˇz kombinace vstup˚ u a v´ ystup˚ u leˇz´ı na efektivn´ı hranici jsou efektivn´ı jednotky. neexistuje jin´ a jednotka, kter´ a by dos´ahla pˇri stejn´em vstupu vyˇsˇs´ıch v´ ystup˚ u nebo stejn´ ych v´ ystup˚ u pˇri niˇzˇs´ıch vstupech.
3.1
Model jednoho vstupu a jednoho v´ ystupu
Mnoˇzinu pˇr´ıpustn´ ych moˇznost´ı a efektivn´ı hranici uk´aˇzeme na pˇr´ıkladu obchodn´ıho ˇretˇezce s osmi poboˇckami. Kaˇzd´a z poboˇcek je charakterizovan´a jedn´ım vstupem x (poˇcet pracovn´ık˚ u) a jedn´ım v´ ystupem y (pr˚ umˇern´e denn´ı trˇzby v des´ıtk´ ach tis´ıc Kˇc). Pro odvozen´ı efektivn´ı hranice je tˇreba pˇrijmout pˇredpoklad Tabulka 1: Vstupn´ı data pro pˇr´ıpad jednoho vstupu Poboˇcka U1 U2 U3 U4 U5 Poˇcet pracovn´ık˚ u 12 7 9 3 7 Trˇzby 14 12 11 3 4 Trˇzby/poˇcet pracovn´ık˚ u 1,17 1,71 1,22 1,00 0,57
a v´ ystupu U6 U7 4 9 9 6 2,25 0,67
U8 2 6 3,00
o charakteru v´ ynos˚ u z rozsahu pro danou u ´lohu. V´ ynosy z rozsahu mohou b´ yt konstantn´ı, variabiln´ı, klesaj´ıc´ı nebo rostouc´ı. 3.1.1
Konstantn´ı v´ ynos z rozsahu CRS
Uvaˇzujeme, ˇze kombinace vstup˚ u a v´ ystup˚ u (x, y) je prvkem mnoˇziny pˇr´ıpustn´ ych moˇznost´ı, pak je prvkem t´eto mnoˇziny i kombinace (αx, αy), kde α > 0. tedy pokud je (x, y) jednotkou efektivn´ı, pak bude efektivn´ı i jednotka (αx, αy), kde α > 0. Pro n´ aˇs pˇr´ıpad je tedy efektivn´ı hranice pˇr´ımka pouze jedin´a jednotka leˇz´ı na efektivn´ı hranici.Znamen´ a to, ˇze existuje pouze jedna jednotka s nejvyˇsˇs´ımi trˇzbami na jednoho pracovn´ıka.
3
Ostatn´ı jednotky jsou neefektivn´ı, coˇz lze uk´azat na pˇr´ıkladu jednotky U6 . S hodnotami (4, 9) nen´ı na efektivn´ı hranici, aby se na tuto hranici dostala, mus´ı bud’: • Zv´ yˇsit hodnotu produkovan´eho v´ ystupu pˇri zachov´an´ı souˇcasn´eho vstupu, dostaneme se tedy do bodu U 00 = (4, 12). Modely, kter´e se snaˇz´ı maximalizovat v´ ystup, se oznaˇcuj´ı modely orientovan´ e na v´ ystupy. • Sn´ıˇzit hodnotu spotˇrebovan´eho vstupu pˇri zachov´an´ı u ´rovnˇe v´ ystupu, dostaneme se do bodu U 0 = (3, 9).Modely, kter´e se snaˇz´ı naj´ıt efektivn´ı jednotku minimalizac´ı vstup˚ u se oznaˇcuj´ı modely orientovan´ e na vstupy. • Kombinac´ı obou pˇredch´ azej´ıc´ıch moˇznost´ı. Tento postup se pouˇz´ıv´a v odchylkov´ ych modelech. V naˇsem modelu m˚ uˇzeme m´ıru efektivnosti z´ıskat porovn´an´ım trˇzeb na zamˇestnance s trˇzbami jednotky U8 . Pro jednotku U6 z´ısk´ame m´ıru efektivnosti jako pod´ıl 2, 25/3, 00 = 0, 75. Jedn´ a se vˇsak o relativn´ı m´ıru, kter´a z´avis´ı na cel´em souboru jednotek. Pˇrid´ ame-li do souboru dalˇs´ı jednotku, m˚ uˇze se zmˇenit efektivn´ı hranice a zmˇen´ı se i m´ıry efektivnosti ostatn´ıch jednotek. M´ıru efektivnosti lze snadno odvodit tak´e jako: • Pro model orientovan´ y na v´ ystupy jako pod´ıl p˚ uvodn´ı a nov´e hodnoty ˇ v´ ystup˚ u, tedy na pˇr´ıkladˇe U6 9/12 = 0, 75. Casto se vˇsak uv´ad´ı obr´acen´a hodnota, tu lze vysvˇetlit jako m´ıru nav´ yˇsen´ı v´ ystupu pro dosaˇzen´ı efektivn´ı hranice. • Pro model orientovan´ y na vstupy jako pod´ıl p˚ uvodn´ı a star´e hodnoty vstup˚ u, u naˇseho pˇr´ıkladu 3/4 = 0, 75. tuto m´ıru lze vysvˇetlit jako potˇrebnou m´ıru redukce vstupu pro dosaˇzen´ı efektivn´ı hranice.
4
3.1.2
Variabiln´ı v´ ynos z rozsahu VRS
Pˇr´ıklad variabiln´ıch v´ ynos˚ u z rozsahu vede k modifikaci efektivn´ı hranice. V naˇsem pˇr´ıkladˇe je efektivn´ı hranice zn´azornˇena na obr´azku. Efektivn´ı hranice zde tvoˇr´ı obal dat, kter´ y je konvexn´ı. Zde jsou oproti pˇredchoz´ımu pˇr´ıklady ˇctyˇri efektivn´ı jednotky: U1 , U2 , U6 , U8 . je to proto, ˇze nemus´ı b´ yt α-n´asobek vstup˚ u doplnˇen stejn´ ym n´ asobkem v´ ystup˚ u. Efektivn´ı bude i jednotka kdyˇz pomˇern´ y n´ ar˚ ust v´ ynos˚ u bude niˇzˇs´ı pˇr´ıpadnˇe vyˇsˇs´ı neˇz odpov´ıdaj´ıc´ı n´ar˚ ust vstup˚ u. V tomto pˇr´ıpadˇe je m´ıra efektivnosti vyˇsˇs´ı neˇz v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. Jelikoˇz efektivn´ı hranice je ke vˇsem jednotk´ am mimo ni bl´ıˇz neˇz v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, bude jmenovatel pˇri v´ ypoˇctu m´ıry niˇzˇs´ı, tedy m´ıra bude vˇetˇs´ı.
Pro jednotku U3 je m´ıra efektivnosti v modelu CRS rovna 1, 22/3, 00 = 0, 407 pro oba orientovan´e modely. V modelu VRS bude v modelu orientovan´em na vstupy je m´ıra efektivnosti urˇcena pomˇerem x0 /x = 6/9 = 0, 667. Ve stejn´em modelu orientovan´em na v´ ystupy to bude y 0 /y = 11/13 = 0, 85. M´ıra efektivnosti je v modelech s VRS m˚ uˇze b´ yt r˚ uzn´a pˇri orientaci na vstupy a na v´ ystupy.
3.2
Model dvou vstup˚ u a jednoho v´ ystupu
Pro pˇr´ıpad dvou vstup˚ u a jednoho v´ ystupu budeme pˇredpokl´adat shodn´e, jednotkov´e v´ ystupy.Tento postup neodpov´ıd´a realitˇe, ale lze jej splnit tak, ˇze oba vstupy nahrad´ıme jejich pod´ılem hodnotami v´ ystup˚ u. tedy na ose x budeme m´ıt vstup 1/v´ ystup a na ose y bude vstup 2/v´ ystup. Dostaneme tak vstup na jednotku v´ ystupu. To lze zn´ azornit grafem. Z hlediska efektivnosti bude niˇzˇs´ı hodnota vstup˚ u na jednotku v´ ystupu v´est k vyˇsˇs´ı efektivnosti. Z obr´azku je zˇrejm´e, ˇze efektivn´ı budou jednotky U1 , U3 , U6 , U8 . Jsou to hodnoty ke kter´ ym neexistuje lepˇs´ı hodnota vstup˚ u na 5
Tabulka 2: Jednotka U1 Vstup 1 1 Vstup 2 7 V´ ystup 1
Vstupn´ı fata pro U2 U3 U4 3 2 4 9 4 5 1 1 1
pˇr´ıpad dvou vstup˚ u a jednoho v´ ystupu U5 U6 U7 U8 5 7 9 12 4 2 5 1 1 1 1 1
jednotkov´ y v´ ystup. Efektivn´ı jednotky tvoˇr´ı efektivn´ı hranici, kter´a definuje mnoˇzinu produkˇcn´ıch moˇznost´ı.
Jednotka U5 v naˇsem pˇr´ıpadˇe neleˇz´ı na efektivn´ı hranici. R˚ uzn´e DEA modely se liˇs´ı pouze v tom, jak mˇeˇr´ı vzd´alenost od efektivn´ı hranice. Tato vzd´alenost je vlastnˇe m´ıra efektivnosti hodnocen´e jednotky. Tento model mˇeˇr´ı tuto vzd´alenost radi´ alnˇe a urˇcuj´ı m´ıru redukce od obou vstup˚ u. V tomto pˇr´ıpadˇe dostaneme virtu´ aln´ı jednotku U 0 = (4; 3, 2). M´ıra efektivnosti jednotky U5 je tedy U 0 /U5 = 4/5 = 3, 2/4 = 0, 8. Tuto hodnotu lze interpretovat jako, ˇze na dosaˇzen´ı efektivn´ı hranice mus´ı jednotka U5 sn´ıˇzit oba vstupy o 80% pˇri zachov´an´ı souˇcasn´e hodnoty v´ ystupu. Kromˇe radi´ aln´ıho zp˚ usoby mˇeˇren´ı efektivnosti lze i tady poˇz´ıt podobn´ y zp˚ usob jako v minul´ ych pˇr´ıkladech. Pˇri zachov´an´ı hodnoty na ose x budeme minimalizovat hodnotu na ose y. Takto dostaneme bod (5; 2, 8) a m´ıra efektivnosti bodu U5 bude y 0 /y = 2, 8/4 = 0, 7. Pˇri zachov´an´ı hodnoty na ose y se snaˇz´ıme tak´e minimalizovat hodnotu na ose x. Takto dostaneme bod (2, 4) a m´ıra efektivnosti bodu U5 bude x0 /x = 2/5 = 0, 4.
3.3
Model jednoho vstupu a dvou v´ ystup˚ u
V tomto pˇr´ıkladˇe budeme postupovat obdobnˇe jako v minul´em pˇr´ıkladˇe. Budeme uvaˇzovat v´ ystupy na jednotku vstupu, napˇr´ıklad poˇcet z´akazn´ık˚ u na jednoho
6
Tabulka 3: Vstupn´ı fata pro Jednotka U1 U2 U3 U4 Vstup 1 1 1 1 V´ ystup 1 7 9 4 5 V´ ystup 2 9 6 8 5
pˇr´ıpad jednoho U5 U6 U7 1 1 1 4 2 5 4 3 6
vstupu a dvou v´ ystup˚ u U8 1 1 2
pracovn´ıka. Tato situace je zn´ azornˇena na obr´azku. Je zˇrejm´e, ˇze vyˇsˇs´ı v´ ystupy povedou k vyˇsˇs´ı efektivnosti. Efektivn´ı hranice zde bude tvoˇrena jednotkami U1 , U3 , U7 , U8 .
Ke kaˇzd´e neefektivn´ı jednotce lze naj´ıt jednotku na efektivn´ı ose, kter´a m´a obˇe souˇradnicov´e hodnoty vyˇsˇs´ı. koukneme se podrobnˇeji na jednotku U5 . Pro tuto jednotku najdeme opˇet radi´ aln´ım zp˚ usobem virtu´aln´ı jednotku U 0 = (8, 64; 6, 91), kter´ a se nach´ az´ı na efektivn´ı hranici. V´ ysledkem je m´ıra efektivnosti o kterou je potˇreba nav´ yˇsit oba v´ ystupy pro dosaˇzen´ı efektivnosti. Tato m´ıra je zde urˇcena jako pod´ıl U 0 /U5 = 8, 64/5 = 6, 91/4 = 1, 727. Znamen´a to, ˇze jednotka U5 se dostane na efektivn´ı hranici pokud nav´ yˇs´ı oba v´ ystupy o t´emˇeˇr 73%. Lze si vˇsimnout, ˇze v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe byla m´ıra u neefektivn´ıch jednotek menˇs´ı neˇz jedna, zde je naopak vˇetˇs´ı neˇz jedna. V pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe vyjadˇrovala m´ıra efektivnosti potˇrebnou redukci vstup˚ u pro dosaˇzen´ı efektivn´ı hranice. Zde ud´ av´ a m´ıra efektivnosti potˇrebn´e nav´ yˇsen´ı v´ ystup˚ u pro dosaˇzen´ı efektivn´ı hranice.
4
CCR model
Tento DEA model byl navrˇzen Charnesem, Cooperema Rhodosem v roce 1978. Jmenuje se podle poˇc´ ateˇcn´ıch p´ısmen autor˚ u. tento model maximalizuje m´ıru 7
fektivnosti jednotky Uq , kter´ a je vyj´adˇrena jako pod´ıl v´aˇzen´ ych v´ ystup˚ u a v´ aˇzen´ ych vstup˚ u. M´ıra efektivnosti vˇsech ostatn´ıch jednotek je menˇs´ı nebo rovna jedn´e. Pro kaˇzdou jednotku tak dostaneme pomoc´ı vah pro vstupy vj , j = 1, 2, . . . , m virtu´ aln´ı vstup v1 x1q + v2 x2q + . . . + vm xmq . Pomoc´ı vah pro v´ ystupy ui , i = 1, 2, . . . , r virtu´ aln´ı v´ ystup u1 y1q + u2 y2q + . . . + um ymq . CCR DEA model poˇc´ıt´ a v´ ahy vstup˚ u a v´ ystup˚ u optimalizaˇcn´ım v´ ypoˇctem tak, aby to bylo pro hodnocenou jednotku co nejpˇr´ıznivˇejˇs´ı z hlediska jej´ı efektivnosti. Tedy se maximalizuje m´ıra efektivnosti hodnocen´e jednotky pˇri dodrˇzen´ı podm´ınek maxim´ alnˇe jednotkov´e efektivnosti vˇsech ostatn´ıch jednotek. Cel´ y model lze pro jednotku Uq formulovat jako u ´lohu line´arn´ıho lomen´eho programov´ an´ı n´ asledovnˇ e : Pr ui yiq maximalizovat z = Pmi vj xjq
j
za podm´ınek
Pr uy Pmi i ik ≤ 1, k = 1, 2, . . . , n, j vj xjk ui ≥ ε = 1, 2, . . . , r, vj ≥ ε = 1, 2, . . . , m,
kde z je m´ıra efektivnosti jednotky Uq a εje konstanta, pomoc´ı kter´e model zabezpeˇcuje, ˇze vˇsechny v´ ahy vstup˚ u a v´ ystup˚ u budou kladn´e. xjk , j = 1, 2, . . . , m, k = 1, 2, . . . , n je hodnota i-t´eho vstupu pro jednotku Uk a yik , i = 1, 2, . . . , r, k = 1, 2, . . . , n je hodnota i-t´eho v´ ystupu pro jednotku Uk . Hodnoty vstup˚ u a v´ ystup˚ u jsou uspoˇr´ ad´ any do matic X a Y , kter´e maj´ı rozmˇer (m, n) resp. (r, n). Tuto u ´lohu pˇrevedeme na standardn´ı u ´lohu line´arn´ıho programov´an´ı pomoc´ı Charnes-CooperovyP transformace. Upraven´a u ´loha m´a podobu: r maximalizovat z = i ui yiq za podm´ınek r m X X ui yik ≤ vj xjk , k = 1, 2, . . . , n, i
j m X
vj xjq = 1,
j
ui ≥ ε = 1, 2, . . . , r, vj ≥ ε = 1, 2, . . . , m. Hodnocen´ a jednotka Uq leˇz´ı na CCR efektivn´ı hranici a oznaˇcuje se jako CCR efektivn´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze optim´aln´ı m´ıra efektivnosti vypoˇcten´a t´ımto modelem je rovna jedn´e, tj. x∗ = 1. pro neefektivn´ı jednotky bude platit, ˇze je jejich m´ıra efektivnosti menˇs´ı neˇz jedna. Tento model je oznaˇcov´an jako prim´ arn´ı CCR model orientovan´ y na vstupy. Obdobnˇe bude vypadat zad´an´ı prim´ arn´ıho CCR modelu orientovan´ eho na v´ ystupy, zde chceme naopak, aby virtu´aln´ı v´ ystup byl roven jedn´e. Z v´ ypoˇctov´eho hlediska i z hlediska interpretace je lepˇs´ı pouˇz´ıt du´ aln´ı CCR model orientovan´ y na vstupy, kter´ y vypad´a n´asledovnˇe: minimalizovat θq za podm´ınek n X xij λj ≤ λq xiq , i = 1, 2, . . . , m, j=1
8
n X
xij λj ≥ yiq , i = 1, 2, . . . , r,
j=1
λj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n, kde λ = (λ1 , λ2 , . . . , λn ), λ ≥ 0 je vektor vah, kter´e jsou pˇriˇrazen´e jednotliv´ ym jednotk´ am. Jedn´ a se o vektor promˇenn´ ych tohoto modelu. Dalˇs´ı promˇennou je θq , kter´ a je m´ırou efektivnosti hodnocen´e jednotky Uq . promˇenn´a θq se m˚ uˇze rovnˇeˇz interpretovat jako potˇrebn´a m´ıra redukce vstup˚ u pro dosaˇzen´ı efektivn´ı hranice a jej´ı hodnota bude menˇs´ı nebo rovna jedn´e. Pˇri hodnocen´ı jednotky Uq se model snaˇz´ı naj´ıt virtu´aln´ı jednotku charakterizovanou vstupy Xλ a v´ ystupy Yλ, kter´e jsou line´arn´ı kombinac´ı vstup˚ u a v´ ystup˚ u ostatn´ıch jednotek dan´eho souboru a kter´e jsou lepˇs´ı neˇz vstupy a v´ ystupy hodnocen´e jednotky Uq . Mus´ı tedy platit Xλ ≤ θq xq a Yλ ≤ yq , kde xq a yq jsou vektory vstup˚ u a v´ ystup˚ u jednotky Uq . Jednotka Uq je oznaˇcena za efektivn´ı, pokud virtu´ aln´ı jednotka s uveden´ ymi vlastnostmi neexistuje nebo je totoˇzn´a s hodnocenou jednotkou, tedy Xλ = xq a Yλ = yq . To nast´av´a pouze tehdy, je-li θq = 1. Souˇcasnˇe vˇsak mus´ı b´ yt rovny nule vˇsechny pˇr´ıdavn´e promˇenn´e, kter´e pˇrev´ adˇej´ı nerovnosti v pˇredchoz´ım modelu na rovnost. Po doplnˇen´ı tˇechto promˇenn´ ych do pˇredchoz´ıho modelu bude m´ıt v´ ypoˇcetn´ı tvar modelu tento tvar: T + T − minimalizovat z = θq − ε(e s + e s ), za podm´ınek Xλ + s− = θq xq , Yλ − s+ = yq , λ, s+ , s− ≥ 0, kde s+ a s− jsou vektory pˇr´ıdatn´ ych promˇenn´ ych v omezen´ıch pro vˇsechny T vstupy a v´ ystupy, e = (1, 1, . . . , 1) a ε je konstanta, kter´a se vol´ı zpravidla 10−8 . Hodnocen´ a jednotka je efektivn´ı, jsou-li splnˇeny n´asleduj´ıc´ı dvˇe podm´ınky: • Optim´ aln´ı hodnota promˇenn´e θq∗ je rovna jedn´e. ∗
• Optim´ aln´ı hodnoty vˇsech pˇr´ıdatn´ ych promˇenn´ ych s+ , i = 1, 2, . . . , r a −∗ s , i = 1, 2, . . . , m jsou rovny nule.
4.1
z´ akladn´ı ilustrace DEA model˚ u
V´ıˇse uveden´e pˇr´ıklady budeme ilustrovat na datech z prvn´ı tabulky. Pouˇzijeme v´ ypoˇctov´ y du´ aln´ı model pro hodnocen´ı efektivnosti jednotky U3 : minimalizovat z = θ3 − ε(s+ + s− ), za podm´ınek 12λ1 + 7λ2 + . . . + 2λ6 + . . . + 4λ8 + s− 1 = 9θ3 , 14λ1 + 12λ2 + . . . + 6λ6 + . . . + 9λ8 − s+ 1 = 9θ3 , + λi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , 8, s− 1 ≥ 0, s1 ≥ 0. + ∗ Tato u ´loha m´ a optim´ aln´ı ˇreˇsen´ı z ∗ = θ3∗ = 0, 4074, s− 1 = 0, s1 = 0, λ6 = 1, 833 a vˇsechny ostatn´ı promˇenn´e λ jsou rovny 0. Jednotka CCR tedy nen´ı efektivn´ı a jej´ı m´ıra efektivnosti je 0, 4071. Aby byla efektivn´ı, musela by sn´ıˇzit sv˚ uj vstup z hodnoty 9 na hodnotu 9 ∗ 0, 4071 = 3, 667.
9
Pro model BCC je oproti takov´a zmˇena jako pro model variabiln´ıch v´ ynos˚ u oproti modelu konstantn´ıch v´ ynos˚ u. v modelu BCC pˇribude podm´ınka λ1 + λ2 + . . . + λ8 = 1.
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8
Tabulka 4: m´ıra efektivnosti 0,3889 0,5714 0,4074 0,3333 0,1905 1,0000 0,2222 0,7500
V´ ysledky DEA anal´ yzy pro model CCR p˚ uvodn´ı hodnota c´ılov´a hodnota 12 4,666 7 4,000 9 3,666 3 1,000 7 1,333 2 2,000 9 2,000 4 3,000
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8
Tabulka 5: m´ıra efektivnosti 1,0000 1,0000 0,6667 0,6667 0,2857 1,0000 0,2222 1,0000
V´ ysledky DEA anal´ yzy pro model BCC p˚ uvodn´ı hodnota c´ılov´a hodnota 12 12,000 7 7,000 9 6,000 3 2,000 7 2,000 2 2,000 9 2,000 4 4,000
10
Reference [1] Jablonsk´ y J., Dlouh´ y M.: Modely hodnocen´ı efektivnosti produkˇcn´ıch jednotek. Professional publishing, 2004.
11
